"Em licence da Universidade de Brasilia.

Introducao, Metodos variacionais sao, hoje em dia, uma das principais ferramentas utilizadas para atacar problemas na teo- ria das equacoes diferenciais ordinaries e parciais nao lineares. 0 objetivo do presente trabalho e mostrar ao leitor atraves de tres exernplos simples ( 0 primeiro deles, inclusive, e um problema li- near) como isso e feito. A ideia central, atras desse programa, e a forrnulacao de um problema variacional equivalente, em um certo sentido, ao problema de equacao diferencial. · 0 problema varia- cional consiste na obtencao de pontos crfticos para um funcional associado, de mode natural, ao problema diferencial. 0 termo funcional e usado para designar uma funcao real, cujo campo de definicao e um subconjunto de um espaco de funcoes. E interes- sante observar que 0 problema de minimizacao de funcionais e 0

objetivo central do Calculo das Variacoes classico, e que, em seu estudo, equacoes diferenciais (as conhecidas equacoes de Euler- Lagrange) aparecem de modo natural, como condicoes suficientes a que a funcao que minimiza o funcional deve satisfazer. Assim, no Calculo das Variacoes classico, a questao de minimizacao de um funcional e reduzida ao estudo de um problema na teoria das Equacoes Diferenciais, Esse programa tern sucesso, na me- dida em que o problema diferencial seja tratavel por alguma outra tecnica. A ideia de inverter a direcao desse programa, isto e, tratar equacoes diferenciais atraves do estudo de um funcional associado,

Djairo G. de Figueiredo Instit.uto de Matematica - UNICAMP'

13.081 - Campinas, SP

Metodos Variacionais em Equacoes Dif erenciais

Matematica Universitaria N. 7, Junho de 1988, 21 - 47.

21

Artigos

aparece em meados do seculo XIX, de modo explicito com Diri- chlet e Riemann. Esses matematicos usaram esseprocedimento para lidar com o que hoje chamamos problerna de Dirichlet para a equacao de Laplace. Cf. [l]. Surge assim o Metodo Direto do Calculo das Variacoes, que consiste em estudar diretamente o fun- cional e procurar obter seu minima (ou um ponto crftico, em geral) sem fazer apelo a sua equacao de Euler-Lagrange. Hilbert foi pi- oneiro em utilizar esse metodo, de modo rigoroso, e efetivamente provar a existencia de solrn;;ao para o problema de Dirichlet. 0 trabalho de Hilbert foi, sem duvida, um dos fatores que infiuiram no desenvolvimento da Integral de Lebesgue, da Analise Funcional e da Topologia. Mostraremos, aqui, como essas teorias possibili- tam um tratamento elegante e simples de problemas variacionais.

No presente artigo nos Iimitamos a tratar equacoes diferen- ciais ordinaries, minimizando assim .tecnicalidades que aparecem quando lidamos com equacoes diferenciais parciais. Cf. [5] para um exemplo em e.d.p. Entretanto nao podemos iludir o leitor di- zendo que tudo e facil, A aparente simplicidade se deve ao fato que repousamos em resultados mais profundos da Analise. A Secao 1 te'm um cunho didatico: o problema e enunciado e a meta flea de- finida; comecarnos a trabalhar e as dificuldades vao surgindo. As- sim vamos motivando a introducao de certas teorias matematicas para superar os obstaculos, Fica claro porque utilizar a integral de Lebesgue, porque trabalhar com funcoes semicontinuas, porque in- troduzir outras topologias, alern da norma, num espaco de Banach, etc. Nasso objetivo na Ser;;ao 1 e motivar, dai comecarrnos com um problema linear que pode ser resolvido por outros metcdos, talvez mais elementares. Nas Secoes 2, 3 e 4 fazemos detalhes e provas de fatos usados na primeira secao. Na Se<,;ao 5 consideramos um problema de Contorno nao linear e rapidamente rnostramos corno resolve-lo pela mesma tecnica de minimisacao desenvolvida no pri- meiro exemplo. A Secao 6 e dedicada a um problema de contorno nao linear, com uma parte nao linear do tipo superlinear. Ai se ve a necessidade de ter resultados que assegurem a existencia de pon- tos criticos que nao sao minimos. Na Ser;;ao 7 apresentamos sem provar o Teorema de Passo Montanha que vem se constituindo, ele pr6prio ou seus refinamentos e extensoes, como uma importante

22

onde usamos a notacao CJ para indicar que as condicoes de fron- teira v(a) = v(b) = 0 sao satisfeitas. Usamos em (4) e ao longo de

f pu'v' + J qu» =I fv, Vv E cJ[a, b], (4)

Supomos que I E c0[a, b] e uma funcao dada. Uma soluciio cldesica do problema (1) e uma funcao u E C2[a, b] que satis- faz a equacao em (1) e que se anula nas extremidades do intervalo [a, b].

Multiplicando a equacao em (1) por v E C1[a, b], com v(a) = v(b) = 0, e, integrando por partes, obtemos

(3) p E C1[a, bj, q E C0[a, bJ; p(t) > 0, q(t) ~ 0 Vt E [a, b].

e um operador diferencial atuando em funcoes u E C2[a, b], isto e, funcoes reais com duas derivadas continuas definidas no inter- valo [a, b]. Requeremos as seguintes condicoes nos coeficientes do operador L:

Lu= f em [a, b], u(a) = u(b) = 0, (1)

1. Um Problema de Contorno Linear. Considere, o seguinte problema de contorno:

tecnica de obtencao de pontos criticos do tipo sela. Ao concluir esta introducao, queremos insistir 4ue o presente

trabalho apenas toca de leve a Teoria de Pontos Criticos de funci- onais e as aplicacoes as equacoes diferenciais. A Teoria de Morse e a Teoria de Ljusternik-Schnierelrnann tern sido cada vez mais estudadas e aplicadas nas questoes de rnultiplicidade de solucoes. Nas aplicacoes, muito se tern feito para sistemas Hamiltonianos e para equacoes elipticas nao lineares .. As tecnicalidades, que ai apa- recem, sao, em verdade, uma parte relevante e constituem belos desafios ao pesquisador.

