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Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 1 / 26
Eletromagnetismo
Rubem Alves da Silva
Mario Araujo Filho
UNIDADE ACADEMICA DE ENGENHARIA ELETRICA - DEE
10 de fevereiro de 2011
Eletromagnetismo
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 2 / 26
CONTEUDO DO CURSO
Eletromagnetismo
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 2 / 26
CONTEUDO DO CURSO
Unidade 1. Sistemas de coordenadas e calculo vetorial;
Eletromagnetismo
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 2 / 26
CONTEUDO DO CURSO
Unidade 1. Sistemas de coordenadas e calculo vetorial;
Unidade 2. Campos eletrostaticos;
Eletromagnetismo
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CONTEUDO DO CURSO
Unidade 1. Sistemas de coordenadas e calculo vetorial;
Unidade 2. Campos eletrostaticos;
Unidade 3. Campos eletricos em meios materiais;
Eletromagnetismo
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CONTEUDO DO CURSO
Unidade 1. Sistemas de coordenadas e calculo vetorial;
Unidade 2. Campos eletrostaticos;
Unidade 3. Campos eletricos em meios materiais;
Unidade 4. Problemas de valor de contorno;
Eletromagnetismo
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CONTEUDO DO CURSO
Unidade 1. Sistemas de coordenadas e calculo vetorial;
Unidade 2. Campos eletrostaticos;
Unidade 3. Campos eletricos em meios materiais;
Unidade 4. Problemas de valor de contorno;
Unidade 5. Campos magnetostaticos;
Eletromagnetismo
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CONTEUDO DO CURSO
Unidade 1. Sistemas de coordenadas e calculo vetorial;
Unidade 2. Campos eletrostaticos;
Unidade 3. Campos eletricos em meios materiais;
Unidade 4. Problemas de valor de contorno;
Unidade 5. Campos magnetostaticos;
Unidade 6. Forcas, materiais e dispositivos magneticos;
Eletromagnetismo
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CONTEUDO DO CURSO
Unidade 1. Sistemas de coordenadas e calculo vetorial;
Unidade 2. Campos eletrostaticos;
Unidade 3. Campos eletricos em meios materiais;
Unidade 4. Problemas de valor de contorno;
Unidade 5. Campos magnetostaticos;
Unidade 6. Forcas, materiais e dispositivos magneticos;
Unidade 7. Campos eletromagneticos variaveis no tempo;
Eletromagnetismo
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 2 / 26
CONTEUDO DO CURSO
Unidade 1. Sistemas de coordenadas e calculo vetorial;
Unidade 2. Campos eletrostaticos;
Unidade 3. Campos eletricos em meios materiais;
Unidade 4. Problemas de valor de contorno;
Unidade 5. Campos magnetostaticos;
Unidade 6. Forcas, materiais e dispositivos magneticos;
Unidade 7. Campos eletromagneticos variaveis no tempo;
Unidade 8. Equacoes de Maxwell e equacoes de onda.
Eletromagnetismo
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BIBLIOGRAFIA
Eletromagnetismo
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BIBLIOGRAFIA
ELEMENTOS DE ELETROMAGNETISMO - Matthew N. O. Sadiku (Livro-texto)
Eletromagnetismo
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BIBLIOGRAFIA
ELEMENTOS DE ELETROMAGNETISMO - Matthew N. O. Sadiku (Livro-texto)
ELETROMAGNETISMO - William H. Hayt e John A. Buck
Eletromagnetismo
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BIBLIOGRAFIA
ELEMENTOS DE ELETROMAGNETISMO - Matthew N. O. Sadiku (Livro-texto)
ELETROMAGNETISMO - William H. Hayt e John A. Buck
FUNDAMENTALS OF ELECTROMAGNETICS with MATLAB - K. E. Lonngren, S. V.Savov e R. J. Jost
Eletromagnetismo
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BIBLIOGRAFIA
ELEMENTOS DE ELETROMAGNETISMO - Matthew N. O. Sadiku (Livro-texto)
ELETROMAGNETISMO - William H. Hayt e John A. Buck
FUNDAMENTALS OF ELECTROMAGNETICS with MATLAB - K. E. Lonngren, S. V.Savov e R. J. Jost
ANALISE VETORIAL - Hwei P. Hsu
Eletromagnetismo
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BIBLIOGRAFIA
