Vamos Jogar No Totoloto
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24 Millenium Vamos Jogar no Totoloto? ANA CRISTINA BICO MATOS CARLA HENRIQUES Departamento de Matemática, Escola Superior de Tecnologia de Viseu Tendo como objectivo despertar o interesse dos alunos pelo cálculo de probabilidades, as autoras desta sessão de trabalho, pegaram num tema bem conhecido de todos, o jogo do Totoloto, e fizeram dele um tema de trabalho em probabilidades para cerca de uma hora. As autoras começaram por despertar nos alunos a curiosidade por saber quais são as chances de ganhar o 1º, 2º, 3º, 4º e 5º prémio, no jogo do Totoloto, fazendo apenas uma aposta. Para alguns, o cálculo da probabilidade de ganhar o 1º prémio já não era novidade, mas o mesmo já não se passava no que diz respeito aos 2º, 3º, 4º e 5º prémios. A sessão destinava-se a alunos do 12º ano de escolaridade, pois só estes dispunham das ferramentas necessárias ao cálculo das referidas probabilidades. Foram apresentadas duas formas diferentes de fazer o cálculo das probabilidades. Numa primeira fase, abordou-se o problema sem recorrer ao cálculo combinatório, apenas fazendo uso do conceito clássico de probabilidade e da chamada regra da multiplicação. Posteriormente, resolveu-se o problema recorrendo ao cálculo combinatório. Relembremos o conceito clássico de probabilidade: dada uma experiência aleatória com n resultados possíveis, todos equiprováveis, a probabilidade de ocorrência de um acontecimento aleatório é igual ao número de resultados favoráveis a esse acontecimento sobre n.
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24MilleniumVamos Jogar no Totoloto?ANA CRISTINA BICO MATOSCARLA HENRIQUESDepartamento de Matemtica,Escola Superior de Tecnologia de ViseuTendocomoobjectivodespertarointeressedosalunospeloclculodeprobabilidades, as autoras destasessodetrabalho,pegaramnumtemabemconhecidodetodos,ojogodoTotoloto,efizeramdeleumtemadetrabalhoemprobabilidadespara cerca de uma hora.As autoras comearam por despertar nos alunos a curiosidade por saber quais soaschancesdeganharo1, 2,3,4e5prmio,nojogodoTotoloto,fazendoapenasumaaposta.Paraalguns,oclculodaprobabilidadedeganharo1prmiojnoeranovidade, mas o mesmo j no se passava no que diz respeito aos 2, 3, 4 e 5 prmios.Asessodestinava-seaalunosdo12anodeescolaridade,poissestesdispunham das ferramentas necessrias ao clculo das referidas probabilidades.Foram apresentadas duas formas diferentes de fazer o clculo das probabilidades.Numaprimeirafase,abordou-seoproblemasemrecorreraoclculocombinatrio,apenasfazendousodoconceitoclssicodeprobabilidadeedachamadaregradamultiplicao.Posteriormente,resolveu-seoproblemarecorrendoaoclculocombinatrio.Relembremosoconceitoclssicodeprobabilidade:dadaumaexperinciaaleatria com n resultados possveis, todos equiprovveis, a probabilidade de ocorrnciadeumacontecimentoaleatrioigualaonmeroderesultadosfavorveisaesseacontecimento sobre n.25MilleniumAregradamultiplicao,paratrsacontecimentosaleatrios,traduz-sedaseguinte maneira:( ) ( ) ( ) ( ) B A | C P . A | B P . A P C B A P = isto,aprobabilidadedaocorrnciasimultneadeA,BeC,P(ABC),igualaoproduto da probabilidade de ocorrncia de A, P(A), pela probabilidade de ocorrncia deB sabendo que ocorreu A, P(B|A), e pela probabilidade de ocorrncia de C sabendo queocorreram simultaneamente A e