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Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
EXERCCIOS DE LGEBRA ELEMENTAR
Prof. Ivan Monteiro
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
2012 Bubok Publishing S.L.
1 edio
ISBN:
DL:
Impresso em Portugal / Printed in Portugal
Impresso pela Bubok
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
Dedicatria
D E D I C O E S T O B R A A O S M E U S A V S M A T E R N O S H I L T O N S I L V A ( I N M E M O R Y ) E M A R I A L O U R D E S D E B A R R O S S I L V A ( I N M E M O R Y ) .
S A U D A D E S E T E R N A S !
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
FUNDAMENTOS D A TEOR I A DOS CONJUNTOS
1. Um mdico me disse: De 100 crianas que eu examino, 65 tm gripe e 45 tm gripe e outra doena. Quantas dessas 100 crianas examinadas pelo mdico tm outras doenas?
2. Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: Quem flamengo? 36 levantaram o brao. A seguir, perguntou: Quem e Internacional? 28 levantaram o brao. Quantos alunos so, ao mesmo tempo, Flamengo e Internacional ?
3. Dos meus 26 colegas de turma, 18 fizeram exames para Escola Tcnica e 12 para o Colgio Naval. S um deles no fez nenhum exame. Quantos fizeram exames s para o Colgio Naval?
4. De um total de 800 pessoas examinadas por um grupo de mdico pesquisadores, 500 tinham sintomas de uma doena A, 200 tinham sintomas de outra doena B e 130 tinham sintomas das duas doenas. Quantas no tinham sintomas nem da doena A nem da B ?
5. Numa pesquisa realizada entre 500 pessoas, 318 gostavam de uma mercadoria A, 264 de uma mercadoria B e 112 gostavam das duas mercadorias. Quantas no gostavam da mercadoria A e nem da B ?
6. Numa turma de 30 alunos, 6 escrevem com a mo esquerda e dois com as duas mos. Quantos escrevem com a mo direita?
7. Numa turma de 42 alunos, 35 gostam de futebol, 18 de basquete e 12 gostam dos dois . Quantos no gostam nem de futebol e nem de basquete?
8. De 24 carros que estavam no estacionamento, 17 eram Volkswagens e 10 eram de 1977. Quantos carros eram Volkswagens de 1977?
9. Em 100 jogadores de futebol, 32 jogam tambm futebol de salo, 18 jogam tambm basquete e 11 praticam os trs esportes. Quantos jogam s futebol?
10. Uma pesquisa entre telespectadores mostrou que, em cada 100 pessoas, 60 assistem a novela A, 50 assistem a novela B, 50 assistem a novela C, 30 assistem as novelas A e B, 20 as novelas B e C, 30 as novelas A e C e 10 as trs novelas. Quantos no assistem essas novelas?
11. Tenho 6 canetas. 4 escrevem em azul e 4 escrevem em vermelho. Quantas escrevem tanto em azul como em vermelho?
12. O Servio de Orientao Educacional de uma escola verificou, num questionrio apresentado a 800 rapazes, que 500 gostam de futebol, 200 de cinema e 130 dos dois. Portanto, o total daqueles que no gostam de futebol nem de cinema :
a) 670 b) 230 c) 100 d) 30e) No pode ser determinado, pois o enunciado absurdo.
(Concurso de Professores 1 Grau RJ-1976)
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13. Dos 42 alunos de uma turma. 8 foram reprovados em matemtica. 6 em Portugus e 5 em Cincias. 4 foram reprovados em Portugus e matemtica, 3 em matemtica e Cincias e 2 em Portugus e Cincias. Sabendo que 2 alunos foram reprovados nas trs matrias, diga quantos no foram reprovados em nenhuma dessas matrias.
14. De 18 alunos que esto em recuperao, 6 fazem Portugus e Cincias; 5 fazem Portugus e Matemtica; 9 jazem matemtica e Cincias; 2 fazem essas 3 matrias; ningum faz s Portugus ou s Cincias. Quantos faro recuperao s de Matemtica?
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 80 2) 22 3) 7 4) 230 5) 30 6) 26 7) 1 8) 3 9) 61 10) 10 11) 2 12) b 13) 30 14) 2
POL I NM IO S
1. Calcular o valor numrico de :
a) 03,426
0=+==++ xbaaba
x
xe para
(Col. Pedro II 2. Srie Ginasial P. Parcial 1953)
b) 132
3==
+
bab
a e para
( E.P.C. do Ar Concurso 1951)
c) ( ) 22 13 == babab e para
d)212
23033
== bababaab e para
2. Calcular o valor numrico de ( ) 3222
baabba
para 2=a e 1=b (E.N.C.D. 1951)
3. Calcular o valor numrico do polinmio
( )211
3153, 22 ==++= yxxyxyxxyxP e para (E.P.C. do Exrcito 1953)
4. Classificar as expresses: a) 12 2 + xx
b) 13
222
++ xx
5. Classificar a expresso:
4253
23 ++
+
xxx
x (C.N. 1959)
6. O polinmio, em 1232 23 +++ yxxmxyx ; e do 2 grau se m....
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7. O polinmio, em 523, 234 +++ xmxxxx completo se m....
