UM ESTUDO DA EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU E SUAS

DIFERENTES REPRESENTAÇÕES: RESULTADOS DA

INTERVENCÃO REALIZADA COM ALUNOS DO 8º ANO DO

ENSINO FUNDAMENTAL

Resumo

Autor: Cacilda Gaiola de Oliveira1

Orientadora: Profª Drª. Veridiana Rezende2

Este artigo apresenta os resultados da implementação do projeto “O Conceito de Equação do Primeiro Grau e Suas Diferentes Representações: Uma Intervenção com alunos de 8º ano do Ensino Fundamental”, desenvolvido no Colégio Estadual Vila Guaíra como parte dos requisitos do Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE. O presente trabalho teve como objetivo elaborar uma sequência de tarefas matemáticas que envolvem diferentes representações do conceito de equação do 1º grau, com a intenção de propiciar a compreensão desse conceito matemático aos alunos do 8º ano. A elaboração das atividades teve como respaldo a Teoria de Representação Semiótica de Raymond Duval, que defende a importância de tarefas matemáticas envolvendo diferentes representações, efetuando o processo de ir e vir para que o aluno possa assimilar o conceito apresentado. A problemática que se pretendeu responder foi: como é possível contribuir com a aprendizagem de alunos do 8o ano do Ensino Fundamental em relação ao conceito de equação do primeiro grau com uma incógnita? Observou-se que boa parte dos alunos reagiu favoravelmente à compreensão da equação do 1º grau mediante atividades com diferentes representações. A metodologia usada neste trabalho foi desafiadora, proporcionando aos alunos uma participação ativa, por meio de troca de experiências contribuindo para a aprendizagem do conceito envolvido. O trabalho proporcionou a melhoria na compreensão dos conceitos de equação do 1º grau para uma boa parcela dos alunos, de forma a melhorar os requisitos para sua continuidade ao estudo das equações no 9º ano do Ensino Fundamental. Palavras-chave: Álgebra; Ensino de Matemática; Equação; Representação. Semiótica.

1.INTRODUÇÃO

______________ 1Professora da Rede Pública de Educação do Estado do Paraná, Colégio Estadual Vila Guaíra

de Goioerê, PR. Licenciada em Matemática pela UEM e Unipar (1998 a 2001). Especialização

em Ciências da Natureza pela UEM (2001). ²Docente do Colegiado de Matemática da Unespar/Campo Mourão.

Nossa atuação profissional, que hoje se aproxima de vinte anos como

professora de Matemática em escolas da rede pública do Estado do Paraná,

lecionando para alunos do Ensino Fundamental e Médio, levou-nos a observar,

nas avaliações escolares e nos resultados de pesquisas e avaliações

realizadas pela Seed, as dificuldades dos alunos relacionadas à álgebra e

à equação do 1º grau, conceito essencial para a compreensão de outros

conceitos matemáticos que se estuda no decorrer da vida escolar. Em situações

que envolvem operações com a álgebra, as dificuldades se acentuam e fazem

muitos alunos sentirem certo bloqueio, pois os números agora são representados

por letras.

Verificamos, em nossa prática na escola, que a forma que a álgebra vem

sendo apresentada aos alunos, na maioria das vezes, prima-se pelo cálculo por

si só com ausência de significado. Silva (2007, p. 02) confirma essa

descontextualização:

Existe uma grande dificuldade em ensinar álgebra, primeiro porque os alunos demoram a aceitar que letras agora são “números”, ou seja, correspondem a quantidades, e isso por si só já causa certo bloqueio e segundo, que o material mais utilizado pelos professores é o livro didático que, em sua maioria, introduz a álgebra por meio de uma linguagem formal, falando de: equações, primeiro membro, segundo membro, operação inversa, enfim conceitos desprovidos de significados para o aluno.

O ensino da álgebra vem sendo introduzido de maneira

descontextualizada, provocando desinteresse dos alunos pelo conteúdos

ensinados. Nesse sentido, durante os estudos do Programa de Desenvolvimento

Educacional (PDE) do Estado do Paraná, desenvolvemos um trabalho cujo

objetivo foi observar e analisar os caminhos traçados e as soluções encontradas

pelos alunos do 8º ano do Ensino Fundamental na resolução de uma sequência

de atividades matemática alicerçadas na Teoria de Raymond Duval. Essa

Teoria consiste em proporcionar aos alunos diferentes formas de

representações do conceito matemático de equação do primeiro grau,

realizando seu tratamento ou conversão, ou seja, transitar de uma

representação para outra de maneira que contribua para a compreensão

desse conceito matemático. Procuramos trabalhar uma metodologia que

favorecesse a participação dos alunos nas atividades. Estes realizaram

atividades práticas com uso de uma balança de dois pratos, elaboraram e

resolveram problemas. Muitas atividades digitalizadas foram resolvidas com o

uso do caderno. Assistiram a um vídeo, fizeram uso do laboratório de informática,

resolveram as equações com balança (online) e houve momentos de jogos.

Dessa forma, neste artigo discorremos sobre o trabalho de intervenção

realizado com alunos do 8º ano do Ensino Fundamental do Colégio Estadual

Vila Guaíra, localizado em Goioerê, PR, referente ao conteúdo equação do 1º

grau com uma incógnita, fundamentados na Teoria de Representação Semiótica

de Raymond Duval. Para tanto, elaboramos uma sequência de tarefas

matemáticas que envolveram diferentes representações do conceito de equação

do 1º grau (com uma incógnita) intencionando propiciar a compreensão desse

conceito matemático aos alunos. Para tanto, utilizamos diversas

representações relacionadas a essa equação, com a finalidade de atingir o

maior número de alunos na apropriação desse conceito matemático.

