UNIVERSIDADE DE SO PAULOINSTITUTO DE FÍSICA DE SO CARLOSMODELOS DE VÉRTICES EXATAMENTE INTEGRÁVEIS

Anderson Augusto FerreiraDissertação apresentada aoInstituto de Físi a de São Carlos,Universidade de São Paulo,para a obtenção do título de Mestre em Ciên ias: Físi a Bási a

Orientador: Prof. Dr. Fran is o Castilho Al arazSão Carlos, Março 2005

Aos meus familiares e aos meus amigos .i

Este trabalho teve apoio nan eiro da FAPESP .ii

A g r a d e i m e n t o s• Ao professor Fran is o Castilho Al araz, pelo grande esforço que tem feito no meupro esso de formação ientí a.• A minha mãe, ao meu irmão, e ao meu amigo Justino, que me deram muita forçanos momentos difí eis de minha vida.• Ao meu Amigo Matheus, pelas longas onversas sobre Físi a e Matemáti a.

iii

R e s u m oNesta dissertação, mostramos as primeiras apli ações do re ém riado Ansatz doProduto Matri ial [8 na solução exata das matrizes de transferên ia asso iadas amodelos de vérti es. A integrabilidade dos modelos é obtida diagonalizando-se amatriz de transferên ia diagonal-para-diagonal. Foram estudados duas lasses demodelos.Na primeira delas introduzimos novos modelos de vérti es, que denominamos demodelos de 5 vérti es interagentes. Nestes modelos os vérti es além das interaçõesusuais de vizinhos próximos, dadas pela regra do gelo, possuem também interaçõesde natureza repulsiva ao longo da diagonal. O famoso modelo de 6 vérti es é obtidonum limite parti ular deste novo modelo.O espe tro da matriz de transferên ia, analogamente ao que a onte e no ansatz deBethe tradi ional é dado em termos da solução de equações não lineares. Um estudoanalíti o e numéri o destas equações foi feito para o modelo de 6 vérti es que está ontido nesta primeira lasse de modelos. Tais resultados, juntamente om as idéiasde invariân ia onforme, nos permitiram estudar o modelo em seu regime ríti o.A segunda lasse de modelos que estudamos foram os modelos de 10 vérti es quesatisfazem às regras do gelo. Obtivemos todos os possíveis modelos exatamente inte-gráveis desta lasse, reobtendo resultados da literatura bem omo novos resultados.

iv

Abstra tIn this dissertation we present the rst appli ation of a re ent introdu es MatrixProdu t Ansatz [8, in the exa t solution of the transfer matri es asso iated to ver-tex models. The exa t integrability is obtained thruong the diagonalization of thediagonal-to-diagonal transfer matrix. We studied two lasses of models. In the rstone we introdu e new vertex models, thet we all as intera ting 5 vertex models. Onthese models beyond the nearest-neighbour intera tions amongthe vérti es, imposedby the i e rule, they also have repulsive intera tions along the diagonal. The famous6 vertex model is just a spe ial asethis lass of models.The eigenspe trum of this transfer matrix, analagously as in the the traditionalBethe ansatz, is obtained in terms of the roots of non linear equation. An analiti ale numeri al study of these equations we done in this ase of the 6 vertex model wi his an spe ial ase of the models onsidered on the rst lass. These results togetherwith the ma hinary omming from onformal invarian e allow us the study the modelon its riti al region.The se ond lass of models we onsidered were the 10 vertex models that satisfy i erules we obtained all the possible exa t integrabel models on this lass, rederivingearlier results on the literature as were produ ing new ones.

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Conteúdo1 Introdução 12 Modelos de vérti es om ondições de ontorno toroidais espe iais 92.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Lo alização das e has na rede e a matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Modelos de 5 vérti es interagentes 153.1 Modelo de 5 vérti es om domínio de interação s xo . . . . . . . . . 163.2 Modelo de 5 vérti es om domínio de interação svariável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Diagonalização da matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal domodelo de 5 vérti es interagentes dedomínio de interação s variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Estrutura dos autovalores da matriz de transferên ia do modelo de seisvérti es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.1 Soluções Numéri as para adeias nitas . . . . . . . . . . . . 363.5 Limite Termodinâmi o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.2 ∆ > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45i

3.5.3 −1 < ∆ < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5.4 ∆ < −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6 Conteúdo operatorial do modelo de 6 vérti es a partir da matriz detransferên ia diagonal-para diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6.1 Velo idade do som em ∆ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6.2 Estados ex itados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 624.1 Des rição do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2 Diagonalização da matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal as-so iada ao modelo de 10 vérti es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3 Análise das soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835 Con lusão 886 Bibliograa 91

ii

Capítulo 1IntroduçãoNo iní io do sé ulo 20, Niels Bohr e a físi a holandesa J.H. Leeuwen mostraramque em qualquer temperatura nita, e para quaisquer ampos elétri os e magnéti osnitos, a magnetização resultante de uma oleção de elétrons em equilíbrio térmi oé identi amente igual a zero. Tal demostração ontrariava a experiên ia, pois desdea era grega, o homem já tinha onhe imento da existên ia de materiais magnéti os.Evidentemente om essa demonstração, a teoria lássi a mostrava-se in apaz de ex-pli ar o omportamento magnéti o dos materias. Apenas om o advento da Me âni aQuânti a foi possível entender que a prin ipal ausa do magnetismo era devido à in-teraçâo oulombiana e a simetria imposta pelos spins dos elétrons.Ising em 1925, props um modelo semi- lássi o de spins em uma dimensão, om oobjetivo de tentar expli ar a transição de fase do estado paramagneto para o estadoferromagneto, e onsequentemente estruturar a teoria dos materias magnéti os. Oseu modelo era ara terizado pela Hamiltoniana

E(X) = −J

L∑

i=1

sisi+1 − h

L∑

i=1

si, (1.1)onde J, h são onstantes que dão onta das interações dos spins entre si e om um ampo magnéti o externo, respe tivamente. O onjunto X = s1, . . . , sL ara teriza

Capítulo 1. Introdução 2as possíveis ongurações da rede. As variáveis sk, k ∈ (1, . . . , L) assumem doispossíveis valores (1,-1), orrespondendo às duas possíveis orientações dos spins em ada sítio i(i = 1, . . . , L) da rede.Baseando-se neste modelo, Ising al ulou exatamente a função de partição, e on-sequentemente obteve as grandezas termodinâmi as. A on lusão de seus ál ulosindi avam para ampo magnéti o externo nulo, a existên ia de uma transição de fasedo estado paramagneto para o estado ferromagneto somente em T = 0, ontradizendoos resultados experimentais que indi avam transições de fase em T 6= 0. Em virtudedeste fato, Heisenberg props em 1928 um modelo quânti o de spin. Neste modelo,que passou a ser hamado de modelo de Heisenberg, as variáveis de spin são tro adaspor matrizes de Pauli, isto é,H = −J

∑

<r,r′>

( ~σr~σr′ − 1) − h

∑

<r>

σzr , (1.2)onde ~σr = (σx

r , σyr , σz

r ) são as matrizes de Pauli de spin 12 , lo alizados nos sítios ~r darede, e < r, r

′> são as oordenadas dos vizinhos próximos na rede.A versão unidimensional deste modelo foi resolvida em 1931 por Hans Bethe. Em1966 Yang e Yang [1 resolveram a versão anisotrópi a do modelo de Heisenbergunidimensional. No ano seguinte Lieb [2 resolveu o modelo de seis vérti es quedis utiremos abaixo. Ambas as soluções foram obtidas utilizando-se as idéias deBethe. Ini iava-se então, a era dos sistemas exatamente integráveis.A idéia do ansatz de Bethe 1 onsiste em es rever as autofunções (estado de Bethe)do operador (Hamiltoniano ou matriz de transferên ia), omo uma ombinação lineardos vetores de base sendo as amplitudes ombinações lineares de ondas planas.A apli ação do operador a ser diagonalizado nos estados de Bethe forne em relaçõesque no aso do modelo ser exatamente integrável, são simultâneamente satisfeitas.1Esta versão original do ansatz de Bethe é omumente denominada por ansatz de Bethe de oordenadas

Capítulo 1. Introdução 3Tais relações são expressas por um onjunto de equações não lineares denominadaspor equações do ansatz de Bethe. O espe tro do operador é obtido mediante aresolução destas equações.O modelo de seis vérti es foi proposto em 1932 por L. Pauling para expli ar a entropiaresidual (entropia por sítio) não nula no zero absoluto de algumas substân ias, omopor exemplo o monóxido de arbono, hidrogênio e o gelo. Pauling, numa versão sim-pli ada adimitiu que o ristal de gelo fosse formado por um arranjo ristalino em queos oxigênios o upassem os vérti es de uma rede quadrada e os hidrogênios as ligaçõesda mesma (pontes de hidrogênio). Estas ligações deveriam satisfazer à seguinte regra.Regra do gelo: Ao redor de um átomo de oxigênio existem outros 4 átomos deoxigênio numa distân ia de 2.76 Angstrons. Os oxigênios são ligados por pontes dehidrogênio, que orrespondem a um poço duplo de poten ial om mínimo às distân- ias de 0.95 Angstrons e de 1.81 Angstrons. Para a neutralidade lo al de arga aoredor de ada oxigênio, dois dos hidrogênios devem estar à distân ias menor e doisà distân ias maior.Segundo esta regra temos 6 possibilidades (vérti es) de arranjar os hidrogênios aoredor de um átomo de oxigênio. Mostramos na primeira leira da gura 1 umapossível representação da regra do gelo. Nesta gura as setas entrando representamos hidrogênios próximos e as setas saindo representam os hidrogênios mais distantesde um determinado oxigênio que situa-se no vérti e.Quase trinta anos mais tarde, Lieb diagonalizou de forma exata a matriz de trans-ferên ia (linha-para-linha) asso iada ao modelo de 6 vérti es, para o aso espe ialem que todas as energias eram iguais (e1 = e2 = . . . = e6 = e), entretanto nomodelo mais geral de seis vérti es [3 podemos atribuir energias distintas para ada onguração lo al de oxigênios que seguem a regra do gelo, omo denotado na gura1.

Capítulo 1. Introdução 4

e0 e e e e e1 2 3 4 5Figura 1.1: Energias dos vérti es.Modelos om valores espe iais de energias tem re ebido diferentes denominações naliteratura [3. O modelo onhe ido omo KDP , que des reve o omportamentoferroelétri o em baixas temperaturas do di-hidrogênio fosfato de potássio é obtidoquando e1 = e2 = 0, e3 = e4 = e5 = e6 > 0. Um outro modelo onhe ido pormodelo F ara teriza o omportamento antiferroelétri o. As energias deste modelosão e1 = e2 = e3 = e4 > 0, e5 = e6 = 0.Por outro lado, a representação de pro essos esto ásti os interagentes em termos de adeias quânti as de spins tem produzido uma frutífera onexão entre a me âni aestatísti a do equilíbrio e a do não equilíbrio. O mapeamento entre estas duas áreasdeve-se à similaridade entre a equação mestra que des reve as utuações temporais denão equilíbrio de um dado pro esso esto ásti o e as utuações quânti as no equilíbriode adeias quânti as de spin.A onexão matemáti a entre o equílibrio e o não equilíbrio revela que algumas adeiasquânti as que des reve ertos pro essos esto ásti os interagentes são exatamente in-tegráveis via ansatz de Bethe.Mais re entemente, ao longo da dé ada de noventa e iní io desta dé ada [30-[31,surgiram trabalhos onde se mostravam que a distribuições esta ionárias de proba-bilidades de alguns modelos esto ásti os, poderiam ser expressos em termos de um

Capítulo 1. Introdução 5ansatz de produto de matrizes (Matrix Produ t Ansatz). De a ordo om este ansatzas omponentes do autovetor do estado fundamental são dadas em termos de um pro-duto de matrizes. Estas omponentes, a menos de uma onstante de normalização,são xas pelas relações de omutação das matrizes, denindo deste modo o ansatzde produto de matrizes. Estes modelos são em geral não exatamente integráveis, e oansatz do produto de matrizes somente forne e o autovetor do estado fundamental doHamiltoniano quânti o asso iado ao modelo esto ásti o, em ontraposição ao ansatzde Bethe a ima men ionado, em que um número innito de autofunções são obtidas.Re entemente surgiu um novo ansatz de produto de matrizes na área de modelosesto ásti os interagentes, ansatz este denominado por ansatz do produto matri ialdinâmi o (Dynami Matrix Produ t Ansatz [4). De a ordo om este ansatz, a dis-tribuição de probabilidade do modelo é dada por um produto de matrizes não apenaspara o estado esta ionário, mas sim para um tempo arbitrário. O ansatz do produtomatri ial dinãmi o foi apli ado originalmente em problemas de difusão assimétri ade partí ulas na rede [4, [5. Re entemente [6, [7 mostraram que o ansatz podeser também apli ado em problemas de difusão assimétri a ontendo duas lasses departí ulas. Motivados por este ansatz Al araz e Lazo [8 per eberam que o su esso doansatz matri ial nos pro essos esto ásti os a ima men ionado [4-[7 só poderiam serexpli ados pelo fato dos Hamiltonianos quânti os asso iados serem exatamente inte-gráveis. Isto possibilitou [8 a formulação de um novo ansatz do produto matri ial,que pode ser apli ado, em prin ípio, para adeias quânti as exatamente integráveis,estejam tais adeias ligadas ou não a pro essos esto ásti os. Em prin ípio tal formu-lação teria o mesmo grau de abrangên ia que o famoso ansatz de Bethe.A idéia bási a deste ansatz onsiste em es rever as autofunções do operador a serdiagonalizado omo uma ombinação linear dos vetores de base, ujas amplitudes sãoes ritas omo o traço de um produto de matrizes.Quando o modelo é exatamente integrável, as matrizes que denem o ansatz possuemrelação de omutação bem denidas. As equações que xam o espe tro do modelo

Capítulo 1. Introdução 6(análogas às equações do ansatz de Bethe men ionadas anteriormente) são obtidasatravés da invariân ia í li a do traço de produtos matri iais, juntamente om asrelações de omutação entre as matrizes denidas no ansatz matri ial.Paralelamente ao desenvolvimento dos sistemas exatamente solúveis, desenvolvia-se ateoria dos fenmenos ríti os, ujo ponto ulminante foi dado em 1974 om as idéiasda teoria do Grupo de Renormalização por Wilson [9 que propor iou um maiorentendimento das lasses de universalidade de omportamento ríti o.Os ingredientes bási os que ara terizavam sistemas físi os perten entes às difer-entes lasses de universalidades, seriam rotulados pela sua dimensionalidade e suassimetrias. As singularidades das funções termodinâmi as estariam governadas pelospontos xos do grupo de renormalização. Em 1984 Belavin, Polyakov e Zamolod- hikov (BPZ) [10 per eberam que se os sistemas ríti os fossem, além de invariantespor dilatação ( omo no grupo de renormalização), também invariantes por trans-formações onforme, grandes onsequên ias surgiriam em duas dimensões, onde ogrupo das transformações onformes é de dimensão innita. O omportamento dosfenmenos ríti os agora estariam indexados por um número c, hamado de anomalia entral ou arga entral da algebra onforme.Em seguida, Friedan, Qiu e Shenker [11 mostraram que se além de invariantes on-formes os modelos também forem unitários (que é o aso dos modelos estatísti os quesão asso iados à matrizes de transferên ia unitárias) e om a arga entral menor queum (c ≤ 1), as possíveis lasses de universalidades são quantizadas pela sériec = 1 − 6

m(m + 1), m = 2, 3, . . . , (1.3)série esta denominada minimal. Para tal série as dimensões es alares ∆p,q (que estãoasso iadas aos expoentes ríti os) é dada pela fórmula de Ka [12

∆p,q =[p(m + 1) − qm]2 − 1

4m(m + 1), 1 ≤ p ≤ q ≤ m. (1.4)

Capítulo 1. Introdução 7A tabela dos possíveis pesos onformes para um dado valor da anomalia onforme étambém hamada por tabela de Ka .No aso em que a anomalia onforme é maior que um (c ≥ 1), a unitariedade e ainvariân ia onforme não são su ientes para quantizar os possíveis valores de c, anão ser que simetrias adi ionais sejam impostas.A fase mar ante da apli ação da invariân ia onforme em fenmenos ríti os à duasdimensões surgiu om os trabalhos de Blöte et al. [13, Ae k [14 e Cardy [15,[16.Eles mostraram uma maneira sistemáti a de se estimar a anomalia onforme c e asdimensões anmalas dos operadores (que estão asso iadas om os expoentes ríti os)a partir do omportamento assintóti o do espe tro dos modelos em sua formulaçãoEu lidiana (matriz de transferên ia) ou Hamiltoniana em geometrias nitas.Blöte et al. [13 e Ae k [14 mostraram, independentemente, que se es revermosa matriz de transfêren ia T omo T = e−H , então a anomalia onforme c podeser determinada a partir do omportamento assintóti o do estado fundamental deH quando denido numa tira de tamanho L, e om bordas periódi as, da seguintemaneira

E0(L)

L= e∞ − πcvs

6L2+ o(L−2), (1.5)sendo e∞ a energia por sítio do estado fundamental da rede innita e vs (velo idadedo som) o oe iente linear na relação de dispersão energia-momento da adeia. Jáas dimensões dos operadores que governam as utuações ríti as são al uladas apartir do omportamento assintóti o (L → ∞) dos estados ex itados de H. Para ada operador primário O∆,∆ om dimensão x∆,∆ = ∆ + ∆ e spin s∆,∆ = ∆ − ∆,existe uma torre innita de estados de H, ujas energias E∆,∆

m,m′ e momento P∆,∆

m,m′ ,na adeia periódi a, são dados por

Capítulo 1. Introdução 8E∆,∆

m,m′ (L) = E0 +

2πvs

L(x∆,∆ + m + m

′) + o(L−1),

P∆,∆

m,m′ =

2π

L(s∆,∆ + m − m

′). (1.6)A disposição dos apítulos desta dissertação foi elaborada de modo a permitir que oleitor tivesse uma visão sequen ial do que foi estudado e desenvolvido durante esteperíodo de mestrado. No apítulo 2 apresentamos de forma didáti a a osntruçãoda matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal asso iada aos modelos de vérti esestudados nesta dissertação.No apítulo 3 introduzimos novos modelos de vérti es que denominamos por modelosde 5 vérti es interagentes, sendo que, o famoso modelo de 6 vérti es pode ser obtido omo um aso parti ular deste novo modelo. Neste mesmo apítulo utilizamos oansatz do produto matri ial, para obter a solução exata destes novos modelos asso- iados à matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal. Em seguida, faremos umestudo numéri o das equações do ansatz de Bethe do modelo de 6 vérti es asso iadoà matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal, que serviu omo ponto de partidapara extrairmos o limite termodinâmi o deste modelo. Para on luir este apítulo,extraímos o onteúdo operatorial do modelo de 6 vérti es, em sua região ríti a, que ompreende o intervalo −1 < ∆ < 1, onde ∆ é a anisotropia que ara teriza o modelode 6 vérti es.No apítulo 4 apresentamos e obtemos a solução exata dos modelos de 10 vérti esasso iados à matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal utilizando o ansatz doproduto matri ial.No apítulo 5, apresentamos nossas on lusões e possíveis extensões para o presentetrabalho.

