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Wagner Nahas Ribeiro

Avaliação de soluções numéricas para análise de fluxo bifásico com acoplamento geomecânico em meios porosos heterogêneos

Tese de Doutorado

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação do Departamento de Engenharia Civil como requisitos parcial para obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil.

Orientador: Euripedes do Amaral Vargas Jr.

Co-Orientador: Luiz Eloy Vaz

Rio de Janeiro

Abril de 2011

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0521523/CA


Avaliação de soluções numéricas para análise de fluxo bifásico com acoplamento geomecânico em meios porosos heterogêneos

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação do Departamento de Engenharia Civil como requisitos parcial para obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada:

Prof. Euripedes do Amaral Vargas Jr. Orientador

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

Prof. Luiz Eloy Vaz Co-Orientador

Universidade Federal Fluminense

Dr. André Luiz Muller Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica - Tecgraf

Profa. Christianne de Lyra Nogueira Universidade Federal de Ouro Preto

Prof. Leonardo José do Nascimento Guimarães Universidade Federal de Pernambuco

Prof. Márcio da Silveira Carvalho Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Cientifico- PUC-Rio

Rio de Janeiro, 15 de abril de 2011

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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador


Graduou-se em Engenharia Civil pela UFOP (Universidade Federal de Ouro Preto) em 2002. Em 2005 apresentou a dissertação de mestrado intitulada Aplicações da Análise Limite Numérica a Problemas de Estabilidade Axissimétricos em Geotecnia no Departamento de Engenharia Civil da mesma universidade. Em 2005 ingressou no curso de doutorado em geotecnia da PUC-Rio (Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro).

Ficha Catalográfica

CDD: 624

Ribeiro, Wagner Nahas

Avaliação de soluções numéricas para análise de fluxo bifásico com acoplamento geomecânico em meios porosos heterogêneos / Wagner Nahas Ribeiro ; orientador: Euripedes do Amaral Vargas Jr. ; co-orientador: Luiz Eloy Vaz. – 2011.

127 f. : il. (color.) ; 30 cm

Tese (doutorado)-Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2011.

Inclui bibliografia

1. Engenharia civil – Teses. 2. Fluxo bifásico acoplado. 3. Elementos finitos. 4. Volumes finitos. 5. Análise tensão-deformação. 6. Elementos finitos descontínuos. 7. Elementos de Raviart-Thomas. I. Vargas Junior, Euripedes do Amaral. II. Vaz, Luiz Eloy. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.

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Agradecimentos

Seria extensa a lista de agradecimentos a todos que contribuíram de uma forma ou

de outra na elaboração desse trabalho e ainda no processo de curso do doutorado,

nem por isso devo deixar de citar alguns nomes que mais decisivamente

colaboraram nos últimos acontecimentos para a conclusão desse trabalho:

Ao professor Vargas que mostrou o caminho a ser seguido para o andamento

desse trabalho.

Ao professor Eloy Vaz que contribuiu enormemente em momentos decisivos para

o êxito deste trabalho com seu exemplo e incentivo.

Aos integrantes da banca examinadora que contribuíram para a revisão com

sugestões extremamente pertinentes para a melhoria do trabalho, principalmente a

Profa. Christianne que diligentemente corrigiu vários equívocos de português.

A todos os amigos e amigas de mestrado e doutorado que compartilharam das

várias etapas transcorridas durante o doutoramento.

Ao CNPq, à CAPES e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este

trabalho não poderia ter sido realizado.

A todos os funcionários da PUC que sempre deram o apoio necessário para o bom

andamento das atividades, em especial a Rita de Cássia.

Aos meus familiares que sempre apoiaram e incentivaram nos momentos críticos.

A querida Andrea que me apoiou e colaborou nas correções do volume final, e ao

prezado Paul Antezana que diagramou todo o volume final.

Ao meu bom Deus que é bom.

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Resumo

Ribeiro, Wagner Nahas; Vargas Jr., Euripedes do Amaral; Vaz, Luiz Eloy. Avaliação de soluções numéricas para análise de fluxo bifásico com acoplamento geomecânico em meios porosos heterogêneos. Rio de Janeiro, 2011. 127 p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

O acoplamento fluido-mecânico como é conhecido o efeito tanto do meio

poroso no meio fluido, quanto do efeito do meio fluido no meio poroso, possui

uma ampla aplicabilidade em diversos campos da engenharia, tornando-se um

importante objeto de estudo. O presente trabalho analisa alguns modelos

acoplados de deformação e fluxo, particularmente fluxo bifásico e acoplamento

com deformação, levando-se em consideração a não linearidade física do solo. A

análise de fluxo em condição bifásica pode conduzir a instabilidade, devido à

característica parabólica-hiperbólica das equações governantes, bem como o

método empregado para soluções das mesmas, podendo não capturar

satisfatoriamente condições de heterogeneidade do meio geológico. Sendo assim,

são estudadas formulações numéricas capazes de contornar essas dificuldades e

ainda empregadas em condição acoplada com o problema de deformação.

Emprega-se inicialmente o método dos elementos finitos, MEF, para solução do

problema acoplado com fluxo bifásico, em sequência uma formulação mista em

que se resolve a equação da pressão através do MEF, e intermediariamente

utilizam-se métodos de melhor aproximação da velocidade como os elementos de

Raviart-Thomas de mais baixa ordem e solução da equação da saturação pelo

método dos volumes finitos, MVF, com esquema de interpolação de alta ordem

para captura de frente de saturação. Ainda assim é apresentada uma formulação

em que se emprega o método dos elementos finitos descontínuos, MEFD,

apresentado em Hoteit (2008), que no presente trabalho é acoplada com o

problema de deformação utilizando um procedimento staggered para solução

iterativa de ambos os sistemas. São apresentados exemplos que validam as

diversas formulações e que destacam as propriedades de cada uma das

formulações, com vantagens e desvantagem nas suas aplicações.

Palavras-chave

Fluxo bifásico acoplado; Elementos finitos; Volumes finitos; Elementos Finitos descontínuos; Elementos de Raviart-Thomas.

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Abstract

Ribeiro, Wagner Nahas; Vargas Jr., Euripedes do Amaral(Advisor); Vaz, Luiz Eloy (Co-Advisor). Evaluation of numerical solutions for analysis of coupled two-phase flow with geomechanical behavior in heterogeneous porous media. Rio de Janeiro, 2011. 127p. Dsc. Thesis. Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

The fluid-mechanical coupling is known as the effect of both the porous

media in a fluid as the fluid in porous media, it has been studied intensively in

past years and in recent years, given its importance in various application fields of

engineering. This works studies numerical models of coupled deformation and

flow, considering coupled two-phase flow and deformation, taking into account

the nonlinear soil behavior. The numerical analysis of two-phase flow can lead to

instabilities due to parabolic-hyperbolic character of the governing equations and

the method employed does not adequately capture the heterogeneity of the

geological environment. Thus, we analyze the numerical formulations capable of

overcoming these difficulties and to be employed on coupled condition with

deformation. Initially the finite element method, FEM, is employed for solution of

the coupled two-phase flow problem. Another formulation is employed in a mixed

basis, the pressure equation is solved through the FEM, solution of the equation of

saturation by finite volume method, FVM, using interpolation scheme with high

order to capture the saturation front. In an intermediate step, it is employing

methods to better pos-processing the velocity filed as the lowest-order Raviart-

Thomas finite elements. Finally, it is presented a formulation that employs the

discontinuous finite element method, DFEM, presented in Hoteit et al (2008), is

coupled in this work with the problem of deformation using a staggered procedure

for iterative solution of the systems. Examples are presented that validate the

various formulations and highlight the properties of each formulation, with

advantages and disadvantages in their applications.

Keywords

Coupled two-phase flow; Finite elements; Finite volumes; Analysis stress and deformation; Discontinuous finite elements; Raviart-Thomas elements.

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Sumário

1. INTRODUÇÃO ....................................................................................... 19

1.1. Considerações Gerais .............................................................................. 19

1.2. Objetivos da Pesquisa .............................................................................. 24

1.3. Organização do Presente Trabalho .......................................................... 25

2. FORMULAÇÕES MATEMÁTICAS PARA SIMULAÇÃO DE

FLUXO BIFÁSICO E BIFÁSICO-ACOPLADO EM MEIOS

POROSOS ............................................................................................... 26


2.2. Equação de equilíbrio .............................................................................. 26

2.3. Análise de Fluxo Bifásico em Meios Porosos ......................................... 29

2.3.1. Equação do Balanço de Massa ................................................................ 29 2.3.2. Formulação Parabólica ............................................................................ 33 2.3.3. Formulação Hiperbólica .......................................................................... 34

2.4. Resumo das Equações Gerais .................................................................. 37

2.5. Definições para as Pressões de Fluidos ................................................... 38

2.5.1. Classificação de Equações Diferenciais Parciais (EDP) ......................... 39 2.5.2. Pós-processamento da Velocidade .......................................................... 41 2.5.3. Determinação da Porosidade ................................................................... 44 2.5.4. Relações Constitutivas para Permeabilidade ........................................... 45

3. FORMULAÇÕES PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO

BIFÁSICO E BIFÁSICO-ACOPLADO EM MEIOS POROSOS

VIA MÉTODOS NUMÉRICOS ............................................................. 49


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Sumário

3.2. Formulações Numéricas das Equações Governantes .............................. 50

3.2.1. Formulação em Elementos Finitos – Método de Galerkin ...................... 50 3.2.2. Formulação em Volumes Finitos Baseado em Elementos Finitos .......... 59 3.2.3. Formulação em Elementos Finitos Descontínuos ................................... 63

3.3. Análise Não-Linear Local ....................................................................... 67

3.3.1. Princípio da máxima dissipação plástica ................................................. 67

3.4. Procedimentos de Solução ....................................................................... 71

3.4.1. Procedimento para o problema de fluxo bifásico .................................... 73 3.4.2. Procedimento staggered para o problema de acoplamento fluido

mecânico com fluxo bifásico via MEF .................................................... 74 3.4.3. Procedimento staggered para o problema de acoplamento fluido

mecânico com fluxo bifásico via MVF e MEFD .................................... 75

4. EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO DAS FORMULAÇÕES

PARA SIMULAÇÃO DE FLUXO EM MEIOS POROSOS. ................ 78


4.2. Adensamento unidimensional ................................................................. 79

4.3. Escoamento entre Placas ......................................................................... 87

4.4. Escoamento com Barreiras ...................................................................... 89

4.5. Pós-processamento da Velocidade Através de Elementos de

Raviart-Thomas ....................................................................................... 91

4.6. Fluxo Bifásico Unidimensional – Método MEF – Galerkin ................... 94

4.7. Fluxo Bifásico Unidimensional – Método MEFD .................................. 96

4.8. Fluxo Bifásico Bidimensional – Problema dos Cinco Poços .................. 97

4.9. Fluxo Bifásico Bidimensional – Problema dos Cinco Poços –

Meio Heterogêneo ................................................................................. 100

4.10. Adensamento unidimensional para caso de Sw = 1 ............................... 102

4.11. Fluxo Bifásico em Reservatório Estratificado ....................................... 104

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Sumário

4.12. Fluxo Bifásico em Falhas ...................................................................... 106

4.13. Fluxo Bifásico Acoplado em Falhas ..................................................... 108

4.14. Análise Acoplada de Fluxo Bifásico em Reservatório Fraturado ......... 109

4.15. Fluxo Bifásico em Coluna Unidimensional .......................................... 113

4.16. Comparação de Tempo de Processamento ............................................ 114

5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS

FUTUROS ............................................................................................. 116

5.1. Conclusões ............................................................................................. 116

5.2. Sugestões para trabalhos futuros ........................................................... 118

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 120

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Lista de Figuras

Lista de Figuras

Figura 2-1 Volume de controle para balanço de massa do fluido. ..................... 30

Figura 3-1: Formas possíveis de montagem do volume de controle, a)

baseado na célula, b) baseado na célula e vértice e c) baseado

no vértice. (extraído de Carvalho, 2005) .......................................... 59

Figura 4-1: Esquema da coluna para adensamento unidimensional. .................. 79

Figura 4-2: Malha utilizada nas análises, elementos Q4, 300 elementos

finitos. ............................................................................................... 82

Figura 4-3: Esquema do problema de escoamento entre placas paralelas

(a), Correa (2006) e malha de elementos finitos utilizada, 200

elementos Q4 (b). ............................................................................. 88

Figura 4-4: Perfil de velocidade vx ao longo da altura H (a), e mapa de

velocidades, cor azul representa vx=0.5 e cor vermelha vx=1.0

(b). .................................................................................................... 88

Figura 4-5: Esquema do problema de escoamento entre barreiras,

condições de contorno aplicadas e dados dos materiais

utilizados. ......................................................................................... 89

Figura 4-6: Malha empregada na análise do exemplo de escoamento entre

barreiras, 625 elementos Q4. ............................................................ 90

Figura 4-7: Campos de velocidade vy e perfil de velocidade vy ao longo de

BE: (a) pós-processamento global, (b) lei de Darcy. ....................... 91

Figura 4-8: Campo de pressão aplicado. ............................................................. 92

Figura 4-9: Campos de velocidade vx para malhas estruturadas e não

estruturadas obtidas através de RT0. ................................................. 93

Figura 4-10: Campos de velocidade vx para malha estruturada inclinada

obtido através de RT0. ...................................................................... 94

Figura 4-11: Esquema do problema de reservatório. ............................................. 95

Figura 4-12: Malha utilizada Q4, 192 elementos. ................................................. 95

Figura 4-13: Malhas utilizadas Q4, 320 e 160 elementos. .................................... 96

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Lista de Figuras

Figura 4-14: Perfil de saturação ao longo de x para formulação em volumes

finitos, curva em pontos, elementos finitos descontínuos, linha

continua e solução analítica, curva em traço e ponto . ..................... 97

Figura 4-15: Esquema do problema de cinco poços. ............................................. 98

Figura 4-16: Evolução da frente de saturação para vários tempos. a) t=0,7s,

b) t=4,2s, c) t=7,7s, d) t=11,2s, e) t=14,7s, f) t=19,6s. .................... 99

Figura 4-17: Campo de permeabilidade kx aleatório. ......................................... 100

Figura 4-18: Evolução da frente de saturação para vários tempos, kx,

aleatório. a) t=0,7s, b) t=4,2s, c) t=7,7s, d) t=11,2s, e) t=14,7s,

f) t=19,6s. ....................................................................................... 101

Figura 4-19: Esquema do problema fluxo bifásico em meio heterogêneo. ......... 104

Figura 4-20: Malha empregada na análise do problema de fluxo bifásico em

meio heterogêneo. .......................................................................... 104

Figura 4-21 :Perfis de saturação para vários tempos, meio heterogêneo. a)

t=0s, b) t=1,s, c) t=2s, d) t=3s, e) t=4s. ......................................... 105

Figura 4-22: Campo de saturação para meio heterogêneo, extraído de Hoteit

et al (2008).. ................................................................................... 106

Figura 4-23: Esquema do problema fluxo bifásico em falhas. ............................ 106

Figura 4-24: Perfis de saturação para vários tempos, meio heterogêneo. a)

t=0s, b) t=1s, c) t=2s, d) t=3s, e) t=4s. .......................................... 107

Figura 4-25: Esquema do problema fluxo bifásico acoplado em falhas.............. 108

Figura 4-26: Condições de contorno do problema de fluxo bifásico em

falhas. ............................................................................................. 109

Figura 4-27: Evolução dos campos de saturação para vários tempos,

reservatório com falha. a) t=0s, b) t=3s, c) t=6s, d) t=9s, e)

t=11s. .............................................................................................. 111

Figura 4-28: Evolução dos campos de tensão efetiva máxima para vários

tempos, reservatório com falha. a) t=0s, t=3s, c) t=6s, d) t=9s,

e) t=11s. .......................................................................................... 112

Figura 4-29: Evolução do campo de deformação volumétrica para vários

tempos, reservatório com falha. a) t=0s, t=3s, c) t=6s, d) t=9s,

e) t=11s. .......................................................................................... 112

Gráfico 4 - 1: Pressão de poros na base da coluna. .............................................. 83

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Lista de Figuras

Gráfico 4 - 2: Evolução no tempo da distribuição de pressão de poros ao

longo da coluna. ............................................................................. 83

Gráfico 4 - 3: Deslocamento no topo da coluna. .................................................. 84

Gráfico 4 - 4: Perfil de velocidade ao longo da coluna para vários tempos. ........ 85

Gráfico 4 - 5: Velocidade ao longo do tempo para o topo da coluna. .................. 85

Gráfico 4 - 6: Porosidade ao longo do tempo de análise para a base da

coluna, calculada no primeiro ponto de Gauss acima da base. ...... 87

Gráfico 4 - 7: Comparações entre os resultados da solução analítica e da

implementação de elementos de RT: (a) vx ao longo de y =

3,5, e (b) vy ao longo de x = 7,5. .................................................... 93

Gráfico 4 - 8: Perfil de saturação ao longo do reservatório .................................. 95

Gráfico 4 - 9: Deslocamento no topo da coluna. ................................................ 103

Gráfico 4 - 10:Pressão de poros na base da coluna. ............................................ 103

Gráfico 4 - 11:Variação da frente de saturação de água ao longo da coluna

para t=7s. ...................................................................................... 109

Gráfico 4 - 12: Variação da frente de saturação de água ao longo da coluna

para t=7s. ...................................................................................... 110

Gráfico 4 - 13:Variação da pressão de água ao longo da coluna para vários

tempos. ......................................................................................... 113

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Lista de Tabelas

Tabela 4-1: Parâmetros utilizados no exemplo de coluna poroelástica 81

Tabela 4-2 : Parâmetros e condições de contorno empregados no exemplo

de fluxo bifásico unidimensional 95

Tabela 4-3: Parâmetros utilizados no exemplo de fluxo bifásico em meio

heterogêneo 104

Tabela 4-4 : Parâmetros utilizados no exemplo de fluxo bifásico em meio

heterogêneo 107

Tabela 4-5: Tempo de pós-processamento da velocidade para diferentes

malhas 114

Tabela 4-6: Tempo de pós-processamento para diferentes métodos 115

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Lista de símbolos

σ Taxa de tensão total

b Taxa das forças de corpo

t Taxa das forças de superfície

ε Deformações virtuais

u Deslocamentos virtuais

Domínio de análise

Contorno do domínio de análise

'σ Taxa de tensão efetiva

p Taxa da poro pressão

ε Taxa de deformação total do esqueleto

cε Taxa das deformações devido à fluência

pε Taxa das deformações volumétricas

'0σ Taxa da tensão efetiva inicial

TD Matriz constitutiva

sK Módulo volumétrico dos grãos

''σ Taxa da tensão responsável pela deformação da fase sólida

dx, dy, dz Dimensões do volume de controle nas direções x, y e z,

respectivamente

Densidade do fluido

q Vazão

t Tempo

m Incremento de massa de fluido

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Lista de Símbolos

K, K0 Matriz de permeabilidade intrínseca do meio poroso

Porosidade

g Aceleração da gravidade

h Carga de elevação

rk Permeabilidade relativa

Viscosidade dinâmica do fluido

S Grau de saturação ou simplesmente saturação do fluido

B Fator de variação de volume

sR Fator de dissolução de gás no líquido

wS Saturação do fluido molhante

nwS Saturação do fluido não-molhante

wp Pressão de fluido molhante

nwp Pressão de fluido não-molhante

cp Pressão capilar

w Densidade do fluido molhante

nw Densidade do fluido não-molhante

wv Velocidade do fluido molhante

nwv Velocidade do fluido não-molhante

tv Velocidade total de escoamento

wf Função de fluxo fracionário do fluido molhante

wh Função de mobilidade do fluido molhante

av Velocidade aparente de fluxo

xv Velocidade de fluxo total na direção x

yv Velocidade de fluxo total na direção y

wS Taxa da saturação do fluido molhante

nwS Taxa da saturação do fluido não-molhante

cp Taxa da pressão capilar

tv~ Vetor de velocidades pós-processadas

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Lista de Símbolos

Parâmetro dependente da malha de elementos finitos

he Tamanho característico do elemento

A Área do elemento

d Variação da porosidade

pd Variação da pressão

cp Compressibilidade do poro

K Módulo de deformação do meio

mK Módulo de deformação da matriz porosa

Se Saturação efetiva

rwS Saturação residual da fase molhante

rnwS Saturação residual da fase não-molhante

p Poro pressão

E Módulo de Young

G Módulo cisalhante

Coeficiente de Poisson

SK Módulo de deformação volumétrica dos grãos

wK Módulo de deformação volumétrica do fluido.