Para fundamentar este trabalho, realizamos muitas pesquisas e leituras;

fundamentamo-nos nas Diretrizes Curriculares, no Caderno e Expectativa de

Matemática, em artigos relacionados à Teoria de Representação Semiótica de

Duval, e em livros que tratam dessa Teoria e da álgebra.

Buscamos relacionar o progresso dos alunos em relação aos

conhecimentos alcançados por meio de nosso Projeto, no desenvolvimento da

sequência de atividades relativas à equação do primeiro grau e apontar suas

dificuldades e seu sucesso ao longo da implementação pedagógica. Destacamos

que essa implementação foi desenvolvida conforme o calendário de atividades

do PDE, turma 2016, e visamos retomar o conteúdo matemático, contribuir para

sanar as dificuldades dos alunos, buscando uma melhoria em seu processo de

ensino e aprendizagem na disciplina de Matemática.

Pontuamos, contudo, que o material proposto na implementação

pedagógica pode ser trabalhado a partir do 7º ano do Ensino Fundamental, pois

é nessa fase escolar que o conteúdo matemático em questão é introduzido, e

diante das dificuldades observadas em relação à equação de 1º grau pelos

alunos, devemos repensar que é indispensável revermos a forma que são

apresentadas e trabalhadas as equações por parte dos professores de

Matemática.

Atentos à proposta da sequência de atividades e com uma

metodologia que desperte o interesse dos alunos, fizemos a contextualização

do conteúdo enfocado, sempre que possível, para uma possibilidade de avanço,

por parte dos alunos, no aprendizado da equações. Assinalamos que cada

atividade proposta na Unidade Didática tem sua importância, mas a seção 2

com uso de balança de 2 pratos foi fundamental para a introduzir do conceito de

equação, para sua posterior formalização com outros tipos de tarefas

matemáticas. Foi ofertado outras formas de representação da equação e fez-se

transitar entre elas, pois do ponto de vista de Duval (2003) não há compreensão

plena do conceito quando há uma única representação. Quando percebemos

que o aluno consegue realizar a transição entre pelo menos duas

representações, podemos dizer que ele compreendeu o conceito trabalhado.

Percebemos que à medida em que as atividades foram desenvolvidas,

houve a evolução das produções dos alunos. Enfrentamos dificuldades em

atingir o maior número de alunos no aprendizado, pois essa turma tem

problemas com alguns faltosos, e isso quebra o ritmo contínuo da sequência

de tarefas. Acreditamos que a retomada da equação do 1º grau no 8º ano do

Ensino Fundamental, trabalhada de uma forma diferenciada, com materiais

manipuláveis, atividades coloridas impressas, jogos, vídeos, atividades online

pode contribuir para o melhor desempenho dos alunos no ano seguinte, o 9º

ano, quando estudarem a equação do segundo grau.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná –

DCE (PARANÁ, 2008), consta que o aprendizado da Matemática consiste em

proporcionar estratégias que possibilitem aos alunos atribuir e construir sentido

e significado ao pensamento matemático, de maneira que possam ser capazes

de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir, apropriar-se de conceitos,

formular ideias e criar. O objetivo é que estes ampliem seu conhecimento e por

conseguinte contribuam para o desenvolvimento da sociedade (PARANÁ, 2008).

Ao longo da história, a Matemática passou por adaptações, entretanto,

mesmo utilizando o conhecimento matemático no dia a dia, algumas pessoas

apresentam dificuldades na apropriação de determinados conceitos que são

trabalhados na matemática básica; neste trabalho, destacamos a álgebra na

equação de 1º grau, com uma incógnita que é o objeto de estudo desta pesquisa.

Em nossa prática profissional, observamos que ao ensinar conteúdos

relacionados à álgebra, especialmente a equação do 1º grau, os alunos

evidenciam dificuldade na compreensão desse conteúdo. Essa dificuldade é

percebida quando os alunos realizam operações que envolvem letras e números

(adição, subtração, multiplicação e divisão).

A literatura da área aponta determinadas dificuldades evidenciadas

pelos alunos na apropriação dos conceitos algébricos. Ferreira e Veloso (2011),

por exemplo, apresentam uma reflexão sobre as dificuldades dos alunos que

iniciam o estudo da álgebra. As principais dificuldades são: 1) Natureza da

Álgebra e as dificuldades que surgem dos processos de desenvolvimento

cognitivo dos alunos e da estrutura e organização de suas experiências; e 2)

Natureza do currículo, organização das aulas e métodos de ensino usados.

Observamos que as dificuldades dos alunos na aprendizagem da álgebra

são consequência de um ensino baseado em técnicas e regras, em

procedimentos sem significação, dificultando sua capacidade de compreensão

dos conceitos que permitem a efetivação do conhecimento. Um plano de

educação algébrica, para Lins e Gimenes (1997), “[...] deve compreender dois

objetivos centrais: 1) permitir que os alunos sejam capazes de produzir

significados... para a álgebra; e, 2) permitir que os alunos desenvolvam a

capacidade de pensar algebricamente”.

Segundo House (1995), os alunos não veem aplicabilidade dos conceitos

algébricos para além do cálculo:

Em muitas salas de aula, os alunos continuam sendo treinados para armazenar informações e para desenvolver a competência no desempenho de manipulações algorítmicas. E, embora níveis adequados de conhecimento factual e de técnicas sejam resultados importantes do programa da álgebra, a necessidade maior dos alunos é uma compreensão sólida dos conceitos algébricos e a capacidade de usar os conhecimentos em situações novas e as vezes inesperadas (HOUSE, 1995, p.2).

Ao considerarmos a ideia do autor, vemos como é importante

trabalharmos de forma contextualizada sempre que possível, para que os alunos

possam ver que a matemática está inserida nas ações do seu dia a dia e que

pode ser útil para resolver as situações que possa se deparar.