8. O polinmio, em 13, 22 +++ mxyyxyx e homogneo se m....
9. Calcular pm e para que o polinmio, em ( ) ( ) 223 21, ypxyxxmyx +++ e seja homogneo completo.
10. Reduza os termos semelhantes e calcule o valor numrico de :
a) ( )33223223 7432 yxxyyxyxyyxx ++++ para 21 == yx e (Col. Pedro II 2 Srie Ginasial P. Parcial 1954)
b) Da soma de cbcba 1213957 + e subtrair o polinmio cba 375 . (Col. Pedro II 2 Srie Ginasial P. Parcial 1954)
c) Sendo 22 1453 babaP += 22 69 babaQ +=
22 856 babaR += Calcule ( )RQp ++ (I.E. 1951)
d) Qual a diferena entre: 262352 22 ++ xxxx e ?
e) Qual o monmio que devo somar a 132 23 + xxx para obter um Trinmio do 2 grau ?
11. Efetuar a multiplicao ( ) ( )3952 ++ xxx (C.N. 1952) 12. Efetuar o produto ( ) ( )12 22 + xxx dando a resposta ordenada segundo as
potncias decrescentes de x . 13. Desenvolvendo e ordenando, crescentemente em relao a x , a expresso: ( ) ( ) axxbxxxxa + 2222 312 , o ltimo termo ter como coeficiente........
(E.N.S.K. 1959) 14. Efetuar
a) ( ) 2:2468 23 ++ xxx b)
x
xx
226 23
c) ( ) xxxx mmm :11 + 15. Qual o quociente da diviso de 4726 23 + xxx por 23 2 xx ? 16. Calcule o resto da diviso de: 43 22 + xx por ( )2x . 17. Efetuar a) ( )212 + mx b) 331
31
x
c) ( )25,0x18. Calcular os valores de :
a) ( ) ( )[ ]BACBAB + para 83731715 2235 +=+=+= xxCxxBxxA e ,
b) ( )[ ] 321610565 22 +=+= xxBxxAABBA e para .
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c) Calcular ( )[ ] ( ) yyyxxx +++ 161232 para 22 55102 aayaax +== e .
d) Calcule o valor da expresso ( )[ ] 1;1;1 22 ==+=+ aCaaBaABCBaBAa sendo .
e) Calcular o valor numrico para 211 === zyx e e , do polinmio que se deve somar a zyx 365 + para se obter zyx 8411 + .
(Col. Pedro II 2 Srie Ginasial P. Parcial 1954) f) Se o valor numrico da expresso 22 25 yx 27 e x e y so iguais e negativos,
qual ser o valor de x e y ?
g) Calcular c para que o valor numrico de ckk + 2 seja igual a 5, para 1=k . h) Calcular o valor de a para que o valor numrico de 12 ++ aa seja o mesmo que o
valor de 2a .
i) A expresso 32323 abab tem para valor numrico 13, para 2=b numrico de a
:
(a) 43
(b) 43
(c) 2039
(d) 2039
(e) nenhum dos resultados anteriores
(I.E. 71/72)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) a)-2,5 b)0 c)-6 d)-4
2) 127
3) 1279
4) a) Racional fracionria. b) Racional inteira do 3 grau, no homognea, incompleta, reduzida e ordenada. 5) Racional fracionria. 6) 0=m 7) 0m 8) 1=m 9) 21 = pm e 10) a) 52 b) cba 18252 + c) aba +218
d) 1+x e) 32x
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x271
11) 2762 23 + xxx 12) 2234 ++ xxxx 13) 22ab 14) a) 1234 23 ++ xxx b) xx 23 c) 21 mmm xxx 15) x2 16) 0 17) a) 24 2 +mx b) c) x 18) a)1 b)1 c)0
d)1 e)-26 f)-3
g)-15 h)-1 i) a
PP rr oo dd uu tt oo ss nn oo tt vv ee ii ss
1. Efetuar:
1. (x + 5) (x + 2)
2. (x - 5) (x - 4) 3. (x + 8) (x - 3) 4. (x + l) (x -1) 5. (2x + 3) (2x -3)
6.