Constante de Biot

g Aceleração da gravidade, função

gk Gradiente da função objetivo

Ângulo de atrito

Coeficientes de Poisson drenado

u Coeficientes de Poisson não drenado

c Coesão, coeficiente de difusividade

FVM Critério de escoamento de Von Mises

FMC Critério de escoamento do Mohr Coulomb

u Deslocamentos

L Distância

We Energia de deformação elástica

Wp Energia de deformação plástica

w Fase molhante

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Lista de Símbolos

nw Fase não molhante

L Função de Lagrange

N, , Ni, Nj Funções de forma

t Incremento de tempo

L Matriz de acoplamento fluido mecânico, matriz de

transformação

G Módulo plástico generalizado

B Matriz de compatibilidade

Hw Matriz de fluxo da fase molhante

Hnw Matriz de fluxo da fase não molhante

K Matriz de rigidez

Lc , Lnw , Lw Matrizes de acoplamento fluido mecânico

Gw, Gnw Matrizes de armazenamento

Ow, Onw , Mw,

Mnw, Pw, Pnw Matrizes para o problema de fluxo bifásico

Multiplicadores de Lagrange

J1 Primeiro invariante das tensões

Fu Resíduo para equação de equilíbrio

Representação de uma fase

Fp Resíduo para equação de pressão

Fpnw Resíduo para pressão da fase não molhante

FSnw Resíduo para saturação da fase não molhante

J2D Segundo invariante das tensões desviadoras

t Tempo

y Tensão de escoamento

D Tensor constitutivo elástico

DT Tensor constitutivo elasto-plástico

Tensor de deformações

J3D Terceiro invariante das tensões desviadoras

tol Tolerância

a Variáveis internas

q Vazão

q Vetor de incógnitas

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Lista de Símbolos

R Vetor de resíduos

Parâmetro de integração

Operador de derivação

tc Compressibilidade total do meio poroso

t Fator de mobilidade total

n Fator de mobilidade do fluido não molhante

w Fator de mobilidade do fluido molhante

tQ Vazão total

wQ Vazão do fluido molhante

eA Área do elemento

weq Vazão do fluido molhante por elemento

M Matriz de interpolação de segunda ordem

a , b Vetor de interpolação

Parâmetro de interpolação

n Vetor normal a aresta do elemento

uC Fator de interpolação de fluxo numérico

I Matriz identidade

J Matriz jacobiana

P Matriz de transformação de Piola

w Matriz de funções de forma para elementos de Raviart-Tomas

Matriz de funções de forma para elementos de Raviart-Thomas

detJ Determinante da matriz jacobiana

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1.

Introdução

1.1.

Considerações Gerais

Mesmo antes da introdução das disciplinas de mecânicas dos solos, rochas e

geologia é sabidamente conhecido o efeito acoplado entre os meios porosos,

meios fraturados, meios porosos-fraturados com o(s) fluido(s) que preenchem

esses meios, como relatado nos trabalhos clássicos de Terzaghi (1943) e Biot

(1941), entre outros. O acoplamento fluido-mecânico como é conhecido o efeito

tanto do meio poroso no meio fluido, quanto do efeito do meio fluido no meio

poroso, é utilizado em diversos campos de aplicação da Engenharia. Tamanha a

importância tornou-se discussão de inúmeros trabalhos em anos anteriores e em

anos recentes. (Schrefler et al, 1990; White e Borja, 2008; Kim, 2010).

No campo da engenharia mecânica grande esforço tem sido colocado no

acoplamento termo-mecânico, enquanto que na engenharia ambiental um tema

bastante recente de estudo é o sequestro de CO2 através da injeção desse gás em

meios porosos fraturados ou não, sendo o acoplamento mecânico e de fluxo de

grande importância (Morris, 2009a,b, apud Kim, 2010).

Mais precisamente no campo de aplicação da engenharia para a produção de

petróleo, o acoplamento fluido-mecânico tem se mostrado como explicação de

diversos fenômenos ocorridos na exploração e produção de reservatórios de

petróleo. Um caso emblematicamente sempre abordado em diversas revisões

sobre o tema se refere ao campo de petróleo Ekofish na Noruega, em que o leito

marinho sofreu uma importante subsidência sob o efeito do processo de extração

de fluido do reservatório ao ponto de comprometer severamente vários poços de

produção, levando a grandes gastos no reparo e prevenção dos danos causados

(Falcão, 2002; Fjaer et al, 2008).

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Introdução 20

Ainda no campo de extração de petróleo, outros exemplos de aplicação da

análise acoplada fluido-mecânica são encontrados nos casos de estabilidade de

poços de petróleo, reativação de falhas e/ou zonas de falhas, fraturamento

hidráulico, produção de sólidos, efeitos de compactação do reservatório na curva

de produção de petróleo, relações tensão-permeabilidade-deformação, etc.

As análises dos fenômenos existentes no meio poroso tem se tornado cada

vez mais robustas e elaboradas na questão de se acoplar tais fenômenos, e ainda

em melhores e eficientes alternativas para solução dos sistemas que surgem desse

acoplamento. Sendo esta uma área extensa já estudada, mas ainda com vasto

campo de estudo por ser abordado.

Como relatado anteriormente, o meio poroso pode estar preenchido por um

ou mais fluidos. O presente trabalho aborda a condição em que o meio poroso é

constituído pela fase sólida e outras duas fases fluidas, caracterizando fluxo

bifásico com acoplamento mecânico em meios geológicos.

Diversos têm sido os estudos da condição de fluxo bifásico acoplado com o

problema mecânico, com diversos enfoques, desde as condições de estabilidade e

convergência, eficiência computacional, até a melhor representação dos diversos

fenômenos físicos presentes.

Quando se estuda meios geológicos deve se ter primeiramente em mente

que esses meios são heterogêneos em menor ou maior grau, e que possuem

geometrias variadas e complexas. Assim métodos eficientes devem ser buscados

para análise de fluxo bifásico acoplado para uma melhor representação desses

meios e dos fenômenos físicos presentes.

Diversos autores, (Wan, 2002, Wang et al 2004, Bianco et al 2001, Han et al

2002 e 2004, Morita et al 1998, Skjaertein et al 1997) , têm relatado a influência

do fluxo bifásico na produção de sólidos, seja pela redução da permeabilidade

relativa, pelo impacto na tensão capilar do meio, ou pelo efeito do surgimento da

água no poço – “water breakthrough”.

Han et al (2004) apresentam uma análise do processo de produção de areia

quando do surgimento de água no poço utilizando modelo analítico. Estes autores

verificaram o efeito da variação da saturação na zona de ruptura do meio poroso e

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Introdução 21

na pressão capilar existente, reforçando a necessidade de análise bifásica para esse

caso.

No estudo de fluxo bifásico e transporte de substâncias em meios porosos, o

equacionamento matemático do fenômeno físico pode conduzir a equações que

requerem métodos específicos de solução para eficiente captura da solução. É o

caso dos problemas descritos por equações hiperbólicas, em que a resposta pode

apresentar ondas de choque e/ou rarefação.

Para geometrias complexas e materiais heterogêneos são indicados

normalmente métodos numéricos do tipo método das diferenças finitas (MDF),

volumes finitos (MVF) e elementos finitos (MEF). Cada um com sua

peculiaridade de formulação e adequação ao problema proposto.

Helmig (1997) e Helmig et al (1998) apresentam um extenso estudo

comparativo sobre a capacidade desses métodos na solução de problemas de fluxo

multifásico, ressaltando que o MEF clássico possui dificuldades na captura de

ondas de choque e além de ser localmente não conservativo. Estes autores

destacam ainda que o MVF é localmente conservativo e que a captura de ondas de

choque é obtida empregando-se esquemas adequados de interpolação upwind.

Alvarenga (2008), Cordazzo (2006) e Gomes (2009) apresentam

formulações via MVF para o problema de fluxo bifásico em meios porosos.

Alvarenga (2008) relata os diversos tipos de MVF, baseado no vértice, baricentro

e vértice, e aresta. A interpolação de propriedades no caso de formulação baseada

no vértice e interpolação das variáveis no caso das outras formulações trazem em

si um certo grau de aproximação do meio poroso em caso heterogêneo. Cordazzo

(2006) e Gomes (2009) apresentam formulação em MVF baseado no vértice.

Alvarenga (2008) e Cordazzo (2006) apresentam uma formulação em que se

emprega um esquema de upwind de primeira ordem para captura de ondas de

choque enquanto Gomes (2009) apresenta uma formulação em que o esquema de

captura de frente de saturação se baseia na interpolação espacial da mobilidade de

fluxo entre elementos vizinhos. Cordazzo (2006) levanta a desvantagem do MVF

com relação à interpolação da porosidade para o novo elemento construído

baseado no vértice apresentando diversas alternativas para essa interpolação.

DBD


Introdução 22

Outro método bastante empregado na solução do problema de fluxo bifásico

é o método dos elementos finitos descontínuos (MEFD) que conjuga qualidades

do MEF com as do MVF. Aplicações do MEFD têm sido apresentadas para fluxo

bifásico em diversos trabalhos (Klieber e Rivière 2006; Hoteit et al 2008;

Hesthaven e Warburton 2000; Li 2006, entre outros), entretanto, o autor não

encontrou na literatura pesquisada, a solução acoplada do problema mecânico e

fluxo bifásico utilizando esse método.

O MEFD possui a vantagem de utilizar a mesma malha de elementos do

MEF sem necessidade de passos de construção de uma malha de volumes finitos,

de se poder empregar esquemas de interpolação para captura de frente de

saturação utilizados no MVF, mantendo-se o balanço de massa ao nível de

elemento.

Para análise de fluxo bifásico com acoplamento mecânico têm sido

apresentados diversos métodos na literatura com a finalidade de melhorar a

eficiência na representação do fenômeno físico, ou na definição do método

numérico mais adequado para a solução do fenômeno. A solução do problema

acoplado pode ser tratada basicamente por duas alternativas: solucionando o

problema de fluxo conjuntamente com o equilíbrio mecânico, conhecido como

acoplamento direto ou através de processos iterativos entre o problema de fluxo e

o equilibro mecânico.

Lewis et al (1991) apresentaram uma avaliação desses dois tipos de

acoplamento para o caso de fluxo monofásico indicando as situações mais

favoráveis para a aplicação de uma e de outra alternativa.

Classicamente nas aplicações em engenharia de reservatórios de petróleo o

método de acoplamento seqüencial da solução do problema onde resolve-se os

problemas em separado em que o problema mecânico é solucionado após a

solução do problema de fluxo, definindo uma única via de acoplamento, é

chamado de one-way coupling.

Embora não seja um processo totalmente acoplado quando se resolve todos

os problemas em conjunto, os métodos iterativos são considerados acoplados na

DBD


Introdução 23

tentativa de se obter a melhor resposta dos sistemas em conjunto, são diversos os

trabalhos em que utilizam essa alternativa (Muller, 2007 e Frydman, 1996).

Muller (2007) aponta uma avaliação do método totalmente acoplado com o

método iterativo com relação ao processamento, indicando que o método iterativo

pode apresentar melhor desempenho computacional que o método totalmente

acoplado. Muller ainda ressalta as vantagens de se utilizar o método iterativo com

relação à aplicação de condição de contorno.

Kim (2010) analisa as diversas formas de acoplamentos entre as equações

de fluxo multifásico e o equilíbrio mecânico de maneira sequencial atentando para

aspectos de estabilidade e convergência de diversos métodos.

Dentre as formulações para representação de fluxo bifásico, duas formas de

equacionamento podem ser encontradas: a formulação parabólica, em que as

equações são postas diretamente em termos de duas incógnitas sem avaliação

intermediária da velocidade de fluxo e a formulação hiperbólica, em que as

equações são postas em esquema sequencial na definição de uma equação da

pressão, pós-processamento da velocidade e solução da equação da saturação.

De forma clara, tem-se que quanto melhor avaliada a velocidade de fluxo no

passo intermediário melhor a avaliação da equação da saturação e

consequentemente de todo o sistema. Alcoforado (2007) apresenta uma análise da

utilização de diversas alternativas para o pós-processamento da velocidade:

primeiramente partindo da aplicação direta da lei de Darcy, bem como um pós-

processamento da velocidade posto como um problema de ponderação da lei de

Darcy com o equilíbrio de massa, utilizando para isso elementos finitos de

Raviart-Thomas de ordem RT0. Nesse mesmo trabalho, Alcoforado (2007)

apresenta uma formulação em que o problema mecânico é posto como uma

solução analítica da equação de variação da porosidade de forma simplificada.

DBD


Introdução 24

1.2.

Objetivos da Pesquisa

Na seção anterior tentou-se focar em três aspectos distintos encontrados na

solução de problemas de fluxo bifásico acoplado com o problema mecânico: os

diferentes métodos para captura de ondas de choque, as diversas formulações e

resoluções dos sistemas de equação, e a avaliação da velocidade no caso de

formulação hiperbólica. Dessa forma, essa tese está direcionada a esses três

aspectos de tal forma a ter os seguintes objetivos principais:

Analisar numericamente, em meios contínuos, os mecanismos envolvidos

em condições bifásicas de fluxo. Especificamente quando de propagação de ondas

de choque e aplicabilidade em meios heterogêneos.

Implementar uma formulação numérica suficientemente eficaz para

solução do problema de fluxo bifásico em meios heterogêneos ou estratificados e

com acoplamento geomecânico. Para esse fim pesquisou-se alternativas para

obtenção do campo de velocidade e aplicação do MEFD como alternativa ao

MVF na solução do problema de fluxo.

Apresentar uma formulação numérica em que o MEFD é utilizado na

solução do problema de fluxo bifásico com o equilíbrio mecânico resolvido pelo

MEF clássico.

Dados os condicionantes das diversas alternativas de formulação, métodos

de solução, e melhor aplicabilidade a meios heterogêneos, o presente trabalho não

tem como objetivo esgotar todas as alternativas encontradas na literatura, mas sim

uma revisão e implementação de alguns desses métodos para aplicação em

engenharia de petróleo.

Por não ser o foco do trabalho, não são abordados em profundidade aspectos

de estabilidade e convergência dos diversos métodos, mas uma revisão é

apresentada em Kim (2010).

Esse trabalho segue a linha de pesquisa apresentada por Muller (2007), que

direcionou os desafios abordados no atual trabalho, a implementação

computacional também se baseou no estudo já realizado de tal forma a dar

continuidade e ainda explorar toda a implementação elaborada por Muller (2007).

DBD


Introdução 25

1.3.

Organização do Presente Trabalho

Inicialmente, neste capítulo introdutório faz-se uma breve descrição do

objeto de pesquisa, destacando sua pertinência e relevância e ainda colocando os

objetivos a serem alcançados. Os capítulos seguintes estão assim organizados:

O capítulo 2 apresenta uma revisão das formulações empregadas no estudo

de fluxo bifásico acoplado considerando as formulações de fluxo e de equilíbrio

mecânico para representação matemática do meio poroso.

No capítulo 3 são apresentados vários tratamentos numéricos das

formulações das equações governantes para os casos acoplados fluxo-deformação

em condição de fluxo bifásico apresentadas no capítulo 2. Partindo-se de uma

formulação em elementos finitos, em sequência uma formulação em volumes

finitos e por fim uma formulação em elementos finitos descontínuos para a

equação da saturação;

O capítulo 4 apresenta alguns exemplos utilizados para verificação das

formulações e implementações realizadas;

O capítulo 5 apresenta alguns comentários e conclusões das análises

realizadas bem como propostas para trabalhos futuros.

DBD


2.

Formulações Matemáticas para Simulação de Fluxo

Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos

2.1.