Para melhor compreender as dificuldades dos alunos no ensino da

álgebra, discorremos, inicialmente, sobre alguns conceitos de álgebra que

possam ser relacionados a tais dificuldades.

Conforme o dicionário Houaiss (2004, p. 30), a álgebra “é a parte da

Matemática elementar que generaliza a aritmética, introduzindo variáveis que

representam os números(...)’’.

Nas DCE (PARANÁ, 2008, p.52), afirma-se que:

O conceito de álgebra é muito abrangente e possui uma linguagem permeada por convenções diversas de modo que o conhecimento algébrico não pode ser concebido pela simples manipulação dos conteúdos abordados isoladamente. Defende-se uma abordagem pedagógica que os articule, na qual os conceitos se complementem e tragam significado aos conteúdos abordados. Na Educação básica, é preciso estabelecer uma relação intrínseca entre pensamento e linguagem, ou seja, a linguagem algébrica entendida como expressão do pensamento matemático.

Verificamos, nos excertos, que a humanidade levou séculos para criar

uma linguagem matemática simbólica no decorrer da história.

De acordo com as DCEs (PARANÁ, 2008), o cenário educacional

brasileiro foi influenciado pelas produções didáticas europeias do século XVIII. A

álgebra e os números passaram a fazer parte do conhecimento escolar, como

aulas avulsas em matérias denominadas Aritmética e Álgebra. E nesse sentido

citamos Maccari (2007, p. 8), para quem há um novo olhar em relação ao

pensamento algébrico:

A álgebra que se conhece hoje é recente. Já o pensamento algébrico está presente desde os primórdios da construção matemática. A utilização de simbolismo na álgebra encontrou seu auge no início do século XX. Antes era privilégios de poucos. Apenas os mais dotados tinham acesso a álgebra desde a escola básica. Em consequência dessa abertura, no ensino da álgebra para todos, provocou-se uma forma de exclusão, uma vez que, nem todos conseguem aprender, formando assim, uma barreira para ascensão do aluno.

Atualmente, números e álgebra são campos de estudo que compõem os

Conteúdos Estruturantes da Matemática para o Ensino Fundamental II. As DCEs

apontam como conteúdos básicos as equações e inequações. Outro documento

que ampara a indicação do ensino da álgebra no início do 7º ano do Ensino

Fundamental II é o Caderno de Expectativa de Aprendizagem da Matemática, da

Secretaria Estadual de Educação - Seed (PARANÁ, 2012).

Quanto ao ensino da álgebra, espera-se que o aluno:

Compreenda o conceito de incógnita e o princípio de equivalência das equações; interprete e represente a linguagem algébrica no estudo das equações; reconheça e interprete inequações como uma desigualdade entre os membros de sentenças matemáticas; resolva problemas envolvendo equações e inequações (PARANÁ, 2012, p.89).

Nessa direção, percebemos a importância de se considerar as diferentes

situações relacionadas ao conceito de álgebra, em especial no ensino da

equação de 1º grau, o foco principal deste trabalho. Dessa forma, propomos

aos alunos uma sequência de atividades envolvendo diferentes representações,

que possibilitem a compreensão e a apropriação dos conceitos algébricos.

Dentre as tarefas, propomos resolução de problemas, com equação de 1º grau,

representação com gravuras de balanças, representação numérica,

representação algébricas relacionada ao desenho, propiciando a articulação

entre diferentes representações.

Por meio dessas tarefas, verificou-se que os alunos puderam desenvolver

suas habilidades matemáticas, proporcionando-lhes melhor compreensão do

conceito de equação. Na implementação das tarefas, utilizamos metodologias

que atendam às necessidades de compreensão dos alunos. Por exemplo, para

as atividades relacionadas à resolução de problemas, utilizamos

questionamentos, reflexões, levantamento de hipóteses, com base em Mendes

(2009). Para este autor

[...] A presente metodologia de ensino visa o desenvolvimento de habilidades metacognitivas, favorecendo a reflexão e o questionamento. O aluno aprende a pensar por si mesmo, levantando hipóteses, testando-as, tirando conclusões e até discutindo-as com os colegas. Atualmente, a resolução de problemas é encarada como uma metodologia de ensino em que o professor propõe ao aluno situações-problema caracterizadas pela investigação e exploração de novos conceitos (MENDES, 2009, p.71).

Objetivamos proporcionar aos alunos um contato maior com diferentes

atividades que possam contribuir para o desenvolvimento de suas habilidades

cognitivas, considerando de suma importância a intervenção do professor no

decorrer das atividades. Duval (2003, p. 14) assinala que “a originalidade da

atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros

de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo o

momento de registro de representação”. Acrescenta ser importante que o

professor proponha a atividade com diferentes representações para um mesmo

objeto matemático e execute o processo de ir e vir para que o aluno possa

assimilar o conceito apresentado.

À medida que maior exigência de compreensão dos diferentes

registros, observamos que os alunos apresentam maiores dificuldades, como

expõe Duval (2003, p. 21):

Numerosas observações nos permitem colocar em evidência que os fracassos ou os bloqueios dos alunos, nos diferentes níveis de ensino, aumentam consideravelmente cada vez que uma mudança de registro é necessária ou que a mobilização simultaneamente de dois registros é requerida. [...] existe como que um “enclausuramento” de registro que impede o aluno de reconhecer o mesmo objeto matemático em duas de suas representações bem diferentes.

Assim sendo, nesta proposta visamos explorar as diferentes formas de

representação para um mesmo objeto matemático, bem como explorar as

diversas situações nas quais o aluno possa vivenciar as diferentes

representações relacionadas ao conceito de equação, idas e vindas dessas

representações, bem como outros conceitos contextualizando situações

possíveis de fazer parte de seu cotidiano.

