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Cálculo I - ���������� ℎ� 43
12. Diferenciação Logarítmica
A diferenciação logarítmica é uma técnica útil para diferenciar funções compostas de potências, produtos e quocientes de funções. Esta técnica consiste em executar os seguintes passos:
1) Tomar o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação � = ���� e usar as leis dos logaritmos;
2) Derivar implicitamente em relação a �; 3) Isolar ����.
Cálculo da derivada de uma função composta por potências de funções
Seja � = ���� uma função dada por:
� = �� onde� = ������ = ℎ���, ou seja, ���� = �������� Deseja-se calcular a derivada� ���� ou ���� ou �′.
Vamos calcular a derivada seguindo as etapas da técnica de diferenciação logarítmica:
1) Tomar o logaritmo natural em ambos os lados da equação e usar as lei dos logaritmos
ln��� = ln���� = �. ln��� 2) Derivar implicitamente em relação a �
""� �ln���� =
""� ��. ln����
1� .
"�"� = �. ""� �ln���� + ln���. ""� ���
1� .
"�"� = �. 1� .
"�"� + ln���. "�"�
3) Isolar ����
"�"� = � %�� .
"�"� + ln���. "�"�&
"�"� = �� '�� .
"�"� + ln���. "�"�(
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Exemplos:
Calcule a derivada das funções indicadas:
1�� = ��) + 1�)�
ln��� = ln���)+ 1�)�� = 2�. ln��) + 1� ""� �ln���� =
""� �2�. ln��)+ 1��
1� ."�"� = 2�. ""� �ln��) + 1�� + ln��)+ 1� . ""� �2��
1� ."�"� = 2�. ' 1
�)+ 1 .""� ��) + 1�( + ln��) + 1� . 2
1� ."�"� = 2�. ' 2�
�) + 1( + 2 ln��) + 1� "�"� = � + 4�)
�)+ 1+ 2 ln��) + 1�-
"�"� = ��)+ 1�)� + 4�)
�) + 1+ 2 ln��)+ 1�-
2�� = '1 + 1�(
�
ln��� = ln +'1 + 1�(
�- = � ln '� + 1� (
.ln���/′ = %� ln '� + 1� (&�
1� . �� = .�/�. ln '� + 1� ( + %ln '� + 1
� (&� . �
1� . �� = �1�. ln '� + 1� (+ 1
� + 1�. %� + 1
� &� . �
1� . �� = ln'� + 1� (+ �)
� + 1 . +.� + 1/�. � − .�/�. �� + 1�
�) -
1� . �� = ln'� + 1� (+ �)
� + 1 . '� − �� + 1�
�) ( 1� . �� = ln'� + 1
� (− 1� + 1
�� = � 'ln'� + 1� (− 1
� + 1( = '1 + 1�(
� . 'ln'� + 1� (− 1
� + 1(
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3�� = � 234�5�� ln��� = ln6� 234�5��7 = 8�9�3��. ln��� .ln���/′ = .8�9�3��. ln���/′ 1� . �� = .8�9�3��/�. ln��� + .ln���/�. 8�9�3�� 1� . �� = cos�3��.3�/�. ln��� + 1
� . 8�9�3�� �� = 3�cos�3�� ln��� + �
� . 8�9�3�� �� = � 234�5�� '3cos�3�� ln��� + 8�9�3��
� (
4�� = 2=. cos�� ln��� = ln�2=. cos��� = ln�2=� + ln�cos��� 1�� � =
12= . .2=/� +
1cos�� . .cos��/�
1�� � =2= ln�2�
2= − 8�9��cos��
� � = � 'ln�2� − 8�9��cos��( = 2= cos�� 'ln�2� − 8�9��
cos��( = 2= ln�2� cos�� − 2=8�9��
5�? = 2�) + � + 6√� + 2
ln�?� = ln +2�)+ � + 6√� + 2 -
ln�?� = ln�2�)+ � + 6� − ln6√� + 27 ""� �ln�?�� =
""� 6ln�2�)+ � + 6� − ln6√� + 277
1? . "?"� = ""� �ln�2�) + � + 6�� − "
"� 6ln6√� + 277 1? . "?"� = 1
2�)+ � + 6""� �2�) + � + 6� − 1
√� + 2""� 6√� + 27
1? . "?"� = 4� + 12�)+ � + 6 −
12. 6√� + 27. 6√� + 27
"?"� = ? ' 4� + 12�) + � + 6 −
12�� + 2�( = +2�)+ � + 6
√� + 2 - . ' 4� + 12�)+ � + 6 −
12�� + 2�(
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13. Diferenciais
Seja � = ���� uma função diferenciável. A diferencial de � (denota-se "�) é uma variável independente que pode assumir qualquer valor real. A diferencial de � (denota-se "�) é dada pela equação:
"� = � ����"� A diferencial "� é uma variável dependente que depende do valor de � e de "�. Fixado um valor para �, a equação é a representação de uma função que a cada "� ∈ ℜ , associa "� ∈ ℜ , onde "� = � ����"� . Tal função é denominada de diferencial de �em � , ou, simplesmente, diferencial de � = ����. Se "� ≠ 0 então podemos escrever:
"�"� = �′���
Estamos acostumados a interpretar ���� como uma simples notação para a
derivada de � em relação a �, porém podemos interpretar ���� como o
quociente entre a diferencial de � �"��e a diferencial de � �"��. Na maioria das aplicações, as diferenciais "� e "� são consideradas como pequenos incrementos.
