POLIEDROSPOLIEDROS
I - Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
II - POLIEDROS NÃO CONVEXOS OU CÔNCAVOS.
Unindo dois pontos distintos, pertencentes a duas faces distintas por um segmento de reta, se existirem pontos deste segmento, não pertencente a nenhuma das faces, então o poliedro é côncavo. Exemplo:
III - POLIEDROS CONVEXOS
Condição de convexidade: O plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semi- espaço.
IV - RELAÇÃO DE EULERV – A + F = 2 OU V + F = A + 2
Onde:V- NÚMERO DE VÉRTICESA- NÚMERO DE ARESTASF – NÚMERO DE FACES
OBSERVAÇÃO:Todo poliedro convexo obedece a relação de Euler , mas existem poliedros côncavos que também obedecem a relação de Euler.Ex:
V=12, F= 8 e A =18Então:V+F=12+8=20 eA+ 2= 18+2=20Assim , este poliedro é Euleriano.
V- Soma dos ângulos internos de todas as faces de um
poliedro convexo.
S = ( V – 2). 360º
VI - POLIEDROS PLATÔNICOS OU DE PLATÃO
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:a) for convexo;b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;c) toda face tiver o mesmo número de arestas;d) for válida a relação de Euler.
Exemplos:
Poliedro de Platão Não é poliedro de Platão, pois as faces não tem o mesmo número de arestas
VII - Propriedade dos poliedros VII - Propriedade dos poliedros convexosconvexos
. 2.n F A= ⇒ .
2
n FA=
Onde :n - Representa o número de arestas do polígono da face.F - Representa o número de faces.A - Representa o número de arestas.
Exemplos:Exemplos:
a) Quantos vértices possui um dodecaedro?Sabemos que o dodecaedro possui 12 faces,
então:
. 5.1230
2 2:
2 30 2 12
20
n FA A A
Assim pela relaçãode Euler temos
V F A V
V
= ⇒ = ⇒ =
+ = + ⇒ = + −=
São respectivamente o número de faces triangulares e faces quadrangulares.
Assim:
b)Um poliedro convexo tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares.Calcule o número de vértices e a soma dos ângulos de todas as faces deste poliedro.
t qF eF
3. 4. 3.6 4.519
2 2t qF F
A A A+ += ⇒ = ⇒ =
:
2 19 2 11
10
Assim pela relaçãode Euler temos
V F A V
V
+ = + ⇒ = + −=
Sabemos que:S = ( V – 2). 360º, então:S=(10 – 2).360ºS=2880º
VIII - POLIEDROS REGULARESSão poliedros de Platão em que todas as faces são polígonos
regulares
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