Realizamos a implementação da Unidade Didática com envolvimento

principal do objeto de estudo, os alunos do 8º ano do Colégio Estadual Vila

Guaíra, de Goioerê, PR, na participação das atividades propostas, havendo,

sempre que necessária, a mediação do professor.

Ministramos um total de 32 horas/aulas, sendo cinco aulas semanais,

respeitando o calendário de eventos da escola. Executamos as tarefas de

equação do primeiro grau, com diferentes representações, em uma sequência

gradativa de dificuldade, levando em conta os conhecimentos prévios dos

alunos, que realizavam atividades em duplas na maioria das vezes. Ao professor,

empreendemos direcionamentos, questionamentos e fechamentos ao término

das atividades. Discutíamos no grande grupo o caminho traçado para chegar

àquele resultado. Após as discussões, fazíamos as devidas reformulações do

conceito envolvido que julgássemos necessário.

3. DESCRIÇÃO DA IMPLEMENTAÇÃO

Neste trabalho, descrevemos a implementação de uma Unidade Didática

fundamentada na Teoria de Representação Semiótica de Raymond Duval.

Propomos aos alunos do 8º ano do Ensino Fundamental uma sequência de

tarefas com diferentes representações relacionadas ao conceito equação do 1º

grau, assim como a possibilidade de mudança de registro a todo momento para

o mesmo objeto matemático.

Organizamos a Unidade Didática em cinco seções.

Seção 1: propusemos tarefas em que o aluno, por tentativa, encontrava

valores desconhecidos sem utilizar o termo incógnita. Este realizou cálculo

mental, bem como fez uso da calculadora para encontrar a solução das

atividades.

Seção 2: apresentamos a balança de dois pratos, trabalhamos com

atividades práticas e escritas, demonstramos a relação da balança com a

equação e a resolução de tarefas com representação de balança.

Seção 3: elaboramos uma sequência de problemas na linguagem natural,

que após lidos e interpretados, foram resolvidos pelos alunos de forma algébrica.

Seção 4: apresentamos diversas modalidades de tarefas, tais como,

equações algébricas, na linguagem natural na forma de situação problema,

equações na balança,

Os alunos representaram a equação da forma algébrica, por meio de

desenhos com balança e as resolveram. Analisaram as figuras com balança,

elaboraram problemas na linguagem natural e encontraram a solução.

Representaram a equação algébrica, com uma situação problema na linguagem

natural. Tais problemas eram representados com desenhos de balança. Os

problemas na linguagem natural foram representados na forma algébrica. As

equações algébricas também foram resolvidas e verificados os resultados.

Ao término de cada uma das quatro primeiras seções, foi solicitado aos

os alunos que fizessem o registro escrito, conforme solicitávamos, em cada

uma. Esse material foi uma forma de o professor avaliar a compreensão do

conceito de equação do 1º grau por eles. Além disso, observamos as ações dos

alunos durante o desenvolvimento das atividades.

Seção 5: elaboramos material de apoio, utilizado nos momentos em

que julgamos necessário, tais como para introduzir ou fixar o conceito de

equação, e ao mesmo tempo proporcionar interação entre os alunos, tornando a

aula mais agradável.

A seção 5 foi composta por quatro jogos. Um Baralho cocrimat, Pescaria

das equações, Construindo as equações e Dominó de Equações. Colocamos

quadrados mágicos, resolução da equação através da balança (online) no

laboratório de informática e passamos um vídeo: Introdução à Álgebra – Ens.

Fund. – Telecurso.

Ao desenvolver essa Unidade Didática com os alunos do 8º ano, estes

puderam resgatar os conhecimentos trazidos do ano anterior, reformular e

confirmar os conceitos que se fizeram necessários a cada seção proposta.

Procuramos trabalhar, na medida do possível, uma metodologia que

favorecesse a participação dos alunos nas atividades. Estes realizaram

atividades práticas com uso de uma balança de dois pratos, elaboraram e

resolveram problemas. Muitas atividades digitalizadas foram resolvidas com o

uso do caderno. Assistiram a um vídeo, fizeram uso do laboratório de informática,

resolveram as equações com balança (online) e houve momentos de jogos.

Para realizar essas atividades, organizamos os alunos em grupos de 4

alunos, na maioria em duplas e individual.

Percebemos que a metodologia adotada para as atividades propostas,

assim como a forma de organização dos alunos, contribuíram para que

houvesse, em vários momentos, a participação ativa deles no desenvolvimento

das tarefas. Ficamos atenta o tempo necessário a cada aluno para a realização

das tarefas. Tempo esse para pensar, traçar estratégias de resolução, interagir

com o colega. Ao final de cada grupo de tarefas, os alunos tinham a oportunidade

de socializar os resultados com os demais grupos.

As duplas eram chamadas para resolverem os problemas no quadro. Os

alunos que estavam sentados diziam os resultados, e caso houvesse

divergência, eram feitos questionamentos pelo professor e empreendidas as

correções necessárias. Outras vezes, as duplas passavam o resultado para o

professor, que escrevia no quadro e com a participação dos alunos resolvia os

exercícios.

Ao observarmos a participação e a reação dos alunos durante a

realização das tarefas, pudemos avaliar o seu rendimento. Foi recolhido no final

das seções 1, 2, 3 e 4, um relato numa ficha, sobre o seu entendimento das

tarefas realizadas, conforme era solicitado a cada uma delas, que também serviu

como instrumento de avaliação.