+
215
215 2323 yxyx
7. (a + 3) (3 - a) 8. (-x -2) (-x + 2) 9. (a + b + 1) (a + b -1) 10. (x + 3y + 2z) (x -3y + 2z) 11. (a + b - c) (a -b + c) 12. (x + 5)(x + 5)
13. (x3 + 3)2
14. (2x3ym + 3x2y)2
15. (ab2 - 1)(ab2 - 1)
16. 2
21 221
xyx
17. (2x -3y)2
18. (a + b) (a2- ab + b2)
19. (x + 1)(x2 - x + 1)
20. (x - y) (x2+ xy + y2)
21. (x2 - 2) (x4 + 2x2 + 4)
22. (x2 + 2)3
23. (xm + 2y3)3
24. (3a2 - 2b)3
25. (0,5x2y--1 - 2xy2)3
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26. O produto de 3
2 2 ba + por 3
2 2 ba + ...... (I.E. -1956)
27. A igualdade a2 + b2 + c2 = (a + c)2 verificada para o seguinte valor de b2: (a) 0
(b) ( )222
ca
ca
+
+
(c) ac2
(d) 224 ca
(e) ac2 (I.E. 71/72)
28. Acrescentando expresso 4124 +yx o termo........obtm-se o quadrado de
212 +yx .
(Seleo 3 Srie - Ginsio E. Guanabara -1961) 29. Desenvolver (a8b5 + c3d6)3 (E.N.C.D. -1948) 30. Quanto devemos subtrair de (a -2)3 para obter (a + 3)3? 31. Elevando x ao quadrado obtemos a2 + 2ob + b2. Podemos afirmar que x igual a: a) (a + 2b)2 b) (a + b)2 c) (2a + b)2 d) ( )2ba + e) (a +b) (a -b)
(Concurso Professores 5 a 6 Serie -1976)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) x2 + 7x + 10
2) x2 -9x + 20
3) x2 + 5x 24
4) x2 1
5) 4x2 9
6) 2125 46 yx
7) 9 - a2
8) x2 -4
9) (a + b)2 1
10) (x + 2z)2 - 9y2
11) a2 - (b - c)2
12) x2 + 10x + 25
13) x6 + 6x3 + 9
14) 4x6y2m + 12x5ym+l + 9x4y2
15) a2b4 - 2ab2 + 1
16) 224 42241
xyyx +
17) 4x2 12xy + 9y2
18) a3 + b3
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19) x3 + 1
20) x3 -y3
21) x6 8
22) x6 + 6x4 + 12x2 + 8
23) x3m + 6x2my3 + 12xmy6 + 8y9
24) 27a6 54a4b + 36a2b2 - 8b3
25) 63334536 88623
81 yxxyxxyx +
26) 93
442
24 bbaa ++
27) c
28) x2y
29) a24bl5 + 3a16bl0c3d6 + 3a8b5c6dl2 + c9dl8
30) 15a2 15a -35
31) d
FATORAO
1. Fatorar 12a5b8 - 6a6b7 + 180a8b6 - 9a7b9 (E.N.C.D. -1948) 2. Fatorar 8z(x -y) - 3(x -y) (C.N. -1952) 3. 81x2 - y16 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) 4. Transforme a seguinte expresso num produto de fatores do primeiro grau:
yayx 232 2594
(I.E. -1954) 5. Decomponha em trs fatores 16x4 - 1 (C.N. -1954) 6. Escrever todos os fatores do binmio: 256y8 - z8 (E.N.C.D. -1951) 7. Fatorar: y3 - x3 (E.P.C. do Ar -1958) 8. Fatore: 9y2 - 42y + 49 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) 9. Decomponha o trinmio x2 - 7x - 30 em um produto de fatores binmios do primeiro
grau. (I.E. -1951) 10. Fatore: x2 - x - 56 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) 11. Fatorando-se 3x2 - 6xy + 3y2 obtm-se........... (I.E. -1956) 12. Decompor: (x + y - 1)2 - 5(x + y - 1) - 6 num produto de dois fatores.
