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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO MARCELO RODRIGUES DE SOUZA UMA SEQUÊNCIA DE ENSINO PARA O ESTUDO DA PERSPECTIVA CÔNICA SÃO PAULO -2010
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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
MARCELO RODRIGUES DE SOUZA
UMA SEQUÊNCIA DE ENSINO PARA O ESTUDO DA PERSPECTIVA
CÔNICA
SÃO PAULO -2010
MARCELO RODRIGUES DE SOUZA
MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
UMA SEQUÊNCIA DE ENSINO PARA O ESTUDO DA PERSPECTIVA CÔNICA
UNIBAN - São Paulo – SP
2010
Dissertação apresentada como exigência parcial à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN, para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação do Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni
Banca Examinadora
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________________________________
________________________________
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
AGRADECIMENTOS
Ao programa de pós graduação da Uniban, por oferecer aulas de alto nível onde hoje
sinto que sou um profissional melhor do que quando iniciei o curso.
Ao grupo da linha de pesquisa de Tecnologia Digitais e Educação Matemática, Profa.
Dra. Janet Frant, Profa Dra. Monica Karrer, Profa Dra. Lulu Healy pelos encontros
oferecidos, pelas discussões, pelas apresentações e atividades propostas.
À equipe de profissionais da Escola Duglas Teixeira Monteiro, Prof. Edvan, Profa
Selma, professor Rildo Siqueira, Prof. Dr. Ivanildo Prado, por abrirem as portas da
escola para a pesquisa, por liberar o laboratório de informática com uso total e
irrestrito de equipamentos multimídia: projetor, internet, rede de acesso, etc.
Ao Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni, pela paciência, pela cobrança, pelas aulas de
Geometria, por ser um Professional ímpar, fonte de inspiração para quem quer seguir
na profissão.
Aos meus “irmãos” de curso Josias Badaró e Victor Marcelo Santander, vocês fazem
a diferença.
Às minhas amigas de curso Cláudia Vecher, Rosineide Rodrigues pela imensa ajuda
nas disciplinas que cursamos juntos. À Cátia Almeida, por muitas vezes não
concordar com minhas colocações e opiniões isto não significa que isto seja
prejudicial ao contrário é bom ter alguém para te desafiar.
Aos dois homens que não deixo de amar na vida meus irmãos Alan Souza e Adalto
Rodrigues, ajudaram no que puderam e sempre posso confiar neles.
À minha amada mãe Salete Rodrigues por tudo que ensinou muito na vida e minha
amada Rosi França que ficou do meu lado em todos estes momentos.
De coração muito obrigado.
RESUMO
Esta pesquisa tem por objetivo explorar alguns elementos da perspectiva cônica em
três ambientes: com um perspectógrafo, com o software de geometria dinâmica Cabri
3D e no ambiente papel e lápis. A pesquisa se propõe a averiguar as dificuldades
apresentadas por alunos do Ensino Médio em relação à codificação de situações que
envolvem o conceito de perspectiva cônica e em relação à decodificação de regras da
perspectiva cônica. Para isto foi concebida uma sequência de atividades que se
apoiou em alguns princípios da metodologia da engenharia didática. A pesquisa foi
amparada pelos trabalhos, sobre geometria espacial, de Parsysz e pelos trabalhos,
de conceitualização de objetos matemáticos, de Vergnaud. A sequência foi
apresentada a um grupo de alunos do Ensino Médio de uma Escola Estadual de São
Paulo. Os resultados apontam dificuldades dos alunos classificadas em cinco
categorias: dificuldades com o uso do perspectógrafo, dificuldades com o uso do
programa Cabri 3D, dificuldades com a geometria Euclidiana, dificuldade com a
mudança do modelo teórico e dificuldade com as representações dos objetos. As
produções dos alunos mostraram também que certos elementos da perspectiva
cônica como ponto de fuga e linha do horizonte foram incorporados plenamente pelos
alunos, mas para a resolução de tarefas mais complexas, os ambientes do
perspectógrafo e do software Cabri 3D não foram suficientes para que a transição
para uma geometria dedutiva fosse concretizada.
PALAVRAS-CHAVES: Geometria, Perspectiva Cônica, Renascimento, Tecnologia,
Dificuldades, Ensino Médio.
ABSTRACT
This research aims to explore some elements of the conical perspective in three
settings: with a perspectographer, with the dynamic geometry software Cabri 3D
environment and with paper and pencil. This study investigated high school students
difficulties in relation to the codification of situations that involve the concept of conical
perspective as well as the decodification of related rules of the conical perspective. A
sequence of activities was designed based on some principles of the methodology of
didactic engineering. The research was supported by the work on spatial geometry by
Parsysz and also made of Vergnaud’s ideas about the conceptualization of
mathematical objects. The sequence was undertakes by a group of high school
students from a state school in São Paulo. Findings point out to students’ difficulties
classified into five categories: difficulties with the use of perspectographer, difficulties
with using the program Cabri 3D, with Euclidean geometry problems, difficulty with the
change of the theoretical model and difficulty with the objects representations.
Student’s worked also showed that some elements of the conical perspective such as
vanishing point and horizon line are incorporated fully by the students but to solve
more complex tasks, the environments of the perspectographer and the software were
not sufficient for the transition to deductive geometry.
KEYWORDS: Geometry, Conical Perspective, Renaissance Technology, Problems,
High School.
SUMÁRIO Capítulo 1 - Problemática ........................................................................................................... 3
1.1 Introdução ........................................................................................................................ 3
1.2 Descrição do trabalho. ..................................................................................................... 3
1.3 Justificativa da escolha do tema ....................................................................................... 4
1.4 Levantamento bibliográfico. ............................................................................................. 7
1.5 Objetivo e Questão de Pesquisa ....................................................................................... 9
1.6 Fundamentação Teórica ................................................................................................... 9
1.6.1 Vergnaud – Campos Conceituais ............................................................................. 10
1.6.2 Parsysz - Desenvolvimento do pensamento geométrico ........................................... 11
1.6.3 Geometria Dinâmica. ............................................................................................... 12
1.7 Metodologia ................................................................................................................... 14
Capitulo 2 - O estudo do objeto matemático perspectiva cônica. ................................... 17
2.1 Introdução ...................................................................................................................... 17
2.2 Aspectos históricos ......................................................................................................... 18
2.2 .1 A Arte no período Paleolítico ................................................................................. 20
2.2.2 A Arte no período Neolítico.................................................................................... 22
2.2.3 A Arte no Egito ........................................................................................................ 23
2.2.5 Os Romanos ............................................................................................................. 27
2.2.6 A descoberta do homem e seu Renascimento .......................................................... 28
2.3 Aspectos matemáticos da perspectiva cônica ................................................................. 36
Capítulo 3 - Concepções das atividades e Análise a priori .............................................. 40
3.1 Introdução ...................................................................................................................... 40
3.2 Concepção das atividades .............................................................................................. 40
3.3 Análise a priori das atividades ....................................................................................... 43
3.3.1 Análise a priori das atividades do Bloco 1 realizadas com laser .............................. 43
3.3.2 Análise a priori das atividades do Bloco 2 realizadas com Cabri 3D ....................... 46
3.3.3 Análise a priori das atividades do Bloco 3 realizadas no Cabri 3D. ......................... 52
3.3.4 Análise a priori das atividades do bloco 4 realizadas no ambiente papel e lápis ...... 58
3.3.5 Análise a priori das atividades do bloco 5- Ambiente papel e lápis.. ...................... 63
Capitulo 4 - Experimentação e Análise a Posteriori .......................................................... 67
4.1 Introdução ...................................................................................................................... 67
4.2 Organização do experimento .......................................................................................... 67
4.2.1 Publico Alvo ............................................................................................................ 68
4.2.3 Coleta de dados ....................................................................................................... 68
4.3 Categorização das dificuldades das atividades. ............................................................. 69
4.4 Análise a posteriori do bloco 1 (uso do perspectógrafo) ................................................ 69
4.5 Análise a posteriori do bloco 2 (uso do computador) ..................................................... 77
4.6 Análise a Posteriori do bloco 3 (uso do computador) .................................................... 88
4.7 Análise a posteriori do bloco 4 (ambiente de papel & lápis) .......................................... 95
4.8 Análise a posteriori do Bloco 5 (interpretação de figuras do Renascimento Italiano) . 100
Capitulo V – Considerações Finais ................................................................................... 108
5.1.1 Dificuldades oriundas do uso do Perspectógrafo. .................................................. 110
5.1.2 Dificuldades oriundas do uso do software Cabri 3D. ............................................. 111
5.1.3 Dificuldades com a geometria Euclidiana .............................................................. 112
5.1.4 Dificuldades oriundas da mudança do modelo teórico ........................................... 113
5.1.5 Dificuldades relacionadas com as representações dos objetos. .............................. 113
5.1.6 Considerações Finais. ............................................................................................ 114
Anexos ................................................................................................................................. 117
Ficha de atividades ............................................................................................................. 117
Ficha de respostas dos alunos ............................................................................................. 124
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Capítulo 1 - Problemática
1.1 Introdução
Sou professor da rede particular e pública no Estado de São Paulo há três
anos, lecionando nas séries iniciais do Ensino Fundamental e também ministrando
aulas a alunos do Ensino Médio.
Por acompanhar os alunos em todas as séries tenho a oportunidade de
observar as suas dificuldades no aprendizado da matemática, especialmente, quando
há necessidade de se fazer abstrações.
Nas séries iniciais (1º ano do Ensino Fundamental até a 5º ano do Ensino
Fundamental) vejo os alunos muito entusiasmados no uso de computadores, apesar
desse apelo estar fortemente ligado a atividades de entretenimento e de usos não
pedagógicos.
O jovem atualmente tem muito acesso às tecnologias em forma de mídias de
massa (televisões, rádio, internet, blog, Messenger, etc.) Esses meios podem
potencializar a interação entre professores e alunos, mudando assim o formato na
forma de ensino e aprendizagem.
A Uniban no ano de 2007 promoveu a seleção de sua primeira turma de
Mestrado em Educação Matemática e uma de suas linhas de pesquisa era justamente
a tecnologia.
Muito incentivado pela minha família para enriquecer o meu campo de atuação
profissional decidi ingressar no programa. Um dos requisitos para a obtenção do título
de mestre é o desenvolvimento de um trabalho relacionado com o ensino da
matemática. Surgiu então uma possibilidade de dar uma contribuição à Educação
Matemática
1.2 Descrição do trabalho.
O trabalho será apresentado em 5 capítulos. O primeiro Capítulo trata da
problemática que é formada pelas nossas inquietações, pela escolha do tema de
pesquisa, pela revisão bibliográfica, pela questão de pesquisa, pelo referencial teórico
adotado e pela metodologia.
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No Capitulo II é feito um estudo histórico e matemático do objeto de pesquisa.
O capitulo III apresenta as escolhas para a concepção de uma seqüência de
atividades que será testada com alunos do Ensino Médio de uma escola estadual de
São Paulo. Nesse capítulo explicaremos como foram feitas as escolhas de concepção
das atividades e a seguir faremos uma análise a priori de cada uma das atividades
desenvolvidas.
O Capitulo IV, trata da organização da experimentação e dos sujeitos da
pesquisa. Indicaremos os meios que serão colocados em funcionamento para a
coleta dos dados e finalmente faremos uma análise a posteriori de cada uma das
atividades.
O Capitulo V apresenta a conclusão do trabalho de pesquisa e as
considerações finais.
1.3 Justificativa da escolha do tema
No início do meu primeiro curso de Pós-Graduação na UNIBAN, tive a
oportunidade de cursar a disciplina Tópicos Fundamentais de Geometria.
A maior parte das aulas dessa disciplina foi ministrada diretamente no
laboratório informatizado. Tive contato pela primeira vez com um software de
geometria dinâmica e pude perceber as inúmeras vantagens que esse ambiente
proprociona aos seus usuários.
A disciplina revisitou diferentes tópicos de geometria mostrando ser possível a
relação computador/ensino e me possibilitando uma nova visão sobre o ensino da
Geometria.
Outro ponto que me chamou a atenção durante o curso foi o uso da História da
matemática. A história também foi trabalhada no ambiente informatizado. Os
inúmeros problemas que perturbaram os matemáticos da Antiguidade eram resolvidos
com os recursos da tecnologia. Além disso, o período do Renascimento tratado no
ambiente informático e marcado pela análise de obras de pintores, arquitetos e
escultores me permitiu entender melhor vários conceitos geométricos.
No encontro com o orientador, as idéias para escolha do tema de pesquisa
foram convergindo para a trinca já estabelecida Geometria/História/Computadores.
Busquei, então, nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), subsídios para
compor o meu projeto de pesquisa.
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Em 1999 o Ministério da Educação publicou o PCN (Parâmetros Curriculares
Nacionais), um documento que tem como propósito orientar educadores de todo país
a refletir sobre o currículo a ser empregado nas escolas. Seu principal papel é fazer
com que os jovens tenham o domínio de competências e não fiquem restritos
somente ao acúmulo de informações. Nesse documento podemos observar a
preocupação do Estado brasileiro na formação de indivíduos capazes de manipular
conceitos.
“Um dos pontos de partida para esse processo é tratar, como
conteúdo do aprendizado matemático, cientifico e tecnológico, elementos do
domínio vivencial dos educandos, da escola e de sua comunidade imediata.
Isso não deve delimitar o alcance do conhecimento tratado, mas sim dar
significado ao aprendizado...”(PCN pg 203).
Os PCNs enfatizam que a interdisciplinaridade tem a missão de estabelecer
relações de complementaridade, convergência, interconexões entre os
conhecimentos.
“Na perspectiva escolar, a interdisciplinaridade não tem a pretensão
de criar novas disciplinas ou saberes, mas de utilizar os conhecimentos de
várias disciplinas para resolver um problema concreto e compreeender um
determinado fenômeno sob diferentes pontos de vista.”(PCN pgs 35 e 36)
As leituras dos PCNs e em especial a importância dada à contextualização e à
interdisciplinaridade despertaram o meu interesse em abordar uma temática que
contemplasse também tais características.
Todos esses elementos: geometria, informática, história, interdisciplinaridade e
contextualização me levaram aos quadros dos pintores do Renascimento. Por que
não estudar, as regras da perspectiva cônica? Afinal a perspectiva cônica tem por
base a geometria projetiva que é a geometria natural para o cotidiano de nossa vida
(um olho humano, uma pintura, uma fotografia, uma tela do computador). Tinha
acabado de nascer o tema de pesquisa. Seria o estudo da perspectiva cônica
aplicada a alunos do Ensino Médio.
Esse tema permite revisitar vários conteúdos curriculares de geometria sob
uma perspectiva histórica. Além disso, ele permite o uso de um ambiente
informatizado. Além de privilegiar a interdisciplinaridade e a contextualização.
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A principal dificuldade para a compreensão do conceito de perspectiva nos
cursos de desenho e de educação artística é a de não poder materializar o raio visual.
Recentemente, com o advento da geometria dinâmica e em especial com o
surgimento do software Cabri 3D, essa materialização se tornou possível facilitando
em muito a compreensão desse conceito.
O uso de computadores nas salas de aulas e em especial na disciplina de
matemática ainda é feito de forma tímida. Uma das razões é a pouca capacidade de
aparelhamento dos laboratórios de informática. Uma outra razão é a necessidade do
professor de desenvolver atividades inovadoras.
O computador pode exercer diferentes funções no processo de ensino e
aprendizagem na vida do aluno, “Quando o aluno usa o computador para construir o
seu conhecimento, o computador passa a ser uma máquina para ser ensinada”
(Valente,1999). No entanto quando o aluno utiliza o computador como fonte de
informação o computador assume o papel de máquina que ensina
Ao tratar do uso de computadores podemos dar um salto entre a abstração de
conceitos que estão muito distantes da realidade de nossos alunos, e dar a
oportunidade de fazer este relacionamento com os diversos códigos matemáticos
utilizados nas atividades.
(BORBA, 1996) afirma que a tecnologia por si só não acrescenta nada na vida
do aluno. Para a tecnologia ter um efeito positivo e criar um circulo virtuoso, é preciso
investir em atividades que tirem os alunos de sua zona de conforto. O papel do
computador deve ser o de ferramenta de facilitador do processo de aprendizagem.
Deste modo podemos colaborar no sentido de oferecer aos educando a
oportunidade de aprofundar o estudo da geometria, uma vez que a disciplina de
matemática tem como a responsabilidade o ensino da Geometria.
Trabalhos mais recentes também abordam a relevância e a ênfase no estudo
da geometria. O Próprio PCN diz:
“No que diz respeito aos sistemas de representação plana das figuras espaciais, sabemos que as principais funções do desenho são as seguintes:
Visualizar fazer ver - resumir
Ajudar a provar
Ajudar a fazer conjecturas (o que se pode dizer).”(PCN, 1998)
As barreiras até então estabelecidas podem ser superadas com a simulação
de imagens na tela do computador, mesmo sendo um plano bidimensional. Desta
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forma com o auxilio da informática e em especial da geometria dinâmica, poderão ser
estudados aspectos da perspectiva cônica não contemplada em trabalhos anteriores.
Para aprofundar a problemática relacionada ao ensino da perspectiva cônica
realizamos várias leituras relacionadas ao tema.
1.4 Levantamento bibliográfico.
O primeiro trabalho consultado foi a pesquisa de Santos, Paschoarelli, 2002
intitulada "Uma aplicação do perspectógrafo a laser no ensino da perspectiva" Esse
trabalho apresenta um estudo do uso de um perspectógrafo laser nas aulas dos cursos
de arquitetura e engenharia. Trata-se de um dispositivo que reflete em uma tela
transparente a imagem de figuras de sólidos em perspectiva (cônica). O intuito de tal
ferramental é de introduzir os conceitos básicos da perspectiva cônica. Esse trabalho
mostra a dificuldade de estabelecer uma ligação entre o que “vemos” e o que
“representamos” e também como “interpretamos”. Afinal, vivemos em um mundo
multidimensional, com visão em três dimensões e fazemos nossos registros em duas
dimensões. Esse estudo nos mostrou que é possível desenvolver novas estratégias
para o ensino da perspectiva cônica. Apesar de algumas limitações do equipamento, o
trabalho apresenta uma proposta alternativa para uma das lacunas da educação
gráfica e mostra que o uso de um perspectógrafo contribui para uma melhor
compreensão do conceito de raio visual.
Outro trabalho que também trata do uso de instrumentos é a tese de doutorado
de Silvana Bernardes Rosa (1998) intitulada A integração do instrumento ao campo da
engenharia didática: o caso do perspectógrafo. Este trabalho propõe analisar a
dinâmica de um processo de ensino/aprendizagem do espaço projetivo, partindo de
ações a serem executadas sobre instrumentos que intermedeiem a relação entre o
sujeito e o objeto de sua ação. O estudo visa principalmente estabelecer o papel dos
instrumentos em um processo de ensino e seus efeitos nas estruturas da competência.
Uma terceira pesquisa consultada foi a dissertação de mestrado profissional de
Adriana Cozzolino (2008) da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo que trata da
perspectiva com alunos do Ensino Médio de uma escola particular em ambiente
informatizado utilizando Cabri 3D.
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Um outro trabalho de interesse para a pesquisa foi o livro do professor Julio
Roberto Katinsky(2002) que reúne vários artigos sobre a influência do pensamento
científico na escola florentina de arquitetura.
Outras leituras apontam certas dificuldades no ensino/aprendizagem da
geometria espacial no ambiente papel e lápis (Bessot, 1983, Rommevaux, 1999) e
mostram (Bkouche, 1983) que essas dificuldades podem ser minimizadas com uma
aprendizagem das regras de representação G.D. (Geometria Dinâmica) P.D. (Pontos
Dinâmicos).
Pesquisas realizadas na França (PARSYSZ, 2006) sugerem que o ensino de
Geometria espacial deve integrar não somente o auxilio das representações dos
objetos espaciais, mas também o uso de maquetes tridimensionais, qualquer que seja
a idade dos alunos implicados.
Cláudia Regina Flores(2003), da Universidade Federal de Santa Catarina
apresentou um trabalho intitulado Olhar, Saber, Representar: Ensaios sobre a
representação em perspectiva. É uma tese de doutorado que trata da maneira pela
qual, no presente, nos relacionamos com os saberes, com as formas de
representações e com o modo de olhá-las. O trabalho concentra-se no campo da
história, no cruzamento entre técnica, arte e cultura moderna do olhar, para entender
que nosso modo de olhar e de representar é inventado, instruído, fabricado, enfim, é
histórico. A investigação dá-se na história da perspectiva para mostrar como os
sujeitos, os saberes, os modos de representar e de olhar vão se constituindo, para
compreender como a técnica da perspectiva cônica se desenvolveu. Essa tese nos
incitou a pensar na questão da visualização na educação matemática pois conhecer
os processos pelos quais nosso modo de olhar e de representar figuras foi construído
pode nos ajudar a entender as dificuldades e erros de interpretação visual dos alunos.
O trabalho que chama a atenção é a dissertação de mestrado de Cristiano
Othon Amorim (2004) intitulada A perspectiva do olhar. A investigação dá-se sobre a
descoberta da perspectiva, onde cidades italianas propiciaram, graças a um conjunto
de fatores, o desenvolvimento de uma técnica da pintura que visava melhor
representar o espaço. Inserido dentro deste contexto histórico-social, foi elaborada
uma seqüência de atividades inspiradas em trabalhos dos pintores e arquitetos
daquela época, a fim de preparar o olhar para a compreensão das técnicas da
perspectiva. O trabalho pretende, construir uma percepção e uma habilidade visual,
que propicia a aquisição do espaço pictórico, reconstruído em uma representação,
por meio de maquetes.
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Todos os trabalhos acima apontam evidências de dificuldades dos alunos na
construção deste tipo de saber ressaltando a importância de um estudo mais
profundo para melhor entendê-las.
A partir dessas pesquisas surgiu a convicção que apenas um conjunto de
regras e conceitos apresentados de forma tradicional (aulas expositivas e exercícios
de fixação) aos alunos não seriam suficientes para a compreensão da perspectiva
cônica.
1.5 Objetivo e Questão de Pesquisa
A partir desse levantamento bibliográfico ficou claro qual seria o objetivo da
pesquisa: introduzir alunos do Ensino Médio ao estudo da perspectiva cônica, a partir
de diferentes ambientes de aprendizado. Pretende-se, a partir de uma sequência de
atividades, levarem os alunos à descoberta das regras da perspectiva cônica e
identificar tais regras em quadros de artistas do Renascimento. Estamos interessados
em analisar a articulação entre a representação gráfica de objetos (codificação) e a
leitura e interpretação de uma representação gráfica (decodificação). Para nortear a
pesquisa propomos responder à seguinte questão:
“Que dificuldades apresentam alunos do Ensino Médio em relação à
codificação de situações que envolvem o conceito de perspectiva cônica e em relação
à decodificação de regras da perspectiva cônica?"
1.6 Fundamentação Teórica
Este estudo fundamenta-se na construção do conhecimento geométrico-
espacial por meio da percepção, conceituação e representação Para a apropriação do
conceito de perspectiva cônica nos apoiaremos nos trabalhos do psicólogo francês
Vergnaud; para a concepção das atividades seguiremos os trabalhos de Parsysz;
para a representação dos objetos espaciais utilizaremos um perspectógrafo e um
software de geometria dinâmica tridimensional; para a codificação e decodificação
das obras de arte nos apoiaremos nos conceitos e regras da perspectiva cônica
introduzidos pelos artistas do Renascimento.