Descrição das atividades e análises de respostas dos alunos

A Unidade Didática foi composta de trinta e três atividades, que foram

desenvolvidas no decorrer da implementação, vale ressaltar que a seção 5, foi

composta por 7 atividades, dentre elas jogos, atividades online, vídeo e

quadrados mágicos, que serviram de suporte no decorrer das aulas.

Na sequência deste texto serão apresentados a descrição de algumas

tarefas da Unidade Didática, que a meu ver considero mais significativas para a

construção e reformulação do conceito de equação do primeiro grau, por serem

tarefas que permite ao aluno visualizar, relacionar, formular, discutir situações

relacionadas a construção e meios de resolução da equação do 1º grau, de forma

que proporcione melhoria no seu aprendizado. As atividades selecionadas

foram: atividade 2 da seção 1, atividade 7 da seção 5, atividade 4 da seção 2,

atividade 6 da seção 3, atividade 1 e 2 da seção 4, atividade 1 e 4 da seção 5.

Procurei observar nas atividades dos alunos quais delas, eles se motivaram mais

para realizar e quais apresentaram maior dificuldades.

A atividade apresentada a seguir trata-se da segunda atividade da seção

1 da Unidade Didática.

Atividade 2: Encontre o valor desconhecido e insira esse valor nos

quadrados azuis:

a) 45 . + 3 = 93 b) 3 . + 1 = 82

c) -3 . + 8 = - 13 d) 4 . + 2 . = 18

i) 3

+ 4 . = 39 j) 4

+ 10

-1 = 20

Essa atividade tinha os seguintes objetivos:

- Identificar o número desconhecido representado pelo quadrado azul;

- Reconhecer as operações envolvidas e a ordem de resolução nas sentenças

matemáticas;

- Utilizar de forma correta a regra de sinais, quando necessário.

Pontuamos que essa atividade foi realizada pelos alunos em duplas. Eles

receberam a folha com a atividade impressa, e com uso de uma calculadora, por

tentativa, procuravam descobrir qual o valor do quadradinho azul e o

preenchiam.

Figura 1 - foto – Encontrando o valor do quadrado azul

Ao analisarmos as respostas, identificamos que a maioria dos alunos

realizaram bem as atividades até chegar às equações que apresentavam

divisões e à presença de dois quadradinhos. Eles questionaram se seria o

mesmo valor para os dois quadradinhos. Proporcionamos, então, um tempo

maior até que as primeiras duplas encontrassem a solução. A professora

retomou as regras de sinais (- . - = +); (+ . + = +); (+ . - = -) ; (- . + = - ) e

proporcionou momentos de discussões junto aos alunos acerca dessa questão

e sua ordem de resolução, esclarecendo que primeiro resolvem-se a

multiplicação e divisão, depois a adição e a subtração na ordem em que aparecer

primeiro.

A seguir, apresentamos um vídeo aos alunos, atividade de número 7,

seção 5.

Atividade 7 – Vídeo: Introdução à Álgebra - Matemática - Ens. Fund. –

Telecurso: https://www.youtube.com/watch?v=cmArBubLH20

Essa atividade teve como objetivo Ilustrar e revisar o conceito e resolução

da equação do primeiro grau com uso da balança e sua aplicabilidade. Esse

vídeo apresenta situações do cotidiano que podem ser resolvidas usando a

equação de primeiro grau. Também aborda o uso da balança e sua relação com

a equação e o conceito de incógnita. A O vídeo foi passado aos alunos antes de

iniciar as atividades com a balança e serviu para introduzir o trabalho com uso

dessa ferramenta (balança).

Após assistirem ao vídeo, empreendemos alguns questionamentos aos

alunos para verificar o seu entendimento. Voltamos para a sala de aula, onde

levamos uma balança de dois pratos com pesos de 50g, 100g, 500g, e alguns

objetos como bolinhas de borracha, caixa com peso (massa) desconhecido. Os

alunos manusearam a balança, criaram situações problemas e descobriam o

peso de objetos que eles mesmo escolhiam (celular, pulseira, estojo, caneca,

colher e outros).

Nesse momento, formalizamos a ideia de como surge a incógnita, que

pode ser o próprio objeto ou apenas a sua letra inicial. Também o conceito de

equilíbrio, igualdade e desigualdade que eles mesmos verificavam e iam

tentando equilibrar a balança trocando seus pesos, acrescentado ou tirando de

ambos os lados. Analisando a balança, podiam relacionar os dois pratos ao 1º e

2º membros da equação. Muitas das equações montadas na balança eram

representadas no quadro na forma algébrica pelos alunos com a participação da

professora quando necessário.

Figura 2 foto – Encontrando o equilíbrio da balança.

Fonte: Acervo da autora.

A atividade a seguir é quarta da seção 2.

4 - A figura a seguir tem dois potes de doce, ambos com o mesmo peso.

Figura 5: Procurando a massa do pote de doce

Fonte: A autora.

a) Descreva como você faria para descobrir a massa (peso kg) de cada um dos

potes de doce.

_______________________________________________________________

b) Indique com uma letra o pote de doce. _______________________________________________________________

c) Traduza o equilíbrio da balança por meio de uma equação e resolva.

_______________________________________________________________

d) Qual o valor de cada pote de doce? __________________________________________________________ Os objetivos dessa atividade foi:

- Proporcionar o conceito de equilíbrio.

- Mostrar que a ação de um lado da balança é contrário ao outro lado, quando

temos que equilibrá-la.

- Perceber a relação da balança com a equação.

- Fazer a leitura da balança de forma algébrica.

- Identificar os valores solicitados nas balanças em equilíbrio.

Essa atividade foi realizada em duplas. Os alunos puderam analisar a

balança em equilíbrio usar estratégias e troca de ideias para a resolução. Ao

término, percebemos que a maioria resolveu com cálculo mental. Alguns

alunos, início, disseram “eu não sei”, mas aos poucos acabaram fazendo.