Lu= -(p(t)u1)1 + q(t)u onde (2)

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cfi(uo)::; <I>(uo + tv) Vt E JR, Vv E cJ[a, b]

para qualquer v E CJ [a, b]. Vamos designar o limite acima por <I>'(u0)v. Essa expressao e conhecida no Calculo das

1Variac;oes

corno a primeira variaciio do funcional <I>. [A notacao, que para ela usamos, e a da derivada direcional de IJ:I DO ponto UQ na direcao v. Observe, entretanto, que no momenta nao falamos em derivada de cf>, pois ainda nao colocamos estruturas algebrica e topol6gica no dominio de <I>; isso sera feito mais adiante de um modo induzido pelos objetivos a atingir, e ai cf>' { uo) sera, de fato, a derivada de Gateaux de cf>]. Assim, vemos que, se uo for um minimo de CI> em CJ[a, b]:

Um calculo simples mostra que, para um dado uo E CJ[a, b], tern- se

1 I ,2 1 I 2 I cf>(v)=-z plvl +-z qv - .fv.

Agora, considere o seguinte funcional definido em funcoes v E CJ[a, b]: (5)

(II) prova de que, de fato, essa solucao e de classe C2; esse passo e a chamada "regularizacao" da solucao.

(I) deterrninacao de urna solucao fraca (em verdade, vamos esta- belecer , primeiramente, a existencia de uma solucao num sentido mais fraco ainda do que o definido acima) que, coma veremos a seguir, e algo mais facil de ser feito, e

todo o trabalho a notacao Jg para designar J: g(t)dt. A expressao (4) motiva a seguinte definicao. Urna funcao u E CJ{a, b] e uma soluciio fraca de (1) se u satisfaz a relacao (4). E claro que uma solucao classica de (1) e tarnbem solucao fraca. Consequentemente a questao de se obter uma solucao classica de ( 1) pode ser redu- zida ao seguinte prograrna:

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lim ! {cf>(uo + tv) - cf>(uo)} = t->0 t

= j pu~v' + j quov - j fv,

Assim concluimos que o funcional <I> e limitado inferiormente. A questao agora e saber se o Infimo de <I> e assumido, Neste sentido sera conveniente introduzir em CJ[a, b] alguma topologia. Por que? Bern, vem a mem6ria (pelo menos, a minha) o teorema de Balzano-Weierstrass da Analise que afirma: toda funcao real continua definida num intervalo fechado e limitado da reta assume seu infimo nesse intervalo. 0 que tern de essencial nesse resultado

o que implica

Vv E C6[a, b]. 1 I 2 <I>(v) 2: -- I , 4poc

onde c > 0 e uma Constante independente de v. A desigualdade (7) pode ser provada, facilmente, usando o Teorema Fundamental de Calculo. Ela e conhecida coma a desigualdade de Wirtinger, cuja melhor constante c pode ser obtida usando series de Fourier; cf. Secao 2 abaixo. De (6) e (7) se segue

para todo ti E CJ [a, b], onde 0 < p0 = min{p(t) : t E [a, b]} e onde utilizamos o fato q 2: 0 e a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Agora, para continuar a estimativa de <I>, utilizamos a seguinte desigualdade:

(6)

e daf <I>'( u0)v = 0, ou seja, u0 e uma solucao fraca do problema (1). Portanto, a existencia de uma solucao fraca d~ (I) pode ser estabelecida se provarmos que o funcional <I> tern um minima em CJ [a, b]. Otimo! Mas isso nao e tao imediatamente atingfvel. Ve- jamos como proceder.

lnicialmente, mostraremos que 0 funcional <I> e limitado in- feriormente em CJ [a, b], o que nos dara alento para continuar o processo de minimizacao. Observe que

/lv'l2 2: c j v2 Vv E C6[a, b], (7)

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lnfx <I>= Inf{<l>(v): v EX, llvll :SR}.

onde p = max{p(t): t E [a, b] e q = max{q(t): t E [a, b]. Para um real R > 0, convenientemente escolhido:

I/ Plv~l2 - f Plv'l21 :SP f I lv~l2 - lv'l21-+ 0

\! qv! - f qv21 :Sq /iv;- v21---+ 0

I/ f Vn - If vi :S (/ f )112 (jlvn - vl2 )112-+ 0

Entretanto (10) apresenta serias deficiencias no metodo varia- cional, coma apontaremos oportunamente. Designemos por X o espaco normado CJ[a, b] com a norma (9).

0 funcional <I> e continua em x. De fato, se Vn -+ v em x entao pela desigualdade (7), Vn ---+ v em L2, e dai concluimos que

llvW = max{lv'(t)I: t E [a, bl}. (10)

Para verificar que (9) realmente define uma norma usamos a de- sigualdade (7) e a desigualdade de Minkowski para integrais. E possivel definir outras normas em CJ[a, b], como, por exemplo:

(9)

0 espac;o CJ[a, b] com as definicoes usuais de soma e produto por um escalar e um espaco vectorial sabre Ill. Ele se torna um espaco normado se o munirmos da norma

Teorema A. Seja X um espaco topol6gico compacto e seja <I> : X -+ JR uma funfaO real semicontinua inf eriormente definida em X. Entdo, o infimo de <I> existe e e assumido num ponio uo E X. [Cf. Secao 3] .

sao fatos topologicos a respeito da funcao e de seu dorninio, e, de fato, o seguinte resultado da Topologia generalize o teorema de Balzano- Weierstrass:

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e pode-se provar que CJ [a, b] e denso em HJ [a, bj. Assim a de- sigualdade de Wirtinger e valid a para u E HJ [a, bj, por continui-

onde o subindice "c" indica que a funcao tp se anula fora de um intervalo fechado contido em (a, b). Veja detalhes das afirrnacoes a seguir na Sec;ao 4. A derivada fraca de u e unica e e designada por u'. Seu possuir derivada fraca, entao u e continua em [a, b); isso nos permite falar em u(a) e u(b). Em HJ[a, b] define-se a norm a

I Vtp = - I wp' \;/ 'P E c~ [a, b] (11)

(12)

Consequentemente, poderemos nos restringir a bola BR = { v E X : I !vi I :'.S R}, e tentar aplicar o Teorema A ao·\ funcional <I> restrito a BR. Surge, porem, a primeira dificuldade: BR nao e compacta. Um dos motivos dessa falta de compacidade e o fate de x nao ser completo.