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1.6.1 Vergnaud – Campos Conceituais
Vergnaud, discípulo de Piaget, elaborou um trabalho importante sobre a
conceitualização a partir do conceito de campos conceituais.
Para Vergnaud um Campo conceitual é um conjunto que engloba problemas,
relações, procedimentos, estruturas, conteúdos e operações de pensamento.
(Vergnaud 1996). Vergnaud afirma que o conhecimento está organizado de forma que
o amadurecimento e o completo entendimento necessita de uma série de situações
ao longo do tempo que o faça emergir.
A teoria se baseia em sua essência na conceitualização dos elementos de
aprendizagem. O cognitivo se desenvolve em situações onde o individuo é colocado a
frente de conceitos em diferentes ambientes (escolares ou não). Nesse trabalho
alguns conceitos em jogo são: perspectiva, ponto de fuga, linha do horizonte, linha de
terra, plano horizontal, plano vertical e raio visual.
Para Vergnaud a formação de um conceito envolve um conjunto de situações,
um conjunto de invariantes e um conjunto de significantes. Esses três conjuntos são
indicados pela terna (S,I,R).
S é um conjunto de Situações que darão sentido ao conceito. Essas situações
que envolvem os alunos no processo de aprendizagem podem se dar nas mais
diversas formas. Neste trabalho as situações apresentadas aos alunos foram tratadas
em três ambientes: perspectógrafo, Cabri 3D e papel e lápis.
I é o conjuntos de Invariantes que compõe os esquemas organizadores da
ação. Eles podem ser descritos em termos de propriedades e de relações. Alguns
invariantes da perspectiva cônica são: pontos que estão alinhados têm imagens
alinhadas, a imagem de uma reta é uma reta, o ponto de intersecção de duas retas se
preserva em perspectiva.
R é o conjunto de Representações Simbólicas linguisticas e não linguisticas
que permitem representar o conceito e que relacionam os invariantes ao significado.
Os alunos foram estimulados a registrar suas representações e resoluções, ora em
uma tela de computador, ora em uma folha de papel.
Para Vergnaud um conceito matemático não aparece isolado, mas inserido
num campo conceitual, uma rede de vários outros conceitos, cujas interligações
devem ser identificadas tanto a nível de seus invariantes, como das situações onde
se traduzem de suas representações simbólicas.
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1.6.2 Parsysz - Desenvolvimento do pensamento geométrico
Bernard Parsysz apresenta um quadro teórico para a geometria ensinada. É
um modelo onde são destacadas 4 etapas no desenvolvimento do pensamento
geométrico.Segundo Parzysz um dos objetivos do ensino de geometria é promover o
salto de validações perceptivas (pólo do percebido) para validações dedutivas (pólo
do dedutivo).
Parzysz sugere que o estudo de um tópico de geometria seja apresentado em
quatro etapas. Uma primeira etapa chamada geometria concreta onde os objetos são
materializados. Uma segunda etapa chamada, geometria espaço-gráfico, onde os
objetos são representados em uma folha de papel ou tela de computador. Nessas
etapas as justificativas das propriedades são feitas empiricamente.
Uma terceira etapa, denominada, geometria proto-axiomática, onde alguns
elementos teóricos deverão emergir e serem justificados. Nessa etapa, os conceitos
são objetos teóricos e as demonstrações são feitas a partir de premissas aceitas
pelos alunos de modo intuitivo. Uma quarta etapa, chamada geometria axiomática,
onde os axiomas da teoria deverão ser explicitados completamente. Neste trabalho
utilizaremos apenas as três primeiras etapas indicadas por Parsysz de G0 (geometria
concreta), G1 (geometria espaço-gráfico) e G2 (geometria proto axiomática).
Quando passamos a observar a tabela proposta por Parzysz podemos
estabelecer um mapa da forma como flui o pensamento geométrico.
De um lado da tabela temos as geometrias Go e G1 que usam os elementos
físicos reais e procuram a validação das conjecturas através da percepção empírica e
do outro lado temos a geometia G2 que obriga o aluno a dar uma justificativa teórica
de suas conjecturas.
Nesse jogo os alunos têm a oportunidade de transitar entre as etapas de G0,
G1 e G2 para ir construindo os seus conceitos.
Tipos de Geometria G0 G1 G2
Objetos Físico Teóricos
Validações Perceptivo-dedutivo Hipotético-dedutivo
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1.6.3 Geometria Dinâmica.
Uma linha no ensino da Geometria vem recebendo o nome de Geometria
Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que
permitem a transformação de figuras mantendo suas propriedades. Há inúmeras
vantagens do uso desses softwares sobre uma construção com régua e compasso
em papel e inúmeros exemplos de propriedades geométricas que podem ser melhor
estudadas na geometria dinâmica do que no ensino sem computador. O uso desses
softwares oferece possibilidades inacessíveis no ambiente papel/lápis, como de poder
movimentar os desenhos e de os modificar dinamicamente. As propriedades que
servem para construí-los resistem ao deslocamento. Essa particularidade original
permite colocar em evidência invariantes e de validar as construções.
Pesquisas realizadas durante seis anos pelos pesquisadores Ildefonso Mazas
e José Maria Arias, que incluem 400 professores e 15000 alunos atestam que o uso
do programa de computador de geometria dinâmica provoca uma melhora
significativa no rendimento dos alunos em geometria.
http://www.elpais.com/articulo/educacion/nuevas/tecnologias/mejoran/rendimiento/matematica
s/25/elpedupor/20060109elpepiedu_5/Tes)
Este levantamento se torna mais interessante quando refletimos sobre um
artigo publicado pela pesquisadora Collete Laborbe, sobre a relação entre ensino de
geometria e o uso da geometria dinâmica.
A abordagem do uso de computadores no ensino necessita por parte dos
professores de uma mudança de postura em apresentar as situações de
aprendizagem aos alunos, isto porque o computador proporciona um retorno aos
comandos nele imputados, e, sua resposta é praticamente imediata proporcionando
uma nova forma de ver e conjecturar sobre os elementos matemáticos envolvidos.
O ambiente computacional, devido às possibilidades de respostas, fornece
novas ferramentas para operar objetos abstratos. Nesse ambiente pode-se alterar as
características das construções ao “arrastar” pontos, retas, segmentos. Dessa forma
é possível analisar as mudanças na tela do desenho. É como se fosse um desenho
animado, onde vários desenhos estáticos vão se sobrepondo dando a sensação de
movimento.
O ambiente informatizado que será utilizado neste trabalho que simula as três
dimensões na tela do computador será um software de geometria dinâmica
tridimensional denominado Cabri 3D. Esse software, além de preservar as
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propriedades de objetos geométricos tridimensionais quando manipulados, permite
também mudar o ponto de vista em relação ao objeto representado. Ele foi
apresentado oficialmente no Congresso Internacional Cabriworld, realizado em Roma,
em setembro de 2004.
É um software de manipulação direta em três dimensões, isto significa dizer
que, o usuário age diretamente sobre a representação gráfica dos objetos que estão
na tela ao invés de agir sobre a sua representação interna (o código). Nesse
programa alguns elementos primitivos são dispostos aos alunos para poder executar
suas construções. Assim quando os alunos constroem um segmento em um plano
horizontal, devem utilizar uma sequência de comandos como ilustramos abaixo.
Figura 1
O aluno ativa o comando segmento e em seguida dá dois cliques no plano cinza .
Outra caixa de ferramentas que pode ser acessada pelos alunos é o acesso às
opções de construções. Para construir uma reta perpendicular ao plano num ponto,
basta ativar a opção “perpendicular” clicar no plano e no ponto
Figura 2
14
Para criar um plano passando por um ponto contendo uma reta perpendicular,
basta ativar a opção “plano” e clicar sobre a reta e o ponto.
Figura 3
1.7 Metodologia
Para responder à questão de pesquisa, elaboramos uma sequência de
atividades que seguirá alguns princípios da metodologia de pesquisa denominada de
engenharia didática. Essa metodologia nasceu no inicio dos anos 80, com o propósito
de constituir um trabalho como de um engenheiro que efetua uma tarefa de forma
específica, mas com o enfoque no ensino e aprendizagem, pautado pelo
planejamento de uma sequencia didática.
“Considera-se um ponto do sistema didático cujo funcionamento parece, por
razões de naturezas diversas, pouco satisfatório. Analisa-se esse ponto de
funcionamento e as condições que tendem a encontrar um novo ponto de equilíbrio e,
depois, trabalhando com essas condições , busca-se determinar condições de
existência de um modo de funcionamento mais satisfatório.” (ARTIGUE, 2002).
Uma engenharia didática é constituída por quatro fases:
Fase 1 análises preliminares
Fase 2 concepção das atividades e análise a priori
Fase 3 experimentação
Fase 4 análise a posteriori e validação
15
Fase 1 As análises preliminares se apóiam em 3 dimensões: epistemológica,
didática e cognitiva. A dimensão epistemológica está vinculada à natureza do
conhecimento em jogo e considera o estudo histórico e epistemológico dos conteúdos
contemplados na pesquisa.
A dimensão didática está ligada a hábitos do sistema de ensino e de pontos de
vista adotados no ensino e de sua evolução ao longo das mudanças de programa.
Contempla análises de propostas curriculares, de programas e de livros
didáticos. A dimensão cognitiva está associada a características cognitivas dos
estudantes (dificuldades, procedimentos, concepções dos alunos).
Uma pesquisa, dependendo de seus objetivos, pode se apoiar apenas em
algumas dessas dimensões. Nessa pesquisa as nossas análises preliminares se
concentração apenas em alguns aspectos históricos da perspectiva cônica visto que
este tema não é contemplado nas propostas curriculares e tampouco nos programas
e nos livros didáticos.
Estaremos analisando ao longo do trabalho apenas características cognitivas
dos estudantes.
Fase 2 Tratando de atuar sobre essas dimensões, e à luz do referencial teórico
considerado, o processo de engenharia é construído baseado num certo número de
escolhas globais. Essas escolhas levam em consideração variáveis macro-didáticas
(relativas à organização global da engenharia) e micro-didáticas (relativas à
organização local da engenharia).
Variáveis micro-didáticas são fatores que provocam modificações nas
estratégias de resolução de um aluno quando submetido a uma atividade.
Após conceber as atividades, inicia-se a análise a priori das atividades. É uma
análise teórica independente de toda realização particular da situação proposta.
Trata-se de esclarecer o que pode acontecer com os saberes em jogo quando a
situação é colocada em funcionamento.
Fase 3 A experimentação é a fase da aplicação da seqüência de atividades e da
observação dos alunos. É necessário planejar a organização do ambiente onde será
16
aplicada a seqüência, explicitar os objetivos da pesquisa (ao público alvo), o contrato
didático e os instrumentos que serão aplicados para a coleta de dados.
Em geral teremos produções escritas dos alunos, produções orais dos alunos
(gravação), produções escritas de professores colaboradores que ajudarão a
observar os alunos pesquisados.
Fase 4 Após a aplicação da seqüência, começa a análise a posteriori dos dados. É a
interpretação das informações extraídas da experimentação e da seqüência de
ensino e que levarão a validar ou não a questão de pesquisa.
Esta análise é baseada nos protocolos de observação, em referência à análise
a priori, e é feita para ligar os fatos observados com os objetivos definidos a priori, a
partir do referencial teórico considerado.
O objetivo de uma análise a posteriori é transformar fatos observados em
fenômenos didáticos. Alguns elementos de uma análise a posteriori são:
apresentação estruturada dos fatos observados, análise didática dos fenômenos
observados, análise das dificuldades surgidas e análise da gestão da classe.
A validação tem como propósito responder à problemática de pesquisa. É uma
validação interna onde se confronta as duas análises (a priori e a posteriori).
17
Capitulo 2 - O estudo do objeto matemático perspectiva cônica.
2.1 Introdução
Ao iniciar este capitulo acreditava que se trataria de uma pesquisa
relativamente fácil por ter muitas fontes de leitura e grande variedade de caminhos a
seguir. Talvez este tenha sido a minha distração e causado a indecisão de tomar logo
uma linha de pensamento.
Acreditava ter a exata noção do universo em que estava inserido, porém, ao
começar as leituras, encontrei muitas peças de um quebra cabeça que não se
encaixavam. Enquanto meus companheiros estudavam e liam artigos recentes da
chamada ciência viva, eu era levado a retomar livros que datavam mais de um século
desde a sua primeira edição. É como se fosse possível viajar no tempo e encontrar
uma sociedade que não tem nenhum dos nossos valores atuais em vigor para
estabelecer um parâmetro. As conclusões que os autores têm devem ser respeitadas,
pois eles não têm o conhecimento de suas descobertas (eles estão inseridos em
outro universo). As comparações que fazem são com seus antepassados e buscam
questioná-los. Eu por outro lado queria entendê-los e poder tirar proveito de suas
descobertas para melhor compreender seus trabalhos.
Por se tratar de assunto fora da minha rotina solicitei ajuda a um amigo
professor de História. Além de uma bibliografia de referência fiz algumas entrevistas
com ele para entender o contexto do homem que eu iria encontrar nesta viajem, seus
valores sociais, seus anseios, comportamento, e tópicos que o cercavam. Comecei
pela era do Renascimento e depois de alguns meses em uma de nossas conversas
cheguei à conclusão que estava andando em círculos. Meu amigo fez a seguinte
pergunta “O que você realmente quer?”
Respondi que precisava saber o que levou os artistas do Renascimento
a mudar a forma como retratavam o mundo a sua volta com o estilo artístico
diferenciado das demais épocas, pois ela era singular tanto em relação as que
existiam como em relação às que vieram depois. Foi um momento único da História e
acreditava que a chave do seu entendimento necessariamente passava por esta via.
A resposta que obtive não foi muito animadora. Na verdade, eu
precisava fazer uma pesquisa da História da Arte, pois o homem do Renascimento
18
além de ser um indivíduo social, era um elemento artístico, onde trazia em sua
bagagem um referencial artístico de seus antepassados.
Neste capítulo iremos destacar alguns aspectos históricos da perspectiva a
partir da História da Arte e a seguir alguns aspectos matemáticos da perspectiva para
melhor compreender as atividades propostas aos alunos.
2.2 Aspectos históricos
O artista é levado a criar uma obra para retratar a compreensão sua de seu
tempo, no entanto algumas obras transcendem esta barreira e conseguem sobreviver
às mais criteriosas análises além de sua era, deste modo se tornam símbolos que
carregam significados distintos e sua análise se torna atemporal.
Através da Arte o homem pode se comunicar e transmitir concepções que
estão dentro de si derrubando barreiras culturais e de idioma, pois seu entendimento
é pessoal e de valor único, sua composição agrega não somente aquilo que se ela
quer dizer, mas como ela diz, pois seu significado é o observador que lhe dá. Em
geral os artistas não são claros na mensagem que querem transmitir com suas obras,
pois não é simples traduzir em palavras o que realmente queriam transmitir, pois se
assim o fizessem seriam escritores. (JANSON, 1996)
Neste ponto a Arte ganha um contexto de linguagem humana onde símbolos,
cores, formas apresentam um sentido de expressão. No entanto seu entendimento
não é subjetivo. O dialogo que podemos fazer com a Arte é ativo no que tange alguns
parâmetros que carregamos dentro de nós, padrões de beleza e estéticos que nos
são oferecidos devido a nossa vivência. Ao dialogar com os artistas do passado
precisamos entender esses padrões em que ele estava inserido. Assim a Arte rompe
com um conceito de valor absoluto, pois o diálogo traçado hoje não necessariamente
é o de ontem e tampouco será o de amanhã.
O professor Sir Ernest Gombrich descreve sua análise sobre a comparação de
dois retratos do Cristo crucificado. Um de Guido Reni 1639-40 e outro de Toscano
1175-1225, ambos têm o mesmo tema com estilos e épocas diferentes.
Para Gombrich, Reni retratou a agonia e paixão do Cristo e trouxe ao
observador este impacto despertando dentro nele uma compaixão. Porém no retrato
19
de Toscano, o artista da Idade Média também alimentava tal sentimento e com seus
dotes artísticos e sentimento traz a mesma carga de sentimentos. Para entender este
ponto de vista é necessário o diálogo com a Arte de seu tempo e dar ao italiano o
ponto de partida dessa conversa. Assim qual dos artistas é mais original o que veio
primeiro ou o mudou o foco de perspectiva?
Figura 3. Guido Reni – Cristo coroado com espinhos 1639 imagem do livro História da Arte pg 23
Qual dos dois foi mais criativo em trazer a nós e a seus contemporâneos o
retrato de Cristo. Neste ponto precisamos estabelecer o que é ser original e mais o
quanto cada um nós é original no que estamos fazendo em nossas vidas?
Figura 3 Mestre Toscano –Cabeça de Cristo 1175 – 1225 Livro História da Arte pg 23
O quanto podemos ser criativos na resolução de problemas dos quais se tem a
resposta, mas o quanto podemos ser criativos na resolução de problemas nos quais
não sabemos a respostas?
20
A criatividade e originalidade se dão através de estabelecer parâmetros e
regras únicas, desta forma nivelamos o jogo entre os que criam e os que criticam,
pois os que criticam buscam nas criações pontos comuns entre os diversos trabalhos
e assumem o que tem mais ou menos afinidade. Desse modo pode-se dizer
humanamente criamos preferências por alguns trabalhos, obras, filmes devido a uma
série de fatores e pontos que nos agradam e em contra partida criamos a aversão a
outros tantos de mesmo gênero que não cumprem com estas preferências.
Para H.W. Janson não existe uma formula infalível para determinar o que é
Arte daquilo que não é e de modo geral as pessoas fundem duas questões em uma
única o que é Arte? E o que é Arte de boa qualidade? O senso comum traz a
resposta do indivíduo que assume sua ignorância sobre a Arte, mas diz claramente o
que ele gosta em relação aquilo que ele não gosta. Por outro lado estendo este
pensamento não somente a crítica de Arte, mas a tudo que somos expostos como
moda, filmes, livros, comportamento, etc. É impossível ser especialista em tudo No
entanto criamos nossas preferências pessoais a partir da carga social que temos
acesso, porém quanto somos provocados a buscar um melhor entendimento,
podemos sim entender diversos pontos de vistas distintos daqueles que se carrega.
Se para criamos em nosso intimo preferências e aversões, precisamos de uma
carga que sirva de parâmetro. Então onde podemos marcar o ponto zero desta
escala? Quais são essas origens onde nos balizamos para as análises? Faz se
necessário traçar uma linha do tempo até o Alto do Renascimento Italiano onde se
situa o nosso objeto de pesquisa.
2.2 .1 A Arte no período Paleolítico
A História da humanidade é descrita e contada a partir da escrita onde os
homens deixam para as gerações futuras registros de seu comportamento.
As figuras que o homem do Paleolítico deixou em geral são de animais no
fundo de cavernas espalhados pelo teto e paredes retratando uma batalha pela
sobrevivência. Em geral tais figuras ficam em pontos de difícil acesso daí o motivo
delas terem conseguido chegar ao nosso tempo. O que podemos fazer é conjecturar
sobre o que estes homens pintavam e por quê? Porém afirmar com certo grau de
certeza fica difícil, pelo fato destas figuras estarem em pontos escuros e suas
21
visualizações só poderiam ser feitas através de uma fonte luminosa como uma
fogueira.
Especialistas acreditam que se trata de uma retratação de caça.. Outro grupo
nota que existem desenhos sobrepostos o que indica que os desenhos antigos eram
apagados dando espaço para novas histórias, o que sugere uma espécie de
cerimônia de pedido a uma boa caça ou pedido de caça, no entanto o que chama a
atenção é o fato dos retratos trazerem contornos, formas e cores dos animais com
uma sensação de vida uma espécie de reverência a aqueles que seriam enfrentados.
Figura 4. Cavalo gravado em caverna, Lascaux França Livro História da Arte pg. 40
Figura 5. Bisão gravado em caverna Altarmina, Espanha, livro História da Arte pg. 41
Aqui o homem do paleolítico busca retratar o que ele vê no seu dia-dia e conta
a nós suas histórias sejam elas pedidos ou fatos. O seu desejo de certa forma é
expresso em figuras que claramente podem ser distinguidas, sabemos quando ele
desenha um bisão ou um cavalo, mesmo sabendo que estes contornos estão muito
longe de representar tais animais, podemos tirar essas conclusões apenas levando
em conta cores e tamanhos de suas representações e decodificamos as figuras que
estão impressas nas paredes.
22
Figura 6. Figuras gravadas com carvão em caverna de Lascaux, França, livro iniciação a História da Arte pg. 15
2.2.2 A Arte no período Neolítico
No final da Era Glacial por volta de dez mil anos atrás, fim do Paleolítico e
inicio do Neolítico, o homem deixa sua natureza nômade e passa a dominar a
agricultura de criação de animais. Podemos assim construir provisões e atravessar
tempos onde a escassez de caça e alimentos em outros tempos obrigava a se mudar
em busca da sobrevivência.
Como agora era possível estabelecer um mesmo local por algumas gerações
nosso ancestral ainda dependente da pedra para a fabricação de seus utensílios teve
a oportunidade de expressar o seu sentimento artístico. Os Artefatos do Neolítico que
chegaram ao nosso tempo estão concentrados na África tropical, Américas e na
região do pacifico Sul.
O professor H.W. Janson trás uma grande coleção de máscaras de diversos
povos dessas regiões que apesar de estarem distantes surgiram praticamente no
mesmo tempo. Desta maneira, temos dois objetos semelhantes em pontos distintos
do planeta sendo criados no mesmo ponto. Quem foi mais original o índio esquimó do
Alasca ou o xamã americano, ou chefe da tribo na África. Quem se inspirou em
quem? Não se pode afirmar que estes povos tiveram contatos entre si, mas suas
esculturas sobreviveram ao tempo.
Outro aspecto que desperta curiosidade é a pintura que ganha um significado
de ritual, podemos verificar em certas tribos do deserto norte americano que a pintura
com areia colorida conta junto aos deuses um pedido de cura a enfermos. Pedidos de
boa caça, estação de chuvas para uma melhor colheita são feitas em tendas e
ganham o contorno espiritual. As figuras têm seus contornos de visão frontal diferente
do homem do Paleolítico que pintava a lateral dos animais. Os índios norte
23
americanos apresentam suas figuras de frente como se estivessem encarando o
desenho.
Essa característica está espalhada em toda a América nas mais diversas
culturas como os Maias, os Astecas, os Incas, e outros povos pré-colombianos.Há
uma falsa impressão que a História só despertou depois da escrita. Porém ao
verificarmos registros pictográficos sistemáticos que trazem consigo uma carga de
sentidos, significados codificados em cada sociedade vemos que a escrita dinamizou
a forma de seu entendimento, porém sua ausência (escrita) não implica que os fatos
Históricos não existiram ou deixaram de ser menos importantes. Só não temos
acesso a eles.
Figura 9. Deusa Maia, Livro a História da Arte pg. 52
2.2.3 A Arte no Egito
Figuras 6. Cabeça do Deus da Morte, Livro História da Arte pg. 50 Figura 7. Calendário Asteca, wordpress.com Figura 8. Totem Asteca, wordpress.com
24
Para Flores os egípcios utilizaram de perspectiva horizontal para representar
os elementos que seriam gravados para a posterioridade, assim seus desenhos
representavam os objetos e seres como eles eram.
Na visão E.H Gombrich a representação dos pintores egípcios difere da nossa
no sentido que cada elemento do quadro deveria ter uma representatividade singular.