ELEMENTOS DE ELETROMAGNETISMO - Matthew N. O. Sadiku (Livro-texto)
ELETROMAGNETISMO - William H. Hayt e John A. Buck
FUNDAMENTALS OF ELECTROMAGNETICS with MATLAB - K. E. Lonngren, S. V.Savov e R. J. Jost
ANALISE VETORIAL - Hwei P. Hsu
RECURSOS AUXILIARES
Eletromagnetismo
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BIBLIOGRAFIA
ELEMENTOS DE ELETROMAGNETISMO - Matthew N. O. Sadiku (Livro-texto)
ELETROMAGNETISMO - William H. Hayt e John A. Buck
FUNDAMENTALS OF ELECTROMAGNETICS with MATLAB - K. E. Lonngren, S. V.Savov e R. J. Jost
ANALISE VETORIAL - Hwei P. Hsu
RECURSOS AUXILIARES
PROGRAMA Scilab - www.scilab.org/products/scilab/download
Eletromagnetismo
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BIBLIOGRAFIA
ELEMENTOS DE ELETROMAGNETISMO - Matthew N. O. Sadiku (Livro-texto)
ELETROMAGNETISMO - William H. Hayt e John A. Buck
FUNDAMENTALS OF ELECTROMAGNETICS with MATLAB - K. E. Lonngren, S. V.Savov e R. J. Jost
ANALISE VETORIAL - Hwei P. Hsu
RECURSOS AUXILIARES
PROGRAMA Scilab - www.scilab.org/products/scilab/download
PROGRAMA MatLab
Algebra vetorial e sistemas de coordenadas
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CONTEUDO DA AULA
Algebra vetorial e sistemas de coordenadas
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CONTEUDO DA AULA
1. Algebra vetorial;
Algebra vetorial e sistemas de coordenadas
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CONTEUDO DA AULA
1. Algebra vetorial;
Conceito de vetor
Algebra vetorial e sistemas de coordenadas
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CONTEUDO DA AULA
1. Algebra vetorial;
Conceito de vetor
Operacoes elementares com vetores
Algebra vetorial e sistemas de coordenadas
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CONTEUDO DA AULA
1. Algebra vetorial;
Conceito de vetor
Operacoes elementares com vetores
2. Conceito de campo;
Algebra vetorial e sistemas de coordenadas
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CONTEUDO DA AULA
1. Algebra vetorial;
Conceito de vetor
Operacoes elementares com vetores
2. Conceito de campo;
Campos escalares e vetoriais
Algebra vetorial e sistemas de coordenadas
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CONTEUDO DA AULA
1. Algebra vetorial;
Conceito de vetor
Operacoes elementares com vetores
2. Conceito de campo;
Campos escalares e vetoriais
Representacao grafica de campos vetoriais
Algebra vetorial e sistemas de coordenadas
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CONTEUDO DA AULA
1. Algebra vetorial;
Conceito de vetor
Operacoes elementares com vetores
2. Conceito de campo;
Campos escalares e vetoriais
Representacao grafica de campos vetoriais
3. Coordenadas cartesianas;
Algebra vetorial e sistemas de coordenadas
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CONTEUDO DA AULA
1. Algebra vetorial;
Conceito de vetor
Operacoes elementares com vetores
2. Conceito de campo;
Campos escalares e vetoriais
Representacao grafica de campos vetoriais
3. Coordenadas cartesianas;
4. Coordenadas cilındrico-circulares;
Algebra vetorial e sistemas de coordenadas
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CONTEUDO DA AULA
1. Algebra vetorial;
Conceito de vetor
Operacoes elementares com vetores
2. Conceito de campo;
Campos escalares e vetoriais
Representacao grafica de campos vetoriais
3. Coordenadas cartesianas;
4. Coordenadas cilındrico-circulares;
5. Coordenadas esfericas.
Conceito de vetor
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Grandezas vetoriais: caracterizadas por uma magnitude e uma orientacao.
Conceito de vetor
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Grandezas vetoriais: caracterizadas por uma magnitude e uma orientacao.
Representacao grafica: segmento de reta orientado, terminado por uma seta.
Conceito de vetor
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Grandezas vetoriais: caracterizadas por uma magnitude e uma orientacao.