Quanto às respostas da letra (a): alguns escreveram que analisaram o lado

esquerdo com 1500g e o que faltava no lado direito para juntar com 300g para

completar 1500g também ficar em equilíbrio. Em seguida, dividiam esse valor

por dois potes.

Outra resposta: tiraram 300g, do lado esquerdo e do lado direito. O que

sobra no lado direito equilibra com os 2 potes de doce, então dividem por dois

potes que dá 600g cada um. A maioria escreveu a equação que representa a

balança sem muita dificuldade, poucos pediram ajuda. A incógnita mais

escolhida foi “d”, de doce e “p” de pote e “x”.

Para concluir a atividade, realizamos a correção nas folhas, e em seguida

a professora da turma fez uma apresentação relatando as diferentes formas que

os alunos utilizaram para realizar a tarefa (já relatadas) e pontuou que todas

foram válidas, uma vez que estes chegaram à resposta certa. Destacamos que

alguns alunos não sabiam quantos gramas era 1 kg. Houve também uma

revisão breve de algumas medidas de massa mais usadas.

A atividade apresentada a seguir, refere-se à sexta atividade da seção

3 da Unidade Didática.

6 – Lucas comprou um celular por R$ 875,00 e 4 pendrives de valores iguais,

gastando no total R$ 979,00. Que valor Lucas pagou em cada pendrive?

- Representar o valor desconhecido por uma letra: ________________________

- Represente o problema na forma de equação __________________________

- Resolva a equação_______________________________________________

Figura 3 foto – encontrando o valor de x - Produção do aluno

Fonte: Acervo da autora.

Objetivos:

- Perceber a utilidade da equação para resolver problemas.

- Leitura e interpretação do texto.

- Escrever a situação problema na forma simbólica.

- Encontrar a solução.

A atividade proposta de resolução problemas foi realizada em duplas.

Antes dessa atividade, os alunos realizaram várias tarefas de passar da

linguagem natural para forma algébrica, e fizeram muitos questionamentos.

Retomamos no início da seção a resolução da equação pelo processo da

operação inversa, em que alguns alunos se lembravam de algumas coisas a

esse respeito e outros não. Observamos nessa tarefa que os alunos têm

dificuldade em interpretar problemas, pois não se concentram muito na leitura;

outro obstáculo foi passar da linguagem natural para a forma algébrica. Demos-

lhes um tempo até que chegassem à representação algébrica do problema.

Alguns alunos realizaram a atividade, mas também fizeram perguntas ao

professor.

Ao analisarmos a Figura 3, verificamos que o aluno se esqueceu que o

coeficiente de x, o 4, não podia continuar no 1º membro, uma vez que passou

para o 2º membro dividindo. Outros alunos tiveram dificuldade ao passar para

linguagem algébrica, muitos erraram na resolução no momento de fazer a troca

de sinais e isolar a incógnita. Melhoraram conforme faziam mais atividades.

Como forma de aumentar a compreensão dos alunos, permitimos a troca nas

duplas, em que os que tinham mais entendimento ajudava os que não estavam

conseguindo realizar.

A cada três situações problema, o professor fazia uma pausa para discutir

as soluções e fazer as intervenções necessárias com a correção. Nesse sentido,

citamos Duval (2003) e a Teoria que fundamenta este trabalho, quando o autor

afirma que conhecer e articular diferentes representações para um mesmo objeto

automático é um caminho para a compreensão do conceito.

Diante das dificuldades apresentadas pelos alunos, verificamos a

importância de continuar trabalhando dessa forma, com diferentes

representações, inclusive com outros conteúdos, para que o conceito possa

se estabelecer.

Ao término da seção 3, solicitamos ao aluno que escrevesse como o uso

da equação pode auxiliar a resolução de problemas? Escrever a situação

problema que pudesse ser resolvida por meio de uma equação.

Destacamos algumas respostas dos alunos:

Resposta do aluno 1 – Quando a gente transforma o problema numa

equação, fica mais fácil resolver.

Problema elaborado pelo aluno 1: Comprei 5 vidros de esmalte, paguei

10 reais que devia na loja e gastei 34 reais. Quanto custou cada esmalte?

Resposta do aluno 2 – Quando você lê o problema e já tem em mente

como fazer a equação fica fácil. Mas as vezes é difícil de montar.

Problema elaborado pelo aluno 2: Comprei 3 pacotes de pipoca e paguei

10,50. Quanto custou cada pacote?

Nesse momento, citamos a contribuição de uma cursista do GTR. Esta

sugere que quando possível, deve-se realizar uma dramatização da situação

problema. Assim, o professor poderá melhorar a compreensão do aluno, pois a

equação ganha sentido quando se torna clara, o que facilita a resolução dos

problemas.

A seguir, temos a primeira atividade da seção 4 da Unidade Didática:

1 – Dê significado a cada uma das equações na forma algébrica, desenhando

uma balança de dois pratos e colocando em cada um dos pratos suas

respectivas informações: Em seguida, encontre o valor de x.

a) X + 17 = 30 b) X + X + 4 = 30 c) 2.X + 10 = 60

b)

a) 3.X + 15 = 60 e) X + 12 = 16 f) 3.X + 7 = 2.X+ 1

b)

Essa atividade teve como objetivos:

- Perceber a relação da equação na representação algébrica para a figura

(balança de dois pratos) e encontrar o valor de x.

A atividade foi realizada em dupla. Os alunos analisaram, trocaram ideias

e cada um fez sua tarefa. A seguir, reproduzimos alguns resultados:

Figura 4 foto – Construindo a balança de dois pratos. Produção do aluno 1

Fonte: Acervo da autora.