Tudo deveria ser retratado em primeiro plano e ganhar vida. Assim seus trabalhos
estavam muito mais próximos do serviço do cartógrafo do que propriamente de um
artista.
A análise de H.W Janson está centrada na maneira que o povo egípcio vê seu
mundo e o retrata. Para ele o pintor tem uma visão cúbica e a impõe em três
perspectivas possíveis: o rosto inteiro, perfil exato e a verticalidade
Figura 10. Mural do túmulo de Khnumhotep c. 1900 a.C, Livro a História da Arte pg. 62
Neste ponto a figura humana tem seu retrato o destaque de estar em pé é
como desenhar em uma caixa tetra park e depois abri-la. Mas quando o pintor é
colocado a desenhar figuras humanas, o efeito se perde e o retrato ganha aparência
de corpos de borracha, pois o artista perde a referência do cubo ao contrário dos
animais que têm um perfil definido.
A perspectiva aqui tem a importância religiosa, espiritual e o problema da
transposição quando se dá por resolvido é seguido de uma regra de desenhos, assim
segundo H.W. Janson a cultura egípcia é conhecida pelo seu conservadorismo com
leves toques de inovação, as dinastias que se seguem perpetuam seus costumes e
repassam aos sucessores.
25
Figura 11. Jardim de Nebamum c. 1400 a.C, mural de um muro em Tebas Egito, livro a História da Arte pg. 60
2.2.4 A Arte na Grécia.
Assim como os egípcios, os gregos nos deixaram um legado de descobertas
nas quais são referenciadas até os dias atuais nas Artes, nas Ciências, na política e
na sociedade. Conceitos, como Ética, Democracia, Direito Civil nasceram ali. Muitas
das descobertas no Egito antigo foram apropriadas pelos gregos. Notoriamente os
antigos matemáticos gregos são conhecidos por serem os primeiros a estruturarem a
matemática com os chamados axiomas e postulados.
Dessa forma, personalidades como Euclides, Tales de Mileto, Arquimedes,
Pitágoras, entre outros dedicaram seus estudos nas descobertas da geometria. Isto
nos coloca junto aos gregos numa posição diferente dos homens das eras anteriores,
pois os gregos não são elementos tão estranhos à nossa cultura e modo viver.
No que se refere à Arte, as primeiras esculturas desses povos por volta do
século V.I a.C trazem muito da influência na forma de representar dos egípcios. No
entanto, algumas estátuas que representam o corpo humano, já ganham um contorno
diferente nos membros. É um sinal de rompimento com as regras e uma nova forma
de “ver” e de “codificar” a figura humana.
O artista grego começa a mudar sutilmente a figura humana e passa a dar vida
em sua obra. Ao invés de reproduzi-la plantada firmemente ao solo como os egípcios
(apesar de ser mais seguro esta representação), os gregos ousaram colocar sorrisos,
mudar de posições, como deitado, sentado, com as articulações arqueadas. Essas
inovações eram descobertas próprias deixando assim cada artista a oportunidade de
dar seu toque à escultura e pintura. Nem todas as inovações foram bem sucedidas.
Mas foi claramente uma revolução na forma de representar a personalidade humana.
26
No aspecto das esculturas, a preocupação em dar vida através de
personalidade e feições ganhava espaço. A representação das pinturas passava por
outra transformação. Os artistas gregos muito provavelmente por influências das
descobertas na Geometria reproduziam suas formas em perspectiva de perfil usando
muitas cores fortes, preto, vermelho constratando com o branco, além de criar
adornos em volta de vasos, quadros com formas geométricas e afloram elementos
matemáticos como simetria e mosaicos.
O próprio Euclides escreve sobre o fenômeno de ver retas paralelas se
aproximando quando se distanciam no campo de visão em sua obra óptica e
catóptrica. (Proposição VI , Retas paralelas, vistas de longe, parecem convergentes)
Esta nova forma de encarar o mundo se deu no momento em que homem
passou a analisar a natureza e seus fenômenos à luz da ciência rompendo
preconceitos e dogmas que estavam ligados aos seus antecessores.
Figura 13. Hércules estrangulando o leão d Memeia c. 525 a.C, wordpress.com wordpres.com
Figura 12. Aquiles e Ajax, jogando damas c. 340 a.C, web Gallery of art WWW.wga.hu
27
2.2.5 Os Romanos
Neste momento Histórico nosso salto vai de VI a.C até os séculos I a IV
d.C,num dos maiores impérios que a humanidade já teve: o império romano. A Arte
romana segue as tendências dos gregos e por conseqüência os ensinamentos dos
egípcios. O império romano fica notabilizado pela arquitetura.
O espírito artístico do homem nos tempos dos Caesar é o conflito, os militares
e as batalhas. As conquistas das nações foram representadas muito na Arte de
escultura e a pintura assume um papel secundário.
Uma figura de destaque para o nosso trabalho é a de Marcus Vitruvius
Pollio(século I a.C), arquiteto e engenheiro romano que elaborou uma coleção de dez
livros do tratado de Arquitetura*. Podemos verificar o cuidado com os detalhes nas
futuras construções romanas, pois como cidadão romano preocupado na perpetuação
do império escreve ao imperador Otávio Cesar Augusto.
“Tendo, porém, notado que não apenas te preocupas com a vida comum
de todos e com a ordem do Estado, mas igualmente te empenhas com a
oportunidade dos edifícios públicos, porque a Cidade não foi apenas
engrandecida, através de ti, com as províncias, mas também a dignidade
do império foi sublinhada pela egrégia autoridade dos edifícios publico....”
(VITRUVIO, 2002)
O tratado de arquitetura de Vitrúvio é certamente um documento norteador de
seu tempo, pois deixa claro o que deve ser feito, como deve ser feito e o porque deve
ser assim, assumindo uma forma pragmática do romano com um estilo nos modes
militares.
A preocupação com as gerações de futuros arquitetos para o império, qual o
perfil que deve ter o jovem aprendiz, quais conhecimentos são necessários para se
desenvolver na profissão e o cuidado que deve ter em sua formação, são pontos que
são elucidados logo no primeiro livro de sua coleção de dez livros.
No que se refere a documentar os projetos arquitetônicos a serem seguidos,
Vitrúvio anuncia o uso da icnografia e da Scaenografia, assim a perspectiva de
representações de figura tem a importância nas construções, a mensagem e
decodificão das figuras de obras futuras passa por um processo de usar um código
padrão
28
2.2.6 A descoberta do homem e seu Renascimento
O fim do império romano, a queda de Constantinopla o surgimento do
cristianismo, a concentração de poder na igreja são os elementos deste cenário. O
mundo ainda tem uma grande carga de conflitos.
A igreja foi uma grande patrocinadora do meio artístico na Idade Média. Para
fortalecer sua influência, praticamente monopolizou todo o conhecimento existente e
dificultou em muito a produção cientifica. Neste período também conhecido como
idade das trevas o homem se voltou a reflexões religiosas e conceitos como Fé,
Salvação e providência Divina ganharam força em seus pensamentos.
A Arte de cunho helenística perdeu força. Os artistas medievais começaram a
retratar figuras sacras predominantemente de forma bidimensional. Seu intuito era
representar de forma didática a importância das figuras pelo seu tamanho. A
retratação da realidade foi sendo substituída pela subjetividade, ao contrário do que
vinha sendo feito anteriormente.
Um dos pintores que se notabilizou por revolucionar a forma de retratar suas
obras foi Giotto (1266). Por influência dos mestres bizantinos, Giotto buscou a técnica
de dar profundidade aos seus retratos utilizando uma nova perspectiva em seu
trabalho. O destaque é a forma como ele consegue este efeito. Ele utiliza a pintura
em afresco*, contrapondo a técnica utilizada nos painéis de Duccio onde o realce era
o brilho de pedras preciosas. O efeito de profundidade é obtido através de uma
combinação de cores e a sobreposição de elementos no plano do quadro dava a
sensação que os elementos saltavam para o observador. Este método notabilizou
Giotto e nos seus trabalhos, os retratos ganhavam um elemento novo, a profundidade
Mesmo que de forma intuitiva, ela foi retratada em uma pintura.
Figura 13. Giotto Bondone, A lamentação de Cristo c. 1305, livro A história da Arte pg. 202
29
No pré renascimento um arquiteto, Felippo Brunelleschi, resgatou os estudos
da perspectiva linear greco-romana que fora esquecida na idade média, Ele se
notabilizou em suas construções por respeitar as proporções contrastando com o
estilo Gótico. A busca de retomar o estilo romano fez Brunelleschi colocar sua
arquitetura em outro patamar. Sua intenção era utilizar a arquitetura clássica de forma
livre para criar novos modelos de construção em harmonia e beleza. Burckhardt
relata que devido à forma diferente de apresentar as plantas aos homens
responsáveis pelas construções, Brunelleschi muitas vezes tinha de coordenar as
equipes, pois os trabalhadores não entendiam seus desenhos.
Brunelleschi retomou conceitos de perspectiva que permitiu aos artistas
reproduzirem elementos com mais veracidade. Enquanto Giotto mudou a maneira de
fazer pintura, Brunelleschi inova na forma de construir.
Figura 14, Brunelleschi, igreja Santa Maria Del Fiori, Florença Italia, imagem do Google Earth
Figura 15, Basílica de Santa Cruz destaque para Capela Pazzi no claustro obra de Brunelleschi, 1429, imagem do Google Earth
30
Leon Alberti (1404) foi o típico artista do Renascimento quatrocento. Atuou
como pintor, arquiteto, filósofo, músico e pensador. Em seu livro Da Pintura,um
tratado de três livros que traz de forma esquematizada a forma de como o artista “vê”
e “codifica” seus trabalhos. Em seu primeiro livro Da Pintura, aborda noções básicas
de Geometria Euclidiana nas quais vai dissertar sobre seu tratado. Ele tem o cuidado
de dizer que a matemática é uma ciência nobre, porém pede para seus leitores
(pintores e artistas) que o vejam como um pintor e não um matemático.
“1º.Escrevendo sobre pintura nestas brevíssimas anotações,
tomaremos aos matemáticos – para que nosso discurso seja bem claro – aquelas noções que estão particularmente ligadas à nossa matéria. Depois de conhecê-las, faremos, na medida de nossa capacidade, uma exposição sobre a pintura, partindo dos primeiros princípios da natureza. Peço, porém que durante minha dissertação considerem o que escrevo não como matemático, mas como pintor” (ALBERTI, 1999)
No primeiro livro sua preocupação é com alguns conceitos da Geometria
Euclidiana. Dá ênfase nas proporções, intersecções, figuras e elementos que vão ser
utilizados na sua técnica. No primeiro livro parágrafo 19 Alberti diz, “Aqui, deixadas de
lado outras coisas, direi apenas o que faço quando pinto.” Neste momento o artista
abre sua obra e continua, “onde fevo pintar, traço um quadrado do tamanho que me
agrade, o qual reputo ser uma janela aberta onde possa mirar e que ai será pintado".
Em seguida Alberti explica como divide a figura para que os desenhos f iquem
proporcionais e como cria a noção de profundidade.
Figura 16. Método de Construção de Alberti
Ao descobrir essa técnica Alberti diz: "Esta arte se algum dia foi escrita por
alguém, nós a retiramos do fundo da terra, ou seja, se jamais foi escrita, trouxemo-la
31
dos céus." A técnica de Alberti é notada nas obras seguintes. A importância desta
forma de “antever” o quadro em uma janela procura reproduzir a óptica aplicada ao
nosso olhar.
Figura 17. Brunelleschi Igreja Santa Maria dos Anjos
Outra figura de destaque na perspectiva foi Piero della Francesca(1415). ELe
foi um mestre na arte da perspectiva e acreditava no rigor matemático para conseguir
reproduzir com perfeição sua obra.
Figura 18. A Flagelação de Cristo, Piero della Francesca c. 1455, Web Gallery of Art www.wga.hu
Dürer (1471), gravador e pintor, se notabiliza pela forma da construção da
perspectiva. Para Dürer os elementos de um quadro não deviam ser desenhados a
mão e sim construídos artificialmente ponto a ponto através de feixe que partia dos
32
olhos aos objetos a serem desenhados. Seguindo esta linha, Dürer criou uma série
de equipamentos para conseguir que esses feixes interceptassem sua janela.
Figura 19. Dürer, Método da Grade, http://www.scribd.com/doc/10011990/Metodo-da-Grade
Figura 20. Dürer, Método da Grade, http://www.scribd.com/doc/10011990/Metodo -da-Grade
O período de maior esplendor do Renascimento se notabiliza entre o final de
século XV e inicio do século XVI. Nesse período, segundo Flores, a ciência, arte e
filosofia se fundiram e os grandes artistas não se prendem em uma única linha e
transitam bem entre o sacro, as armas (exército) e agradam os altos escalões da
burguesia.
(BURCKHARDT, 2003) Apresenta um cenário onde os pensadores fomentam
seus trabalhos em observações do meio que vivem, e a partir destas observações
iniciam questionamentos sobre tudo.
Leonardo da Vinci despertou uma curiosidade pela natureza e pelas
ciências. Segundo E.H. Gombriech, por ser um pintor com a capacidade singular de
reproduzir em desenhos o que podia observar, introduziu em seus manuscritos
33
(nunca publicou nada cientificamente) elementos novos no entendimento da anatomia
humana e no estudo da anatomia dos animais e da botânica. Prospectou inúmeras
invenções como helicóptero, a calculadora e o uso da energia solar. Foi um homem
além de seu tempo retratando em suas obras artísticas figuras com beleza e
significados além de serem reconhecidas no mundo todo.
Michelangelo deu à figura humana, um toque de personalidade. Segundo H.W
Janson Michelangelo resgatou a emoção do estilo helenística em suas esculturas e
retrato passou não somente a figura dos elementos, mas a maneira com que eles se
apresentam. O estilo de valorizar as siluetas humanas e apresentá-las respeitando os
elementos secundários contrastando com cores vivas trouxe novamente o espírito de
retratar a figura humana tal qual ela se apresenta.
Rafael assim como Da Vinci e Michelangelo marcou seu tempo não apenas
pela forma dramática, lírica e com uma riqueza de suas pinturas, mas também por
mostrar o lado do homem como pensador. Para Rafael ao esculpir uma estátua, os
sentimentos devem ser depositados nos traços e em cada detalhe que ela carrega.
Na visão de Rafael a pintura deveria carregar um dos quatros domínios de
aprendizado Filosofia, Teologia, Jurisprudência e Arte pura. Sua contribuição como
inovador em matéria do que estava sendo praticado foi muito pouca. No entanto suas
obras trazem o homem pensador, inquieto e questionador.
Figura 21. Rafael, A Escola de Atenas c. 1509, Vaticano Web Gallery of Art, WWW.wga.hu
A grande contribuição dos artistas do Renascimento foi a forma inovadora de
reproduzir seus trabalhos, utilizando elementos e propriedades matemáticas. Muito do
que estudamos hoje é fruto dessa busca. Aprendemos com os antigos como afirma
Alberti, porém devemos ter em mente sempre avançar no que for possível.
Ao fundir a Ciência com a Arte no alto do Renascimento o talento artístico
agrega a beleza de suas obras aos padrões nas construções com os elementos
geométricos.
34
Observando o Livro da Pintura de Alberti ao expor seu método, ele apresenta a
pirâmide visual na representação de objeto em sua janela, obtendo resultados
excepcionais na representação em perspectiva de projeção com elementos
geométricos elementares.
Figura 22. Pirâmide Visual de Alberti
Outro renascentista que contribui para perspectiva projetiva neste contexto foi
Paolo Ucello (1397-1475), buscou em seu trabalho utilizar o ponto de fuga e a linha
do horizonte para ressaltar a sensação de profundidade.
Figura 23. Paolo Uccello, Milagre da Hostia c. 1465-69, Web Gallery of Art, WWW.wga.hu
A visão de Leonardo sobre a perspectiva e sua contribuição vem de seus
manuscritos, ele mantém em seus trabalhos o ponto de vista do observador sobre o
que o ele iria representar.
35
Figura 24. Leonardo da Vinci, Anunciação c. 1472-75, Web Gallery of Art, WWW.wga.hu
Figura 25. Leonardo da Vinci, A Última Ceia c. 1495-97, Web Gallery of Art, WWW.wga.hu
Este estilo consagrado pelos artistas na forma de representação ganhou
admiradores além de seu tempo. Porém o talento é um fator no qual não é possível
reproduzir, com a invenção da imprensa as técnicas de projeção em perspectiva no
período Histórico do Cinquecento teve uma maior divulgação, com a contribuição de
Giacomo Barozzi (1497- 1573) arquiteto nascido na Vignolia, escreveu o livro Due
regole della prospettiva pratica publicado postumamente em 1583.
A obra é organizada de forma sistematizada e cientifica com os elementos
assumindo um papel claro, o aspescto de codificação dos objetos em signos ganha
36
regras que posteriormente seria a base das publicações de Guidobaldo Marchese Del
Monte (1545 – 1607) e Girad Desargues (1591 – 1661)
2.3 Aspectos matemáticos da perspectiva cônica
Dado um plano e um ponto O fora de . Seja P um ponto do espaço distinto
de O. A semirreta OP pode furar ou ser paralela a . Se a semirreta furar o plano ,
indicaremos esse ponto de P´. Nomearemos o plano de plano de projeção ou
quadro; o ponto O de centro de projeção ou ponto de vista ou observador e a
semirreta OP de raio visual de P . Chamaremos de perspectiva cônica do ponto P
ao ponto P´, intersecção do quadro com o raio visual do ponto.
Figura 25
Uma propriedade fundamental da perspectiva cônica é que “a perspectiva de
uma reta r que não passa por O é uma reta.” De fato, considere o plano passando
pelo ponto O e pela reta r. A intersecção desse plano com o plano de projeção é a
reta r´, perspectiva da reta r. Os raios visuais de todos os pontos de r pertencerão ao
plano (O,r) e consequentemente intersectarão a reta r´. Além disso, todos os pontos
de r´são perspectivas de algum ponto de r.
Figura 26.Ponto de fuga F de uma reta r é o ponto onde a paralela à reta r, conduzida pelo observador O, fura o quadro .
37
Figura 27
Considere dois planos perpendiculares entre si e um ponto O não pertencente
aos planos. Um dos planos será nomeado de plano horizontal ou plano do chão ou
geometral e o outro será o plano vertical ou quadro ou a janela. A intersecção dos
dois planos será chamada linha de terra. A figura abaixo mostra que a perspectiva
da reta que passa pelos pontos A, B e C.é a reta que passa pelos pontos A´, B´e C´.
Figura 28
Cada conjunto de retas paralelas entre si e oblíquas à linha de terra ( AB e CD)
será representado em perspectiva por retas concorrentes no ponto de fuga F. A
reunião de todos os pontos de fuga é uma reta paralela à linha de terra que recebe o
nome de linha do horizonte. Na proposição 6 do livro de Ótica de Euclides temos a
seguinte proposição: “ Retas paralelas vistas de longe parecem convergentes.”
Figura 29
38
A linha do horizonte pode também ser obtida como intersecção entre dois
planos: o plano paralelo ao plano horizontal passando pelo ponto e o plano vertical.
Figura 30
"Uma reta paralela à linha de terra terá como perspectiva uma reta paralela à
linha de terra." Esse resultado se apoia no seguinte teorema da geometria espacial:
Se três planos são dois a dois secantes se interceptam segundo três retas distintas
então essas retas são paralelas ou incidem em um só ponto". Nesse caso,
considerando o plano horizontal como o primeiro plano, o plano vetical como o
segundo plano e o plano que passa pela reta AB dada e pelo observador como o
terceiro plano teremos três intersecções que serão a reta dada, a linha de terra e a
perspectiva da reta.
Como a reta dada é paralela à linha de terra então a perspectiva será também
paralela à linha de terra.,
Conseqüentemente, se duas retas forem paralelas entre si e à linha de terra,
as suas perspectivas serão retas paralelas à linha de terra.
Obtém-se a perspectiva de uma figura, perspectivando todos os seus pontos.
39
Abaixo, a perspectiva de um cubo apoiado no plano horizontal. Observe que as
arestas paralelas ao plano horizontal e oblíquas à linha de terra se intersectam num
ponto de fuga.
Figura 31
Perspectiva de um quadriculado com um lado paralelo à linha de terra.
Observa-se que o quadrado é deformado num trapézio.
Figura 32
Se um segmento é perpendicular ao plano horizontal e de mesma altura do
observador, a perspectiva da extremidade superior do segmento pertencerá à linha
do horizonte.
Figura 33
40
Capítulo 3 - Concepções das atividades e Análise a priori
3.1 Introdução
Neste capítulo apresentamos as escolhas de concepção das atividades que
serão apresentadas a um grupo de alunos do Ensino Médio. A seguir faremos uma
análise a priori de cada uma das atividades propostas. Alguns elementos que
comporão essa análise são: objetivo da atividade, análise dos conhecimentos
necessários para a resolução da atividade, conhecimentos suscetíveis de serem
apropriados para serem utilizados em outras atividades, possíveis estratégias
esperadas dos alunos na resolução da atividade, possíveis dificuldades que os alunos
terão na resolução da atividade, ambientes envolvidos, tipos de ajuda que serão
dadas ao aluno caso ele fique bloqueado na resolução e tipo de controle que o aluno
terá sobre a sua ação. A análise a priori detectará a coerência entre o conjunto das
atividades.
3.2 Concepção das atividades
Sob a luz do referencial teórico escolhido, desenvolvemos um conjunto de
ações em diferentes ambientes para conduzir os alunos à apropriação do conceito de
perspectiva cônica bem como à sua representação e interpretação.
Decidimos que a realização do trabalho seria realizada em duplas de alunos e
de séries diferentes. O motivo é que o trabalho em dupla estimula o aluno a verbalizar
as suas ideias e dessa forma a linguagem pode desempenhar o papel de ferramenta
para avançar no processo de resolução de um problema. Trabalhar com alunos de
níveis distintos tem por intenção averiguar em que faixa etária a construção do
conceito de perspectiva se consolida melhor. Dessa forma teremos a oportunidade de
verificar se a aceitação das atividades tem maior impacto num determinado perfil de
aluno ou ao contrário a apropriação deste conceito independe da faixa etária
escolhida.
Em relação às atividades, decidimos dividi-las em 5 blocos para contemplar as
etapas propostas por Parsysz. O primeiro bloco terá uma abordagem empírica e será
desenvolvido na geometria concreta G0, o segundo e terceiro blocos serão
desenvolvidos na geometria espaço-gráfico G1, o quarto bloco será desenvolvido no
41
ambiente papel e lápis e terá um caráter de geometria proto-axiomático G2 e
finalmente no quinto bloco o aluno decodificará telas de artistas do Renascimento.
A grande preocupação no primeiro bloco é materializar o raio visual. Para isso,
usaremos um ferramental a laser e caneta hidrocolor para construção de figuras no
plano vertical de projeção. No segundo e terceiro blocos estaremos interessados na
retomada da construção do raio visual e principalmente na busca de alguns
invariantes da perspectiva cônica. Para isso trabalharemos em um ambiente de
geometria dinâmica. Usaremos para tal, o ambiente informatizado Cabri 3D que
permite gravar os arquivos para impressão. Utilizaremos também uma ferramenta
digital de captura de telas. No quarto bloco os alunos serão observados no ambiente
de papel e lápis. É o momento em que utilizarão conhecimentos adquiridos
anteriormente para codificar algumas figuras espaciais. Por fim, no quinto bloco os
alunos farão a leitura e interpretarão de algumas telas de pintores do Renascimento.