Neste ponto, visando sanar a dificuldade acima, surge a ideia de completar o espaco X na norma (9). Os elementos do espaco completado sao classes de equivalencia de sequencias de Cauchy em X, 0 que e algo incomodo de se trabalhar, para nao dizer coisa pior. Nao esquecamos que estamos na busca de uma solucao para o problema (1), e esperamos obter essa solucao como uma funcao. E. aqui, que a integral de Lebesgue entra no jogo. 0 horroroso espaco obtido pela completamento de X pode ser identificado com um espaco de funcoes. Nao serao mais funcoes diferenciaveis, mas vamos ganhar em outros sentidos. Vejarnos.

Considere o espaco L2[a, b] das funcoes reais mensuraveis a Lebesgue definidas no intervalo [a, b] e tais que J /2 < oo. Com. o produto interno (/, g}£~ = ff g, esse espaco e um espaco de Hilbert. Cf. por exemplo, Royden [13]. Designemos por HJ[a, b] o subespaco de L2[a, b] <las funcoes u que possuem derivada fraca em L2[a, b] e tais que u(a) = u(b) = 0. Relembremos o conceito de derivada fraca: u E L2[a, b] tern derivada fraca em L2[a, b] se existir v E L2[a, b] tal que

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Esse e um ponto onde o espaco CJ [a, b] com a norma (10) nao funciona: a bola BR em tal espaco nao e fracamente compacta.

Agora voltamos a tentative de aplicar o Teorema A com X

isto e, a norma definida a partir desse produto interno e precisa- mente a norma (13). Em espacos de Hilbert, bolas sao fracamente compactas. A topologia fraca em espacos de Hilbert pode ser de- finida em termos de sequencias do seguinte modo. Para nao intro- duzir notacoes adicionais, vamos definir convergencia fraca apenas em HJ [a, b]: uma sequencia ( un) c HJ [a, b] converge fracamente para u E HJ [a, b] se

(un, v)H•----> (u, v)H• 't/v E HJ[a, b].

A partir de agora consideramos HJ[a, b] munido da norrna (13). Prova-se que ele e complete. Esse e um exemplo de um espaco de Sobolev. Assim o completamento do espaco X na norma (9) pode ser identificado com o espaco de funcoes HJ [a, b].

Agora olhamos 'I> como um funcional definido em HJ[a, b]. 'I> e continua (mesma demonstracao acima), mas a nao compacidade de BR = { v E HJ[a, bJ.llvllH1 ~ R} persiste! A razao agora [que tambern ja existia antes do cornph~t.ament.o) e que HJ[a~ b] e um espaco de dirnensao infinita. Lembramos que a bola unitaria num espaco normado e compacta se e s6 se o espaco for de dimensao finita. (Esse e o conhecido Teorema de Riesz). Por que nos demos ao trabalho de completar x se nae havia esperanca de ganhar compacidade de BR? Por que nao utilizar CJ[a, b] com a norma (10) que ja e complete? As respostas a essas perguntas virao no paragrafo seguinte, onde visando compacidade introduzimos a topologia fraca.

No nosso caso, observamos que o espaco HJ[a, b] e, de fato, um espaco de Hilbert com o produto interno definido por

(u, vin: = / u'v',

{13)

<lade. Dai se segue que a norma {12) e equivalente a

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(V'cI>(uo),v)n1 = <I>'(uo)v, onde cI>' ( uo) foi definida no corneco desta secao. Portanto, u0 E HJ[a, b) satisfaz a relacao

(14) f pu~v' + f quov = f fv Yv E HJ[a, b].

Portanto, podernos usar o Teorema A e concJuir que cJ> assume seu infimo em uo E BR. Se tomarmos R ta) que <I>( v) > <I>(O) = 0, para llvlln1 = R, concluimos que uo esta no interior de BR. Ob- serve que o funcional cJ> em HJ[a, bj e diferenciavel a Frechet; seja V'cI>: HJ[a, b] ~ HJ[a, b] sua diferencial, onde usamos o teorema de Riesz -Frechet (cf. [2], [14]) para, identificar o espaco dos fun- cionais lineares continuos sabre HJ[a, b] com o proprio HJ[a, b]. Assim

pelo Lema de Riemann-Lebesgue, cf. [6; p. 56]. Mas

1 11r 1 11r 11' cJ>( Vn) = - jv~l2 = - cos2 n t dt = - r 0. 2 0 2 0 4

ii

1'1

I

Observacao, Aqui e o ponto onde se faz necessario usar semi- continuidade inferior. De fato nao e verdade que cI> seja continuo na topologia fraca. O Teorema B nao e verdadeiro se substituir- mos semicontinuidade inferior por continuidade. Para se convencer disso, tome exemplo de <P com p = 1 e q = o, isto e

cI>(v) = ~ jlv'l2 = ~ llvlli1. Para simplificar a notacao, tome a = 0 e b = '.It. Entao, vn(t) = ~sen n t converge fracamente par 0 em HJ [O, 7r}, isto e,

lim {'Ir cos n t · v'(t)dt = 0, Yv' E L2[0, 7r] n-+oo Jo

Teorema B. Seja E um espaco de Banach e cI> : E ~ JR, um fun- cional semicontinuo inferiormente {na norma) e convexo. Entao cI> e semicontin uo na topologia fraca de E. (Cf. Sei;ao 3).