Capítulo 2Modelos de vérti es om ondiçõesde ontorno toroidais espe iais2.1 IntroduçãoMostraremos aqui um método alternativo de resolver o problema de vérti es na redequadrada. Este método foi proposto por Bariev [17. Ao invés de onsiderarmos arede om ondição de ontorno periódi a ao longo da horizontal onsideraremos umarede om ondições de ontorno toroidais espe iais.Para expli armos estas ondições toroidais espe iais pre isaremos nomear de umaforma espe ial os sítios numa rede quadrada formada por M linhas e N olunas. Umarede om esta geometria possui N ×M sítios. Um sítio é formado pela interse ção deuma linha om uma oluna. Chamaremos as linhas por l (l = 1, . . . ,M) e as olunaspor c (c = 1, . . . , N). Vamos agora nomear da esquerda para a direita da folha depapel, os sítios de uma determinada linha l da seguinte forma:

s(l) ≡ (1(l), 2(l), . . . ,N (l)). (2.1)Seguindo esta onvenção mostramos na gura 2.1 a numeração dos sítios numa rede

Capítulo 2. Modelos de vérti es om ondições de ontorno toroidais espe iais 10formada por M linhas e N olunas.2 3

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3 N

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N

N

N

N

N−1

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N−2

N−2

N−2(1) (1) (1)

(2) (2) (2)

(3) (3) (3)

N−2 N−1

N−1N−2

N−2 N−1

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(1) (1) (1)

(2)(2)

(3) (3) (3)

(M−2) (M−2) (M−2)(M−2) (M−2) (M−2)

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(M−1)

(M)

(M−1)

(M)

(M−1) (M−1) (M−1)

(M) (M) (M)Figura 2.1: Lo alização dos sítios na rede quadrada.Usando esta notação, as ondições toroidais espe iais de ontorno são denidas deforma que um determinado sítio s(l) (s = 1, 2, . . . ,N) da linha l (l = 1, 2, . . . ,M)será equivalente ao sítio s(M+l), e ao sítio (M + s − 1)(M+l−1), ou seja,s(l) ≡ s(M+l), (2.2)

s(l) ≡ (M + s − 1)(M+l−1). (2.3)É interessante ressaltar que a denominação espe ial na ondição de ontorno queestamos usando deve-se à (2.3). Para al ular a matriz de transferên ia om as ondições de ontorno a ima denidas será mais fá il representarmos a rede quadradanuma forma diagonal1. Na gura 3b mostramos tal representação para a redeN × M = 4 × 5.Note que segundo as ondições de ontorno (2.2) temos para a rede da gura 2.2a aequivalên ia dos seguintes sítios1por simpli idade hamaremos esta rede deformada omo rede diagonal.

Capítulo 2. Modelos de vérti es om ondições de ontorno toroidais espe iais 111 2 3 4 5

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(2)(2)(2)(2)(2)

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(4)(4)(4)(4)(4)

(5)(5)(5)(5)(5)

(6)(6)(6)(6)(6)

a) b)Figura 2.2: Transformação da rede quadrada para diagonal.1(1) ≡ 5(5), 1(2) ≡ 5(6), 1(3) ≡ 5(7), 1(4) ≡ 5(8), 1(5) ≡ 5(9), (2.4)enquanto que a ondição de ontorno (2.3) nos dá

1(1) ≡ 1(6), 2(2) ≡ 2(7), 3(3) ≡ 3(8), 4(4) ≡ 4(9). (2.5)Fazendo um orte na rede da gura 2b de tal forma que o ontorno seja dado pelos onjuntos de sítios em (2.4) e (2.5) obtemos a rede mostrada na gura 2.3.Per ebemos então que a rede es rita na geometria da gura 2.3 tem a virtude depossuir as ondições de ontorno do tipo toroidal.Mostramos na gura 2.4 as possíveis ongurações no aso parti ular do modelo deseis vérti es nesta nova geometria, bem omo os pesos de Boltzmann orrespondentes.Repare que as ongurações da primeira leira são as mesmas que foram apresentadasna gura 1.1, porém agora elas são representadas na rede diagonal2. Para simpli ar anotação grá a substituiremos os grá os da primeira leira pelos grá os da segundaleira desta gura, onde olo amos apenas as e has ujo sentido aponta para a parteinferior da folha.2Os pesos de Boltzmann desta gura representam a exponen ial das energias da gura 1.

Capítulo 2. Modelos de vérti es om ondições de ontorno toroidais espe iais 121

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(10)Figura 2.3: Rede diagonal.

a b2a1 b1 c 1 c 20Figura 2.4: Conguração de e has na rede diagonal.2.2 Lo alização das e has na rede e a matriz de trans-ferên ia diagonal-para-diagonalAntes de lo alizarmos as e has nesta nova rede é fundamental redenirmos o on- eito de linha para esta geometria. As linhas serão representadas de forma tra ejada, omo pode ser observado na gura 2.5. Chamaremos de sítios os pontos numeradosde 1 a N , formados pela interse ção das linhas verti ais om as linhas in linadasentre duas linhas su essivas r e r + 1 omo pode ser observado na gura 2.5.

Capítulo 2. Modelos de vérti es om ondições de ontorno toroidais espe iais 13

1 2 3 . . . . . . N−1 N

Linha r

Linha r+1

Figura 2.5: Lo alização das linhas na rede diagonal.Para lo alizar um onjunto de n e has entre duas linhas su essivas (r e r + 1) seráne essário espe i ar não só as posições das e has (x1, x2, . . . , xn), mas também oestado (α1, α2, . . . , αn) verti al ou in linado de ada e ha. Designemos então ovetor|ϕr >≡ |x1, α1;x2, α2; . . . ;xn, αn >, (2.6)para espe i ar a onguração de e has de uma dada linha r. O índi e αi (i =

1, 2, . . . , n) pode assumir dois valores, que orrespondem à uma e ha no estadoverti al (α = 1) ou no estado in linado (α = 2). Como exemplo, exibimos na gura2.6 a onguração de 4 e has |1, 1; 2, 1; 2, 2; 3, 2 > numa rede om N = 4 sítios, parao modelo de seis vérti es.1 2 3 4

Linha r1,1;2,1;2,2;3,2

Figura 2.6: Exemplo de uma linha na rede diagonal.Para al ularmos a função de partição nesta nova geometria deveremos diagonalizara matriz de transferên ia TD−D (diagonal-para-diagonal) asso iada ao modelo, pois

Capítulo 2. Modelos de vérti es om ondições de ontorno toroidais espe iais 14Z =

∑

ϕ1

∑

ϕ2

. . .∑

ϕM

< ϕ1|TD−D|ϕ2 >< ϕ2|TD−D|ϕ3 > · · · < ϕM |TD−D|ϕ1 >=Tr(TMD−D). (2.7)O elemento da matriz de transferên ia < ϕr|TD−D|ϕr+1 > one ta a onguração

|ϕr > da linha r om a onguração |ϕr+1 > da linha r + 1. Para o modelo de 6vérti es este elemento de matriz pode ser es rito omo< ϕr|TD−D|ϕr+1 >= am1

0 am2

1 bm3

1 bm4

2 cm5

1 cm6

2 , (2.8)onde o onjunto m ≡ m1,m2, . . . ,m6 de inteiros ontabilizam o número de vérti esentre os estados |ϕr > e |ϕr+1 >, e satisfazem o vín ulo ∑6i=1 mi = N .

Capítulo 3Modelos de 5 vérti es interagentesOs modelos que iremos tratar neste apítulo são denidos na rede quadrada, e os vér-ti es asso iados aos modelos são mostrados na gura 3.1 om as respe tivas fuga i-dades. Repare que estes vérti es são os mesmos da gura 2.4, ex eto pela inexistên iado vérti e de fuga idade a1.Além da interação entre os vérti es mais próximos devido à regra do gelo, existemoutras interaçes entre vérti es vizinhos ao longo de uma das diagonais. Iremos ini- ialmente expli ar uma versão simpli ada dos modelos, para em seguida apresentaro modelo mais geral de 5 vérti es abordado em nosso trabalho.

b2a b1 c 1 c 20Figura 3.1: Vérti es do modelo de 5 vérti es.

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 163.1 Modelo de 5 vérti es om domínio de interação s xoAlém das interações devido à regra do gelo, este modelo possui também interações ujo range depende de um parâmetro inteiro ímpar s (s = 1, 3, 5 . . .). Tais interaçõeso orrem ao longo da diagonal que vai do anto superior esquerdo da rede ao antoinferior direito da mesma 1. Neste modelo as interações entre os vérti es não sãohomogêneas. A distân ia de interação entre dois vérti es ao longo da diagonal deinteração éd = l√

2a, (l = 1, 2, . . .), sendo a o parâmetro da rede. A energia deinteração irá depender da distân ia D (na diagonal) entre os vérti es da seguintemaneira:a) Os vérti es não interagem entre si se D > d.b) Se um dos vérti es for do tipo a0 a interação é nula para D . ) Se os vérti es perten em ao onjunto b2, b1, c1, c2 a interação é innita se D ≤ dex eto quando os dois vérti es são c1 e c2, estando c2 à esquerda superior de c1, eos mesmos distarem de D = d = l√

2a. A energia neste aso é eI , sendo o peso deBoltzmann orrespondente expresso por onveniên ia em termos das fuga idades c1,c2 e de um novo parâmetro que hamanos de a1, isto é,

cI = e−eI =a1

c1c2. (3.1)Ilustramos na gura 3.2 algumas ongurações proibidas e permitidas para o asoonde o parâmetro do modelo é l = 1.O ál ulo da matriz de transferên ia linha-para-linha embora fa tível não é sim-ples para o modelo presente, devido às interações não homogêneas entre os vérti esna diagonal de interação. Entretanto, quando estudamos a matriz de transferên iadiagonal-para-diagonal asso iada ao modelo, as interações entre os vérti es da di-agonal de interação envolvem apenas as linhas de entrada e saída da matriz, sendo1Por simpli idade hamaremos tal diagonal de diagonal de interação

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 17Proibidas

Permitidas

Figura 3.2: Interação entre os vérti es à distân ia d = a(2)1

2 ao longo da diagonal para omodelo om l = 1 (linha para linha).Proibidas

Permitidas

Figura 3.3: Interação entre os vérti es à distân ia d = a(2)1

2 ao longo da diagonal para omodelo om l = 1 (diagonal-para-diagonal).assim, a matriz é fa ilmente al ulada. Como exemplo mostramos na gura 3.3 asinterações mostradas na gura 3.2 para a rede diagonal.Na gura 3.4(a) e 3.4(b) mostramos ongurações típi as de e has ao longo dadiagonal para os asos s = 2 e s = 3, respe tivamente. Repare que na gura 3.4 oparâmetro l que determina o modelo, parametriza também o tamanho efetivo dase has, isto é, a distân ia mínima permitida entre as e has ao longo da diagonal.

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 18s=3 (a)

s=5 (b)Figura 3.4: Congurações de e has om tamanho s = 3 e s = 5 na rede diagonal.Mais espe i amente uma dada e ha teria um volume de ex lusão de 2l + 1 linhas(verti ais ou in linadas), isto é, a presença de uma dada e ha em uma dada linha(verti al ou in linada) ex lui a presença de outra e ha na linha em questão, bem omo nas 2l linhas (verti al ou in linada) à sua direita.Nesta formulação de e has om tamanho efetivo s (ímpar), a extensão do modelopara o aso s = 1, seria um modelo em que as e has poderiam o upar linhas vizinhas.Levando-se em onta a fuga idade dos vérti es e a energia de interação (3.1) nos dariaum modelo om um vérti e adi ional (veja gura 3.5) de peso de boltzmanne−eI c1c2 =

a1

c1c2c1c2 = a1. (3.2)Assim o modelo om s = 1 re ai no modelo de 6 vérti es tradi ional onstituidoapenas das interações de vizinhos próximos imposta pela regra do gelo.

Figura 3.5: Interação entre os vérti es c2 e c1 no modelo om s = 1.

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 193.2 Modelo de 5 vérti es om domínio de interação svariávelEste modelo é uma versão mais geral do modelo anterior, pois agora, as n e has emuma dada onguração ao longo da diagonal, e que ara terizam os vérti es, ao invésde possuírem um tamanho xo s poderão possuir tamanhos arbitrários e distintos(s1, s2, . . . , sn). Mostramos omo exemplo na gura 3.6 a onguração de uma linha ontendo três e has de tamanhos s = 3, 1 e 5. As e has se ex luem de a ordo omseu tamanho e a interação entre duas e has de tamanho s1 e s2 é dada por (3.1) aso a e ha de tamanho s2 esteja (2l1 + 1) linhas à direita da e ha de tamanhos1. O peso de Boltzmann referente às ongurações das linhas r e r

′ da gura 3.6 édada por c2c1e−eIb2a

N−30 , onde N é o tamanho da rede.

Linha r

Linha r+1

1 2 3 4 . . . .Figura 3.6: Conguração de três e has om tamanhos s = 3, 1 e 5.3.3 Diagonalização da matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal do modelo de 5 vérti es interagentes dedomínio de interação s variávelDevido à onservação do número de e has na passagem entre duas linhas onse -utivas da rede, podemos onstruir a matriz de transferên ia na forma de blo os desub-matrizes disjuntas rotuladas pelo número de e has. Além desta lei de on-servação sabemos que a ordem das e has na passagem de uma linha para outra

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 20não é tro ada, a menos de permutações í li as. Deste modo, a ordem das e hass1, s2, . . . , sn pode ser onsiderada um outro bom número quânti o. Podemos entãosubdividir o blo o om n e has em sub-blo os rotulados por este número quânti oadi ional s1, s2, . . . , sn (ordenamento das e has).Formalmente devemos resolver o seguinte problema de autovalor para um setor en-volvendo um número n de e has, om tamanhos s1, s2, . . . , sn

Λs1,s2,...,snn |Ψs1,s2,...,sn

n >= Ts1,s2,...,snD−D |Ψs1,s2,...,sn

n >, (3.3)onde Λs1,s2,...,snn e |Ψs1,s2,...,sn

n > são os autovalores e os autovetores no setor index-ado por n e has e om ordenamento s1, s2, . . . , sn. Matemati amente podemosexpressar estes autovetores omo|Ψs1,s2,...,sn

n >=

∑

c

∑

x

2∑

α1,α2,...,αn=1

φsc1

,sc2,...,scn

α1,α2,...,αn (x1, x2, . . . , xn)|x1, α1;x2, α2; . . . ;xn, αn > .(3.4)Os kets |x1, α1;x2, α2; . . . ;xn, αn > denotam as ongurações da rede em que ase has do tipo (α1, α2, . . . , αn) (αi = 1, 2 para as e has verti ais e in linadas) estãolo alizadas na posição x = (x1, x2, . . . , xn). As funções φsc1

,sc2,...,scn

α1,α2,...,αn (x1, x2, . . . , xn)são as omponentes das ongurações onde as e has de tamanho (sc1 , sc2, . . . , scn)e do tipo (α1, α2, . . . , αn) estão lo alizadas nas posições (x1, x2, . . . , xn), respe tiva-mente. A soma c extende-se sobre as permutações í li as c1, c2, . . . , cn dos in-teiros 1, 2, . . . , n, e a soma em x se extende para uma dada distribuição sc1 , sc2,

. . . , scn de e has satisfazendo 22Repare que a relação (3.5) dá onta das possíveis ongurações em que a posição (xj) de uma e haj oin ida om a posição (xj+1) de uma e ha j + 1, isto é xj = xj+1. Para estas situações temos que ter(αj ,αj+1) = (1, 2).

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 211 ≤ x1 + s1 − 1 < x2 + δα1,1δα2,2 < . . . xn−1 + sn−1 − 1 < xn + δα1,1δα2,2 ≤ N. (3.5)O ansatz matri ial introduzido em [8, apropiado ao presente aso, onsiste em proporque tais amplitudes possam ser es ritas omo o traço de um produto de matrizes.O produto de matrizes asso iado à onguração x1, α1;x2, α2; . . . ;xn, αn é obtidoasso iando-se matrizes às o upações dos sítios da seguinte forma:1) Aos sítios sem e has asso iamos as matrizes E.2) Aos sítios o upados por uma uúni a e ha de tamanho s e do tipo α (α = 1, 2)asso iamos a matriz A

(α)s .3) Aos sítios ontendo uma e ha de tamanho s1 = 1 na verti al e outra de tamanho

s2 in linado asso iamos o produto A(1)1 E−1A

(2)s2. Na gura 3.7 abaixo mostramos taisasso iações. O ansatz matri ial no presente aso onsiste em assumir

φs1,s2,...,snα1,α2,...,αn

(x1, x2, . . . , xn) =Tr[Ex1−1A(α1)s1

Ex2−x1−1A(α2)s2

· · ·Exn−xn−1A(αn)sn

EN−xnΩP ]. (3.6)E

SS

S

(2)

S(1)

SA(1)

A A(2)

A S2

S 21 =1

1 E(−1)Figura 3.7: Asso iação dos sítios om as matrizes do ansatz matri ial.Diferentemente do ansatz de Bethe de oordenadas onde φs1,s2,...,sn

α1,α2,...,αn(x1, x2, . . . , xn)é dado omo uma ombinação linear de ondas planas, aqui, neste novo ansatz, asamplitudes são dadas omo o traço de um produto de matrizes.

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 22Na geometria toroidal que estamos onsiderando, os auto-estados de TD−D possuemmomento P = 2πjN

(j = 0, 1, . . . ,N −1) bem denido. A matriz TD−D pode então serde omposta em setores disjuntos indexados pelo valor de P . A matriz ΩP é intro-duzida para assegurar o momento P do autovetor do orrespondente setor. Devidoà simetria de translação as amplitudes em (3.6) devem satisfazerφs1,s2,...,sn

α1,α2,...,αn(x1, x2, . . . , xn)

φs1,s2,...,snα1,α2,...,αn(x1 + m,x2 + m, . . . , xn + m)

= e−imP , m = 1, . . . ,N − 1, (3.7)o que nos forne e as seguintes relações de omutação entre as matrizes E, A(αj)sj(αj = 1, 2) om ΩP :

EΩP = e−iP ΩP E, A(αj)sj ΩP = e−iP ΩP A

(αj)sj . (3.8)As relações algébri as entre A

(αj )sj e E serão xadas no momento que impusermosque |Ψs1,s2,...,sn

n > satisfaça à equação de autovalor.Mostraremos a seguir o pro esso de diagonalização dos setores om n = 0, 1, 2 e has,e em seguida exibiremos o resultado para um valor arbitrário de e has.• Setor om n = 0 e hasEste setor é uma matriz de tamanho 1 por 1 pois temos apenas uma úni a ongu-ração, ujo peso de Boltzmann nos dá o autovalor

Λ0 = aN0 . (3.9)

• Setor om n = 1 e haTemos neste subespaço 2N possíveis ongurações. A equação de autovalor produzirárelações a serem satisfeitas entre as 2N amplitudes orrespondentes às diversas on-gurações de e has.

