Curso de Histria da MatemticaOrigens e Desenvolvimento do clculoAutora: Margaret E. BaronVol. 1, 2, 3, 4, 5

ContextualizandoSculo XV e incio do sculo XVI: aplicao prtica na matemtica.Arquimedes foi amplamente estudado , uma vez que, ele foi o matemtico que mais se destacou, at ento, na aplicao da matemtica a problemas fsicos.*Utilizao do mtodo de exausto.

ContextualizandoJohannes Kepler e Galileu Galilei foram os primeiros a abandonar a estrutura de demonstrao de Aristteles em troca do uso do indivisvel.

Galileu esperava achar leis fundamentais que formassem o fundamento para a cincia.

Kepler aplicou suas idias no clculo de reas e volumes utilizando a noo de que eles eram compostos de uma quantidade infinita de retas ou planos.

Johannes KeplerGalileu Galilei

O clculoO clculo foi desenvolvido atravs do estudo de curvas. Na metade o sculo XVII Descartes introduziu mtodos algbricos geometria mostrando que as curvas podem ser representadas por equaes. Tornou-se possvel usar tais equaes para exprimir as relaes entre a abcissa (x) e a ordenada (y).

A abcissa, a ordenada e outras quantidades tais como a subtangente , a norma, a rea so chamadas de quantidades variveis vinculadas curva

Issac Newton (1642-1727)Newton nasceu em um perodo em que idias como a de que os corpos celestes pudessem estar sujeitos as mesmas leis dos corpos terrestes e que estas leis pudessem ser melhor compreendidas mediantes a matemtica ganhavam crescente apoio.

Issac NewtonAlm de se interessar pela matemtica, Newton faz tambm investigaes importantes sobre a teoria da luz; procurou por anos uma forma de transformar metais em ouro e at construiu um telescpio de espelho altamente eficaz e de reduzido tamanho.

Issac NewtonOs ensaios pelos quais o clculo de Newton tornou-se conhecido foram:De analysi per equationes numero terminorum infinitas (1669)Methodus fluxionum et serierum infinitarum (1671) no publicado em vidaTractatus de quadratura curvarum (1693)Principia (1687)

Issac NewtonFluentes e FluxesIdia de curvas por movimentoSe x, y, z so os fluentes, ou seja, so variveis que aumentam ou diminuem com o tempo, ento representam as fluxes ou velocidades.

Sries infinitasUtilizao de sries infinitas como ferramenta no desenvolvimento de mtodos sistemticos de integrao.Quadratura das curvas Retificao de arcos

Issac NewtonNotaoA notao x,y na descrio de uma curva, foi naturalmente introduzida por Descartes; Newton a utilizava consistentemente para a abcissa e a ordenadaOs eixos eram traados de modo usual e em posio retangularNo utilizava um smbolo especial para denotar o processo de integraoUtilizava um ponto para as fluxes

Issac NewtonResoluo de problemasNewton reconheceu a necessidade de um tratamento sistemtico para todos os problemas referentes s propriedades das linhas curvas.Desde o incio dos seus estudos, estabeleceu tabelas de resultados que lhe possibilitassem a integrao e diferenciao diretas.Fica claro que seu objetivo era estabelecer regras compreensivas atravs das quais todas as propriedades identificveis das curvas que conhecia pudessem ser deduzidas com o mnimo de esforo.

Gottfried Leibniz (1646-1716)Formado em direito pela Univerdade de Altdorf.Interessado pela matemtica alm do clculo investigou o sistema de nmeros binrios e explorou a teoria dos determinantes.

Gottfried LeibnizCharacteristica generalis

Idia: uma linguagem simblica geral com a qual poderiam ser traduzidos todos os processos de raciocnio e de argumento. Ela teria certas regras lgicas, que garantissem, se fossem obedecidas, que o argumento seria correto.

Uma vez traduzido um problema para a linguagem simblica, a aplicao das regras conduziria quase mecanicamente a sua soluo.

Leibniz no encontrou essa tal linguagem simblica !!

Os conceitos do clculo de LeibnizDiferenciais: A diferencial de uma varivel y a diferena infinitamente pequena entre dois valores consecutivos de y.

Integrais ou somas: a soma de retngulos infinitamente pequenos. Portanto, a rea da curva. (Leibniz no indica o intervalo de integrao. Assim, as frmulas no explicitam as constantes de integrao)

Diferenas entre o clculo de Newton e LeibnizA concepo das quantidades variveis Os conceitos fundamentais da fluxo e da diferenciaoA concepo da integral, o teorema fundamentalQuantidades infinitamente pequenasNotaoOs papis das figuras e das frmulas

Difuso do clculo LeibnizianoIncio da difuso devido as atividades dos irmos Jakob e Johann Bernoulli

Divulgao de artigos escritos pelos Bernoulli e pelo prprio Leibniz atravs da Acta eruditorum

Faltava entretanto um livro apropriado. Essa falha foi suprida pela obra Analyse des infiniments petits, escrita pelo marques Guillaume Franois de lHpital

Crticas de Berkeley os conceitos fundamentais do clculoQuantidades extremamente (ou infinitamente) pequenas, chamadas de infinitesimais, diferenciais no podem ser concebidas claramente.

A prtica de trabalhar com tais quantidades no clculo envolve um contradio: primeiramente supe-se que elas sejam diferentes de zero , e depois igual a zero.

No sculo XIX...Fundamentos do clculo foram firmemente fixados:Considerou-se as variveis como funes de uma varivel independenteIntroduziu a derivada como conceito fundamental do clculoUtilizou-se o conceito de limite bem explicito na definio da funo derivada

Do clculo anlisePor volta de 1800, todas as disciplinas de matemtica que tratavam dos processos infinitos (limites,sries, diferenciao, integrao) foram reunidas sob o nome de anlise.

O clculo, por volta de 1700, era ainda essencialmente orientado para a geometria. Tratava de problemas sobre curvas, empregava smbolos algbricos, mas as quantidades de que se utilizava eram principalmente interpretadas como ordenadas e abcissas de curvas, ou como outros elementos de figuras geomtricas.

Durante a primeira metade do sculo diminuiu o interesse pela origem geomtrica dos problemas e os matemticos passam a se interessar mais pelos smbolos e frmulas do que pelas figuras.

A anlise tornou-se o estudo e a manipulao de frmulas.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)Foi o responsvel por essa mudana de atitude na anlise.Livros: Cours danalyse de lEcole Polytechnique Rsum des leons donns a lcole Polytechnique sur le calcul infinitesimal

Cauchy apresentou um outro enfoque para a integrao definindo-a como um somatrio que tende a um limite.