Descrevemos a seguir detalhadamente a concepção de cada um dos blocos.
Bloco 1
O primeiro bloco foi concebido na geometria concreta com auxílio de uma
ferramenta desenvolvida para simular o feixe do olhar. Visa iniciar o processo de
apropriação dos conceitos de perspectiva cônica tais como o raio visual, os planos
vertical e horizontal, a linha do horizonte e o ponto de fuga. Um objeto será colocado
num plano horizontal e caberá ao aluno disparar um feixe de laser que deixará uma
marca em um plano vertical transparente possibilitando aferir sua trajetória. O
principal objetivo deste bloco é familiarizar o aluno com o conceito de "perspectiva de
um ponto" além de contradizer alguns invariantes da geometria euclidiana
estabelecidos em séries tanto do Ensino Fundamental como do Ensino Médio. Tais
invariantes (conservação do paralelismo, conservação das medidas de segmentos e
conservação das medidas dos ângulos) não serão mais válidos na perspectiva
cônica.
Bloco 2
No primeiro bloco, as figuras obtidas no plano vertical são estáticas. Não há
possibilidade de modificá-las. Para validar certas conjecturas há necessidade de um
ambiente onde as figuras possam ser manipuladas mantendo as suas propriedades.
Isto nos levou a utilizar no bloco 2 o software Cabri 3D. Desse modo, inúmeros
resultados poderão ser validados dinamicamente. O objetivo do segundo bloco é
retomar alguns conceitos do bloco 1 à luz da geometria dinâmica. Enquanto no
42
primeiro bloco o uso das medidas é impreciso, nesse ambiente (Cabri 3D) a precisão
das medidas atinge dez casas decimais o que pode acarretar uma confiança maior
dos alunos nas medições realizadas. Nessa etapa, as figuras serão desenhadas no
plano horizontal e a tarefa do aluno será traçá-las no plano vertical. Os alunos
poderão fazer conjecturas a partir da movimentação dos pontos de base da figura.
Bloco 3
Nos blocos 1 e 2, o aluno faz a transição da geometria concreta para a
geometria espaço-gráfica. No entanto todas as figuras são desenhadas no plano
vertical a partir da visão de um observador.
Este bloco concebido, também na geometria espaço gráfica (G1), tem por
objetivo fazer o caminho inverso, isto é, o aluno faz conjecturas sobre a posição de
determinados objetos geométricos que deverão ser representados no plano vertical e
valida as suas suposições, projetando o objeto no plano horizontal. O uso do
programa possibilita ao aluno ter um controle de sua ação e portanto de reformular
suas ideias caso não tenha atingido os seus objetivos.
Bloco 4
Este bloco será realizado no ambiente papel e lápis e os alunos deverão
desenvolvê-lo individualmente. O objetivo do bloco é proporcionar a passagem da
geometria espaço-gráfico (G1) para a geometria proto-axiomática (G2) . O interesse é
aferir o grau de compreensão dos alunos no quesito da codificação (representar os
objetos tridimensionais no plano) e da decodificação (interpretar objetos espaciais no
plano) dos objetos em perspectiva, não tendo o auxílio do computador e de nenhum
outro instrumental. É uma passagem do perceptivo para o dedutivo que irá propiciar o
treinamento no olhar, de objetos em perspectiva.
Bloco 5
Neste bloco, os alunos terão a oportunidade de apreciar algumas obras dos
pintores do Renascimento. Mas é um olhar diferenciado. Um olhar além do senso
comum. Observarão a linha do horizonte e o ponto de fuga em cada uma das obras
apresentadas. Poderão até calcular a partir de alguns elementos da tela as
dimensões de objetos em verdadeira grandeza. O intuito é aferir o quanto cada um
dos alunos compreendeu sobre a decodificação de figuras representadas em
perspectiva.
43
3.3 Análise a priori das atividades
3.3.1 Análise a priori das atividades do Bloco 1 realizadas com laser
Será entregue aos alunos, uma ficha contendo as instruções das atividades.
Em seguida, cada aluno terá a oportunidade de se familiarizar com os instrumentos
que serão utilizados no experimento, com os seus movimentos e com a maneira de
ajustá-los.
Figura 34
Atividade 1
A primeira atividade foi proposta da seguinte maneira:
“Utilizando o laser, marcar no plano vertical, os vértices de um quadrado
situado sobre a mesa. Em seguida ligar os vértices e comparar a figura com o
desenho original. Faça um esboço do desenho que você encontrou.”
O objetivo desta atividade é iniciar o processo de conceitualização de raio
visual e de perspectiva de um ponto. A atividade pretende que os alunos percebam
que a figura dada no plano horizontal é diferente da encontrada no plano vertical, ou
seja, que a perspectiva não conserva o paralelismo e nem as medidas dos lados do
quadrado.
A primeira ação dos alunos nesta atividade consiste na produção de um
desenho com a ajuda do aparelho.Os alunos vão trabalhar em duplas com instruções
definidas previamente. Um dos alunos utilizará uma caneta que dispara um feixe laser
através de uma placa de policarbonato transparente representando o plano vertical.
44
Outro aluno vai marcar com uma caneta hidrocolor no plano vertical os vértices de um
quadrado posto na mesa. Essa representa o plano horizontal.
colocar foto do aparelho com o raio visual
Figura 35
É uma atividade manual que visa contradizer alguns invariantes da geometria
euclidiana. A expectativa de resposta por parte dos alunos é a identificação da figura
no plano vertical como não sendo um quadrado mas um quadrilátero com os lados
não paralelos. Esta atividade não tem a intenção de apresentar o ponto de fuga.
Portanto, não não está previsto que o aluno identifique que as perspectivas de retas
paralelas no plano horizontal podem ser concorrentes no plano vertical.
Atividade 2
"Dadas quatro retas paralelas de mesma direção r, s, t, u. Marcar com o laser
no plano vertical dois pontos associados a r e ligar os dois pontos obtendo a reta r’.
Repetir o procedimento para as retas s, t e u obtendo as retas s´, t´e u´.Faça um
esboço do seu desenho e comente sobre o resultado obtido."
O objetivo desta atividade é fazer com que os alunos percebam que
independentemente do número de retas representadas na mesa todas serão
concorrentes desde que elas não sejam paralelas à linha de terra.
Nesta atividade os grupos terão a mesma atividade, mas as retas paralelas
terão direção diferente entre grupos. Um grupo terá retas paralelas à linha de terra e
o outro terá retas obliquas à linha de terra.
A estratégia de resolução será sempre a mesma. Os alunos ligarão os pontos e
obterão as retas. Espera-se como resposta dos alunos que tem retas paralelas entre
45
si e obliquas à linha de terra, a identificação das projeções como sendo retas
concorrentes. Em relação ao outro grupo com retas paralelas entre si e também à
linha de terra, espera-se como resposta a confirmação de que as retas permanecem
paralelas. Na confrontação entre os grupos esperamos uma classificação do tipo:
Retas paralelas à linha de terra continuam paralelas em projeção a retas
obliquas à linha de terra se encontram em projeção num único ponto.
Atividade 3
“Dado um tabuleiro situado no plano horizontal com um lado paralelo à linha de
terra marcar com o laser no plano vertical os 16 pontos de intersecção. Em seguida
ligar todos os segmentos de retas no plano vertical de modo a construir um tabuleiro
no plano vertical. Fazer um esboço do desenho obtido. Dizemos que a figura no plano
vertical é a perspectiva do tabuleiro do plano horizontal.”
O objetivo desta atividade é novamente mostrar que as linhas paralelas à linha
de terra conservam o paralelismo e linhas perpendiculares à linha de terra são
concorrentes. O contorno do tabuleiro forma um trapézio isósceles no plano vertical.
Espera-se como resposta dos alunos a construção de uma figura muito similar
ao trapézio. A deformação do quadrado em perspectiva poderá provocar
questionamentos. O professor poderá voltar às atividades anteriores para alguns
esclarecimentos e na fase de institucionalização, definir perspectiva de um ponto e
perspectiva de uma figura.
Figura 36
Atividade 4
“São dadas três hastes perpendiculares ao plano horizontal com uma das
extremidades de cada uma delas pertencentes ao plano horizontal. Uma haste tem
altura igual ao do observador, a outra menor que o observador e a terceira maior que
o observador. Marcar com o laser as extremidades de cada haste no plano vertical e
46
representá-las como segmentos de reta. O que você observa? Faça um esboço do
desenho obtido no plano vertical.”
O objetivo desta atividade é mostrar aos alunos que as alturas de objetos
fincados perpendicularmente ao plano horizontal estão relacionadas com a distância
dos objetos ao observador. A atividade pretende também mostrar, ainda que
empiricamente, que existe uma linha que limita a representação das alturas (linha do
horizonte). Um objeto de altura maior que observador têm o ponto que representa a
extremidade superior acima desta linha. Um objeto de altura menor que o observador
tem o ponto que representa a extremidade superior abaixo desta linha. Além disso, o
aluno deverá perceber que se o objeto tem a mesma altura que o observador, a sua
extremidade superior pertencerá à linha do horizonte.
Espera-se por parte dos alunos que notem que as perspectivas de segmentos
iguais podem ser segmentos diferentes. A distância ao observador modifica o
tamanho da perspectiva. É um momento oportuno para o professor formalizar o
coneito de linha do horizonte.
3.3.2 Análise a priori das atividades do Bloco 2 realizadas com Cabri 3D
Será entregue uma ficha a cada aluno contendo as atividades com as
instruções que deverão ser executadas. Ao abrir o arquivo, a tela do computador
estará preparada e apresentada como mostra a figura abaixo.
Figura 37
Atividade 1
Abrir o arquivo 1. Aparecem para o aluno, o plano horizontal, o plano vertical,
a linha de terra e o olho do observador.
47
a)Criar um segmento AB no plano horizontal. Construir a perspectiva A’B’ do
segmento AB.
b) Determinar o ponto médio M do segmento AB. Em seguida determinar a
perspectiva M’ do ponto médio M do segmento AB. Verifique se M’ é o ponto médio
de A’B’. Movimentar os pontos A e B do segmento AB. Há alguma posição de AB
onde M’ é ponto médio de A’B’? Comente sua resposta
O objetivo desta atividade é mostrar que o ponto médio de um segmento
contido no plano horizontal e oblíquo à linha de terra tem uma representação em
perspectiva no plano vertical que não é ponto médio do segmento em perspectiva. É
o primeiro invariante da geometria euclidiana que será contradito.
Espera-se que os alunos percebam que a perspectiva do ponto médio do
segmento não seja o ponto médio da perspectiva do segmento. O auxílio da
ferramenta computacional e a facilidade de manipulação dos elementos poderá influir
fortemente para notar esta particularidade. No entanto ao pedir aos alunos para
formar conjecturas sobre a existência de uma condição para que M’ seja médio de
A’B’ espera-se que os alunos procurem a posição particular de um segmento paralelo
à linha de terra.
Atividade 2
Ao abrir o arquivo a tela do computador exibira a seguinte tela
Figura 38
Abrir o arquivo 2. Aparece um segmento AB no plano horizontal paralelo à linha
de terra.
48
"Determinar o ponto médio de AB. Em seguida determinar sua perspectiva no
plano vertical. Verifique se M’ é ponto médio do segmento A’B’ movimente os pontos
A e B no plano horizontal. Comente sua resposta.”
O objetivo desta atividade é de no caso dos alunos não terem atingido o
objetivo de tarefa anterior, apresentar uma construção robusta para o caso do
segmento AB ser paralelo à linha de terra. Nesse caso o ponto M’ será o ponto médio
do segmento A’B’ no plano vertical. A resposta esperada por parte dos alunos é a
confirmação da invariância do ponto médio.
Atividade 3
Abrir o arquivo 3. Aparecem para o aluno, o plano horizontal, o plano vertical, a
linha de terra e o olho do observador.
"Criar um triângulo qualquer ABC no plano horizontal. Construir a perspectiva
do A’B’C’ no plano vertical. Determinar no plano horizontal o baricentro do triângulo e
verificar se sua perspectiva também é baricentro do triângulo no plano vertical.
Comente sua resposta”
O objetivo desta atividade é de reafirmar que os pontos médios de segmentos
não paralelos à linha de terra terão como perspectivas pontos que não serão pontos
médios de suas projeções.
Uma possível estratégia por parte dos alunos é construir o baricentro G´do
triângulo A´B´C´ e a seguir verificar se a perspectiva de G coincide com G´. Uma
outra estratégia seria obter a perspectiva G´de G e a seguir verificar se as medianas
do triângulo A´B´C´ concorrem no ponto G´. Espera-se que nessa a tividade os alunos
contradizem esse invariante da geometria euclidiana.
Atividade 4
Abrir o arquivo 4. Aparecem para o aluno o plano horizontal, o plano vertical, a
linha de terra e o olho do observador.
"Determinar três pontos alinhados no plano horizontal, em seguida construir
suas perspectivas. O alinhamento se preserva em perspectiva? Comente sua
resposta”
49
O objetivo desta atividade é mostrar aos alunos que a condição de
alinhamento, se preserva em perspectiva. Esta atividade apresenta um dos
invariantes da perspectiva cônica fundamental para responder aos desafios futuros.
Uma estratégia esperada por parte dos alunos é construir as perspectivas dos
três pontos e depois ligar dois deles e conjecturar que o outro pertence à reta. Nesse
caso a movimentação dos pontos do plano horizontal é importante para validar a
conjectura. Uma outra estratégia seria obter somente as perspectivas de dois pontos
e a reta passando por eles e a seguir obter a perspectiva do terceiro ponto para
finalmente conjecturar que ela pertence à reta.
A expectativa de resposta por parte dos alunos é que o alinhamento de pontos
em perspectiva se mantém independentemente da posição em que se encontram no
plano horizontal.
Atividade 5
Abrir o arquivo 5. Aparecem para o aluno,o plano horizontal, o plano vertical, a
linha de terra e o olho do observador.
"Criar dois segmentos AB e CD se interceptando no ponto P no plano
horizontal. Construir as perspectivas de A’B’ e C’D’ dos dois segmentos no plano
vertical. Determinar o ponto Q que é intersecção dos segmentos no plano vertical. A
perspectiva do ponto P é Q? Movimentar os segmentos e observar. Comente sua
resposta”
O objetivo desta atividade é mostrar aos alunos outro invariante da perspectiva
cônica: a perspectiva do ponto de intersecção de dois segmentos também é
interseção das projeções dos segmentos no plano vertical.
Espera-se por parte dos alunos a confirmação deste invariante
independentemente da posição dos segmentos no plano horizontal.
Atividade 6
Abrir o arquivo 6. Aparecem o plano horizontal, o plano vertical, a linha de terra
e o olho do observador.
50
”Construir um quadrado ABCD no plano horizontal em seguida determinar a
perspectiva A’B’C’D’ do quadrado no plano vertical. Verifique se o paralelismo dos
lados se mantém em perspectiva. Movimente o quadrado que está no plano horizontal
e observe em que posição lados opostos se mantém paralelos. Comente sua
resposta.”
O objetivo desta atividade é confirmar o invariante conjecturado no bloco 1, que
lados opostos de um quadrado construído no plano horizontal com lados paralelos à
linha de terra,mantêm o paralelismo na projeção.
A estratégia dos alunos será a de obter as perspectivas de cada vértice e uni-
los por segmentos. Os alunos deverão encontrar uma figura em forma de trapézio.
Atividade 7
Abrir o arquivo 7.Aparecem para o aluno, o plano horizontal, o plano vertical, a
linha de terra e o olho do observador.
"Criar um paralelogramo ABCD no plano horizontal, em seguida determinar a
perspectiva A’B’C’D’ no plano vertical do paralelogramo. Verifique se o paralelismo
dos lados se mantém. A seguir, movimente os pontos no plano horizontal. Faça um
comentário sobre a atividade.”
O objetivo desta atividade é mostrar aos alunos que retas paralelas no plano
horizontal podem ser paralelas ou concorrentes no plano vertical.
A diferença em relação à atividade anterior é que neste caso as duas direções
das retas paralelas do paralelogramo não são necessariamente direções
perpendiculares entre si.
Uma dificuldade que a atividade apresenta é a construção do paralelogramo no
plano horizontal. A atividade supõe a mobilização de conhecimentos geométricos dos
alunos das séries anteriores para a construção do paralelogramo. Os alunos poderão
construir um paralelogramo com um lado paralelo à linha de terra ou não. Cada um
dos casos dará margem a uma resposta diferente. Se um lado for paralelo à linha de
terra teremos como resposta um trapézio. Se nenhum dos lados for paralelo teremos
nenhum das figuras que representam os quadriláteros notáveis estudados pelos
alunos nas séries iniciais.
51
O professor pesquisador, na institucionalização feita no final da atividade
poderá estimular os alunos a prolongar as retas paralelas para identificar o ponto de
fuga e a linha do horizonte.
Atividade 8
Abrir o arquivo 8. Aparecem para o aluno,o plano horizontal, o plano vertical, a
linha de terra e o olho do observador.
"Criar um quadrado e um paralelogramo no plano horizontal. Construir as
perspectivas do quadrado e paralelogramo no plano vertical e prolongar os lados
opostos dos lados tanto da perspectiva do quadrado quanto a do paralelogramo. Criar
um plano paralelo horizontal passando pelo ponto O ( olho do observador). que você
observa? Comente sua resposta”
O objetivo da atividade é mostrar que a linha do horizonte, intersecção dos
pontos de fugas de retas paralelas construídas no plano horizontal, é também
intersecção do plano paralelo ao plano horizontal passando pelo ponto O.
A primeira grande dificuldade que a atividade apresenta é a construção do
quadrado no plano horizontal. O aluno novamente deverá mobilizar conhecimentos
anteriores. A construção das perspectivas não apresentará problemas pois é um
reinvestimento de atividades anteriores. A construção do plano paralelo ao plano
horizontal passando pelo ponto O deverá apresentar uma dificuldade. O professor
poderá sugerir aos alunos a aplicação do comando plano "paralelo" trabalhado na
fase de familiarização do ambiente Cabri 3D.
A reta que representa a linha do horizonte é a intersecção entre o plano vertical
e o plano paralelo ao plano horizontal passando pelo ponto O. É possível também
que os alunos percebam que a distância entre a linha do horizonte e a linha de terra é
a mesma que a altura do observador.
No final da sessão, na fase de institucionalização, o professor poderá chamar a
atenção dos alunos sobre o fato do ponto de fuga pertencer à linha do horizonte.
52
Atividade 9
Abrir o arquivo 9. Aparecem para o aluno, o plano horizontal, o plano vertical, a linha
de terra e o olho do observador.
"Criar um cubo. Construir a perspectiva do cubo. Prolongar as arestas paralelas da
perspectiva do cubo. O que você observa? Comente sua resposta”
Esta atividade tem como objetivo apresentar um sólido em perspectiva. Os
alunos terão a oportunidade de movimentar o cubo no plano horizontal e notar o
comportamento de suas arestas. Por se tratar de uma figura tridimensional, sua
construção é um convite para que os alunos conjecturem sobre a sua forma em um
plano bidimensional.
Espera-se por parte dos alunos que sejam efetuados os prolongamentos das
perspectivas dos lados paralelos do cubo para a obtenção dos pontos de fuga.
Na institucionalização, o professor poderá novamente, destacar o papel do
ponto de fuga e da linha do horizonte na construção da perspectiva do cubo.
3.3.3 Análise a priori das atividades do Bloco 3 realizadas no Cabri 3D.
Atividade 1
Será entregue ao aluno uma ficha contendo as instruções das atividades que
deverão ser feitas. Ao abrir o arquivo, a tela do computador apresentará a seguinte
construção:
Figura 39
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Os alunos terão a Linha de Terra, o Plano Vertical, o Plano Horizontal, a
posição e o olho O do observador..
Atividade 1
Abrir o arquivo Plano Vertical 1
"Dado o observador representado pelo segmento de extremidade O, construir a linha
do horizonte. Descreva os passos de sua construção”
O objetivo desta atividade é verificar se o conceito de linha do horizonte foi
apropriado. A intenção de pedir a descrição da construção é observar quais
estratégias e elementos ficaram mais evidentes no desenvolvimento das atividades
anteriores.
Uma estratégia de resolução por parte dos alunos é a utilização da ferramenta
plano paralelo passando pelo ponto O, pois este foi o procedimento utilizado na
atividade 3 do bloco 2.
Uma segunda estratégia será a determinação da altura do observador
utilizando a ferramenta distância e a seguir, a construção de uma reta paralela à linha
de terra com a mesma distância.
Uma terceira estratégia seria a construção de uma reta perpendicular ao plano
vertical pelo ponto O e a seguir o traçado de uma reta por esse ponto paralelo à linha
de terra.
Uma quarta estratégia, possível, mas não esperada, seria a construção, no
plano horizontal, de duas retas paralelas entre si e oblíquas à linha de terra, as suas
perspectivas, os seus prolongamentos obtendo um ponto de fuga e finalmente uma
paralela à linha de terra por esse ponto de fuga.
Atividade 2
Quando o aluno abrir o arquivo, a tela apresentará a seguinte construção:
54
Figura 40
A atividade será apresentada da seguinte forma,
Abrir o arquivo Plano Vertical 2
"Imagine 3 retas paralelas entre si no plano horizontal e paralelas à linha de
terra. Sem desenhar as retas no plano horizontal, faça a representação de tais retas
no plano vertical. Descreva os passos de sua construção. O que você observou.”
O objetivo desta atividade é verificar as estratégias empregadas pelos alunos
na construção, partindo plano vertical, e quais dos conceitos estarão presentes no
processo de codificação, uma vez que o arquivo não terá a linha do horizonte.
Uma possível resposta dos alunos é a construção da linha do horizonte e em
seguida, o traçado de 3 retas paralelas entre si e paralelas à linha do horizonte.
Outra resposta errônea que poderá surgir é a escolha um ponto da linha do
horizonte e em seguida a construção de três retas passando por esse ponto.
Os alunos poderão controlar as respostas criando raios visuais que partem do
olho do observador obtendo retas no plano horizontal.
Atividade 3
Quando o aluno abrir o arquivo, a tela apresentará a seguinte construção:
Figura 41
55
Abrir o arquivo Plano Vertical 3
“Imagine 3 retas paralelas entre si no plano horizontal e não paralelas à linha
de terra. Sem desenhar as retas no plano Horizontal faça a representação de tais
retas no plano vertical. Descreva os passos de sua construção. O que você observa?”
O objetivo desta atividade é verificar as estratégias empregadas na construção,
partindo do plano vertical, e quais dos conceitos estarão presentes no processo de
codificação.
A expectativa de resposta por parte dos alunos é que comecem primeiro pela
construção da linha do horizonte e em seguida a partir de um ponto qualquer tracem
as retas solicitadas se interceptando nesse ponto.
Outra solução errônea que poderá surgir é o traçado de três retas paralelas
entre si no plano vertical, o que demonstraria o não entendimento dos conceitos
anteriores.
Atividade 4
Figura 42
Abrir o arquivo Plano Vertical 4
“Imagine um segmento AB no plano horizontal e paralelo à linha de terra. Sem
desenhar o segmento no plano horizontal, faça uma representação de tal segmento
no plano vertical como A’ B’. Determine M’ sendo este a perspectiva do ponto médio
oM de AB. Descreva os passos de sua construção. O que você observou?