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 23Deveremos observar que devido aos dois estados possíveis para uma determinadae ha (verti al ou in linado), tais relações são dadas pelo onjunto de 2N equaçõesΛ1Tr[Ex−1A(1)

s1EN−xΩP ] =

b2aN−10 Tr[Ex−1A(1)

s1EN−xΩP ] + c1a

N−10 Tr[Ex−1A(2)

s1EN−xΩP ],

Λ1Tr[Ex−1A(2)s1

EN−xΩP ] =

c2aN−10 Tr[ExA(1)

s1EN−x−1ΩP ] + b1a

N−10 Tr[ExA(2)

s1EN−x−1ΩP ]. (3.10)Nas guras 3.8 e 3.9 representamos pi tori amente tais equações. As equações (3.10)são resolvidas se expressarmos

A(1)s1

= φ1As1

k E2−s1 ,

A(2)s1

= φ2As1

k E2−s1 , (3.11)sendo As1

k uma matriz que depende de um parâmetro es alar k (parâmetro espe tral)e φi, (i = 1, 2) onstantes reais. Substituindo-se (3.11) na primeira das equações de(3.10) obtemosΛ1Tr[Ex−1φ1A

s1

k E2−s1EN−xΩP ] =

b2aN−10 Tr[Ex−1φ1A

s1

k E2−s1EN−xΩP ] + c1aN−10 Tr[Ex−1φ2A

s1

k E2−s1EN−xΩP ].(3.12)Fatorando-se o termo omum na expressão a ima obtemos,(Λ1φ1 − b2a

N−10 φ1 − c1a

N−10 φ2)Tr[Ex−1As1

k E2−s1EN−xΩP ] = 0. (3.13)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 24Impondo que Tr[Ex−1As1

k E2−s1EN−xΩP ] 6= 0 obtemosΛ1φ1 − b2a

N−12 φ1 − c1a

N−12 φ2 = 0. (3.14)Por outro lado, substituindo-se (3.11) na segunda das equações de (3.10) obtemos

Λ1Tr[Ex−1φ2As1

k E2−s1EN−xΩP ] =

c2aN−10 Tr[Exφ1A

s1

k E2−s1EN−x−1ΩP ] + b1aN−10 Tr[Exφ2A

s1

k E2−s1EN−x−1ΩP ].(3.15)Repare que esta relação se simpli a se impormos que a matriz As1

k introduzida em(3.11) satisfaça à relação de omutaçãoEAs1

k = eikAs1

k E, (3.16)o que nos dá(Λ1φ2 − c2a

N−10 φ1e

ik − b1aN−10 φ2e

k)Tr[Ex−1As1

k E2−s1EN−xΩP ] = 0. (3.17)Impondo que Tr[Ex−1As1

k E2−s1EN−xΩP ] 6= 0 obtemosΛ1φ2 − c2a

N−10 φ1e

k − b1aN−10 φ2e

ik = 0. (3.18)Vemos assim que as (2N) equações (3.10) reduzem-se somente à duas equações (3.14)e (3.18), que podem ser rees ritas na forma matri ialΛ1

aN−10

φ1

φ2

=

b2 c1

c2eik b1e

ik

φ1

φ2

. (3.19)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 25a

2

N−1

x

Λ b2

c1

xx

1

Figura 3.8: Representação pi tóri a da equação de autovalor (situação 1)a

2

N−1

x

Λ1

c2

x xx+1 x+1

b1

Figura 3.9: Representação pi tóri a da equação de autovalor (situação 2)Diagonalizando esta matriz obtemos os dois autovalores Λ(l)1 ; l = −,+ :

Λ(l)1 (k) =

aN−10

2(b2 + b1e

ik + l[(b2 + b1eik)2 − 4eik(b2b1 − c2c1)]

1

2 ). (3.20)Para ompletarmos a diagonalização resta-nos determinar o parâmetro espe tral k.Tal parâmetro no presente aso oin ide om P , pois usando-se (3.11), (3.16), (3.8)e a propriedade í li a do traço temosTr[Ex−1A(j)s1

EN−xΩP ] = Tr[Ex−1EN−xA(j)s1

ΩP ]e−ik(N−x) =Tr[Ex−1EN−xΩP A(j)s1

]e−ik(N−x)e−iP =Tr[Ex−1A(j)s1

EN−xΩP ]e−ik(N−x)e−iP e−ik(x−1) (3.21)o que impli a

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 26k = P =

2mπ

N, m = 0, 1, . . . ,N − 1. (3.22)Tais valores determinam os 2N autovalores dados em (3.20).

• Setor om n = 2 e hasVamos primeiramente analisar as equações provenientes das ongurações |x1, α1;x2, α2 >em que as e has lo alizadas nas posições x1 e x2 não estejam em olisão (|x1, α1;x2, α2 > 6=

|x1, 2;x2 = x1 + s1 >). As equações obtidas sãoΛ2Tr[Ex1−1A(1)

s1Ex2−x1−1A(1)

s2EN−x2ΩP ]/aN−2

0 = (3.23)b22Tr[Ex1−1A(1)

s1Ex2−x1−1A(1)

s2EN−x2ΩP ] + c1b2Tr[Ex1−1A(2)

s1Ex2−x1−1A(1)

s2EN−x2ΩP ] +

b2c1Tr[Ex1−1A(1)s1

Ex2−x1−1A(2)s2

EN−x2ΩP ] + c21Tr[Ex1−1A(2)

s1Ex2−x1−1A(2)

s2EN−x2ΩP ],

Λ2Tr[Ex1−1A(1)s1

Ex2−x1−1A(2)s2

EN−x2ΩP ]/aN−20 = (3.24)

c2b2Tr[Ex1−1A(1)s1

Ex2−x1A(1)s2

EN−x2−1ΩP ] + c1c2Tr[Ex1−1A(2)s1

Ex2−x1A(1)s2

EN−x2−1ΩP ] +

b2b1Tr[Ex1−1A(1)s1

Ex2−x1A(2)s2

EN−x2−1ΩP ] + c1b1Tr[Ex1−1A(2)s1

Ex2−x1A(2)s2

EN−x2−1ΩP ],

Λ2Tr[Ex1−1A(2)s1

Ex2−x1−1A(1)s2

EN−x2ΩP ]/aN−20 = (3.25)

c2b2Tr[Ex1A(1)s1

Ex2−x1−2A(1)s2

EN−x2ΩP ] + b1b2Tr[Ex1A(2)s1

Ex2−x1−2A(1)s2

EN−x2ΩP ] +

c2c1Tr[Ex1A(1)s1

Ex2−x1−2A(2)s2

EN−x2ΩP ] + b1c1Tr[Ex1A(2)s1

Ex2−x1−2A(2)s2

EN−x2ΩP ],

Λ2Tr[Ex1−1A(2)s1

Ex2−x1−1A(2)s2

EN−x2ΩP ]/aN−20 = (3.26)

c22Tr[Ex1A(1)

s1Ex2−x1−1A(1)

s2EN−x2−1ΩP ] + b1c2Tr[Ex1A(2)

s1Ex2−x1−1A(1)

s2EN−x2−1ΩP ] +

c2b1Tr[Ex1A(1)s1

Ex2−x1−1A(2)s2

EN−x2−1ΩP ] + b21Tr[Ex1A(2)

s1Ex2−x1−1A(2)

s2EN−x2−1ΩP ],

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 27As visualizaçes grá as das equações (3.23)-(3.26) são expostas nas guras (3.10a)−

(3.10d), respe tivamente, para o aso espe ial em que s1 = s2 = 1.a

2

N−1

x

Λ 2 b c b b c2

x x x x x x x1 1 1 12 2 2 2

2 1 2 2 1

c b2 2 c1 c2 b2b1 c1 b1

xx21x2aN−1

Λ2

x x x x x x x x x x x1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2

Λ2

a2N−1

c b b b c c b c

x x xxxxxxxxxx

2 2 21 2 1 1 1

1 1111111 2 2 2 2+1+1+1+1+1

+1 +1 +1 +1

x1 x2

b c c b b

x x x x xx x x x x x x x x x x1111111 1 2 2 2 2 2 2 2 2+1+1+1+1+1+1+1+1x2

x1

Λ2

N−1a2

c12

x x1 2

c22 1 1 122

2

c)

d)

b)

a)

Figura 3.10: Representação grá a da equação de autovalor para a amplitude advindasadvindas de ongurações de 2 e has que não estejam em olisão.Tais equações são resolvidas mediante uma generalização do ansatz (3.11). As ma-trizes A(1)s1,A(2)

s2são dadas por

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 28A(α)

sj=

2∑

i=1

φiαA

sj

kiE2−sj , (j = 1, 2), (α = 1, 2). (3.27)Assim omo no aso de uma e ha φi

α (i = 1, 2) são parâmetros es alares e Asj

ki

(i, j = 1, 2) são matrizes que satisfazem às seguintes relações de omutaçãoEA

sj

ki= eikiA

sj

kiE, i, j = 1, 2. (3.28)Usando-se (3.27) e (3.28) as equações (3.23)-(3.26) tomam, respe tivamente, a formasimpli ada

2∑

i,j=1;i6=j

(Λ0

aN−20

φi1φ

j1 − b2

2φi1φ

j1 − c1b2φ

i2φ

j1 − b2c1φ

i1φ

j2 − c2

1φi2φ

j2)

×Tr[Ex1−1As1

kiE2−s1Ex2−x1−1As2

kjE2−s2EN−x2ΩP ] = 0, (3.29)

2∑

i,j=1;i6=j

(Λ0

aN−20

φi1φ

j2 − b2c2φ

i1φ

j1e

ikj − c1c2φi2φ

j1e

ikj − b2b1φi1φ

j2e

ikj − c1b1φi2φ

j2e

ikj)

×Tr[Ex1−1As1

kiE2−s1Ex2−x1−1As2

kjE2−s2EN−x2ΩP ] = 0, (3.30)

2∑

i,j=1;i6=j

(Λ0

aN−20

φi2φ

j1 − b2c2φ

i1φ

j1e

iki − b1b2φi2φ

j1e

iki − c2c1φi1φ

j2e

iki − c1b1φi2φ

j2e

iki)

×Tr[Ex1−1As1

kiE2−s1Ex2−x1−1As2

kjE2−s2EN−x2ΩP ] = 0, (3.31)

2∑

i,j=1;i6=j

(Λ0

aN−20

φi2φ

j2 − c2

2φi1φ

j1e

i(ki+kj) − b1c2φi2φ

j1e

i(ki+kj) − c2b1φi1φ

j2e

i(ki+kj) −

b21φ

i2φ

j2e

i(ki+kj)) × Tr[Ex1−1As1

kiE2−s1Ex2−x1−1As2

kjE2−s2EN−x2ΩP ] = 0. (3.32)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 29Impondo que a quantidade Tr[Ex1−1As1

kiE2−s1Ex2−x1−1As2

kjE2−s2EN−x2ΩP ] 6= 0 paraquaisquer valores de x2 e x1, extraímos as equações algébri as es ritas na formamatri ial

Λ2

aN−20

φ11φ

21

φ11φ

22

φ12φ

21

φ12φ

22

=

b22 b2c1 c1b2 c2

1

b2c2eik1 b2b1e

ik1 c1c2eik1 c1b1e

ik1

c2b2eik2 c2c1e

ik2 b1b2eik2 b1c1e

ik2

c22e

i(k1+k2) c2b1ei(k1+k2) b1c2e

i(k1+k2) b21e

i(k1+k2)

φ11φ

21

φ11φ

22

φ12φ

21

φ12φ

22

.(3.33)É interessante observar que esta última equação pode ser es rita na forma tensorial

Λ2

aN−20

φ11

φ12

⊗

φ21

φ22

=

b2 c1

c2eik2 b1e

ik2

⊗

b2 c1

c2eik1 b1e

ik1

φ11

φ12

⊗

φ21

φ22

. (3.34)Sem perda de generalidade podemos sempre, es olher um dos pesos de Boltzmann omo a unidade. Isto de orre do fato de podermos es olher uma das energias asso- iada aos pesos de Boltzmann omo nula. Em função dessa arbitrariedade vamosneste momento fazer a0 = 1. Se es revermos Λ2 = Λ1(k1)Λ1(k2), vemos que (3.34 ) sefatoriza em duas equações. Isto nos mostra que o autovalor da matriz de transferên iano setor que ontém duas e has é dado pelo produto dos autovalores de uma úni ae ha om números de onda k1 e k2. A relação que xa estes números de onda seráobtida adiante.É simples veri ar usando-se (3.8), (3.27) e (3.28) que as relações de omutação entreas matrizes Asi

kjsão dadas por

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 30A

sj

kiΩP = e−iP (1−sj)ΩP A

sj

ki, (j, i = 1, 2). (3.35)Partimos agora para tentar extrair uma relação do parâmetro P om as variáveisespe trais k1 e k2. Para isso devemos omparar as omponentes de |x1, α1;x2, α2 >e |x1 + m,α1;x2 + m,α2 >. A razão destas duas amplitutes nos forne eTr[Ex1−1A(α1)Ex2−x1−1A(α2)EN−x2ΩP ]Tr[Ex1+m−1A(α1)Ex2−x1−1A(α2)EN−x2−mΩP ]

= e−imP . (3.36)Substituindo (3.8) e (3.35) em (3.36) extraímos quee−i(ki+kj) = e−imP , (i, j = 1, 2); i 6= j. (3.37)O que impli a que o momento P , que ara teriza este setor, é dado pela soma dasvariáveis espe trais k1 e k2 ujos possíveis valores até neste momento não estão de-terminados.Vamos agora estudar as equações adi ionais não onsideradas em (3.23)-(3.26). Estasequações são provenientes das ongurações em que x2 = x1 + s1 ; α1 = 2 e α2 = 1.Esta situação está rela ionada om a olisão entre duas e has, que é representadapi tori amente na gura 3.11 abaixo, para o aso espe ial em que as duas e haspossuem o mesmo tamanho s1 = s2 = 3. As equações para as amplitudes referentesa esta situação são dadas por

Λ2Tr[Ex1−1A(2)s1

Ex1+s1−x1−1A(1)s2

EN−x1−s1ΩP ] =

c1c2cITr[Ex1A(1)s1

Ex1+s1−x1−1−1A(2)s2

EN−x1−s1ΩP ] =

a1Tr[Ex1A(1)s1

Ex1+s1−x1−1−1A(2)s2

EN−x1−s1ΩP ], (3.38)onde usou-se o fato de cI = a1

c1c2. Substituindo (3.27) e (3.28) em (3.38) extraímosque

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 31

Figura 3.11: Situação de olisão para e has de tamanho s = 3

2∑

i,j=1;i6=j

(Λ2φi2φ

j1e

ikj − a1φi1φ

j2e

i(ki+kj))Tr[Ex1−1As1

kiAs2

kjE3−s2EN−x1−s1ΩP ] = 0,(3.39)sendo Λ2 = Λ1(k1)Λ1(k2). Contudo a equação (3.19) para uma úni a e ha nos dá

φp1 =

−c1φp2

b2 − Λ1(kp), p = 1, 2. (3.40)Inserindo esta última relação na equação (3.39) obtemos depois de algumas simpli- ações

2∑

i,j=1;i6=j

φj2φ

i1

b2 − Λ1(ki)[(b2 − Λi(ki))Λ1(k1)Λ1(k2)e

ikj + a1(Λ1(kj) − b2)ei(ki+kj)]

×Tr[Ex1−1As1

kiAs2

kjE3−s2EN−x1−s1ΩP ] = 0. (3.41)Devido à simetria do produto Λ1(ki)Λ1(kj) pela permutação i → j é onveniente em

(3.39) usarmos Λ2 = Λ1(ki)Λ1(kj) de forma a obtermos2

∑

i,j=1;i6=j

φj2φ

i1e

ikj

b2 − Λ1(ki)[b2Λ1(ki)Λ1(kj) − Λ1(ki)

2Λ1(kj) + a1Λ1(kj)eiki − a1b2e

iki ]

×Tr[Ex1−1As1

kiAs2

kjE3−s2EN−x1−s1ΩP ] = 0. (3.42)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 32Uma vez que Λ1(ki) satisfaz−Λ1(ki)

2 + Λ1(ki)b2 = −Λ1(ki)b1eiki + eiki(b2b1 − c2c1), i = 1, 2, (3.43)a equação (3.42) pode ser rees rita omo

2∑

i,j=1;i6=j

φj2φ

i1e

i(kj+ki)

b2 − Λ1(ki)[−b1Λ1(ki)Λ1(kj) + Λ1(kj)(b2b1 − c2c1) + a1(Λ1(kj) − a1b2]

×Tr[Ex1−1As1

kiAs2

kjE3−s2EN−x1−s1ΩP ] = 0. (3.44)Para que esta última relação seja satisfeita para quaisquer valores de x1 devemosimpor que Tr[Ex1−1As1

kiAs2

kjE3−s2EN−x1−s1ΩP ] 6= 0, o que nos dá

As1

k1As2

k2

φ12φ

21

φ12φ

11

b2 − Λ1(k2)

b2 − Λ1(k1)=

−(−Λ1(k2)Λ1(k1)b1 + Λ1(k1)(b2b1 − c2c1 + a1) − a1b2)

(−Λ1(k2)Λ1(k1)b1 + Λ1(k2)(b2b1 − c2c1 + a1) − a1b2)As1

k2As2

k1. (3.45)Entretanto de (3.40) temos que

φ12φ

21

φ22φ

11

=b2 − Λ1(k1)

b2 − Λ1(k2). (3.46)Deste modo, para que o nosso ansatz fun ione, as matrizes Asl

k1e Asm

k2, l,m = (1, 2)deverão satisfazer as seguintes relações de omutação.

