Aula 19
Sinais e Sistemas – Capítulo 7
Simon Haykin
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Representação de Sinais usando Exponenciais Complexas de Tempo
Discreto: A Transformada Z
Generalizaremos agora a representação senoidal complexa de um sinal de tempo discreto dada pela DTFT para uma representação em termos de sinais exponenciais complexos, a qual é denominada transformada Z.
Generalizaremos agora a representação senoidal complexa de um sinal de tempo discreto dada pela DTFT para uma representação em termos de sinais exponenciais complexos, a qual é denominada transformada Z.
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Representação de Sinais usando Exponenciais Complexas de Tempo
Discreto: A Transformada Z
A DTFT é aplicável somente a sistemas estáveis, enquanto que a transformada Z se aplica a sistemas em geral, seja ele estável ou não.
Várias propriedades da DTFT se aplicam também à transformada Z, uma vez que esta é a generalização da DTFT.
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Representação de Sinais usando Exponenciais Complexas de Tempo
Discreto: A Transformada Z
Os papéis principais da transformada Z na prática da engenharia são:
- O estudo das características de sistemas;- Derivação de estruturas computacionais para
implementar sistemas de tempo discreto em computadores;
- Resolver equações de diferenças sujeitas a condições iniciais.
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A Transformada Z Admitamos que seja um número complexo com módulo r e fase Ω. Logo, o sinal x[n]=zn é um sinal complexo, de modo que
jrez
njnernx ou
njrncoxrnx nn sen
Observe que x[n] é uma senóide complexa no caso particular em que r=1.
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A Transformada Z Aplicando x[n] a um sistema LTI cuja resposta ao impulso é h[n], resulta que
k
knxkh
nxnhny *
Como x[n]=zn, então
k
kn
k
kn
zkhz
zkhny
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A Transformada Z Definindo a função de transferência
de forma que
k
kzkhzH
nn zzHzH
Expressando H(z) na forma polar, isto é
zjezHzH
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A Transformada Z
então
Substituindo z=rejΩ, obtemos
nzj zezHny
jnjjnj renrreHjrenrreHny sencos
njrnrnx nn sencos
Comparando y[n] com
Vemos que o sistema multiplica a amplitude da entrada por e desloca a fase dos componentes senoidais de
jreH jre
A Transformada Z
Substituindo agora z=rejΩ em
Obtém-se
k
kzkhzH
n
njn
n
njj
ernh
renhreH
Observe que corresponde à DTFT de um sinal , de modo que a DTFT inversa resulta em
jreH nrnh
dereHrnh njjn
2
1
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A Transformada Z
Multiplicando a última expressão por rn, obtém-se
zre j
drereHnhnjj
2
1
Fazendo , então ,dzdjre j
de modo que dzzj
d 11
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A Transformada Z
dzzzHj
nh n 1
2
1
Analisando agora os limites de integração, percebe-se que quando Ω vai de –π a π, z percorre um círculo de raio r no sentido anti-horário. Dessa forma, escrevemos
onde rz
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A Transformada Z
dzzzHj
nh n 1
2
1
Logo, obtemos H(z) a partir de h[n] usando
e obtemos h[n] a partir de H(z) usando
n
nznhzH
Dizemos que a função de transferência H(z) é a transformada Z da resposta ao impulso h[n].
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A Transformada Z
dzzzXj
nx n 1
2
1
De maneira geral, a transformada z de um sinal arbitrário x[n] é
e a transformada z inversa é
n
nznxzX
Expressamos a relação como
zXnxz
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A Transformada Z A transformada z existe quando
n
n
n
n rnxznx
A faixa r para a qual esta condição é satisfeita é chamada de região de convergência
Lembre-se que a existência da DTFT exige a somabilidade absoluta de x[n].
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A Transformada Z Para valores restritos de r, asseguramos que é absolutamente somável, ainda que x[n] não seja. nrnx
Considere, por exemplo x[n]=αnu[n]. A DTFT de x[n] não existirá para |α|>1. Entretanto, a transformada z de x[n] existirá desde que r>α, pois r-n decrescerá mais rapidamente do que αn.
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A Transformada Z
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A Transformada Z
O Plano Z jrez 1r
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A Transformada Z
Exemplo 1: Determine a transformada Z do sinal
contráriocaso,0
2,1
1,1
0,2
1,1
n
n
n
n
nx
Use a transformada Z para determinar a DTFT de x[n].
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A Transformada Z
Solução: Substitua x[n] em para obter
Obtemos a DTFT a partir de X[z] substituindo z=ejΩ.
212 zzzzX
22 jjjj eeeeX
n
nznxzX
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Forma usual da transformada Z
ou N
N
MM
zaza
zbzbbzX
11
110
1
N
kk
M
kk
zd
zcbzX
1
1
1
10
1
1
Os coeficientes cks são raízes do numerador, sendo denominados zeros de X(z).
Os coeficiente dks são raízes do denominador, sendo denominados de pólos de X(z).
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Exemplo 2: Determine a transformada Z do sinal
nunx n
Descreva a região de convergência e as localizações dos pólos e zeros de X(z) no plano Z.
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A Transformada Z
Solução: Substitua x[n] em para obter
Esta é uma série geométrica de tamanho infinito na razão α/z. A soma converge desde que |α/z|<1 ou |z|>|α|. Consequentemente,
0n
n
n
nn
zznuzX
n
nznxzX
zz
z
zzX ,
1
11
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Portanto, há um pólo em z=α e um zero em z=0.
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Exemplo 3: Determine a transformada Z do sinal
1 nuny n
Descreva a região de convergência e as localizações dos pólos e zeros de Y(z) no plano Z.
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A Transformada Z
Solução: Substitua y[n] em para obter
A soma converge desde que |z/α|<1 ou |z|<|α|. Consequentemente,
01
1
1
1
k
k
k
k
n
n
n
nn
zz
zznuzY
n
nznyzY
zz
z
zzY ,
1
11
1
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A Transformada Z
zz
zzY ,
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A Transformada Z
Exemplo 4: Determine a transformada Z do sinal
nununxn
2
11
Descreva a região de convergência e as localizações dos pólos e zeros de X(z) no plano Z.
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Solução: Substitua x[n] em para obter
A soma converge desde que |z|>1/2 e |z|<1.
k
k
n
n
n
n
n
n
n
nnn
zzzz
znuznuzX
00
1
0
11
2
11
2
1
12
1
n
nznxzX
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A Transformada ZConsequentemente,
12
1,
121
23
2
1
11
21
1
1
1
zzz
zz
zzzX
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