Representacao grafica: segmento de reta orientado, terminado por uma seta.
v
O
A magnitude: comprimento do segmentodirecao: da reta suporte do segmentosentido: indicado pela seta
notacao: v = ~v =−−→OA
origem: ponto Oextremidade: ponto A
Conceito de vetor
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Grandezas vetoriais: caracterizadas por uma magnitude e uma orientacao.
Representacao grafica: segmento de reta orientado, terminado por uma seta.
v
O
A magnitude: comprimento do segmentodirecao: da reta suporte do segmentosentido: indicado pela seta
notacao: v = ~v =−−→OA
origem: ponto Oextremidade: ponto A
Vetor unitario
Conceito de vetor
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 5 / 26
Grandezas vetoriais: caracterizadas por uma magnitude e uma orientacao.
Representacao grafica: segmento de reta orientado, terminado por uma seta.
v
O
A magnitude: comprimento do segmentodirecao: da reta suporte do segmentosentido: indicado pela seta
notacao: v = ~v =−−→OA
origem: ponto Oextremidade: ponto A
Vetor unitario
O vetor unitario ao longo de v e um vetor cuja magnitude e 1 e cuja orientacao ea mesma de v
A magnitude de v e representada por v=|v| =∣
∣
∣~v∣
∣
∣
Entao,
av =vv=
~v∣
∣
∣~v∣
∣
∣
Componentes de um vetor
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Em coordenadas cartesianas
Componentes de um vetor
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Em coordenadas cartesianas
x
y
z
ax
vx
ay vy
az
vz
v
v = vx ax + vy ay + vz az
vx = vx ax vy = vy ay vz = vz az
vx, vy, vz: componentes de v nas direcoes doseixos coordenados x,y,z
vx, vy, vz: projecoes de v nas direcoes doseixos coordenados x,y,z
Componentes de um vetor
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Em coordenadas cartesianas
x
y
z
ax
vx
ay vy
az
vz
v
v = vx ax + vy ay + vz az
vx = vx ax vy = vy ay vz = vz az
vx, vy, vz: componentes de v nas direcoes doseixos coordenados x,y,z
vx, vy, vz: projecoes de v nas direcoes doseixos coordenados x,y,z
A magnitude do vetor v, em coordenadas cartesianas, e dada por:
Componentes de um vetor
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Em coordenadas cartesianas
x
y
z
ax
vx
ay vy
az
vz
v
v = vx ax + vy ay + vz az
vx = vx ax vy = vy ay vz = vz az
vx, vy, vz: componentes de v nas direcoes doseixos coordenados x,y,z
vx, vy, vz: projecoes de v nas direcoes doseixos coordenados x,y,z
A magnitude do vetor v, em coordenadas cartesianas, e dada por:
v = |v| =√
v2x + v
2y + v
2z
Componentes de um vetor
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Em coordenadas cartesianas
x
y
z
ax
vx
ay vy
az
vz
v
v = vx ax + vy ay + vz az
vx = vx ax vy = vy ay vz = vz az
vx, vy, vz: componentes de v nas direcoes doseixos coordenados x,y,z
vx, vy, vz: projecoes de v nas direcoes doseixos coordenados x,y,z
A magnitude do vetor v, em coordenadas cartesianas, e dada por:
v = |v| =√
v2x + v
2y + v
2z
O vetor unitario na direcao de v e:
Componentes de um vetor
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Em coordenadas cartesianas
x
y
z
ax
vx
ay vy
az
vz
v
v = vx ax + vy ay + vz az
vx = vx ax vy = vy ay vz = vz az
vx, vy, vz: componentes de v nas direcoes doseixos coordenados x,y,z
vx, vy, vz: projecoes de v nas direcoes doseixos coordenados x,y,z
A magnitude do vetor v, em coordenadas cartesianas, e dada por:
v = |v| =√
v2x + v
2y + v
2z
O vetor unitario na direcao de v e:
av =vv=
vx ax + vy ay + vz az√
v2x + v
2y + v
2z
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 7 / 26
Adicao de dois vetores - metodo geometrico
Operacoes com vetores
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Adicao de dois vetores - metodo geometrico
B
A
A+B
B
A
A+B
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 7 / 26
Adicao de dois vetores - metodo geometrico
B
A
A+B
B
A
A+B
Adicao de dois vetores - metodo analıtico.