O significado geométrico das diferenciais é mostrado na figura abaixo. Sejam ���, ����� e G�� + ∆�, ��� + ∆��� dois pontos sobre o gráfico da função � = ���� e considere "� como sendo o incremento dado na variável � , ou seja, "� = ∆�. De acordo com a figura, a distância "� entre os pontos I e � é "� = tan�L�"�. Mas tan�L� é o coeficiente angular da reta tangente T, no ponto ���, �����, então tan�L� = MN = � ����. Portanto, "� = � ����"� e representa a variação na ordenada da reta tangente O, correspondente à variação "�em � . Observe que ∆� , a distância entre os pontos S e Q, representa a variação que a função sofre quando se passa de� para � + "�. "� = � ����"��∆� = ��� + "�� − ����
� � + ∆�
����
��� + ∆��
∆� = "�
∆�
�
�
�
� = ����
"�
T G
� ∆� − "�
L
I
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Observe que se ∆� ≈ 0 a diferencial "� pode ser vista como uma aproximação para ∆� , ou seja, ∆� ≈ "� . Evidentemente, o erro absoluto “|∆� − "�|” que se comete na aproximação de ∆� por "� será tanto menor quanto menor for ∆�. Fazendo "� = ∆� ≈ 0 tem-se ∆� ≈ "�, então
∆� ≈ "� = � ����"� ∴ ∆� ≈ � ����"���∆� ≈ � ����∆� Utilizando as diferenciais podemos encontrar uma aproximação linear para a função � em torno de um ponto do domínio �S. Esta aproximação permite estimar o valor da função em um ponto � = �S + ∆� , próximo de �S, cujo resultado será tanto melhor quanto menor for o incremento ∆�. Se "� = ∆� ≈ 0 então ∆� ≈ "� . Mas ∆� = ���S + ∆�� − ���S� e "� = � ���S�∆� . Então:
���S + ∆�� − ���S� ≈ �′��S�∆� ���S + ∆�� ≈ ���S� + � ���S�∆�
���S + ∆�� ≈ ���S�+ � ���S��� − �S� Observe que a equação acima representa a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto �6�S, ���S�7. Exemplos: 1) Encontre a diferencial das funções
�� = �5 + 2� Se � = ���� ⇒ "� = � ����"� � ���� = 3�) + 2� ∴ "� = �3�)+ 2�"�
U�� = 8�9�)� Se � = ��� ⇒ "� = � ���" � ��� = cos�)� "" �)� "� = 2V�8�)�"
V�� = V�8�ln���� Se � = ���� ⇒ "� = � ����"� � ���� = −8�9�ln����. ""� �ln���� = − 8�9�ln����
� "� = −8�9�ln����
� "�
Cálculo I - ���������� ℎ� 48
2) Calcule o valor da diferencial "� para os valores de� e "� indicados �� = ��W, � = 0,"� = 0,1
Se � = ���� ⇒ "� = � ����"� � ���� = ��W ""� X
�4Y =
��W4
"� = ��W4 "�, Z�� = 0�"� = 0,1�M− 8�"� = �S
4 . 0,1 = 0,025
U�� = �) + 2�, � = 3,"� = 12
Se � = ���� ⇒ "� = � ����"� � ���� = 2� + 2 "� = �2� + 2�"�, Z�� = 3�"� = 1
2 �M − 8�"� = �2.3 + 2�. 12 = 4
3) Dada a função � = ����,calcule ∆�, "� e o erro absoluto que se comete na aproximação de ∆� por "�, para os valores de � e de ∆� indicados. �� = √�, � = 1,∆� = 1
∆� = ��� + ∆�� − ���� = ��2� − ��1� ∆� = √2− 1 ≈ 0,414 "� = � ����"� = 1
2√� "� = 12. 1 = 0,5 ���� = |∆� − "�| ≅ |0,414− 0.5| ≅ 0,086
U�� = 16� , � = 4,∆� = −1
∆� = ��� + ∆�� − ���� = ��3� − ��4� ∆� = 16
3 − 164 = 4
3 = 1,3333 "� = � ����"� = −16�) "� = −1616 . �−1� = 1 ���� = |∆� − "�| ≅ |1,333− 1| ≅ 0,3333
4) Use diferenciais para estimar o valor do número dado:
��2,001�] Fazendo � = ���� = �],�S = 2�∆� = 0,001
���S + ∆�� ≈ ���S� + � ���S�∆� �2,001�] = ��2,001� = ��2+ 0,001� ≈ ��2� + � ��2�0,001 ��2� = 2] = 32;� ���� = 5�W; ���2� = 5. 16 = 80
��2,001� = 32 + 80.0,001 = 32,08
Cálculo I - ���������� ℎ� 49
U�^99,8 Fazendo � = ���� = √�,� = 100�∆� = −0,2
���S + ∆�� ≈ ���S� + � ���S�∆� ^99,8 = ��99,8� = ��100− 0,2� ≈ ��100� + � ��100��−0,2� ��100� = √100 = 10;� ���� = 1
2√� ; ���100� =1
2√100 = 0,05
^99,8 = ��99,8�≈ 10 + �0,05��−0,2�= 10− 0,01 = 9,99
5) Um comerciante deseja embalar seu produto em caixas em forma de
cubo, com lados iguais a 30 cm. O fabricante das caixas informou que há a possiblidade de terem cometido erros durante a fabricação de no máximo 0.1 VM na medida de cada um dos lados do cubo.
a) Use as differenciais para estimar o maior erro possível que os defeitos podem causar na medição do volume do cubo. Chamando de ` o volume e de � o comprimento dos lados dos cubos, o volume pode ser representado pela equação ̀ = �5, (` = ����). Queremos saber a variação do volume ∆` que é causada quando o comprimento de cada um dos lados do cubo varia no máximo de 0,1VM. Como não estamos interessados se a variação de volume causará prejuízo (+0,1 cm) ou lucro (-0,1 cm) vamos considerar o valor positivo para o incremento da variável �, ou seja, ∆� = 0,1.Como desejamos uma estimativa, vamos usar as diferenciais, então ∆` ≈ "` e ∆� = "� = 0,1.
