Post on 20-Dec-2015
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Universidade Federal do Mato GrossoCampus Universitário de Rondonópolis
Instituto de Ciências Agrárias e TecnológicasCurso de Engenharia mecânica
Disciplina de Mecânica dos Sólidos II
Prof. Valterson Marques dos Santos
Deflexão de Vigas
Rondonópolis, 25 de julho de 2014.
Deflexão de vigasDeformação de uma viga sob carregamento
transversal
Relembrando que uma viga prismática submetida a flexão pura é flexionada em um arco de circunferência e que, dentro do regime elástico,
Quando uma viga é submetida a um carregamento transversal, a equação acima continua válida desde que se aplique o princípio de Saint-Venant. No entanto o Momento fletor e a curvatura da superfície neutra variam de uma seção para outra.
O conhecimento da curvatura em vários pontos de uma viga carregada permitirá tirar algumas conclusões gerais referentes à deformação dessa viga.
A análise e o projeto de uma viga geralmente exigem informações mais precisas sobre a deflexão e a inclinação da viga em vários pontos. Particularmente importante é conhecer a deflexão máxima da viga.
1.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Do calculo elementar recordemos que a curvatura de uma curva plana em um ponto Q(x,y) pode ser expressa como
Em que dy/dx e d²y/dx² são a primeira e a segunda derivadas da função y(x) representada por essa curva.
No caso da linha elástica de uma viga a inclinação dy/dx é muito pequena, e seu quadrado é desprezível comparado com a unidade. Assim escrevemos,
Lembrando que,
E com isto,
Equação Linear que governa a linha elástica.
2. 3.
4.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
O Produto EI é conhecido como rigidez à flexão e, no caso de viga prismática a rigidez à flexão é constante. Integrando a equação anterior temos
Chamando de q(x) o ângulo, medido em radianos, que a tangente com a linha elástica em Q forma com a horizontal e sendo este ângulo muito pequeno, temos
Em uma forma alternativa escrevemosEm que C1 é uma constante de integração.
5.
5’.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Integrando ambos os membros da eq. 5 em x, temos,
6.
As constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições de contorno,
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 1
A viga em balanço AB tem seção transversal uniforme e suporta uma força P na sua extremidade livre A (fig). Determine a equação da linha elástica, a deflexão e a inclinação em A.
D.C.L - Determinação do Momento Fletor, Substituindo M
e integrando em x, obtemos7.
8.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 1
Observamos agora que na extremidade engastada B temos x = L e q = dy/dx = 0, veja a fig.
Substituindo essas condições na equação 8. e resolvendo para C1, temos.
Reescrevendo a equação 8. temos a equação que representa a inclinação em qualquer ponto.
9.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 1
Integrando a equação 9. obtemos,
Para determinar a constante de integração C2, observamos que em B temos x = L e y = 0. Assim,
10.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 1
Reescrevendo a equação 10. temos a equação que representa a deflexão em qualquer ponto.
Ou,
A inclinação e a deflexão em A são obtidas fazendo x = 0 nas equações 9 e 11.
11.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 2
Para a viga prismática e o carregamento mostrados na fig. determine a inclinação e a deflexão no ponto D.
Dividindo a barra em duas partes e calculando a equação da linha elástica em cada uma delas,
De A a D (x < L/4)
12.
13.
y1(x) é a função que define a linha elástica para a parte AD da viga.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 2
Integrando a eq. 13 em x, temos
13.
14.
15.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 2
De D a B (x > L/4)
16.
Usando a equação 4, e rearranjando os termos,
17.
Em que y2(x) é a função que define a linha elástica para a parte DB da viga. Integrando em x, obtemos
19.
18.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 2De D a B (x > L/4)
De A a E (x < L/4)
DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DE INTEGRAÇÃO
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 2DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DE INTEGRAÇÃO
APOIO EM A
APOIO EM B
NO PONTO EM D
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 2DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DE INTEGRAÇÃO
APOIO EM A [x = 0 ; y = 0]
APOIO EM B [x = L ; y = 0]NO PONTO EM D [x = ¼ L; q1 = q2]
[x = ¼L ; y1 = y2]
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 2DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DE INTEGRAÇÃO
NO PONTO EM D [x = ¼ L; q1 = q2] [x = ¼L ; y1 = y2]
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 2DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DE INTEGRAÇÃO
Resolvendo essas equações simultaneamente, teremos
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 2DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DE INTEGRAÇÃO
Resolvendo essas equações simultaneamente, teremos
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 2
Substituindo C1 e C2 nas eq. 14 e 15.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 2
Usando x = L/4 em cada uma das equações vemos que a inclinação e a deflexão no ponto D são, respectivamente,
Observamos que, como qD = 0, a deflexão em D não é a deflexão máxima da viga.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 3A viga prismática AB suporta uma força uniformemente distribuída w por unidade de comprimento como mostra a fig. Determine a equação da linha eslática e a deflexão máxima da viga.
Integrando em x.
Inclinação da linha Elástica Equação da linha Elástica
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 3Condições de contorno.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exemplo 3Reescrevendo a equação da linha elástica temos
Substituindo na equação da inclinação o valor obtido para C1 verificamos que a inclinação é zero para L/2 e que a linha elástica tem um mínimo no ponto médio C da viga.
Deflexão de vigasEquação da linha elástica.
Exercício para entregar em Aula
Sabendo que a viga AB é um perfil laminado W130 X 23,8 e que P = 50 kN, L = 1,25 m e E = 200 GPa, determine (a) a inclinação em A e (b) a deflexão em C.
Deflexão de vigasExercícios Propostos
Beer 5ª Ed.
9.1-9.4; 9.8; 9.10; 9.19; 9.30, 9.37, 9.38, 9.47, 9.50, 9.53, 9.67, 9.72, 9.75