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 7 / 26
Adicao de dois vetores - metodo geometrico
B
A
A+B
B
A
A+B
Adicao de dois vetores - metodo analıtico.
A = Ax ax +Ay ay +Az az B = Bx ax + By ay + Bz az
A + B = (Ax + Bx) ax + (Ay + By) ay + (Az + Bz) az
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 7 / 26
Adicao de dois vetores - metodo geometrico
B
A
A+B
B
A
A+B
Adicao de dois vetores - metodo analıtico.
A = Ax ax +Ay ay +Az az B = Bx ax + By ay + Bz az
A + B = (Ax + Bx) ax + (Ay + By) ay + (Az + Bz) az
Propriedades da adicao
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 7 / 26
Adicao de dois vetores - metodo geometrico
B
A
A+B
B
A
A+B
Adicao de dois vetores - metodo analıtico.
A = Ax ax +Ay ay +Az az B = Bx ax + By ay + Bz az
A + B = (Ax + Bx) ax + (Ay + By) ay + (Az + Bz) az
Propriedades da adicao
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 8 / 26
Subtracao de dois vetores
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 8 / 26
Subtracao de dois vetores
A − B = A + (−B) = (Ax − Bx) ax + (Ay − By) ay + (Az − Bz) az
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 8 / 26
Subtracao de dois vetores
A − B = A + (−B) = (Ax − Bx) ax + (Ay − By) ay + (Az − Bz) az
Multiplicacao por um escalar
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 8 / 26
Subtracao de dois vetores
A − B = A + (−B) = (Ax − Bx) ax + (Ay − By) ay + (Az − Bz) az
Multiplicacao por um escalar
m(A) = m(Ax ax +Ay ay +Az az) = mAx ax + mAy ay + mAz az = mA
Propriedades
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 8 / 26
Subtracao de dois vetores
A − B = A + (−B) = (Ax − Bx) ax + (Ay − By) ay + (Az − Bz) az
Multiplicacao por um escalar
m(A) = m(Ax ax +Ay ay +Az az) = mAx ax + mAy ay + mAz az = mA
Propriedades
(m + n)A = mA + nA
m(A + B) = mA + mB
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 8 / 26
Subtracao de dois vetores
A − B = A + (−B) = (Ax − Bx) ax + (Ay − By) ay + (Az − Bz) az
Multiplicacao por um escalar
m(A) = m(Ax ax +Ay ay +Az az) = mAx ax + mAy ay + mAz az = mA
Propriedades
(m + n)A = mA + nA
m(A + B) = mA + mB
Produto escalar
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 8 / 26
Subtracao de dois vetores
A − B = A + (−B) = (Ax − Bx) ax + (Ay − By) ay + (Az − Bz) az
Multiplicacao por um escalar
m(A) = m(Ax ax +Ay ay +Az az) = mAx ax + mAy ay + mAz az = mA
Propriedades
(m + n)A = mA + nA
m(A + B) = mA + mB
Produto escalar
A · B = A B cosθAB = AxBx +AyBy +AzBz
Propriedades
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 8 / 26
Subtracao de dois vetores
A − B = A + (−B) = (Ax − Bx) ax + (Ay − By) ay + (Az − Bz) az
Multiplicacao por um escalar
m(A) = m(Ax ax +Ay ay +Az az) = mAx ax + mAy ay + mAz az = mA
Propriedades
(m + n)A = mA + nA
m(A + B) = mA + mB
Produto escalar
A · B = A B cosθAB = AxBx +AyBy +AzBz
Propriedades
A · B = B · A
A · (B + C) = A · B + A · C
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 9 / 26
A · A = A2x +A
2y +A
2z = A2
ax · ax = ay · ay = az · az = 1
A · B = 0 ⇔ A e B sao ortogonais
ax · ay = ay · az = az · ax = 0
Componentes e projecoes
B
BA
A
ABaB
aA α
componente de A na direcao de B:
AB = A cosα = A · aB
componente de B na direcao de A:
BA = B cosα = B · aA
projecao de A na direcao de B:
AB = ABaB = (A · aB)aB
projecao de B na direcao de A:
BA = BAaA = (B · aA)aA
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 10 / 26
Produto vetorialA × B = A B sen θAB an
Esse produto e uma grandeza vetorial cuja magnitude representa a area doparalelogramo definido pelos vetores A e B e cuja orientacao, representada pelovetor unitario an, e dada pela regra da mao direita.
