7/21/2019 UPE_2005.mat1

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I0000169(UPE-2005_mat-I) Maria Eduarda brinca dearrumar palitos de fsforo, fazendo umaseqncia de quadrados como na figura abaixo.Quantos palitos utilizou, ao fazer 100quadrados?

A) 121 palitos. B) 321 palitos. C) 401 palitos.D) 201 palitos. E) 301 palitos.

soluo:Para formar o 1 quadrado foram usados 4 palitos, e, para se formar os outros 99quadrados foram usados apenas 3 palitos.Portanto:4 99 3 301+ =

Alternativa E.

I0000170(UPE-2005_mat-I) O nmero de gols, marcadosnos 6 jogos da primeira rodada de umcampeonato de futebol, foi 5, 3, 1, 4, 0 e 2. Nasegunda rodada, sero realizados 5 jogos. Qualdeve ser o nmero total de gols marcados nessarodada para que a mdia de gols, nas duasrodadas, seja 20% superior mdia obtida na

primeira rodada?A) 15 B) 16 C) 17 D) 18E) 19

soluo: A mdia de gols na 1 rodada foi:

1 1 15 3 1 4 0 2 15

2,56 6

M M M + + + + += = =

Aumentando-se 20%:

2,5 20% 2,5 1,2 3+ = = A mdia geral teria que ser 3,0.Sero ao todo 11 partidas:

1 2 2 2 2

153 15 33 18

11 11gG G G M G G

+ += = + = =

Alternativa D.

I0000171(UPE-2005_mat-I) Considere f e g funesreais definidas por ( ) 2 2 1 f x x x= +

e

( ) 1 12

g x x= + . Pode-se afirmar que a soma das

razes de f(x) = g(x) igual a

A) 1 B) 1 C) 2 D) 2 E) 0soluo:

( ) ( )2

2

2

2

12 1 1

2

2 1 12

2 1 12

22

f x g x

x x x

x x x

x x x

x x x

=

+ = +

+ = +

= +

= +

Multiplicar ambos os lados por -1:

( )2

2

2 12

22

x x x

x x x

= +

=

Dividir ambos os lados por 2:

( )2

2

2 22

2 4

x x x

x x x

=

=

MMC 224

x x x =

O mdulo tem duas solues, uma positiva eoutra negativa:

2

2 2

24

2 24 4

x x x

x x x x x ou x

=

= =

Temos, portanto duas equaes: Desenvolvendo a primeira equao:

( )

{ }

2

2

2

2

1

24

2 4

2 4 0

2 5 0

2 5 0

0

2 5 0

5 2

0 ; 5 2

x x x

x x x x x x x x

x x

x x

x

S

=

=

=

= =

=

=

=

=

Desenvolvendo a segunda equao:

( )

( )

{ }

2

2

2

2

2

2

1

24

24

2 4

2 4 0

2 3 0 1

2 3 0

2 3 0

0

2 3 0

3 2

0 ; 3 2

x x x

x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x

x

S

=

+=

+ =

+ =

=

+ =+ =

=

+ =

=

=

{ }0 ; 5 2 ; 0 ; 3 2geralS = A soma das razes :

5 3 21

2 2 2Soma = = =

Alternativa A.

I0000172 (UPE-2005_mat-I) Uma caravana de 7 pessoas

deve atravessar um deserto em 42 dias. Seusuprimento de gua permite que cada pessoa

disponha de 3,5 litros por dia. Aps 12 dias, acaravana encontra trs pessoas, vtimas de umatempestade de areia, e as acolhe. Quantos litros

de gua por dia podero ser consumidos porcada pessoa, se a caravana prosseguir sua rotacomo havia planejado?A) 3,25 L. B) 2,75 L. C) 2,45 L.D) 3,15 L. E) 2,15 L.

soluo:

A aravana possua, no incio da atravessia7 3,5 42 1029 = litros de gua.

Ao se passarem 12 dias a caravana j haviaconsumido7 3,5 12 294 = litros de gua.Ficando apenas1029 294 735 = litros de gua para os 30 dias restantes, e, agora com 10 pessoas na caravana, o que dar:

735735 1 73530735 30 10 2, 45

10 30 10 300

litros por pessoa. AlternativaC.