Asl

kjAsm

ki= s(kj , ki)A

sl

kiAsm

kj, Asl

kiAsm

ki= 0, (i = 1, 2), (l,m = 1, 2), (3.47)sendo

s(kj , ki) = −Λ1(ki)Λ1(kj)b1 − Λ1(kj)(b2b1 − c2c1 + a1) + a1b2

Λ1(ki)Λ1(kj)b1 − Λ1(ki)(b2b1 − c2c1 + a1) + a1b2. (3.48)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 33Os parâmetros espe trais k1 e k2 são xados pela propriedade i lí a do traço dosprodutos matri iais que denem nosso ansatz. Usando (3.28),(3.8) e (3.47) obtemosTr[As1

klAs2

kjEN−s1−s2+2ΩP ] =

e−ikjNeikj(s1+s2−2)e−iP (s2−1)s(kj, kl)Tr[As2

klAs1

kjEN−s1−s2+2ΩP ]. (3.49)Per ebemos que o traço do lado esquerdo e do lado direito são diferentes se s1 6= s2.No entanto se repetirmos mais uma vez as operações realizadas para hegar na últimaexpressão, obteremos a igualdade do traço do lado esquerdo e do lado direito, e destaforma extrairemos que

[e−ikjNeikj(s1+s2−2)s(kj , kl)]2e−iP (s1+s2−2) = 1. (3.50)Uma vez que P = k1 + k2, a última expressão é es rita omo

eikjN = ei 2πm2 (

eikj

eikl)<s>−1s(kj , kl), m = 0, 1; j 6= l = 1, 2; s1 6= s2 (3.51)sendo

< s >=s1 + s2

2. (3.52)o tamanho médio das e has.

• Setor om n e hasNeste aso temos uma distribuição geral de e has om domínio de interação s1, s2,

. . . , sn e a orrespendente autofunção dada por (3.4) e (3.6). A equação de autovalorproveniente da apli ação da matriz de transferên ia nas omponentes |x1, α1;x2, α2;

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 34. . . ;xn, αn > onde todas as e has não estão em posições de olisão impli a naidenti ação

A(α)sj

=n

∑

l=1

φlαA

sj

klE2−sj , α = 1, 2, (3.53)sendo que Asj

kl, E e ΩP satisfazem

EAsj

kl= eiklA

sj

klE, A

sj

klΩP = e−iP (1−sj)ΩP A

sj

kl, (l, j = 1, . . . , n). (3.54)Mais ainda, os autovalores Λn são dados pelo produto dos autovalores do aso deuma e ha, isto é,

Λn(k1, k2, . . . , kn) = Λ1(k1)Λ1(k2) · · ·Λ1(kn), (3.55)sendo Λ1(kj) dado por (3.20). Como antes, o momento neste setor em termos davariáveis kj nos forne e a relaçãoP =

n∑

l=1

kl. (3.56)As equações obtidas na situação em que duas e has estão juntas ( olisão) são idên-ti as às equações (3.47)Ast

kjAsu

kl= s(kj, kl)A

st

klAsu

kj, Ast

kjAsu

kj= 0

s(kj , kl) = −Λ1(kl)Λ1(kj)b1 − Λ1(kj)(b2b1 − c2c1 + a1) + a1b2

Λ1(kl)Λ1(kj)b1 − Λ1(kl)(b2b1 − c2c1 + a1) + a1b2. (3.57)A propriedade í li a do traço, juntamente om (3.54) e om (3.57) nos garante para ada kj a relação

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 35Tr[As1

k1As2

k2· · ·Asj−1

kj−1A

sj

kj· · ·Asn

knEN−

Pni=1

(si−1)ΩP ] = e−ikjNeikj

Pni=1

(si−1)

×e−iP (sj−1)n

∏

l=1

s(kj , kl)Tr[Asn

k1As1

k2· · ·Asj−1

kjA

sj

kj+1· · ·Asn−1

knEN−

Pni=1

(si−1)ΩP ].Similarmente ao que a onte eu no aso de duas e has de domínios de interaçãodistintos, o traço de ambos os lados da última equação não é o mesmo, isto é,s1, s2, . . . , sn 6= sn, s1, . . . , sn−1. Mas podemos através da r tro as de ordementre as matrizes A

sj

kl(usando-se as relações de omutação) al ançar a distribuiçãoordenada original. Aqui r é o mínimo número de rotações í li as de s1, s2, . . . , snque faz om que a onguração se repita. Neste aso obtemos

[e−ikjNeikj

Pni=1

(si−1)n

∏

j 6=l=1

s(kj , kl)]re−iP r

n

Pni=1

(si−1) = 1. (3.58)Desde que P =∑n

j kj , podemos es rever esta última expressão omoeikjN = −ei 2πm

r

n∏

l=1

s(kj , kl)(eikj

eikl)<s>−1, m = 0, 1, . . . , r − 1, j, l = 1, . . . , n,(3.59)onde

< s >=1

n

n∑

i=1

si, (3.60)é o tamanho médio das e has. Podemos extrair dois limites interessantes desteproblema. O primeiro onsiste em fazer s1 = s2 = · · · = sn = s, ou seja, todas ase has om o mesmo tamanho. As equações que xam os parâmetros espe trais doansatz matri ial são es ritas agora da seguinte formaeikjN = −

n∏

l=1

s(kj , kl)(eikj

eikl)s−1, j, l = 1, . . . , n. (3.61)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 36Uma outra situação a orresponde fazer s1 = s2 = · · · = sn = 1. As equações quexam os parâmetros espe trais são es ritas agora omoeikjN = −

n∏

l=1

s(kj , kl) j, l = 1, . . . , n, (3.62)que são idênti as às equações que determinam o espe tro obtido mediante a apli- ação do tradi ional ansatz de Bethe para o modelo de 6 vérti es na rede diagonal.Resultado este, obtido por [18 usando o ansatz de Bethe de oordenadas.3.4 Estrutura dos autovalores da matriz de transferên iado modelo de seis vérti es.3.4.1 Soluções Numéri as para adeias nitasRestringir-nos-emos nesta seção à análise das soluções numéri as do modelo de 6vérti es usual (s = 1) simétri o (a0 = a1 = 1, b1 = b2 = b, c1 = c2 = c). Conformemostramos na seção anterior a estrutura dos autovalores em um setor om n e hasé dada porΛl1,l2,··· ,ln

n = Λl11 (k1)Λ

l21 (k2) · · ·Λln

1 (kn), (3.63) omΛ

lj1 (kj) =

b(1 + eikj ) + lj[b2(1 + eikj )2 − 4(b2 − c2)eikj ]

1

2

2,

lj = +,−, j = 1, . . . , n, (3.64)e as variáveis kj sendo soluções do sistema de equações

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 37eikjN = (−1)n+1

n∏

l=1

Λ(kl)Λ(kj) − 2∆Λ(kj) + 1

Λ(kl)Λ(kj) − 2∆Λ(kl) + 1, j = 1, . . . , n, (3.65)onde denimos o parâmetro

∆ =b2 − c2 + 1

2b. (3.66)Em nosso trabalho estudamos estas equações no regime −1 < ∆ < 1, pois para estasanisotropias o modelo apresenta uma linha ríti a, ou seja, os expoentes ríti osvariam ontinuamente. Nosso ponto de partida se deu em ∆ = 0, devido à formasimpli ada das equações

eikjN = (−1)n+1, j = 1, . . . , n, (3.67) ujas soluções são dadas porkj ∈ −π(n − 1)

N,−π(n − 3)

N, . . . ,

π(n − 3)

N,π(n − 1)

N. (3.68)Truong e S hotte [18 baseando-se na parametrização usual do modelo de 6 vérti esna sua região antiferroelétri a [3

a(λ, σ) = sinh(λ − σ) ; b(σ) = sinh(σ); c = sinh(λ)

∆ = − cosh(λ), λ > 0, (3.69)introduziu uma transformação de variáveis ki → σi, sendo as novas variáveis dadasporΛj = Λ(σj) =

a(σj)

b(σj)=

sinh(λ − σj)

sinh(σj), j = 1, . . . , n. (3.70)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 38A onstante de estrutura s(kj, kl) nessas novas variáveis toma a forma simpli adas(kj , kl) =

sinh(σl − σj − λ)

sinh(σl − σj + λ). (3.71)Uma vez que eikj pode ser es rito omo função de Λj , obtemos em termos da variável

σj

eikj =Λj(Λj − b

a)

ba(Λj − b

a) + c2

a2

=

a(σj)a(σ + σj)

b(σj)b(σ + σj)=

sinh(λ − σj) sinh(λ − σ − σj)

sinh(σj) sinh(σ + σj). (3.72)Deste modo as equações que xam o espe tro tornam-se3

[sinh(λ − σj) sinh(λ − σ − σj)

sinh(σj) sinh(σ + σj)

]N= −

n∏

l=1

sinh(σj − σl − λ)

sinh(σj − σl + λ), (3.73)Para al ançarmos o regime de interesse −1 < ∆ < 1, que orresponde à região desor-denada, é ne essário fazermos as seguintes mudanças: λ → iλ, σ → iσ. Es olhendo-se

a = 1 teremos ao invés de (3.69), (3.70), (3.72) e (3.73) as seguintes equações.a = 1; b =

sin(σ)

sin(λ − σ), c =

sin(λ)

sin(λ − σ), (3.74)

Λj =sinh(iλ − σj)

sinh(σj), (3.75)

eikj =sinh(iλ − σj) sinh(iλ − iσ − σj)

sinh(σj) sinh(iσ + σj), (j = l, . . . n), (3.76)3Como tais equações xam o espe tro tanto na solução no ansatz de produto de matrizes omo no ansatzde Bethe denominamos as mesmas por equações do ansatz de Bethe, omo são onhe idas na literatura.

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 39[sinh(iλ − σj) sinh(iλ − iσ − σj)

sinh(σj) sinh(iλ + σj)]N = −

n∏

l=1

sinh(σj − σl − iλ)

sinh(σj + σl − iλ), (3.77)sendo j = 1, . . . , n. Estas parametrizações são onvenientes para o ál ulo om-puta ional e analíti o onforme mostraremos na próxima seção. A transformação de oordenada kj → σj nos forne e para ada j = 1, . . . , n dois possíveis valorespara a variável σj, isto é,

yljj = e2σ

ljj =

(eikj − 1) cos(σ) + lj [(eikj − 1)2 cos2(σ) − (eikj − e−2iλ)2]

1

2

2eiσ(eikj − e−i2λ), (3.78) om j = 1, . . . , n. Es revendo σ

ljj = σ

lj ,R

j + iσlj ,I

j , obtemosσ

lj ,R

j =arg(y

ljj )

2, σ

lj ,I

j = −ln(|ylj

j |)2

. (3.79)Em termos da variável σljj , os autovalores do setor da matriz de transferên ia asso i-ados às ongurações de n e has, podem ser es ritos omo

Λl1,l2,...,lnn =< ln| ⊗ · · · < l2|⊗ < l1|

Λ+1 (σ+

1 ) 0

0 Λ−1 (σ−

1 )

⊗

Λ+1 (σ+

2 ) 0

0 Λ−1 (σ−

2 )

⊗ · · · ⊗

Λ+1 (σ+

n ) 0

0 Λ−1 (σ−

n )

|l1 > ⊗|l2 > . . . ⊗ |ln >, (3.80)onde|lj >=

δlj ,+

δlj ,−

(3.81)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 40sendoΛm

1 (σljj ) =

sinh(iλ − σljj )

sinh(σljj )

δm,lj , lj,m = +,−, (j = 1, . . . , n). (3.82)Os valores de σljj são dados pelas soluções das equações (3.77), isto é,

[sinh(iλ − σ

ljj ) sinh(iλ − iσ − σ

ljj )

sinh(σljj ) sinh(iλ + σ

ljj )

]N = −n

∏

m=1

sinh(σljj − σlm

m + iλ)

sinh(σljj − σlm

m − iλ), (3.83)para j = 1, 2, . . . , n.Para entendermos a estrutura das raízes σj das equações (3.83) onsideremos ini- ialmente o aso ∆ = 0. Neste aso as soluções em termos das variáveis kj sãodados por (3.68). A equação (3.78) nos diz que as raízes σlj

j são números omplexos uja parte imaginária assume apenas dois possíveis valoresσ+,I

j =(π

2 − σ)

2,

σ−,Ij =

(π2 + σ)

2. (3.84)Para ompreender a estrutura das raízes de (3.83) para ∆ 6= 0 (λ 6= π

2 ) e para dife-rentes valores de σ, n e N , tivemos que bus ar soluções numéri as das equações (3.83).A diagonalização direta da matriz de transferên ia (força bruta4), para adeias detamanho maxímo N = 6, nos permitiu asso iar ertas ongurações de raízes aosmaiores autovalores dos diversos setores. Através destes dois aminhos onseguimosmapear algumas soluções das equações do ansatz de Bethe. Conseguimos também,através da diagonalização direta, observar as seguintes ara terísti as gerais dos au-tovalores em um dado setor om n e has:4Por força bruta ou método direto men ionamos a diagonalização numéri a de todos os autovalores emum dado setor da matriz de transferên ia

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 41(1)- Os autovalores são números omplexos em geral.(2)- O autovalor que possui a maior parte real é um autovalor real puro.(3)- Os autovalores omplexos surgem aos pares onjugados (traço da matriz detransferên ia deve ser real).Com base nos resultados da diagonalização numéri a de TD−D e no estudo analíti o(∆ = 0) e numéri o (∆ 6= 0) das equações do ansatz de Bethe (3.83) pudemos omgrande onança formular as seguintes hipóteses para as distribuições de raízes σljj :Hipótese 1: O maior autovalor em um dado setor om n e has possui uma dis-tribuição de raízes om parte real simétri a e parte imaginária xa dada por λ−σ

2 .Hipótese 2: A energia livre no limite termodinâmi o é ara terizada por um autovalorresidente no setor de N e has.Tais distribuições simétri as impli am que o auto-estado orrespodente possui mo-mento nulo.3.4.1.1 Estrutura dos estados ex itadosA obtenção das soluções numéri as das equações não lineares de (3.83) é algo nãosimples e infelizmente não existe método que garanta em geral a obtenção de taissoluções. O método numéri o usual em tais asos é o método de Newton e a on-vergên ia do mesmo além de depender do hute ini ial, depende fortemente daparametrização es olhida para expressar as in ógnitas do sistema. Em nossa análisenuméri a diversas soluções foram obtidas. A seguir dis utiremos algumas destassoluções.•Segundo maior autovalor real (estado marginal) 5Setor om n = N e has5Esta nomen latura ante ipa a identi ação deste estado om o operador marginal do modelo, onformeveremos mais adiante.

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 42Na variável σj observamos numeri amente que para λ e σ tais que, π3 < λ ≤ π

2 , e−λ <

σ < λ, o segundo maior autovalor real no setor om N e has é ara terizado por um onjunto σRj (σR

1 < σR2 < · · · < σR

N ), similar ao onjunto do maior autovalor reallo alizado neste setor (para ∆ = 0, essa distribuição é a mesma do maior autovalorreal). Entretanto o orrespondente onjunto σIj ≡ (σI

1 , σI2 , . . . , σI

N ) deste autovaloré tal que σI1 = σI

N = (λ−σ−π)2 , enquanto que σI

2 = · · · = σIN−1 = (λ−σ)

2 . Na gura3.12b representamos este estado para uma rede de tamanho N = 6 om n = 6 e has.Setor om n 6= N e hasO estado marginal neste setor é ara terizado por raízes σljj om a mesma parteimaginária onstante σI

j = λ−σ2 , enquanto que a parte real é onstruída de forma queo maior σ+,R

j e menor σ−,Rj não esteja tão on entrado, quando omparado om omaior autovalor deste setor.

•Estados de momento não nuloNeste aso a nossa análise se restringirá apenas no aso espe ial em que ∆ = 0.Para onstruirmos estados de momento não nulo, devemos es olher um onjunto dekj tal que a soma seja não nula. Como Λlj (kj) possui dois valores distintos parao mesmo kj (Λ+(kj) 6= Λ−(kj)) podemos onstruir um estado de momento, a partirde um onjunto kj ontendo números de ondas degenerados. Em virtude dessadegeneres ên ia da variável kj , um dos possíveis estados de momento p1 = −2π

N, ou

p2 = 2πN

que podemos onstruir em uma rede de tamanho N possuem autovaloresdados pela seguinte onguraçãoΛp1

n = Λ+1 (−kmax) · · ·Λ−

1 (−kmin)Λ+1 (−kmin) · · ·Λ+

1 (kmax),

Λp2

n = Λ+1 (−kmax) · · ·Λ−

1 (kmin)Λ+1 (kmin) · · ·Λ+

1 (kmax), (3.85) om kmax e kmin dados por

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 43kmax =

π(N − 1)

N,

kmim =π

N. (3.86)Na variável σj , o estado a ima men ionado om momento p1 é onstruído através dainversão da parte imaginária i(λ−σ)

2 para − iπ2 + i(λ−σ)

2 da raíz om a maior parte realnegativa σ−,Rmin do estado de maior autovalor no setor. Analogamente o estado ommomento p2 é onstruído através da inversão da parte imaginária i(λ−σ)

2 para −iπ2 +

i(λ−σ)2 da raiz om a menor parte real positiva σ+,R

min do estado de maior autovalor nosetor. Nas guras 3.12 e 3.12d mostramos estes estados para uma rede de tamanhoN = 6 om n = 6 e has.3.4.1.2 Observações naisOs autovalores de valor máximo em um dado setor om n e has puderam ser al- ulados ( omputa ionalmente) para diversos valores da anisotropia −1 < ∆ < 1resolvendo-se as equações do ansatz de Bethe (3.83). Os demais estados não pud-eram ser veri ados no mesmo domínio om que veri amos o maior autovalor devidoàs instabilidades numéri as nas equações. Não onseguimos também ompreender aestrutura dos estados de momento não nulo em ∆ 6= 0. Por falta de tempo, não pude-mos en ontrar estados om ongurações de raízes do tipo ordas (strings) análogasàquelas que surgem nas equações do ansatz de Bethe rela ionados om o modelo XXZ[19. Estes estados são ara terizados por divergên ias nos denominadores do ladodireito e do lado esquerdo das equações do ansatz de Bethe (3.83).