Figura 5 foto – Construindo a balança de dois pratos. Produção do aluno 2 Fonte: Acervo da autora.

Figura 6 foto – Construindo a balança de dois pratos. Produção do aluno 3 Fonte: Acervo da autora.

Figura 7 foto – Construindo a balança de dois pratos. Produção do aluno 4. Fonte: Acervo da autora.

Ao acompanhar a realização da tarefa, de representar as equações de

forma algébrica, por meio de desenhos com balança de dois pratos e colocar em

cada prato suas respectivas informações, pudemos perceber nas atividades

prontas, que os alunos apresentaram algumas dificuldades na compreensão. O

aluno 1 (Figura 4) e o aluno 2 (Figura 5) representaram corretamente as

equações. O aluno 3 (Figura 6), ao representar os produtos na tarefa (c, d, f),

não colocou as incógnitas separadas. Já o aluno 4 (Figura 7), no momento de

representar os produtos errou, colocou as incógnitas separadas e ainda

representou o coeficiente de x.

No geral, verificamos que a dificuldade maior surge na representação do

produto. Para encontrar o valor de x, alguns alunos conseguiam analisar o

desenho e queriam só colocar o resultado final. Outros calcularam no caderno.

Ao término, a professora recolheu as folhas e fez uma discussão com os alunos,

citando alguns trabalhos que estavam corretos e porque estavam. Uma parte

dos alunos que apresentaram erros, nesse momento conseguiram identificá-lo.

O professor fez nova explicação, discutiu os resultados e devolveu para aqueles

que precisavam arrumar.

Nessa direção, Duval (2003) assinala que o “enclausuramento” de

registro pode impedir o aluno de reconhecer o mesmo objeto matemático em

suas diferentes representações. Percebemos a importância em não se limitar a

um único tipo de representação, tornando o aluno limitado a encontrar

alternativas para a solução de tarefas.

A seguir, temos a segunda atividade da seção 4 da Unidade Didática.

2 – Agora para cada balança elabore uma situação problema e depois

encontre o valor de cada pacote.

Figura 11: Balanças de dois pratos Fonte: Hummes (2014).

a) ______________________________________________________________________

b) ______________________________________________________________________

Essa atividade teve como objetivo:

- Perceber a relação da equação na representação da forma figural (balança),

para linguagem natural.

Para a realização dessa atividade, organizamos os alunos em duplas.

Cada aluno recebia uma atividade e eles podiam interagir, trocar ideias, levantar

hipóteses, porém cada um deveria escrever um problema diferente. A princípio,

os alunos acharam difícil a realização dessa tarefa, diziam não saber o que

escrever, ficavam pedindo ajuda para o professor.

A ideia que temos é que toda atividade que requer maior concentração

e raciocínio os alunos fazem críticas, possivelmente por exigir mais esforço,

concentração e pelo fato de não estarem acostumados com tarefas

diferenciadas. Mas, aos poucos, eles foram se familiarizando com a situação e

as ideias surgiram. Eis alguns resultados obtidos:

Figura 8 – Elaborando situação problema. Produção do aluno 1 Fonte: Acervo da autora.

Figura 9 – Elaborando situação problema. Produção do aluno 2 Fonte: Acervo da autora.

Assinalamos que o aluno 1 (Figura 4) conseguiu realizar a atividade com

clareza e entendimento. O aluno 2 (Figura 5) não deixa bem clara a sua ideia

quando não menciona que as caixas citadas são de mesmo peso (massa). Vale

ressaltar que alguns alunos que tiveram dificuldade e não se empenharam em

resolver a atividade, tentavam copiar do outro colega, pois as atividades eram

vistadas e atribuídos conceitos.

Para encontrar o peso do pacote, os alunos fizeram cálculo mental. Esse

cálculo foi discutido na sala, com a mediação do professor, que colhia as

respostas no quadro, e depois, com a participação do aluno, discutia e conferia

os resultados obtidos. Alguns tipos de perguntas feitas pelo professor: Como

você fez para chegar a esse resultado? Alguém fez diferente? Onde foi que você

errou? O que pensou?

A seguir, apresentamos a primeira e a quarta atividade da seção 5. São

jogos da Unidade Didática. Nesse âmbito, citamos

Os jogos promovem interação e troca de ideias entre os alunos por ser uma atividade realizada em grupo. Eles precisam discutir, argumentar e avaliar as jogadas um do outro. Essa interação proporciona conquistas no aspecto cognitivo, emocional, moral e social, e também estimula o desenvolvimento do raciocínio lógico (TOSATTO, PERACCHI, ESTEPHAN, 2002, p.6).

Destacamos que os momentos trabalhados em grupo durante os jogos

foram fundamentais para o desenvolvimento e fixação das atividades propostas,

até mesmo na tomada de decisões em relação a eventuais mudanças nas regras

do jogo que viessem a melhorar o interesse e a participação do aluno.

- Jogo 1: Baralho Cocrimat. São 36 cartas. O número de jogadores pode

ser 2,3,4 ou 6.

Objetivo: Estimular o cálculo mental.

- Jogo 4: Pescaria de Equações do 1º grau

Material: 20 cartas com equações do 1º grau e 20 cartas com as raízes

dessas equações. [Download do material (SUGESTÃO)]

Objetivo: Formar pares de cartas com equações do 1º grau e sua

respectiva raiz.

Esses jogos foram realizados em grupos de 4 alunos, em duplas e até

individualmente. Após ser trabalhado o conceito de equação com a balança de

dois pratos e resolverem várias atividades impressas, os alunos passaram a

realizar os jogos, que foi proposto em diversos momentos da implementação.

As regras foram explicadas pelo professor, alguns detalhes anotados no quadro

e houve orientação do professor nos grupos.

