Integrais Impróprias

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Integrais Impróprias

1.Integrais impróprias

2.Integrais com limites de integração infinitos

3.Integrais com integrando infinito

4.Aplicação

1. Integrais impróprias

A definição da integral definida

( )b

af x dx∫

exige que o intervalo [a, b] seja finito e que f sejalimitada em [a, b].

1. Integrais impróprias

Nesta aula vamos estudar integrais que nãosatisfazem essas exigências por uma das razõesabaixo:

1. Pelo menos um dos limites de integração éinfinito.

2. f tem uma descontinuidade infinita no intervalo[a, b].

1. Integrais impróprias

As integrais que apresentam uma dessascaracterísticas são denominadas de integraisimpróprias. Por exemplo, as integrais

20

1 e

1xe dx dx

x

∞ ∞−

−∞ +∫ ∫

são impróprias porque pelo menos um dos limitesde integração é infinito, como mostram as figurasa seguir.

1. Integrais impróprias

1. Integrais impróprias

Analogamente, as integrais

( )5 2

21 2

1 1 e

1 1dx dx

x x−− +∫ ∫

são impróprias, porque seus integrandos tendempara infinito em algum ponto do intervalo deintegração, conforme mostrado nas figuras aseguir.

1. Integrais impróprias

2. Integrais com limites deintegração infinitos

Para vermos como calcular uma integralimprópria, consideremos a integral da figuraabaixo

2. Integrais com limites deintegração infinitos

211

1 1 1 11 1

bb

dxx x b b

= − = − + = −

∫

Desde que b seja um número real maior doque 1 (não importando qual), trata-se de umaintegral definida cujo valor é

2. Integrais com limites deintegração infinitos

A tabela abaixo dá os valores desta integralpara diversos valores de b.

b

2 0,5000

5 0,8000

10 0,9000

100 0,9900

1.000 0,9990

10.000 0,9999

21

1 11

bdx

x b= −∫

2. Integrais com limites deintegração infinitos

2 21 1

1 1 1lim lim 1 1

b

b bdx dx

x x b

∞

→∞ →∞

= = − =

∫ ∫

Por esta tabela, é visível que o valor daintegral se aproxima de um limite quando baumenta ilimitadamente. Este limite érepresentado pela seguinte integral imprópria.

2. Integrais com limites deintegração infinitos

Integrais Impróprias (Limites de Integração Infinitos)

1. Se f é contínua em [a, ∞), então

2. Se f é contínua em (- ∞, b], então

3. Se f é contínua em (- ∞, ∞), então

( ) lim ( )b

a abf x dx f x dx

∞

→∞=∫ ∫

( ) lim ( )b b

aaf x dx f x dx

−∞ →−∞=∫ ∫

( ) ( ) ( ) c

ccf x dx f x dx f x dx

∞ ∞

−∞ −∞∈= +∫ ∫ ∫ ℝ

2. Integrais com limites deintegração infinitos

Em qualquer caso, se o limite existe, aintegral imprópria converge; em caso contrário, aintegral imprópria diverge.

Assim, no terceiro caso, a integral divergiráse qualquer uma das integrais à direita divergir.

2. Integrais com limites deintegração infinitos

Exemplo 1: Determine a convergência ou adivergência da integral imprópria

1

1dx

x

∞

∫

2. Integrais com limites deintegração infinitos

Comecemos aplicando a definição de integralimprópria

1 1

1 1lim

b

bdx dx

x x

∞

→∞=∫ ∫

[ ]1lim ln

b

bx

→∞=

( )lim ln 0b

b→∞

= −

= ∞

Definição de integral imprópria

Determinando a antiderivada

Aplicando o Teorema Fundamental

Calculando o limite

2. Integrais com limites deintegração infinitos

Como o limite é infinito, a integral imprópriadiverge.

2. Integrais com limites deintegração infinitos

Ao começar a trabalhar com integraisimpróprias, começaremos a observar que integraisaparentemente semelhantes podem ter valoresmuito diferentes.

Considere, por exemplo, as duas integraisimpróprias

Integral divergente1

1 dx

x

∞= ∞∫

Integral convergente21

11 dx

x

∞=∫

2. Integrais com limites deintegração infinitos

A primeira diverge e a segunda convergepara 1. Graficamente, isto significa que as áreasmostradas na figura abaixo são muito diferentes.

2. Integrais com limites deintegração infinitos

A região compreendida entre o gráfico (àesquerda) da figura anterior e o eixo x (para x ≥ 1)tem área infinita, e a região entre o gráfico (àdireita) e o eixo x (para x ≥ 1) tem área finita.

2. Integrais com limites deintegração infinitos

Exemplo 2: Calcule a integral imprópria

( )0

32

1

1 2dx

x−∞ −∫

2. Integrais com limites deintegração infinitos

Comecemos aplicando a definição de integralimprópria

( ) ( )0 0

3 32 2

1 1lim

1 2 1 2aadx dx

x x−∞ →−∞=

− −∫ ∫

01

lim1 2a

ax→−∞

= −

1lim 1

1 2a a→−∞

= − −

1 0 1= − =

Definição de integral imprópria

Determinando a antiderivada

Aplicando o Teorema Fundamental

Calculando o limite

2. Integrais com limites deintegração infinitos

Assim, a integral imprópria converge para 1.Conforme mostra a figura abaixo, isto implica quea região entre o gráfico de y = 1/(1 – 2x)3/2 e oeixo x (para x ≤ 0) tem área 1.