Se, em coordenadas cartesianas,
A = Ax ax + Ay ay + Az az B = Bx ax + By ay + Bz az
entao,
A × B =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
ax ay az
Ax Ay Az
Bx By Bz
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
ouA × B = (AyBz − AzBy)ax + (AzBx − AxBz)ay + (AxBy − AyBx)az
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 11 / 26
Propriedades
A × B , B × A
A × B = −B × A
A × (B × C) , (A × B) × C
A × (B + C) = A × B + A × C
A × A = 0
ax × ay = az ay × az = ax az × ax = ay
Produto mistoA · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)
Se
A = Ax ax + Ay ay + Az az B = Bx ax + By ay + Bz az C = Cx ax +Cy ay +Cz az
esse produto representa o volume de um paralelepıpedo que tem A, B e C comoarestas.
Operacoes com vetores
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 12 / 26
A · (B × C) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Ax Ay Az
Bx By Bz
Cx Cy Cz
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Tendo em vista que o resultado dessa operacao e um escalar, ela tambem econhecida como trıplo produto escalar .
Trıplo produto vetorial
A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B)
Atente para o mnemonico “bac-cab”
Campos escalares
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 13 / 26
Definicao 1: Seja D um conjunto de R3. Um campo escalar sobre R3 e umafuncao f que associa a cada ponto (x, y, z) ∈ D um escalar f (x, y, z).
Em particular, em duas dimensoes espaciais, tem-se a seguinte definicao:
Definicao 2: Seja D um conjunto de R2. Um campo escalar sobre R2 e umafuncao f que associa a cada ponto (x, y) ∈ D um escalar f (x, y).
De um modo mais geral, um campo escalar e uma funcao matematica do espaco edo tempo, podendo ser representado por f (r, t).
Exemplos de grandezas escalares:
temperatura
pressao
densidade
massa
potencial eletrico
potencial gravitacional
Campos vetoriais
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 14 / 26
Definicao 3: Seja D um conjunto de R3. Um campo vetorial sobre R3 e umafuncao F que associa a cada ponto (x, y, z) ∈ D um vetor F(x, y, z).
Em particular, em duas dimensoes espaciais, tem-se a seguinte definicao:
Definicao 4: Seja D um conjunto de R2. Um campo vetorial sobre R2 e umafuncao F que associa a cada ponto (x, y) ∈ D um escalar F(x, y).
De um modo mais geral, um campo vetorial e uma funcao matematica do espacoe do tempo, podendo ser representado por F(r, t).
Exemplos de grandezas vetoriais:
forca
velocidade
aceleracao
intensidade de campo eletrico
intensidade de campo magnetico
forca gravitacional
Representacao grafica de campos vetoriais
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 15 / 26
Apresentam-se, a seguir, as representacoes graficas de algumas funcoes vetoriais,tanto em duas quanto em tres dimensoes.
Campo vetoriais em 2D
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
(a)
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
(b)
Figura 1: (a) F(x, y) = −yi + xj (b) F(x, y) = yi + sinxj
Campos vetoriais em 2D
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 16 / 26
−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
x
y
(a)
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
(b)
Figura 2: (a) F(x, y) = 15√
yi (b) F(x, y) = ln(1+ y2)i + ln(1+ x2)j
Campos vetoriais em 3D
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 17 / 26
−2
−2
−1
1
z 0
−2 −1−1
x
2
00
y 1 1
22
(a)
−2−2
−1
−1
1
0
−2
z
x
−1 0
2
0
y1
122
(b)
Figura 3: (a) F(x, y) = yi + zj + xk (b) F(x, y) = yi − 2j + xk
As figuras (1 - 3) foram obtidas usando-se o programa MATLAB. Resultadossemelhantes podem ser obtidos utilizando-se o programa SCILAB, de distribuicaogratuita. Esses programas serao usados no decorrer deste curso, bem como noLaboratorio de Eletromagnetismo, tanto para a obtencao de representacoesgraficas de funcoes quanto para a resolucao numerica e simbolica de uma amplaclasse de problemas.