` = �5 ⇒ "` = ` ����"� ⇒ "` = 3�)"�
Quando � = 30 e "� = 0,1 tem-se:
"` = 3�)"� = 3�30�)�0,1� = 270VM5 O maior erro que os defeitos podem causar na medição do volume representa 1% do volume da caixa sem defeito de medição�` = 305 =27000VM5�.
b) Cálcule o maior erro real possível que os defeitos podem causar na medição do volume do volume do cubo.
Queremos saber a variação real do volume ∆`que é causada quando o comprimento de cada um dos lados do cubo varia de � = 30VM para � = 30,1VM.
∆` = ��� + ∆�� − ���� = ��30,1� − ��30� ∆` = �30,1�5 − 305 = 270,901VM5
Observe que ∆` ≈ "`
Cálculo I - ���������� ℎ� 50
14. Regra de L’Hospital
Observações:
1) É extremamente importante verificar se um dado quociente tem a forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞ para que a regra de L’Hospital possa ser utilizada.
2) Indeterminações do tipo 0.∞ podem ser modificadas para indeterminações do tipo 0/0 ou ∞/∞ permitindo a utilização da regra de L’Hospital.
0.∞ = 0. 10 =00 ��0.∞ = 1
∞ .∞ = ∞∞
3) A regra de L’Hospital pode ser aplicada repetidas vezes até que o quociente deixe de apresentar as formas indeterminadas 0/0 ou ∞/∞
Exemplos:
Calcule o limite indicado utilizando a regra de L’Hospital, se possível
1� lim�→)��)− 4�� − 2 = 0
0 Z �V9"�g′h�8Z� lim�→)
��) − 4�� − 2 = lim�→)
i���)− 4�i��� − 2� = lim�→)
2�1 = 2.1
1 = 4
2�lim�→S8�9���
� = 00 Z �V9"�g′h�8Z�
lim�→S8�9���
� = lim�→Si��8�9����i���� = lim�→S
cos���1 = cos�0�
1 = 1
3� lim�→jkln���� = +∞
+∞Z �V9"�g′h�8Z� lim�→jk
ln���� = lim�→jk
i��ln����i���� = lim�→jk 1 �l1 = lim�→jk1� = 0
lim�→� �������� =
00 �� lim�→�
�������� =
∞∞
lim�→� �������� = lim�→�
� ���������
Sejam ���� e ���� funções diferenciáveis e
Se o limite lim�→� m���n���existir (finito ou infinito), então.
Obs: A regra também é válida se for substituído por j ou o, ou se = +∞ ou = −∞.
Cálculo I - ���������� ℎ� 51
4� lim�→jk� �o� = +∞.�ok = +∞.0 Antes de aplicar a regra de L’Hospital devemos transformar a indeterminação �+∞.0� em uma indeterminação do tipo 0/0 ou ∞/∞
lim�→jk��o� = lim�→jk��� =
+∞+∞Z �V9"�g′h�8Z�
lim�→jk��o� = lim�→jk��� = lim�→jk
i����i����� = lim�→jk 1�� =1
�jk =1+∞ = 0
5� lim�→jk�3�) + 5� − 8��7�) − 2� + 1� =
+∞+∞ Z �V9"�g′h�8Z�
lim�→jk�3�) + 5� − 8��7�) − 2� + 1� = lim�→jk
.3�) + 5� − 8/�
.7�) − 2� + 1/� = lim�→jk' 6� + 514� − 2( =
+∞+∞
Como o limite continua na forma indeterminada ∞/∞ aplica-se a regra de L’Hospital novamente.
lim�→jk�3�) + 5� − 8��7�) − 2� + 1� = lim�→jk
.6� + 5/�.14� − 2/� = lim�→jk
614 = 37
6�lim�→3 2� −4��− 3�2 =
20 9ã�éZ�88í�� Z �V�����"�g′h�Z�
Como o limite não leva a uma indeterminação do tipo 0/0 ou ∞/∞ não é possível calculá-lo pela regra de L’Hospital. Se aplicarmos a regra em uma forma que não tenha estas indeterminações, poderemos chegar a uma conclusão incorreta.
Neste exemplo se tivéssemos utilizado a regra de L’Hospital teríamos:
lim�→52� − 4�� − 3�) = lim�→5
.2� − 4/′.�� − 3�)/′ = lim�→5
22�� − 3� = lim�→5
.1/′.� − 3/′ =
01 = 0st�u��vOu
O que estaria INCORRETO.