sendo a bola BR em HJ[a, b] munido da topologia fraca. Resta apenas ver que cI> seja semicontinua inferiorrnente-na topologia fraca de HJ [a, b]. Para isso usamos o seguinte resultado:

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II I I f puo = -p uo + quo -

Portanto pu0 e continua, o que implica u0 continua. E final- mente de (15} obtemos

(pu0)' = quo - f. (15)

Isso mostra que pu0 possue derivada fraca em L2[a, b] e

Para cumprir a fase (II) de nosso programa, usamos a ex- pressao ( 14) reescrevendo-a como

J pu~v' = - J [quo - f}v V v E HJ[a, b].

j(u1 - u2h:/ = 0 Vcp E CJ[a, b].

lsso implica (veja Lema I na Sec;ao 4) que u1 - u2 const. Utilizando-se as condicoes de fronteira obtemos u1 = u2.

fornece

o que implica u~ = u~. Essa igualdade usada nas expressoes

Tomando v = u1 - u2 e lembrando as hip6teses (3), segue-se que

J p(u~ - u~)2 = 0

Antes de passarmos a parte (II) vamos provar a unicidade da solucao fraca de (1). Suponha que existam duas tais solucoes ui,u2 E HJ[a, b]. De (14) obtemos

f p(u~ - u~)v' + / q(u1 - u2)v = 0, Vv E HJ[a, b].

Um tal uo e 0 que, de fato, se conhece como solufaO fraca do pro- blema (1). E, essencialmente, a mesma definicao dada no inicio desta secao, a menos do fato que a derivada, agora, e tomada no sentido fraco, ao passo que la era no sentido classico. Assim, pro- vamos que o problema (I) possue solucao fraca, e esta cumprida a fase (I) de nosso programa. .

I·· ... j

;

fli 'l' k.11 "< 30

Vale tambem a identidade de Parseval , [6; p. 84]

2 It. nstt. s; = £ f o v(t)sen Tdt.

onde OS coeficientes de Fourier, bn, sao definidos por

Portanto, a constante c na desigualdade (7) pode ser tomada coma 2/f.2, onde £ e o comprimento do intervalo [a, b]. A melhor cons- tante c pode ser obtida atraves de um outro procedimento de de- monstracao, usando-se series de Fourier. Para facilitar a notacao facarnos a = 0 e b = £. A funcao v e igual a sua serie de Fourier de senos, cf. [6; p. 21]:

f\2 s rlv'l2 [b(t-a)dt= (b-a)2 fblv'/2. fa la la 2 la Dai

v(t)2 ~lb Jv'J2. (t - a). ou ainda:

v(t)2 :'.Sit Jv'(s}l2ds · (t - a),

v(t) =it v1(s)ds.

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz obtemos

2. A Desigualdade da Wirtinger. Nesta sec;ao provamos a desigualdade (7) da secao anterior. Vamos a urna primeira de- monstracao, Seja v E CJ [a, b]. Pelo Teorerna Fundamental do Calculo:

o que mostra que ug e tambern continua.

2 fl 00

l Jn Jvl2 = Lb~. O n=I

(16)

31

(19)

Observacao. Existe uma versao multidimensional da desigual- dade de Wirtinger, que e conhecida como a desigualdade de Poin- care. Seja u : 0 ----;. R uma funcao de classe C1 em um aberto limitado de RN e suponha que u tern suporte compacto em n. Entao, existe uma constante c > 0, independente da particular funcao u, com as propriedades enunciadas acimas [a constante de- pende apenas de n] tal que

fo 1vu12?: cl u2.

(18) fe lv'l2 ?: 11"2 f e lvl2. lo f.2 lo

Assirn, a constante c na desigualdade de Wirtinger pode ser to- mada como 1f2 / £2. Para ver que se trata da melhor constante tome v(t) =sin '1r} para a qual se obtem igualdade em (18).

e dai, usando (16) obtemos

2 mr li. . nsit. mr a = - - v(t) sm - dt = - b . n f. e 0 £ £ n

Podemos estimar o lado direi to de ( 17) e obter

2 e 2 oo - [ 1v'J2 > ~ ""'n2b2 e -£2L.,, n 0 n:=l

Para n ~ 1 temos, integrando por partes

(17)

211. , mrt an = £ 0

v ( t} cos f dt

e, tambem, temos a identidade de Parseval

2 ll a2 oo - lv'l2 = __Q +La!. f. O 2 n=l

onde

'\ ao ~· nnt.

v1(t} = 2 + L.,, an COST n=l

Por outro lade, v'(t) e igual a sua serie de cossenos

32

-oo < I= Infx<I>.

Logo <I>(x) > -no para todo x EX. Seja Io infimo de <I>.

X = LJ <I>-1(-n, oo). n=I

n,.

ou seja X esta recoberto por uma colecao de abertos q,-1(-n, oo). Pela compacidade de X segue-se que existe no ta] que

X = U <I>-1(-n, oo) n=l

3. Mlnimizaqao de Funcionais. Relembremos duas definicoes. Um funcional real <I> : X--+ JR. definido num espaco topol6gico X e semicontinuo inf 'eriormenie se a imagem in versa qi-I (a, oo) de qualquer serni-reta aberta (a, oo) e um aberto de X. Um espac;o topol6gico x e compacto se qualquer cobertura de x por abert.os possui uma subcobertura finita. Agora demonstramos o Teorema A enunciado na Secao 1.

Primeiramente provamos que <I> e limitado inferiormente. De fato

Esses resultados podem ser vistos em livros sabre Equacoes Di- ferenciais Parciais; em particular, veja [9], ou [7] onde se trata operadores elipticos de 2~ ordem mais gerais que o Laplaciano.