Após algum tempo, percebemos que os alunos não estavam muito

empolgados, não se empenharam em aprender as regras e logo quiseram parar

de jogar. O jogo foi recolhido e repensado por nós. Levamos novamente em

outros momentos, mudamos as regras do jogo. Nesse momento, os alunos

jogaram e apenas encontraram os pares, e através do cálculo mental, foi

permitido o uso da calculadora e a troca de ideia com o colega. Os alunos

pegavam uma carta no monte das equações e procuravam no outro monte a sua

raiz. Ao término, o professor fazia a conferência, e caso houvesse algum erro,

era discutido para mostrar o conceito certo. Em alguns momentos, os alunos

competiam para ver quem acertou mais, uma forma de estimular a realização

da atividade. Dessa vez, ficaram mais envolvidos e o jogo contribuiu para

reforçar o aprendizado. Houve alunos que apresentaram dificuldades para

encontrar seus pares, especialmente quando o resultado era diferenciado no

sinal.

Ao usar jogos como atividade de ensino, além de buscar o

desenvolvimento do raciocínio lógico, acreditamos que o uso de material

manipulável aumenta a motivação e superação de barreiras.

A esse respeito, corroboramos Vygostsk, quando afirma que

No jogo a criança está sempre além do que sua média de idade, mais além do que seu comportamento cotidiano...no jogo é como se esforçasse para realizar um salto acima do nível do seu comportamento habitual (apud VIGOSTSKY, LURIA, LEONTIEV, 2001, p.12).

Ao proporcionar o desafio com jogos ao aluno, podemos estar

despertando seu interesse em ultrapassar seus limites e melhorar seu nível de

compreensão dos conteúdos trabalhados.

Figura 10 Foto – Baralho Cocrimat: encontrando os pares. Ação do aluno.

Fonte: Acervo da autora.

Figura 11 foto - Pescaria das equações: encontrando os pares. Ação do aluno. Fonte: Acervo da autora.

4.Considerações Finais

Ao término deste trabalho, em que desenvolvemos uma sequência de

tarefas matemáticas envolvendo as diferentes representações do conceito de

equação do 1º grau (com uma incógnita), intencionamos propiciar a

compreensão desse conceito matemático aos alunos do 8º ano do Ensino

Fundamental.

Utilizamos diversas representações relacionadas à equação do 1º grau

(com uma incógnita), buscando atingir o maior número de alunos na apropriação

desse conceito bem como oportunizar aos alunos várias situações que lhes

permitam aprimorar seus conceitos sobre equação do 1º grau. Pontuamos que

trabalhar com equação do 1º grau na implementação dessa produção didática

foi desafiador, visto que os alunos apresentam dificuldades em relação à

aprendizagem da álgebra, mais especialmente da equação.

Acreditamos que com essa proposta de trabalho as aulas

proporcionaram maior significado ao conteúdo trabalhado, referente a equação

do 1º grau com as diferentes representações, pois contempla muitas opções de

tarefas e atividades que possibilitam uma aprendizagem mais eficaz. A

elaboração da sequência de atividades para o estudo das equações foi de suma

importância, pois sempre houve a preocupação em ouvir e envolver os alunos

nas atividades propostas, dando-lhes a oportunidade de entender o processo

de resolução de equações, podendo comprovar e registrar os cálculos

encontrados. A metodologia proporciona um envolvimento maior dos alunos,

porque eles puderam analisar discutir e tirar conclusões sobre o conceito

estudado.

À medida em que as atividades foram desenvolvidas, verificamos a

evolução das produções dos alunos. Enfrentamos dificuldades em atingir o

maior número de alunos no aprendizado, pois essa turma tem problemas com

alguns faltosos, e isso quebra o ritmo contínuo da sequência de tarefas. A cada

dia, relembrávamos o que os alunos tinham estudado na aula anterior para

então prosseguir com novas atividades. Caso houvesse dúvidas, e houve, era

feita retomada do conteúdo.

Ao observar as atividades orais e escritas dos alunos e seus relatos no

decorrer das aulas, avaliamos a compreensão do conceito trabalhado, e

salientamos que devemos estar sempre atentos aqueles alunos que querem

pegar a ideia do outro colega e tentar passar uma informação que não é real.

Esse trabalho nos mostrou que parte dos alunos demonstraram melhoras

significativas no aprendizado das equações, mas que devemos estar atentos a

maneira como o aluno aprende melhor, entender como ele pensa, porque erra,

analisar seu erro e oferecer nova oportunidade de tarefas que ajudem a

formalizar o conceito correto do conteúdo trabalhado, para que possamos atingir

sempre o aprendizado para um número maior de aluno.

O material produzido foi muito bom, bem elaborado e poderá contribuir

com o trabalho de outros professores no ensino das equações do 1º grau. Os

materiais confeccionados, como balança de dois pratos, jogos, já se encontram

disponíveis na escola.

REFERÊNCIAS

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TOSATTO, Mirian Claudia; PERACCHI, Edilaine do Pilar F; ESTEPHAN Violeta M. Ideias e relações. Matemática 7ª série.Curitiba, PR: Nova Didática Editora, 2002. VELOSO, Débora Silva; FERREIRA, Ana Cristina. Uma Reflexão Sobre as Dificuldades dos Alunos que se Iniciam no Estudo da Álgebra. 2011. Disponível em: <http://www.repositorio.ufop.br/bitstream/123456789/1292/1/EVENTO_ReflexãoDificuldadesAlunos.pdf>. Acesso em: 15 jun. 2016. VYGOTSKY, L: LURIA. A. & LEONTIEV. A. Linguagem, desenvolvimento e aprendizagem. Trad. Maria da Penha Villalobos. São Paulo: Ícone. 2001.