O cálculo correto deste limite é feito através da análise de sinais dos limites laterais.
lim�→5w2� − 4�� − 3�) =
2�+�0�+� = +∞� lim�→5x
2� − 4�� − 3�) =
2�+�0�+� = +∞
lim�→5w2� − 4�� − 3�) = lim�→5x
2� − 4�� − 3�) = +∞
Portanto
lim�→52� − 4�� − 3�) = +∞
Cálculo I - ���������� ℎ� 52
15. Variação das funções
Função Crescente Seja ���� uma função definida em um intervalo s, então:
� é crescente em s se ���S� < ���z� sempre que �S < �z , quaisquer que sejam �S e �z pertencentes a s.
Função Decrescente Seja ���� uma função definida em um intervalo s, então:
� é decrescente em sse ���S� > ���z� sempre que �S < �z, quaisquer que sejam �S e �z pertencentes a s.
� ��V� = ��U� − ���U −
Teorema do Valor Médio ou de Lagrange Se � é uma função contínua em ., U/ e derivável em /, U. então existe V ∈ /, U. tal que a reta tangente ao gráfico de � no ponto �V, ��V�� é paralela à reta que passa por �, ���� e �U, ��U��. Ou seja,
V U
���
��U�
Cálculo I - ���������� ℎ� 53
Exemplos: Faça a análise do crescimento e do decrescimento das funções:
1) ���� = −2� $ 3 i�M��� � C�� ���� � 02
A função � é contínua e derivável em todo � ∈ C. Assim o teorema do Valor Médio é válido e suas consequências podem ser aplicadas.
� ���� � 02 y 0, qualquer que seja � ∈ C
Logo a função é decrescente a em todo o domínio.
2) ���� � �5
i�M��� � C�� ���� � 3�)
A função� é contínua e derivável em todo � ∈ C. A função � satisfaz as condições do teorema do Valor Médio (T.V.M.) e suas consequências podem ser aplicadas.
� ���� � 3�) { 0, qualquer que seja � ∈ C
Logo a função é crescente a em todo o domínio.
3) ���� � √�)|
i�M��� � C�� ���� �2
3√�| ∄Z�� � 0
A função � é contínua em � � 0, mas não é diferenciável em � � 0, então � não satisfaz as condições do T.V.M. . No intervalo �0∞,0/ o T.V.M é válido pois � é contínua em �0∞,0/ e diferenciável em �0∞,0� Quando� y 0; � ���� y 0portanto �é"�V��8V�9��M�0∞,0/. No intervalo .0,$∞� o T.V.M é válido pois � é contínua em .0,$∞� e diferenciável em �0,$∞� Quando � { 0; � ���� y 0,.portanto�éV��8V�9��M.0,$∞�
Consequências do Teorema do Valor Médio ou de Lagrange Seja � é uma função contínua no intervalo fechado ., U/ e derivável no intervalo aberto /, U.então: Se � ���� { 0 para todo � ∈ /, U., então � é crescente em /, U..
Se � ���� y 0 para todo � ∈ /, U., então � é decrescente em /, U..
Cálculo I - ���������� ℎ� 54
Exemplos:
Encontre os pontos críticos do domínio das funções abaixo:
1����� � √3� − 6| + 2 → ���� = �3� − 6�z5 + 2 � ���� = 1
3�3� − 6�o)5. .3� − 6/′ � ���� = 1
3�� − 1�o)5. �3� = 1^�3� − 6�)|
Para �S ser ponto crítico, �S ∈ i�M��� e � ���S� = 0 ou � ���S�∄. i�M��� = ℜ � ����não existe quando 3� − 6 = 0 → � = 2
� = 2 é número crítico de � pois � = 2 ∈ i�M����� ��2�∄ �′��� nunca se anula.
2����� = �� + 5�)√� − 4| �′��� = .�� + 5�)/�√� − 4| + ~√� − 4| ���� + 5�) �′��� = 2�� + 5�.� + 5/�√� − 4| + + 1
3^�� − 4�)| .� − 4/�-�� + 5�)
� ���� = 2�� + 5�√� − 4| + �� + 5�)3^�� − 4�)| = 6�� + 5��� − 4� + �� + 5�)
3^�� − 4�)|
�′��� = �� + 5�66�� − 4� + �� + 5�73^�� − 4�)| = �� + 5��7� − 19�
3^�� − 4�)|
i�M��� = ℜ �′��� não existe quando � − 4 = 0 → � = 4
� = 4 é número crítico de � pois � = 4 ∈ i�M����� ��4�∄ � ���� = 0 quando � + 5 = 0 → � = −5
� = −5 é número crítico de � pois � = −5 ∈ i�M����� ��−5� = 0 � ���� = 0 quando 7� − 19 = 0 → � = z��
� = z�� é número crítico de � pois � = z�
� ∈ i�M����� � Xz�� Y = 0
Ponto Crítico
Um número �S ∈ i�M���é um número crítico de � se � ���S� = 0 ou se ����S� não existe. O número crítico também é chamado de ponto crítico do domínio de �.
Cálculo I - ���������� ℎ� 55
Máximos e Mínimos Relativos (ou local)
Uma função � terá um valor máximo relativo em �S se existir um intervalo aberto contendo �S, tal que ���S� ≥ ���� para todo � nesse intervalo.
A função � terá um valor mínimo relativo em �z se existir um intervalo aberto contendo �z,, tal que ���z� ≤ ���� para todo � nesse intervalo.
Os valores máximo e mínimo da função são também chamados de valores extremos, ou extremos de �.