O objetivo desta atividade é verificar as estratégias empregadas na construção
dos alunos, principalmente no quesito de perceber que se o segmento AB é paralelo
à linha de terra, o ponto M’, perspectiva do ponto médio M de AB, é ponto médio de
A’ B’.
56
Diferentemente das atividades do bloco 2, neste bloco ao abrir o arquivo os
alunos terão um observador, a linha de terra e a linha do horizonte.
A estratégia esperada dos alunos é a construção da linha do horizonte e a
seguir de um segmento paralelo a ela. O uso da ferramenta "ponto médio"
possibilitará a obtenção do ponto médio M´. Outra estratégia para a obtenção desse
ponto seria a construção clássica da geometria euclidiana que consiste a dividir um
segmento em duas partes iguais. Para isso, basta traçar duas circunferências de
mesmo raio a partir das extremidades do segmento.
Uma resposta errônea que os alunos poderão oferecer é a construção de um
segmento A’ B’ obliquo à linha do horizonte e o uso da ferramenta "ponto médio". Isso
demonstraria o não entendimento das atividades anteriores.
Atividade 5
Figura 43
Abrir o arquivo Plano Vertical 5
"Imagine um segmento AB no plano Horizontal, paralelo à linha de terra e
dividido em 3 partes iguais pelos pontos C e D. Sejam A’ e B’ as perspectivas de A e
B no plano vertical. Sem desenhar o segmento AB no plano Horizontal, construa o
segmento A´B´, perspectiva de AB e a seguir, determine os pontos C’ e D’
perspectivas de C e D. Descreva a sua construção. O que você observa? Comente
sua resposta.”
O objetivo desta atividade é verificar as estratégias empregadas pelos alunos e
os conceitos utilizados no desenvolvimento da atividade.
A expectativa de resposta por parte do grupo de alunos é dividir o segmento
em 3 partes iguais. Para isso, os alunos poderão medir o segmento com a ferramenta
57
"comprimento" e com a calculadora dividi-lo em 3 partes iguais. Outra estratégia é a
construção clássica que utiliza o teorema de Tales.
A justificativa teórica de tal construção poderá ser apresentada pelo professor
pesquisador no final da sessão.
Figura 44
Atividade 6
Nesta atividade é apresentada a seguinte figura na ficha dos alunos.
"A´B´é a perspectiva de um segmento AB contido no plano horizontal.
Pelo ponto A´, traça-se uma paralela à linha do horizonte. Divide-se A´C em três
partes iguais obtendo os pontos D e E. Liga-se C a B´obtendo o ponto H. Liga-se H a
E obtendo o ponto G´ no segmento A´B´. Liga-se H a D obtendo o ponto F´ no
segmento A´B´
O que podemos afirmar sobre as retas FD, GE e BC contidas no plano
horizontal?
Justifique a sua resposta. O que podemos afirmar sobre os pontos F´e G´? "
O objetivo da atividade é levar os alunos a dividir um segmento oblíquo à linha
de terra em 3 partes iguais. Como a construção apresenta um grau elevado de
dificuldade, decidimos transformar o problema numa atividade de interpretação de
textos. Os alunos terão a situação finalizada e deverão conjecturar sobre as razões
58
que levaram a essa construção. Espera-se que o aluno perceba que a aplicação do
teorema de Tales no plano horizontal possa ser transportada para o plano Vertical.
Deverão concluir que os pontos F´e G´ serão os pontos de divisão do segmento
A´B´no plano vertical.
Para isto é necessário que aluno perceba que as retas paralelas no plano
horizontal se apresentem concorrentes no plano vertical e incidem no ponto de fuga
que se situa na linha do horizonte.
Os alunos deverão interpretar os dados apresentados e concluir que as retas
FD, GE e BC no plano horizontal são paralelas pois que as suas perspectivas
concorrem no ponto H. A configuração de Tales no plano horizontal deverá permitir a
conclusão que os pontos F´e G´ são pontos que dividem o segmento em perspectiva,
em três partes iguais.
Figura 45
3.3.4 Análise a priori das atividades do bloco 4 realizadas no ambiente papel e lápis
Os alunos terão uma ficha com as instruções para executar as tarefas.
Atividade 1
“A’ B’ é a perspectiva de um segmento AB contido no plano horizontal. Construir um
segmento C’ D’ perspectiva de um outro segmento CD situado no plano horizontal
que tem como característica ser paralelo a AB. É dada a Linha do Horizonte.
Descreva os passos de sua construção.”
59
O objetivo da atividade é construir a perspectiva de um segmento paralelo a
um segmento dado. É uma atividade situada na geometria proto-axiomático (G2) .
Os alunos deverão utilizar propriedades vistas anteriormente. Nessa atividade,
a propriedade em jogo é que retas paralelas no plano horizontal e oblíquas à linha de
terra têm perspectivas que concorrem num ponto de fuga situado na linha do
horizonte. A estratégia esperada dos alunos é prolongar o segmento A’ B’ até a linha
do horizonte marcando o ponto de Fuga. Em seguida construir um segmento numa
reta que passa pelo ponto de fuga e seja concorrente com a linha do horizonte.
Espera-se que os aluos não construam um segmento paralelo a A’B’ na
representação do plano vertical. Isso mostraria que os conceitos anteriores não foram
assimilados.
Atividade 2
“Imagine um paralelogramo ABCD contido no plano horizontal. Construir a
perspectiva de A’B’C’D’. A Linha do Horizonte é dada. Descreva os passos de sua
construção.”
O objetivo desta atividade é verificar no ambiente de papel e lápis se os alunos
vão representar tal figura com as propriedades da perspectiva cônica. Uma possível
estratégia é criar dois pontos de fugas na linha do horizonte e a partir delas criar duas
retas concorrentes. Tais retas se intersectarão formando um quadrilátero que
´representará um paralelogramo.
Linha do Horizonte
60
Outra possível estratégia é a utilização de apenas um ponto de fuga. A partir
desse ponto traçam-se duas retas concorrentes e a seguir duas retas paralelas à
linha do horizonte.
Estratégia 1 Estratégia 2
Atividade 3
“Dados o segmento A’B’ perspectiva do segmento AB contido no plano Horizontal e a
linha do horizonte.Sejam C e D os pontos do segmento AB que dividem em três
partes iguais. Obter as perspectivas C’ e D’ dos pontos C e D. Descreva os passos
de sua construção”
O objetivo desta atividade é fazer com que os alunos reflitam sobre a atividade
6 do bloco 3, e, utilizem as propriedades e conceitos envolvidos nesta construção.
Espera-se que a estratégia dos alunos seja a utilização da figura do bloco
anterior como referência.
61
A estratégia esperada poderá seguir a seguinte sequência de passos.
I. Traçar uma paralela r a linha do horizonte pelo ponto A’
II. Marcar um ponto P qualquer em r em seguida transferir a medida de AP em r duas
vezes determinando Q e S
III. Traçar uma reta de S passando por B, a interseção entre SB e a linha do horizonte
será o ponto de fuga
IV. A partir do ponto de fuga construir retas passando por Q e P.
As retas FP, FQ e FS são concorrentes na linha do horizonte e portanto paralelas no
plano horizontal. Os segmentos A’C’,C’D’ e D’B’ têm medidas no plano horizontal iguais.
Atividade 4
“A figura ABCDEF está contida no plano horizontal. ABCD e BEFC são
quadrados. Dada a perspectiva A´B´C´D´do quadrado ABCD, construir a perspectiva
do quadrado B’E’F’C’. Descreva os passos de sua construção.”
Quadrados contidos no plano horizontal
62
Quadrado construído no plano vertical
O objetivo desta atividade é fazer com que os alunos utilizem todos os
conceitos aprendidos nos blocos anteriores.
Esta atividade contempla os conceitos de retas paralelas, a condição de
alinhamento de pontos e o conceito de ponto de fuga.
A primeira ação dos alunos deverá ser a determinação da linha do horizonte.
Para isto, unem-se os pontos A´e D´ e os pontos B´e C´ determinando o ponto de
fuga 1. A seguir, unem-se os pontos A´e B´e os pontos C´e D´obtendo o ponto de
fuga 2. Ligando os pontos de fuga 1 e 2 obtém-se a linha do horizonte. As diagonais
DB e CE dos quadrados são paralelas no plano horizontal. Logo as suas perspectivas
D´B´e C´E´se encontram num ponto de fuga 3 no plano vertical. Como E´ não foi
dado, ligar D´com B´até encontrar a linha de fuga no ponto 3. Liga-se o ponto de fuga
3 ao ponto C´ obtendo-se o ponto E´.
63
3.3.5 Análise a priori das atividades do bloco 5- Ambiente papel e lápis..
Nesse bloco serão apresentadas várias reproduções de gravuras de pintores
do Renascimento.
Os alunos poderão utilizar régua, compasso, lápis nas atividades deste bloco.
Atividade 1
Nessa atividade será apresentada a reprodução da gravura do pintor Rafael
“Obter o ponto de fuga da pintura de Rafael”
Figura 46. Rafael, A Escola de Atenas c. 1509, Vaticano Web Gallery of Art, WWW.wga.hu
O objetivo da atividade é identificar o ponto de fuga a partir de paralelas que a
figura contém.
A situação apresentada é um reinvestimento das propriedades obtidas nos
blocos 1, 2, 3 e 4
Não esperamos dificuldades nessa atividade, pois os alunos podem utilizar
como referências retas paralelas representadas no chão e utilizar a estratégia de
prolongamento de seus lados para encontrar o ponto de fuga.
Exemplo de resposta da atividade 1 bloco 5
64
Atividade 2
Será apresentada aos alunos a figura Anunciação do pintor renascentista
Leonardo da Vinci.
“Obter o ponto de fuga e a linha do horizonte”
Figura 47. Leonardo da Vinci, Anunciação c. 1472-75, Web Gallery of Art, WWW.wga.hu
O objetivo desta atividade é além de identificar o ponto de fuga na gravura,
obter também a linha do horizonte.
Uma estratégia dos alunos é utilizar as linhas paralelas que compõe a parede
65
Atividade 3
A atividade será apresentada da seguinte maneira :
"Identificar na figura abaixo à linha do horizonte, o ponto de fuga e estimar a
área total da sala em função da área de um quadrado.. Supor que a altura média de
uma pessoa é 1,74m"
Figura 48. Paolo Uccello, Milagre da Hostia c. 1465-69, Web Gallery of Art, WWW.wga.hu
Será apresentada aos alunos uma obra do pintor renascentista Paolo Uccello.
O objetivo desta atividade é fazer com que os alunos percebam que os
quadrados no chão podem auxiliar no cálculo mesmo estando em perspectiva, Uma
estratégia dos alunos é contar os quadrados na linha horizontal da sala e depois na
linha vertical.
Atividade 4
Será apresentada aos alunos a figura do artista Domenico Veneziano com a
instrução de identificar elementos da perspectiva livremente, sem nenhuma indicação.
66
Figura 49. Domenico Veneziano, St Zenobius Performs a Miracle c. 1445. Web Gallery of Art, WWW.wga.hu
Espera-se dos alunos a determinação do ponto de fuga e da linha do horizonte.
O professor pesquisador poderá estimular os alunos a determinar outros elementos
tais como a altura de um dos prédios.
Como as alturas das pessoas (aproximadamente 1,70 m) estão acima da linha
do horizonte, pode-se fazer a estimativa que a distância entre a linha de terra e a
linha do horizonte é de 1 metro. O segmento AB medirá, portanto 1 metro. Para medir
a altura do prédio AC, basta transportar essa medida até o ponto C. Isto dará
aproximadamente 8 metros.
67
Capitulo 4 - Experimentação e Análise a Posteriori
4.1 Introdução
Neste capítulo apresentamos o experimento que foi realizado com alunos do
Ensino Médio. Detalharemos as ações desenvolvidas e apresentamos a última etapa
da engenharia didática que é a análise a posteriori das atividades. A comparação entre
a análise a priori e a análise a posteriori nos dará elementos para responder à questão
de pesquisa
Um dos objetivos da análise a posteriori é transformar os fatos observados em
fenômenos didáticos. O trabalho se limitará a fazer uma análise das estratégias e das
dificuldades apresentadas pelos alunos na resolução das atividades.
A pesquisa investiga o estudo da perspectiva cônica com alunos do Ensino Médio de
uma escola Estadual visando responder à seguinte questão:
“Que dificuldades apresentam alunos do Ensino Médio em relação à codificação de
situações que envolvem o conceito de perspectiva cônica e em relação à decodificação
de regras da perspectiva cônica?"
Descreveremos a seguir os sujeitos da pesquisa e a organização do
experimento.
4.2 Organização do experimento
O experimento foi desenvolvido em duas etapas. Uma primeira etapa de
familiarização com o software Cabri 3D e uma segunda etapa com as atividades
concebidas para o estudo da perspectiva cônica. A primeira etapa foi realizada antes
da experimentação nos meses de março e abril de 2009. Nessa etapa foram
convidados alunos de uma escola estadual situado na região Sul da cidade de São
Paulo.
Na segunda etapa participaram apenas duas duplas de alunos entre aqueles da
fase de familiarização. Nesta análise indicaremos as duplas por dupla 1 e dupla 2. Na
dupla 1 indicaremos os participantes de Alfa e Beta. Na dupla 2 indicaremos os
participantes de Gama e Delta. A experimentação foi realizada em três ambientes: com
o uso do perspectógrafo, com o uso de um ambiente informatizado e com o ambiente
papel e lápis. A duração de cada um dos cinco encontros foi de uma hora e meia.
68
4.2.1 Publico Alvo
Como o trabalho envolve conteúdos de geometria espacial, identificamos na
proposta curricular da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo que esse
conteúdo, situa-se na segunda série do Ensino Médio. Dessa forma convidamos
alunos da segunda série do Ensino Médio para a realização das tarefas propostas.
O convite foi feito a todos os alunos e de uma forma aberta, sem quaisquer
tipos de restrições.
4.2.2 A Etapa de Familiarização
A etapa de familiarização com o software Cabri 3D foi feita em 4 semanas com
dois encontros semanais de uma hora e meia totalizando doze horas. Nesses
encontros, participaram 9 alunos O objetivo era revisitar algumas construções
envolvendo os conceitos de retas, segmentos, semi-retas, retas perpendiculares, retas
paralelas, triângulos, polígonos e arcos. Para que os encontros não fossem apenas
repetições de conteúdos já vistos, adotou-se como estratégia apresentá-los envolvendo
o comando "animação" do software. Dessa forma, a construção de carrosséis, de
moinhos de ventos e de prédios possibilitou rever tais conceitos de uma maneira
dinâmica.
Nessa etapa assim como nas demais os alunos foram dispostos a trabalhar em
pares. A escolha na formação das duplas foi deixada a cargo dos próprios participantes
e isto não impedia que no desenvolvimento do trabalho os alunos trocassem
informações a respeito de suas descobertas ou dúvidas.
4.2.3 Coleta de dados
Para subsidiar a análise de dados foram utilizados os seguintes instrumentos:
- fotos do experimento do perspectógrafo.
-algumas imagens das telas dos computadores de cada uma das atividades.
- fichas de anotações de todos os alunos em cada uma das atividades
-ficha de anotações dos professores observadores. Esses professores tinham a função
de observar e anotar todas as estratégias e dificuldades dos alunos.
69
4.3 Categorização das dificuldades das atividades.
O grande interesse da pesquisa é a análise das dificuldades dos alunos na
apropriação do conceito de perspectiva cônica. Para facilitar a análise, procurou-se
dividir as dificuldades ocorridas ao longo da experimentação em cinco categorias.
1. Dificuldades relacionadas ao uso do perspectógrafo.(por exemplo: manuseio do
laser, manuseio da caneta no plano vertical,...)
2. Dificuldades relacionadas ao uso do programa Cabri 3D.
3. Dificuldades relacionadas à geometria euclidiana (por exemplo: construções de
objetos no plano horizontal)
4. Dificuldades relacionadas à geometria projetiva (por exemplo: construções de
objetos no plano vertical).
5. Dificuldade na compreensão dos registros de representação. (por exemplo:
enunciados das atividades, registros dos alunos nas fichas,...)
Ao longo da análise, o trabalho pretende identificar as dificuldades dos alunos na
realização das tarefas propostas. Tais elementos poderão nos ajudar a entender os
entraves dos alunos na compreensão do conceito de perspectiva cônica.
4.4 Análise a posteriori do bloco 1 (uso do perspectógrafo)
O perspectógrafo utilizado no experimento foi construído pelo próprio
pesquisador e possui uma altura de aproximadamente 33 cm em relação à sua base,
podendo girar em seu próprio eixo de 360º. Possui também uma cápsula em sua
parte superior onde é armazenada uma caneta que dispara um feixe laser retilíneo.
Sua base é fixada em uma estrutura que permite movimentá-la para esquerda e
direita, para frente e para trás.
Fig 50. perspectógrafo
70
No início da sessão os alunos foram convidados a auxiliar na montagem dos
equipamentos. Eles aceitaram a incumbência sem ter nenhuma ideia do que se
tratava e para que serviam todas as peças que iriam ganhar forma.
Encerrada a etapa de preparação dos equipamentos, a ferramenta foi disposta
em uma mesa e um quadro transparente foi colocado perpendicularmente à mesa.
Sobre a mesa do outro lado do plano vertical foi colocada a figura de um quadrado
em papel cartão e foi fornecida aos alunos uma ficha contendo as instruções da
primeira atividade .
Análise da atividade1
"Utilizando o laser, marcar no plano vertical os vértices de um quadrado situado sobre a mesa. Em
seguida ligar os vértices e comparar a figura com o modelo original. Faça um esboço do desenho que
você encontrou".
O manuseio do aparelho não apresentou dificuldade aos alunos. Podemos dizer
que foi de fácil manipulação. Após ligar os pontos, os alunos ficaram incomodados com
a figura obtida no quadro transparente.
Era visível para as duas duplas que algo estava errado pois o resultado não era
um quadrado. De maneira inesperada os alunos decidiram por si, apagar o desenho e
refazer a atividade trocando de posições. Um manuseava o laser e outro fazia o
desenho no quadro. As inúmeras tentativas fizeram com que as duplas percebessem
que o resultado do desenho deveria ser diferente do desenho de um quadrado
Figura 51
No momento de redigir o texto, os componentes da dupla 1 não chegavam a um
consenso sobre o que estava acontecendo. Decidiram então anotar as suas
conclusões em duas folhas diferentes.
71
Deixamos as duplas à vontade para o debate. Apenas as instruímos para que na
medida do possível fossem claras em suas explanações e utilizassem seu próprio
vocabulário sem se preocupar com termos técnicos ou matemáticos. Após a obtenção
da figura, eles tentavam sobrepor a figura obtida ao quadrado situado no plano
horizontal para ver se coincidia.
Seguem os comentários dos dois alunos da dupla 1 e seus esboços.
Figura 52. “3/4 se casou, mas ficamos mudando de posição, fazendo com que um não se casasse”
O aluno alfa escreveu que ¾ da figura se casou. Esse termo tinha o significado
de sobreposição em relação ao quadrado contido no plano horizontal.
Figura 53.“Embora as figuras não sejam as mesmas, dependendo da perspectiva (o modo ou a posição) que se olha. As figuras encaixam-se uma na outra”
O aluno beta afirma que dependendo da perspectiva as figuras se encaixam
uma na outra. O termo perspectiva foi utilizado pois que durante o experimento o
professor referiu-se várias vezes aos pontos obtidos no plano vertical como
perspectivas dos pontos dados no plano horizontal.
Podemos supor que o aluno quis dizer que dependendo do ponto onde a figura
é observada elas se sobrepõem. Ao notar a foto obtida no perspectógrafo com os
esboços obtidos pelos alunos vemos que aqui emerge a dialética do sabido e do
percebido.
72
Apesar do desenho obtido não ser o objeto apoiado na mesa, um dos
participantes o representa como ele é, justificando que a figura se sobrepõe a ela
parcialmente. O segundo participante utiliza a palavra perspectiva, com a conotação de
ponto de vista. Sua representação é mais fiel à figura obtida.
A dupla 2 apresentou uma única conclusão. Porém sua justificativa não ficou
muito clara. Mesmo quando questionada não consegue traduzir de forma clara suas
conjecturas.
Figura 54. “Se casou, pois nós focamos em um só local e visualizamos todos os pontos deste mesmo local, nós
focamos no centro”
Vemos que nas duas duplas, o resultado não atendeu às suas expectativas,
Chegam a justificar o resultado obtido por ter colocado o instrumento a laser no centro.
As duplas acreditam que só não houve sobreposição de figuras em função de não
terem ainda obtido a posição correta para a colocação do ponto de vista do observador.
Podemos considerar que a mudança na forma do objeto reproduzido causou um
desequilíbrio nas duas duplas.
Figura 55
Análise da atividade 2 A atividade 2 foi apresentada da seguinte maneira:
“O que acontece com a perspectiva de 4 retas paralelas representadas na mesa. Faça um esboço de seu
desenho.”
73
É preciso ressaltar que dispusemos as retas de forma diferente para as duplas.
Na dupla 1 deixamos as retas paralelas à base do quadro. Na dupla 2 deixamos as
retas levemente obliquas em relação à base do quadro vertical. Após a finalização da
atividade, pedimos para que as duplas observassem o resultado da outra dupla.
Figura 56
Novamente, a atividade provocou uma grande surpresa entre as duplas,
principalmente na dupla 2. Pelo fato das retas obliquas não apresentarem o resultado
esperado, os alunos da dupla 2 tiveram opiniões diferentes e cada um quis redigir a
sua resposta de forma independente em uma folha. Havia um impasse entre os alunos
gama e delta: as retas no quadro vertical encontravam-se ou não? O professor
pesquisador deu a sugestão aos alunos da dupla 2 de prolongar as retas. Com esta
orientação os alunos chegaram às seguintes conclusões
Figura 57. “As figuras são diferentes; 1ª. São linhas paralelas a 2ª. são linhas que se encontram em uma extremidade e vão se separando na outra. OBS: Se as linhas se encontram em determinado ponto elas não são infinitas são?”
resposta do aluno Gama
Resposta do aluno Delta
74
Em relação à dupla 1, o fato das retas serem paralelas à linha de terra, não
provocou nenhuma surpresa no resultado final. No entanto podemos observar que o
aluno Alfa fez um rascunho e um breve comentário relacionando a representação das
retas com sua posição. Algo que emergiu devido ao acesso que teve ao resultado da
dupla 2.
Os comentários da dupla 2 destacam o fato de o desenho obtido não ser o que
realmente esperavam. O texto apresentado subentende que a expectativa era
encontrar retas paralelas.
Figura 59.“Dependendo da posição da folha onde esta o 1º. desenho (as paralelas). A Figura da perspectiva torna-se também um desenho de linhas paralelas”
Novamente a atividade mostra certa perplexidade dos alunos diante de uma
situação inusitada, qual seja, a não permanência do paralelismo na projeção em
relação ao plano vertical.
Análise a posteriori da Atividade 3
“Dado um tabuleiro situado no plano horizontal com um lado paralelo à linha de terra marcar com o
laser no plano vertical os 16 pontos de intersecção. Em seguida ligar todos os segmentos de retas no
plano vertical de modo a construir um tabuleiro no plano vertical. Fazer um esboço do desenho
obtido. Dizemos que a figura no plano vertical é a perspectiva do tabuleiro do plano horizontal.”
