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Rosa – 2013

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Aula de hojeV.a. conjuntasVetores Aleatórios Discretos Estatística de ordemDistribuição da soma de duas v.a. 

 

Aula passadaV.a. Normal, Chi­Square, Uniforme, Lognormal, Pareto 

Princípio de Pareto

Cauda Longa

V.a. conjuntas

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Variáveis Aleatórias Conjuntas

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Variáveis Aleatórias Conjuntas: Propriedades

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Variáveis Aleatórias Conjuntas: Propriedades

Função densidademarginal da v.a. X

Função densidademarginal da v.a. Y

Função distribuição marginal da v.a. X

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Função Distribuição Marginal

Função densidade marginal da v.a. X

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Vetores Aleatórios Discretos Motivação:

Suponha que você queira saber o tempo de execução de um programa que possui dois módulos

Seja X v.a. discreta que representa tempo de execução do módulo 1

Seja Y v.a. discreta que representa tempo de execução do módulo 2

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Vetores Aleatórios Discretos Motivação:

Módulos executados em série, tempo de execução é v.a. Z = X+Y Módulos executados em paralelo, tempo

de execução é v.a. Z = max{X,Y}

Módulos executados em paralelo, tempo de execução do módulo mais rápido é v.a. Z= min{X,Y}

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Vetores Aleatórios Discretos

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pmf de Vetores Aleatórios

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pmf marginal

É a pmf de uma única v.a.:

pX x=P [X =x]pX x=∑

j P [X =x ,Y= y j]

pX x=∑j pX ,Y x , y j

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Exemplo de pmf: multinomial

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Exemplo de pmf: multinomial

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Independência de Variáveis Aleatórias

t

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Soma de duas Variáveis Aleatórias

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Soma de duas Variáveis Aleatórias: Convolução

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Soma de duas Variáveis Aleatórias: Convolução Discreta

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Soma de Variáveis Aleatórias

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Distribuição do Máximo de duas Variáveis Aleatórias

Módulos executados em paralelo, tempo de execução é v.a. Z = max{X,Y}

F Z z=P [Z=max {X ,Y }≤z]

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Distribuição do Mínimo de duas Variáveis Aleatórias

Módulos executados em paralelo, tempo de execução do primeiro que acaba é v.a. Z=min{X,Y}

F Z z=P [Z=min { X ,Y }≤z ]

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Estatística de Ordem

Suponha que você queira saber a distribuição do tempo de execução de uma tarefa que é composta de várias tarefas em paralelo

Suponha agora que você queira saber a distribuição do tempo até que a primeira tarefa termine

t1

t2

t3

t4

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Estatística de Ordem

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Estatística de Ordem: distribuição do mínimo

FY 1 y =P [Y 1=min {X 1, X 2, ... , X n }≤ y ]

Sejam X_1, X_2, ..., X_n v.a. independentes e identicamente distribuídas e seja

Y 1=min {X 1, X 2, ... , X n }

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Estatística de Ordem: distribuição do mínimo

SeY 1 y então X 1 y , X 2 y , ... , X n y

P [Y 1 y ]=1−F Y 1 y =1−F X y n ,

FY 1 y =1−1−F X y n

Y 1=min {X 1, X 2, ... , X n }

P [Y 1 y ]=P [X 1 y , X 2 y , ... , X n y ]

pois X i são i.i.d.

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Estatística de Ordem: distribuição do máximo

FY n y=P [Y n=max {X 1, X 2, ... , X n }≤ y ]

Sejam X_1, X_2, ..., X_n v.a. independentes e identicamente distribuídas e seja

Y n=max {X 1, X 2, ... , X n }

Rosa – 2013

Estatística de Ordem: distribuição do máximo

Y n=max {X 1, X 2, ... , X n }

SeY n y então X 1 y , X 2 y , ... , X n y

P [Y n y ]=F Y n y=F X y n ,

P [Y n y ]=P [X 1 y , X 2 y , ... , X n y ]

pois X i sãoi.i.d.

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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias

F Z z=P [Z≤z ]=∬Az

f X ,Y x , ydxdy

Sejam X e Y v.a. independentes

Seja Z=X ,Y =X Y ,então

onde AZ é subconjunto emℜ2 tal que

Az={x , y ∣ x , y ≤z}

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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias

x

y

X+Y=Z

X :−∞ ,∞

Y :−∞ , z−x

X+Y<Z

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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias

F Z z=∫−∞

∫−∞

z−xf X ,Y x , y dydx

F Z z=∫−∞

∫−∞

zf X ,Y x , t−x dtdx

F Z z=∫−∞

z

∫−∞

f X ,Y x , t−x dxdt

y=t-x

Função densidade da v.a. Z

t=y+x= z

F Z z=∫−∞

z

∫−∞

f X x f Y t−x dxdt

pois X e Y sãoindependentes

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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias

F Z z=∫−∞

∫−∞

z−xf X ,Y x , y dydx

F Z z=∫−∞

∫−∞

z−xf X x f Y y dydx

pois X e Y sãoindependentes