Neste capítulo apresenta-se uma breve revisão das formulações,

normalmente consideradas na simulação de fluxo em meios multifásico com

acoplamento mecânico. Abordam-se as principais hipóteses aplicadas à

modelagem de fluxo em meios porosos, em condições de fluxo multifásico,

partindo-se dos princípios da formulação de meio contínuo, a modelagem

matemática do fenômeno e as definições fundamentais para estabelecimento das

equações.

Na primeira parte é apresentada a formulação para estabelecimento da

equação do equilíbrio mecânico do meio, acompanhando o trabalho apresentado

por Muller (2007). Na segunda parte, são apresentadas as formulações de fluxo

bifásico na forma parabólica e na forma hiperbólica, e por fim, considerações

importantes sobre os modelos considerados para os fluidos e modelos

constitutivos considerados para o meio sólido são apresentados.

2.2.

Equação de equilíbrio

Apresentam-se nesta seção as equações que governam o comportamento

mecânico em meios porosos deformáveis considerando como válido o princípio

das tensões efetivas.

DBD


Formulações Matemáticas para Simulação

de Fluxo Bifásico e Bifásico-acoplado em Meios Porosos 27

A equação de equilíbrio é determinada utilizando-se o princípio dos

trabalhos virtuais para problemas quase estáticos que relaciona as velocidades das

grandezas estáticas reais, como a taxa da tensão total σ , a taxa das forças de corpo

b , e a taxa das forças de superfície t com as grandezas cinemáticas virtuais como

as deformações virtuais ε e os deslocamentos virtuais u sendo colocada na

seguinte forma:

0

ddd tubuσε TTT (2.1)

As taxas das tensões totais podem ser expressas em termos das taxas das

tensões efetivas, 'σ , e das velocidades das poro pressões, p , na forma:

p mσσ ' (2.2)

A descrição da relação constitutiva, em termos de taxas, incluindo diversos

fenômenos pode ser dada pela equação:

'00pcT

' σεεεεDσ (2.3)

Na equação (2.3), ε representa a taxa de deformação total do esqueleto, cε a

taxa das deformações devido à fluência (expressa por uma função de fluência c,

dependente do nível e da trajetória de tensões), pε a taxa das deformações

volumétricas (a qual considera a deformabilidade dos grãos), 0ε que representa

outras taxas de deformação, como as provocadas por fenômenos térmicos e

químicos e por fim '0σ que representa a taxa da tensão efetiva inicial. A matriz TD

é dependente do nível e da trajetória de tensões e vários modelos constitutivos

podem ser utilizados para defini-la.

Simplificando a equação (2.3), desprezando-se as parcelas cε , 0ε , tem-se:

'0TT

' σmDεDσ

sK

p

3 (2.4)

Sendo considerado que:

DBD




sK

p

3

mεp (2.5)

em que sK representa o módulo volumétrico dos grãos e que:

εεσDD 'TT

,, (2.6)

E ainda considerando a equação (2.2), a equação (2.4) pode ser escrita

como:

pK

p

s

mσmDεDσ '0TT

3

pK s

T

31

IDmεDσ T

(2.7)

Considerando que '0T

'' σεDσ representa a velocidade da tensão

responsável por toda deformação da fase sólida, a equação (2.7) pode ser expressa

como:

sK

p

3

mDεDσσ TT

'' (2.8)

Baseando-se na hipótese de linearidade geométrica pode-se descrever a

relação entre velocidades de deslocamentos e velocidades de deformações

infinitesimais na seguinte equação:

ijji uu ,,2

1 ijε (2.9)

Substituindo as considerações acima na equação (2.1) tem-se:

0

1

dd

dpddK

pds

tubu

mεσεmDεεDε

TT

T'0

TT

TT

T

(2.10)

DBD




2.3.

Análise de Fluxo Bifásico em Meios Porosos

Nessa seção são apresentadas as considerações para equacionamento do

problema de fluxo bifásico em meios porosos, é inicialmente apresentado o

equacionamento de fluxo multifásico em meios porosos de uma forma geral, em

sequência as formulações para fluxo bifásico. São inúmeros os livros textos

encontrados na literatura em que se podem encontrar essas formulações, até partes

não cobertas pela revisão que é a seguir apresentada. Os trabalhos de Aziz e

Settari (1959) e Peaceman (1977) servem muito bem para eventual esclarecimento

e ainda outras abordagens que nesse texto não são consideradas.

A revisão para montagem da formulação parabólica é basicamente a mesma

que é apresentada em Muller (2007) e Fridman (1996), para o equacionamento da

formulação hiperbólica seguiu-se o trabalho de Mendonça (2003) e o trabalho

clássico de Peaceman (1977).

2.3.1.

Equação do Balanço de Massa

Apresenta-se neste item a formulação geral das equações para o problema

hidro-mecânico com fluxo bifásico em um meio poroso deformável considerando

o fluxo de óleo e água. A seguir apresenta-se a formulação encontrada em Muller

(2007) e Fridman (1996), que por sua vez seguem a formulação de Lewis e

Schrefler (1998), e a apresentada em Peaceman (1977).

Em um meio poroso, o fluxo de fluido deve satisfazer a conservação de

massa de fluido. Para efetuar o balanço de massa de fluido, toma-se como volume

de controle um cubo elementar constituído de material poroso, Figura 2.1

DBD




Figura 2-1 Volume de controle para balanço de massa do fluido.

Tomando-se inicialmente o fluxo na direção dy através da face dxdz , tem-

se como fluxo de massa de fluido, dxdzqy 1 e dxdzqy 2

. Sendo e q

densidade do fluido e vazão, respectivamente. Considerando-se que yq seja

uma função contínua e diferenciável, pode-se escrever

dy

y

qqq y

yy

12 (2.11)

Dessa forma, o fluxo na direção y gera uma diminuição na massa de fluido

igual a:

dy

y

qqq y

yy

12 (2.12)

O balanço de massa de um fluido que atravessa um elemento de volume dv

= dxdydz é dado por:

dxdydzqdxdydzz

q

y

q

x

q Tzyx

(2.13)

Podendo-se então, representar o balanço de massa de fluido no meio poroso,

equação da continuidade, dado por:

DBD




dxdydzmt

dxdydzqT

(2.14)

Ou ainda, simplificadamente:

mmt

qT

(2.15)

em que m representa o incremento de massa de fluido numa parcela infinitesimal

do meio poroso por unidade de tempo.

Tomando-se a equação de Darcy para representar o fluxo de fluido, pode-se

de uma forma geral expressar a equação da continuidade por:

0

9

11

3

1

1

2

pKKK

B

SR

tBtS

t

S

BghpT

sss

f

sm

T

mDmDmm TT

TTT

(2.16)

Em que:

B

SR

B

S

B

kR

B

kT

sf

rs

rm

k

(2.17)

sendo k a matriz de permeabilidade intrínseca do meio poroso, p a poro pressão

como descrito em (2.2), a porosidade do meio, g a aceleração da gravidade, h

a carga de elevação, rk a permeabilidade relativa, a viscosidade dinâmica, S

o grau de saturação, B o fator de variação de volume, sR o fator de dissolução

de gás no líquido, todos referentes à fase e o operador diferencial,

zyx.

O fator de variação de volume B descreve a razão entre o volume da fase

medido nas condições de pressão em questão e o volume medido nas condições

padrão, dado por:

DBD




STCV

VB

.

O fator de dissolução de gás no líquido do sR relaciona o volume de gás

medido nas condições padrão, dissolvido nas condições de pressão padrão, dado

por:

STC

dgSTCs

V

VR

.

A parcela

t

S

B

descreve a velocidade de variação da saturação da fase

.

A parcela

B

SR

tBtS s1

representa a velocidade de variação

da densidade de fluido, também da fase .

A parcela εmT representa a velocidade de variação volumétrica do

esqueleto sólido.

A parcela

p

Kp

KK sss

1

9

1

3

12

mDmεDm TT

TT determina a velocidade

de variação do volume de grãos devido às tensões efetivas.

Na condição não saturada os vazios do esqueleto sólido são preenchidos

parcialmente por fluido molhante e parcialmente por fluido não-molhante sendo

1 wnw SS (2.18)

A equação geral de balanço de massa para fluxo bifásico, de acordo com a

equação 2.16 é dada por:

01

tB

S

BtS

t

S

BghpTm

T

(2.19)

em que:

DBD




B

kT r

m k (2.20)

2.3.2.

Formulação Parabólica

Dada a equação geral de balanço de massa, a formulação para fluxo bifásico

pode ser posta de diversas formas, seja em seu arranjo, seja nas variáveis

empregadas. Uma possível formulação é a que se segue, de acordo com Aziz e

Setari (1979), denominada de “parabólica”, e ainda a mesma apresentada por

Muller (2007) e Frydman (1996).

A equação de balanço de massa para ambos fluidos, água e óleo, é da forma:

01

tB

S

BtS

t

S

Bghp

B

k

nw

nw

nw

nwnw

nw

nwnw

nwnw

rnwT

k

(2.21)

01

tB

S

BtS

t

S

Bghp

B

k

w

w

w

ww

w

ww

ww

rwT

k (2.22)

Usando a definição de pressão capilar, wnwc ppp

, e considerando a

equação (2.18) podem ainda se obter diferentes formulações de acordo com as

variáveis selecionadas, quais sejam (pnw, Sw) ou (pw, Snw), como se segue:

Formulação (pnw, Sw):

01

tB

S

BtS

t

S

Bghpp

B

k

w

w

w

ww

w

wcnw

ww

rwT

k (2.23)

0

1

11

1

tB

S

BtS

t

S

Bghp

B

k

nw

w

nw

ww

nw

nwnw

nwnw

rnwT

k

(2.24)

Formulação (pw, Snw):

DBD




0

1

11

1

tB

S

BtS

t

S

Bghp

B

k

w

nw

w

nwnw

w

ww

ww

rwT

k

(2.25)

0

1

tB

S

BtS

t

S

Bghpp

B

k

nw

nw

nw

nwnw

nw

nwcw

nwnw

rnwT

k

(2.26)

Ainda assim, considerando incompressibilidade de fluidos e do meio sólido

a formulação (pnw, Sw) pode ser posta ainda da seguinte forma:

0

tS

t

Sghpp

kw

wwcnw

w

rwT

k (2.27)

011

tS

t

Sghp

kw

wnwnw

nw

rnwT

k (2.28)

2.3.3. Formulação Hiperbólica

Outra maneira de se formular as equações de fluxo bifásico é pela sua forma

hiperbólica, segundo Aziz e Setari (1959), utilizada em diversos trabalhos, como

por exemplo, em Peaceman (1977). Nessa forma é apresentada uma equação

referida como equação da pressão e outra como equação da saturação, como é

mostrado a seguir.

Equação da Pressão

Para obtenção da equação da pressão, considerando as equações para ambas

as fases, equações 2.29 e 2.30, são somadas para eliminação do termo referente a

derivada da saturação, na forma:

DBD




0

tS

t

Sghp

kw

www

w

rwT

k

+

011

tS

t

Sghp

kw

wnwnw

nw

rnwT

k

que resulta em:

(2.29)

0

tghghpp

knwwwnw

w

rwT

k (2.30)

Simplificadamente a equação 2.30 pode ser descrita em termos da

velocidade total de fluxo, tv , como:

0

tvt

T (2.31)

Em que:

nwwt vvv (2.32)

e wv é a velocidade da fase molhante definida como:

ghpk

v ww

w

rww

k

e nwv é a velocidade da fase não molhante definida como:

(2.33)

ghpk

v nwnw

w

rnwnw

k

Desta forma tem-se que:

(2.34)

gh

kgh

kp

kp

kv nw

w

rww

nw

rnwnw

nw

rnww

w

rwt

kkk (2.35)

Dado que wnwc ppp , derivando-se pode se ter:

DBD




wnwc ppp (2.36)

w

w

cnww s

ds

dppp (2.37)

E substituindo a equação 2.37 na equação 2.35 tem-se que:

ghk

ghk

pk

sds

dpp

kv

w

w

rwnw

nw

rnw

nw

nw

rnww

w

cnw

w

rwt

k

kk

(2.38)

Assim a equação da pressão é posta na seguinte forma:

0 ttT Qv (2.39)

0

t

w

w

rwnw

nw

rnw

nw

nw

rnww

w

cnw

w

rw

T Q

ghk

ghk

pk

sds

dpp

k

k

kk

(2.40)

em que t

Qt

.

Equação da Saturação

De acordo com Peaceman (1977), a equação da saturação pode ser obtida

através da combinação das equações 2.29 e 2.30, na forma:

0.

wwa

w SSvt

SD (2.41)

Sendo definidas as seguintes funções:

DBD




nw

rnw

w

rw

w

rw

w kk

k

f

(2.42)

w

c

nw

rnw

w

rw

nw

rnw

w

rw

wdS

dp

kk

kk

h

(2.43)

em que wf é a função de fluxo fracionário da fase molhante e wh é a função de

mobilidade da fase molhante e ainda:

kDdt

dph c

w (2.44)

e av na equação (2.41) é dado por:

GgkgkdS

dfv

GgkgkdS

dfv

v

vv

yyxxy

w

wy

yxyxx

w

wx

ay

ax

a (2.45)

2.4.

Resumo das Equações Gerais

Dadas as formulações apresentadas nas seções anteriores, o Quadro 2.1

apresenta um resumo das equações que serão utilizadas no Capítulo 3 para o

tratamento numérico.

Quadro 2.1 Resumo das Equações Governantes

Equação de equilíbrio

0

1

dd

dpddK

pds

tubu

mεσεmDεεDε

TT

T'0

TT

TT

T

Equação

(2.10.)

DBD




Formulação de Fluxo – Parabólico

01

tB

S

BtS

t

S

Bghp

B

k

nw

nw

nw

nwnw

nw

nwnw

nwnw

rnwT

k

0

1

11

1

tB

S

BtS

t

S

Bghp

B

k

nw

w

nw

ww

nw

nwnw

nwnw

rnwT

k

Equação

(2.23.) e

Equação

(2.24.)

Formulação de Fluxo – Hiperbólico

Equação da Pressão

0

t

nw

w

rww

nw

rnw

nw

nw

rnww

w

cnw

w

rw

T Q

ghk

ghk

pk

sds

dpp

k

k

kk

Equação da Saturação

0.

wwa

w SSvt

SD com

KDdt

dph c

w e

GgkgkdS

dfv

GgkgkdS

dfv

v

vv

yyxxy

w

wy

yxyxx

w

wx

ay

ax

a

Equação

(2.49),

Equação

(2.41.),

Equação

(2.44.) e

Equação

(2.45.)

2.5.

Definições para as Pressões de Fluidos

Para o acoplamento das equações de equilíbrio mecânico e as equações de

fluxo bifásico faz-se necessária a definição da taxa de poropressão de p, p .

DBD




Assim, adotando a mesma simbologia de Muller (2007) a taxa de poropressão, p ,

pode ser expressa da seguinte forma:

nwnwnwnwwwww pSpSpSpSp (2.46)

E com a definição de pressão capilar na seguinte forma:

wnwc ppp (2.47)

e escolhendo duas variáveis como primárias, no caso, pnw e Sw, a equação (2.46)

se torna:

cwcwnw pSpSpp (2.48)

Outra possibilidade de se obter a pressão de poro (p) é através da definição

de pressão média, como proposta em Geiger et al (2004) na seguinte forma:

2wnw pp

p

(2.49)

em que, a equação 2.47 ainda permanece válida.

2.5.1.

Classificação de Equações Diferenciais Parciais (EDP)

Como visto nas seções anteriores, o problema de fluxo bifásico em meios

porosos pode ser formulado em termos de equações diferenciais parciais postas

em dois tipos: parabólica e hiperbólica. A adoção desses nomes segue o trabalho

de Aziz e Setari (1959), entretanto essa nomenclatura não está associada à

classificação normalmente adotada em textos matemáticos, como será visto a

seguir.

Dada a equação diferencial parcial (EDP) de segunda ordem:

yxyyxyxx uuuyxFcubuau ,,,,2 (2.50)

de outra forma:

DBD




y

u

x

uuyxF

y

uc

yx

ub

x

ua ,,,,2

2

2

2

2

(2.51)

ou ainda:

02 feuducubuau yxyyxyxx (2.52)

diz-se que:

aHiperbólicEDP

ParabólicaEDP

ElipticaEDP

se

se

se

0

0

0

2

2

2

bac

bac

bac

Na física e engenharia defronta-se freqüentemente com esses tipos de

equações ao se modelar fenômenos importantes, como fluxo de fluidos, transporte

de contaminantes, fenômenos de condução de calor, entre outros. Alguns

exemplos:

EDP’s elípticas

Equação de Laplace 02 yyxx uuu

Equação de Poisson yxfuuu yyxx ,2

EDP parabólica

Equação de calor unidimensional xxt ucu 2

EDP hiperbólica

Equação de onda xxtt uu

Segundo Kreyszig (1993), a definição desses tipos de equações pode indicar

o possível comportamento da solução e o método de solução apropriado.

Ainda segundo Kreyszig (1993), na solução numérica dos três tipos de

equações quando se tem a substituição das derivadas por termos em diferenças, a

solução das EDP’s parabólicas e hiperbólicas não tem a garantia de convergência

DBD




da solução aproximada com o refinamento da discretização. Assim, deve-se ter

outros critérios, restrições para a adequada convergência e estabilidade da solução

aproximada.

Essa definição ainda pode se apresentar híbrida com a possibilidade de

variar de acordo com o espaço das variáveis independentes. Isso posto, embora as

formulações propostas nas seções anteriores sejam denominadas de parabólica e

hiperbólica, o comportamento dessas equações pode ser classificado ora como

parabólico, com solução mais suave, ou ora como hiperbólico com solução que

apresenta ondas de rarefação e/ou ondas de choque.

Para exemplificar esses dois tipos de comportamento, uma análise da

equação 2.43, equação da saturação, pode ser feita: quando não se considera a

pressão capilar no sistema de equações, a equação de saturação se torna do tipo

hiperbólica como se segue:

0

wa

w Svt

S (2.53)

ou ainda quando a parcela devido a pressão capilar é incluida, seu comportamento

é tido como parabólico:

0.

wwa

w SSvt

SD (2.54)

2.5.2.