Teste da Derivada Primeira Seja uma função ���� definida e contínua num intervalo aberto /, U. e �S ∈ /, U.. Se ���� é diferenciável em todos os pontos em /, U. exceto, possivelmente em �S, então: • �possui um máximo relativo em �S, < �S < U,se:
� ���� > 0 para todo � em /, �S. e � ���� < 0 em /�S, U., isto é, se à esquerda de �S a função for crescente e à direita de �S a função for decrescente.
• �possui um mínimo relativo em �S, < �S < U,se: � ���� < 0 para todo � em /, �S. e � ���� > 0 em /�S, U., isto é, se à esquerda de �S a função for decrescente e à direita de �S a função for crescente.
� ���� > 0 � ���� > 0
crescente crescente �S �z� ���� < 0
decrescente
Cálculo I - ���������� ℎ� 56
Observações
1. Pelo teorema, se � � �Sé um ponto de extremo local para � e � for derivável em � � �S, então � ���S� � 0. Assim, a reta tangente à curva � � ���� no ponto ��S, ���S�� é horizontal.
2. A recíproca não é verdadeira, ou seja, o fato de �S ser um ponto crítico não garante que �S seja um ponto de máximo ou de mínimo.
� ���S� � 0��� ���S�∄
Teorema Se � for uma função definida para todos os valores de � no intervalo aberto /, U. e se � tiver um extremo relativo (máximo ou mínimo) em � � �S , sendo y �S y U, então �S é número crítico de �, isto é:
Cálculo I - ���������� ℎ� 57
Exemplos:
Dada uma função, determine seus os intervalos de crescimento e de decrescimento e seus pontos de máximo e de mínimo relativos, se existirem.
1) ���� � �5
• Determinação dos pontos críticos:�S ∈ i�M���� � ���S� � 0��� ���S�∄
����� � 3�)
�′��� existe para todos os valores de � . Devemos então procurar os valores de � tais que � ���� � 0
����� � 3�) � 0 → 3�) � 0 → 3�) � 0 → � � 0
i�M��� � C
� � 0é número crítico de � pois � � 0 ∈ i�M����� ��0� � 0
• Cálculo do valor da função nos pontos críticos
Em � � 0: ��0� � 0
• Intervalos de crescimento e de decrescimento:
Análise do sinal de � ���� � 3�)
� y 0 � { 0
� ��01� � 3 { 0 � ��1� � 3 y 0 crescente crescente
• Extremos Relativos
Como à direita e a à esquerda de � � 0 a �’��) não muda de sinal, � não tem extremo relativo em � � 0. A função é sempre crescente.
� ���� { 0 � ���� { 0
crescente crescente � � 0
Cálculo I - ���������� ℎ� 58
2) ���� � �5 − 3�) • Determinação dos pontos críticos:�S ∈ i�M���� � ���S� = 0��� ���S�∄ ����� = 3�) − 6�
����� = 3�) − 6� = 0 → 3�) − 6� = 0 3��� − 2� = 0 → � = 0��� − 2 = 0 � = 0é número crítico de � pois � = 0 ∈ i�M��� = ℜ�� ��0� = 0 � = 2é número crítico de � pois � = 2 ∈ i�M��� = ℜ�� ��2� = 0
• Cálculo do valor da função nos pontos críticos
Em � = 0: ��0� = 0 Em � = 2: ��2� = �2�5 − 3�2�) =−4
• Intervalos de crescimento e de decrescimento:
Análise do sinal de � ���� = 3�) − 6 � < 0 0 < � < 2 � > 2
� ��−1� = 9 > 0 � ��1� = −3 < 0 �′�3� = 9 > 0 crescente decrescente crescente
• Extremos Relativos
Como em � = 0 a função passa de crescente para decrescente, � = 0 é ponto de máximo relativo e o valor máximo relativo da função é ��0� = 0. Como em � = 2 a função passa de decrescente para crescente, � = 2 é ponto de mínimo relativo e o valor mínimo relativo da função é ��2� = −4.
� ���� > 0 � ���� > 0
crescente crescente � = 0 � = 2� ���� < 0
decrescente
Cálculo I - ���������� ℎ� 59
Exemplos
Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento e os valores extremos relativos e absolutos da função ���� � �5 − 12� em .−3, 5/. • Determinação dos pontos críticos de � no intervalo aberto /−3, 5..
����� = 3�) − 12 �′��� existe para todos os valores de � ∈ /−3, 5.. Devemos procurar os valores de � tais que � ���� = 0
����� = 3�) − 12 = 0 → �) = 4 → |�| = 2 � = −2��� = 2
� = −2é número crítico de � pois � = −2 ∈ /−3, 5.�� ��−2� = 0 � = 2é número crítico de � pois � = 2 ∈ /−3, 5.�� ��2� = 0
• Cálculo do valor da função nos números críticos
��−2� = �−2�5− 12. �−2� = 16 ��2� = �2�5 − 12. �2� = −16
�����������"��9çã��MséVℎM"�"�������á������������ u����������"��9çã��MséVℎM"�"�������í������������
Máximos e Mínimos Absolutos Nem sempre uma função � possui extremo relativo em intervalo aberto s e, quando existe, ele não necessariamente é único.
Teorema do Valor Extremo Se �é uma função contínua no intervalo fechado ., U/ então � toma seu valor máximo e seu mínimo ao menos uma vez em ., U/. Obs: A importância deste teorema é que ele garante a existência de valores extremos, se a função for contínua no intervalo fechado ., U/. Ou seja, se os valores extremos da função não ocorrem em algum ponto do intervalo aberto /, U. , então eles ocorrem nas extremidades do intervalo fechado ., U/, ou seja, em ou em U.