Os resultados apresentados pelos alunos são diferentes da expectativa
apresentada na análise a priori. Os esboços dos alunos não condizem com o desenho
Figura 58.“Não foi o que esperávamos, pois pensávamos que continuaria sendo uma reta
e que não se cruzassem. Nós nos focamos na diagonal direita”
75
do tabuleiro no plano vertical. As duplas reproduziram o mesmo desenho do plano
horizontal.
Ao receberem o comando de fechar um olho e procurar uma posição onde os
traços obtidos no plano vertical se sobrepõem ao desenho no plano horizontal, os
alunos utilizaram o termo “casam” para dizer que existe esta posição. Este termo foi
utilizado também nas atividades anteriores. A busca por esta posição no fim da
atividade servia de validação para que o trabalho fosse concluído com exatidão.
Solução dupla 1
Figura 60.“Casou, pois também nós focamos na diagonal esquerda.”
A dificuldade proveniente da mudança do modelo teórico da geometria
euclidiana para a geometria projetiva permaneceu nesta terceira atividade. Existe
uma cisma por parte dos alunos de não se conformar com o que é visto. Fazem
questão de se referir àquilo que eles conhecem, ou seja, a forma do objeto no plano
horizontal deve permanecer no plano vertical.
Análise a posteriori da atividade 4
“São dadas três hastes perpendiculares ao plano horizontal com uma das extremidades de cada uma
delas pertencentes ao plano horizontal. Uma haste tem altura igual ao do observador, a outra menor
que o observador e a terceira maior que o observador. Marcar com o laser as extremidades de cada
haste no plano vertical e representá-las como segmentos de reta. O que você observa? Faça um
esboço do desenho obtido no plano vertical.”
A estratégia utilizada pelos alunos foi de obter as imagens dos segmentos por
meio dos raios visuais. A atividade não atingiu o seu objetivo que era fazer com que
os alunos relacionassem as alturas das hastes com o observador. Os alunos apenas
se preocuparam em desenhar no plano vertical cada uma das hastes. No final do
bloco, na fase de institucionalização, a resolução da atividade fez com que a linha do
76
horizonte fosse apresentada pelo professor como um dos elementos essenciais ao
estudo da perspectiva cônica.
A ficha da dupla 1 mostra que a preocupação dos alunos restringiu-se apenas
a apresentar o esboço das três hastes.
Figura 61. “Também focamos na diagonal direita, fazendo com que casasse, só que dessa vez, passamos de um desenho vertical para um plano vertical”
Síntese do bloco 1
O objetivo do bloco 1 era familiarizar o aluno com o raio visual e com a
representação de um objeto no plano vertical. Outra intenção do bloco era mostrar
aos alunos que as figuras perdem a sua forma e muitas de suas propriedades quando
construídas no plano vertical.
O bloco atingiu o primeiro objetivo de familiarizar o aluno com a perspectiva de
um objeto desenhado no plano horizontal, mas não o segundo objetivo de apresentar
a não invariância de certas propriedades euclidianas como o paralelismo. O bloco
mostra claramente que a deformação da forma dos objetos desenhados no plano
vertical não foi compreendida pelos alunos.
A dialética sabido/percebido citada por Parzysz foi encontrada claramente nos
relatos dos alunos. Os alunos tendem a reproduzir as figuras tais como são no plano
horizontal e não como se apresentam no plano vertical.
A expectativa do segundo bloco, também de natureza experimental, era
fortalecer nos alunos os resultados obtidos empiricamente no bloco 1. No entanto,
como no bloco 1, as dificuldades de compreensão da mudança do modelo teórico
foram enormes, o bloco 2 deverá novamente voltar aos objetivos iniciais, ou seja,
levar os alunos na busca de alguns invariantes da perspectiva cônica.
77
4.5 Análise a posteriori do bloco 2 (uso do computador)
A impressão que os alunos deixaram no final do bloco 1 (geometria concreta)
foi de uma quebra de paradigmas, impressões do senso comum que não se
confirmaram com as atividades, porém havia no ar uma expectativa para
compreender tais fenômenos.
Em nosso encontro seguinte, além dos quatro alunos da última sessão também
foi inserido, no experimento, um quinto aluno (Ômega).
O aluno Ômega participou de quase toda familiarização e também era aluno
matriculado da escola, mas por motivos particulares não compareceu no experimento
do perspectógrafo. Nas análises, utilizaremos também as fichas de anotações desse
aluno..
Neste bloco os alunos foram divididos em dois agrupamentos: uma dupla e
uma tripla. O experimento e as discussões poderiam ser coletivas, mas cada aluno
deveria resolver as atividades na sua própria ficha.
Após vinte minutos, os alunos continuavam com as folhas de respostas em
branco, liam e reliam os enunciados, mas não faziam idéia da relação de ações que
deveria ser feita. Não tinham estratégias para solucionar o que lhes foi proposto. Em
um dado momento, indaguei o que estaria acontecendo. Todos disseram que não
entendiam o que estava escrito nas perguntas.
Tentei entender o que estava acontecendo e quis saber se a dificuldade era de
interpretação de texto, ou a forma na qual as perguntas foram colocadas, ou ainda se
eram dificuldades relacionadas ao conhecimento matemático. É preciso ressaltar que
os alunos cursavam o Ensino Médio regular. Com trinta e cinco minutos decidi
encerrar o encontro. Era necessário adotar uma nova abordagem sem alterar a
estrutura das atividades. Para evitar maiores problemas e não se desmotivar os
alunos por completo pedi a todos que comparecessem, no dia seguinte, no mesmo
horário.
Como combinado e com a presença dos cinco alunos, iniciei o encontro com
uma exposição sobre a notação do ponto A´ que era projeção do ponto A sobre o
quadro vertical. Essa era a principal fonte de dúvidas dos alunos. Nesse encontro
também foi exposto que o plano vertical apresentado no software deveria ser
associado à janela transparente do perspectógrafo. Outro ponto abordado foi a
78
nomenclatura do segmento AB, da reta reta OA, da semi-reta AB bem como a
relação com as notações A’B’ e OA´.
O tempo de duração dessa sessão de esclarecimentos sobre as notações
adotadas nas atividades foi em torno de vinte cinco minutos. A seguir os alunos
iniciaram a primeira atividade proposta no ambiente informático.
Análise da atividade 1
“a) Abrir o arquivo 1. Aparece o plano horizontal, o plano vertical, a linha de terra e o olho do
observador. Criar um segmento AB no plano horizontal. Construir a perspectiva A’B’ do segmento AB.
b) Determinar o ponto médio M do segmento AB. Em seguida determinar a perspectiva M’ do
ponto médio M do segmento AB. Verificar se M’ é o ponto médio de A’B’. Movimentar os pontos A e
B do segmento AB. Há alguma posição de AB onde M’ é ponto médio de A’B’?”.Comente a sua
resposta
A construção do segmento A´ B´ foi imediata. A estratégia utilizada por eles foi
o uso dos raios visuais para a obtenção dos pontos A´ e B´. O ponto médio M do
segmento AB foi obtido com o comando "ponto médio" do software . O ponto M´ foi
obtido a partir do raio visual OM.
Todos os alunos ao explorarem a situação com o programa concluíram que
existe uma determinada posição em que a perspectiva do ponto médio é o ponto
médio do segmento em perspectiva. A posição desse caso especial em que o
segmento AB é paralelo à linha de terra não foi mencionada nos relatórios.
Os alunos fazem referências que existe uma posição do segmento AB em que
M e M´ são pontos médios mas não relatam precisamente qual é essa posição.
Ficha do aluno Ômega
79
Figura 62. “O ponto da reta do plano vertical só é médio se a reta do plano horizontal estiver totalmente reto, pois se ela se mover para baixo ou para cima, o ponto do plano vertical já deixa de ser médio”
Observamos nas palavras utilizadas na ficha do aluno Ômega a intenção de
dizer que o ponto médio M´ ocorre quando o segmento AB é paralelo à linha de terra.
A atividade queria realçar a não invariância do ponto médio, mas a preocupação dos
alunos se concentrou em achar a posição em que o ponto médio permanece
invariante.
Análise da atividade 2
“Abrir o arquivo 2. Aparece um segmento AB no plano horizontal paralelo à linha de terra.
Determinar o ponto médio de AB. Em seguida determinar sua perspectiva no plano vertical. Verifique
se M’ é ponto médio do segmento A’B’. Movimente os pontos A e B no plano horizontal. Comente a
sua resposta
A atividade foi resolvida sem dificuldades e a estratégia de resolução foi a
mesma da atividade anterior. Os alunos perceberam que a posição do segmento no
plano horizontal que preserva o ponto médio é quando o segmento é paralelo à linha
de terra. A ficha do aluno Gama mostra bem que a estratégia utilizada é a construção
dos raios visuais
Ficha do aluno Gama
Figura 63 “O M’ é realmente o ponto médio de A’B’ porque a reta esta paralela”
Análise da atividade 3
“Abrir o arquivo 3. Aparece o plano horizontal, o plano vertical, a linha de terra e o olho do
observador. Criar um triângulo qualquer ABC no plano horizontal. Construir a perspectiva do A’B’C’
no plano vertical. Determinar no plano horizontal o baricentro do triângulo e verificar se sua
perspectiva também é baricentro do triângulo no plano vertical.” Comente sua resposta
80
A estratégia utilizada por alguns alunos foi a obtenção do baricentro G do
triângulo ABC, como encontro das medianas, e em seguida usando o raio visual
obtiveram o ponto G´, mas não conseguiram verificar se o ponto G´, assim obtido,
coincidia com o baricentro do triângulo A´B´C´. Para isso, era necessário obter os
pontos médios dos segmentos A´B´e B´C´ para depois construir as medianas do
triângulo A´B´C´.
A justificativa da não invariância do baricentro apontada, por eles, se baseou
em argumentos das atividades 1 e 2.
Disseram que como os três segmentos formados pelo triângulo ABC não
poderiam ser ao mesmo tempo paralelos à linha de terra, os pontos médios dos lados
A´B´e B´C´não se preservavam. Neste momento, começa a emergir uma aceitação da
distorção dos desenhos no plano vertical.
Ficha do aluno Gama
Figura 64. “O G’não é o baricentro do A’B’C’porque as linhas do ponto médio dos lados são paralelos as da linha de terra”
Análise da atividade 4
“Abrir o arquivo 4. Aparece o plano horizontal, o plano vertical, a linha de terra e o olho do
observador. Determinar três pontos alinhados no plano horizontal, em seguida construir suas
perspectiva. O alinhamento se preserva em perspectiva?” Comente a sua resposta.
81
Os alunos obtiveram as imagens dos três pontos alinhados usando como
estratégia a construção dos raios visuais. Empiricamente observaram que as imagens
são alinhadas. Não houve nenhuma tentativa de justificar esse resultado.
No entanto, dois alunos, Alfa e Delta, procuraram justificar tal afirmação num
caso particular em que os três pontos pertencem a uma reta paralela à linha de terra.
Afirmam que como os três pontos pertencem a uma reta paralela à linha de terra
então as suas imagens pertencerão a uma reta.
Ficha do Aluno Alfa
Figura 65. “Porque no plano horizontal os pontos A, B e C estão alinhando paralelamente à linha de Terra. Se os pontos são paralelos então so pontos da perspectiva também serão paralelos”
Ficha do Aluno Delta
Figura 66. “Sim, o alinhamento se preserva, porque as linhas são paralelas a linha de Terra”
Análise posteriori da atividade 5
"Criar dois segmentos AB e CD se interceptando no ponto P no plano horizontal. Construir as
perspectivas de A’B’ e C’D’ dos dois segmentos no plano vertical. Determinar o ponto Q que é
intersecção dos segmentos no plano vertical. A perspectiva do ponto P é Q? Movimentar os
segmentos e observar. Comente sua resposta”
82
A estratégia utilizada pelos alunos para verificar que a intersecção entre retas é
um invariante foi a construção do raio visual do ponto de intersecção dos segmentos
AB e CD. Percebe-se claramente na ficha do aluno gama tal estratégia. Os demais
afirmam apenas a intersecção se preserva.
Este bloco foi dividido em dois encontros devido ao número de atividades,
desta forma neste primeiro dia encerramos na atividade 5. A esta altura , os alunos já
apresentavam um pouco de cansaço.
Entre os aspectos positivos que podemos assinalar está o intercâmbio dos
alunos para comentar, na ficha, as respostas que eles observaram em cada
experimento realizado. Outro aspecto é o aparecimento de termos não comuns nas
tentativas de generalizações. Por exemplo, o aluno beta afirma que qualquer ponto de
intersecção no plano horizontal se preserva no plano vertical.
Ficha do aluno Gama
Figura 67. “A perspectiva P é igual o Q porque em todo modo o alinhamento se preserva”
Ficha do aluno Beta
Figura 68 “Sim a perspectiva do ponto P será igual a Q. Qualquer ponto de intersecção no plano horizontal também será perspectiva no plano vertical”
Análise da atividade 6
83
”Construir um quadrado ABCD no plano horizontal em seguida determinar a perspectiva A’B’C’D’ do quadrado
no plano vertical. Verifique se o paralelismo dos lados se mantém em perspectiva. Movimente o quadrado que
está no plano horizontal e observe em que posição lados opostos se mantém paralelos. Comente sua resposta.”
Nesta atividade, ficou combinado com os alunos que eles responderiam às
atividades em conjunto e da seguinte forma: dupla Ômega e Beta e tripla Alfa, Delta
e Gama. Caso houvesse uma divergência nas respostas, os alunos entregariam suas
respostas individualmente.
A grande dificuldade surgida nessa atividade foi a posição do quadrado no
plano horizontal. A opção "quadrado" do software permite a construção imediata de
um quadrado em qualquer posição do plano horizontal. Manipulando um dos pontos
da figura é possível fazer com que um dos lados do quadrado permaneça paralela à
linha de terra.
Foi essa a posição escolhida pelos alunos. A partir dessa construção e usando
os raios visuais, os alunos obtiveram a perspectiva do quadrado. Dois lados se
mantiveram paralelos enquanto os outros dois eram oblíquos em relação à linha de
terra.
A dupla Ômega e Beta, afirma apenas que a perspectiva do quadrado é uma
figura onde os lados não permanecem paralelos. O trio Alfa, Delta e Gama justifica
que dois lados da figura não são paralelos pelo fato do quadrado construído no plano
horizontal apresentar dois lados não paralelos à linha de terra.
Ficha da dupla Ômega e Beta
Figura 69 “A figura do plano vertical não fica paralela a figura do plano horizontal”
Ficha do Trio Alfa, Delta e Gama
84
Figura 70 “A linha A’B’ torna-se paralela à linha C’D’quando a linha AB do quadrado do plano
horizontal esta paralela à linha de Terra. As linhas D’B’e C’A’ nunca serão paralelos porque no
plano horizontal eles não estão paralelos à linha de Terra”
Análise da atividade 7
"Criar um paralelogramo ABCD no plano horizontal, em seguida determinar a perspectiva
A’B’C’D’ no plano vertical do paralelogramo. Verifique se o paralelismo dos lados se mantém. A seguir,
movimente os pontos no plano horizontal. Faça um comentário sobre a atividade.”
Os alunos apresentaram uma enorme dificuldade na atividade de construção
do paralelogramo, visto que o software não apresenta um comando para a construção
desse tipo particular de quadrilátero. Diante dessa dificuldade os alunos deixaram de
fazer uma construção robusta e se contentaram em fazer uma "construção mole" do
paralelogramo. A construção robusta é aquela que quando realizada num software de
geometria dinâmica, preserva, quando do deslocamento de um de seus pontos de
base, as propriedades ligadas ao objeto geométrico que representa.
Ao contrário, a construção mole é um simples traçado empírico controlado
apenas pela visualização. Ao contrário do previsto na análise a priori, o paralelogramo
construído pelos alunos tinha lados paralelos à linha de terra, acarretando um
trapézio na perspectiva.
O que se percebe nas repostas dos alunos é que eles enfatizaram mais
importância à permanência do paralelismo dos lados paralelos à linha de terra do que
à perda do paralelismo dos lados oblíquos à linha de terra.
Ficha da dupla Ômega e Beta
85
Figura 71 “A figura do plano vertical um lado fica paralelo e o outro se cruza”
Ficha do Trio Alfa, Delta e Gama
Figura 72. “Todo paralelograma que no plano horizontal, apresenta sua linha AB paralelo à linha
de Terra, tem as linhas A’B’ e C’D’, da perspectiva, paralelas”
Análise da atividade 8
"Criar um quadrado e um paralelogramo no plano horizontal. Construir as perspectivas do quadrado e
paralelogramo no plano vertical e prolongar os lados opostos dos lados tanto da perspectiva do
quadrado quanto do paralelogramo. Criar um plano paralelo ao plano horizontal passando pelo ponto
O ( olho do observador). O que você observa? Comente sua resposta”
A estratégia utilizada na construção do paralelogramo adotada pelo trio de
alunos era criar uma reta no plano horizontal e construir uma paralela passando por
um ponto qualquer.
Em seguida repetir o processo fazendo com que as retas construídas fossem
concorrentes com as primeiras, porém ao construir a primeira reta os alunos
adotaram o uso de uma ferramenta que o programa que permite construir uma
paralela com apenas um clique, no entanto para obter êxito neste cenário é preciso
selecionar a reta, fato este que o trio acionava a ferramenta paralela no computador e
86
marcava o lugar onde a reta iria passar nesta ordem o programa construía um plano
paralelo e não uma reta.
Assim o trio ficou parado diante da tela com uma reta no plano horizontal sem
dar continuidade da atividade, foram dadas as devidas instruções aos alunos para
prosseguimentos de sua estratégia e assim completarem a atividade uma dificuldade
com o uso do computador.
Ficha de resposta da dupla Beta e Ômega
Figura 73. “As reta que se cruzam na saem do plano paralelo”
Ficha de resposta do Trio Alfa, Delta e Gama
Figura 74“As linhas A’C’, B’D’das duas figuras encontram-se na altura do ponto do olho do
observador. Isso ocorre porque as linhas AC e BD das figuras do plano horizontal não são
paralelas à linha de Terra”
Análise da atividade 9
"Criar um cubo. Construir a perspectiva do cubo. Prolongar as arestas paralelas da perspectiva do
cubo. O que você observa? Comente sua resposta”
A estratégia para a construção do cubo consistiu em usar o comando "cubo" do
software. Portanto não houve dificuldade nessa construção. O problema aconteceu
na construção da perspectiva do cubo.
As inúmeras retas criadas para obter as imagens dos vértices do cubo, no
plano vertical, atrapalharam bastante a visualização dos alunos. Como a tela ficou
87
poluída visualmente os alunos se atrapalharam e não conseguiram identificar a figura
em perspectiva.
Foi sugerido a eles que utilizassem o expediente de semi-retas e após fazer as
projeções escondê-las para ficar somente com os elementos essenciais na tela. Feito
esses ajustes, os alunos conseguiram visualizar a figura de um cubo no plano
vertical.
A dupla Ômega e Beta também apresentou uma dificuldade de representar o
cubo na folha. As regras observadas no decorrer do bloco não foram respeitadas no
desenho apresentado na ficha. Caracterizamos essa dificuldade com as categorias 2
e 5.
Ficha da dupla Beta e Ômega
Figura 75. “Vai ficar um cubo no plano vertical”
Ficha do Trio Alfa, Delta e Gama
Figura 72. “Apareceu um cubo 3d”
Síntese do bloco 2
O bloco foi produtivo apesar de nas últimas atividades deixar a impressão que
a transposição para a geometria projetiva, mesmo com atividades que utilizam e
apresentam elementos recorrentes, não tenha a resposta imediatista esperada.
88
Alguns pontos como as representações dos desenhos, nas fichas, apresentam
que os elementos estudados ainda têm uma resistência em alguns casos, o fato dos
alunos trabalharem cada um em seu computador e entregarem suas folhas de
respostas tanto em grupo ou individualmente, não apresentaram neste caso,
diferenças significativas, apesar deles demonstrarem mais confortáveis nas
discussões e nas construções no programa, isto não refletiu em suas justificativas.
Quando o foco for a representação das figuras, no ambiente papel e lápis é
esperado que estas dificuldades tenham sido dissipadas ou ao menos, reduzidas de
uma forma geral o bloco pode auxiliar o professor a explorar atividades que reforcem
a necessidade de representações no plano vertical e propriedades da geometria
projetiva.
4.6 Análise a Posteriori do bloco 3 (uso do computador)
Neste bloco os alunos realizaram as atividades no plano vertical. Cada aluno
trabalhou no seu computador e as atividades foram discutidas entre todos. As
discussões ocorreram entre a dupla e o trio e as fichas foram preenchidas
individualmente.
Análise da atividade 1
"Dado o observador representado pelo segmento de extremidade O, construir a linha do horizonte. Descreva os passos de sua construção”
A estratégia utilizada pelos alunos para construir a linha do horizonte foi o uso
do comando "plano paralelo" do software Cabri 3D e a “intersecção” desse plano com
o plano vertical. O programa facilitou a construção por disponibilizar as ferramentas:
plano paralelo e curva de intersecção.
Os alunos não tiveram dificuldade em utilizar esses comandos, pois tinham
sido explorados na fase de familiarização com Cabri 3D. Na ficha, os alunos Ômega e
Beta responderam que a característica principal da linha do horizonte é ter a altura do
observador. As respostas dos alunos estão dentro da expectativa da análise a priori.
89
Figura 73 “Fiz uma paralela clicando no observador O e depois no plano horizontal, depois fiz uma reta de intersecção dos dois
planos“
Análise da atividade 2
"Imagine 3 retas paralelas entre si no plano horizontal e paralelas à linha de terra. Sem desenhar as
retas no plano horizontal, faça a representação de tais retas no plano vertical. Descreva os passos de
sua construção. O que você observou.”
Os alunos demonstraram certo grau de confiança na resolução e explicitaram
bem as “regras” do paralelismo, quando as retas são paralelas à linha de terra.
O que causou maior dificuldade era verificar se a resposta estava correta de
uma maneira independente e sem ajuda do professor. Para responder a esta questão
os alunos utilizaram as ferramentas do programa “paralela”, sem qualquer tipo de
preocupação na construção dessas retas.
Figura 74. “É só fazer uma paralela a linha de terra”
90
Figura 75. “As linhas do plano vertical ficam paralelas porque no plano horizontal elas são paralelas à linha de Terra”
Análise da atividade 3
“Imagine 3 retas paralelas entre si no plano horizontal e não paralelas à linha de terra. Sem desenhar as retas no plano horizontal faça a representação de tais retas no plano vertical. Descreva os passos de sua construção. O que você observa?”
Os alunos Ômega e Beta não fazem a representação gráfica de suas respostas.
Os demais alunos explicitam a construção.
Figura 76. “Comecei fazendo a paralela do olho do observador depois marquei o ponto de fuga, depois fiz 3 retas no plano vertical depois fiz outras 3 retas no plano vertical, depois fiz 2 segmentos da linha do O até o ultima reta do plano horizontal”
Nesta resposta o aluno Gama além de descrever a construção das retas
paralelas, utilizou as ferramentas do programa para verificar se a construção era
válida, ou seja, se a projeção do plano vertical retratava três retas paralelas no plano
horizontal. Para isto traçaram semi-retas a partir do ponto O
O aluno Gama, ao contrário das atividades, anteriores onde a utilização das
ferramentas do programa era decisiva, se apoiou no ponto de fuga para fazer as
construções.