Pós-processamento da Velocidade

O procedimento de solução adotado nesse trabalho segue um processo

iterativo em três blocos: solução da equação da pressão, obtenção da velocidade e

solução da equação da saturação até atingir a convergência das três variáveis.

Da equação 2.41 percebe-se a necessidade da obtenção dos componentes de

velocidade no passo intermediário, sendo que vários procedimentos são

apresentados na literatura.

DBD




Uma primeira aproximação é o cálculo da velocidade a partir da Lei de

Darcy na equação 2.38 aqui reapresentada:

gh

kgh

kp

kp

kv w

w

rwnw

nw

rnwnw

nw

rnww

w

rwt

kkk (2.55)

De outra forma, Alcoforado (2007) afirma que a aplicação da formulação do

método de Galerkin em conjunção com a lei de Darcy para problemas com

permeabilidade heterogênea gera campos de velocidades não conservativos (Mosé

et al.,1994) fazendo com que a lei de conservação de massa total não seja

obedecida no nível de cada elemento.

Mendonça (2003) utiliza-se da estratégia de pós-processamento global do

campo de velocidades apresentada por Malta et al (2000) baseada na formulação

variacional da lei de Darcy combinada com o resíduo da equação de balanço de

massa, como se segue:

0~

~

1

c

ettp

nel

e

nwnwwww

w

wnwttp

dQ

dSdS

dpp

vN

KgKKvN

(2.56)

em que tv~ é o vetor de velocidades pós-processadas e o parâmetro é dependente

da malha de elementos finitos e pode ser tomado como he/2, onde he é o tamanho

característico do elemento dado por he 2A, sendo A a área do elemento.

Com a utilização desta técnica de pós-processamento do campo de

velocidades as variáveis do problema, pressão, velocidade e saturação, são

aproximadas por interpolações Lagrangianas de mesma ordem (Mendonça, 2003).

De outra forma, Alcoforado (2007), Correa (2006) e Ribeiro (1996)

apresentam a interpolação do campo de velocidades através das aproximações no

espaço de Raviart-Thomas de mais baixa ordem, RT0, introduzidas pela

representação das velocidades nas arestas dos elementos e possibilitando a

descontinuidade da velocidade na direção tangencial das arestas.

DBD




Como exemplos, são mostrados na figura 2-2 os elementos triangular e

quadrático e as funções de interpolação de RT0.

Figura 2-2 Elementos triangular e quadrilateral de RT0.

Como mostrado na figura 2-2 as funções de aproximação de RT0 para

elementos triangulares e quadrilaterais são da forma:

1

1w para elementos triangulares

4

10

4

10

04

10

4

1

w para elementos quadrilaterais

Outros tipos de elementos, as funções de RT0 podem ser encontradas em

Hoteit et al (2008).

O espaço de aproximação de RT0 é composto de três espaços de

aproximação distintos: uma pressão média em todo o elemento; uma pressão

média em cada face do elemento, e a variável vetorial (fluxo) no elemento como

interpolação de fluxo nas arestas de acordo com a função de forma.

facesn

jjj

o

v1

wv (2.57)

1

1 w2=(,)

1

1

0

w1=(,-1)

w3=(-1,)

-1

-1

w1=((+1)/4,0)

w2=(0, (+1)/4)

w4=(0, (-1)/4)

w1=((-1)/4,0)

DBD




Como propriedades das funções de aproximações de RT0 tem-se que jw.

é constante no elemento e que

1. jw . O trabalho de Chavent et al (1991)

serve como uma boa base para compreensão dos elementos de RT.

Para que essas propriedades sejam válidas para um elemento qualquer é

necessário considerar a transformação de Piola na forma:

jj wPΦ . (2.58)

em que P é a matriz de transformação de Piola dada por:

J

JP

det (2.59)

e J é a matriz jacobiana do elemento e detJ o determinante da matriz jacobiana.

2.5.3.

Determinação da Porosidade

Além das principais variáveis envolvidas no acoplamento de fluxo bifásico

e mecânico (deslocamentos e poropressões), outra propriedade de extrema

importância existente nesses dois comportamentos é a porosidade, e a forma de

sua determinação é um ponto que deve ser considerado.

Em formulações clássicas de simulação de reservatórios de petróleo, Settari

(1989) e Tortike e Farouq (1989), apud Pao et al (2001), de maneira desacoplada,

apresentam uma relação que é comumente adotada para a avaliação da

porosidade, dada por:

pdcd p (2.60)

em que d é a variação da porosidade com a variação de pressão pd e cp é

comumente conhecido com compressibilidade do poro, Pao et al. (2001).

DBD




Entretanto, Pao et al (2001) colocam esta relação em dúvida por estabelecer

um relação linear para a variação da porosidade; experimentos tem mostrado

comportamento contrário a essa relação, Havmoller, apud Pao et al (2001).

Pao et al (2001) propõem a seguinte equação matemática demonstrada

utilizando a nomenclatura de Lewis e Schrefler (1998), na qual se baseou o

trabalho de Muller (2007):

pdK

K

Kpd

Kd

KKd

mmmm

2

111

11 (2.61)

Em que K e Km são os módulos de deformabilidade do meio e da matriz

porosa, respectivamente. Ainda de uma forma mais geral a equação 2.61 pode ser

posta na seguinte forma:

mm

T

m

TT

K

dp

K

dp

Kd

293mDm

εDmεm TT (2.62)

2.5.4.

Relações Constitutivas para Permeabilidade

No modelo físico considerado para as definições das equações governantes

anteriores, cada constituinte i (i = s, fw, fnw), sólido, fluido molhante e fluido não

molhante, tem uma densidade obtida com sua respectiva fração volumétrica i=

Vi/V onde Vi = volume do constituinte i, sendo:

i

i 1 (2.63)

A densidade (média) i é definida como:

iV

iV

ii dVtmV

dVtmV

),(1

),(1

xx (2.64)

e ainda que:

s 1 e s é a fração volumétrica de sólido. (2.65)

DBD




Da mesma forma que são definidas frações volumétricas das fases pode-se

definir a fração de volume de poros, quando o meio sólido é considerado, na

forma: v= Vv/V, sendo Vv o volume não ocupado por meio sólido.

Quando os vazios do meio poroso estão preenchidos por dois ou mais

fluidos imiscíveis, o conceito de saturação é definido, como sendo a fração do

volume poroso ocupada por uma determinada fase.

Colocando a equação 2.63 de outra forma, e considerando fluxo bifásico,

temos para saturação, que:

nwwi

iS,

1, (2.66)

em que Sw e Snw são as saturações de fluido molhante e não-molhante,

respectivamente. Ainda assim, pode ser considerado que determinada fase possa

atingir seu menor valor possível, caracterizado como saturação residual, sendo

representada por nwwiSri , .

É comum para análise de escoamento bifásico, a definição de saturação

efetiva como:

rnwrw

rwwe

SS

SSS

1, (2.67)

em que Se é a saturação efetiva, Sw é a saturação da fase molhante, Srw é a

saturação residual da fase molhante e Srnw é a saturação residual da fase não-

molhante, e ainda:

rnwwrw SSS 1 . (2.68)

A lei de Darcy generalizada é utilizada para o fluxo multifásico que

relaciona a velocidade média de cada fase ao gradiente, à permeabilidade e à

viscosidade correspondente da pressão. Assim, a velocidade média para a fase π é:

g.Κ

ννν rr

pS . (2.69)

DBD




em que g é o vetor aceleração gravitacional, pπ, μπ, vrπ e Kπ são respectivamente

pressão, viscosidade dinâmica, velocidade real, e permeabilidade intrínseca π.

Também, Kπ é relacionado à permeabilidade intrínseca K e à permeabilidade

relativa krπ por:

ΚΚ rk . (2.70)

Por ser uma característica intrínseca do meio alguns autores empregam

formulações de variação da permeabilidade absoluta como dependente da

porosidade como, por exemplo, a relação Carman-Kozeni, isto é:

2

3

0)1(

ΚΚ (2.71)

em que K0 pode ser tomada em eixos de permeabilidade principal tais como em

duas dimensões, por exemplo:

0

0

0 0

0

y

x

k

kΚ (2.72)

com kx0 e kyo sendo as permeabilidades intrínsecas iniciais nas direções x e y,

respectivamente.

O tensor de permeabilidade absoluta K0 definido na Equação (2.72) mede a

habilidade do meio em permitir o escoamento de fluidos através de seus poros.

Portanto o tensor de permeabilidade absoluta é uma característica intrínseca do

meio.

Outra possibilidade apresentada em Guimarães (2002) é uma aproximação

exponencial da forma:

]exp[ΚΚ 00 b (2.73)

A permeabilidade relativa tem sido considerada através de curvas obtidas

em laboratório através de ensaios realizados sobre amostras do meio poroso,

sendo expressas por funções não-lineares da saturação da fase molhante sw.

Assim, vários autores apresentam diferentes formas de modelar as curvas de

permeabilidade relativas.

DBD




Um modelo bem mais simples, muito comum em engenharia de petróleo

para representar as permeabilidades relativas das fases molhantes e não-molhantes

respectivamente, é dado por:

2wrw Sk e

21 wrn Sk .

(2.74)

Outro modelo dado por expressões semi-empíricas é apresentado por

Brooks e Corey (1964), na forma:

]/)32[( erw Sk . (2.75)

E a permeabilidade relativa da fase não molhante é descrita pela equação:

]/)2[(211 eernw SSk . (2.76)

em que é um parâmetro de acordo com o tipo de material, relacionado ao

tamanho dos grãos sólidos.

A figura 2-3 apresenta a representação das curvas de permeabilidades

relativas molhante e não molhante e a curva de pressão capilar por em função da

saturação.

Figura 2.3 Curvas de permeabilidade relativa e de pressão capilar (Modelo de Brooks e Corey).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Sw

Krw

/Krn

w

krw

krnw

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

4

Sw

Pc

(Sw

)

Pc(Sw)

DBD


3.

Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e Bifásico-

acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos

3.1.


Neste capítulo apresenta-se uma breve revisão das formulações numéricas

normalmente consideradas na simulação de fluxo multifásico em meios porosos,

partindo-se dos princípios da formulação de meio contínuo, a modelagem

matemática do fenômeno, e o tratamento utilizando métodos numéricos,

Primeiramente, parte-se de uma formulação numérica para fluxo bifásico

desacoplado, fluxo bifásico acoplado, empregando-se o método de MEF, chamado

de clássico ou de Galerkin, acompanhando o trabalho apresentado por Muller

(2007) para o caso de formulação das equações do tipo parabólica. Em seguida é

apresentada uma formulação utilizando o métodos dos volumes finitos MVF

proposto por Geiger et al (2004) e por fim uma formulação para a equação da

saturação empregando métodos dos elementos finitos descontínuos MEFD como

proposto em Hoteit et al (2008), em ambos os casos, para formulação das

equações do tipo hiperbólica.

Os diferentes métodos de discretização das equações governantes do

problema pode levar a diversas instabilidades, numéricas e efeitos difusivos, na

solução das equações, Helmig (1997). Assim este trabalho buscou avaliar alguns

métodos que se propõem a estabilização das soluções, entre eles o método de

MVF proposto por Geiger et al (2004) e o MEFD proposto por Hoteit et al (2008)

para a captura de frente de saturação e aplicabilidade a meios porosos

heterogêneos.

Ao final desse capítulo é apresentado o tratamento numérico do problema de

análise não linear global com os procedimentos iterativos de solução para os

DBD


Formulações para Simulação de Fluxo Bifásico e

Bifásico-acoplado em Meios Porosos via Métodos Numéricos 50

problemas de fluxo bifásico e fluxo bifásico acoplado, bem como a análise não

linear local do problema de plasticidade posto em forma de programação

matemática.

3.2.

Formulações Numéricas das Equações Governantes

A aplicação de métodos numéricos a problemas de fluxo tem sido

intensivamente estudada, existindo diversos métodos de aproximação. Com ênfase

no método dos elementos finitos, nas suas diversas variações, um trabalho bem

completo pode ser encontrado em Donea e Huerta (2003). Na seção seguinte

apresenta-se uma formulação via elementos finitos, referido como método de

Galerkin.

3.2.1.

Formulação em Elementos Finitos – Método de Galerkin

As equações na forma parabólica, equações 2.25 e 2.26, como descrito em

Muller (2007), podem ser escritas via elementos finitos na forma:

0

1

d

ghdB

kd

B

k

dBtt

dB

nwTp

nwp

nwnw

rnwT

pnwp

nwnw

rnwT

p

w

nw

Tp

w

nw

Tp

qN

NkNpNkN

SNS

N

(3.1)

0

1

dghdB

k

dB

kd

B

k

dBtt

dB

wTpnwp

ww

rwTTp

cp

ww

rwT

pnwp

ww

rwT

p

w

w

Tp

w

nw

Tp

qNNkN

pNkNpNkN

SNS

N

(3.2)

DBD




Na implementação das equações 3.1 e 3.2 foi considerado a mesma

interpolação para a poropressão e a saturação, seguindo o trabalho de Muller

(2007).

Discretização no tempo:

Para discretização no tempo utiliza-se o método trapezoidal generalizado na

forma:

qqq ttt 1

em que wnw Spq , são as variáveis primárias a serem determinadas a cada

passo de tempo.

Para montagem do sistema de equações são considerados os seguintes

termos:

i

nwp

nwnw

rnwT

p

wp

nw

Tp

wp

nw

Tp

nwp

nwnw

rnwT

pnwTp

tt

ip

tt

dB

k

dBtt

dB

ghdB

kd

Fnw

pNkN

SNNS

NN

NkNqN

1 (3.3)

i

cp

ww

rwT

pnwp

ww

rwT

p

wp

w

Tp

w

nw

Tp

nwp

ww

rwT

pwTp

tt

iS

tt

dB

kd

B

k

dBtt

dB

ghdB

kd

Fw

pNkNpNkN

SNNS

N

NkNqN

1 (3.4)

Podendo-se definir o vetor de resíduos como:

qRitt sendo

t

t

wnwiS

tt

wnwip

tt

w

nw

,,

,,

SpF

SpFq (3.5)

em que:

DBD




0111

iw

tt

ttw

pinw

tt

ttnw

pip

ttip

tt S

iwS

nw

inw

nw

nwnw

S

Fp

p

FFF

p

(3.6)

0111

iw

tt

ttw

Sinw

tt

ttnw

SiS

ttiS

tt S

iwS

w

inw

w

ww

S

Fp

p

FFF

p

(3.7)

As equações 3.6 e 3.7, na forma matricial, se tornam:

itt

itt

iw

tt

inw

tt

ttw

S

ttnw

S

ttw

p

ttnw

p

w

nw

iwS

w

inw

w

iwS

nw

inw

nw

S

p

1

1

F

F

S

p

S

F

p

F

S

F

p

F

p

p

(3.8)

iw

ttiw

ttiw

tt

ittittinw

tt

SSS

ppp

11

11

(3.9)

Assim, o problema final de fluxo bifásico pode ser assim posto:

tt

tt

tt

tt

wnwiS

tttt

wnwipnw

tttt

inw

tt

inw

tt

www

nwnwnw

w,,

,,1

1

SpF

SpF

S

p

MOH

MOH

(3.10)

em que:

dB

kp

w

rwpw NkNΗ

T (3.11)

dB

kp

nw

rnwpnw NkNΗ

T (3.12)

dB

p

w

Tpw NNO

(3.13)

dB

p

nw

Tpnw NNO

(3.14)

dBt

p

w

Tpw NNM

1 (3.15)

DBD




dBt

p

nw

Tpnw NNM

1 (3.16)

Nas equações de 3.11 a 3.16, wΗ , nwΗ , são as matrizes de fluxo para fase

molhante e não-molhante, respectivamente, wO , nwO , são as matrizes de

armazenamento para fase molhante e não-molhante, respectivamente, wM , nwM

são as matrizes devido a compressibilidade da fase molhante e não-molhante,

respectivamente.

Formulação fluxo bifásico acoplado

Ainda seguindo o procedimento apresentado por Muller (2007), a equação

para o fluxo da fase não-molhante sob formulação de elementos finitos é descrita

pela equação (3.17), as inserções dos termos referentes ao acoplamento mecânico

aqui não são descritas, mas podem ser encontrados em Muller (2007), Fridman

(1996) entre outros:

0

9

11

9

11

3

1

9

111

1

2

2

2

d

ghdB

kd

B

k

dt

dd

KKB

S

dt

dd

B

S

KKp

dt

dd

KB

S

dt

dd

B

S

KKS

dBtt

dB

nwTp

nwp

nwnw

rnwT

pnwp

nwnw

rnwT

p

nwp

ssnw

nwTp

wp

nw

nw

ss

cTp

snw

nwTu

cp

nw

nw

ss

nwTp

w

nw

Tp

w

nw

Tp

qN

NkNpNkN

pNmDmN

SNmDmN

uBDmmN

pNmDmN

SNS

N

TT

TT

TTT

TT

(3.17)

DBD




A equação para saturação da fase molhante é obtida de maneira análoga,

sendo descrita por:

0

9

111

1

9

11

3

11

9

111

1

2

2

2

dghdB

k

dB

kd

B

k

dt

dd

KKB

S

dt

dd

B

S

KKp

dt

dd

KB

S

dt

dd

B

S

KKS

dBtt

dB

wTpnwp

ww

rwTTp

cp

ww

rwT

pnwp

ww

rwT

p

nwp

ssw

nwTp

wp

w

nw

ss

cTp

snw

nwTu

cp

w

w

ss

nwTp

w

w

Tp

w

nw

Tp

qNNkN

pNkNpNkN

pNmDmN

SNmDmN

uBDmmN

pNmDmN

SNS

N

TT

TT

TTT

TT

(3.18)

De acordo com Brooks e Hughes (1982), para que possíveis oscilações não

ocorram pode-se empregar métodos que utilizam uma formulação estabilizada.

Muller (2007) considera o refinamento da malha de elementos finitos ou o

controle dos incrementos de tempo suficientes.

Para estabilização da solução, geralmente utiliza-se métodos da família

Petrov-Galerkin, como, por exemplo, o método SUPG (Streamline

Upwind/Petrov-Galerkin), apresentado numa série de trabalhos publicados por

Hughes e outros, Hughes et al (1986a, b) e Hughes et al (1987), sendo uma das

aplicações do método encontrada em Campos (1999).