Cálculo I - ���������� ℎ� 60
• Intervalos de crescimento e de decrescimento: � ���� � 3�) − 12
.−3,−2. /−2, 2. /2, 5/ � ��−3� � 15 { 0 � ��0� � −12 y 0 � ��3� � 15 { 0 crescente decrescente crescente
• Extremos Relativos
Como em � � −2 a função passa de crescente para decrescente, a função tem um valor máximo relativo ��−2� � 16. Ponto �−2, 16� Como em � � 2 a função passa de decrescente para crescente, a função tem um valor mínimo relativo ��2� � −16. Ponto �2,−16�
• Cálculo do valor da função nos extremos do intervalo
��−3� � �−3�5− 12. �−3� � 9 ��5� � �5�5 − 12. �5� � 65
• Extremos Absolutos
O maior valor da função no intervalo .−3, 5/ ocorre em � � 5 e ��5� � 65 é o valor máximo absoluto da função nesse intervalo. Ponto �5,65� O menor valor da função no intervalo .−3, 5/ ocorre em � � 2 e ��2� � −16 é o valor mínimo absoluto da função nesse intervalo. Ponto �2,−16�
Cálculo I - ���������� ℎ� 61
Concavidade
Dizemos que o gráfico de � tem concavidade para cima no intervalo aberto s quando ele estiver acima de todas as retas tangentes traçadas em todos os pontos de s. �′ é crescente em �. Dizemos que o gráfico de � tem concavidade para baixo no intervalo aberto s quando ele estiver abaixo de todas as retas tangentes traçadas em todos os pontos de s. �′ é decrescente em �. Côncavo para cima Côncavo para baixo
I������� y 0Z��"�� ∈ s → ��MV�9V��""�Z�U����Ms
Teste da Concavidade
Seja � uma função contínua e derivável até a segunda ordem em s I������� > 0Z��"�� ∈ s → ��MV�9V��""�Z�V�M�Ms
� ����S� = 0��� ����S�∄
Ponto de Inflexão
Seja � uma função contínua e �S um ponto de seu domínio. O ponto �Sé denominado de ponto de inflexão de � quando nele ocorre a mudança de concavidade do gráfico de �. Se � = �S é ponto de inflexão do gráfico de �, então �S é número crítico do gráfico de �′, ou seja,
OBS: � ����S� = 0 ou � ����S�∄ são condições necessárias para �S ser um ponto de inflexão, porém não suficientes. Devemos analisar o sinal de � ����� para � < �S e � > �S. Se houver mudança de sinal é ponto de inflexão.
Teste da Segunda Derivada
Suponha �′′ contínua próxima de � = �S.
Se� ���S� = 0�� ����S� > 0 → �tem um mínimo local em � = �S Se� ���S� = 0�� ����S� < 0 → �tem um máximo local em � = �S Se� ���S� = 0�� ����S� = 0 nada se pode afirma (fazer análise de sinal de�”�
Cálculo I - ���������� ℎ� 62
Exemplos:
Dada uma função � contínua no intervalo fechado ., U/ indicado, determine:
a) Os pontos críticos do domínio de � em ., U/ b) Os valores extremos relativos de � c) Os valores extremos absolutos de � d) Pontos de inflexão
e) Gráfico da função
1����� = �W − 2�) + 3�M~−2, √3� a) Pontos Críticos: �S ∈ /, U.�� ���S� = 0 ou � ���S�∄
����� = 4�5 − 4�definida em todo intervalo
����� = 0 4�5− 4� = 0 → 4���)− 1� = 0 4� = 0 ∴ � = 0�� �) − 1 = 0 ∴ ^�) = 1 ∴ |�| = 1 ∴ � = 1��� = −1 Como a função �é contínua no intervalo �−2, √3~ e os pontos � = 0, � = 1 e� = −1 pertencem a esse intervalo e � ��0� = � ��1� = � ��−1� = 0 eles são pontos críticos do domínio de �. Pontos Críticos no intervalo �−2, √3~ ∶ � = 0, � = 1�� = −1
b) Valor da função nos pontos críticos
��−1� = �−1�W − 2�−1�)+ 3 = 2 ��0� = �0�W − 2�0�) + 3 = 3 ��1� = �1�W − 2�1�) + 3 = 2
c) Extremos relativos de � em 6−2,√37 ( pelo teste da Derivada Segunda) � ����� = 12�) − 4 Em � = −1 → � ���−1� = 12�−1�) − 4 = 8 > 0(concavidade para cima) � = −1 é ponto de mínimo relativo e ��−1� = 2 é mínimo relativo de � ��9�"�Mí9�M��� ���:��−1, 2� Em � = 0 → � ���0� = 12�0�) − 4 = −4 < 0(concavidade para baixo) � = 0 é ponto de máximo relativo e ��0� = 3 é máximo relativo de � ��9�"�Má��M��� ���:��0, 3� Em � = 1 → � ���1� = 12�1�)− 4 = 8 > 0 (concavidade para cima) � = 1 é ponto de mínimo relativo e ��1� = 2 é mínimo relativo de � ��9�"�Mí9�M��� ���:��1,2�
Cálculo I - ���������� ℎ� 63
d) Valor da função nos extremos do intervalo ~−2, √3� ��−2� = �−2�W − 2�−2�)+ 3 = 16 − 8 + 3 = 11��9�9���á��V�:i�−2, 11� �6√37 = 6√37W − 26√37) + 3 = 9− 6+ 3 = 6��9�9���á��V�:v�√3, 6�
e) Extremos Absolutos de � em ~−2, √3� O maior valor da função ocorre no extremo do intervalo em � = −2 , portanto, � = −2 é ponto de máximo absoluto e ��−2� = 11 é o valor máximo absoluto da função no intervalo ~−2,√3�. O menor valor da função ocorre quando � = −1 ou quando � = 1 , portanto, � = −1 e � = 1, além de serem pontos de mínimo relativo, são pontos de mínimo absoluto da função no intervalo fechado ~−2,√3� e ��−1� = ��1� = 2 é o valor mínimo absoluto da função no intervalo fechado.