(Curso C. Metropolitano -1960) 13. Fatore: mx + 5y + xy + 5m . (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960) 14. Fatorar ab - ac + b2 - bc (E.N.C.D. -1948) 15. Decomponha num produto de dois fatores binmios e polinmios: 2 - b - 2a + ab
(I.E. -1951) 16. Decomponha em fatores do 1 grau a expresso seguinte: y = x3 + x2 x 1
(C.N. -1958) 17. Decomponha em fatores do primeiro grau a expresso: x xy - 1 + y2
18. (I.E. -1955)
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19. Decomponha em fatores do primeiro grau a expresso: a(a - 1) - b(b + 1) (E.N.C.D. -1955)
20. Fatorar x2 2xy + y2 - a2 (C.N. -1951) 21. Decomponha em um produto de fatores do 1 grau a expresso: x2 - y2 + 2yz - z2
(I.E. -1951) 22. Fatorar 4a2 + 9b2 - 25 -12ab (E.N.C.D. 1951) 23. Fatorar os polinmios: a2 + 6a -7 e x4 2x3 + x2 - 8x + 8
(E.P.C. do Exrcito - Janeiro, 1953 3 Ano)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 3a5b6 (4b2 - 2ab + 60a3 - 3a2b3) 2) (x - y) (8z - 3) 3) (9x + y8) (9x y8)
4)
+ axyaxyy 5
325
32
5) (4x2 + 1) (2x + 1)(2x -1) 6) (16y4 + z4) (4y2 + z2) (2y + z) (2y - z) 7) (y - x) (y2 + xy + x2) 8) (3y - 7)2 9) (x - 10) (x + 3) 10) (x - 8) (x + 7) 11) 3(x - y)2
12) (x + y - 7) (x + y) 13) (x + 5) (m + y) 14) (b - c) (a + b) 15) (2 - b) (1 - a) 16) (x + 1)2 (x - 1) 17) (1 - y) (x - y - 1) 18) (a + b) (a -b -1) 19) (x - y + a) (x - y - a) 20) (x + y - z) (x - y + z) 21) (2a - 3b + 5) (2a - 3b - 5) 22) (a + 7) (a - 1) e (x - 1) (x3 - x2 - 8)
M N IMO MLT I P LO COMUM (mmc ) E MX IMO D I V I SOR COMUM (mdc ) D E P O L I NM IOS
1. O m.d.c. de 5xy2, 15x3 e 17x5y4 ....................... (C.N. -1956) 2. Calcular o m.d.c. entre ab - 2a - 3b + 6 e ab - 2a 3. Calcular o m.d.c. entre a + 2; a2 - 4 e ax + 2x 4. Determinar o m.d.c. das expresses: x2 - 1 e x2 + 2x - 3 (C.N. -1953) 5. Fatorar: a3 a2b ab2 + b3; a3 - b3 e a3 - 2a2b + ab2 e, a seguir, dizer qual o m.d.c.
desses polinmios. 6. Calcular o m.d.c. dos polinmios: x2 + 2x + 1 e x3 + 1
(E.P.C. do Exrcito Janeiro, 1953) 7. Achar o m.d.c. entre: (x3 + 2x2 -3x) e (2x3 + 5x2 3x) (C.N. -1959) 8. Determinar o m.d.c. de 4x4 - x2 + 2x -1 e 2x3 - x2 -2x + 1
(E.P.C. do Exrcito -1952 3 Ano) 9. Calcular o m.m.c. entre 8x4y2, 16x5yz3 e 12x6y4z
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10. Calcular o m.m.c. entre a2 - b2 e a2 - 2ab + b2. 11. Calcular o m.m.c. entre ax - a; x2 - 2x + 1 e a2x2 - a2. 12. Calcular o m.m.c. dos polinmios: 2x2 - x -1 e 2x3 + 2x2 - 2x - 2
(E.P.C. do Exrcito -1953 3 Ano)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) x 2) b - 2 3) a + 2 4) x - 1 5) a - b 6) x + 1
7) x(x + 3) 8) (2x - l) (x + 1) 9) 48x6y4z3 10) (a - b)2 (a + b) 11) a2(x + 1)(x -1)2 12) 2(x + 1)2 (x -1) (2x + 1)
FRAES A LGBR I CA S
I. Simplificar:
1. 1223
2
2
+
+
xx
xx
2. 2
12
2
+
xx
x
3. xx
xxx
96
3
234
+
4. xyyxxyyx
2
5
5. 5
55+
+++
a
baba
6. y
xyyx+
+++
57535
(E.N.C.D.-1948)
7. Simplificando a frao 5018
9152
x
x obtm-se ........................... (E.N.C.D.-1959)
8. Reduza a frao 4423
2
2
+
+
aa
aa a expresso mais simples e, a seguir, calcule o valor
numrico para 32
=a . (E. Aeronutica -1948)
9. 96
92
2
++
xx
x
10. 322344
babbaaba
+++
11. 222222
22
acbabcbaab
+
++
(E. Aeronutica 1945)
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12. 1892
623
2
+
+
xxx
xx
(I.E. 1945)
13. 1
222
23
+
x
xxx
(C.N.-1958)
14. Simplificando a frao 96
1272
2
++
++
aa
aa encontramos:
a)34
+
+
a
a b)
912
c) 1519
d) 67
+
+
a
a e)
34
(Supletivo Rio de Janeiro)
15. Simplifique a frao: 232144
2
2
+
+
xx
xx
a) 221
+
x
x
b) 11
+
x
x c)
212
x
x d)
212
+
x
x e)
24
x
x
(E. Tcnica Rio de Janeiro 1971)
16. ( ) ( )( ) ( )222222
22
baccacbacbabccba
+++
+
(C.N.-1959)
II. Efetuar
17. xx
xx
x
xx
53
9152
2
2
2
2
18. xbxax
bxaxbax
x
+
+++2
2 1:
19. ( ) ( )22
yxyx
yxyx
+
+: (E.N.C.D. 1948)
20. yx
aa
yxa
33231 2
22
2
+
+
: (I.E. 1951)
21. xyx
x
xx
xx
yxyxyx
++
2
3
23
2
32
33
36
22. xxx
xx
x
x
xx
xx
1643
649
96127
23
23
3
2
2
2
++
+
+
+:
23.