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 44(λ−σ−π)/2 i

i(λ−σ)/2

(λ−σ)/2i

i(λ−σ−π)/2

(a) (b)

(c) (d)Figura 3.12: Conguração das raízes da equação de ansatz de Bethe para N = n = 6:(a) onguração do estado de maior autovalor; (b) onguração do estado marginal; ( ) e (d) onguração orrespondente ao maior autovalor om momento −2πN

e 2πN

respe tivamente.3.5 Limite Termodinâmi o3.5.1 IntroduçãoAbordaremos neste apítulo, um estudo do maior autovalor da matriz de transferên iado modelos de 5 vérti es interagentes, para o aso espe ial em que a1 = a2, b1 = b2,c1 = c2 ( aso simétri o). Apresentaremos apenas o aso espe ial s1 = s2 = . . . = sn =

1 do modelo de 5 vérti es interagentes, que orresponde ao modelo de 6 verti es6.3.5.1.1 Fases Termodinâmi asConforme é bem sabido da literatura, o modelo de seis vérti es simétri o apresentatrês fases físi as diferentes.Ferroelétri a: ara terizada pela região onde a > b + c ou c > a + b.Desordenada: ara terizada pela região onde c < a+b+c2 .Antiferroelétri a: ara terizada pela região onde c > a + b.6Embora não deva apresentar di uldade adi ional, tais ál ulos para os asos gerais do modelo aindanão foram feitos

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 45Tais resultados foram obtidos pela diagonalização da matriz de transferên ia linha-para-linha do modelo om ondições periódi as (veja por exemplo [3). Em nossotrabalho obtivemos o espe tro da matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal om ondições de ontorno toroidais. Assim sendo, é interessante a re-obtenção das fasesa ima men ionadas.3.5.2 ∆ > 1.Foi mostrado que a estrutura dos autovalores para o setor om n e has possue aforma apresentada em (3.55). A nossa idéia agora é tentar mostrar de forma nãorigorosa que o maior autovalor no regime ∆ > 1 perten e ao setor om n = 0 e has,ou seja, Λmax0 > Λmax

n para n = 1, . . . , 2N , sendo Λmaxn o maior autovalor no setor om n e has.Ini iaremos nossa demonstração omparando o autovalor Λmax

0 om Λmax1 . Como onsequên ia do teorema de Perron-Frobenius, o maior autovalor está asso iado àum autovetor que possui todas entradas positivas. Os úni os autovetores no setor om uma e ha que possui todas entradas positivas são os autovetores que possuemmomento nulo, ou seja, k = 0. Substituindo-se este parâmetro em (3.20) obtemos osautovalores

Λ+1 (k = 0) = b + c,

Λ−1 (k = 0) = b − c. (3.87)Isto nos garante que o maior autovalor no setor om uma e ha é dado por Λmax

1 =

b + c, e deste modo a demostrado que Λmax0 > Λmax

1 , pois na região ferroelétri atemos 1 > b + c, eΛmax

0 = 1, Λmax1 = b + c. (3.88)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 46Para forne er um argumento que Λmax0 > Λmax

n , para n > 1, imaginemos ini- ialmente que exista uma ombinação espe ial de k1, . . . , kn que seja solução dasequações do ansatz de Bethe no setor que possui n e has e que produz o maiorautovalor. Mais espe i amente, o maior autovalor asso iado a estes números deonda deve possuir a maior parte real entre aqueles autovalores perten entes a esteespe í o setor om n e has. Evidentemente a obteção desse onjunto espe ialk1, . . . , kn para ∆ 6= 0 não é um problema trivial do ponto de vista analíti o. En-tretanto é possível provar a existên ia de um limite superior ΛMAX

n para Λmaxn , istoé, ΛMAX

n > Λmaxn . Tal autovalor hipotéti o é obtido rela hando-se por ompleto aregra do gelo, isto é,

ΛMAX

n = (Λmax1 )n = (b + c)n < 1. (3.89)Uma vez que 1 > b + c (região ferroelétri a), on luímos que Λmax

0 > Λmaxn .3.5.3 −1 < ∆ < 1O ál ulo do maior autovalor de TD−D no regime −1 < ∆ < 1 é feito explorando-seas hipóteses da seção (3.4.1). Antes de ini iarmos nosso ál ulo mostraremos que aobservação enun iada na hipótese 1 sobre a distribuição de raízes σj(j = 1, . . . , n)para o maior autovalor de uma dado setor é equivalente a dizer que as raízes kj orrespondentes a tal distribuição são reais. Es revendo

σj = σRj + iσI

j , om σIj = f(λ, σ), (3.90)a variável kj orrespondente é dada por

eikj =sinh[i(λ − f(λ, σ)) − σR

j ]

sinh[σRj + if(λ, σ)]

sinh[−σRj + i(λ − σ − f(λ, σ))]

sinh[σRj + i(σ + f(λ, σ))]

. (3.91)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 47Caso a variável kj seja real esta última expressão deve ser unimodular, o que é possível asof(λ, σ) =

λ − σ

2. (3.92)Assim a distribuição de raízes referente ao estado de maior autovalor, por ser o mesmode momento nulo (teorema de Perron-Frobenius) é dada pela distribuição simétri ade raízes

σj = σRj + i

λ − σ

2, (3.93)Substituindo esta última expressão em (3.91) obtemos

sinh[σRj − ig(λ, σ)]

sinh[σRj + ig(λ, σ)]

sinh[σRj − if(λ, σ)]

sinh[σRj + if(λ, σ)]

. (3.94)Consequentemente as equações do ansatz de Bethe nestas novas variáveis são es ritas omo[sinh[σR

j − ig(λ, σ)]

sinh[σRj + ig(λ, σ)]

sinh[σRj − if(λ, σ)]

sinh[σRj + if(λ, σ)]

]N= −

n∏

l=1

sinh(σRj − σR

l − iλ)

sinh(σRj − σR

l + iλ), (3.95)onde j = 1, . . . , n, e

g(λ, σ) =λ + σ

2. (3.96)Para prosseguirmos é onveniente usarmos a relação

sinh(z − iw)

sinh(z + iw)= −eiθ(z,w),

θ(z,w) = arctan(2 tanh(z) cot(w)

1 − tanh2(z) cot2(w)), (3.97)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 48válida para z,w reais. Utilizando esta úlltima expressão as equações (3.95) podementão ser es ritas omoeiN(θ1(σR

j )+θ2(σRj )) = (−1)n+1ei

Pnl=1

θ(σRl

,σRj ), (3.98)sendo

θ1(σRj ) = arctan(

2 tanh(σRj ) cot(g(λ, σ))

1 − tanh2(σRj ) cot2(g(λ, σ)

)),

θ2(σRj ) = arctan(

2 tanh(σRj ) cot(f(λ, σ))

1 − tanh2(σRj ) cot2(f(λ, σ)

)),

θ3(σRl , σR

j ) = arctan(2 tanh(σR

j − σRl ) cot(λ)

1 − tanh2(σRj − σR

l ) cot2(λ)). (3.99)Uma vez que θ1, θ2 e θ3 são funções reais, quando tomamos o logarítimo em (3.98)obtemos

N [θ1(σRj ) + θ2(σ

Rj )] = 2πIj +

n∑

l=1

θ3(σRl , σR

j ), j = 1, . . . , n. (3.100)sendo Ij inteiros ou semi-inteiros aso n seja ímpar ou par, respe tivamente. Veri- amos mediante a resolução numéri a das equações do ansatz de Bethe que a es olhaapropriada para os inteiros Ij rela ionados ao maior autovalor do setor om ne has é dada porIj = j − n + 1

2, j = 1, . . . , n. (3.101)Vamos obter agora a função distribuição de σR

j no limite termodinâmi o referenteao estado de maior autovalor em um dado setor de n e has. Para isto devemosimpor que σR1 , . . . , σR

n sejam distintos e distribuídos em torno da origem em algum

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 49intervalo simétri o (−Q,Q) ( ondição de momento nulo). Mais ainda, a distribuiçãodeve ser a mais ondensada possível (para termos a menor energia livre).É onveniente denirmos a função ρ(σR) que forne e a distribuição de σRj , isto é,

2Nρ(σR)dσR nos dá o número de σRs no intervalo entre σR e σR + dσR. Conse-quentemente ρ(σR) deve satisfazer∫ Q

−Q

ρ(σR)dσR =n

2N. (3.102)Imaginemos que estamos onsiderando o nosso sistema om um número de e has nxo. Neste aso a densidade de energia livre para um sistema nito é es rita omo

f = −kBTn

∑

j=1

ln(Λj)

N, (3.103)no limite termodinâmi o assume a forma

f = −2kBT

∫ Q

−Q

ln(ΛR)ρ(σR)d(σR). (3.104)Para um dado valor σR da variável σRj , o inteiro Ij + n+1

2 nos dá o número de σRl s om l < j. Deste modo a equação (3.100) se torna

N [θ1(σR) + θ2(σ

R)] = −π(n + 1)

+4πN

∫ σR

−Q

ρ(σR′′)dσR′′

+ 2N

∫ Q

−Q

θ3(σR′′

, σR)ρ(σR′′)dσR′′

. (3.105)Diferen iando-se esta úlltima expressão om respeito a σR e dividindo-se por Nobtemosd

dσR[θ1(σ

R) + θ2(σR)] = 4πρ(σR) + 2

∫ Q

−Q

∂

∂σRθ3(σ

R′′, σR)ρ(σR′′

)dσR′′. (3.106)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 50Uma vez efetuado estas derivadas en ontramos a seguinte expressão para a funçãodistribuiçãoρ(σR) =

1

2π

sin(σ + λ)

cosh(2σR) − cos(σ + λ)+

1

2π

sin(λ − σ)

cosh(2σR) − cos(λ − σ)

− 1

π

∫ Q

−Q

sin(2λ)

cosh(2(σR − σR′′)) − cos(2λ)ρ(σR′′

)dσR′′. (3.107)Isto nos mostra que a função distribuição ρ é dada por uma equação integral. Comoo integrando em (3.107) depende apenas da diferença das variáveis, podemos usar atransformada de fourier para resolver esta equação no aso espe ial em que Q = ∞.Denindo

ρ(x) =1

2π

∫ ∞

−∞ρ(σR)eixσR

dσR, (3.108)e fazendo a transformada de fourier de (3.107) obtemos em termos da variável x

2πρ(x) =sinh[(π − (σ + λ))x

2 ]

2 sinh(xπ2 )

+sinh[(π − (λ − σ))x

2 ]

2 sinh(xπ2 )

− 2πsinh[(π − 2λ)x

2 ]

sinh(xπ2 )

ρ(x). (3.109)Simpli ando esta última equação obtemos2πρ(x) =

cosh(xσ2 ) sinh(x(π−λ)

2 )

sinh(xπ2 )

+2π sinh[ (π−2λ)x

2 ]ρ(x)

sinh(xπ2 )

. (3.110)Denindo-se por onveniên ia a função 2πρ(x) = ϕ(x) obtemosϕ(x) =

cosh(xσ2 )se h(xλ

2 )

2. (3.111)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 51•Lo alização do setor de maior autovalorDa úlltima expressão extraímos que ϕ(0) = 1

2 . Além disso sabemos que a transfor-mação de ϕ(σR) para ϕ(x) é dada porϕ(x) =

1

2π

∫ π

−π

ϕ(σR)eixσR

dσR, (3.112)e que a normalização para ϕ(σR) é es rita omo,1

2π

∫ ∞

−∞ϕ(σR)dσR =

n

2N. (3.113)A partir de (3.112) e (3.113) vemos que ϕ(0) = 1

2 , e deste modo o maior autovalordeve perten er ao setor onde n = N , e assim sendo a hipótese 2 anun iada na seção3.4.1 de orre da hipótese 1.•Energia livreCal ulando a transformada inversa de fourier de ϕ(x) obtemos

ϕ(σR) =8π

λ

cosh(σRπλ

) cos(πσ2λ

)

[cosh(2σRπλ

) + cos(σπλ

)], σR > 0. (3.114)A energia livre (3.103) é agora es rita omo

f∞ = −kBT

∫ ∞

0

ϕ(σR)

πln(|Λ(σR)|)dσR, (3.115)ou seja,

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 52f∞ = −kBT

∫ ∞

0

2

λ

cosh(σRπλ

) cos(πσ2λ

)

[cosh(2σRπλ

) + cos(σπλ

)]ln[

cosh(2σR) − cos(λ + σ)

cosh(2σR) − cos(λ − σ)]dσR,

0 < λ < π, −λ < σ < λ. (3.116)Na tabela I mostramos na última linha (N → ∞) o valor numéri o desta integralpara σ = 0.5 e diversos valores de λ. Mostramos também nesta tabela resultados do ál ulo do logarítimo do maior autovalor da matriz de transferên ia − ln(Λmax(N))N

emredes de tamanhos N nito e no setor de N e has. Tais resultados foram obtidosmediante a resolução numéri a das equações do ansatz de Bethe.Tabela IN λ = 2π3 λ = π

2 λ = π3 λ = π

46 0.03512818236443 0.06453944018973 0.11709717611811 0.1664012065849810 0.03477636309547 0.06406728710673 0.11638357857966 0.1654412002133018 0.03464007644564 0.06388499113569 0.11610862695902 0.1650718019642734 0.03459635046007 0.06382657412923 0.11602059391022 0.1649536278936366 0.03458384713708 0.06380987621701 0.11599543821154 0.16491987454694130 0.03458049496149 0.06380539993341 0.11598869526491 0.16491082900319∞ 0.03457933093553 0.0638038456134 0.11598635395420 0.16490768852793Entretanto é interessante ressaltar que o fun ional do integrando da expressão (3.115)é diferente daquele apresentado em [3 na solução do modelo a partir da matrizde transferên ia linha-para-linha. Todavia, quando atribuímos os mesmos valorespara os pesos de Boltzmann, as integrais onvergem para o mesmo valor numéri o, omo deveria ser, pois a energia livre no limite termodinâmi o deve independer daparti ular geometria om que denimos o modelo.

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 533.5.4 ∆ < −1Para atingirmos este limite é onveniente tomarmos os parâmetros λ e σ e a variávelσR omo imaginários puros, ou seja,

λ → −iλ, σ → −iσ, σR → −iσR. (3.117)Fazendo estas substituições em (3.107) a equação integral, no regime em questão,assume a formaρ(σR) =

1

2π

sinh(σ + λ)

cosh(σ + λ) − cos(2σR)+

1

2π

sinh(λ − σ)

cosh((λ − σ)) − cos(2σR)

− 1

π

∫ Q

−Q

sinh(2λ)

cosh(2λ) − cos(2(σR − σR′′))

ρ(σR′′)dσR′′

. (3.118)Denindo-seρm =

1

2π

∫ π

−π

ρ(σR)eimσR

dσR, e, 2πρm = ϕm, (3.119)a equação (3.118) assume a seguinte forma em termos da variável m,ϕm =

1

2e−(σ+λ)

|m|2 +

1

2e−(λ−σ)

|m|2 − e−λ|m|ϕm. (3.120)Isolando-se ϕm nesta última equação, obtemos

ϕm =cosh(σm

2 )se h(λm2 )

2. (3.121)

•Lo alização do setor de maior autovalor

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 54Da última expressão extraímos que ϕ0 = 12 . Além disso sabemos que a transformaçãode ϕ(σR) para ϕm é

ϕm =1

2π

∫ π

−π

ϕ(σR)eimσR

dσR, (3.122)e que a normalização para ϕ(σR) é es rita omo,1

2π

∫ π

−π

ϕ(σR)dσR =n

2N. (3.123)A partir de (3.122) e (3.123), vemos que ϕ0 = 1

2 , e deste modo, o maior autovalordeve se lo alizar no setor om n = N e has.•Energia livreA energia livre no limite termodinâmi o assume a forma

f∞ = −kBT

π

∫ π

−π

ln[Λ(σR)]ϕ(σR)dσR, (3.124)Se expardirmos ln[Λ(σR)] em potên ias de eiσR , isto é,ln[Λ(σR)] =

∞∑

m=0

gmeimσR

, (3.125)a energia livre pode ser es rita omof∞ =

kBT

π

∞∑

m=0

∫ π

−π

gmeimσR

ϕ(σR)dσR = kBT2

∞∑

m=0

gmϕm, (3.126)Fazendo-se expli itamente a expansão de ln[Λ(σR)] obtemos nalmente

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 55f∞ = −kBT [σ +

∞∑

m=1

(−1)m

msinh(2mσ)se h(mλ)e−mλ],

λ > 0, −λ < σ < λ. (3.127)3.6 Conteúdo operatorial do modelo de 6 vérti es a partirda matriz de transferên ia diagonal-para diagonalOs autovalores da matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal estudados nestadissertação nos permitiram obter os expoentes ríti os do modelo de 6 vérti es. Estasestimativas são possíveis graças às onsequên ias advindas da invariân ia onformedos modelos ríti os. Mostraremos que as dimensões anmalas do modelo de seisvérti es, al uladas mediante a análise das orreções de tamanho nito da matrizde transferên ia diagonal-para-diagonal, são as mesmas daquelas al uladas usando-se a matriz de transferên ia linha-para-linha. Este fato é esperado pois a teoriade ampo asso iada ao modelo é a mesma independente da matriz transferên iausada. Entretanto mostraremos que a velo idade do som, por ser uma quantidade nãouniversal, asso iada a estas duas matrizes de transferên ia, assume valores diferentespara o mesmo valor de λ.É onveniente redenirmos os setores da matriz de transferên ia da seguinte formar = N − n, n = 0, . . . , 2N. (3.128)Nesta nova nomen latura o setor de maior autovalor da matriz de transferên ialo aliza-se em r = 0. Restrir-nos-emos aos asos em que r ≥ 0, uma vez que oespe tro da matriz de transferên ia é simétri o pela inversão r → −r.Para podermos al ular a velo idade do som ζ e a dimensão dos operadores x quegovernam a teoria de ampos adja ente ao modelo ríti o em estudo, fazemos uso

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 56das relações advindas da invariân ia onforme do sistema innito (N → ∞). Con-forme men ionamos na introdução desta dissertação (veja relações (1.5) e (1.6)) asquantidades de interesse são obtidas pelas orreções devido à nitude da rede, do omportamento assintóti o das energias f ij,j

′ , do Hamiltonio asso iado à TD−D, istoé, H = − ln TD−D. Denotando por f0(N,λ, σ) a energia orrespondente ao maiorautovalor de TD−D (menor autovalor de H) numa rede de tamanho N e f ij,j

′(N,λ, σ)as energias rela ionadas às torres onformes do operador de dimensão xi e spin si,podemos re-es rever as relações (1.5) e (1.6) omof0(N,λ, σ)

N= f∞(λ, σ) − πζ(λ, σ)c

6N2+ o(N−2),

f ij,j

′ (N,λ, σ) = f0(N,λ, σ) +2πζ(λ, σ)

N(xi + j + j

′) + o(N−1),

f ij,j

′ (N,λ, σ) =2π

N(si + j − j

′), j, j

′= 0, 1, 2 . . . . (3.129)Ao invés de al ularmos a velo idade do som ζ usando-se os gaps oriundos do primeiroestado ex itado de H om momento 2π

N, omo é o pro edimento usual [19, usaremosapenas os estados fundamentais dos diversos setores. Para isto, assumiremos omobem estabele ido o valor da anomalia onforme do modelo c = 1. A velo idade dosom ζ(N,λ, σ) será obtida pelo limite assintóti o (N → ∞) da sequên ia