-6<p1 = >.1<,o1 em 0 'Pl = 0 em ao.

>.1 < >.2 :'.S ).3 :'.S • .

A constante c da desigualdade (19) e precisamente >.1, ea igual- dade em (19) e obtida quando u e igual a <pi, uma auto-funcao correspondente ao prirneiro autovalor, isto e

onde ao e a fronteira de 0, possui urna sequencia de autovalores (todos positivos)

-6u = >.u em 0, u = 0 em ao

Pode-se provar que c e o primeiro autovalor do Laplaciano, sujeito as condicoes de Dirichlet. Mais especificamente, o'· problerna de autovalor

00

33

Teorema B. Seja .P : X -+ IR um funcional semicontinuo infe- riormente na topologia da norma de espaco de Banach X. Se c.t> for convexo, entiio ele e [racamente semicontinuo inferiormente.

Nas aplicacoes do Teorema A no Calculo <las Variacoes, .Pesta definida num espaco de funcoes ou num subconjunto do mesmo. Portanto, vamos agora considerar funcionais reais .P : E -+ IR definidos em espacos de Banach Ede dimensao infinita. Na mai- oria dos casos, o funcional c.t> e continuo na topologia da norma. Alem disso, e conveniente considera-Io restrito a bolas de espaco de Bariach E, e tais conjuntos nunca sao compactos na topologia da norrna, como ja observamos na Secao 1. Dai, a introducao de outras topologias no espar,;o de Banach E. A mais conveniente e a chamada topologia fraca, cf. [2] ou (14]. Os espacos de Banach reflexivos constituem uma importante classe de espacos de Banach que sao caracterizados pela propriedade de bolas fechadas serem conjuntos fracamente compactos. Espacos de Hilbert) espacos nor- mados de dirnensao finita, espacos LP com 1 < p < oo, espacos de Sobolev modelados sobre tais LP sao exemplos de espacos re- flexivos. Consequentemente consideramos em E a topologia fraca. Em contrapartida, porern o tipo de continuidade requerida em c.t> para a aplicacao do Teorema A devera ser na topologia fraca. 0 seguinte resultado sera de grande valia nas aplicacoes:

Dai c.t>(x) > I+ ,;1, para todo x EX, o que contradiz o fato de I ser o infimo de c.t>.

nr l X = LJ c.t>-1(1 + -, oo).

n=l n

ou seja X esta recoberto por uma colecao de abertos. Novamente a compacidade de X nos fornece um n1 tal que

Provemos a seguir que I e assumido. Suponha por contradicao que isso nao seja o caso, Logo

34

x = u .p-lu + .!_, oo) n=l n

cuja norma correspondents e

o que por sua vez se segue do fato de C~ [a, b] ser denso em L2 [a, b]. E claro que, se u for continuamente diferenciavel no sen- tido classico, isto e, de classe 01' en tao ela possue derivada fraca, que e precisamente sua derivada classica.

Munimos o espaco H1[a, b] com o produto interno

j vip = 0, V ip E C';° [a, b] :::?- v = 0 q.t.p.

entao v1 = v2, q.t.p., [quase em toda parte = a menos de um conj unto de medida nula]. Issa decorre do fato que

I Viip = - I ucp' \;/'PE cJ[a, b]

Para justificar a introducao da notacao u', observemos que se Vi, v2 E L2[a, b] sao tais que

4. 0 Espaco de Sobolev H1[a, b]. Vimos na Secao I a neces- sidade de se trabalhar com funcoes do L2 derivaveis num sentido fraco. Nesta secao, demonstraremos os resultados la utilizados. E conveniente introduzir inicialmente um espaco maior que HJ[a, b], isto e: nao nos preocupemos com as condic;oes de fronteira por en- quanto,

para todo a E JR e convexo. E uma consequencia do Teorema de Hahn-Banach que um conjunto convexo num espaco de Banach e fechado see so ele e fracamente fechado. 0

.p-1(-oo, a]= {x EX: .P(x)::; a}

Demonatracfio, 0 conjunto

(21)

35

lw(t2}- w(ti)I S (i:2!u'l2)112\tz - t11112

par a t 1 , t2 E [a, b]. Alem disso, a teoria de Lebesgue nos diz que w e diferenciavel q.t.p, e w' = u' q.t.p. Por outro lado W<p e tambem diferenciavel q.t.p., e

A funcao we continua, e, de fato, absolutamente continua (cf. [IO] ou [13]), o que pode ser visto a partir da estimativa

w(t) =it u'(s)ds Vt E [a, b]. (22)

Demonsrracao. Definamos

Proposlcao 2. Dada u E HI[a, b], existe uma fun~ao u E C0[a, b] tal que u = u, q.t.p. Neste sentido, escrevemos H1[a, b] c c0[a, b].

Para concluir mostremos que u E HI e u' = v. Que isso e verdade se segue do fato que

I Un<p1 = - I U~<p v <p E c:i[a, b]

implica, por passagem ao limite:

J u<p1 = - ! vip V <p E c:i[a, bj,

o que conclue a demonstracao, D

Demonstracao. Ja aceitamos (o Ieitor devera estar convencido) que (20) define um produto interno. Resta, pois, provar que o espac;o e completo na norma (21). Seja ( un) c HI [a, b] uma sequencia de Cauchy. Segue-se da expressao (21) que (un) c L2

e ( u~) c L2 sao tambem sequencias de Cauchy em L2. Logo, pelo fato de L2 ser completo, existem u, v E L2[a, b] tais que

Un ----+ u, u~ ----+ v em L2•

Proposicao 1. HI[a, b] e um espa~o de Hilbert

A seguir, vejamos algumas propriedades de HI.

(w<p)1 = w'<p + w<p1.

36

ju[v-'lj) jvJ= jv[u-ju?/J]=O

<p(t) = lt h E C~[a, b].