f) Pontos de Inflexão: � ����� = 0ou � �′��S�∄ ������ = 12�) − 4 ∴ 12�) − 4 = 0 12�) = 4 ∴ �) = 4
12 ∴ ^�) = �1 3l ∴ |�| = �1 3l
� = √33 ��� = −√3
3
Análise da Concavidade
� < −√33 −√33 < � < √3
3 � > √33
� ���−1� = 8 > 0 � ���0� = −4 < 0 � ���1� = 8 côncavo para cima côncavo para baixo côncavo para cima
Conclusão: � tem pontos de inflexão quando � = − √55 e � = √5
5
g) Valores da função ���� = �W − 2�) + 3 nos pontos de inflexão: � +√33 - = +√33 -
W− 2 +√33 -
)+ 3 = 3 = 9
81− 239 + 3 = 1− 6+ 279 = 22
9 ≅ 2,44
� +−√33 - = +−√3
3 -W− 2 +−√3
3 -)+ 3 = 3 = 9
81− 2 39 + 3 = 1 − 6 + 279 = 22
9 ≅ 2,44
��9�89���á��V�:� +−√33 , 229 - �� +√33 , 229 -
Cálculo I - ���������� ℎ� 64
.
O intervalo .i, �/ contém um mínimo relativo, portanto, o gráfico de � é côncavo para cima (� ����� { 0� no intervalo ~−2,−√3/3�. O intervalo .�, �/ contém um máximo relativo, portanto, o gráfico de � é côncavo para baixo (� ����� y 0� no intervalo ~−√3/3,√3/3�. O intervalo .�,v/ contém um mínimo relativo, portanto, o gráfico de � é côncavo para cima (� ����� { 0� no intervalo ~√3/3, √3�.
2����� � �W − 8�53 �M %− 32, 3& a) Pontos Críticos: �S ∈ /, U.�� ���S� � 0 ou � ���S�∄ ����� � 4�5 − 8�) � 0é definida em todo intervalo
����� � 0 → 4�5 − 8�) � 0 → 4�)�� − 2� � 0 4�) � 0 ∴ � � 0��� − 2 � 0 ∴ � � 2 Como a função �é contínua no intervalo /−3/2, 3. e os pontos � � 0 e� � 2 pertencem a esse intervalo e � ��0� � � ��2� � 0, � � 0, � � 2 são pontos críticos do domínio de �.
b) Valor da função nos pontos críticos
��0� � 0 ��2� � �2�W − 8�2�53 � −163 ≅ −5,33
c) Extremos relativos de � em �−1, 3� ������ � 12�) − 16� Em � � 0 → � ���0� � 0 Como � ���0� � 0, o teste da derivada segunda não é conclusivo. Vamos determinar os extremos pelo teste da derivada primeira.
� y 0 0 y � y 2 � { 2 � ��−1� � −12 y 0 �′�1� � −4 y 0 � ��2,5� � 12.5 { 0 decrescente decrescente crescente
Como em � � 0 �′ não muda de sinal, � não tem ponto extremo em � � 0.
Como em � � 2 a função muda de decrescente para crescente, ��2� é mínimo relativo. ��9�"�Mí9�M��� ���: �2,05,33�
Cálculo I - ���������� ℎ� 65
d) Valor da Função nos extremos do intevalo
��−3/2� � '−32(W − 83'−32(
5 � 22516 ≅ 14,06��9�9���á��V�:�−1,5, 14,06� ��3� � �3�W − 8�3�53 � 9��9�9���á��V�:�3, 9�
e) Extremos Absolutos de � em .−3/2, 3/ O maior valor da função ocorre no extremo do intervalo em � � −3/2, portanto, ��−3/2� ≅ 14,06 é o valor máximo absoluto da função no intervalo .−3/2, 3/. O menor valor da função ocorre quando � � 2, portanto ��2� � −5,33 é valor máximo relativo e absoluto.
f) Pontos de Inflexão: � ����� � 0ou � �′��S�∄ ������ � 12�) − 16� ∴ 12�) − 16� � 0 ��12� − 16� � 0 → � � 0��12� − 16 � 0 � � 0��� � 43 ≅ 1,33 Análise da Concavidade
� y 0 0 y � y 4/3 � { 4/3 � ���−1� � 28 { 0 � ���1� � −4 y 0 � ���2� � 16 { 0
côncavo para cima côncavo para baixo côncavo para cima
Em � � 0 e em � � 4/3 o gráfico de � muda sua concavidade, portanto são pontos de inflexão.
g) Valor da função nos Pontos de Inflexão ��0� � 0 6���� � '43(
W − 83 '43(5 � − 25681 ≅ −3,16
Cálculo I - ���������� ℎ� 66
16. Problemas de Otimização
Nestes problemas buscamos soluções que sejam “ótimas”, do ponto de vista matemático. Procuramos, de acordo com o problema, a solução que minimize ou maximize a função analisada.