I0000173

(UPE-2005_mat-I) Eduarda, certo dia, fezcompras em 5 lojas do Shopping Center. Emcada uma gastou a metade do que possua e

pagou, na sada, R$ 2,00 (dois reais) deestacionamento. Aps as despesas, restaram aEduarda R$ 20,00 (vinte reais). Quanto Eduarda

possua antes de fazer as compras?A) R$ 820,00 B) R$ 1 102,00 C) R$ 502,00D) R$ 704,00 E) R$ 602,00soluo: Antes das compras ela possua x reais. Se emcada loja ela gastou a metade do que possua nomomento e ao final pagou R$ 2,00 eestacionamento e sobrou R$ 20,00.Observe que na 1 loja ela gastou 2 x Na 2 loja ela gastou 2

42 x

x=

Na 3 loja ela gastou 4 8

2 x x= e assim

sucessivamente.Portanto ficaremos com a seguinte equao:

2 202 4 8 16 32 x x x x x x =

MMC

2 202 4 8 16 32

32 16 8 4 2 64 64032 32

6432

x x x x x x

x x x x x x

x

=

=

64032

=

640 64704

x x

= +=

Alternativa D.

I0000174 (UPE-2005_mat-I) O arquiteto Neto projetou

um viaduto de acordo com a figura abaixo. Oviaduto que liga os pontos A e B tem a forma deum arco de uma circunferncia. Sabe-se que adistncia retilnea de A at B mede 24m e que aaltura mxima do viaduto de 6m. Qual amedida do raio da circunferncia do projeto?

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A) 12m. B) 15m. C) 18m. D) 20m. E) 17m.soluo:

12 12

6

r-6r

O

Pitgoras

( )22 22 2

2

12 6

144 12 36

r r r r r

r

= +

= + +2144 r = + 12 36

0 180 1212 180

18015

12

r r

r

r r

+=

=

= =

Alternativa B.

I0000175(UPE-2005_mat-I) No paralelogramo ABCD, o

ponto M o ponto mdio do lado CD . Se ANmede 12cm, pode-se afirmar que MN mede

A B

DMC

N

A) 6cm. B) 5cm. C) 4cm. D) 8cm E) 7cm.soluo:

A B

DMC

N

P

BARICENTRO

Traando a outra diagonal do paralelogramo,formaremos um tringulo ACD. Uma vez que asdiagonais se cruzam ao meio, P ser o pontomdio de AD e como M o ponto mdio de CD,o ponto N ser o baricentro desse triangulo.Portanto:

212 2

6

AN MN MN

MN

==

=

Alternativa A.

I0000176(UPE-2005_mat-I) Um juiz de futebol tem trscartes no bolso. Um todo amarelo, outro todo vermelho e o terceiro tem uma facevermelha e a outra amarela. Em um determinadolance, o juiz retira, aleatoriamente, um carto do

bolso e mostra ao jogador. Qual a probabilidadede a face que o juiz v ser amarela e de a outraface, mostrada ao jogador, ser vermelha?

A) 1/3 B) 2/3 C) 1/6D) 5/6 E) 1/2soluo:So 6 possibilidades ao todo:1. o carto amarelo pode ser pego de duasmaneiras (ao virar o carto uma maneiradiferente, mesmo sendo as mesmas cores)

2. com o carto vermelho acontece a mesmacoisa, portanto j so 04 formas distintas3. com o carto amarelo tambm acontece omesmo, porem, fica uma com o Amarelo para o juiz e a o vermelho para o jogador. E, a outra fica o inverso. Sendo assim, temos as 06 possibilidades distintas. Mas, somente uma a procurada pelo problema. Portanto a probabilidade de 1 em 6 ou 1/6. AlternativaC.

I0000177(UPE-2005_mat-I) A regio do plano limitada

pelo tringulo de vrtices (2, 0), (4,0) e (0,2) giraem torno do eixo das ordenadas, determinando

um slido de volume igual aA) 4 unidades de volume. B) 8 unidadesde volume. C) 7 unidades de volume. D)5 unidades de volume. E) 5 unidades devolume.soluo:Formar as seguintes figuras:

2 4

2

2 4

2

O volume procurado o de um cone que temraio da base igual a 4 e altura igual a 2subtraendo o volume do interior (que ficavazio), outro cone, com raio da base igual a 2 ealtura tambm igual a 2.

Cone maior:

2

2

3

4

16

316 2

332

3

bmaior

b

b

b

bmaior

maior

maior

A hV

A r A A

A hV

V

V

=

=

=

=

=

=

=

Cone

menor:

2

2

3

2

4

34 2

383

bmenor

b

b

b

bmaior

maior

maior

A hV

A r A A

A hV

V

V

=

=

=

=

=

=

=

Volume

procurado:

32 83 3

243

8

proc maior menor

proc

proc

proc

V V V

V

V

V

=

=

=

=

Alternativa B.

