Função Quadrática

A função quadrática é uma função polinomial do 2º grau, é qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a é diferente de 0.

Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:1 -f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c =12 -f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -13-f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 54-f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 05-f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Exercício 1: Identifique com um x as funções quadráticas abaixo e indique quais os valores de a, b e c, respectivamente.

( ) f(x) = 7x² +x a = b = c =

( ) f(x) = x³ -x² + 6x a = b = c =

( ) f(x) = (2-x)² + 3x³ + 5 a = b = c =

( ) f(x) = - x + 8x² -9 a = b = c =

( ) f(x) = x² a = b = c =

( ) f(x) = (2-x)² a = b = c =

( ) f(t) = 8 -9t + 5t² a = b = c =

( ) f(p) = p² - 4 a = b = c =

Desenhando o gráfico de uma função do 2º grau● O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a diferente

de 0, é uma curva chamada parábola.

● se a > 0, ou seja,

● se a for positivo,

● essa parábola tem a

● concavidade voltada para cima;

●

● se a < 0, se a for negativo,

● essa parábola

● tem a concavidade

● voltada para baixo;

●

Exercício 2: Identifique com base no estudo do sinal de a, quais das funções quadráticas abaixo possuem concavidade para cima e para baixo.

( ) h(x) = 7x² +x

( ) f(x) = -x² + 6x

( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5

( ) f(x) = - x + 8x² -9

( ) f(x) = x²

( ) f(x) = (2+x)²

( ) f(t) = 8 -9t + 5t²

( ) f(p) = p² - 4

O Zero da função é obtido resolvendo a Equação do 2º Grau associada à função

● Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , com a diferente de 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Ou seja, as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau:

ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

● Delta = b² - 4*a*c

● Quando Delta > 0, é positivo, há duas raízes reais e distintas;

● x1 = (-b + raiz quadrada de Delta) / 2*a

● X2 = (-b - raiz quadrada de Delta) / 2*a

Quando Delta = 0, é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);

● x = -b / 2*a

● Quando Delta < 0, é negativo, não há raiz real.

Exercício 3: Identifique com base no estudo do Delta da equação do segundo grau associada a cada função quadrática, quais delas possuem uma, duas ou nenhuma raiz real, após isto encontre o valor das raízes reais das funções que possuam.

( ) h(x) = 7x² +x

( ) f(x) = -x² + 6x

( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5

( ) f(x) = - x + 8x² -9

( ) f(x) = x²

( ) f(x) = (2+x)²

( ) f(t) = 8 -9t + 5t²

( ) f(p) = p² - 4

Vértice

● Coordenadas do vértice da parábola

● Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V;

● quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

● Em qualquer caso, as coordenadas

● de V são:

● Xv = -b / 2*a

● Yv = -Delta / 4*a

Exercício 4: Identifique com base no estudo do vértice da função quadrática, quais os valores do Xv e do Yv de cada função

( ) h(x) = 7x² +x

( ) f(x) = -x² + 6x

( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5

( ) f(x) = - x + 8x² -9

( ) f(x) = x²

( ) f(x) = (2+x)²

( ) f(t) = 8 -9t + 5t²

( ) f(p) = p² - 4

Imagem da Função Quadrática

● A imagem da função y = ax² + bx + c, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

● 1ª - quando a > 0, 2ª - quando a < 0,

●

●

Exercício 5: Determine o conjunto imagem de cada função tomando por base o valor do Yv encontrado na questão 4

( ) h(x) = 7x² +x

( ) f(x) = -x² + 6x

( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5

( ) f(x) = - x + 8x² -9

( ) f(x) = x²

( ) f(x) = (2+x)²

( ) f(t) = 8 -9t + 5t²

( ) f(p) = p² - 4

●Construção da Gráfico

● É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte

● O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;

● Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;

● O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);

● A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;

● Para x = 0 , temos y = a · 0²+ b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Exercício 6: seguindo os passos descritos anteriormente esboce o gráfico das funções a seguir.

( ) h(x) = 7x² +x

( ) f(x) = -x² + 6x

( ) g(x) = (2-x)² + 3x + 5

( ) f(x) = - x + 8x² -9

( ) f(x) = x²

( ) f(x) = (2+x)²

( ) f(t) = 8 -9t + 5t²

( ) f(p) = p² - 4

Estudo do Sinal da Parábola

● quando a > 0

●

● y > 0 (x < x1 ou x > x2)

● y < 0 x1 < x < x2

●

● quando a < 0

●

● y > 0 x1 < x < x2

● y < 0 (x < x1 ou x > x2)

Exercícios resolvidos

● Prova Resolvida PC MG 2008 – Acadepol – Questão 12. O número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de ocorrências nesse período do dia foi

● A) 0

● B) 9

● C) 15

● D) 18

●Prova Resolvida PC MG 2008 – Acadepol – Questão 12

● Veja que a função f(t) = – t² + 30t – 216 é uma função do segundo grau onde a parábola tem a concavidade para baixo (a é menor que 0) Assim sendo, o t que faz a função ser máxima é justamente o t do vértice, que pode ser calculado utilizando a fórmula abaixo

● t(v) = -b/2a = -30/2(-1) = 15

● Logo, t = 15 horas foi o momento de maior número de ocorrências.

● Como já sabemos o momento de maior ocorrência, vamos agora calcular t(15):

● t(15) = – 15² + 30.15 – 216 = -225 + 450 – 216 = 9 ocorrências.

●Prova Resolvida CFO PM ES 2013 – Exatus – Questão 68. ● Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a

Fortaleza. Um pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a:

● Repare que o preço total é dado pela quantidade de pessoas vezes o preço por pessoa, que é 2000 mais 100 por desistente.

● C(x) = x(2000 + 100(40 – x))

● C(x) = x(2000 + 4000 – 100x)

● C(x) = x(6000 – 100x)

● C(x) = 6000x – 100x²

● Como em nossa função o valor de a = -100 < 0, o gráfico é uma parábola para baixo, portanto possui valor máximo, e é exatamente o valor correspondente ao Yv, e ocorre quando o X = Xv, o valor máximo ocorre quando x = 30.

●Prova Resolvida PM ES 2013 – Exatus – Questão 53.

● Assinale a alternativa correta:

● a) O gráfico da função y = x² + 2x não intercepta o eixo y.

● FALSA: Uma parábola sempre intercepta o eixo y.

● b) O gráfico da função y = x² + 3x + 5 possui concavidade para baixo.

● FALSA: O valor de a = 1 >0. Concavidade para cima.

● c) O gráfico da função y = 5x – 7 é decrescente.

● FALSA: O valor de a = 5 > 0. Crescente.

● d) A equação x² + 25 = 0 possui duas raízes reais e diferentes.

● FALSA: Nenhum número Real elevado ao quadrado fica negativo.

● e) A soma das raízes da função y = x² – 3x – 10 é igual a 3.

● Verdadeira - Lembrando da fórmula da soma das raízes;

● Soma = ´-b/a = -(-3)/1 = 3

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