421
123
172
3 314
z
yxzx
y (C.P.O.R Seleo Novembro 1950)
24. Efetue e simplifique:
( ) ( )214224
222
44
2 yyxxyx
yx+
+
:
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
(C.N.-1957) III - Efetuar
25. ( ) ( ) ( )( )( )babababa
babba
++
++
+
4347242
42234
26. ( )( )( )( ) ( )
( )( )12131
1112 2
+
+
+
aa
aa
aa
aa
27. ( ) ( )( )( )212
421 2
2
+
aa
aa
a
aa
28. ( )( )( )
( ) ababba
ababba
232332
+
29. ( )( ) ( )
baaba
babba
ababa
+
+
+
33
32
24
:
30. ( )( )( )
( )( ) 623
:2212
3444
2
23
+
+
+
+
+
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
31. O resultado mais simples da expresso yxxyx
yxyxyx
+
+
2
22
22
:2
e:
a) x b)
xyxyx
+
2
c) ( )yxyxx
+
d) x
1
e) ( )yxx
2
2
(Exames Madureza GB 1971) 32. Efetuar, dando a resposta em sua expresso mais simples:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacc
abcbb
cabaa
+
+
(C.N. 1959) 33. Reduzir a expresso mais simples:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacc
abcbb
cabaa
+
+
333
GG AA BB AA RR II TT OO
IIIIIIII ........
1) 12
x
x
2) 21
+
+
x
x
3) 322
x
xx
4) ( ) ( )112 ++ xx 5) 1+b 6) 7+x
7) 106
3+
x
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
8) 41
9) x
x
+
33
10) ba
11) cbacba
+
++
12) 3
1x
13) 2x 14) a 15) d 16) 1
IIIIIIII IIIIIIII ........
17) 1 18) 1 19) 22 yx
20) yayxax
a
2233
+
+
21) 2+x
22) x
1
23) 63571 yx
24) 221
yx +
25) ba 42
1
26) (11
+
a
a )2
27) 21
+
a
a
28) ba
ab32
29) 21
30) x
1
31) d 32) 0 33) a + b + c
EQUAO DO 1 G R AU
1. Qual o valor de a na equao:203
43
52 aa
= ? (E.P.C. do Ar -1951)
2. Calcule o valor de y na equao: nm
yy =+
(Col. Pedro 11 -3~ Srie Ginasial -P. Parcial -1953)
3. Resolva em relao a a, a seguinte frmula: a
bkaC =
(E.P.C. do Ar -1951) 4. Quantas razes tem a equao . (a2 l )x = a + 1, quando a = -1 ? (C.N. -1957) 5. Quantas razes tem a equao: (m l)x = m2 + 1, quando m = 1? (C.N. -1957) 6. Determine os valores de m para que a equao abaixo tenha soluo 2mx + 7 = 4x
(l.E. -1951) 7. A igualdade (m + 3)x = 3p + 1 uma identidade quando m ................. e p................
(I.E. -1959)
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
8. Determine a a fim de que a equao (a l )x = b seja determinada. (C.N. -1958)
9. Para que a equao (2m l )x = 3p - x - 2 no tenha soluo devemos ter m ....... e p....... (I.E.-1957)
10. Para que a equao 2x - 3 = ax + 1 seja impossvel, devemos ter a = .................. (E.N.S.K. -1959)
11. Determine os valores de p e q para que a equao (5p -1) x + q - 3 = 0 seja impossvel.
(I. Educao 2 P. Parcial 3 Srie Ginasial -25/11/53) 12. Calcule o valor de k para que se torne impossvel a equao: k2y - k2 =: 2k + 2ky
(E.P.C. do Exrcito -1955) 13. Discutir as solues da equao px + q = O. (C.N. -1952) 14. Discutir a equao (b + a)x = b2. (Exame Aptido - Portugal -1942) 15. Sabendo que a e b so nmeros mpares, resolva e discuta a equao:
2+=a
bbx
bbx
a
ax (Pr-normal)
16. Se a 0 e a -b, a soluo da equao ( )222
2 baba
a
abax+
=
, aps as simplificaes
. ............................................ (E.N.C.D. -1958) 17. A soluo da equao ax - b =.bx - a, (a b) ............................... (I.E. -1956)
Resolver as equaes :
18. 23
11
1=
+
++
+
a
x
a
x (I.E.-1953)
19. 4131
=
+
++
+
m
ym
y (E.N.C.D.-1953)
20. 221 baax
abax
babx
=
+
+ (E.N.C.D.-1955)
21. baax
babx
abxb
baax
+
+
+=
++
+ 22 (I.E.-1955)
22. Dada a equao mx k = km m, podemos afirmar que: a) x = -1, qualquer que sejam m e k; b) ela e impossvel; c) ela e indeterminada; d) x = -1, se m k; e) x = 1, se m k.