Exemplos: 1) Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular
de cartolina, medindo 8 cm de largura e 15 cm de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída dobrando os lados para cima nas linhas pontilhadas. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo. `� �M� � Á��"U8�.� �� `��� = �15− 2��.�8 − 2��.� `��� = 120� − 46�)+ 4�5
Sabemos que se a função ̀ possuir pontos de máximo, então eles ocorrem nos Pontos Críticos, então devemos ter `���� = �¡
�� = 0. "`"� = 120− 92� + 12�) "`"� = 120− 92� + 12�) = 0
¢�9�M�£çã� − ¤M��9çã����á�M� ��Mí9�M��M�¥¦�, U� 8��S���Z�9�"�Mí9�M��� ��� → ����S� = 0������S� > 0
¢��M�£çã� − ¤M��9çã����á�M� ��Má��M��M�¥¦�, U� 8��S���Z�9�"�Má��M��� ��� → � ���S� = 0������S� < 0
u�I: u8����M�8U8� ��88�9�V����M9��9�����"��9��� �,
�V����M98����M�""�8"��9��� ���Vℎ"�., U/
��
15− 2�
8 − 2�
Cálculo I - ���������� ℎ� 67
120− 92� $ 12�) � 0 ∴ � � 53 ��� � 6 Devemos observar que para a construção da caixa devemos ter 0 y � y 4. Assim o domínio da função ` é o intervalo /0, 4., portanto � � 6 não pertence ao domínio e somente � � 5/3 é ponto crítico em /0, 4.. Devemos verificar se � � 5/3 é ponto de máximo ou de mínimo o que pode ser feito pelo teste da segunda derivada de `. ")`"�) � −92$ 24��9ã� ")`"�)§�¨]/5 � −92 $ 24'53( �−42 y 0 Como em � � 5/3 tem-se `� � 0 e `�� y 0, então � � 5/3 é ponto de máximo local. Portanto 5/3 é o valor que � deve ter para que o volume seja máximo.
`��� � 120� − 46�)$ 4�5 ∴ `� �M�Má��M� � ` '53( � 120'53( − 46'53(
) $ 4 '53(5 ≅ 90.74VM5
2) Uma lata cilíndrica é feita para receber um litro de óleo. Encontre as
dimensões que minimizarão o custo do metal utilizado para produzir a lata. • Queremos encontrar as dimensões da lata que armazena 1 litro (V=1
litro=1000 cm3) que tenha a menor superfície (ou área S)
I � �©�23 $�=�ª«� $ �¬�=3�¬ I � 2®�)$ 2®�ℎ�` � 1000 � ®�)ℎ → ℎ � 1000®�)
I � 2®�)$ 2®� '1000®�) ( → I��� � 2®�)$ 2000� Sabemos que se a função I possuir pontos de máximo, então eles ocorrem
nos Pontos Críticos, então devemos ter I���� � 0. I���� � 4®� − 2000�) � 4®�5− 2000�) � 0 → � � ¯20004®5 P 5,42VM
Verificação de ponto máximo ou mínimo
I����� � 4® $ 4000�5 { 0°� °���"�8�±�, Z��8� { 0
8�I��5,42� � 0�I���5,42� { 0, �9ã�� � 5,42éZ�9�"�Mí9�M� I�� � 5,42�9ã�ℎ � 1000®�) � 1000®�5,42�) P 10,84VM
R: A menor área é a produzida pelo cilindro de � � 5,42VM e ℎ � 10,84VM.
Cálculo I - ���������� ℎ� 68
3) Um estudante, ao construir uma pipa, deparou-se com o seguinte problema: possuía uma vareta de miriti com 80 VM de comprimento que deveria ser dividida em três varetas menores, duas necessariamente com o mesmo comprimento �, que será a largura da pipa, e outra de comprimento �, que determinará a altura da pipa. A pipa deverá ter formato pentagonal, como na figura abaixo, de modo que a altura da região retangular seja zW� , enquanto a da triangular seja 5W � . Para garantir maior captação de vento, ele necessita que a área da superfície da pipa seja a maior possível. A pipa de maior área que pode ser construída, nessas condições, possui área igual a:
(A) 350VM)(B) 400VM)(C) 450VM)(D) 500VM)(E) 550VM)
Área da pipa:
� � �. 14 � $ '�. 34 �( 2l � 14 �. � $ 38 �. � � �. �. '2 $ 38 ( � 58 �� Mas o comprimento total da vareta a ser dividida é 80 VM
� $ � $ � � 80 → � � 80 − 2� ���� � 58 ��80− 2�� ���� � 50� − 108 �)
Queremos saber se existe algum valor � � �S que maximize a área da pipa, ou seja, queremos saber o ponto de máximo absoluto da função ���� em �0, 40�. Se � � �S for ponto de máximo absoluto então, ���S� será a maior área possível. Pontos Críticos de � � �S → ����� � 0�������∄
����� � 50− 208 � ����� � 0 → 50 − 208 � � 0 → � � 40020 � 20
Teste da Segunda Derivada
���20� � 0�����20� � −208 y 0 Portanto em � � 20 a função tem máximo relativo e absoluto e a área máxima é:
��20� � 50. 20 − 108 �20�) � 1000− 40008 � 40008 � 500VM)