ζ(N,λ, σ) =6N

π[f∞(λ, σ)N − f0(N,λ, σ)]. (3.130)Na tabela II mostramos os valores obtidos para ζ(N,λ, σ = 0.5) para alguns taman-hos de rede. As energias foram obtidas resolvendo-se as equações do ansatz deBethe. Repare que os resultados al ulados são distintos da velo idade do som

ζXXZ(λ) = π sin(λ)λ

asso iado om a matriz de transferên ia linha-para-linha do mod-elo [19. Na última linha da tabela II mostramos para efeito de omparação, osvalores de ζXXZ(λ). Tal dis ordân ia, atesta a dependên ia da velo idade do som om as diferentes formas da matriz de transferên ia

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 57Tabela IIN λ = 2π3 λ = π

2 λ = π3 λ = π

46 0.03773624454706 0.05057575758530 0.07637450613819 0.1026867375543110 0.03763037006426 0.05031361904847 0.07586431519232 0.1018932263096618 0.03758898261725 0.05021239627931 0.07566185294259 0.1015524784448934 0.03757566152908 0.05017995741567 0.07559488486292 0.1014248107923266 0.03757184873142 0.05017068491387 0.07557509071692 0.10137972294200130 0.03757082640365 0.05016819918004 0.07556960190088 0.10136393437831ζXXZ(λ) 1.299038106 2.0 2.598076211 2.82844271253.6.1 Velo idade do som em ∆ = 0Para al ular a velo idade do som de forma analíti a neste regime, partimos do onhe- imento das soluções das equações de Bethe, orrespondente aos estados demaior autovalor real om momentos nulo, e P = 2π

N. Tomando o logarítmo destesautovalores e expandindo o resultado para grandes valores de N obtemos o seguinteresultado

fP= 2πN

− f0 ≈ π tan(σ)

N. (3.131)Como a relação de dispersão energia-momento nos diz que

fP − f0 ≈ Pζ

N, (3.132)podemos on luir da última equação que

ζ(λ =π

2, σ) =

tan(σ)

2. (3.133)

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 58Mostramos na tabela III o resultado do ál ulo numéri o da velo idade do som emλ = π

2 , para diferentes valores de σ, numa rede de N = 130 sítios, em omparação om a expressão a ima obtida N → ∞.Tabela IIIσ ζTeóri o ζMedido0.1 0.05016733604273 0.050168199180040.2 0.10135501775434 0.101356815330050.3 0.15466812480481 0.154671011762250.4 0.21139660936908 0.211400854110900.5 0.27315124492190 0.273157286656223.6.2 Estados ex itadosAssim omo na análise da matriz de transferên ia linha-para-linha, esperamos queparte das dimensões xi asso iados aos operadores Oi varie ontinuamente om λ.Na literatura [19 tais dimensões são parametrizados em termos de pares de inteiros

(r, s), ou seja,xr,s = r2xp +

s2

4xp, om

xp =π − λ

2π, r, s = 0, 1, . . . ; (r, s) 6= (0, 0). (3.134)Além dos operadores a ima men ionados o modelo exibe também operadores omdimensões independentes de λ, que orrespondem a inteiros,

• Maior autovalor em um setor om r e has: Vamos al ular a dimensão xr,0 as-so iada ao operador Or,0. Para isto usaremos a segunda das equações (3.129) paraformar a sequên ia.

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 59ΓN (λ, σ, r) =

N

2π[f r

0,0(N,λ, σ) − f0(N,λ, σ)], (3.135)que deve, no limite N → ∞, onvergir para ζ(λ, σ)xr,0. Em (3.135) f r0,0 está asso- iado ao maior autovalor da matriz de transferên ia no setor om r e has. Comonão sabemos a forma analíti a de ζ(λ, σ) para ∆ 6= 0, vamos aproximar ζ(λ, σ)por ζN=130(λ, σ) para que possamos obter uma boa estimativa da dimensão xr,0.Na tabela IV listamos Γ(λ,σ,2)

ζN=130(λ,σ) , para diversos valores de λ e N = tomando oparâmetro σ = 0.1. Vemos que o omportamento assintóti o dos dados desta últimatabela indi am que xr,0

4 = xp, sendo xp dado pela expressão (3.134). Para efeitode omparação exibimos na última linha da tabela IV os valores esperados de xpforne idos por (3.135).Expomos na gura 3.13 em anexo os quo ientes Γ(λ,σ,r)ζN=130(λ,σ) para r = 1, 2, 3 e 4.Para simples visualização mostramos tais dados omo função de xp, para a adeiade N = 66 sítios. Os resultados da gura, assim omo diversos outros resultadosnuméri os que não apresentaremos por brevidade, indi am que

xr,0 = r2xp, (3.136)em on ordân ia om (3.134). Tabela IV

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 60N λ = 2π3 λ = π

2 λ = π3 λ = π

46 0.16676687232160 0.24712196038398 0.32156619179235 0.3528877567518410 0.16669813477183 0.24895867880621 0.32848712046665 0.3642430119075818 0.16667118822612 0.24967533316320 0.33163455071116 0.3703165561935334 0.16666377767609 0.24990588088981 0.33279409867774 0.3730702612771966 0.16666111002548 0.24997186077500 0.33308163423995 0.37421361133470130 0.16666077565395 0.24998955435956 0.33328029440123 0.37467033465614xp 0.1666.. 0.25 0.3333.. 0.375

• O operador marginalConforme já omentado, além dos operadores Or,s ujas dimensões xr,s variam on-tinuamente, existem também na teoria de ampos que governam as utuações domodelo, operadores ujas dimensões são independentes de λ. O mais importante de-les é o operador marginal [24, om dimensão xm = 2, que deve governar a variaçãodos expoentes ríti os ao longo da linha ríti a −1 < ∆ < 1. O nível mais baixo datorre onforme orrespondente a este operador (j = j′= 0) em (3.129) orrespondeao estado que hamamos na seção (3.4.1.1) por estado marginal e uja distribuiçãode raízes foi apresentada. Este estado é obtido no setor om n = N e has (r = 0).Na tabela V mostramos as estimativas para xm obtidas para alguns valores de Ne para dois valores7 de λ. Veri amos nesta tabela laramente o omportamentoassintóti o xm = 2. Tabela V7Infelizmente, devido à instabilidade numéri a, não onseguimos al ular a solução das equações doansatz de Bethe orrespondente ao estado marginal para λ < π

3ou λ > π

2.

Capítulo 3. Modelos de 5 vérti es interagentes 61N λ = π2 λ = 2π

510 1.99166943044940 1.9720060163998518 1.99740266530500 1.9911267556863334 1.99924704711735 1.9974530565182066 1.99977488619794 1.99929004361748130 1.99991643487650 1.99978661156063

Capítulo 4Modelos de 10 vérti es exatamenteintegrável na rede diagonal4.1 Des rição do modeloNo apítulo anterior introduzimos e resolvemos exatamente uma família de modelosde vérti es interagentes que in luem o onhe ido modelo de 6 vérti es [2,[3 omo asoparti ular (s1 = s2 = . . . = sn = 1). Neste apítulo onsideraremos generalizaçõesdo modelo de 6 vérti es em que o número de e has em uma dada linha denindo umvérti e pode ser maior que a unidade. A generalização mais simples, e que trataremos,são os modelos de 10 vérti es. Em tais modelos permitimos duplas o upações dee has para as linhas verti ais e apenas simples o upações de e has para as linhashorizontais que denem os vérti es. Assim omo no modelo de 6 vérti es, os vérti esdevem satisfazer à regra do gelo, isto é, o número de e has entrando e saindo em umdado vérti es deve ser igual. O número de ongurações de vérti es satisfazendo talregra é 10, e na gura 4.1 mostramos as possíveis ongurações om os respe tivosvalores das fuga idades. Sem perda de generalidade, assumiremos a0 = 1. Repareque o aso parti ular a2 = a3 = b3 = c3 = 0 re ai no tradi ional modelo de 6 vérti es,já dis utido anteriormente.

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 63O nosso objetivo neste apítulo é determinar as possíveis relações entre as fuga idadesexibidas na gura 4.1 que tornam o modelo exatamente integrável. Tal tarefa, deforma análoga ao que zemos no apítulo 3, será exe utada utilizando-se a matriz detransferên ia diagonal-para-diagonal asso iada à uma rede NxM , om ondições de ontorno espe iais.13a a

a a

3 30 b c b2

c2 b1 c1 2 1

Figura 4.1: Vérti es do modelo de 10 vérti es.4.2 Diagonalização da matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal asso iada ao modelo de 10 vérti esAnalogamente ao que zemos no modelo de 5 vérti es interagentes iremos onsiderarnosso modelo na rede quadrada deformada introduzida no apítulo 2. A matriz detransferên ia diagonal-para-diagonal é então subdividida em blo os diagonais dis-juntos indexados pelo número n de e has numa dada linha da rede deformada. Aequação de autovalor no setor de n e has é dada porΛn|Ψn >= TD−D|Ψn >, (4.1)1Veja o apítulo 2 para a introdução da rede quadrada deformada e da matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal.

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 64sendo Λn e |Ψn > os autovalores e autovetores, respe tivamente. Os autovetores|Ψn > possuem a forma geral

|Ψn >=∑

1≤x1≤x2≤···≤xn≤N

2∗∑

α1,α2,...,αn=1

φα1,α2,...,αn(x1, x2, . . . , xn)|x1, α1;x2, α2; . . . ;xn, αn > . (4.2)onde φα1,α2,...,αn(x1, x2, . . . , xn) são as amplitudes orrespondentes às onguraçõesem que e has dos tipos (α1, α2, . . . , αn) estejam lo alizadas em (x1, x2, . . . , xn). Osímbolo * em (4.2) indi a que as ongurações devem satisfazer à regra de não havermais que uma (duas) e has do tipo 2 (tipo 1) asso iada à mesma oordenada deposição x.Analogamente ao que zemos no apítulo 3 tentaremos obter as soluções dos mo-delos utilizando, ao invés do ansatz de Bethe tradi ional, o ansatz do produto ma-tri ial. A formulação deste ansatz segue de uma simples generalização daquele queformulamos para o aso do modelo de 5 vérti es interagentes (veja apítulo 3). As-so iamos à amplitude φα1,α2,...,αn(x1, x2, . . . , xn) o traço de um produto de matrizes.Na omposição de tal produto asso iamos distintas matrizes, om álgebra a ser de-terminada, aos sítios da rede, de a ordo om a o upação dos mesmos. Na gura4.2 mostramos as possíveis o upações do sítios, bem omo a matriz asso iada para aformulação de nosso ansatz do produto matri ial. As amplitudes asso iadas à on-guração em que não haja dupla o upação de e has do tipo 1, são dadas de formaidênti a à asso iação do modelo de 5 vérti es interagente, isto é:φα1,α2,...,αn(x1, x2, . . . , xn) =Tr[Ex1−1A(α1)Ex2−x1−1A(α2) · · ·Exn−xn−1A(αn)EN−xnΩP ], (4.3)ao passo que se tivermos uma o upação dupla, isto é, xi+1 = xi de e has do tipo 1

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 65(αi+1 = αi = 1) teremos a asso iação

φα1,...,αi,αi+1,...,αn(x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xn) =Tr[Ex1−1A(α1) · · ·Exi−xi−1−1A(3) · · ·Exi+2−xi−1A(αi+2) · · ·Exn−xn−1A(αn)EN−xnΩP ].(4.4)E

A(3) A E A(2)

EA(1)

A(2)(−1) (−1)(3)

A(1)

A(2)

Figura 4.2: Vérti es do modelo de 10 vérti es.O produto de matrizes asso iado às ongurações gerais segue de (4.3) e (4.4). Em(4.3) e (4.4) a matriz ΩP foi introduzida pelo fato de querermos produzir autofunçõesde TD−D que também o sejam do operador de translação (momento) ao longo dadiagonal da rede ( omprimento N). Tal operador omuta om TD−D, devido às ondições periódi as de ontorno ao longo da diagonal e seus autovalores são dadospor P = 2π

Nj (j = 0, 1, . . . , N − 1). A propriedade í li a do traço nos garante que

(4.3) e (4.4) serão também autofunções do operador momento, aso ΩP satisfaça àsrelações algébri asEΩP = e−iP ΩP E, A(j)ΩP = e−iP ΩP A(j), j = 1, 2, 3. (4.5)Ao onsiderarmos o nosso ansatz (4.3) e (4.4) em setores om pou as e has, ve-

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 66ri amos que analogamente ao o orrido na solução dos modelos de 5 vérti es inte-ragentes, as matrizes A(α) (α = 1, 2, 3) em setores om n e has são formadas por ombinações de matrizes espe trais, isto é:A(j) =

n∑

i=1

φijAkj

E (j = 1, 2); A(3) =

n∑

i,j=1,i6=j

φi1φ

j1Bki,kj

E, (4.6)sendo que as matrizes espe trais Akje Bki,kj

dependem dos mesmos parâmetrosespe trais (k1, . . . , kn) e satisfazem à seguinte relação de omutação om o operadorE.

EAkl= eiklAkl

E, (l = 1, 2, . . . , n),

EBkj ,kl= ei(kj+kl)Bkj ,kl

E, (j 6= l = 1, 2, . . . , n). (4.7)Repare que (4.5), (4.6) e (4.7) impli am em[Akl

,ΩP ] = [Bkj ,kl,ΩP ] = 0, j, l = 1, 2, . . . , n. (4.8)Passaremos, a seguir, à diagonalização do modelo ini iando pelos setores om pou ase has, para posteriormente apresentarmos o resultado para n geral.

• Setor om n = 0 ou n = 1Nos asos em que n = 0 ou n = 1 nosso modelo é idênti o ao aso parti ulardo modelo interagente onsiderado no apítulo anterior, em que todas as e haspossuem tamanho s = 1. Neste aso as equações (3.10)-(3.22) seriam as mesmaspara o presente modelo.•setor om n=2 e hasAs equações provenientes das ongurações em que as duas e has não estejam emposição de olisão são as mesmas equações (veja (3.23)-(3.26)) obtidas no apítulo

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 67anterior para o aso em que s1 = s2 = 1. Desta forma, a estrutura do autovalor nestesetor é a mesma do modelo de 5 vérti es interagentes, isto é,Λl1,l2

2 = Λl11 (k1)Λ

l21 (k2), l1, l2 = +,−, (4.9)sendo que Λl

1(k) vem do problema de uma e ha, apresentado no problema de 5vérti es interagentes.A novidade no pro esso de diagonalização surge quando estudamos as equações prove-nientes das ongurações onde haja olisões entre as duas e has. Para vermos isto, onsideremos as ongurações de e has apresentadas nas guras 4.3a e 4.3b.x 1 x 1+1

(a)

x 1 x 1+1

(b)

Figura 4.3: Situações de olisão.As relações advindas das ongurações mostradas nas guras 4.3a e 4.3b são es ritas,respe tivamente omoΛ2φ21(x1, x1 + 1) = a1φ12(x1 + 1, x1 + 1) + c3φ

1∗211 (x1 + 1, x1 + 1),

Λ2φ1∗211 (x1, x1) = b3φ

1∗211 (x1, x1) + a2φ12(x1, x1), (4.10)onde denotamos por φi∗i+1

11 a amplitude orrespondente à onguração em que duase has do tipo 1 estão lo alizadas em um mesmo sítio. O ansatz matri ial (4.3) e(4.4) utilizado na primeira equação do onjunto (4.10) nos dá

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 68Λ2tr[Ex1−1A(2)A(1)EN−x1−1ΩP ] = a1tr[Ex1A(1)E−1A(2)EN−x1−1ΩP ]

+c3tr[Ex1−1A(3)EN−x1ΩP ]. (4.11)Substituindo A(α) (α = 1, 2, 3) pelas matrizes espe trais dadas em (4.6) obtemos2

∑

i,j=1

eikj (Λ2φi2φ

j1 − a1φ

i1φ

j2e

iki)tr[Ex1−1AkiAkj

EN−x1+1ΩP ] =

c3

2∑

i,j=1

φi1φ

j1e

i(ki+kj)tr[Ex1−1Bki,kjEEN−x1+1ΩP ], x2 = x1 + 1, (4.12)onde as relações de omutação (4.7) foram usadas. Da mesma forma, a segundaequação do onjunto (4.10) torna-se

2∑

i,j=1

tr[Ex1−1φi1φ

j1Bki,kj

EN−x1+1ΩP ](Λ2 − b3) =

a2

2∑

i,j=1

tr[Ex1−1φi1φ

j2Aki

AkjEN−x1+1ΩP ]. (4.13)Multipli ando-se (4.12) por (Λ2 − b3) e (4.13) por c3 podemos eliminar os traçosenvolvendo a matriz Bki,kj

e obtemos(Λ2 − b3)

2∑

i,j=1

ei(ki+kj)(Λ2φi2φ

j1 − a1φ

i1φ

j2e

iki)tr[Ex1−1AkiAkj

E2EN−x1−1ΩP ] =

c3a2

2∑

i,j=1

tr[Ex1−1φi1φ

j2Aki

AkjE2EN−x1−1ΩP ]. (4.14)Das relações obtidas na situação de duas e has não interagentes, totalmente análo-gas às obtidas para o modelo onsiderado no apítulo anterior, extraímos que oses alares φi

α e as funções Λ(ki) satisfazem

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 69φi

2φj1 =

Λ(ki) − b2

Λ(kj) − b2φj

2φi1, φj

2 =(Λ(kj) − b2)φ

j1

c1,

e−ikiΛki − e−ikiΛ(ki)b2 = Λ(ki)b1 − (b2b1 − c2c1). (4.15)Se substituirmos estas relações na equação (4.14) obtemos2

∑

i,j=1

φj1φ

i1

c1[(Λ(ki)b1 + q1)Λ(kj) − a1(Λ(kj) − b2)].(Λ(ki)Λ(kj) − b3)

−q2(Λ(ki) − b2)tr[Ex1−1AkiAkj

EN−x1+1ΩP ] = 0, (4.16)onde, q1 = c1c2−b2b1, q2 = a2c3. Para que a equação (4.16) seja verdadeira para todox1, devemos impor que as matrizes Aki

, Akj, (i 6= j) satisfaçam à seguinte relação de omutação

AkiAkj

=α(kj , ki)

α(ki, kj)Akj

Aki, A2

ki= 0,

α(kj , ki) =

[(Λ(kj)b1 + q1)Λ(kj) − a1(Λ(kj) − b2)][(Λ(ki)Λ(kj) − b3) − a2c3(Λ(kj) − b2)].(4.17)Os parâmetros (k1, k2) são livres até este momento. A propriedade í li a do traçojunto om as relações de omutação entre as matrizes Ak1, Ak2

, ΩP e E dadas em(4.5) e (4.7), servirão para extrair as equações que xam os valores de (k1, k2). Paraobter estas equações observamos queTr[AkiAkj

ENΩP ] = e−ikjNTr[AkiENAkj

ΩP ] =

e−ikjNTr[ENAkjΩP Aki

] = e−ikjNs(kj , ki)Tr[AkiAkj

ENΩP ]. (4.18)Isto nos assegura que os parâmetros espe trais satisfazem

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 70eikjN =

α(kj , ki)

α(ki, kj), j = 1, 2, i 6= j. (4.19)Os autovalores de TD−D sendo então obtidos pelas dados substituindo-se as raízes de(4.19) em (4.9).