Discretização no tempo:

Para discretização no tempo utiliza-se o método trapezoidal generalizado na

forma:

qqq tttt 1

DBD




em que wnw Spq , são as variáveis primárias a serem determinadas a cada

passo de tempo.

Para montagem do sistema de equações considera-se os seguintes termos:

i

cp

s

nw

wp

s

c

nwp

s

Tu

Tu

tt

iu

tt

td

KS

td

Kp

td

Ktd

dt

ddt

dd

dt

d

F

pN

mDmB

SN

mDmB

pN

mDmB

uBDB

Bt

Nb

N

31

3

3

TT

TT

TT

TT

'0T

(3.19)

i

nwp

nwnw

rnwT

p

nwp

ssnw

nwTp

wp

nw

nw

ss

cTp

snw

nwTu

cp

nw

nw

ss

nwTp

wp

nw

Tp

wp

nw

Tp

nwp

nwnw

rnwT

pnwTp

tt

ip

tt

dB

k

td

KKB

S

td

B

S

KKp

td

KB

S

td

B

S

KKS

dBtt

dB

ghdB

kd

Fnw

pNkN

pNmDmN

SNmDmN

uBDmmN

pNmDmN

SNNS

NN

NkNqN

TT

TT

TTT

TT

2

2

2

9

11

9

11

3

1

9

111

1

(3.20)

DBD




i

cp

ww

rwT

p

nwp

ww

rwT

p

nwp

ssw

nwTp

wp

w

nw

ss

cTp

snw

nwTu

cp

w

w

ss

nwTp

wp

w

Tp

w

nw

Tp

nwp

ww

rwT

pwTp

tt

iS

tt

dB

k

dB

k

td

KKB

S

td

B

S

KKp

dt

dd

KB

S

td

B

S

KKS

dBtt

dB

ghdB

kd

Fw

pNkN

pNkN

pNmDmN

SNmDmN

uBDmmN

pNmDmN

SNNS

N

NkNqN

TT

TT

TTT

TT

2

2

2

9

111

1

9

11

3

11

9

111

1

(3.21)

Podendo-se definir o vetor de resíduos como:

qRitt sendo

t

t

t

wnwiS

tt

wnwip

tt

wnwiu

tt

w

nw

,,,

,,,

,,,

SpuF

SpuF

SpuF

q (3.22)

em que:

01

111

iw

tt

ttw

u

inw

tt

ttnw

uitt

tt

uiu

ttiu

tt

S

iwS

inw

i

S

F

pp

Fu

u

FFF

pu

(3.23)

01

111

iw

tt

ttw

p

inw

tt

ttnw

pitt

tt

pip

ttip

tt

S

iwS

nw

inw

nw

i

nw

nwnw

S

F

pp

Fu

u

FFF

pu

(3.24)

DBD




01

111

iw

tt

ttw

S

inw

tt

ttnw

Sitt

tt

SiS

ttiS

tt

S

iwS

w

inw

w

i

w

ww

S

F

pp

Fu

u

FFF

pu

(3.25)

As equações 3.24 e 3.25, na forma matricial, se tornam:

itt

itt

iu

tt

iw

tt

inw

tt

itt

ttw

S

ttnw

S

tt

S

ttw

p

ttnw

p

tt

p

ttw

u

ttnw

u

tt

u

w

nw

iwS

w

inw

w

i

w

iwS

nw

inw

nw

i

nw

iwSi

nwi

S

p

1

1

1

F

F

F

S

p

u

S

F

p

F

u

F

S

F

p

F

u

F

S

F

p

F

u

F

pu

pu

pu

(3.26)

em que:

iw

ttiw

ttiw

tt

ittittinw

tt

ittittitt

SSS

ppp

uuu

11

11

11

(3.27)

Assim, o problema final de fluxo bifásico acoplado pode ser assim posto:

tt

tt

tt

tt

tt

iw

tt

ip

tt

iu

tt

inw

tt

inw

tt

itt

wwwwww

nwnwnwnwnwnw

c

nw

,,

,,

,,

1

1

1

puS

puF

puF

S

p

u

PMOHGL

PMOHGL

LLK

(3.28)

em que:

dBDBK TT (3.29)

dK

d p

s

p Nm

DBmNBL TT

3T (3.30)

DBD




d

Kp p

s

cc Nm

DmBL T3

T (3.31)

d

KB

S

s

TT

nw

nwTunw B

mDmBNL T

3T (3.32)

d

KB

S

s

TT

w

nwTuw B

mDmBNL T

3

1 T (3.33)

dB

kp

w

rwpw NkNΗ

T (3.34)

dB

kp

nw

rnwpnw NkNΗ

T

(3.35)

dKKB

Sp

ssw

nwTpw NmDmNG T

T

29

111 (3.36)

dKKB

Sp

ssnw

nwTpnw NmDmNG T

T

29

11 (3.37)

dB

p

w

Tpw NNO

(3.38)

dB

p

nw

Tpnw NNO

(3.39)

dBt

p

w

Tpw NNM

1 (3.40)

dBt

p

nw

Tpnw NNM

1 (3.41)

dB

S

KKp p

w

nw

ss

cTpw NmDmNP

1

9

11T

T

2

(3.42)

DBD




dB

S

KKp p

w

nw

ss

cTpnw NmDmNP T

T

29

11 (3.43)

Nas equações de 3.28 a 3.43, wΗ , nwΗ , são as matrizes de fluxo para fase

molhante e não-molhante, respectivamente, wO , nwO , são as matrizes de

armazenamento para fase molhante e não-molhante, respectivamente, wM , nwM

são as matrizes devido a compressibilidade da fase molhante e não-molhante,

respectivamente, L , cL , nwL e nwL são as matrizes de acoplamento com o

problema mecânico.

3.2.2. Formulação em Volumes Finitos Baseado em Elementos

Finitos

Nessa seção apresenta-se uma formulação em volumes finitos baseada em

elementos finitos descrita por Geiger et al (2004a) e Geiger et al (2004b). Nesta

formulação utiliza-se a equação do problema em sua forma hiperbólica, com uma

equação chamada de equação da pressão, o pós-processamento da velocidade e

uma equação da saturação.

Figura 3-1: Formas possíveis de montagem do volume de controle, a) baseado na célula, b)

baseado na célula e vértice e c) baseado no vértice. (extraído de Carvalho, 2005)

A figura 3.1 apresenta três formas distintas de formação do volume de

controle que podem ser usadas no MVF. A presente formulação é baseada na qual

o volume de controle é construído sobre uma malha de elementos finitos, com o

volume de controle baseado no vértice para malhas não-estruturadas. Assim, um

passo anterior na solução via MVF é a construção das estruturas geométricas

como áreas das arestas e vetores normais às arestas.

DBD




Geiger et al (2004a, b) partem da equação proposta por Durlofsky (1993) já

com a parcela do acoplamento geomecânico na equação da pressão, apresentada a

seguir:

Equação da pressão:

tnnwwcwntt Qppt

pc

KgK

2

1 (3.44)

sendo as diversas variáveis já descritas anteriormente e uma mais: a parcela ct, que

corresponde a parcela de compressibilidade do meio.

Ainda assim, tem-se a equação da velocidade pós-processada utilizando a

Lei de Darcy em condição de fluxo bifásico:

wwnwnw

w

wtt pdS

dp KgKKv

2

1c

(3.45)

Esses autores colocam a equação da saturação na seguinte forma:

wcwnwwnwnwtww Qpfft

S

KKgv (3.46)

O tratamento numérico das equações da pressão e saturação, equações 3.44

e 3.46, é realizado utilizando o MEF para a equação da pressão e o MVF é

aplicado à equação da saturação, como é mostrado a seguir:

Integrando-se a equação (3.44) no volume do elemento, chega-se a:

dQdpdpd

t

pc tcwnwtt KK

2

1 (3.47)

empregando-se a seguinte interpolação polinomial que define a pressão no interior

do elemento em função dos pontos nodais *p :

*pNp p (3.48)

a equação da pressão em elementos finitos pode ser colocada como:

DBD




0

**

d

ddddt

dc

Tp

Pwwnwnwpt

T

ppTpt

qN

gNkpNNp

NN (3.49)

Ou ainda, na forma residual:

i

pt

T

ppTpt

PwwnwnwTp

tt

ip

tt

dt

dc

dd

F

pNN

pNN

gNkqN

(3.50)

Esta equação pode ser representada, usando pressão incremental, em uma

forma compacta como:

ttt ip

ttitt ,1 pFpGH (3.51)

e

dptp NNΗ T (3.52)

dc ptTp NNG (3.53)

H e G são as matrizes de permeabilidade e compressibilidade,

respectivamente.

De forma similar a equação da pressão, integrando-se a equação (3.46) no

volume do elemento, chega-se a:

i

iiii

V

w

V

t

V

ct

V

tw

V

w

dVq

dVzgdVkpdVfdVt

S v

(3.54)

e empregando uma discretização temporal explícita, tem-se:

DBD




ei

si

sisi

e

eewe

ii

n

jjtj

ii

n

jjctj

ii

n

jjtjwj

ii

twi

ttwi

AqA

t

zgA

t

pA

tf

A

tSS

1

1

11

nk

nknv

(3.55)

Dada a característica parabólica-hiperbólica da equação da saturação, um

método de captura da frente de saturação deve ser empregado. Um método

bastante empregado é o método de primeira ordem, chamado de esquema upwind.

Outro método proposto por Geiger et al (2004a, b) é a utilização da

aproximação de segunda ordem que melhora a captura da frente de saturação.

Esse método se baseia na interpolação dos valores das saturações nas arestas do

volume de controle construído sobre a malha de elementos finitos através da

utilização dos gradientes nesses pontos, assim:

kll

kl baM

2

1

k=1,2 (3.56)

em que:

in

jiljlikjkkl xxxxM

1

(3.57)

in

jikjkwiwjk xxSSb

1

(3.58)

Sendo então calculada uma nova saturação a partir do vetor a e da

localização do ponto médio da aresta.

iwiwi SS xxax ~

(3.59)

Da implementação desses esquemas ainda podem surgir uma difusão

numérica excessiva da frente de saturação e oscilações numéricas que podem

levar a instabilização do sistema. Uma técnica comumente empregada como

alternativa mais eficaz é a utilização de limitadores de inclinação para

interpolação do campo de saturação, surgindo outro campo interpolado:

DBD




iiwiwi SS xxax (3.60)

em que o parâmetro i é obtido por:

1,min ij r (3.61)

sendo

wiwj

wiwjwiwjwiwi

wiwjwiwjwiwi

i

SSse

SSseSSSS

SSseSSSS

r

1

/

/min

max

(3.62)

e

)(min,min

,...1

minwj

njwiwi SSS

i

)(max,max

,...1

maxwj

njwiwi SSS

i

(3.63)

Observando a equação 3.60 quando i se anula, tem-se o esquema upwind

de primeira ordem.

3.2.3.

Formulação em Elementos Finitos Descontínuos

Atualmente um método que tem sido utilizado intensivamente para a

solução de problemas de mecânica dos fluidos computacional, em especial no

caso de equações hiperbólicas, é o método dos elementos finitos descontínuos (Li

(2006), Rivière (2008), Kanschat (2007), Hoteit et al (2008) e outros).

Segundo Hoteit et al (2008), o MEFD possui como importantes

características a conservação de massa a nível de elemento, flexibilidade para

geometrias complexas com aproximações de alta ordem, além do que, apresenta

menos dispersão numérica e é livre de oscilações espúrias quando um adequado

limitador de inclinação é utilizado.

O MEFD possui a vantagem de se poder utilizar a mesma divisão de

domínio do MEF clássico podendo ser utilizadas as mesmas funções de

DBD




interpolação, incorporando formulações do MVF nos fluxos nas arestas. Pode-se

demonstrar a equivalência de MEFD e MVF quando as funções de interpolação

são equivalentes.

A seguir apresenta-se uma formulação proposta por Hoteit et al (2008) para

solução da equação da saturação em MEFD com a utilização de uma discretização

temporal explícita de Runge-Kutta de segunda ordem e limitadores de inclinação

para evitar oscilações espúrias na solução do sistema. Para solução da equação da

pressão e da velocidade, Hoteit et al utilizam uma formulação mista em elementos

finitos.

Considerando a equação da saturação com pressão capilar nula, equação

2.41, aplicando MEF e o teorema da divergência tem-se:

0

ee

dSSwdVwSt

Sw jnvv

(3.64)

Em que, consistentemente os fluxos numéricos, Sv , devem ser dados

por:

SSS u Cvv (3.65)

em que:

SSS 5.0

nn SSS

(3.66)

Os símbolos (+) e (-) designam cada face do elemento, sendo (+) no

exterior do elemento e (-) no interior do elemento, e mais n e n para os vetores

normais nesses dois sentidos. A figura 3.2 apresenta uma representação

esquemática dos vetores normais a uma dada aresta por elemento.

DBD




Figura 3.2 – Representação esquemática dos vetores normais, ��, e os vetores normais interior e

exterior ao elemento ��. (extraído de Li, 2006)

Escolhendo InvC 5.0u , o fluxo numérico, Sv , é calculado pelo

esquema clássico de upwind, adotado também em Hoteit et al, e colocado na

seguinte forma:

SSS nvvv 5.0 (3.67)

Considerando ainda a seguinte aproximação:

eN

iiiSS

1

(3.68)

em que eN é o número de nós do elemento e i é a função de forma associada ao

nó i, tem-se a seguinte formulação em elementos finitos descontínuos, adotando-

se Sw como variável primária:

01

,1,1

,

s

s

s N

iiNwBw

N

iiB

w

dt

dSNSKK

SM (3.69)

M é a matriz de massa, K é a integral de volume, iB ,K e 1,BN representam a

contribuição do contorno associado ao elemento, wS é o vetor de incógnitas para

o elemento, sN é o número de lados do elemento e iNw

s ,S é o vetor de incógnitas

associado aos elementos vizinhos.

De outra forma a equação acima pode ser reescrita como se segue:

DBD




s

s

s N

iiNwBw

N

iiB

w

dt

d

1,1,

1,

1 SNSKKMS

(3.70)

ou

ww L

dt

dS

S (3.71)

Para obtenção de uma solução temporal, pode ser aplicada uma

discretização explícita da forma:

w

t

w

tt

w tL SSS

(3.72)

ou ainda o método de discretização temporal de Runge-Kutta (RK) de segunda

ordem, como se segue:

t

wL Sk 1 (3.73)

12

2

1kSk tL

t

w (3.74)

Após a obtenção do campo de saturação ao final da segunda ordem da

discretização de RK é aplicado o operador de limitador de inclinação na forma:

tt

w

tt

w L

SS~

(3.75)

Em que o L é o operador proposto por Chavent et al (1986):

vwiw

ew

n

ii

v

ewW

niSWS

SWn

asujeito

ii

v

,...,1

1

min

max,,min,

,1

,SW

(3.76)

Definindo-se as seguintes variáveis:

e

ewew Se

S ,,

1 ew

Tew SS

i,min, min

ew

Tew SS

i,max, max

(3.77)

DBD




tt SW~

(3.78)

e ainda: nv é o número de nós por elemento Ti é o conjunto de elementos que

compartilham o nó i do elemento e.

3.3.

Análise Não-Linear Local

A solução do problema de análise não-linear local, problema da

plasticidade, pode ser por posto em duas formas equivalentes: resolvendo-se a

equação de equilíbrio ou postulando o problema em forma de programação

matemática (Vaz, 2011). Dessa forma, apresentam-se nessa seção alguns

conceitos para o entendimento da análise não linear local, em que o problema de

análise elastoplástica nesse trabalho é apresentado como um problema de

programação matemática partindo do princípio da máxima dissipação plástica

(PMPD), bem como são apresentados os modelos constitutivos adotados nesse

trabalho (modelo de Mohr Coulomb e modelo de von Mises).

3.3.1.

Princípio da máxima dissipação plástica

Como descrito em Muller (2007), o princípio da máxima dissipação

plástica é a base da formulação matemática das leis de evolução da teoria da

plasticidade e está fundamentada na hipótese de que a deformação plástica se dá

de modo que a energia dissipada seja máxima.

A descrição matemática do PMDP parte do conceito de energia de

dissipação plástica, dado como sendo a taxa de variação da energia interna em

relação às variáveis plásticas com o sinal trocado.

a

aε

εaaεεε

pp

p

eppp WW

D ),,,,( (3.79)

DBD




em que a é o vetor das variáveis internas, a é a taxa de variação das variáveis

internas, p , é a taxa de deformação plástica , eW , é a energia de deformação

elástica e pW , é a energia de deformação plástica.

As deformações totais e trabalho total podem ser representados como:

pe WWW e pe εεε (3.80)

Sendo eee WW ε e a parcela plástica app WW , função somente das

variáveis internas, a equação 3.78 pode ser reescrita como:

aεεaε ppepee WWWWW (3.81)

Substituindo 3.81 em 3.79, tem-se:

a

aε

ε

εεaaεεε

pp

p

peppp WW

D ),,,,( (3.82)

Dado que

p

e

e

p

p

pe

e

pe WWW

εε

ε

ε

εε

ε

εεσ

, a dissipação

plástica pode ser rescrita como

aa

εσaaεεε

ppppp W

D ),,,,( (3.83)

Definida a dissipação plástica do sistema pode-se formular o problema na

forma de programação matemática para aplicação dos métodos normalmente

utilizados para solução dos problemas de otimização, assim o PMDP é posto na

seguinte forma:

),(: aσpDMinimizar

0),(: aσFsujeito

(3.84)

em que ),( aσF representa a função de escoamento, como será visto mais a frente.