Sistemas de coordenadas
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 18 / 26
A representacao espacial dos campos estudados em eletromagnetismo requer acaracterizacao inequıvoca de todos os pontos do espaco na regiao de interesse.Isso demanda a definicao e o uso de sistemas de referencia adequados,denominados sistemas de coordenadas.
Os sistemas de coordenadas podem ser ortogonais e nao-ortogonais.
Um sistema de coordenadas ortogonal e aquele em que os eixos coordenados saomutuamente perpendiculares. Os eixos coordenados podem ser retilıneos oucurvilıneos.
Ha cerca de 13 (treze) sistemas de coordenadas ortogonais utilizados na fısica.
Neste curso, serao utilizados os tres seguintes sistemas de coordenadas:
Sistema de coordenadas cartesianas;
Sistema de coordenadas cilındrico-circulares;
Sistema da coordenadas esfericas.
Coordenadas cartesianas
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 19 / 26
Os eixos coordenados resultam da intersecao de tres planos mutuamenteortogonais, como mostra a figura (4).
(a) (b)
Figura 4: Superfıcies coordenadas
Coordenadas cartesianas
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 20 / 26
variaveis coordenadas: x, y, zrepresentacao do ponto: P(x, y, z)vetores unitarios: ax, ay, az
variacao : −∞ < x, y, z < ∞vetor posicao: rP = xax+yay+zaz
vetor geral: A = Axax+Ayay+Azaz
(a) (b)
Figura 5: Representacao de um ponto P, (a), e dos vetores unitarios, (b)
Coordenadas cilındricas circulares
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 21 / 26
Os eixos coordenados resultam da intersecao de dois planos e um cilindro circular,mutuamente ortogonais, como mostra a figura (6).
(a) (b)
Figura 6: Superfıcies coordenadas
Coordenadas cilındricas circulares
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 22 / 26
variaveis coordenadas: ρ, φ, zrepresentacao do ponto: P(ρ, φ, z)vetores unitarios: aρ, aφ, az
variacao : 0 ≤ ρ < ∞ 0 ≤ φ ≤ 2π−∞ < z < ∞
vetor posicao: ρP = ρ aρ
(a) (b)
Figura 7: Representacao de um ponto P, (a), e dos vetores unitarios, (b)
Coordenadas cilındricas circulares
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 23 / 26
Vetor geralA =< Aρ, Aφ, Az >= Aρ aρ + Aφ aφ + Az az
Produtos dos vetores unitarios
aρ · aρ = aφ · aφ = az · az = 1
aρ · aφ = aφ · az = az · aρ = 0
aρ × aφ = az aφ × az = aρ az × aρ = aφ
Relacoes entre (x, y, z) e (ρ, φ, z)
x = ρ cosφ y = ρ sen φ z = z
ρ =
√
x2+ y2 φ = arctan(y/x) z = z
Coordenadas esfericas
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 24 / 26
Os eixos coordenados resultam da intersecao de Uma esfera, um cone e um plano,mutuamente ortogonais, como mostra a figura (8).
(a) (b)
Figura 8: Superfıcies coordenadas
Coordenadas esfericas
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 25 / 26
variaveis coordenadas: r, θ, φrepresentacao do ponto: P(r, θ, φ)vetores unitarios: ar, aθ, aφ
variacao : 0 ≤ r < ∞ 0 ≤ θ ≤ π0 ≤ φ ≤ 2π
vetor posicao: rP = r ar
(a) (b)
Figura 9: Representacao de um ponto P, (a), e dos vetores unitarios, (b)
Coordenadas esfericas
Profs. Rubem A. Silva e Mario A. Filho ELETROMAGNETISMO Aula 1 – 26 / 26
Vetor geralA =< Ar, Aθ, Aφ >= Ar ar + Aθ aθ + Aφ aφ
Produtos dos vetores unitarios
ar · ar = aθ · aθ = aφ · aφ = 1
ar · aθ = aθ · aφ = aφ · ar = 0
ar × aθ = aφ aθ × aφ = ar aφ × ar = aθ
Relacoes entre (x, y, z) e (r, θ, φ)
x = r sen θ cosφ y = r sen θ sen φ z = r cosθ
r =√
x2+ y2+ z2 θ = arctan(
√
x2+ y2/z) φ = arctan(y/x)