Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

AULA

DOIS

FUNÇÕES

FUNÇÕES

Exercício 1

Encontre o domínio e a fórmula para as funções

f+g, f – g, fg, f/g e 7f, sendo

321 xxgexxf

Solução

Solução

FUNÇÕES

Composição de funções

FUNÇÕES

Exercício 2

Solução

Solução

FUNÇÕES

Exercício 3

Solução

FAMÍLIAS DE FUNÇÕES

O gráfico de uma função

constante f(x) = c é o gráfico

da equação y = c, que é a reta

horizontal mostrada na figura ao

lado.

Se variarmos c, obteremos um

conjunto ou uma família de

retas horizontais como

mostrado na figura ao lado.

FUNÇÕES

As constantes que variamos para produzir uma

família de curvas são denominadas parâmetros.

Por exemplo, lembre que uma equação da forma

y = mx + b representa uma reta de inclinação m e

intercepto y em b.

Se mantivermos b fixo e tratarmos m como um

parâmetro, obteremos uma família de retas

cujos membros tem, todos, o mesmo intercepto y

em b.

Exemplo de uma família de retas

FUNÇÕES

Quanto mantemos m

fixo e tratamos b como

parâmetro, obtemos

uma família de retas

paralelas cujos

membros tem, todos, a

mesma declividade m.

FUNÇÕES

A família y = xn

Uma função da forma f(x) = xn, onde n é uma

constante, é denominada função potência.

Os gráficos dessas curvas, para n = 1, 2, 3, 4 e 5

estão abaixo.

FUNÇÕES

O 1º gráfico é o da reta y = x, cuja inclinação é

1 e passa pela origem.

O 2º é uma parábola de concavidade para cima

e tem seu vértice na origem.

FUNÇÕES

Para n ≥ 2, o formato da curva y = xn depende

de n ser par ou ímpar.

Para n par, as funções são pares, portanto seus

gráficos são simétricos em relação ao eixo y.

FUNÇÕES

Os gráficos tem todos o

formato geral da parábola

(embora não sejam realmente

parábola se n > 2) e cada

gráfico passa pelos pontos (-1,

1) e (1, 1).

À medida que n cresce, os gráficos ficam mais

achatados no intervalo -1 < x < 1 e mais

próximos da vertical nos intervalos x > 1 e x < - 1.

FUNÇÕES

Para n ímpar, as funções são ímpares, portanto

seus gráficos são simétricos em relação a

origem.

FUNÇÕES

Os gráficos tem todos o formato

geral da cúbica y =x3 e cada

gráfico passa pelos pontos (1,1)

e (-1,-1).

À medida que n cresce, os

gráficos ficam mais achatados

no intervalo -1 < x < 1 e mais

próximos da vertical nos

intervalos x > 1 e x < -1.

FUNÇÕES

A família y = x-n

A figura ao lado

mostra os gráficos

para y = 1/x e

y = 1/x2. O gráfico de

y = 1/x é denominado

uma hipérbole

equilátera.

n

n

xxfquemesmooéxxf

1

FUNÇÕES

Para valores pares de n, as

funções f(x) = 1/xn são pares,

portanto seus gráficos são

simétricos em relação ao eixo y.

Os gráficos tem todos os formato

da curva y = 1/x2 e cada gráfico

passa pelos pontos (-1,1) e (1,1).

À medida que n cresce, os gráficos ficam mais próximos da

vertical nos intervalos -1<x<0 e 0<x<1 e mais achatados

nos intervalos x>1 e x< -1.

FUNÇÕES

Para valores ímpares de n, as

funções f(x) = 1/xn são ímpares,

portanto seus gráficos são

simétricos em relação a origem.

Os gráficos tem todos os formato

da curva y = 1/x e cada gráfico

passa pelos pontos (1,1) e (-1,-1).

À medida que n cresce, os gráficos ficam mais próximos da

vertical nos intervalos -1<x<0 e 0<x<1 e mais achatados

nos intervalos x>1 e x< -1.

FUNÇÕES

Tanto para valores pares quanto ímpares de n o gráfico

y = 1/xn tem uma quebra na origem (denominada

descontinuidade), que ocorre por não ser permitido dividir

por zero.

FUNÇÕES

Funções Potências com Expoentes Não-Inteiros

Lembrando que:

Os gráficos para n = 2 e n = 3 são mostrados

abaixo:

nn xxfxxf 1

FIM

DA AULA

DOIS