Usando essa funcao em (24) obtemos

e observe que

h=v-1/J i: Demonst'racao do Lema. Fixe 'ljJ E C! (a, b] com f ijJ = 1. Para todo v E C~ [a, b] considere a funcao

entiio u = constante.

(24)

Lema 1. Se u E L2 [a, b] for tal que

I u<p' = 0 v <p E c; [a, b]

Para concluir a dernonstracao basta provar o seguinte lema.

j(w - u)<p1 = 0 V <p E C~[a, b]. (23}

e coma u' = w1 q.t.p., obtemos

Por outro lado, pela definicao de derivada fraca

J w'<p = - J w<p1•

de onde se segue (pois <p(a) = <p(b) = 0) que

Pelo Teorema Fundamental do Calculo para a integral Lebesgue, cf. [10; p. 285] ',

(w<p)(b) - w<p(a) = j(w<p)' = J w1<p + J w<p'

37

(28) lu(to)I ~ lu(t)I + (b- a)1!2(J lu'l2) 112,

Vt E [a, b].

Consequentemente, pela desigualdade do triangulo obtemos:

e dai

e estimar, usando Cauchy-Schwarz:

lu(to) - u(OI = ! l: u'(s)dsl v t E [a, b]

onde llulloo = max{lu(t)I : t E [a, bl}. Provemos (26) retirando informacoes da demonstracao da Proposicao 2. Dada u E H1[a, b] podemos supor queue absolutamente continua em [a, b]. Fixando t0 E [a, b], podemos utilizar o Teorema Fundamental do Calculo para integrais de Lebesgue e escrever

llulloo ~ c l!u!I Vu E H1[a, b] (26)

Observacao. Na realidade, podemos reforcar a conclusao da Proposicao 2, afirmando que a inclusao H 1 [a, b] c c0 la, b] e uma injefao continua considerando-se em H1 a norma (21) e em c0[a, b] a norma do maximo:

onde c e urna Constante. Assim fazendo u = w - c, que e uma funcao continua (pois w e continua), obtemos u = u q.t.p. o

Conclusao da Prova da Proposicao 2. De (23) usando o lema concluimos que (25)

u = J U1p => u = const. 0

., -, para todo v E C~[a, b]. Logo

38

Daise segue que HJ[a, b] e um subespaco fechado e consequente- mente um espaco de Hilbert com a norma (21).

A proposicao seguinte e um resultado cuja demonstracao uti- liza os nucleos de Dirac [conhecidos tambern coma regularizadores

onde utilizamos a desigualdade (26). De modo semelhante, temos ft;. HJ[a, b] e definido coma £;1(0) (1 fb"1(0), OU seja

HJ[a, b] = {u E H1[a, b]: u(a) = u(b) = O}.

lla(u)I = lu(a)I S llulloo Sc !lull

0 qua] e continua pois ternos a lirnitacao

la(u) = u(a),

para quaisquer t, to E [a, b] e onde k = max{llull : u E A}. Logo, pelo Teorema de Arzella-Ascoli o conjunto A, olhado como sub- conjunto de C0[a, b], e relativamente compacto. Dizernos, entao, que a inje~ao H1[a, b] <---+ c0/a, b] e compacta.

Agora introduzimos o espa<;o HJ[a, b] coma um subespaco de H1 [a, b] do seguinte modo. Seja la : H1 [a, b] ---+ JR. o funcional linear definido por

!u(to) - u(t)I :S llulj, It - tol1/2 :S kl t - tol1/2

onde a constante c pode ser tomada como 0 maxima dos dais valores (b - a)-1/2 e (b - a)112. Como t0 e arbitrario em (29), essa desigualdade implica (26). Uma outra demonstracao de (26) pode ser vista em [2; p. 129]. A desigualdade (27) nos da mais inforrnacao ainda sabre a injecao H1 [a, b] <---+ c0 [a, bj. De iato, se A e subconjunto Iimitado de H1[a, b], entjio (27) nos diz que as funcoes u E A sao equicontinuas:

lu(to)I S c !lull e dai (29)

(/ )1/2 ( )1/2 (b - a)lu(to)I S (b - a)1/2 u2 + (b - a)3/2 / 1u'l2

mars uma vez , segue-se que lntegrando (28), e usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz

39

0 funcional associado ao problema (30) e

(32) j pu~v1 + j qu0v = j /(t, uo)v, V v E HJ[a, b].

A exemplo do que fizemos na Secao 1, vamos determinar inicial- mente urna solucao fraca do problema (30), isto e, u0 E HJ [a, b] tal que

l/(t, s)I :S k, Vt E [a, b], Vs E JR,. (31)

onde L e o operador definido na Secao 1 e f : [a, b] x JR ~ JR, e urna funcao continua e limitada, isto e, existe uma Constante k > 0, ta! que

(30) Lu= f(t, u) em [a, b], u(a) = u(b) = 0,

5. Um Problema de Contorno Nao Linear. Considere o seguinte problerna:

Segundo Exemplo

(u, v)Hi = j u1v1•

cujo produto interno correspondente e

A Proposicao 3 perrnite estender a desigualdade de Wirtinger para todas as funcoes de HJ [a, b]. E dai se segue que, em HJ [a, b], a norma (21) e equivalente a norma

Proposlcao 3. Dado u E H1 [a, b], eziste uma sequencia de funfao lf)n E C!(JR), tais que lf)nl[a,b] ~ u na norma {21}. Se u E HJ[a, b], entiio as 'Pn podem ser tomadas em C![a, b].

ou mollifiers], cf. [2; p. 127].

40

41

Para a aplicacao do Teorema A, resta provar que <I> e semi- continua inferiormente na topologia fraca de HJ[a, b). Mas, isso

Inf <I>= lnf{<I>(u): llullnr < R}.

o que mostra que <.I> e limitada inferiormente. E, alem disso, para R > 0 suficientemente grande

1 J ( b _ a) 1/2 (J ) 1/2 <I>(u) ~ 2 lu'l2 - k1 -c- lu'l2 - k2,

e dai, usando a desigualdade de Wirtinger:

para todo v E HJ [a, b). Consequentemente, os pontos criticos de <I> em HJ la, b) sao precisamente as solucoes fracas de (30), ou seja, as solucoes de (32).