O problema de minimização com restrições pode ser escrito como um

problema sem restrições introduzindo-se os multiplicadores de Lagrange. A

função de Lagrange correspondente ao problema é:

DBD




),(),,,,( **

*

*** aσaa

εσaεaσ FW

Lp

pp

(3.85)

O símbolo (.)* indica ser um ponto corrente que atende necessariamente as

condições de Kuhn-Tucker. Escrevendo-se agora as condições de Kuhn-Tucker,

condições necessárias para existência de um valor extremo, tem-se:

*

**

*

**

*

),(0

),(

σ

aσε

σ

aσε

σ

FFL pp (3.86)

*

**

*

**

**

2

*

),(0

),(

a

aσGa

a

aσa

aaa

FFWL p

(3.87)

0),( ** aσF (3.88)

0),( ** aσF (3.89)

0 (3.90)

em que

1

**

2

aaG

pW (3.91)

Observando-se as condições de Kuhn-Tucker, apresentadas acima, tem-se

como consequência do PMPD as seguintes considerações: a equação (3.86)

representa a lei de escoamento associada, a equação (3.87) representa a lei de

encruamento. Em (3.88) se verifica a condição de consistência e em (3.89) através

da condição de complementaridade se verifica a condição de

carregamento/descarregamento. Simo e Hughes (1997), apud Muller (2007) citam

que o PMDP implica em: fluxo associado no espaço das tensões, condição

chamada de normalidade; condição de carregamento/descarregamento dada pela

condição de complementaricdade de Kuhn-Tucker e convexidade do espaço das

tensões.

De outra forma o problema apresentado em (3.84) pode ser reescrito, de

acordo com Simo e Hughes (1997), sob a seguinte forma:

DBD




121211

2

1

2

1,, GaaDσσaσaσ iteste

Minimizarii E

0),(: 11 iiFsujeito aσ

(3.92)

em que D é o tensor constitutivo elástico, G é módulo plástico generalizado,

ambos assumidos constantes, testeσ é o tensor das tensões teste (geralmente

assume-se o elástico) e E é o espaço das tensões admissíveis, σσDDσ 11

pode ser visto como uma norma da energia e aaGGa 11 como uma norma

induzida por 1G . Para o caso de plasticidade perfeita o segundo termo entre

chaves da equação (3.92) é nulo. Ainda, 1iσ é a projeção ao ponto mais próximo

de testeσ na superficie de escoamento. Assim posto, é utilizado o algoritmo SQP

para solução do problema não linear resultante.

Das equações que descrevem o problema de acoplamento fluido mecânico

tem-se a presença do tensor constitutivo tangente ou elastoplástico DT, que pode

ser avaliado da seguinte como:

H

FFT

1

D

σσDDD (3.93)

ha

Dgσ

FFH (3.94)

Sendo g e h respectivamente, funções que definem a direção do fluxo

plástico e a evolução de a. Para plasticidade associada σ

g

F.

Para representação da função de escoamento, são adotados neste trabalho

dois critérios bastante referenciados em mecânica dos solos clássica, a função de

escoamento de Mohr-Coulomb e a função de escoamento de Von Mises, baseados

exclusivamente no estado de tensão, Chen e Liu (1977).

Em termos de invariantes de tensões o critério de Mohr-Coulomb pode ser

descrito por:

DBD




0cos3

cos3

1

3322

1

csenJsenJsen

IFMC (3.95)

em que I1 representa o primeiro invariantes de tensão, J2 representa o segundo

invariante das tensões, e c são os parâmetros do modelo e Φ é o ângulo de Lode

dado por:

00

2

3

2

31 6002

33

3

1

queem

J

Jsen (3.96)

Já a função de escoamento de Von Mises descrita em termos de invariantes

de tensão é apresentada como:

yVM JF 3

22 2 (3.97)

em que y é a tensão de escoamento.

Nas definições do tensor constitutivo tangente ou elastoplástico DT

apresentado na equação (3.93) é necessária a definição da derivada em relação às

tensões da função de escoamento, para a função de escoamento de Mohr-Coulomb

e para função de escoamento de von Mises, tem-se, respectivamente, equações

(3.98) e (3.99).

σσσσ

MCMCMCMC FJ

J

FI

I

FF 2

2

1

1

(3.98)

σσ

2

2

J

J

FF MCMC . (3.99)

3.4.

Procedimentos de Solução

Segundo Lewis e Scherefler (1998), a solução acoplada do problema

mecânico e de fluxo em meios porosos pode ser resolvida empregando dois

procedimentos distintos: totalmente acoplado ou desacoplado.

DBD




Na solução acoplada tem-se a solução do sistema completo de equações, em

termos de deslocamentos, poro-pressão e saturação. Na solução desacoplada tem-

se a solução de um dos sistemas primeiramente, mecânico ou de fluxo, e a solução

de um destes sistemas é incorporado como entrada no outro sistema.

Os dois procedimentos são considerados no presente trabalho, sendo o

procedimento acoplado empregado pelo MEF – Galerkin apresentado na seção

3.2.1 e o procedimento desacoplado empregado no MVF e MEFD apresentados

nas seções 3.2.2 e 3.2.3, respectivamente.

Ainda dentro dessa classificação são encontrados vários métodos para os

procedimentos acoplado e desacoplado.

No procedimento acoplado pode se definir o procedimento totalmente

acoplado e o procedimento particionado, tal como apresentado em Muller (2007).

No procedimento totalmente acoplado o sistema completo de equações é

solucionado conjuntamente em termos de deslocamentos, poro-pressão e

saturação e no sistema particionado, conhecido como procedimento staggered, o

sistema é particionado em duas partes, problema mecânico e problema de pressão-

saturação e que iterativamente são resolvidos paralelamente. Um estudo da

aplicação destes procedimentos foi apresentado por Muller (2007), Lewis e

Scherefler (1998) e Ferreira (1996), onde são apontadas as vantagens e

desvantagens de ambos os métodos.

No procedimento desacoplado são várias as alternativas encontradas, os

sistemas podem ser resolvidos separadamente, com um sistema mecânico e um

sistema de fluxo, sem processo iterativo para a convergência dos dois sistemas,

procedimento esse bastante usual em engenharia de petróleo, e um procedimento

iterativo entre os dois sistemas até a convergência de ambos. Esse último

procedimento é aplicado nos sistemas acoplados para o caso do MVF e do MEFD

apresentados nas seções 3.2.2 e 3.2.3, respectivamente.

Em termos de discretização temporal o procedimento de se interpolar a

equação da pressão implicitamente e a equação da saturação explicitamente, dá-se

o nome de IMPES (implicit pressure – explicit saturation), sendo este o caso das

formulações em MVF e do MEFD apresentadas no presente trabalho.

DBD




Nas seções seguintes são apresentados os procedimentos empregados no

presente trabalho.

3.4.1.

Procedimento para o problema de fluxo bifásico

Para o problema de fluxo bifásico sem acoplamento mecânico e posto na sua

forma hiperbólica é utilizado um processo iterativo, com critérios de convergência

em termos de pressão, velocidade e saturação, seguindo a estratégia de solução

sequencial apresentada por Mendonça (2003) e Ney (2002) e que consiste nos

seguintes passos:

1. Resolve-se a equação da pressão.

2. Calcula-se o campo de velocidades.

3. Resolve-se a equação da saturação.

Assim de tal forma o algoritmo iterativo preditor multicorretor aplicado e

descrito em Mendonça (2003) é apresentado a seguir:

Instante t + t.

Estimativa inicial nwt

nwtt pp e w

tw

tt SS tem-se vtt .

Etapa 1

Procedimento iterativo i+1. Etapa 2

Avalia-se 1i

nwp , 1iv , 1i

wS com as equações via MVF ou MEFD

e verifica-se a convergência conjunta pela tolerância ou número

máximo de iterações.

Etapa 3

Verificada a etapa 3, atualiza-se as grandezas nwt p , w

t S e retorna

a etapa 1 e um novo passo de tempo é iniciado, caso contrário

inicia-se um novo passo da etapa 2 com os valores atualizados de

1i

nwp , 1i

wS .

Etapa 4

DBD




Nesse algoritmo, apenas para a solução do problema de fluxo, os sistemas

resultantes da solução da equação de pressão e velocidade podem ser resolvidos

utilizando procedimentos iterativos para sistemas simétricos, como o gradiente

conjugado (GC), empregado nesse trabalho. Para a equação da saturação não é

necessário resolver-se um sistema, mas um seqüenciamento de operação das

variáveis nodais do MVF ou do MEFD.

3.4.2.

Procedimento staggered para o problema de acoplamento fluido

mecânico com fluxo bifásico via MEF

Como apresentado por Muller (2007), para o problema com fluxo bifásico

acoplado utilizando o MEF, adotou-se a seguinte estratégia de solução:

particionou-se o problema, mostrado na equação 3.28, em duas partes: problema

mecânico e problema de pressão-saturação.

Problema mecânico:

tt wnwiu

ttitt ,,1 SpFuK (3.100)

Problema de pressão-saturação.

tt

tt

tt

tt

wnwiSw

tt

wnwip

tt

iw

tt

inw

tt

wwwww

nwnwnwnwnw

nw

,,

,,

1

1

SpF

SpF

S

p

PMOHG

PMOHG

(3.101)

Adotando os campos de deslocamentos e saturações da fase molhante para

verificação da convergência da solução, descreve-se o algoritmo, apresentado em

Muller (2007), para solução do problema num instante t + t como:

Instante t + t.


nwtt pp e w

tw

tt SS

Etapa 1

DBD




Procedimento staggered iteração i+1 Etapa 2

Avalia-se uj+1, com a equação de equilibro mecânico e verifica-se

convergência uj+1 para tolerância ou número máximo de iterações. Etapa 3

Com o vetor u obtido na etapa 3 avalia-se 1i

nwp , 1i

wS com as

equações de fluxo bifásico e verifica-se a convergência das

saturações da fase molhante.

Etapa 4

Não verificadas as etapas 3 e 4 para convergência ou número

máximo de iterações retorna-se a etapa 2 como os valores

atualizados de nwp , wS , caso contrário inicia-se um novo passo da

etapa 1.

Etapa 5

3.4.3.

Procedimento staggered para o problema de acoplamento fluido

mecânico com fluxo bifásico via MVF e MEFD

De forma similar ao apresentado nas seções anteriores para os algoritmos

utilizados na solução dos problemas de fluxo bifásico e fluxo bifásico acoplado,

nessa seção apresenta-se o algoritmo empregado na solução de fluxo bifásico

acoplado para as formulações em MVF e MEFD.

O algoritmo empregado é uma abordagem dos dois algoritmos apresentados

anteriormente sendo um simples acoplamento dos dois para o caso das

formulações em MVF e MEFD, de forma análoga também ao procedimento

descrito em Alcoforado (2007). Alcoforado apresenta uma discussão desse

procedimento iterativo sequencial com suas diversas formas de implementação.

Assim, da mesma forma que o procedimento adotado por Muller (2007),

propôs-se neste trabalho a mesma divisão do problema acoplado global: um

problema mecânico dado por:

tt wnwipnw

ttitt ,,1 SpFuK (3.102)

DBD




E as duas possibilidades para o problema de pressão-saturação.

MVF

1. Resolve-se a equação da pressão.

ttt ip




ei

si

sisi

e

eewe

ii

n

jjtj

ii

n

jjctj

ii

n

jjtjwj

ii

twi

ttwi

AqA

t

zgA

t

pA

tf

A

tSS

1

1

11

nk

nknv

(3.104)

MEFD

1. Resolve-se o problema misto.

ttt ip




ww L

dt

dS

S (3.106)

Assim procedendo, o algoritmo sugerido é mostrado a seguir:

Instante t + t.


nwtt pp e w

tw

tt SS

Etapa 1

Procedimento staggered iteração i+1 Etapa 2

Avalia-se ui+1, com a equação de equilibro mecânico e verifica-se Etapa 3

DBD




convergência ui+1 para tolerância ou número máximo de iterações.

Procedimento iterativo j+1. Etapa 4

Avalia-se 1j

nwp , 1jv , 1j

wS com as equações via MVF ou

MEFD e verifica-se a convergência conjunta pela tolerância ou

número máximo de iterações.

Etapa 5

Verificada a etapa 5, atualiza-se as grandezas nwt p , w

t S e

porosidade, e retorna-se a etapa 1 e um novo passo de tempo é

iniciado, caso contrário inicia-se um novo passo da etapa 4 com os

valores atualizados de 1j

nwp , 1j

wS .

Etapa 6

Não verificadas as etapas 3 e 6 para convergência ou número

máximo de iterações retorna-se a etapa 2 como os valores

atualizados de nwp , wS , caso contrário inicia-se um novo passo da

etapa 1.

Etapa 7

DBD


4.

Exemplos de Verificação das Formulações para Simulação

de Fluxo em Meios Porosos

4.1.


Este capítulo apresenta alguns exemplos com o objetivo de verificar as

formulações e implementações realizadas. Inicia-se com um exemplo clássico da

mecânica dos solos, no qual o objetivo principal é avaliar a implementação e o

cálculo da porosidade, considerada uma variável importante no acoplamento

mecânico e fluxo bifásico.

Os exemplos de placas paralelas, escoamentos entre barreiras e um

problema com solução analítica conhecida objetivaram a verificação dos diversos

métodos de avaliação da velocidade.

Para verificação das implementações das formulações bifásicas são

analisados dois problemas clássicos: problema unidimensional de Buckley-

Leverett e o exemplo de fluxo bidimensional de cinco poços.

Uma alternativa para verificar o procedimento iterativo do acoplamento

mecânico e fluxo bifásico é analisando uma simplificação do problema de

adensamento unidimensional de Terzaghi em que o meio se encontra com

saturação total de um dos fluidos, através do MVF e MEFD, já que a equação da

saturação é desconsiderada.

Dada a dificuldade de se obter resultados de literatura para fluxo bifásico

em meios porosos heterogêneos, são analisados exemplos de meios estratificados

encontrados na literatura para validação qualitativa das implementações, e ainda

uma avaliação da aplicação em meios geológicos incluindo falhas com análise

mecânica acoplada, via MEFD.

DBD


Exemplos de Verificação das Formulações

para Simulação de Fluxo em Meios Porosos 79

4.2.

Adensamento unidimensional

Este exemplo trata do problema de uma coluna de solo sobre uma camada

rígida e impermeável, a coluna está inicialmente saturada e sujeita a um

carregamento na superfície. O problema de adensamento foi estudado

inicialmente por Terzaghi (1934), Biot (1941) e ainda por Detournay e Cheng

(1993) aplicando a teoria da poroelasticidade, estes últimos apresentaram a

solução analítica utilizada neste trabalho.

As condições de contorno para o problema são: aplicação de um

carregamento na superfície, yy = -p*, superfície livre no topo, p = 0 em y = 0;

deslocamento vertical nulo na base da coluna, uy = 0 em y = L; e superfície

impermeável na base, dp/dy=0. A figura 4.1 apresenta o esquema do problema e a

figura 4.2, a malha utilizada na presente análise.

Figura 4-1: Esquema da coluna para adensamento unidimensional.

Detournay e Cheng (1993) considerando uma distribuição de tensão

uniforme chegaram a seguinte equação, em termos de pressão de poros, para

solução deste problema.

DBD




02

2

x

pc

t

p (4.1)

Em que, c é o coeficiente de difusividade dado por:

u

ukGc

1)21(

)1(22

(4.2)

em que k é a permeabilidade, G é o módulo cisalhante, é o coeficiente de

Poison, u é o coeficiente de Poison não drenado e é o coeficiente de Biot que

representa a relação entre a compressibilidade da matriz ou esqueleto sólido, dada

pelo módulo volumétrico K em relação à compressibilidade dos grãos Ks, sendo:

sK

K 1 (4.3)

A pressão de poros não drenada é dada por:

GS

ppu

* (4.4)

em que:

)1(2

)21(

(4.5)

)1(

)1(3

GS u (4.6)

KK

K

1 (4.7)

Nessas equações K é módulo volumétrico do fluido e representa o

coeficiente de Skempton.

Considerando as coordenadas adimensionais = x/L e = ct/4L2, a pressão

de poros ao longo da coluna para qualquer tempo é dada por:

,1 1

*

FGS

pp (4.8)

DBD




em que:

,...3,11

22

2

41,

m

mem

senm

F

(4.9)

Ainda, a solução para os deslocamentos no tempo inicial é dado por:

1

12

21*

u

uuy

G

Lpu (4.10)

e ao longo do tempo o incremento de deslocamento é

,

1122

*

FG

Lpu

u

uy

D (4.11)

em que:

,...3,1222

22

12

cos8

,m

mem

mF

(4.12)

Para análise do problema de adensamento unidimensional são utilizadas as

propriedades mostradas na Tabela 4.1.

Tabela 4-1: Parâmetros utilizados no exemplo de coluna poroelástica

G

(MPa)

ν Ks

(MPa)

K

(MPa)

K

(m2)

μ

(MPa s)

p*

(MPa)

L

6000,0 0,2 36000,0 2887,0 0,19 1,9.10-13 1,0.10-9 1,0 7,0

DBD




Figura 4-2: Malha utilizada nas análises, elementos Q4, 300 elementos finitos.

Os Gráficos 4-1, 4-2 e 4-3 apresentam os resultados numéricos comparados

ao resultado analítico.

DBD




Gráfico 4 - 1: Pressão de poros na base da coluna.

Gráfico 4 - 2: Evolução no tempo da distribuição de pressão de poros ao longo da coluna.

Poro-pressão na base da coluna x tempo - DT=0,01

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tempo (s)

Po

ro-p

res

são

na

ba

se

da

co

lun

a (

MP

a)

Analitico

Numérico

Poro-pressão ao longo da coluna DT=0,01

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 1 2 3 4 5 6 7

x (m )

Po

ro-p

ressão

(M

Pa)

Analitico - 10s

Numérico - 10s

Analitico - 25s

Numérico - 25s

Analítico - 50s

Numérico - 50s

DBD




Gráfico 4 - 3: Deslocamento no topo da coluna.

A partir da solução clássica de Detournay e Cheng (1993), solução da

poropressão ao longo do eixo vertical, pode se obter o perfil de velocidade v ao

longo da coluna, bastando derivar a expressão de poropressão, equação (4.8), e

multiplicar pela razão k/, de tal forma:

,...3,1

*

22

2cos2

m

m

L

em

GS

pkv

(4.13)

O gráfico 4-4 apresenta o perfil de velocidade para diferentes tempos de

análise e o gráfico 4-5 apresenta a velocidade para o topo da coluna ao longo do

tempo.

