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Facultad de Ingeniería y Arquitectura Semestre 2012-I

CURSO: CÁLCULO II

Tema :

Para este punto sería apropiado que recordemos el siguiente resultado:

TEOREMA: LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN Si f es continua en el intervalo cerrado ba , , el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales x=a y x =b viene dado por:

b

a

Área f(x) dx

Nota:1. Cuando el área está bajo el eje x, la integral definida tiene signo negativo.

I. AREA DE UNA REGION COMPRENDIDA ENTRE UNA CURVA:Veremos dos casos. El primero de ellos cuando la función depende de x y cuando lafunción depende de y .

CASO I:Si f(x)es una función continua en el intervalo

a;b

entonces el área limitada por la gráfica

de f(x), el eje x

y las rectas verticales x a

e

y bviene dada por:b

a

Área f(x) dx

Cálculo de Áreas de Regiones Planas

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CASO II:

Si f(y)es una función continua en el intervalo c;d entonces el área limitada por la gráfica de f(y), el eje yy las rectas horizontales y c e y dviene dada por:

d

c

Área f(y) dy

Ejemplos:

1. Hallar el área de la región limitada por la curva 2f(x) x , el eje x y las restas x 1

y

x 3 .Solución:Como la función f(x)

depende de x , estamos en el

caso I. Entonces el valor del área bajo la curva sedetermina por:

b

a

Área f(x)dx

Donde:

a. 2f(x) x b. a 1 b 3 Entonces:

33 3 3 3

2

1 1

x 3 1Área x dx3 3 3

26 unidades cuadradas3

2. Hallar el área de la región limitada entre el eje x y por la curva 2f(x) 4x x .

Solución:

Hallemos los puntos de intersección de la función 2f(x) 4x x con el eje x . Para esto

hacemos f(x) 0, es decir:

24x x 0

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x 4 x 0 x 0 x 4

Como la función f(x) depende de x , estamos enel caso I. Entonces, el valor del área bajo la curvase determina por:

b

a

Área f(x)dx

Donde:

a. 2f(x) 4x x b. a 0 b 4 Entonces:

44 2 32

0 03 3

2 2

x xÁrea 4x x dx 42 3

4 02 4 2 03 3


3. Hallar el área de la región limitada por el eje de coordenadas y la curva 2

x y y 1 .Solución:

Hallemos los puntos de intersección de la

función 2x f(x) y y 1 con el eje y . Paraesto hacemos x 0 , es decir:

2y y 1 0 y 0 y 1

Como la función f(y) depende de y , estamos en

el caso II. Además, según la gráfica observamosque la función f(y) que depende y es negativa,es decir f(y) 0, entonces el valor del área bajo lacurva se determina por:

d

c

Área f(y)dy

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Donde:

a. 2f(y) y y 1

b. c 0 d 1 Entonces:

11 1 4 3

2 3 2

0 0 0

4 3 4 3

y yÁrea y y 1 dy y y dy4 3

1 1 0 0 1 14 3 4 3 4 3

1 1 unidades cuadradas12 12

4. Hallar el área de la región limitada por la curva 2x 4 y y el eje y .Solución:

Hallemos los puntos de intersección de la función

2f(y) 4 y con el eje y . Para esto hacemos f(y) 0,

es decir:

24 y 0

2 y 2 y 0 y 2 y 2

Como la función f(y) depende de y , estamos en elcaso II. Entonces, el valor del área bajo la curva se determina por:

d

c

Área f(y)dy

Donde:

a. 2f(x) 4 y b. c 2 d 2 Entonces:

22 2 3 3 32 2

2 0 0

y 2 0Área 4 y dy 2 4 y dy 2 4y 2 4 2 4 03 3 3


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a. La función 3 2y x x 2x es positiva en el intervalo 1;0 . Entonces el área de la

región sombreada (a la que llamaremos 1A ) en 1;0 se determina de lasiguiente manera:

0

3 21

1

A x x 2x dx

b. La función 3 2y x x 2x es negativa en el intervalo 0;2 . Entonces el área de laregión sombreada (a la que llamaremos 2A ) en 0;2 se determina de la siguientemanera:

2

3 22

0

A x x 2x dx

Entonces, el área de la región sombreada en el intervalo 1;2 se determina de lasiguiente manera:

0 2

3 2 3 21 2

1 00 24 3 2 4 3 2

1 0

Área A A x x 2x dx x x 2x dx

x x x x x x2 24 3 2 4 3 2

5 8 5 812 3 12 337 unidades cuadradas12

6. Hallar el área de la región limitada por la curva 3y x x y las rectas x 5 x 5.Solución:

En la gráfica de 3y x x observamos que:

a.