2. Integrais com limites deintegração infinitos

Exemplo 3: Calcule a integral imprópria

2

02 xxe dx

∞ −∫

2. Integrais com limites deintegração infinitos

Apliquemos inicialmente a definição deintegral imprópria

2 2

0 02 lim 2

bx x

bxe dx xe dx

∞ − −

→∞=∫ ∫

2

0lim

bx

be−

→∞ = −

( )2

lim 1b

be−

→∞= − +

0 1 1= + =

Definição de integral imprópria

Determinando a antiderivada

Aplicando o Teorema Fundamental

Calculando o limite

2. Integrais com limites deintegração infinitos

Assim, a integral imprópria converge para 1.Conforme mostrado na figura abaixo, isto implicaque a região compreendida entre o gráfico dafunção dada e o eixo x (para x ≥ 0) tem área 1.

3. Integrais com integrandoinfinito

Integrais Impróprias (Integrando Infinito)

1. Se f é contínua no intervalo [a, b), e tende para infinitoem b, então

2. Se f é contínua em (a, b], e tende para infinito em a,então

( ) lim ( )b c

a ac bf x dx f x dx

−→=∫ ∫

( ) lim ( )b b

a cc af x dx f x dx

+→=∫ ∫

3. Integrais com integrandoinfinito

Integrais Impróprias (Integrando Infinito)

3. Se f é contínua em [a, b], exceto em algum ponto c de(a, b), no qual f tende para infinito, então

( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

Em cada caso, se o limite existe, a integralimprópria converge; caso contrário, a integralimprópria diverge.

3. Integrais com integrandoinfinito

Exemplo 4: Calcule a integral imprópria

2

31

1

1dx

x −∫

3. Integrais com integrandoinfinito

2 2

3 31 1

1 1lim

1 1bbdx dx

x x+→=

− −∫ ∫ Definição de integral imprópria

Determinando a antiderivada

Aplicando o Teorema Fundamental

Calculando o limite

( )2

23

1

3lim 1

2bb

x+→

= −

( )2

23

1

3 3lim 1

2 2bb

b+→

= − −

3 30

2 2= − =

3. Integrais com integrandoinfinito

Assim, a integral converge para 3/2, o queimplica que a área mostrada na figura abaixo temárea 3/2.

3. Integrais com integrandoinfinito

Exemplo 5: Calcule a integral imprópria

2

21

22

dxx x−∫

3. Integrais com integrandoinfinito

2 2

21 1

2 1 12 2

dx dxx x x x

= − − − ∫ ∫ Decompondo em frações

parciais

Definição de integralimprópria

Determinando a antiderivada

Calculando o limite

12lim ln 2 ln

b

bx x

−→ = − −

= −∞

12

1 1lim

2

b

bdx

x x−→

= − − ∫

3. Integrais com integrandoinfinito

Podemos, então, concluir que a integraldiverge. Isto implica que a região mostrada nafigura abaixo tem área infinita.

3. Integrais com integrandoinfinito

Exemplo 6: Calcule a integral imprópria

2

31

1dx

x−∫

3. Integrais com integrandoinfinito

Esta integral é imprópria porque o integrandotem uma descontinuidade infinita no valor interior x = 0,conforme se vê na figura abaixo.

3. Integrais com integrandoinfinito

Podemos, pois, escrever

2 0 2

3 3 31 1 0

1 1 1dx dx dx

x x x− −= +∫ ∫ ∫

Aplicando a definição de integral imprópria,mostra-se que ambas as integrais divergem.Portanto, a integral original também diverge.

3. Integrais com integrandoinfinito

OBS: Se não tivéssemos reconhecido que aintegral do Exemplo 6 é imprópria, teríamoschegado ao resultado incorreto

22

3 211

Incorreto1 1 1 1 3

2 8 2 8

dxx x−

−

= − = − + =

∫

3. Integrais com integrandoinfinito

As integrais impróprias em que o integrandotem uma descontinuidade infinita entre os limitesde integração são frequentemente esquecidas.Deve-se ficar atento quanto a tais possibilidades.

4. Aplicação

Exemplo 7: O sólido formado pela revolução, emtorno do eixo x, do gráfico de

1( ) , 1f x x

x= ≤ < ∞

é chamado trombeta de Gabriel (ver figura aseguir). Calcule o volume da trombeta de Gabriel.

4. Aplicação

4. Aplicação

Podemos determinar o volume da trombetaaplicando o Método do Disco

2

1

1Volume dx

x

∞ =

∫ π

21lim

b

bdx

x→∞= ∫

π

1

limb

b x→∞

= −

π

limb b→∞

= −

ππ

= π

Método do disco

Definição de integral imprópria

Determinando a antiderivada

Aplicando o Teorema Fundamental

Calculando o limite

4. Aplicação

Assim, o volume da trombeta de Gabriel é πunidades cúbicas.