• Setor om n=3 e hasA análise das ongurações em que as três e has estão separadas, nos forne emequações similares àquelas obtidas no setor om n = 2 e has. Tais equações podemser representadas na seguinte forma tensorialΛ3

φ11

φ12

⊗

φ21

φ22

⊗

φ31

φ32

=

b2 c1

c2eik3 b1e

ik3

⊗

b2 c1

c2eik2 b1e

ik2

⊗

b2 c1

c2eik1 b1e

ik1

φ11

φ12

⊗

φ21

φ22

⊗

φ31

φ32

.(4.20)Se impormos que Λ3 = Λ(k1)Λ(k2)Λ(k3), as equações a ima são separadas em trêsrelações análogas às de uma e ha.Consideraremos agora as equações provenientes das ongurações em que duas e hasestão em posição de olisão, enquanto que a ter eira está separada destas duas. As ongurações onde tais olisões apara em são representadas nas guras 4.4 - 4.11. Aprimeira onguração (gura 4.4) produz as seguintes relações entre as amplitudesΛ3φ121(x1, x2, x3) = b2a1φ112(x1, x3, x3) + c1a1φ212(x1, x3, x3) +

b2c3φ2∗3111(x1, x3, x3) + c1c3φ

2∗3211(x1, x3, x3). (4.21)Substituindo o nosso ansatz matri ial (4.3) e (4.4) nesta última equação obtemos

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 71. . . . . .

xx 1 2 3x =x 2 +1Figura 4.4: Conguração de 2 e has juntas e uma separada (situação 1).Λ3tr[Ex1−1A(1)Ex2−x1−1A(2)Ex3−x2−1A(1)EN−x3ΩP ] =

b2a1tr[Ex1−1A(1)Ex3−x1−1A(1)Ex3−x3−1A(2)EN−x3ΩP ] +

c1a1tr[Ex1−1A(2)Ex3−x1−1A(1)Ex3−x3−1A(2)EN−x3ΩP ] +

b2c3tr[Ex1−1A(1)Ex3−x1−1A(3)EN−x3ΩP ] +

c1c3tr[Ex1−1A(2)Ex3−x1−1A(3)EN−x3ΩP ]. (4.22)Es revendo as matrizes A(α) (α = 1, 2, 3) em termos das matrizes espe trais Akie

Bki,kj omo em (4.6) e utilizando as relações de omutação (4.7) obtemos

3∑

i,j,l=1

tr[Ex1−1AkiEx2−x1Akj

EAklEN−x3+1ΩP ] (4.23)

×(Λ3φi1φ

j2φ

l1 − b2a1φ

i1φ

j1φ

l2e

ikj − c1a1φi2φ

j1φ

l2e

ikj ) =3

∑

i,j,l=1

tr[Ex1−1AkiEx2−x1+1Bkj ,kl

EN−x3+1ΩP ](b2c3φi1φ

j1φ

l1 + c1c3φ

i2φ

j1φ

l1).A segunda relação advinda da onguração apresentada na gura 4.5 é análoga àsituação que analisamos anteriormente, não ofere endo nenhuma relação adi ional.Uma nova relação é obtida das ongurações exibidas na gura 4.6. As equaçõespara as amplitudes orrespondentes rela ionadas om esta onguração são

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 72. . . . . .

xx 1 2 3x =x 2 +1x 1−1Figura 4.5: Conguração de 2 e has juntas e uma separada (situação 2).. . . . . .

xx 3x 1 =x 1+12Figura 4.6: Conguração de 2 e has juntas e uma separada (situação 3).Λ3φ211(x1, x2, x3) = a1b2φ121(x2, x2, x3) + a1c1φ122(x2, x2, x3) +

c3b2φ1∗2111(x2, x2, x3) + c3c1φ

1∗2112(x2, x2, x3). (4.24)Substituindo-se o ansatz matri ial (4.3) e (4.4) juntamente om (4.6) nesta últimaequação e utilizando as relações de omutação (4.7) obtemos depois de uma simpli- ação

3∑

i,j,l=1

(Λ3φi1φ

j2φ

l1 − a1b2φ

i1φ

j2φ

l1e

iki − a1c1φi1φ

j2φ

l2e

iki) (4.25)×tr[Ex1−1Aki

EAkjEx3−x1−1Akl

EN−x3+1ΩP ] =

3∑

i,j,l=1

(c3b2φi1φ

j1φ

l1 − c3c1φ

i1φ

j1φ

l2)tr[Ex2−1Bki,kj

Ex3−x2AkjEN−x3+1ΩP ].As relações provenientes da onguração apresentada na gura 4.7 são análogas às

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 73relações advindas da onguração da gura 4.6. Consideremos agora as relaçõesprovenientes da onguração mostrada na gura 4.8. . . . . .

xx 1 =x 1+12 x 3Figura 4.7: Conguração de 2 e has juntas e uma separada (situação 4).. . . . . .

x x x =x1 2 3 2+1Figura 4.8: Conguração de 2 e has juntas e uma separada (situação 5).As equações das amplitudes orrespondentes neste aso são es ritas omoΛ3φ

2∗3111(x1, x2, x2) = b2b3φ

2∗3111(x1, x2, x3) + b2a2φ112(x1, x2, x2) +

c1b3φ2∗3211(x1, x2, x2) + c1a2φ212(x1, x2, x2). (4.26)Substituindo-se o ansatz matri ial (4.3) e (4.4) juntamente om (4.6) nesta últimaequação e utilizando as relações de omutação (4.7) obtemos depois de algumassimpli ações

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 743

∑

i,j,l=1

tr[Ex1−1AkiEEx2−x1−1Akj ,kl

EN−x2ΩP ](Λ3φi1 − b2b3φ

i1 − b2a2φ

i2)φ

j1φ

l1 =

3∑

i,j,l=1

tr[Ex1−1AkiEEx2−x1−1Akj

EE−1AklEEN−x2ΩP ](b2a2φ

i1φ

j1φ

l2 + c1a2φ

i2φ

j1φ

l2).(4.27)As relações advindas da onguração da gura 4.9 são semelhantes a esta última.Consideremos agora a onguração mostrada na gura 4.10.

. . . . . .x x =x2 3 2+1x 1Figura 4.9: Conguração de 2 e has juntas e uma separada (situação 6).

. . . . . .xx 1 2Figura 4.10: Conguração de 2 e has juntas e uma separada (situação 7).As equações das amplitudes neste aso são es ritas omo

Λ3φ1∗2111(x1, x1, x2) = a2b2φ121(x1, x1, x2) + b3b2φ

1∗2111(x1, x1, x2)

+a2c1φ122(x1, x1, x2) + b3c1φ1∗2112(x1, x1, x2). (4.28)

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 75Substituindo-se as relações (4.3) e (4.4), juntamente om (4.6) e usando-se (4.7)obtemos3

∑

i,j,l=1

φi1φ

j1(Λ3φ

l1 − b3b2φ

l1 − b3c1φ

l2)tr[Ex1−1Bki,kj

Ex2−x1AklEN−x2+1ΩP ] =

3∑

i,j,l=1

(a2b2φi1φ2φ

l1 + a2c1φ

i1φ

j2φ

l2)tr[Ex1−1Aki

AkjEx2−x1Akl

EN−x2+1]. (4.29)As relações oriundas das amplitudes exibidas na gura 4.11 são análogas àquelasderivadas anteriormente. Desta forma en erramos par ialmente o estudo das situ-ações em que duas das três e has estão em posição de olisão, e a ter eira estejaseparada destas duas.. . . . . .

x 1 x 2Figura 4.11: Conguração de 2 e has juntas e uma separada (situação 8).A última equação referente a este problema é dada quando as tres e has estão juntas.Mostramos na gura 4.12 a representação envolvendo a olisão das três e has. Asequações das amplitudes neste aso sãoΛ3φ

2∗3211(x1, x2, x2) = a3φ

1∗2112(x2, x2, x2). (4.30)Substituindo o ansatz (4.3),(4.4) e (4.6) nesta última equação, obtemos

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 76xx 1 2 =x 1+1Figura 4.12: Conguração de 3 e has juntas.

Λ3

3∑

i,j,l=1

tr[Ex1−1φi2Aki

Ex2−x1φj1φ

l1Akj ,kl

EN−x2+1ΩP ] =

a3

3∑

i,j,l=1

tr[Ex2−1φi1φ

j1Bki,kj

φl2Akl

EN−x2+1ΩP ]. (4.31)Assim as equações (4.23),(4.25), (4.27), (4.29) e (4.31) devem ser simultâneamentesatisfeitas para que o nosso ansatz do produto matri ial seja válido. Contudo é sim-ples veri ar que as relações (4.23), (4.25), (4.27) e (4.29) advindas das onguraçõesonde apenas duas e has estão em olisão de orrem de duas relações, semelhantesàquelas obtidas quando estudamos o setor om apenas duas e has. Para isto onsid-eremos ini ialmente a relação (4.23). Substituindo Λ3 = Λ(ki)Λ(kj)Λ(kl) e a relaçãoΛ(ki)φ

i1 = c1φ

i2 + b2φ

i1 (i = 1, 2, 3) obtida de (4.15), em (4.29) obtemos

3∑

i,j,l=3

tr[Ex1−1AkiEx2−x1Akj

Ex2−1−x2−1EAklEN−x3+1ΩP ]

×eikl(Λ(kj)Λ(kl)c1φi2φ

j2φ

l1 + Λ(kj)Λ(kl)b2φ

i1φ

j2φ

l1 − b2a1φ

i1φ

j1φ

l2e

ikj

−c1a1φi2φ

j1φ

l2e

ikj ) =

3∑

i,j,l=1

tr[Ex1−1AkiEx2−x1+1Bkj ,kl

EN−x3+1ΩP ]

×(b2c3φ1iφj1φ

l1 + c1c3φ

i2φ

j1φ

l1)e

i(kj+kl). (4.32)Esta relação pode ser olo ada na seguinte forma

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 773

∑

i=1

φiib2

3∑

j,l=1

(Λ(kj)Λ(kl)φj2φ

l1e

ikl − a1φj1φ

l2e

i(kj+kl))

×tr[Ex1−1AkiEx2−x1Akj

AklEN−x3+2ΩP ] −

3∑

j,l=1

c3φj1φ

l2e

i(kj+kl)tr[Ex1−1AkiEx2−x1Bkj ,kl

EN−x3+2ΩP ] =

3∑

i=1

φi2c1

3∑

j,l=1

(Λ(kj)Λ(kl)φj2φ

l1e

ikl − a1φj1φ

l2e

i(kj+kl))

×tr[Ex1−1AkiEx2−x1Akj

AklEN−x3+2ΩP ]

3∑

j,l=1

c3φj1φ

l1e

i(kj+kl)tr[Ex1−1AkiEx2−x1Bkj ,kl

EN−x3+2ΩP ], (4.33)que é satisfeita aso, para ada i = 1, 2, 3,

3∑

j,l=1

(Λ(kj)Λ(kl)φj2φ

l1e

ikl − a1φj1φ

l2e

i(kj+kl))

×tr[Ex1−1AkiEx2−x1Akj

AklEN−x3+2ΩP ] −

3∑

j,l=1

c3φj1φ

l2e

i(kj+kl)tr[Ex1−1AkiEx2−x1Bkj ,kl

EN−x3+2ΩP ] = 0. (4.34)Repare que onforme já men ionado, a relação a ima é uma mera generalização daequação (4.12) obtida no setor de duas e has. Por pro edimento análogo é simplesveri ar que as equações (4.25) também são satisfeitas aso a equação (4.34) tambémo seja.De forma análoga, as equações (4.27) e (4.29) são satisfeitas simultâneamente, poistais equações onstituem uma generalização da equação (4.13).Quando rela ionamos a equação (4.23) om (4.29) ou (4.25) om (4.27) mediante aeliminação dos traços envolvendo a matriz Bki,kj, en ontramos de forma similar aoo orrido no setor om duas e has, as relações que xam a álgebra a ser obede idapelas matrizes Aki

(i = 1, 2, 3); i.é.,

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 78Aki

Akj= −α(kj , ki)

α(ki, kj)Akj

Aki, A2

ki= 0,

α(kj , ki) =

[(Λ(kj)b1 + q1)Λ(kj) − a1(Λ(kj) − b2)][(Λ(ki)Λ(kj) − b3) − a2c3(Λ(kj) − b2)](4.35)Por m vamos analisar a equação (4.31) proveniente da onguração onde as trêse has estâo em posição de olisão. Es revendo-se φi2 e φl

2 em termos de φi1 e φl

1respe tivamente (veja (4.15)), esta equação pode ser es rita omoΛ3

3∑

i,j,l=3

e−iki(Λ(ki) − b2)tr[Ex1AkiBkj ,kl

EN−x2+1ΩP ] =

a3

3∑

i,j,l=1

(Λ(kl) − b2)tr[Ex1Bki,kjAkl

EN−x2+1ΩP ]. (4.36)Denotando-seP1(Λ(k)) = Λ(k)(Λ(k) − b2)e

−ik − b1Λp + q1,

P2(Λ(k)) = Λ(k) − b2, (4.37)e lembrando que Λ3 = Λ(k1)Λ(k2)Λ(k3), a equação (4.36) tem a forma simpli ada∑

i=1

Λ(kj)Λ(kl)P1(Λ(ki))∑

j,l=1

tr[Ex1AkiBkj ,kl

EN−x2+1ΩP ] =

a3

∑

l=1

P2(Λ(kl))∑

i,j=1

tr[Ex1Bki,kjAkl

EN−x2+1ΩP ]. (4.38)Entretanto da equação (4.12) extraímos a propriedade algébri ac3c1

∑

j,l=1

Akj ,kl=

∑

j,l=1

AkjAkl

[Λ(kl)P1(Λ(kj)) − a1P2(Λ(kl))], j 6= l. (4.39)

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 79Usando esta última relação em (4.38), obteremos após multipli armos por c1c3

∑

i=1

Λ(kj)Λ(kl)P1(Λ(ki))3

∑

j,l=1

[Λ(kl)P1(Λ(kj)) − a1P2(Λ(kl))]tr[Ex1AkiAkj

AklEN−x2+1ΩP ] =

a3

∑

l=1

P2Λ(kl)∑

i,j=1

[Λ(kj)P1(Λ(ki)) − a1P2(Λ(kj))]tr[Ex1AkiAkj

AklEN−x2+1ΩP ].(4.40)É onveniente, para prosseguirmos, introduzir a notação

N(z,w) = zP1(w) − a1P2(z), (4.41)F (ki, kj , kl) = Λ(kj)Λ(kl)P1(Λ(ki))N(Λ(ki),Λ(kj)) − a3P2(Λ(kj))N(Λ(kj),Λ(ki)),

Hi,j,l = tr[Ex1AkiAkj

AklEN−x2+1ΩP ]. (4.42)A equação (4.40) torna-se então

H1,2,3F (1, 2, 3) + H1,3,2F (1, 3, 2) + H2,1,3F (2, 1, 3)

+H2,3,1F (2, 3, 1) + H3,1,2F (3, 1, 2) + H3,1,2F (3, 1, 2) = 0. (4.43)Vamos utilizar a relação de omutação (4.35) entre as matrizes Aki,Akj

e Aklpararees revermos a última expressão em termos de H1,2,3, ou seja,

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 80Ak1

Ak3Ak2

= −α2,3

α3,2Ak1

Ak2Ak3

,

Ak2Ak1

Ak3= −α1,2

α2,1Ak1

Ak2Ak3

,

Ak2Ak3

Ak1=

α1,3

α3,1

α1,2

α2,1Ak1

Ak2Ak3

,

Ak3Ak1

Ak2=

α1,3

α3,1

α2,3

α3,2Ak1

Ak2Ak3

,

Ak3Ak2

Ak1= −α2,3

α3,2

α1,3

α3,1

α1,2

α2,1Ak1

Ak2Ak3

. (4.44)Denotando Λ(k1) por x , Λ(k2) por y e Λ(k3) por z, a expressão (4.43) pode serrees rita omoF (x, y, z)α(z, y)α(z, x)α(y, x) − F (x, z, y)α(y, z)α(z, x)α(y, x)

−F (y, x, z)α(x, y)α(z, y)α(z, x) + F (y, z, x)α(x, z)α(x, y)α(z, y)

+F (z, x, y)α(x, z)α(y, z)α(y, x) − F (z, y, x)α(y, z)α(x, z)α(x, y) = 0.(4.45)Para melhor visualizarmos a expressão (4.45) é onveniente relembrarmos as funçõesjá denidas:F (x, y, z) = yzP1(x)N(z, y) − a3P2(z)N(y, z),

N(x, y) = xP1(y) − a1P2(x),

P1(x) = b1x + q1,

P2(x) = x − b2,

α(x, y) = [q2(b2 − y) − (b3 − xy)][a1(b2 − y) + (q1 + b1x)y]. (4.46)As expressões (4.46) nos dizem que (4.45) pode ser es rita omo7

∑

l,m,n=0

Al,m,nxlymzn = 0, (4.47)

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 81sendo Al,m,n funções dos parâmetros a1, a3, b1, b2, b1, q1 e q2. Para termos umavariedade exatamente integrável no espaço dos parâmetros a ima pre isamos imporque (4.47) seja verdadeira para quaisquer x, y e z, pois não queremos obter vín ulospara k1,k2 e k3 neste estágio.2Antes de bus armos as possíveis variedades exatamente integráveis vamos onsideraro aso em que n é geral.• Setor om n e hasAs autofunções deste setor são dadas por (4.2), sendo as amplitudes dadas pelo ansatzmatri ial (4.3) e (4.4). A equação de autovalor imporá relações entre as amplitudesque para serem satisfeitas xará a álgebra das matrizes A(α) (α = 1, 2, 3) e E. Asrelações advindas das ongurações |x1, α1; . . . ;xn, αn > onde todas as e has nãoestão em posições de olisão, impli am na identi ação

A(α) =

n∑

i=1

φiαAki

E, (α = 1, 2), A(3) =

n∑

i,j=1,i6=j

φi1φ

j1Bki,kj

E, (4.48)sendo que as matrizes Aki e Bkj ,kl

, satisfazem às relações de omutaçãoEAki

= eikiAkiE, Aki

ΩP = ΩP Aki(i = 1, . . . , n), (4.49)

EBkj ,kl= ei(kj+kl)Bkj ,kl

E, Bkj ,klΩP = ΩP Bkj ,kl

(j, l = 1, . . . , n) j 6= l.Mais ainda, os autovalores Λn são dados pelos produtos dos autovalores do aso deuma e ha, isto é,Λl1,l2,...,ln

n (k1, k2, . . . , kn) = Λl11 (k1)Λ

l21 (k2) · · ·Λln

1 (kn), (4.50)2Tais parâmetros espe trais serão xos pelas relações advindas da onsistên ia da álgebra om a pro-priedade í li a do traço (análoga às relações advindas das ondições de ontorno na formulação do ansatzde Bethe).