La función 3

y x x es negativa en el intervalo 5;0 . Entonces su área será:

0

31

5

A x x dx

b. La función 3y x x es positiva en el intervalo 0;5 . Entonces su área será:

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5

32

0

A x x dx

Entonces, el área de la región sombreada en el intervalo será:

0 5

3 31 2

5 00 54 2 4 2

5 0

Área A A x x dx x x dx

x x x x4 2 4 2


II. AREA DE UNA REGION COMPRENDIDA ENTRE DOS O MAS CURVAS:

Consideremos el siguiente resultado:

TEOREMA:AREA ENTRE DOS CURVA

Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo a;b tal que se cumpla

f(x) g(x) x a;b. Entonces, el área de la región limitada por las gráficas de f y g ylas rectas x a x b está dada por:

b

a

Área f(x) g(x) dx

Veremos dos casos. El primero de ellos cuando las funciones dependen de x y cuando lasfunciones dependen de y .CASO I:Sean y f(x) e y g(x) dos funciones continuas en

el intervalo a;b tal que se cumpla

f(x) g(x) x a;b. Entonces, el área de laregión limitada por las gráficas de f y g y las rectas

x a x b está dada por:

b

a

Área f(x) g(x) dx

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CASO II:Sean x f(y) y x g(y) dos funciones continuas en el

intervalo c;d tal que se cumpla f(y) g(y) y c;d. Entonces, el área de la región

limitada por las gráficas de f y g y las rectas y c y d está dada por:

d

c

Área f(y) g(y) dy

Ejemplos:

7. Hallar el área de la región comprendida entre las gráficas de 2

f(x) 2 x y g(x) x.Solución:Los límites de integración serán los puntosdonde se intersectan las gráficas de lasfunciones. Entonces, hallemos los puntosdonde las funciones se intersecten. Para esodebemos igualar las dos funciones:

22 x x 2 x x 2 0

x 2 x 1 0 x 2 x 1

Como las funciones dependen de x, estamos en el caso I. Entonces, el valor del áreaencerrada por las funciones f(x) y g(x) se determina por:

11 1 3 2

2

2 2 2

x xÁrea f(x) g(x) dx 2 x x dx 2x3 2

1 1 8 42 4

3 2 3 29 unidades cuadradas2

8. Hallar el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones

3 2f(x) 3x x 10x y 2g(x) x 2x.

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Solución:Los límites de integración serán lospuntos donde se intersectan lasgráficas de las funciones. Entonces,hallemos los puntos donde lasfunciones se intersecten. Para esodebemos igualar las dos funciones:

3 2 23x x 10x x 2x 3 3x 12x 0

3x x 2 x 2 0

x 0 x 2 x 2

Para determinar el área de la región sombreada se debe tener presente que:a. Para el intervalo 0; 2 , el área se determina de la siguiente manera:

0

12

A f(x) g(x) dx

b. Para el intervalo 2;2 , el área se determina de la siguiente manera:

2

20

A g(x) f(x) dx

Entonces, el área de la región sombreada en el intervalo 2;2 se determina de lasiguiente manera:

0 2

1 22 0

0 23 2 2 2 3 2

2 00 2

3 3

2 00 24 2 4 2

2 2

Área A A f(x) g(x) dx g(x) f(x) dx

3x x 10x x 2x dx x 2x 3x x 10x dx

3x 12x dx 3x 12x dx

3x 12x 3x 12x4 2 4 2

12 24 12 24

24 unidades c uadradas

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EJERCICIOS PROPUESTOS

En los siguientes ejercicios, esboce la gráfica y calcule el área de la región bajo la curva.

y 2x 3; x 1;2 1. y 2x 4; x 2;4 2.

2y 3x 2; x 0;3

3.

2y x 1; x 0;2 4. 2y x x; x 0;1 5.

2y ; x 1;e 1x 1

6.

xy ; x 0;1x 1

7.

y sin x; x 0; 2 π 8.

En los siguientes ejercicios, esboce la región acotada por las gráficas de las funciones ycalcule su área.

2y x 2x 1, y 3x 3 1.

2y 4x e y 2x 4 2. y x, y 2 x, y 0 3.

y 3x 1, g(x) x 1 4.

3 2y x 3x 10x , y 6x .5.

3 2 2y 3x x 10x, y x 2x 6.

2x 3 y , x y 1 7.

2x y , x 2 y 8.

π 5πy sen(x), y cos(x), x4 4

9.

2x , x 2

f (x) x 0, x 3x 6, x 2

10.

Resolver los siguientes problemasLa región acotada por abajo por la parábola 2y x y por arriba por la recta y 4 , se1.

tiene que dividir en dos subregiones de la misma área, cortándolas con una recta

horizontal y c . Encontrar el valor de c , además graficar las regiones respectivas.

Hallar el área de la región encerrada por la parábola 2y 2 x , x 0 y una de sus2.

rectas tangentes que pasa por el punto 1, 5 .

Un fabricante de neumáticos estima que los mayoristas comprarán (demandarán) q 3.

(miles) de neumáticos radiales cuando el precio sea 2 p D(q) 0.1q 90 dólares

por neumático, y el mismo número de neumáticos se ofertarán cuando el precio sea

2 p S(q) 0.2q q 50 dólares por neumático.

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a) Determine el precio de equilibrio (cuando la oferta es igual a la demanda), así

como la cantidad ofertada y demandada a ese precio.

b) Determine el excedente de los consumidores y el de los productores al preciode equilibrio.

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