0,000275

0,000300

0,000325

0,000350

0,000375

0,000400

0,000425

0,000450

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tempo (s)

Deslo

cam

en

to d

o t

op

o d

a c

olu

na (m

)

Analitico

Numérico

DBD




Gráfico 4 - 4: Perfil de velocidade ao longo da coluna para vários tempos.

Gráfico 4 - 5: Velocidade ao longo do tempo para o topo da coluna.

Velocidade do Fluido ao longo da coluna - DT=0,01

0,00E+00

2,50E-06

5,00E-06

7,50E-06

1,00E-05

1,25E-05

0 1 2 3 4 5 6 7

x (m)

Velo

cid

ad

e d

o F

luid

o (

m/s

)

Analitico - 10s

Numérico - 10s

Analitico - 25s

Numérico - 25s

Analítico - 50s

Numérico - 50s

Velocidade do Fluido no topo da coluna - DT=0,01

0,00E+00

1,00E-05

2,00E-05

3,00E-05

4,00E-05

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tempo (s)

Velo

cid

ad

e d

o F

luid

o (

m/s

)

Analitico - 10s

Numérico - 10s

DBD




De outra forma, como colocado na equação (2.61), para obtenção da

porosidade, aqui reapresentada, tem-se:

dpK

K

Kdp

Kd

KKd

mmmm

2

111

11 (4.14)

rearranjando, vem:

KK

dpdKKd

m

m

(4.15)

dpdK

d 1

(4.16)

De acordo com Detournay e Cheng (1993) as tensões podem ser obtidas

realizando:

3

zyx dddd

(4.17)

dp

Gd yy

21

12 (4.18)

dpdd yx

2

1

(4.19)

xz dd (4.20)

O gráfico 4-6 apresenta a comparação dos resultados obtidos pela

implementação realizada e pela solução analítica, para a porosidade ao longo do

tempo para a base da coluna.

DBD




Gráfico 4 - 6: Porosidade ao longo do tempo de análise para a base da coluna, calculada no

primeiro ponto de Gauss acima da base.

Uma conclusão geral de todos gráficos é que em todas as análises existe

uma boa concordância entre as soluções analíticas e os resultados obtidos pela

implementação realizada.

Um ponto importante a ser destacado é a necessidade de equivalência para a

entrada da compressibilidade do meio sólido e da matriz na solução analítica e na

implementação realizada, uma vez que na solução analítica a entrada é através da

utilização da compressibilidade do sólido Ks = 36000MPa e = 0.778; enquanto

que na implementação realizada, introduz-se diretamente o valor de Ks =

30000MPa.

4.3.

Escoamento entre Placas

Neste exemplo, apresentado em Correa (2006), avalia-se o cálculo da

velocidade pós-processada através da eei de Darcy, comparando-a com a solução

analítica deste problema. Este exemplo trata do escoamento de um fluido num

meio heterogêneo constituído de duas camadas paralelas com permeabilidades

-1,8E-06

-1,6E-06

-1,4E-06

-1,2E-06

-1,0E-06

-8,0E-07

-6,0E-07

-4,0E-07

-2,0E-07

0,0E+00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tempo (s)

Vari

ação

de p

oro

sid

ad

e

Analitico

Numérico

DBD




distintas, k1 = 2.k2, devido a um diferencial de pressão unitário (DP = 1) na

direção horizontal. Esta situação conduz a solução trivial em que a velocidade em

cada camada é dada por vx2 = 2.vx1.

A figura 4.3 apresenta um esquema do problema, bem como a malha

utilizada. Os seguintes dados são aplicados ao problema: K1 = 2, K2 = 1, P0 = 1, P1

= 0, L = 2, H = 1.

a) b)

Figura 4-3: Esquema do problema de escoamento entre placas paralelas (a), extraído de Correa

(2006) e malha de elementos finitos utilizada, 200 elementos Q4 (b).

Como solução trivial para a velocidade tem-se, vx2 = 2.vx1 = 1. A figura 4.4

apresenta o resultado encontrado pela implementação para a velocidade vx ao

longo da altura H, observa-se uma boa concordância entre as soluções.

a) b)

Figura 4-4: Perfil de velocidade vx ao longo da altura H (a), e mapa de velocidades, cor azul

representa vx=0.5 e cor vermelha vx=1.0 (b).

DBD




4.4.

Escoamento com Barreiras

Neste exemplo busca se avaliar a solução implementada por pós-

processamento global proposto por Malta et al (2001) e Loula et al. (1995) para a

velocidade. Inicialmente esse problema foi proposto por Mosé et al (1998) e

estudado também por Correa (2006) e Ney (2002).

A figura 4.5 apresenta a representação esquemática do problema em que se

simula o escoamento em meio poroso onde o fluxo é forçado a passar por um

canal delimitado por duas faixas de baixa condutividade. As condições de

contorno e os parâmetros utilizados são mostrados também na figura 4.6. A figura

4.6 apresenta a malha empregada na análise.

A figura 4.7 apresenta os campos de velocidade pós-processados

diretamente através da lei de Darcy e tal como proposto por Malta el al (2001).

Através dos perfis mostrados na figura 4-8 observa-se, justamente na junção entre

materiais diferentes a variação entre as implementações. No caso do pós-

processamento na lei de Darcy existe uma queda mais brusca no campo de

velocidades.

Figura 4-5: Esquema do problema de escoamento entre barreiras, condições de contorno

aplicadas e dados dos materiais utilizados.

Condições de Contorno

Dados dos materiais:

K1= 1

K2= 1.10-5

P = 1

P = 0

Fluxo nulo

P = 1

P = 0

Fluxo nulo

DBD




Figura 4-6: Malha empregada na análise do exemplo de escoamento entre barreiras, 625

elementos Q4.

a)

BE

DBD




b)

Figura 4-7: Campos de velocidade vy e perfil de velocidade vy ao longo de BE: (a) pós-

processamento global, (b) lei de Darcy.

Da figura 4.7 observa-se uma aproximação das velocidades mais

pronunciadas na interface entre os diferentes meios no caso de pós-processamento

global indicando mais fortemente o contraste de permeabilidade.

4.5.

Pós-processamento da Velocidade Através de Elementos de Raviart-

Thomas

Este exemplo simples, apresentado por Ribeiro (1996), por possuir solução

analítica conhecida, é utilizado para verificar o cálculo do campo de velocidade

utilizando os elementos de Raviart-Thomas de mais baixa ordem.

Dado o campo de pressão p (equação 4.21) mostrado na figura 4.8,

aplicado ao domínio (0,15)x(0,6), e utilizando espaçamentos vertical e horizontal,

DBD




Dx = Dy = 1 e meio homogêneo, k = 1 e considerando C = 0.8333, o campo de

velocidades pela solução analítica é dado pela expressão 4.22.

1212

2222 yx

CyyxxpD

D

(4.21)

12

12

y

x

v

vv

y

x (4.22)

Figura 4-8: Campo de pressão aplicado.

As expressões para vx e vy dadas na equação 4.22 representam retas nessas

direções, respectivamente, e são representadas no gráfico 4-7 juntamente com os

resultados utilizando a implementação do elemento de Raviart-Thomas. Observa-

se a concordância exata entre as soluções, mesmo resultado encontrado por

Ribeiro (1996).

a)

Poro P ressure

+0.00E+000

+1.36E+001

+2.71E+001

+4.07E+001

+5.42E+001

+6.78E+001

+8.13E+001

+9.49E+001

+1.08E+002

+1.22E+002

+1.36E+002

+1.49E+002

+1.63E+002

+1.76E+002

+1.90E+002

+2.03E+002

+2.17E+002

+2.30E+002

+2.44E+002

+2.57E+002

+2.71E+002

DBD




b)

Gráfico 4 - 7: Comparações entre os resultados da solução analítica e da implementação de

elementos de RT: (a) vx ao longo de y = 3,5, e (b) vy ao longo de x = 7,5.

Para validação da implementação do pós processamennto utilizando

elementos de RT0 em malhas não estruturadas, esse mesmo exemplo é estudado

para esse caso, a figura 4.9 apresenta os campos de velocidade na direção x, vx,

para quatro casos: malha quadrilateral estruturada, malha quadrilateral não

estruturada e malha triangular estruturada, malha triangular não estruturada é

realizado um teste com malha não estruturada. A figura 4.10 apresenta ainda uma

outra abordagem do mesmo problema, onde a malha da figura 4.8 é rotacionada a

45º no sentido anti-horário e aplicado o campo de pressão dado pela equação

(4.21). A figura em questão, 4.10, apresenta o campo de velocidade na direção x,

vx, coincidente com os resultados da figura 4.9.

Destas figuras, observa-se uma boa concordância para ambos os resultados,

verificando-se assim a correta implementação do pós processamento utilizando

RT0.

Figura 4-9: Campos de velocidade vx para malhas estruturadas e não estruturadas obtidas

através de RT0.

DBD




Figura 4-10: Campos de velocidade vx para malha estruturada inclinada obtido através de RT0.

4.6.

Fluxo Bifásico Unidimensional – Método MEF – Galerkin

Nesse exemplo é utilizado um exemplo de fluxo unidimensional em um

reservatório utilizando a formulação apresentada no capítulo 3 para a formulação

parabólica e com a formulação apresentada por Muller (2007). Tem como

objetivo avaliar a capacidade do MEF – Galerkin de capturar a frente de saturação

no caso de pressão capilar nula e com dados iniciais mais próximos aos dados de

campos reais Muller (2007).

A figura 4.11 apresenta esquematicamente o problema fluxo unidimensional

que consiste da análise de um reservatório de comprimento L com pressão inicial

de óleo (Po) de 36MPa e totalmente preenchido com óleo (So=1), na condição de

pressão capilar nula (PC=0). É aplicada um pressão de fundo de poço (Pwl) de

30MPa e com saturação de 0,527.

A tabela 4.2 apresenta os parâmetros utilizados na análise e a figura 4.12

apresenta a malha de elementos finitos empregada.

Figura 4-11: Esquema do problema de reservatório.

Sw

So, Po

Pwl

DBD




Figura 4-12: Malha utilizada Q4, 192 elementos.

Tabela 4-2 : Parâmetros e condições de contorno empregados no exemplo de fluxo bifásico

unidimensional

Pwl

(MPa)

P0

(MPa)

μnw

(Pa.s)

μw(Pa.s) Srnw = Srw L (m) Pc

30 36 1,0.10-9 0,4.10-9 0,19 0,0 6 0,0

O Gráfico 4.8 apresenta a evolução no tempo do perfil de saturação obtido

numericamente utilizando o MEF – Galerkin. Observa-se que, para as condições

analisadas, o perfil de saturação encontrado é suave não indicando uma frente de

saturação pronunciada sugerindo um efeito de suavização devido ao MEF –

Galerkin, não condizente com o resultado esperado, como será visto no próximo

exemplo.

Gráfico 4 - 8: Perfil de saturação ao longo do reservatório

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

Eixo x - (m)

Satu

raçã

o flu

ido

mol

han

te -

Sw

2s 5000s 50000s 100000s 200000s - 2,31d 300000s 400000s 500000s - 5,8 d

DBD




4.7.

Fluxo Bifásico Unidimensional – Método MEFD

Nesse item, para validação da formulação pelo MEFD, é analisado o

exemplo clássico de Buckley-Leveret, que consiste no deslocamento de um fluido

em uma camada unidimensional por injeção de outro fluido, sendo os fluidos

imiscíveis.

Os dados utilizados para esse exemplo são os mesmo utilizados por

Dulorsfy (1993) e Mendonça (2003). A velocidade total é fixada em vt = 1, com

condição de contorno em x = 0, de Sw = 1, e como condição inicial, t = 0, Sw = 0,

em todo o meio, considerado homogêneo.

Adota-se uma porosidade de 0,2 e uma relação de viscosidade não-

molhante/molhante de 5. As relações de permeabilidades relativas das fases

molhante e não-molhante são dadas respectivamente por 2wrw Sk e

21 wrnw Sk .

O domínio analisado, (0,4)x(0,1), é discretizado em elementos quadrilaterais

como mostrado na figura 4.13.

Figura 4-13: Malhas utilizadas Q4, 320 e 160 elementos.

A figura 4.14 apresenta os resultados para o perfil de saturação nos tempos

t=0,1s, 0,2s, 0,3s, 0,4s e 0,5s, para solução analítica, curva pontilhada e tracejada,

e a solução via volumes finitos, curva pontilhada, e solução via elementos finitos

descontínuos, linha continua. Verifica-se uma boa concordância nas soluções,

entretanto, para esse caso a solução via MEFD, melhor se aproxima da solução

analítica.

0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 40

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3

3 . 5

4

0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 40

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

1 . 4

1 . 6

1 . 8

2

DBD




Figura 4-14: Perfil de saturação ao longo de x para formulação em volumes finitos, curva em

pontos, elementos finitos descontínuos, linha continua e solução analítica, curva em traço e

ponto .

4.8.

Fluxo Bifásico Bidimensional – Problema dos Cinco Poços

Ainda para verificação da implementação computacional da formulação do

fluxo bifásico via MEFD é apresentado um dos problemas clássicos em

engenharia de petróleo, o qual consiste de um sistema de cinco poços em um

domínio quadrangular, sendo quatro poços produtores (um em cada vértice), e um

poço injetor (no centro). Este problema foi estudado por vários autores (Dulorfsky

(1993), Mendonça (2003)) e considera o meio completamente preenchido por um

fluido sendo deslocado por outro fluido.

Adota-se uma porosidade de 0,2 e uma relação de viscosidade não-

molhante/molhante de 1. As relações de permeabilidades relativas das fases

molhante e não-molhante são dadas respectivamente por 2wrw Sk e

21 wrnw Sk .

A figura 4.15 apresenta o esquema do problema em que se pode verificar a

possibilidade de uma análise simétrica em dois eixos. O meio inicialmente está

totalmente preenchido com óleo So = 1 em todo o domínio, e é aplicada uma

condição de contorno de vazão unitária no centro, em P0, injeção, e em P1,

extração.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

DBD




Figura 4-15: Esquema do problema de cinco poços.

A figura 4-16 mostra a evolução no tempo da frente de saturação. Os

resultados são bastante concordantes com os encontrados nos trabalhos de

Dulorfsky (1993), Mendonça (2003).

P1 P2

P3 P4

P0

P0 = Poço Injetor

P1..4 = Poços Produtores

Dupla simetria

DBD




a) b)

c) d)

e) f)

Figura 4-16: Evolução da frente de saturação para vários tempos. a) t=0,7s, b) t=4,2s, c) t=7,7s,

d) t=11,2s, e) t=14,7s, f) t=19,6s.

DBD




4.9.

Fluxo Bifásico Bidimensional – Problema dos Cinco Poços – Meio

Heterogêneo

De forma a analisar a implementação para meios heterogêneos, o problema

de cinco poços da seção anterior é agora analisado considerando um campo de

permeabilidade variável. São empregados os mesmos dados do problema anterior

e o campo de permeabilidade aleatório em kx e ky, a figura 4.17 apresenta o campo

de permeabilidade aleatório gerado para kx, é utilizada uma malha de 32x32

elementos.

Figura 4-17: Campo de permeabilidade Kx aleatório.

A figura 4.18 mostra a evolução no tempo da frente de saturação para vários

tempos para o campo de permeabilidade variável. Dada uma variação regular no

campo de permeabilidade, a variação no campo de saturação se dá também de

forma regular.

Neste exemplo verificou-se a consistência da implementação via MEFD para o

caso de meio heterogêneo aleatório considerando que o resultado encontrado não

apresentou oscilações não condizentes com o esperado para o exemplo em estudo.

+1.92E-001

+5.75E-001

+9.58E-001

+1.34E+000

+1.72E+000

+2.11E+000

+2.49E+000

+2.87E+000

+3.26E+000

+3.64E+000

+4.02E+000

+4.40E+000

+4.79E+000

+5.17E+000

+5.55E+000

+5.94E+000

+6.32E+000

+6.70E+000

+7.08E+000

+7.47E+000

+7.85E+000

DBD




a) b)

c) d)

e) f)

Figura 4-18: Evolução da frente de saturação para vários tempos, kx, aleatório. a) t=0,7s, b)

t=4,2s, c) t=7,7s, d) t=11,2s, e) t=14,7s, f) t=19,6s.

DBD




4.10.

Adensamento unidimensional para caso de Sw = 1

Nesse exemplo o problema de adensamento unidimensional apresentado na

seção 4.2 é revisitado para a situação em que o meio é analisado com a

formulação de fluxo bifásico com acoplamento mecânico na situação em que o

meio é descrito como monofásico em que a saturação de um dos fluidos é 100%.

Diferente da seção 4.2 este exemplo resolve as equação de pressão,

velocidade, saturação junto com o problema mecânico. Assim, a resposta do

sistema deve ser a mesma que o problema de fluxo monofásico acoplado como

analisado na seção 4.2.

São utilizadas as mesmas propriedades empregadas no problema da seção

4.2.

O Gráfico 4.9 apresenta o comportamento do deslocamento do topo da

coluna em condição de fluxo bifásico com acoplamento mecânico para o caso de

Snw = 1. Observa-se uma boa concordância entre a solução analítica e a encontrada

na presente formulação.

De forma semelhante, o Gráfico 4.10 apresenta a variação da poro-pressão

na base da coluna em conjunto com a solução analítica, novamente, observa-se

uma boa concordância entre os resultados.

DBD




Gráfico 4 - 9: Deslocamento no topo da coluna.

Gráfico 4 - 10: Pressão de poros na base da coluna.

0,000275

0,000300

0,000325

0,000350

0,000375

0,000400

0,000425

0,000450

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tempo (s)

Deslo

cam

en

to d

o t

op

o d

a c

olu

na (m

)

Analitico

Numérico

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Tempo (s)

Po

ro-p

ressão

na b

ase d

a c

olu

na (

MP

a)

Analitico

Numérico

DBD




4.11.

Fluxo Bifásico em Reservatório Estratificado

Neste exemplo é analisada a condição de fluxo bifásico em meios

heterogêneos para o caso de pressão capilar nula e pelo MEFD. A figura 4.19

apresenta o esquema empregado na análise constituído de camadas de diferentes

propriedades sobrepostas.