91
Figura 77 “Construi uma linha do horizonte no plano vertical e marquei o ponto de fuga, depois fiz três linhas retas que se encontraram no ponto. Se as 3 retas se encontram no ponto de fuga, temos certeza que serão linhas paralelas, mas não a linha de Terra”
Nessa resposta podemos observar a segurança do aluno na construção ao
utilizar a expressão “temos certeza que são paralelas”. Nesse caso o aspecto teórico
prevaleceu sobre o empírico.
O aluno poderia ter projetado as retas no plano horizontal para validar a
construção mas preferiu utilizar resultados das atividades anteriores para decidir pelo
paralelismo das retas.
Análise da atividade 4
“Imagine um segmento AB no plano horizontal e paralelo à linha de terra. Sem desenhar o segmento
no plano horizontal, faça uma representação de tal segmento no plano vertical como A’ B’. Determine
M’ sendo este a perspectiva do ponto médio M de AB. Descreva os passos de sua construção . O que
você observou?
Os alunos Ômega e Beta responderam que o ponto médio do segmento no
plano vertical é a perspectiva do ponto médio do segmento construído no plano
horizontal, porém as respostas não apresentam uma construção. A outra dupla
desenhou na tela do computador um segmento e em seguida com a ferramenta
“ponto médio” determinou o ponto M´.
No entanto nenhum deles traçou a linha do horizonte. Era fundamental o
traçado da linha do horizonte, pois é ela que determina a direção da reta.
92
Figura 78. “Fiz uma reta no plano vertical, e um segmento na reta, escondi a reta e marquei o ponto médio do segmento. Se a linha do plano horizontal é paralela à linha de Terra, no plano vertical também será uma reta e o ponto médio de ambos estarão em simetria”
Na escrita dos alunos podemos notar uma justificativa que não foi prevista na
análise a priori, o uso da palavra simetria para relacionar os pontos A´, M´e B´.
Outro ponto que nos despertou atenção foi o uso dos termos “escondi” e
“marquei” oriundos das ferramentas do programa.
Observamos que nenhum aluno se preocupou em verificar no plano horizontal
se de fato as construções eram corretas, embora o programa oferecesse essa
possibilidade de validar uma construção.
Análise a posteriori da atividade 5
"Imagine um segmento AB no plano Horizontal, paralelo à linha de terra e dividido em 3 partes iguais
pelos pontos C e D. Sejam A’ e B’ as perspectivas de A e B no plano vertical. Sem desenhar o segmento
AB no plano Horizontal, construa o segmento A´B´, perspectiva de AB e a seguir, determine os pontos
C’ e D’ perspectivas de C e D. Descreva a sua construção. O que você observa? Comente sua
resposta.”
Nesta atividade começamos a ver alguns pontos interessantes, no pensamento
dos alunos, a respeito das representações no plano vertical, é claro que eles buscam
uma forma de deixar bem explicito suas opiniões na ficha de registro, discutiram entre
si, fizeram referência das atividades anteriores e chegaram a comentar que nem tudo
que parece “é”.
Evocam propriedades já confirmadas, mas hesitam na hora de fazer os
registros e se apegam nas respostas, nas justificativas, através de ferramentas que o
programa oferece. Os alunos tiveram dificuldade em dividir um segmento em três
93
partes iguais. Vemos novamente que os conceitos básicos da geometria euclidiana
são fundamentais para a resolução de problemas da perspectiva.
Figura 79. “Fiz uma linha no plano vertical paralela a linha de terra, nessa linha marquei um vetor e depois transladi em mais dois vetores. A linha do plano vertical paralela a linha de terra, provavelmente os pontos da perspectiva do plano de linha terão a mesma distancia”
Os alunos usaram os termos vetor e transladar provavelmente oriundos da fase
de familiarização com o software. Nessa fase, para animar algumas figuras, foi
necessário transladar alguns segmentos segundo um vetor.
A dupla Ômega e Beta utilizou uma estratégia empírica para seccionar o
segmento em três partes iguais. Construiu um segmento no plano vertical, e, criou
dois pontos sobre o segmento. Em seguida utilizando a ferramenta medida
determinou as distâncias entre os pontos.
Por fim, manipularam os pontos até que as três distâncias fossem iguais. É
uma construção não válida na geometria dinâmica, pois pode ser alterada com um
simples clique. A resposta, em suas fichas, não apresenta nenhum tipo de esboço.
Análise da atividade 6
"A´B´é a perspectiva de um segmento AB contido no plano horizontal.
Pelo ponto A´, traça-se uma paralela à linha do horizonte. Divide-se A´C em três partes iguais obtendo os pontos D e E. Liga-se C a B´obtendo o ponto H. Liga-se H a E obtendo o ponto G´ no segmento A´B´. Liga-se H a D obtendo o ponto F´ no segmento A´B´ O que podemos afirmar sobre as retas FD, GE e BC contidas no plano horizontal? Justifique a sua resposta. O que podemos afirmar sobre os pontos F´e G´? "
94
Nessa atividade os alunos não precisavam construir, mas somente responder a
partir de desenho. Em relação às retas, a primeira dupla afirma que são retas
paralelas à linha de terra. Essa dupla não percebeu que nesse caso as retas do plano
horizontal não são paralelas à linha de terra pois que as suas perspectivas se
encontram num ponto.
Figura 80. “FD, FE, FC são paralela a linha de terra. F’e G’ são divididas em 3 partes iguais em perspectivas”
A segunda dupla afirmou corretamente que são retas paralelas, mas não à
linha de terra. Em relação aos pontos F´e G´percebe-se claramente que os alunos
disseram sem compreender que os pontos trissectam o segmento. Nesse caso havia
necessidade de imaginar a situação no plano horizontal para induzir tratar de uma
divisão em três partes iguais.
Figura 81.“As retas FD, FE e FC são paralelas entre si mas não são à linha de Terra. A linha F’ G’, em perspectiva, estão divididas em 3 partes iguais e não está paralela à linha de Terra.”
É uma atividade de nível de complexidade elevado, que mereceu na
institucionalização, uma mobilização de conhecimentos anteriores como por exemplo,
o conhecimento do teorema de Tales.
Síntese do bloco 3
Apesar das dificuldades apresentadas, o bloco foi promissor por deixar claro
aos alunos que muitos elementos abordados nos blocos anteriores são
conhecimentos que seriam utilizados em muitas as atividades posteriores. Após esse
95
trabalho empírico realizado nas geometrias Go e G1 a seqüência prevê um salto para
a geometria G2 do Parsysz.
4.7 Análise a posteriori do bloco 4 (ambiente de papel & lápis)
Neste bloco as análises se voltam para as dificuldades no ambiente de papel &
lápis. Os alunos terão à disposição régua e compasso.
As folhas de respostas foram distribuídas individualmente e os alunos
instruídos a responder na própria folha. Os alunos Ômega e Beta decidiram formar
uma dupla e discutir juntos as questões.
O bloco apresentou quatro atividades. Houve por parte dos alunos, muito
empenho em responder às atividades. Em nenhum momento, mesmo nas ocasiões
em que os educandos apresentavam dificuldades, deixaram de dar uma opinião sobre
o que deveria ser feito. Mesmo não sentindo firmeza em suas estratégias eles traziam
uma opção de resposta.
Aqui, o debate foi mais na ordem de como executar a construção e quais
passos deveriam ser seguidos. Essa etapa contém atividades situadas na geometria
proto axiomática de Parsysz, mas as justificativas foram dadas na linguagem
coloquial. Mesmo utilizando essa forma de expressão, é possível observar
justificativas claras da intenção dos alunos na folha de respostas. O material colhido é
interessante e o bloco dá ao professor um panorama de como eles se comportam ao
“perderem” o computador para auxiliar na solução dos problemas.
4.7.1 Análise da atividade 1
Atividade 1 “A’ B’ é a perspectiva de um segmento AB contido no plano horizontal. Construir um segmento C’ D’
perspectiva de um outro segmento CD situado no plano horizontal que tem como característica ser
paralelo a AB. É dada a Linha do Horizonte. Descreva os passos de sua construção.”
Todos os alunos adotaram como estratégia a solução apresentada na análise a
priori, ou seja, prolongaram o segmento até a linha do horizonte e a partir deste ponto
construiram uma outra semi-reta que continha o segmento com a característica de ser
96
paralelo a C’D’. A justificativa dada para a construção é o fato das retas concorrentes
no plano vertical serem paralelas no plano horizontal.
Este argumento já havia sido apresentado em atividades anteriores. Mesmo
sem poder utilizar o computador para validar as respostas os alunos demonstraram
confiança no método de resolução.
A atividade não apresentou dificuldades entre os alunos, mas antes de
responderem nas folhas discutiram entre si seus argumentos. Observamos na
resposta do aluno beta uma nova nomenclatura para representar um segmento. O
aluno indica o segmento AB por A e B, isto é, somente pelas suas extremidades.
Figura 80 “Aluno Beta: Achei o ponto de fuga e fiz uma reta paralela ao segmento A e B”
Análise da atividade 2
“Imagine um paralelogramo ABCD contido no plano horizontal. Construir a perspectiva de A’B’C’D’. A Linha do Horizonte é dada. Descreva os passos de sua construção.”
Os alunos responderam à questão utilizando a mesma estratégia da atividade
anterior. No entanto, a dupla Ômega e Beta demonstra não ter entendido que
somente as retas paralelas à linha de terra têm perspectivas que são paralelas à linha
do horizonte. Essa dupla, como nos blocos anteriores, teve dificuldade em transpor o
modelo da geometria euclidiana.
A dupla traçou corretamente os segmentos paralelos A´C´ e B´D´
interceptando-se na linha do horizonte, mas os lados A´B´ e C´D´ deveriam concorrer
também num ponto ou deveriam ser paralelos à linha do horizonte. O que não
ocorreu na representação feita por eles. Percebe-se claramente nessa resolução que
houve uma transferência de uma propriedade da geometria euclidiana para a
perspectiva.
97
Figura 81 .“Ômega e Beta: fiz a mesma coisa do exercício anterior”
O aluno alfa do trio apresentou uma solução mais detalhada e correta. Adotou
a estratégia de construir um ponto de fuga e duas retas concorrentes ao ponto e
finalmente dois segmentos paralelos à linha do horizonte e com extremidades nas
retas. O trio Alfa, Gama e Delta percebeu claramente que no plano vertical, retas
concorrentes num ponto da linha do horizonte são paralelas no plano horizontal e que
no plano vertical, retas paralelas à linha do horizonte também são paralelas no plano
horizontal. Nas construções pode-se observar o uso de linhas tracejadas para ilustrar
o prolongamento de segmentos e não poluir o desenho.
Figura 82 “Aluno Alfa: Marque o ponto de Fuga na linha do horizonte e a partir dele fiz as linhas que no plano horizontal não seriam paralelas à linha de terra. Depois fiz as linhas que no plano horizontal, estariam paralelas à linha de Terra”
Análise a posteriori da atividade 3
“Dados o segmento A’B’ perspectiva do segmento AB contido no plano Horizontal e a linha do horizonte. Sejam C e D os pontos do segmento AB que o dividem em três partes iguais. Obter as perspectivas C’ e D’ dos pontos C e D. Descreva os passos de sua construção”
98
As dificuldades na resolução dessa atividade foram enormes. De fato, a
atividade exigia um alto nível de abstração. A dupla Ômega e Beta debateu com os
demais colegas, mas não conseguiu completar a resolução. Foi necessária uma ajuda
do professor pesquisador. A sugestão dada foi de analisar as atividades finais do
bloco anterior.
Os alunos utilizaram a estratégia de traçar pela extremidade do ponto A´ uma
reta paralela à linha do horizonte. Em seguida dividiram o segmento AB dado em três
partes iguais. Isso mostra novamente uma transferência de uma propriedade da
geometria euclidiana para a geometria projetiva.
Os alunos deveriam ter criado um segmento na reta paralela à linha do
horizonte e o dividido em três partes iguais. Depois marcaram um ponto de fuga e
traçaram um feixe de retas a partir desse ponto. É uma atividade complexa que
mostra a necessidade de um maior tempo para a sua assimilação e compreensão.
Na etapa de institucionalização, perceberam que a resolução foi executada no
plano horizontal e não no plano vertical. O desenho abaixo mostra o equívoco do
aluno alfa, representante do trio, na divisão do segmento A´B´ em 3 partes iguais.
Figura 83. “Aluno Alfa: Fiz a linha de terra(suporte) dividi o segmento em três A’B’C’D’. Marquei o ponto
de fuga e liguei o ponto de fuga com o segmento na linha de terra passando pelos pontos C’D’ do
segmento.”
Análise da atividade 4
“A figura ABCDEF está contida no plano horizontal. ABCD e BEFC são quadrados. Dada a perspectiva
A´B´C´D´do quadrado ABCD, construir a perspectiva do quadrado B’E’F’C’. Descreva os passos de sua
construção.”
99
Esta atividade também causou grandes dificuldades entre os alunos pois a linha
do horizonte não foi dada no enunciado. Era necessário criá-la a partir dos dados
apresentados. Mas todos esboçaram uma resposta. Ficou a impressão de que os
alunos se sentiram desafiados pelo problema apresentado. A estratégia adotada
pelos alunos foi de analisar quais eram as propriedades que auxiliariam na resolução.
Só o aluno Alfa entregou a atividade completa com todas as passagens de
construção. O fato de existir mais de um ponto de fuga a considerar causou um
desconforto entre os alunos. Eles não perceberam que as conjecturas provenientes
de suas discussões estavam corretas. No entanto era preciso mais elementos
matemáticos para que as construções se materializassem. A resolução apresentada
pelo aluno alfa mostra dificuldades na representação simbólica de certos elementos.
Por exemplo, quando escreve fiz duas linhas pontilhadas de BD até a linha do
horizonte e também AC , ele quis escrever EC e não AC.
Figura 84 “Fiz duas linhas pontilhadas de BD até a linha do horizonte e também AC, marquei o ponto de fuga, fiz o mesmo com AB e CD, criando outro ponto de fuga”. “A figura da perspectiva não é um paralelograma porque a figura do plano horizontal não esta paralelo a linha de terra” – ficha de resposta do aluno Alfa
Após a resolução das atividades houve a institucionalização do bloco. Houve
muito interesse por parte dos alunos, pois a discussão anterior tinha sido intensa.
100
Pode-se notar uma grande diferença entre um trabalho no ambiente papel e lápis e
no ambiente computacional.
No computador o aluno é capaz de refazer o mesmo exercício em poucos
minutos. No ambiente papel e lápis é fundamental um planejamento antes de se
lançar à resolução do problema.
Síntese das atividades do bloco 4
O bloco foi importante para ver como os alunos se comportariam num ambiente
novo (papel e lápis) e de que maneira a geometria concreta e espaço gráfica
influenciaria a geometria proto-axiomática. A mudança de ambiente causou um
impacto entre os alunos, talvez pela pouca familiaridade com os instrumentos (régua,
compasso, esquadro, lápis e borracha).
O processo digital e dinâmico ajuda em muito na aprendizagem no que diz
respeito a relacionar diversos elementos em poucos segundos, mas as construções
no ambiente papel e lápis também necessitam de um tempo maior de planejamento
antes de serem realizadas.
Em relação à geometria proto axiomática, houve alguns avanços por parte dos
alunos mas para tarefas mais complexas, as etapas anteriores não foram suficientes
para que a transição para uma geometria dedutiva fosse consolidada.
A ênfase dada nesse bloco foi para a construção de figuras no plano vertical e
sem o apoio do plano horizontal. No último bloco procura-se construir e interpretar
figuras desenhadas no plano vertical. Portanto, busca-se mesclar os dois pontos que
até o momento estão desconectados.
4.8 Análise a posteriori do Bloco 5 (interpretação de figuras do Renascimento Italiano)
A proposta deste trabalho é observar as dificuldades que os alunos enfrentam
no estudo da perspectiva cônica. Nesse bloco analisaremos as interpretações dadas
pelos alunos às pinturas do Renascimento.
Foi anunciado ao grupo, que este seria o último encontro. Até o momento, os
alunos não tinham a expectativa de quando seria o encerramento dos trabalhos.
101
Sabiam apenas que fariam parte de um curso que seria realizado na sala de
leitura/biblioteca da escola, e que o computador não seria necessário para as
atividades.
Na atmosfera havia um misto de tristeza e gosto de quero mais, fato este que
no fim do encontro foi reforçado. Por se tratar do último encontro, os alunos foram
informados que disporiam até de duas horas, caso concordassem. Uma hora para
tratar das atividades e a outra hora para fazer um balanço geral do curso.
Ao distribuir as folhas lhes foi pedido que o trabalho fosse feito individualmente.
Era necessário averiguar que tipo de estratégias os alunos utilizariam após esse
percurso nos níveis Go, G1 e G2 do Parsysz.
Cada folha continha duas figuras de artistas do Renascimento italiano.
Poderiam utilizar na resolução lápis, régua, compasso e borracha.
Análise da atividade 1
“Obter o ponto de fuga da figura abaixo”
No primeiro instante os estudantes se perguntaram quem era o artista
responsável pela obra e o que representava. O professor teve que dar uma breve
explicação das figuras que compunham o quadro do pintor Rafael.
Eles rapidamente, perceberam que o chão do quadro era formado por
quadrados em perspectiva, adotaram a estratégia de traçar linhas sobre a figura e
nomearam o ponto de intersecção de PF ou só F. O que chamou a atenção foi que os
102
obtiveram o ponto de fuga utilizando apenas os prolongamentos de duas retas
paralelas.
Neste bloco as figuras não indicam claramente os objetos matemáticos. Os
alunos devem ter a iniciativa de imaginar o quadro como sendo o plano vertical visto
nos blocos anteriores e abstrair o paralelismo entre as retas .
Figura 85.Ficha do aluno Delta (as estratégia dos alunos gama e alfa são iguais à de Delta)
Figura 86. Ficha do aluno Ômega ( a estratégia do aluno beta é a mesma de Ômega)
103
Análise a posteriori da atividade 2
“Obter da figura abaixo o ponto de fuga e a linha do horizonte”
Novamente queriam saber qual era o artista da gravura, quem era a Santa e
coisas acerca do desenho, relataram que as cores eram fortes e o fundo escuro e
que, portanto deveriam fazer um traço um pouco mais forte. A dificuldade é que não
havia mais a referência de solo como na atividade anterior.
Os alunos continuaram a discutir qual seria a referência para traçar as retas.
Levaram aproximadamente quinze minutos para perceber que poderiam utilizar a
parede lateral. Muitos alunos, nessa atividade, traçaram mais de uma reta para
comprovar se o ponto encontrado era o ponto de fuga. Outro aspecto a salientar foi à
surpresa dos alunos ao constatar que a santa estava situada acima da linha do
horizonte.
Figura 87. Ficha do aluno Beta (a estratégia do aluno delata é a mesma)
104
Figura 88 Ficha do aluno Delta ( a estratégia do aluno alfa é a mesma)
Análise da atividade 3
"Identificar na figura abaixo à linha do horizonte, o ponto de fuga e estimar a área total da sala em
função da área de um quadrado.. Supor que a altura média de uma pessoa é 1,74m"
Novamente os alunos tiveram a curiosidade de conhecer detalhes sobre o
quadro e o artista. Iniciaram a atividade obtendo o ponto de fuga a partir de retas
paralelas. A referência novamente foi o solo.
O quadriculado os ajudou a traçar as retas paralelas. A linha do horizonte
passa exatamente sobre os olhos da pessoa que está de pé. O enunciado pedia para
obter a área da sala em função da área de um quadrado. Todos os alunos contaram a
quantidade de ladrilhos. Para eles ficou claro que a sala era um quadrado 12 x 12
quadrados. Como não se conhecem as medidas reais de cada um dos quadrados,
esperava-se como resposta 144 quadrados.
105
No entanto os alunos quiseram obter um número, em metros quadrados, para a
área da sala. Mediram o lado de um quadrado e o relacionaram com a altura da
pessoa. A seguir utilizaram uma regra de três para obter a área da sala. Novamente
estamos diante de uma situação de transferência de resultados da geometria
euclidiana para a geometria projetiva.
O desejo de obter uma resposta numérica os incitou a usar a régua e a tratar a
situação como se fosse uma situação de geometria euclidiana. As situações
complexas demandam maturidade para serem resolvidas e uma sequência que se
limita a algumas semanas não poderia ter a pretensão de sedimentar todos os
aspectos relacionados com a perspectiva cônica..
Figura 89 “achei o ponto de fuga e depois vi a altura do ‘cara’ que era 1,74m a metade do ‘cara’ é 0,87m. Depois fiz a regra de três com as contas 37m, 1,30m que mede o chão 1,74 ex deu 14,74m” - Aluno Beta
Análise a posteriori da atividade 4
Foi apresentada aos alunos a figura abaixo do artista Domenico Veneziano com a
instrução de identificar elementos da perspectiva livremente, sem nenhuma indicação.
106
Os alunos Alfa e Delta continuavam centrados na atividade 3 pois a atividade 4
não despertava nenhum desafio. Já havia traçado a linha do horizonte e o ponto de
fuga nas outras atividades. O pensamento desses dois alunos continuava na
atividade 3.
Já os outros três alunos aproveitaram para buscar outros elementos na figura
Ômega quase se atreveu a calcular a altura do prédio, estabeleceu a linha de terra, a
linha do horizonte, a altura do observador e a linha que contorna os prédios, mas não
sentiu a confiança necessária para prosseguir com os cálculos devido em boa parte,
às dúvidas que não foram dissipadas na atividade anterior.
Beta e Gama seguiram a mesma linha de Ômega. Tiveram o cuidado de
nomear cada um dos objetos e frisaram que a única medida que tinham certeza era a
altura das pessoas de aproximadamente 1,74m..
Após uma hora dei por encerrada a sessão. Os alunos a seguir foram reunidos
numa mesa redonda para uma avaliação do curso.
É preciso dizer que esses encontros eram facultativos não tendo nenhuma
avaliação. A única coisa acordada é que haveria um certificado de 30 horas assinado
pela direção devido à participação nas atividades.
Primeiro agradeci a participação e perguntei a opinião de todos sobre os
encontros realizados.
107
Logo de início pediram para continuar o curso e trazer mais figuras, que ainda
tinham dúvidas como na atividade 3.
Voltei a questionar se gostaram das atividades. Responderam que sim, foi
diferente a dinâmica entre o que foi apresentado e a forma como foi perguntado.
Outro destaque citado por eles foi o fato de trabalhar direto no computador e no
caderno. Acharam o uso do perspectógrafo algo diferente e bem divertido. Outro
comentário foi a liberdade dada pelo professor para que discutissem cada uma das
atividades..
Questionei sobre as atividades no papel e lápis e sobre as gravuras. Disseram
que a sequência começava fácil, mas que as últimas questões eram muito difíceis.
Acharam interessantes as atividades do bloco 5, pois eles não imaginavam que
poderiam ver elementos novos como ponto de fuga e linha do horizonte em quadros.
Questionaram se era sempre assim com o resto da matemática.
Disse que estava satisfeito pela participação de todos e que o mais importante
não era o acerto nas atividades, mas as estratégias utilizadas por eles que poderão
dar indicações de como abordar esse tema no futuro e de como melhorar a sequência
para o ensino da perspectiva.