(Concurso Professor Municpio do Rio de Janeiro 1976)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 3
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
2) 1+m
mn
3) ck
b
4) Uma infinidade. 5) Nenhuma 6) m 2
7) m = 0, 31
=p .
8) a 1
9) 32
,0 = pm
10) a = 2
11) 3,51
= qp
12) K = 2 13) Determinada: p 0.
Indeterminada: p = q = 0
Impossvel: q p = 0.
14) b -a: determinada; b = a = 0: indeterminada;
b = -a 0: impossvel.
15) Sempre determinada e x = b.
16) baba
+
+ 22
17) 1 18) a + 2 19) 2m - 1 20) a
21) 3b
22) d
S I S T E M A D E E Q U A E S D O 1 G R A U C O M D U A S I N C G N I T A S .
1. O sistema
=+
=
864432
yxyx
e indeterminado. D uma de suas solues.
(C.N. -1951)
2. Calcule a para que o sistema abaixo admita infinitas solues.
=+
=+
11
ayxyax
(Fac. Filosofia Cincias e Letras Santo Andr -1914) 3. Determine o valor de a para que o sistema tenha uma nica soluo.
=+
=+
235830102
yx
yax (C.N. -1911)
4. O sistema
=+
=+
byxyx410
425 impossvel quando b ........................... (I.E. -1959)
5. O valor de k para o qual o sistema
=
=+
35273
yxykx
no tem soluo :
a) 2 b) 5 c) 3 d) 0,8 e) 1,2 (Matemtica Humanas - Univ. MACK -S.P. -1915)
6. Determinar os parmetros a c b de modo que o sistema
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
=+
=
1534
yxbyax
seja indeterminado. (E.P.C. do Exrcito Janeiro, 1953. 1 Ano)
7. O sistema
=+
=
36223pyx
ymx e indeterminado para m = ............. e p = .......................
(I.E. -1957)
8. Para quais valores de a e b o sistema
=+
=
10432byx
ayx ser indeterminado?
(C.N. -1951)
9. Calcular o valor de m para que o sistema
=+
=+
9261372
yxymx
seja impossvel. (C.N. -1955)
10. Calcule m e p de forma que o sistema seguinte seja impossvel: ( )
=+
+=+
1264423
ypxmyx
(I.E.-1955) 11. Calcule m e p de forma que o sistema seguinte seja indeterminado:
( )
+=
=+
129416
pyxymx
(E.N.C.D.)
12. Se 51x + 49y = 35 e 49x + 51y = 65, ento 2x :
a) -14 b) -7 c) 7 d) 14 e) 35 (Concurso Professores - Municpio do Rio de Janeiro -1916)
13. Determinar k. para que o sistema
=+
=+
219144
ykxkyx
seja indeterminado. (E.P.C. do Exrcito - Janeiro, 1953 e Seleo l Cientfico -C. Militar -1954)
14. Determine m de modo que o sistema abaixo no admita soluo.
( )( ) ( )
+=+
=+
yxxymyyxm
2321215
(I.E. -1953)
15. Determinar o valor de k para que o sistema seja indeterminado:
=
=
1123
kxykyx
(C.N. -1952)
16. Determinar k e p para que o sistema ( )
+=+
=
3424356
kyxkpkykx
seja indeterminado. (E.P.C. do Exrcito -1955)
17. Determinar m, para que o sistema ( )
=+
=
mymxmymx
72972356
tenha uma infinidade
de solues. 18. Determinar k, no sistema abaixo, de modo que as equaes sejam incompatveis
( )
+=
+=+
1412278105138
kyxkyxk
(E.Naval-1944)
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
19. Determinar k no sistema ( )
+=+
+=
225322
kykxkykx
de modo que :
1) as equaes sejam incompatveis; 2) o sistema seja indeterminado.
