Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

AULA

TREZE

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Consideremos duas funções deriváveis f e g

onde y = g(u) e u = f(x).

Para todo x tal que f(x) está no domínio de g,

podemos escrever y = g(u) = g[f(x)], isto é,

podemos considerar a função composta

.xfg

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Por exemplo, uma função tal como

pode ser vista como a composta das funções

72 25 xxy

.252

7

xfxxu

e

uguy

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Agora vamos apresentar a regra da cadeia,

que nos dá a derivada da função composta

.gefdederivadasdastermosemfg

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Proposição (Regra da Cadeia)

Se y = g(u) e u = f(x) e as derivadas dy/du e

du/dx existem, então a função composta

y = g[f(x)] tem derivada que é dada por:

.''' xfugyoudx

du

du

dy

dx

dy

EXEMPLO

Dada a função

determinar

,2572 xxy

.dx

dy

SOLUÇÃO

dx

du

du

dy

dx

dy

cadeiadaregrapelaAssim

xxuonde

uugyescreverVamos

:,

.25

,

2

7

.52257527626 xxxxu

dx

dy

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 1

Dada a função

encontre

,12

235

x

xy

.,y

SOLUÇÃO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 2

Dada a função

determinar

,132232 xxxy

.dx

dy

SOLUÇÃO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 3

Dada a função

determinar

,37310102 xxxf

yDx

SOLUÇÃO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 4

Dada a função

determinar

,32

1710

3

2

t

ttf

tfDt

SOLUÇÃO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Proposição

Se u = g(x) é uma função derivável e n é um

número inteiro não nulo, então:

ou ainda:

.,1xgxgnxg

dx

d nn

.,1, uunyuySe nn

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exemplo:

Dada a função

determinar

,35 2 xxf

.' xf

SOLUÇÃO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 5

Dada a função

determinar

,13 3

2

t

ttg

., tg

SOLUÇÃO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 6

Dada a função

determinar

,4238 xxxy

,y

SOLUÇÃO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 7

Dada a função

determinar

,3

12

x

xy

yDx

SOLUÇÃO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 8

Dada a função

determinar

,283 3 xxy

,y

SOLUÇÃO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA

Exercício 9

Dada a função

determinar

,2763 2 xxy

,y

SOLUÇÃO

DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA

Teorema (Derivada da Função Inversa)

Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo

aberto (a, b).

Suponhamos que f(x) admita uma função

inversa x = g(y) contínua.

Se f’(x) existe e é diferente de zero para

qualquer xϵ (a, b), então g = f-1 é derivável e vale:

.11

,,

,

ygfxfyg

DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA

DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA

EXEMPLO 3

EXEMPLO 3

DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES

DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Solução

Exercício 10

Determinar a derivada de: ,2xseny

DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Solução

Exercício 11

Determinar a derivada de: ,1

cos

xy

DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Solução

Exercício 12

Determinar a derivada de: .3cot3 xgxtgy

DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Solução

Exercício 13

Determinar a derivada de: .cot1

cos

xg

xy

DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Solução

Exercício 14

Determinar a derivada de: .73sec 2 xxy

DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Solução

Exercício 15

Determinar a derivada de: .1

1cos

x

xecy

DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Solução

Exercício 16

Determinar a derivada de: .1 xsenarcy

DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Solução

Exercício 17

Determinar a derivada de: .

1

12

2

x

xtgarcy

DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

Solução

Exercício 18

Determinar a derivada de: .3sec 3 xhy

DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

Solução

Exercício 19

Determinar a derivada de: .2sec xhy

DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

Solução

Exercício 20

Determinar a derivada de: .3ln xtghy

DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

Solução

Exercício 21

Determinar a derivada de: .1cot 3xghy

DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS

DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Solução

Exercício 22

Determinar a derivada de: .cosharg 22 xxy

DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Solução

Exercício 23

Determinar a derivada de: .3arg xsentghy

DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Solução

Exercício 24

Determinar a derivada de: .1arg 2 xxsenhxy

TABELA GERAL DE DERIVADAS

TABELA GERAL DE DERIVADAS

TABELA GERAL DE DERIVADAS

FIM

DA AULA

TREZE