B, P(C|AB). Para n acontecimentos aleatrios a regrada multiplicao :( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1 2 1 = n n nA A A | A P . . A | A P . A P A A A P VamosentosuporquefazemosapenasumaapostanoTotoloto.Paraganharo1prmio necessrio acertar nos seis nmeros sorteados.Consideremos os seguintes acontecimentos aleatrios:A1 Acertar no 1nmero extrado no sorteio"A2 Acertar no 2nmero extrado no sorteio"A6 Acertar no 6nmero extrado no sorteio"AS Acertar nonmero suplementarEnto, a probabilidade de ganhar o 1prmio , usando a regra da multiplicao,( )= 6 5 4 3 2 1A A A A A A P( ) ( ) ( ) ( ) = =5 2 1 6 2 1 3 1 2 1A A A | A P . . A A | A P . A | A P . A P 816 983 131441452463474485496= = =0.0000000715126MilleniumO2 prmioatribudoaquemacertaremcinconmerosenonmerosuplementar, ento,P("Ganhar o 2prmio") ( )+ =SA A A A A A A P6 5 4 3 2 1( )+ +SA A A A A A A P6 5 4 3 2 1( )+ +SA A A A A A A P6 5 4 3 2 1( )+ +SA A A A A A A P6 5 4 3 2 1( )+ +SA A A A A A A P6 5 4 3 2 1( )SA A A A A A A P +6 5 4 3 2 1onde iArepresenta o complementar de Ai, isto ,iANo acertar noi-simo nmero extrado no sorteio.Calculemos a primeira parcela da soma anterior.( )= SA A A A A A A P6 5 4 3 2 1( ) ( ) ( ) . A A | A P . A | A P . A P2 1 3 1 2 1 =( ) ( ). A A | A P . A A A | A P .4 1 5 3 2 1 4 ( ). A A A | A P .5 2 1 6 ( )6 5 2 1A A A A | A P .S 4314443452463474485496 =Comofacilmentesepodeverificartodasasrestantesparcelastmomesmovalor, donde,27MilleniumP("Ganhar o 2prmio") = = 43144434524634744854966816 983 136= =0.000000429.O 3prmio vai para quem acertar em cinco nmeros sorteados e no acertar nonmero suplementar. Ento,P("Ganhar o 3prmio") ( )+ =SA A A A A A A P6 5 4 3 2 1( )+ +SA A A A A A A P6 5 4 3 2 1( )+ +SA A A A A A A P6 5 4 3 2 1( )+ +SA A A A A A A P6 5 4 3 2 1( )+ +SA A A A A A A P6 5 4 3 2 1( )SA A A A A A A P +6 5 4 3 2 1Tal como anteriormente, todas as parcelas tm o mesmo valor, dondeP("Ganhar o 3prmio") = 434244434524634744854966= 0.000018.Paracalcularaprobabilidadedeganharo4 ouo5 prmio,oraciocniosemelhante. P("Ganhar o 4prmio") = P("Acertar em quatro nmeros sorteados") =( )+ =6 5 4 3 2 1A A A A A A P( )+ +6 5 4 3 2 1A A A A A A P( ) + + + 6 5 4 3 2 1A A A A A A P( )6 5 4 3 2 1A A A A A A P +28MilleniumO nmero de parcelas na soma anterior 62C(combinaes de seis dois a dois).Assim,P("Ganhar o 4prmio") = = 4442454346347448549662C= 0.000969. P("Ganhar o 5prmio") = P("Acertar em trs nmeros sorteados") =( )+ =6 5 4 3 2 1A A A A A A P( )+ +6 5 4 3 2 1A A A A A A P( ) + + + 6 5 4 3 2 1A A A A A A P( )6 5 4 3 2 1A A A A A A P + .Agora temos 63Cparcelas, logoP("Ganhar o 5prmio") = = 44414542464347448549663C= 0.001765.Asmesmasprobabilidadespodemsercalculadosusandoclculocombinatrio.OnmeroderesultadospossveisnaextracodosnmerosdoTotoloto43496 C ,sendo 496C ,aspossibilidadesparaosprimeirosseisnmerossorteados,e43aspossibilidades para o nmero suplementar. Ento,P("Ganhar o 1prmio") = 1 0000000715 04343496.C=;P("Ganhar o 2prmio") = 000000429 04343 6496.C=;29MilleniumP("Ganhar o 3prmio") = 000018 04343 42 6496.C= ;P("Ganhar o 4prmio") = 000969 0434349643262.CC C= ;P("Ganhar o 5prmio") = 01765 0434349643363.CC C= .Assim,osalunostomaramcontactocomumadasinmerasaplicaesprticasdo clculo de probabilidades e sentiram a flexibilidade do mesmo, constatando que pordois processos diferentes se chegam aos mesmos resultados.