20. Qual o valor a atribuir ao parmetro m para que os sistemas
=+
=+
2312
mymxmymx
e
=
=
ayax
sejam equivalentes? (C.N. -1954)
21. Dado o sistema
=+
=
113216
yxkykx
determinar k para que os valores de x e y sejam iguais. (C.N. -1959)
22. Para que o sistema ( )
( )
=++
=+
1322
yxkkykkx
seja indeterminado, devemos ter k igual a:
a) 4 b) 4 c) 1 d) 1 e) n.r.a. (Marinha Mercante -1972)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 2 e 0 2) a = -1 3) a 4 4) b 8 5) e 6) a = 12, b = -20 7) m = -I, p = -1 8) a = 5, b = -6 9) m = 1
10) p = -6, 87
m
11) 31
=m , p = 5
12) a
13) k = 6 14) m = -1,5 15) No h valor de k 16) k = 3 e p = 20
17) m = 3
18) 169
=k
19) k = 6 e k = -1; no h valores
20) a
1
21) 661
=k
22) d
IIIIIIII nnnnnnnn eeeeeeee qqqqqqqq uuuuuuuu aaaaaaaa eeeeeeee ssssssss dddddddd oooooooo 11111111 gggggggg rrrrrrrr aaaaaaaa uuuuuuuu
1. Indique os valores de x que satisfazem a. inequao 2x - 3 > 3 (x - 2)
(E.P.C. do Ar - Admisso -1951)
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
2. D o maior nmero inteiro que satisfaa a inequao: 2 -3x > 7 (I.E. -1954)
3. O menor valor inteiro de x, para o qual a inequao 19x - 40 > 14x -16 satisfeita . (E.N.C.D.-1959)
4. O maior valor inteiro de x que satisfaz a inequao xx >4
13 e............................
(E.N.C.D. -"1958)
5. Dar o menor nmero inteiro que satisfaz a inequao: 9
26
24
+ 0 e 3 -x < 0, obtm.se, como soluo.
(I.E.-1959) 7. O menor, nmero inteiro que satisfaz simultaneamente as inequaes -2x < 6 e
2x < 4 e ..................................... (I.E. -1958) 8. O menor nmero inteiro que satisfaz simultaneamente as inequaes : 3x > 9 - 5x < -46 e .................. (I.E.-1957) 9. Determine os valores de x que verifiquem o sistema:
04
672
43
151
yyyy
(I.E.-1954)
10. Quais os valores inteiros de y que verificam, simultaneamente, as desigualdades:
xx
xx
212
73
64
32
>+
>
(E.N.C.D. -1951)
11. Quais os valores de y para que o sistema abaixo se verifique?
04
672
43
151
yyyy
(E.N.C.D. -1951)
12. Calcule os nmeros inteiros que satisfaam, simultaneamente, as desigualdades
xx
xx
212
73
64
32
>+
>
(I.E. -1951)
13. Determine os valores inteiros que verificam o sistema
xx e:
a) - 1 b) - 2 c) 0 d) 1 e) 2 (Concurso Professores - Municpio do Rio de Janeiro -1976)
16. O conjunto de solues inteiras do sistema
35
132
13
3
xx
xx
e:
a) {-3, -2, -1, 1, 2} b) {-2, -1, 0, 1}
c) {-3, -2, -1, 0, 1, 2} d) {-2, -1, 0,...}
e) {-2, -1, 1}
17. O conjunto soluo a inequao 1174
>
x
x e:
a) {x Rx > 2} b) {x Rx < 1 ou x > 2} c) {x R1 < x < 2}
d) {x Rx < 1 e x >2} e)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) x < 3 2) -2 3) 5 4) 0 5) -19 6) x > 3 7) 2 8) 10 9) Entre 4 e 6
10) 2, 3 e 4 11) y > 5 12) 4 13) 2,3 e 4 14) 2 15) a 16) b 17) b
EE QQ UU AA EE SS DD OO 22 GG RR AA UU
I. Calcule o valor de x nas equaes: a) 15x2 = 0
b) l4x2 + 7x = 0
c) 39
22=
+x (E.P.C. do Exrcito 1953)
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
d) 4x2 + 17x + 4 = 0 (Maratona Intelectual -1953)
e) 0422 =+ xx
f) a4m2x2 - a6m4 = 0
g) x2 - 8ax + 15a2 = 0
h) ( ) ( ) xbaxba 2122
222
=
+
+ (Escola Naval)
i) k2x2 - 2pkx + p2 - q2 = 0 (E.P.C. do Exrcito -1955)
j) 23
21
11
=
+ xx
k) 6x-2 -17x-l + 12 = 0 (Escola de Aeronutica)
l) x
x
=
434
3
m) ( ) ( )123
13
2 =
xxxx
x (E.P.C. do Exrcito -1953)
n) 2=
++
+
bxbx
ax
ax (E.P.C. do Exrcito -1953)
II. Faa o que se pede ou responda ao que se pergunta: 1. Determine o valor da maior raiz da equao 3x2 + 4x - 2 = 0
(E.P.C. do AI -1951) 2. Calcule o valor da raiz de maior valor absoluto na equao 2x2 + 3x -2 = 0 3. Calcular m na equao mx2 - 3x + m - 1 = 0 de modo que a unidade seja sua raiz.