Inicialmente, vejamos que o funcional <I> e limitado inferior- mente. Exatamente coma no caso linear, usamos (3), (34) e a desigualdade de Cauchy-Schwarz para estimar

(<I>'(u),v)H1 = lr": /quv- / f(t,u)v

Observe que <I> esta bem definido em HJ[a, b]: a parte quadratica e a mesma do funcional da Sec;ao 1, e o terceiro termo e uma funcao integravel em vista de (34) /o que tambern pode ser visto lem- brando que u E HJ [a, b] e necessariamente continua, e portanto F(t,u(t)) e continua em [a, b] ].

Para demonstrar a continuidade de <I> em HJ[a, b], come ja provarnos a continuidade da parte quadratica, resta provar a continuidade do terceiro termo. Esta, porern, se segue, coma na observacao entre colchetes acirna, da continuidade da injecao HJ/a, b] <-+ c0[a, b). Alem disso, <I> e de classe C1 com derivada

(34) IF(t, u)I ~ ki/ul + k2, Vu E Ill, Vt E [a, b].

onde F(t, u) = J0u f(t, s)ds. Segue-se de (31) que existem cons- tantes positivas k1 e k2 tais que

u(a) = u(b) = 0. - u11 = u2 (37)

6. Um Problema Superlinear. Considere o problema de con- torno

Terceiro Exemplo

para as quais nao e trivial a existencia de uma solucao se anulando nas extremidades do intervalo [a, b]!

11 -u2 -u = e -u11 = f(t) cos u

completando a demonstracao da que <I> e semicontinuia inferior- mente na topologia fraca de HJ[a, b]. [A passagem de (35) para (36) utiliza o seguinte resultado: uma seguencia de reais converge para um real a: se e s6 se toda subsequencia da sequencia original possui uma subsequencia que converge para a:].

Podemos, pois, aplicar o Teorema A e concluir a existencia de uo E HJ [a, b] que minimiza <l>. Como no caso linear, R pode ser tornado, de partida, suficientemente grande de modo que o minima uo obtido seja tal que lluollH1 < R. E dai concluimos que uo e um ponto critico de <I>. De modo analogo ao caso linear, mostramos que u0 e de classe C2. Exemplos de equacoes do tipo (30):

f F(t, Un) --t [r« u) (36)

Dai, concluimos que

(35)

se segue facilmente de que ja sabemos que a parte quadratica e semicontinua inferiormente na topologia fraca e do seguinte ar- gumento para o terceiro termo do funcional. Se Un converge fra- camente em HJ[a, b] para u entao, da compacidade da injecao HJ[a, b] ~ c0[a, b] se segue que existe uma subsequencia (un) de (un) que converge em C0[a, b} para u. Logo, F(t, un,-(t)) con- verge em c0[a, b] para F(t, u(t)). Logo

/ F(t, un) --t / F(t, u).

42

n2 i1r 1 n21f 1f 4>(u ) > ~ cos2 nt - - 7r = - - - ~ +oo. n_2 o 3 4 3 (40)

Assim os pontos criticos de 4> sao as solucoes fracas de (37). Agora observe que q, nao e limitado nem superior nern inferior- mente em HJ[a, b]. De fato, para simplificar notacao facarnos a = 0·, b = 7r e tome Un = sen nt

(39) (4>'(u),v)n1=j1.lv' - j u2v, Vu, v E HJ[a, b].

E facil ver que q, e de classe 01 e

(38) 4>(v) = ~ j lv'l2 - ~ j v3, v E HJ[a, b].

Seguindo o esquema dos dois exemplos anteriores, vamos ini- cialmente procurar uma solucao fraca de (37). Para tal, conside- remos o funcional 4> em HJ [a, b] definido por:

o que mostra que a derivada de u e decrescente. Se o lei tor preferir ele pode olhar a equacao em (37) e ver que u e uma funcao concava, e dai o resultado. Alem disso, se u(to) = 0 para algum to E (a, b) entao u = 0, em virtude do teorema de existencia e unicidade para equacoes diferenciais ordinarias, Consequentemente, as eventuais solucoes de (37) sao tais que

u'(t) = u'(a) - it u2(s)ds, Vt E [a, b],

Obviamente tt = 0 e solucao de (37). Estamos interessados em obter uma solucao u =/:. 0. -\

lnicialmente vernos diretamente da equacao que se u for uma eventual solucao entao u 2:: 0. Isso decorre do Principia do Maximo, cf. [9], [11], que tambem vale para equacoes diferenciais parciais de 2~ ordem' do tipo eliptico. No caso presente, pode- mos concluir que u ~ 0 usando argumentos elementares. De fato, integrando a equacao obtemos

u(t)>O VtE(a,b).

43

(43)

onde r = 3/(2c); o que mostra que 0 e, em verdade, um minima local. A desigualdade (41) nos induz a pensar que deva haver um outro ponto critico. Para tal utilizamos o Teorema C, o conhecido Teorema de Passo Montanha, que enunciamos e comentamos na secao seguinte. Olhando as hip6teses do Teorema C, vemos que nos, resta verificar que o funcional {38) satisfaz a condicao de Palais- Smale. Seja pois (un) C HJ[a, b] tal que

<P(v) > 0 para 0 < llvlln1 < r Logo

1 2 c 3 1 cI>(v) ~ 2 llvlln1 - 3 llvlln1, para v E H0•

d 3 . , on e c = c3, isto e,

<P(v) ~ ~ J !v'l2 - ~ (/ ]v'l2)

312

Se o lei tor preferir ( 42) se segue de (26) e da desigualdade de Wirtinger. Portanto, podemos estimar

V v E HJ[a, b). (42)