108
Capitulo V – Considerações Finais
Esta pesquisa tem por objetivo explorar alguns elementos da perspectiva
cônica em três ambientes: com um perspectógrafo, com o software de geometria
dinâmica Cabri 3D e no ambiente papel e lápis. A escolha do tema foi motivada pelo
desejo de contextualizar conteúdos estudados em geometria e de integrar trabalhos
interdisciplinares em sala de aula. Além disso, uma orientação dada nos PCN+
contribuiu fortemente na escolha do tema:
"[...] especialmente adequado mostrar diferentes modelos explicativos do espaço e
suas formas numa visão sistematizada da geometria com linguagens e raciocínios
diferentes daqueles apreendidos no ensino fundamental como a geometria clássica
euclidiana."(Brasil,2002,p.125)
A perspectiva cônica poderia propiciar aos alunos essa visão diferente da
matemática com modelos que fogem do senso comum.
O trabalho foi iniciado com uma vasta revisão bibliográfica que possibilitou um
aprofundamento do objeto de estudo e proporcionou um encontro com o mundo dos
artistas do Renascimento.
O próximo passo foi formular uma pergunta que iria nortear a pesquisa – Que
dificuldades poderiam apresentar alunos do Ensino Médio em relação à codificação
de situações que envolvessem o conceito de perspectiva cônica e em relação à
decodificação de regras da perspectiva cônica?
Para responder a essa questão foi concebida uma sequência de atividades que
se apoiou na metodologia da engenharia didática. É uma metodologia qualitativa que
se originou de trabalhos da didática francesa. O seu interesse é revelar detalhes que
não podem ser mensurados por metodologias quantitativas.
Para fundamentar a pesquisa foi escolhido como quadro teórico, trabalhos sobre
geometria espacial do pesquisador francês Parsysz e trabalhos do pesquisador
francês Vergnaud, relacionados à conceitualização de objetos matemáticos
Segundo Parsysz, no estudo da geometria, é importante colocar o aluno em
contato com o concreto, em contato com as representações dos objetos e em contato
com raciocínios dedutivos. Cada etapa poderá dar subsídios ao aluno para progredir
109
na etapa posterior. Parsysz denomina essas etapas de geometria concreta, geometria
espaço gráfica e geometria proto axiomática. Vergnaud por sua vez chama a atenção
para o fato que a compreensão de um conceito passa pela escolha de uma
diversidade de situações que darão sentido ao conceito.
Segundo Vergnaud um conceito matemático não aparece isolado, mas inserido
numa rede de vários outros conceitos, cujas interligações devem ser identificadas
tanto a nível de suas propriedades, como de suas representações simbólicas.
Para que o trabalho se apoiasse nessas idéias, a sequência foi concebida em
cinco blocos.
O primeiro bloco foi de caráter exploratório e manipulativo. É a geometria
concreta sugerida por Parsysz. Os alunos tiveram a oportunidade de manipular um
perspectógrafo com um feixe de laser simulando o raio visual. Este ferramental foi
colocado a disposição dos alunos para a apropriação do conceito de perspectiva. O
conceito de perspectiva está associado à imagem traçada no plano vertical da figura
criada no plano horizontal.
O segundo e o terceiro bloco também foram de caráter exploratório. Mas agora
estamos na geometria espaço gráfica do Parsysz. A diferença em relação ao primeiro
é que os alunos puderam construir figuras usando ferramentas do computador. Essas
construções permitiram observar dinamicamente propriedades da perspectiva. São os
invariantes citados por Vergnaud. Os alunos poderiam contrapor as suas dúvidas e
levantar hipóteses surgidas no bloco 1.
O quarto bloco foi de caráter dedutivo. Estamos na geometria proto axiomática
de Parsysz. Os alunos se encontraram com as mesmas atividades, porém em um
ambiente de papel & lápis, sem auxílio do computador para resolver as atividades.
O quinto bloco integra a disciplina matemática com as disciplinas educação
artística e história. O aluno é colocado diante de várias telas de artistas do
Renascimento italiano para decodificar os seus elementos. As atividades foram
concebidas de modo que os invariantes estabelecidos nos blocos anteriores sejam
utilizados na sua resolução.
Apresentamos a seguir as dificuldades encontradas nas estratégias dos alunos
ao realizarem as tarefas propostas. Dividimos essas dificuldades em cinco categorias:
dificuldades ligadas com o uso do perspectógrafo, dificuldades ligadas ao uso do
110
software de geometria dinâmica Cabri 3D, dificuldades relacionadas à Geometria
Euclidiana, dificuldades relacionadas à mudança do modelo teórico e dificuldades
relacionadas às representações dos objetos.
5.1.1 Dificuldades oriundas do uso do Perspectógrafo.
As atividades desse bloco atingiram um dos objetivos da análise a priori que
era de familiarizar o aluno com a perspectiva de um objeto desenhado no plano
horizontal. O perspectógrafo foi de grande valia para a compreensão do raio visual e
de sua intersecção com o plano vertical.
O outro objetivo que era de apresentar a não invariância do paralelismo, não foi
atingido plenamente. Para representar a perspectiva de uma reta é necessário criar
as imagens de pelo menos dois pontos dela.
Os pontos são entes geométricos sem dimensão. No entanto, ao utilizar um
pincel para criar dois pontos, a representação da reta traçada não é exatamente a
representação da reta apresentada no plano horizontal. A imprecisão nos traçados
feitos a mão livre devido à dimensão dos pontos desenhados foi uma dificuldade que
limitou a compreensão do ponto de fuga.
O traçado das perspectivas das retas paralelas entre si e oblíquas à linha de
terra, não mostrou a real posição relativa das retas no plano vertical. A intervenção
do professor foi necessária para o prosseguimento dessa tarefa.
Outra dificuldade surgida no bloco foi devida à deformação da forma dos
objetos desenhados no plano vertical. Essa mudança de modelo teórico, passar da
geometria euclidiana para a geometria projetiva, causou um grande bloqueio nas
ações dos alunos. A dialética sabido/percebido citada por Parzysz foi encontrada
claramente nos relatos dos alunos.
Os alunos tendem a transferir propriedades da geometria euclidiana para o
quadro vertical, mesmo que o visto não confirme o sabido. Esse fato é confirmado por
um comentário feito pelo aluno gama na atividade 2 do bloco 1, figura 58, ao traçar as
retas paralelas no plano vertical: “Não foi o que esperávamos, pois pensávamos que
continuaria sendo uma reta e que não se cruzassem”
111
5.1.2 Dificuldades oriundas do uso do software Cabri 3D.
Detectamos, na aplicação da seqüência, dificuldades dos alunos relacionadas
com o manuseio do software. Este tipo de dificuldade ficou restrito aos blocos 2 e 3,
pois foram nestes encontros que os alunos se utilizaram do software cabri 3D. De um
modo geral, houve uma boa apropriação dos comandos do software pelos alunos. A
grande vantagem do uso do software foi que a maioria das figuras solicitadas nas
atividades estavam entre os comandos oferecidos pelo software. Dessa forma, a
preocupação dos alunos se voltou mais para o conceito em jogo do que com a
construção.
As atividades em si eram, relativamente simples, e os comandos estavam
sempre disponíveis. No entanto a atividade 7 exigiu a construção de um
paralelogramo no plano horizontal e o software não dispunha entre suas ferramentas
do objeto “paralelogramo”. Houve uma dificuldade na utilização do comando
“paralela”.
O software apresenta uma única ferramenta para o traçado de planos paralelos
e de retas paralelas. Os alunos se atrapalharam bastante com a utilização desse
recurso. Foi necessária a intervenção do pesquisador para colocá-los no caminho
certo. Uma outra dificuldade surgiu na atividade 9 que solicitava a construção de um
cubo.
O desenho não teve em um primeiro momento uma imagem limpa, pois os
alunos utilizaram a estratégia de usar retas para representar os raios visuais. Dessa
forma, mesmo com um recurso gráfico diferenciado os alunos não conseguiam ver
quais segmentos representavam as arestas do cubo. A intervenção do pesquisador
foi necessária, novamente, para que a atividade fosse realizada. As dificuldades
relacionadas com o uso do software podem ser explicadas pelo fato do software não
ser, necessariamente, um instrumento. Há uma diferença entre um software e um
instrumento.
Um instrumento tem uma componente material e uma componente psicológica,
que são os esquemas de utilização. A formação de tais esquemas é um processo
longo e demorado. A transformação de um "software" num "instrumento" é um
processo lento. É o aluno que constrói progressivamente o instrumento.
Na sequência didática foi oferecido aos alunos um período de familiarização
com o programa para que eles descobrissem novas funcionalidades do software. A
112
intenção era que eles o transformassem em instrumento desenvolvendo novos
esquemas que lhes permitissem progredir no uso do instrumento. Acreditamos que o
tempo foi o fator limitante, para que os alunos se apropriassem inteiramente dos
comandos do software. É necessário um período longo para transformar um software
em um verdadeiro instrumento de trabalho.
5.1.3 Dificuldades com a geometria Euclidiana
Ao longo do experimento, inúmeras situações de construções geométricas
surgiram. Uma delas se apresentou no bloco III nas atividades 4 e 5, quando os
alunos precisavam dividir um segmento em 3 partes iguais ou quando precisavam
determinar o ponto médio de um segmento.
Na falta de conceitos geométricos, os alunos utilizaram as ferramentas do
programa. É claro que nesse caso, a solução apresentada não é mais a la Euclides,
que utilizava somente uma régua não graduada e um compasso.
As soluções via software, são aproximadas pois utilizam a opção de "medida
de segmento" e a "calculadora". Quando os alunos foram solicitados para resolver a
mesma atividade, no ambiente papel e lápis e sem a ferramenta computacional,
ficaram bloqueados. Faltava-lhes o aparato teórico do teorema de Tales.
Na atividade 6 do bloco 2 a construção do quadrado só foi possível devido ao
fato do software apresentar uma opção que cria um quadrado a partir de dois cliques
na tela. Na atividade 7 do bloco 2 onde era necessário a construção de um
paralelogramo, houve um bloqueio por parte dos estudantes proveniente da falta de
uso de construções geométricas no ensino da geometria. Pode-se dizer que as
construções geométricas são atividades que levam o aluno ao domínio de conceitos
geométricos.
É importante que as construções geométricas se integrem novamente no
ensino da geometria. É na construção geométrica de um objeto teórico que o aluno
irá perceber a necessidade do conhecimento das propriedades geométricas desse
objeto.
113
5.1.4 Dificuldades oriundas da mudança do modelo teórico
A maior dificuldade encontrada nessa sequência de atividades foi a
deformação das figuras causadas pela perspectiva cônica. As imagens mentais não
correspondiam ao esperado pela percepção visual. Os alunos não conseguiam se
desvencilhar das imagens mentais associadas às definições vistas na geometria
euclidiana.
Essas dificuldades apareceram no bloco I onde o quadrado foi transformado
em trapézio (atividade1) e onde retas paralelas foram transformadas em retas
concorrentes (atividade 2). No bloco II, o ponto médio de um segmento não se
preservava em perspectiva (atividade 1), um paralelogramo se transformava em
quadrilátero (atividade 7). No bloco III, na atividade 6, os alunos foram convidados a
interpretar uma figura onde aparecia um segmento em perspectiva dividido em três
partes iguais.
Tudo indica que a interpretação dos alunos foi equivocada, pois que na
atividade 3 do bloco 4, ela surge novamente e as fichas dos alunos mostram que ela
foi resolvida dentro do quadro da geometria euclidiana, ou seja, os alunos novamente
transferiram uma propriedade da geometria euclidiana para a geometria projetiva.
No bloco IV, na atividade 2 essa dificuldade persistiu.
Os alunos Ômega e Beta construiram um paralelogramo usando o conceito de
paralelismo da geometria euclidiana. No bloco 5 a dificuldade surgiu no momento em
que os alunos mediram o lado de um quadrado em perspectiva, atribuindo esse valor
para a medida real do quadrado, no espaço.
Novamente estamos diante de uma situação de transferência de conceitos.
Percebe-se ao longo de toda a sequência que a mudança do modelo teórico trazendo
a quebra de padrões visuais perturbou, profundamente, as ações dos alunos durante
a realização das tarefas.
5.1.5 Dificuldades relacionadas com as representações dos objetos.
Essa dificuldade se manifestou, inicialmente, na passagem do bloco I para o
bloco II. Percebeu-se que os alunos não estavam entendendo o que estava escrito na
folha de atividades. O que seria a letra A´ ? O que significava "construir a perspectiva
A´B´ do segmento AB ".
114
A terminologia utilizada era desconhecida pelo grupo o que levou o professor a
interromper o encontro e fazer no dia seguinte uma revisão da nomenclatura
matemática utilizada. De fato, o objeto matemático segmento não é diretamente
acessível à percepção a não ser pela sua representação A´B´.
Nos demais blocos houve inúmeras intervenções do professor relacionadas
com a compreensão dos enunciados das atividades. Isto nos fez entender o cuidado
que devemos ter com as representações dos objetos.
5.1.6 Considerações Finais.
Além das dificuldades apresentadas, as produções dos alunos mostraram
também que certos elementos da perspectiva cônica como ponto de fuga e linha do
horizonte foram incorporados pelos alunos. Mas a apreensão dos invariantes da
perspectiva cônica só ocorrerá se eles forem retomados progressivamente em várias
outras situações.
Além disso, a introdução da perspectiva cônica, no Ensino Médio, contribuiu
para romper com definições associadas a imagens mentais. Em relação à geometria
"concreta", o uso do perspectógrafo contribuiu decisivamente na compreensão do
conceito de raio visual. Em relação à geometria "espaço gráfica", o uso do software
Cabri 3D favoreceu o estabelecimento de várias conjecturas sobre propriedades da
geometria projetiva.
Em relação à "geometria proto axiomática", houve alguns avanços por parte
dos alunos, mas para tarefas mais complexas, as etapas anteriores da sequência não
foram suficientes para que a transição para uma geometria dedutiva fosse
concretizada.
Em relação às atividades com os quadros dos pintores do Renascimento pode-
se dizer que despertaram nos alunos interesse pela história das artes e o desejo de
observar outras obras de arte. Além disso, a decodificação de um quadro possibilita
também exercitar construções geométricas da geometria euclidiana em um novo
contexto.
Esperamos que este trabalho possa contribuir para outros estudos desse
fascinante mundo da perspectiva cônica.
115
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VITRUVIO, M. Tratado de Arquitetura. Tradução de Maciel Justino. 2a. ed. São Paulo:
Martins Fontes, 2002.
117
Anexos
Ficha de atividades
Ficha de Atividades
Atividade 1
Utilizando o laser, marcar no plano vertical, os vértices de um quadrado situado sobre a mesa.
Em seguida ligar os vértices e comparar a figura com o desenho original. Faça um esboço do
desenho que você encontrou.
Atividade 2
Dadas quatro retas paralelas de mesma direção r, s, t, u. Marcar com o laser no plano vertical
dois pontos associados a r e ligar os dois pontos obtendo a reta r’. Repetir o procedimento para
as retas s, t e u obtendo as retas s´, t´e u´.Faça um esboço do seu desenho e comente sobre o
resultado obtido.
Atividade 3
Dado um tabuleiro situado no plano horizontal com um lado paralelo à linha de terra marcar
com o laser no plano vertical os 16 pontos de intersecção. Em seguida ligar todos os segmentos
de retas no plano vertical de modo a construir um tabuleiro no plano vertical. Fazer um esboço
do desenho obtido. Dizemos que a figura no plano vertical é a perspectiva do tabuleiro do
plano horizontal.
Atividade 4
São dadas três hastes perpendiculares ao plano horizontal com uma das extremidades de cada
uma delas pertencentes ao plano horizontal. Uma haste tem altura igual ao do observador, a
outra menor que o observador e a terceira maior que o observador. Marcar com o laser as
extremidades de cada haste no plano vertical e representá-las como segmentos de reta. O que
você observa? Faça um esboço do desenho obtido no plano vertical.
Ficha de atividades – bloco 2
Atividade 1
118
Abrir o arquivo 1. Aparecem para o aluno, o plano horizontal, o plano vertical, a linha de terra e o olho do
observador.
a)Criar um segmento AB no plano horizontal. Construir a perspectiva A’B’ do segmento AB.
b) Determinar o ponto médio M do segmento AB. Em seguida determinar a perspectiva M’ do ponto médio M do
segmento AB. Verifique se M’ é o ponto médio de A’B’. Movimentar os pontos A e B do segmento AB. Há
alguma posição de AB onde M’ é ponto médio de A’B’? Comente sua resposta.
Atividade 2
Abrir o arquivo 2. Aparece um segmento AB no plano horizontal paralelo à linha de terra.
Determinar o ponto médio de AB. Em seguida determinar sua perspectiva no plano vertical. Verifique se M’ é
ponto médio do segmento A’B’ movimente os pontos A e B no plano horizontal. Comente sua resposta.
Atividade 3
Abrir o arquivo 3. Aparecem para o aluno, o plano horizontal, o plano vertical, a linha de terra e o olho
do observador.
Criar um triângulo qualquer ABC no plano horizontal. Construir a perspectiva do A’B’C’ no plano vertical.
Determinar no plano horizontal o baricentro do triângulo e verificar se sua perspectiva também é baricentro do
triângulo no plano vertical. Comente sua resposta
Atividade 4
Abrir o arquivo 4. Aparecem para o aluno o plano horizontal, o plano vertical, a linha de terra e o olho do
observador.
Determinar três pontos alinhados no plano horizontal, em seguida construir suas perspectivas. O alinhamento se
preserva em perspectiva? Comente sua resposta
Atividade 5
Abrir o arquivo 5. Aparecem para o aluno,o plano horizontal, o plano vertical, a linha de terra e o olho do
observador.
Criar dois segmentos AB e CD se interceptando no ponto P no plano horizontal. Construir as perspectivas de
A’B’ e C’D’ dos dois segmentos no plano vertical. Determinar o ponto Q que é intersecção dos segmentos no
plano vertical. A perspectiva do ponto P é Q? Movimentar os segmentos e observar. Comente sua resposta
Atividade 6
Abrir o arquivo 6. Aparecem o plano horizontal, o plano vertical, a linha de terra e o olho do observador.
Construir um quadrado ABCD no plano horizontal em seguida determinar a perspectiva A’B’C’D’ do quadrado
no plano vertical. Verifique se o paralelismo dos lados se mantém em perspectiva. Movimente o quadrado que
está no plano horizontal e observe em que posição lados opostos se mantém paralelos. Comente sua resposta.
119
Atividade 7
Abrir o arquivo 7.Aparecem para o aluno, o plano horizontal, o plano vertical, a linha de terra e o olho do
observador.
Criar um paralelogramo ABCD no plano horizontal, em seguida determinar a perspectiva A’B’C’D’ no plano
vertical do paralelogramo. Verifique se o paralelismo dos lados se mantém. A seguir, movimente os pontos no
plano horizontal. Faça um comentário sobre a atividade.
Abrir o arquivo 8. Aparecem para o aluno,o plano horizontal, o plano vertical, a linha de terra e o olho
do observador.
"Criar um quadrado e um paralelogramo no plano horizontal. Construir as perspectivas do quadrado e
paralelogramo no plano vertical e prolongar os lados opostos dos lados tanto da perspectiva do quadrado quanto a
do paralelogramo. Criar um plano paralelo horizontal passando pelo ponto O ( olho do observador). que você
observa? Comente sua resposta”
Atividade 9
Abrir o arquivo 9. Aparecem para o aluno, o plano horizontal, o plano vertical, a linha de terra e o olho do
observador.
Criar um cubo. Construir a perspectiva do cubo. Prolongar as arestas paralelas da perspectiva do cubo. O que
você observa? Comente sua resposta
Ficha de atividades – bloco 3
Atividade 1
Abrir o arquivo Plano Vertical 1
"Dado o observador representado pelo segmento de extremidade O, construir a linha do
horizonte. Descreva os passos de sua construção
Atividade 2
Abrir o arquivo Plano Vertical 2
Imagine 3 retas paralelas entre si no plano horizontal e paralelas à linha de terra. Sem desenhar
as retas no plano horizontal, faça a representação de tais retas no plano vertical. Descreva os
passos de sua construção. O que você observou.
Atividade 3
Abrir o arquivo Plano Vertical 3
120
Imagine 3 retas paralelas entre si no plano horizontal e não paralelas à linha de terra. Sem
desenhar as retas no plano Horizontal faça a representação de tais retas no plano vertical.
Descreva os passos de sua construção. O que você observa?
Atividade 4
Abrir o arquivo Plano Vertical 4
Imagine um segmento AB no plano horizontal e paralelo à linha de terra. Sem desenhar o
segmento no plano horizontal, faça uma representação de tal segmento no plano vertical como
A’ B’. Determine M’ sendo este a perspectiva do ponto médio oM de AB. Descreva os passos
de sua construção. O que você observou?
Atividade 5
Abrir o arquivo Plano Vertical 5
Imagine um segmento AB no plano Horizontal, paralelo à linha de terra e dividido em 3 partes
iguais pelos pontos C e D. Sejam A’ e B’ as perspectivas de A e B no plano vertical. Sem
desenhar o segmento AB no plano Horizontal, construa o segmento A´B´, perspectiva de AB e
a seguir, determine os pontos C’ e D’ perspectivas de C e D. Descreva a sua construção. O que
você observa? Comente sua resposta.
Atividade 6
Nesta atividade é apresentada a seguinte figura na ficha dos alunos.
"A´B´é a perspectiva de um segmento AB contido no plano horizontal.
Pelo ponto A´, traça-se uma paralela à linha do horizonte. Divide-se A´C em três partes iguais
obtendo os pontos D e E. Liga-se C a B´obtendo o ponto H. Liga-se H a E obtendo o ponto G´
no segmento A´B´. Liga-se H a D obtendo o ponto F´ no segmento A´B´ O que podemos
afirmar sobre as retas FD, GE e BC contidas no plano horizontal? Justifique a sua resposta. O
que podemos afirmar sobre os pontos F´e G´? a? Comente sua resposta
121
Ficha de atividades – bloco 4
Atividade 1
Atividade 1
“A’ B’ é a perspectiva de um segmento AB contido no plano horizontal. Construir um
segmento C’ D’ perspectiva de um outro segmento CD situado no plano horizontal que tem
como característica ser paralelo a AB. É dada a Linha do Horizonte. Descreva os passos de sua
construção.”
Atividade 2
Imagine um paralelogramo ABCD contido no plano horizontal. Construir a perspectiva de
A’B’C’D’. A Linha do Horizonte é dada. Descreva os passos de sua construção.
Linha do Horizonte
122
Atividade 3
Dados o segmento A’B’ perspectiva do segmento AB contido no plano Horizontal e a linha do
horizonte. Sejam C e D os pontos do segmento AB que dividem em três partes iguais. Obter as
perspectivas C’ e D’ dos pontos C e D. Descreva os passos de sua construção
Imagine 3 retas paralelas entre si no plano horizontal e não paralelas à linha de terra. Sem
desenhar as retas no plano Horizontal faça a representação de tais retas no plano vertical.
Descreva os passos de sua construção. O que você observa?
Atividade 4
“A figura ABCDEF está contida no plano horizontal. ABCD e BEFC são quadrados.
Dada a perspectiva A´B´C´D´do quadrado ABCD, construir a perspectiva do quadrado
B’E’F’C’. Descreva os passos de sua construção.”
Quadrados contidos no plano horizontal
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Ficha do aluno Bloco 5
Atividade 1. Obter o ponto de fuga da figura abaixo
Atividade 2. Obter da figura abaixo o ponto de fuga e a linha do horizonte
Atividade 3
Atividade 3. Identificar na figura abaixo a linha do horizonte, o ponto de fuga e estimar a área total da sala. Dados altura média de
uma pessoa aproximada é 1,74m
Atividade 4
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Ficha de respostas dos alunos
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