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 82sendo Λlj1 (kj) dados por (3.20). Como no problema de 5 vérti es interagentes, omomento neste setor em termos da variaveis kj nos forne e a relação

P =

n∑

l=1

kl. (4.51)As equações obtidas das ongurações em que apenas duas das e has estão juntas( olisão) são simples generalizações das equações (4.35), isto é:Aki

Akj= −α(kj , ki)

α(ki, kj)Akj

Aki, A2

ki= 0 i, j = 1, . . . , n

α(i, j) =

[(Λ(kj)b1 + q1)Λ(kj) − a1(Λ(kj) − b2)][(Λ(ki)Λ(kj) − b3) − a2c3(Λ(kj) − b2)].(4.52)As relações advindas das ongurações em que 3 das n e has estão em olisão nosforne em relações que são generalizações de (4.47), isto é,∑

P

Hp1,p2,p3F (kp1

, kp2, kp3

) = 0 (4.53)sendo que a soma é sobre as permutações não repetidas de três índi es (p1, p2, p3)distintos no onjunto (1, 2, . . . , n). Não é imediato veri ar, mas um ál ulo longo etedioso nos mostra que as ongurações om 4 ou mais e has em olisão forne erãorelações que são satisfeitas aso as relações (4.8) já o sejam. Por m, para ompletaro ál ulo das amplitudes pre isamos al ular os valores dos parâmetros espe trais(k1, . . . , kn), até aqui indeterminado. Para isto usaremos a propriedade í li a dotraço na denição do ansatz matri ial para uma omponente qualquer, por exemplo,

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 83Tr[Ak1

· · ·Akj· · ·Akn

ENΩP ] =n

∏

l=j+1

α(kl, kj)

α(kj , kl)Tr[Ak1

· · ·Akj−1Akj+1

· · ·AknAkj

ENΩP ] =

e−ikjNn

∏

l=1(l 6=j)

α(kl, kj)

α(kj , kl)Tr[Ak1

· · ·Akj. . . Akn

ENΩP ], (4.54)onde usamos as relações de omutação (4.49) e repetidas vezes (4.52). Assim, asequações não lineares que xam os parâmetros espe trais sãoeikjN = −

n∏

l=1

α(kl, kj)

α(kj , kl), j = 1, . . . , n, (4.55)sendo α(kl, kj) dado por (4.52). Estas equações são análogas às obtidas pelo ansatzde Bethe [32.4.3 Análise das soluçõesO problema de se en ontrar modelos de 10 vérti es exatamente integráveis se resumeem a har no espaço de 7 parâmetros (a1, a3, b1, b2, b3, q1, q2) as possíveis soluçõesde (4.47). A obtenção dos oe iente Al,m,n em (4.47) não é simples de se fazeranalíti amente. Utilizamos para tal m o software Mathemati a [31. En ontramostrês ramos de possíveis soluções de (4.47) que passaremos a dis utirCaso 1: q2=0Neste aso c3 ou a2 devem ser nulos. Isto impli a ne essariamente, omo onsequên iadas equações a serem satisfeitas, que as possíveis ongurações da rede envolvendo 4dos pesos, isto é, a2, a3, b3 e c3 não serão ontabilizadas na função de partição, e destemodo, só podemos onstruir ongurações para a rede envolvendo seis dos vérti es.Vérti es estes que oin idem om aqueles do modelo de seis vérti es dis utido no apítulo 3.

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 84Caso 2:Neste aso três dos parâmetros são xos em termos dos outro quatro, i. é.,q2 =

a1b2(a1 − q1)

b1(a1 + b1b2)(b1b2 + q1),

a3 =a2

1(a1 − q1)

b1(a1 + b1b2),

b3 =b22(a1 − q1)

a1 + b1b2. (4.56)É onhe ida na literatura uma solução exata para um modelo espe ial de 10 vér-ti es. Esta solução foi obtida por de Vega e Woynarovi h [20 utilizando-se o métodode fusão, método este apropriado para as matrizes de transferên ia linha-para-linha.Este modelo tem as fuga idades simetrizadas e são dadas em termos de dois parâmet-ros (θ e γ)

a0 = a3 = 1,

c1 = c2 = c3 =sinh(γ)

√

(2 cosh(γ))

sinh(θ + 3γ2 )

,

b1 = b3 =sinh(θ − γ

2 )

sinh(θ + 3γ2 )

,

b2 = a1 =sinh(θ + γ

2 )

sinh(θ + 3γ2 )

. (4.57)A simples substituição nos mostra que a solução (4.57) está ontida em (4.56). Repareque ao invés de 2 parâmetros livres, omo em (4.57), temos em (4.56) 4 parâme-tros livres. Uma interessante ontinuação ao nosso trabalho seria um estudo maisabrangente das propriedades físi as orrespondentes à nossa solução geral (4.56).Substituindo-se os vín ulos (4.56) na equação (4.55) e es revendo-se eikj em termosde Λ(kj) (veja (3.43)), obtemos a forma nal para as equações que xam o onjunto(k1, k2, . . . , kn)

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 85[Λ(kj)(Λ(kj) − b2)

Λ(kj)b1 + q1

]N= (4.58)

(−1)n+1n

∏

l=1

b1(a1 + b1b2)Λ(kj)Λ(kl) − (a1 − q1)(a1 + b1b2)Λ(kj) + a1b2(a1 − q1)

b1(a1 + b1b2)Λ(kj)Λ(kl) − (a1 − q1)(a1 + b1b2)Λ(kj) + a1b2(a1 − q1).Caso 3:Neste aso, assim omo no anterior, três dos vín ulos são xos:

q2 =(q1 − a1)

b21

(a21 + q2

1 − a1(b1b2 + 2q1)),

a3 =(a1 − q1)

b1q1,

b3 =(a1 − q1)

b21

(q1 + b1b2 − a1). (4.59)Substituindo-se estes vín ulos na equação (4.55), omo no aso anterior, obtemos[Λ(kj)(Λ(kj) − b2)

Λ(kj)b1 + q1

]N= (−1)n+1

n∏

l=1

Λ(kj)Λ(kl) − q1−a1

b1Λ(kj) + ( q1−a1

b1)2

Λ(kj)Λ(kl) − q1−a1

b1Λ(kl) + ( q1−a1

b1)2

. (4.60)Dividindo-se o numerador e o denominador de ambos os lados desta última equaçãopor q1−a1

b1, e denindo-se

λi =Λ(ki)q1−a1

b1

, (4.61)obtemos[

λj(λj − b1b2q1−a1

)

b21

q1−a1(λj + q1

q1−a1)

]N= (−1)n+1

n∏

l=1

λjλl − λj + 1

λjλl − λl + 1j = 1, · · · , n. (4.62)Estas últimas equações juntamente om a equação (4.50) determinam o espe tro deum novo modelo de 10 vérti es. Comparando-se o lado direito das equações (4.62)

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 86e (3.65) vemos que os mesmos oin idem para o aso em que temos no modelo de 6vérti es ∆ = 12 . Assim o aso 3 pode ser pensado omo uma deformação do modelode 6 vérti es simétri o om anisotropia ∆ = 1

2 . Para melhor elu idarmos tal fato onsideraremos a versão simetrizada de (4.59) em que b1 = b2 = b e c1 = c2 = c.Neste aso as equações que xam os parâmetros espe trais são[ λj(λj − b2

c2−a1−b2)

b2

c2−a1−b2(λj − b2

c2−a1−b2) + (bc)2

(c2−a1−b2)2

]N

= (−1)n+1n

∏

l=1

λjλl − λj + 1

λjλl − λl + 1j = 1, · · · , n.(4.63)Se zermos as seguintes parametrizações

λj =sinh(iλ0 − σj)

sinh(σj),

b2

c2 − a1 − b2=

sin(σ)

sin(λ − σ),

bc

c2 − a1 − b2=

sin(λ)

sin(λ − σ), σ 6= λ, λ0 =

2π

3, (4.64)a equação (4.63) é rees rita omo

(sin(λ0 + iσj)

sin(iσj)

)N(sinh(iλ0 + σj) sin(σ − λ) − sin(σ) sinh(σj)

sinh(iλ0 + σj) sin(σ) − sin(σ + λ) sinh(σj)

)N

=

−n

∏

l=1

sinh(σj − σl − iλ0)

sinh(σj − σl + iλ0), j = 1 . . . , n, (4.65)Repare que quando λ = λ0 obtemos

[sinh(iλ0 − σj) sinh(iλ0 − iσ − σj)

sinh(σj) sinh(iλ0 + σj)

]N=

−n

∏

l=1

sinh(σj − σl − iλ0)

sinh(σj − σl + iλ0), j = 1, . . . , n, (4.66)que oin ide om a equação do modelo de 6 vérti es om anisotropia ∆ = − cos(λ0) =

12 .

Capítulo 4. Modelos de 10 vérti es exatamente integrável na rede diagonal 87Este último resultado é bastante interessante e nos diz sobre a existên ia de um novomodelo de 10 vérti es, que pode ser pensado omo uma deformação do modelode 6 vérti es usual em ∆ = 12 . O modelo de 6 vérti es om anisotropia ∆ = 1

2possui propriedades bastantes uriosas, sendo a sua função de partição rela ionada ao lássi o problema estatísti o de ontagem de matrizes om sinais alternados, onexãoesta que tem motivado um grande número de trabalhos (veja por exemplo [25- [28).Uma deformação pare ida à que en ontramos neste trabalho foi en ontrada em [29 noestudo de Hamiltonianos quânti os de spin 1 (rela ionados a modelo de 19 vérti es).Foi também en ontrado um modelo integrável om equação do ansatz de Bethe quepode ser interpretada omo uma deformações da adeia XXZ (rela ionada om omodelo de 6 vérti es) om anisotropia ∆ = 12 . A formulação da matriz de trans-ferên ia linha-para-linha dos modelos de 10 vérti es, indi am que tais modelos sãorela ionados om adeias quânti as de spin misto, onde os sítios pares (ímpares) sãoo upados por matrizes SU(2) de spin 1

2 (1). Nosso resultado indi a a existên ia deuma nova adeia quânti a de spin misto, que poderá também ser interpretada, assim omo em [29, omo uma deformação de adeia XXZ om anisotropia ∆ = 12 . Oestudo das propriedades físi as do nosso modelo de vérti es bem omo a possívelobtenção da adeia quânti a de spins mistos asso iada são sem dúvida interessantestrabalhos a serem feitos futuramente.

Capítulo 5Con lusãoNesta dissertação zemos as primeiras apli ações do ansatz do produto matri ial [8em modelos de vérti es asso iados a matrizes de transferên ia. Este novo ansatzofere e a prin ípio algumas vantagens em relação ao ansatz de Bethe na sua versãode oordenadas. A primeira delas é a forma minemmi a de omo asso iamos ossítios o upados e vazios da rede om as matrizes que ompõe o ansatz e que per-mitem simples generalizações para situações gerais. Uma outra vantagem provémda simpli idade da obtenção das equações que xam o espe tro do operador a serdiagonalizado em questão (provém da propriedade í li a do produto matri ial).Estudamos duas famílias de modelos de vérti es.Na primeira delas introduzimos novos modelos de vérti es, que denominamos pormodelos de 5 vérti es interagentes. Nestes modelos os vérti es possuem além das in-terações usuais de vizinhos próximos dadas pela regra do gelo, interações ao longo dadiagonal, sendo as mesmas de natureza repulsiva e ara terizada por um parâmetros. A matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal de tais modelos pode ser vizual-izada omo um operador que governa as utuações de um modelo de vérti es emque as e has possuem um tamanho efetivo s. Quando todas as e has possuemtamanho s = 1, re uperamos o tradi ional modelos de 6 vérti es formulado na ma-triz de transferên ia diagonal-para-diagonal, e resolvido por Truong e S hotte [18

Capítulo 5. Con lusão 89mediante o uso do tradi ional ansatz de Bethe de oordenadas.Como inexistem na literatura estudos analíti os ou numéri os do espe tro de matrizesde transferên ia diagonal-para-diagonal, zemos tal estudo para o aso do modelo de6 vérti es. Analizando-se as equações que xam o espe tro do modelo (análogasàs equações do ansatz de Bethe) obtidas para o aso da matriz de transferên iadiagonal-para-diagonal, veri amos, omo esperado, que a anergia livre no limitetermodinâmi o onverge para os mesmos valores al ulados usando-se a matriz detransferên ia linha-para-linha [3. É importante men ionarmos que as equações quexam o espe tro da matriz de transferên ia linha-para-linha são mais simples, quando omparadas om as equações asso iadas a matriz de transferên ia diagonal-para-diagonal, ou seja, se por um lado determinamos om mais fa ilidade a forma e asrelações que xam o espe tro do modelo, por outro tais relações tornam-se mais ompli adas que as obtidas no aso da matriz de transferên ia linha-para-linha.Na segunda lasse de modelos estudados abordamos os hamados modelos de 10 vér-ti es. Através do ansatz de produto matri ial onseguimos obter as ondições quegarantem as integrabilidade do modelo. En ontramos três ramos de soluções nãotriviais. No primeiro ramo, indenti amos os modelos de 6 vérti es. No segundoramo, en ontramos um genuíno modelo de 10 vérti es. Um modelo nesta lasse foien ontrado por de Vega e Woynarovi h [20 usando o método da fusão asso iado àmatriz de transferên ia linha-para-linha. Entretanto a solução apresentada por eles,é um aso parti ular da solução en ontrada por nós. No ter eiro ramo, en ontramosum novo modelo de 10 vérti es. Este modelo pode ser visto omo uma deformaçãodo modelo de 6 vérti es valores da om anisotropia ∆ = 12 . Este resultado indi aa existên ia de uma nova adeia quânti a de spin misto (spin 1

2 e spin 1) ainda de-s onhe ida na literatura. Como o modelo de 6 vérti es está intimamente ligado oma Hamiltoniana XXZ, tal Hamiltoniana poderá ser interpretada omo uma defor-mação da adeia quânti a XXZ om anisotropia ∆ = 12 . O estudo das propriedades ríti as das soluções gerais do modelo de 10 vérti es do segundo ramo, bem omo aderivação da adeia quânti a asso iada aos modelos de vérti es do segundo ramo são

Capítulo 5. Con lusão 90interessantes ontinuações das pesquisas aqui apresentadas.

Capítulo 6Bibliograa[1 - C. N. Yang and C. P. Yang, Phys. Rev. 150, 321 (1966).[2 - E. H. Lieb, Phys. Rev. 162, 162 (1967);[3 - R. J. Baxter, Exa tly Solved Models in Statisti al Me hani s (A ademi Press:New York) (1982).[4 - R.B. Stin hombe, and G.M. S hütz, Phys. Rev. Lett. 75, 140 (1995);EurophysLett. 29, 663 (1995)[5 - T. Sasamoto, and M. Wadati, J. Phys. So . Japan 66, 2618 (1999).[6 - V. Popkov, M.E. Fouladvand and G.M S hütz, J. Phys. A. 35, 8187 (2002).[7 - V. Popkov and G.M. S hütz, Math. Phys. Anal. Geom 9, 401 (2002).[8 - F. C. Al araz and M. J. Lazzo, J. Phys. A 37, L1-L7 (2004).[9 - K. G. Wilson and J. Kogut, Phys. Reports 12C, 75-199 (1974).[10 - A.A. Belavin, A.M. Polyakov and A.B. Zamolod hikov, Nu l. Phys. B241,333 (1984).[11 - D. Friedan, Z. Qiu and S. Shenker Al araz Phys. Lett. 151B, 37 (1985).[12 - Ka V. G. Group Theor. Meth. in Phys., (Springer Verlag: Berlin) (1979).

Capítulo 6. Bibliograa 92[13 - H.W.J. Blote, J.L. Cardy, and M.P. Nightingale, Phys. Rev. Lett. 56, 742(1986).[14 - I.Ae k, Phys. Rev. Lett. 56, 746 (1986).[15 - J. L. Cardy, S aling and Renormalization in Statisti al Physi s, (CambrigeUniversity Press:Cambrige) (1996).[16 - J.L. Cardy, Nu l. Phys. B270 , 186 (1986).[17 - R. Z. Bariev, Mat. Fiz. 49, 261 (1981).[18 - T. T. Truong and K. D. S hotte, Nu l. Phys. B20[FS8, 77-101 (1983).[19 - F.C. Al araz, M. N. Barber and M. T. Bat helor, Ann. Phys. 182, 280-97(1998).[20 - H. J. de Vega and F. Woynarovi h, J. Phys. A: Math. Gen. 25, 4499(1992).[21 - J.B Kogut, Rev. Mod. Phys. 51, 659 (1979).[22 - M. Henkel, Conformal Invarian e and Criti al Phenomena, (Springer Verlag:Berlin) (1999).[23 - J.L. Cardy, Nu l. Phys. B275 [FS17, 200 (1986).[24 - L.P. Kadano and A.C. Brown, Annals of Phys. 121, 318-342 (1979).[25 - Razumov A.V and Stroganov Yu.G. J. Phys. A 34, L179 (2001).[26 - Bat helor M.T. de Gier J. and Nienhuis B. J. Phys. A 34, L265 (2001).[27 - Razumov A.V and Stroganov Yu.G. J. Phys. A 34, 5335 (2001).[28 - Pear e P.A., Rittenberg V. and de Gier J., Preprint. arXiv ond-mat/0108051.(2001).[29 - de Gier, Bat helor M.T., Nienhuis B. and Mitras S.Pear e, Preprint. arXiv ond-mat/0110011. (2001).[30 - B. Derrida, M. R. Evans, V. Hakim and D. Mukamel, J. Phys. A 26, 143(1993).

Capítulo 6. Bibliograa 93[31 - B. Derrida, E. Domany and D. Mukamel, J. Stat. Phys. 69, 667 (1992).[32 - S. Wolfram, Mathemati a: a system for doing mathemati s by omputer 2ed., (Addison-Wesley: Redwood City) (1991).[33 - Al araz F.C. and Bariev R.Z., Phys. A 306, 51 (2002).