I0000178(UPE-2005_mat-I) O pH de uma soluoaquosa definido pela expresso

1log pH

H + =

, na qual H + indica a

concentrao, em mol/L, de ons de hidrogniona soluo. Ao analisar determinada soluo, aqumica Daniela observou que nesta aconcentrao de ons de hidrognio era

( )87,2 10 / H mol L+ = , Daniela podeafirmar que o pH da soluo

10 10faa:log 2 0, 3 e log 3 0, 48= =

A) 8,31 B) 7,14 C) 6,56 D) 8,16 E) 7,56Soluo:

( )8

1log

1log

7,2 10

pH H

pH

+

= =

( )

( )

9

9

1log

72 10

1 1log

72 10

pH

pH

= =

9

9

1log 10

72

10log

72

pH

pH

=

=

( )( )

9

3 2

3 2

log10 log 729 log10 log 729 log 72

9 log 2 3

9 log 2 log 3

9 3 log 2 2 log 39 3 0,3 2 0,489 0,9 0,96

7,14

pH pH pH pH

pH pH pH pH pH

= = =

=

= +

= = =

=

Alternativa B.

I0000179

(UPE-2005_mat-I) Um laboratrio utiliza, nafabricao de um determinado remdio, assubstncias A e B. Sabendo que 1 ml dasubstncia A custa R$0,03(3 centavos), 1 ml dasubstncia B custa R$0,05 (5 centavos) e que umfrasco de 100 ml do remdio custa R$ 3,60 (trsreais e sessenta centavos), quantos ml dasubstncia A tm no frasco?A) 70 B) 65 C) 60 D) 50E) 30Soluo:Sejam x e y as quantidades das substncias A e B, respectivamente.1 0,031 0,05

1003,6

A B x y xA yB

==+ =

+ =

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soluo:

O lucro em cada pea de 2,00 1,20 =0,80

0 04000 0, 80 3200 = e ainda tem a despesa fixa de4.000,00. Portanto, falso.

1 14000 1, 20 4800 4000 8800 verdade = + =

2 26000 0,80 4800 4000 800 verdade = =

3 34000 0,80 3200 4000 800 verdade = =

4 45000 0,80 4000 4000 0 verdade = =

Alternativa FVVVV.

I0000183(UPE-2005_mat-I) Com base na trigonometria,analise as afirmaes.

I II

0 0 Se sec x = cos x, ento sen2 x = 0.

1 1 Se tgx = 1, ento secx = 2.

2 2 Se cossecx = senx, ento

2 x k

= + , onde k um nmero

inteiro.

3 3tgx = 1, ento 4 x k

= + , onde k um nmero inteiro.

4 4 ( ) cos ,sen x x x R + = soluo:

0 0Se:

1sec

cos x

x=

2

sec cos

1cos

coscos 1

x x

x x x

=

=

=

Relao fundamental:2 2

2

2

2

cos 1

1 1

1 1

0

sen x xsen xsen x

sen x verdade

+ =+ ==

=

1 1Se:

cossenxtgx

x= e 1sec

cos x

x=

145

tgx x

==

Portanto,

1 1 1 2 2sec 1 2

cos cos45 2 2 22

x falso x

= = = = = =

2 2Se:

1cossec x senx=

2

1

1

senxsenxsen x

=

=

Portanto x = 90 ou 270 (ou seus mltiplos)

2 x k

= + , e essa expresso s resulta nesses

valores. verdade.

3 3tgx = 1. Portanto x = 45 ou 225 (ou seusmltiplos)

4 x k

= + , e essa expresso s

resulta nesses valores. verdade.

4 4( ) cos ,sen x x x R + =

Testando:Se x = 45.

( )180 45 cos 45225 cos 45

245

22 2

2 2

sensen

sen

falso

+ ==

=

=

AlternativaVFVVF.

I0000184 (UPE-2005_mat-I) Considere m e n nmerosinteiros positivos e distintos. Seja M = {matrizesdo tipo m X n}.Analise as afirmaes.

I. Se A uma matriz de M, sempre estardefinido o produto A.A .

II. Se A uma matriz de M, ento a transpostade A no ser uma matriz de M.

III. A soma de duas matrizes de M pode no pertencer a M.

I II0 0 somente II verdadeira.1 1 somente I falsa.2 2 somente I e II so verdadeiras.3 3 somente III falsa.4 4 todas so verdadeiras.

soluo:

I. falso, pois, por exemplo, se tivermos umamatriz A=2x3, no poderemos multiplicar A por A. II. verdade, pois, por exemplo, se tivermos uma

matriz A=2x3, sua transposta ser do tipo 3x2,que NO pertence as matrizes do tipo 2x3.

III. falso, pois, por exemplo, se tivermos umamatriz A=2x3, e somarmos a outra B=2x3resultar em C=2x3, que pertence as matrizesde M.

0 0 - verdade1 1 - falso

2 2 - falso3 3 - falso4 4 - falso

AlternativaVFFFF.