A tabela 4.3 apresenta os dados gerais do problema, destacando que k2=10-

5k1. Este exemplo foi extraído de Hoteit et al (2008) . O domínio do problema é

definido para L = 500 e H = 270. A figura 4.20 mostra a malha empregada em

ambas análises, sendo formada por 4500 elementos do tipo Q4 e 4641 nós.

Figura 4-19: Esquema do problema fluxo bifásico em meio heterogêneo.

Figura 4-20: Malha empregada na análise do problema de fluxo bifásico em meio heterogêneo.

Tabela 4-3: Parâmetros utilizados no exemplo de fluxo bifásico em meio heterogêneo

Pressão Capilar Nula

Q ρnw = ρw Knw Kw Srnw = Srw μnw = μw K1

1,0 1,0 (Srw)2 (1-Srw)2 0,2 0,0 1,0 1,0

K1 qw

Sw = 1

K2

DBD




Neste exemplo considera-se o caso em que Pc = 0, em que uma frente de

saturação é bem caracterizada sem suavização da solução. A figuras de 4.21a a

4.21e mostram a evolução no tempo da frente de saturação. Estas configurações

da frente de saturação nas camadas se aproximam qualitativamente bem ao

resultado desse mesmo problema apresentado em Hoteit et al (2008), figura 4.22,

validando assim a implementação e a capacidade de para captura da frente em

meios heterogêneos. A comparação qualitativa é realizada dado que as

propriedades, parâmetros e modelos são distintos do presente trabalho e o trabalho

de Hoteit et al. (2008).

a)

b) c)

d) e)

Figura 4-21 : Perfis de saturação para vários tempos, meio heterogêneo. a) t=0s, b) t=1,s, c)

t=2s, d) t=3s, e) t=4s.

DBD




Figura 4-22: Campo de saturação para meio heterogêneo, extraído de Hoteit et al (2008)..

4.12.

Fluxo Bifásico em Falhas

Esse problema foi elaborado para exemplificar a aplicação da formulação

proposta em meios constituídos por falhas geológicas e a aplicabilidade em meios

geológicos complexos. Ainda tem como objetivo analisar a utilização de modelo

de variação da permeabilidade com a porosidade e sua influência na frente de

saturação em problema de pressão capilar nula.

A figura 4.23 apresenta a representação esquemática do problema, que

consiste de meio retangular com uma falha geológica na direção horizontal.

Figura 4-23: Esquema do problema fluxo bifásico em falhas.

K1

K2

qw

Sw = 1

DBD




A falha é representada por elementos finitos de pequena espessura (6 m) e

com propriedades diferentes do meio circundante, a Tabela 4.4 mostra os dados

empregados nas análises, nesse caso também se tem K2=10-5K1.

Tabela 4-4 : Parâmetros utilizados no exemplo de fluxo bifásico em meio heterogêneo

Pressão Capilar Nula

Q ρnw = ρw Knw Kw Srnw = Srw μnw = μw K1

1,0 1,0 (Srw)2 (1-Srw)2 0,2 0,0 1,0 1,0

O domínio do problema é definido para L=500 e H=270. A figura 4.20

mostra a malha empregada em ambas análises, sendo formada por 4500 elementos

do tipo Q4 e 4641 nós.

a)

b) c)

d) e)

Figura 4-24: Perfis de saturação para vários tempos, meio heterogêneo. a) t=0s, b) t=1s, c) t=2s,

d) t=3s, e) t=4s.

DBD




4.13.

Fluxo Bifásico Acoplado em Falhas

Neste exemplo estuda-se a mesma situação do item 4.12 em termos de

fluxo, utilizando-se os dados da tabela 4.4, porém considerando o acoplamento

mecânico com fluxo e a variação da porosidade com o fluxo e deformação e

conseqüente variação na permeabilidade. A figura 4.25 apresenta a representação

esquemática do problema, que consiste de meio retangular com uma falha

geológica na direção horizontal e a figura 4.26 mostra as condições de contorno

em deslocamento empregadas.

Figura 4-25: Esquema do problema fluxo bifásico acoplado em falhas

Ambas as camadas são consideradas homogêneas e com comportamento

linear elástico, com E = 14400GPa e = 0,2 e porosidade variando de acordo com

a equação de Carman-Kozeni (equação 2.62).

É aplicada a condição de contorno de deslocamento restrito na direção

horizontal nos bordos laterais e na direção vertical na base. É aplicado um

carregamento de poro pressão P = 10MPa na face direita com Sw = 1.

qw

Sw = 1

K1

K2

DBD




Figura 4-26: Condições de contorno do problema de fluxo bifásico em falhas.

O Gráfico 4.11 apresenta a variação do perfil de saturação ao longo da

horizontal passando pela falha. Verifica-se o maior avanço da frente de saturação

quando se tem a variação da permeabilidade com a saturação sugerindo aumento

da permeabilidade.

Gráfico 4 - 11: Variação da frente de saturação de água ao longo da coluna para t=7s.

4.14. Análise Acoplada de Fluxo Bifásico em Reservatório Fraturado

Neste exemplo é analisado um exemplo onde é considerado o acoplamento

mecânico e fluxo bifásico para o caso de um meio poroso descrito pelo modelo de

Mohr-Coulomb, onde é mostrado o comportamento das deformações e do campo

de saturação. Para este caso, a geometria e dados do exemplo analisado na seção

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 100 200 300 400 500

Eixo X

Sw

PermeabilidadeConstante

Permeabilidade Variável

DBD




4.14 são considerados e ainda os parâmetros de poroelastoplasticidade são: para o

meio cincundante: modelo de Mohr Coulomb com coesão igual a 10MPa, ângulo

de atrito igual a 30º, módulo E igual a 14400 GPa, e ν igual a 0.2, para a falha,

módulo E igual a 1440 GPa, e ν igual a 0.2: coesão igual a 1MPa, ângulo de atrito

igual a 30º.

Este exemplo tem como objetivo verificar o comportamento mecânico do

meio devido ao avanço da frente de saturação, dado que na literatura

especializada, os exemplos para análise quantitativa são de difícil comparação e

realização.

A figura 4.13 apresenta a malha empregada na presente análise, são

considerados elementos quadrilaterais estruturados no meio circundante à falha e

elementos quadrilaterais não estruturados no interior da falha. As condições de

contorno são as mesmas aplicadas no exemplo da seção 4.13.e permeabilidade

contantes

Gráfico 4 - 12: Variação da frente de saturação de água ao longo da coluna para t=7s.

As figuras 4.27, 4.28 e 4.29 apresentam os campos de distribuição de

saturação, tensão principal maior, e deformação volumétrica para vários passos de

tempo distintos. Verifica-se claramente a influência dos campos de pressão-

saturação nas deformações do meio.

DBD




a)

b) c)

d) e)

Figura 4-27: Evolução dos campos de saturação para vários tempos, reservatório com falha. a)

t=0s, b) t=3s, c) t=6s, d) t=9s, e) t=11s.

a)

b) c)

+0.00E+00 0

+5.00E-002

+1.00E-001

+1.50E-001

+2.00E-001

+2.50E-001

+3.00E-001

+3.50E-001

+4.00E-001

+4.50E-001

+5.00E-001

+5.50E-001

+6.00E-001

+6.50E-001

+7.00E-001

+7.50E-001

+8.00E-001

+8.50E-001

+9.00E-001

+9.50E-001

+1.00E+00 0

-1.11E+001

-1.10E+001

-1.09E+001

-1.09E+001

-1.08E+001

-1.07E+001

-1.07E+001

-1.06E+001

-1.06E+001

-1.05E+001

-1.04E+001

-1.04E+001

-1.03E+001

-1.03E+001

-1.02E+001

-1.01E+001

-1.01E+001

-1.00E+001

-9.95E+000

-9.89E+000

-9.83E+000

DBD




d) e)

Figura 4-28: Evolução dos campos de tensão efetiva máxima para vários tempos, reservatório

com falha. a) t=0s, t=3s, c) t=6s, d) t=9s, e) t=11s.

a)

b) c)

d) e)

Figura 4-29: Evolução do campo de deformação volumétrica para vários tempos, reservatório

com falha. a) t=0s, t=3s, c) t=6s, d) t=9s, e) t=11s.

-5.84E-004

-5.79E-004

-5.73E-004

-5.68E-004

-5.63E-004

-5.58E-004

-5.53E-004

-5.47E-004

-5.42E-004

-5.37E-004

-5.32E-004

-5.27E-004

-5.22E-004

-5.16E-004

-5.11E-004

-5.06E-004

-5.01E-004

-4.96E-004

-4.91E-004

-4.85E-004

-4.80E-004

DBD




4.15.

Fluxo Bifásico em Coluna Unidimensional

Neste problema, é resolvido novamente o exemplo do item 4.7, o fluxo

bifásico em uma coluna unidimensional, inicialmente a coluna é preenchida por

óleo So = 1 e é injetada água na face direita da coluna com Sw = 1, sendo utilizados

os mesmos dados desse exemplo, exceto que o eixo x possui L = 4m.

Diferente do resultado mostrado no item 4.7 é agora analisado o caso da

variação da pressão de água em relação ao eixo horizontal, o Gráfico 4-12

apresenta essa variação ao longo do eixo horizontal.

Gráfico 4 - 13: Variação da pressão de água ao longo da coluna para vários tempos.

Esse resultado mostra-se importante pela existência de picos de variação de

pressão de água ao longo do eixo horizontal, como referido em Papamichos et al

(2009). A existência desse pico decorre claramente da existência de frente de

saturação, já que a pressão é dependente da saturação através da permeabilidade

relativa dependente da saturação.

Essa análise foi realizada com o intuito de verificar um eventual mecanismo

formador de produção de areia em experimentos e casos de campo, já que os picos

na variação da pressão podem induzir ao carreamento de partículas e/ou ao efeito

na resistência da rocha em caso de fluxo bifásico acoplado.

0

5

10

15

20

25

30

35

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

x

DP

/ Dx

t=6st=5st=4st=3st=2st=1s

DBD




4.16.

Comparação de Tempo de Processamento

Uma primeira análise do tempo de processamento das implementações

realizadas se referiu ao tempo necessário para pós-processamento da velocidade

utilizando a técnica de elemento por elemento e a técnica de pós-processamento

global proposta por Malta et al (2001).

A tabela 4.5 apresenta os tempos necessários para ambas as análises e é

utilizado o exemplo estudado no item 4.5, o problema posto na forma global é

resolvido utilizando o método do gradiente conjugado. Para esses resultados

foram utilizados duas malhas, M1 e M2, com a mesma geometria do exemplo

abordado no item 4.5, sendo a M1 constituída de 112 nós e 90 elementos Q4 e M2

constituída de 403 nós e 360 elementos Q4.

Como esperado, para esse problema e com a implementação realizada, o

tempo requerido para o pós-processamento global apresenta-se superior à técnica

elemento por elemento seja por elementos finitos clássicos (EF) seja elementos

finitos de RT0.

Tabela 4-5: Tempo de pós-processamento da velocidade para diferentes malhas

Tempo de processamento da velocidade.

M1 M2

Elemento x Elemento

Global

Elemento x Elemento

Global

EF RT0 EF RT0

0,01s 0,01s 0,15s 0,13s 0.5s 115,17s

Outra análise de tempo de processamento foi realizada comparando-se dois

métodos distintos: MVF e MEFD, para isso foi utilizado o problema proposto no

item 4.11. Como referido nesse item tem-se nessa malha 4500 elementos do tipo

Q4 e 4641 nós.

DBD




A Tabela 4.6 apresenta os tempos necessários para ambas as análises. O

MEFD mostra-se competitivo quando comparado ao MVF para esse problema

relativamente simples.

Tabela 4-6:Tempo de pós-processamento para diferentes métodos

MVF MEFD

152s 187s

Todos os cálculos de tempo de processamento foram feitos utilizando um

Computador Intel Core 2 Quad, 2,66GHz, 3GB RAM.

DBD


5.

Conclusões e sugestões para trabalhos futuros

5.1.

Conclusões

Uma intensa pesquisa dos métodos de solução do problema de

comportamento parabólico-hiperbólico de fluxo bifásico foi realizada, dadas as

instabilidades encontradas pelos métodos clássicos de solução, como visto na

literatura. Alternativas foram pesquisadas e implementadas como afirmam os

exemplos realizados, as soluções se mostram adequadas sob o ponto de vista da

engenharia, cumprindo um dos objetivos delineados na introdução desse trabalho.

Uma etapa inicial realizada foi a tentativa de se obter via MEF clássico, o

perfil de saturação para o caso de pressão capilar nula, o que não foi eficiente,

pois o MEF clássico possui restrições quando o comportamento das equações

governantes se torna hiperbólica, o que já é referido na literatura no tema. Dada

essa condição, buscou-se outros métodos mais eficientes para a captura da frente

de saturação quando do caso de pressão capilar nula.

Considerando primeiramente a implementação disponível para o MEF

clássico, Muller (2007), buscou-se como segunda alternativa, o MVF combinado

com MEF clássico para aproveitamento da implementação realizada. Nesse

método o sistema de equações é posto como do tipo hiperbólico, como visto no

capítulo 2, em que o sistema consiste de uma equação da pressão, resolvida pelo

MEF clássico, um pós-processamento da velocidade através de um dos métodos

descrito no capítulo 3, seção 3.2.2, e a solução da equação da saturação via MVF,

sendo a equação da pressão discretizada temporalmente pelo método implícito e a

equação da saturação pelo método explícito.

Os resultados encontrados utilizando essa segunda alternativa se mostram

adequados na captura da frente de saturação, bem como quando do acoplamento

DBD


Conclusões e sugestões para trabalhos futuros 117

mecânico, entretanto esse método requer uma aproximação da porosidade para

meios heterogêneos, já que a implementação realizada é a de elementos baseados

no vértice, o que traz uma aproximação da heterogeneidade inicial do meio

geológico. Outra desvantagem do MVF é a necessidade da construção de uma

malha de volumes finitos sobre a malha de elementos finitos.

Ainda dentro dessa alternativa pesquisou-se alguns métodos de obtenção da

velocidade no passo intermediário. A primeira como interpolação por elemento

diretamente do campo de pressões obtido no passo anterior, a segunda como a

proposição de Malta et al (2001) e uma terceira interpolação por elemento

utilizando elementos finitos de mais baixa ordem de Raviart-Thomas RT0.

As vantagens e desvantagens de cada um desses são também encontradas na

literatura, a proposição por elemento é reconhecidamente um procedimento mais

rápido em termos de processamento, a formulação proposta por Malta et al possui

a vantagem de colocar as velocidades com mesmo grau de interpolação das

pressões, mas apresenta como desvantagem a dependência do parâmetro . A

utilização de elementos de RT0 possui como característica a interpolação na aresta

do elemento contando com a continuidade da velocidade no sentido normal e a

possibilidade de descontinuidade da velocidade no sentido normal a interface

entre elementos, característica essa mais próxima do que se deve ter em meios

heterogêneos.

Os exemplos utilizados para validação desses três métodos foram extraídos

da literatura para o caso de fluxo monofásico. Ainda assim foi elaborada uma

solução analítica, baseada na solução do problema de adensamento

unidimensional para a obtenção da velocidade e da porosidade, os resultados

encontrados validam as implementações realizadas.

Aproveitando a estrutura implementada, uma terceira alternativa foi

avaliada: a utilização do MEFD que agrega vantagens do MEF clássico com as

vantagens do MVF, a saber: possibilidade de utilização da mesma estrutura de

malha do MEF sem interpolação de propriedades e aplicação de interpolação

espacial para a captura de frente de saturação do MVF, embora com custo

computacional maior. Os exemplos analisados e os resultados encontrados

sugerem uma boa aproximação com os revistos na literatura.

DBD



Nos parágrafos anteriores foram abordados os aspectos referentes ao

problema de fluxo bifásico, o problema mecânico implementado, segue o

proposto por Muller (2007), posto em forma de programação matemática e

apresentado também nesse trabalho. Foram analisados dois casos de acoplamento

fluido mecânico, um para validação do acoplamento utilizando o pseudo-

adensamento unidimensional, com a imposição da saturação de água unitária

(Sw=1) e um exemplo de um reservatório preenchido com óleo e com

carregamento no topo e injeção de agua em uma das faces como fim de avaliação

dos campos de saturação e pressão nos campo de deslocamento sendo que a

utilização do procedimento staggered para acoplamento fluido mecânico se

mostrou eficiente.

Nas diversas formulações os termos difusivos devido a pressão capilar

existente são considerados como constantes em cada elemento, entretanto como

discutido em Helmig (1998), essa pode não ser a melhor alternativa dependendo

do problema.

Esses exemplos sugerem que a implementação realizada apresenta-se como

uma boa ferramenta para aplicação a casos reais.

5.2. Sugestões para trabalhos futuros

O desenvolvimento do presente trabalho se baseou enormemente na

implementação realizada por Muller (2007), agregando outras potencialidades,

como descrito nos parágrafos anteriores; basicamente a inclusão de outros

métodos de solução do problema de fluxo bifásico. Considerando essas

potencialidades, diversas oportunidades de desenvolvimento de futuros trabalhos

podem ser sugeridas, sejam como ponto de partida para novos trabalhos, sejam

para melhor avaliação dos métodos incluídos:

1. Pesquisa e implementação de diferentes modelos de

comportamento tensão-deformação-resistência para o comportamento

mecânico do meio poroso.

DBD



2. Implementação de formulações para análise de fluxo de

contaminantes agregando a potencialidade das implementações de pós-

processamento da velocidade.

3. Análise da condição crítica de passos de tempo para estabilidade

das soluções bem como da necessária análise mais aprimorada da

convergência dessas soluções.

4. Implementação de outros elementos finitos, bem como para

análise 3D.

5. Implementação de procedimento de produção de areia seguindo

o elaborado por Muller (2009), acoplando-o à condição de fluxo bifásico.

6. Implementação de procedimentos mais eficientes de solução dos

sistemas, com a implementação de estrutura por aresta no MVF e ainda de

paralelização do MEFD.

7. Os exemplos mostrados para validação consideraram apenas a

condição de pressão capilar nula. Como discutido em Helmig (1998), uma

avaliação de outras formas possíveis de inclusão dos termos difusivos é

recomendada.

DBD


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