Segue-se de (41) que nao ha esperancas de se obter um ponto crftico u #- 0 usando o Teorema A. A salvacao sera tentar obter algum ponto crftico do tipo sela. Para tal devemos entender me- lhor o jeitao do funcional. Por exemplo que tipo de ponto critico e o O? Varnos ver que se trata de um minimo local. De fato, o mesmo argumento (Teorema Fundamental do Calculo] usado para demonstrar a desigualdade de Wirtinger, prova, para I < p < oo, que existe uma constante Cp tal que

2 I 3 I n '2 n 3 <P(un) = 2 lu I - 3 u ~ -oo. ( 41)

Por outro lado tome Un= nu, onde 0 < u E HJ[a, b] "\

44

7. 0 Teorema do Passo da Montanha. Seja E um espaco de Hilbert e <I> : E ---+ R um funcional de classe C1. Dizemos que <I>

au seja, Un converge para u na norma de HJ[a, b]. Issa prova a condicao de Palais-Smale, e o Teorema C nos fornece um ponto critico nao trivial uo E HJ [a, b]. Como nos dois exemplos ante- riores Se segue que Uo e de classe C2.

Par outro lado, da convergencia fraca de Un para u em HJ[a, b] obtemos

(47) lim f u'(u~ - u1) = 0.

Finalmente, de ( 46) e ( 47) obtemos

lirn jiu~ - u'j2 = 0

lim J u~(u~ - u') = 0. (46)

A segunda integral em {45) converge a 0 e o lado direito de (45) tambern converge a zero pois llun - uJln1 :-::;·canst. Logo

(45) If u~(u~ - u') - f u~(un - u)I :'S en)lun - ulln1.

o que mostra que llunllH1 :'S canst. Tome uma subsequencia [re- presentada ainda por un) tal que Un converge fracamente para u em HJ[a, b) (isso e possivel em vista da reflexividade do espaco de Hilbert) e ta] que u,. ---+ ti em c0[a, b] (isso Yem da injet;ao compacta de HJ[a, b] em C0[a, b]. Tome em (44) v =Un - u para obter

e

(44) I (41>'( un), v) H 11 = I Ju~ v' - J u~vl ~ enl l~[·IH 1 onde En---+ 0 quando n---+ oo, e (44) vale para toda v E HJ[a, b]. Tome v =Un em (44) e de (43) e (44) obtemos

45

;j ·.;

Nota sobre Bibliogra:fia. Alem do artigo acima citado, men- cionamos as notas de Rabinowitz [12] e Costa [3], onde outros teoremas variacionais sao estudados e aplicados as equacoes di- ferenciais. A demonstracao do Teorema C usa o Lema de De- forrnacao de Clark. Recentemente, Brezis e Ekeland produziram uma outra demonstracao usando o Principia Variacional de Eke- land. Este principio e suas variacoes vern se constituindo uma poderosa arma no estudo de problemas em Analise, cf. [4]. Para outras aplicacoes, inclusive o tratamento dos teoremas variacionais de Ambrosetti-Rabinowitz e Rabinowitz via Ekeland, veja [8]. 0 material basico usado aqui esta todo contido no excelente Iivro [2].

<P(uo)=c. e <I>'( uo) = 0

c = inf max <l>{J(t)). "1Ef tE[0,1]

Entao, c 2: d e c e um valor critico de <P, isto e existe uo E E tal que

e defina

r ={IE C0{[0, I]; E): 1(0) = 0 e 1(1) = e} Seja

Inf { <l>( u) : //uJ /E = r} > Max { <l>{O), <I>( e)} = d.

Teorema C. Seja <l> : E -t JR um /uncional de classe C1, satisfa- zendo a condifao de Palais-Smale, definido num espaco de Hilbert E. Suponha que existem r > 0 e E E, com /)el/E > r tais que

com en -> 0, onde ( , ) E design a o produto interno em E. 0 Teorema do Passo da Montanha, devido a Ambrosetti e Rabino- witz [1] diz:

(49)

possue uma subsequencia convergente na norma de E. A segunda condicao em (48) diz que a sequencia (Y'<P(un)) C E converge para 0 na norma de E. Issa e equivalente a dizer

satisfaz a condifao de Palais-Smale se toda sequencia ( un) c E tal que ' { 48) /<P( un) / :S const e V'<P( Un) -t 0

46

[14] K. YOSIDA, Functional Analysis, Springer-Verlag, New York (1974).

[io] E. HEWITT and K. STROMBERG, Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag (1965).

[11] M. H. PROTTER and H.F. WEINBERGER, Maximum Principles in Differential Equations. Springer-Verlag New York (1984).

[12J P. H. RABINOWITZ, Some aspects of critical point theory. MRC Technical Report # 2465 (1983).

[13] H. L. ROYDEN, Real Analysis. MacMillan Publishing Co., Inc. (1968).

jl] A. AMBROSETTI and P. H. RABINOWITZ, Dual variational methods in critical point theory and applications. J. Funct. Anal. 14 {1973), 349-381.

[2] H. BREZIS, Analyse Fonctionnelle. Masson, Paris (1983).

[3] D. G. COSTA, Topicos em Analise Nao-Linear e Aplicacoes as Equacoes Diferenciais. VIII Escola Latino-Americana de Ma- tematica, Rio (1986).

[4] I. EKELAND, Non convex minimization problems. Bull. A.M.S vol. 1 (1979), 443-474.

[5] D. G. DE FIGUEIREDO, 0 princfpio de Dirichlet. Mat. Univ. NQ 1 {1985}, 63-84.

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[8) D. G. DE FIGUEIREDO, Lectures on the Ekeland Variational Principle with Applications and Detours. Campinas (1987).

[9] D .. GILBARG and N. S. TRUDINGER, Elliptic Partial Differeu- rial Equations of Second Order. Springer-Verlag, Berlin,Heidelberg {1983).

Referencias

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