4. Sabendo que 53
raiz da equao 5mx2 - 5x - 1 = 0, calcule o valor de m.
5. Sem efetuar o produto dos primeiros membros das equaes: (x -2) (x + 2) = 0 e (2x + 1) (3x - 5) = 0 , calcule as razes.
6. Sem resolver a equao 9x2 - 6ax + a2 - 4,= 0, diga se 3
2a uma de suas razes.
7. Determinar m e p de modo que sejam nulas as razes da equao: m(x2 - x + 1 + m) + px = x + 2 (E.P.C. do Exrcito -1953) 8. Que valores pode assumir o parmetro k para que a equao abaixo tenha uma das
razes nulas? 0436 22 =+ kkxx (E.P.C.doExrcito-1953) 9. Determinar k de sorte que a equao (x - k)2 + 3 (x - 2k) = 0 tenha uma raiz igual a
zero. (Col. Militar - Seleo 1 Cientfico -1954)
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
10. Qual o valor de m para que a equao (m -1 )x2 + 3mx 2m = 0 tenha uma s raiz no nula?.
11. Determinar os valores de m para que a equao abaixo tenha razes iguais: x
2 - (m - l)x + m - 2 = 0 (E.P.C. do Exrcito- Julho, ,1953)
12. Determinar m para que a equao x2 - m(x -1) = 2 - x tenha uma raiz dupla. 13. Determinar k de modo que as razes da equao 5x2 + 9x + k = 0, sejam reais e
desiguais. (E.P.C. do Exercito -1953) 14. Achar m para que a equao (2m + l)x2 + 4mx + 2(m -1) = 0 tenha duas razes
distintas. 15. Qual a condio para que as razes da equao mx2 + nx + p = 0 sejam imaginrias?
(E.P.C. do Ar -1951) 16. Achar m para que a equao 4x2 - 4x + 2m - 1 = 0 no possua razes reais. 17. Dada a equao 3x2 - 7x + 1 = 0, determinar x' + x" e x' . x"; sem resolver a
equao. (E.P.C. do Ar -1952) 18. Sem resolver as equaes abaixo, determinar a soma e o produto das razes: a) 2x2 + 6x-1 = 0 b) 0212234 2 =+ xx
c) x2 ax x + a = 0 d) (m - 2)x2 + (m + 2)x m2 + 4 = 0
19. Determine os valores de k para os quais a equao: (9k -12)x2 - (2k + 7)x + k + 5 = 0 1) tem razes simtricas; 2) tem uma s raiz nula.
(E.P.C. do Exrcito 1955) 20. Calcule a soma dos quadrados das razes da equao x2 - 2x + 6 = O
(I. Educao -2~ P. Parcial -1953) 21. Sem resolver a equao 3x2 - 2x - 5 = 0, calcule a soma dos inversos de suas razes. 22. Calcular h na equao (h + 3)x2 - 2(h + l)x + h -10 = 0 de modo que a soma dos
inversos da razes seja 31
. (E. Aeronutica -1942)
23. Dada a equao x2 - 5x + q = 0, achar q de modo que: a) uma das razes seja 3; b) a soma dos inversos das razes seja
45
.
(Col. Militar - Admisso -1945) 24. Determinar k na equao x2 + kx + 36 = 0, de modo que entre as razes x' e x" exista
a relao:125
"
1'
1=+
xx (E.P.C. do Ar -1957)
25. Sem resolver as equaes abaixo diga qual o sinal de suas razes: a) 2x2 - 8x + 5 = 0 b) 3x2 + 5x + 1 = 0 c) 5x2 - 2x + 8 = 0
d) m2x2 - 2x + 1 = 0 e) x2 + m2x + 1 = 0.
26. Sem resolver a equao 5x2 + 22x -15 = 0 diga:
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
a) se as razes tm o mesmo sinal; por qu? b) qual o sinal da maior raiz; por qu?
(E.P.C. do Ex. -1952) 27. Reconhea os sinais da seguinte equao: ax2 + a3x + a2 + b2 = 0.
(E.P.C. do Exrcito -1955) 28. Calcular m na equao mx2 - 3x + 1 = 0 de modo que suas razes sejam positivas. 29. Calcular o menor valor inteiro de m para o qual as razes da equao mx2 + 3x -1 = 0
so positivas. 30. Calcular o valor inteiro de m para o qual a equao 2x2 + 3x + m = 0 tem razes
reais, desiguais e negativas. 31. Calcular m de modo que a equao. (m - 2)x2 + 2x -1 = 0 tenha razes de sinais
contrrios sendo a maior, em valor absoluto, negativa. 32. Determine os sinais de xl e x2 (x1< x2), razes da equao em x: x
2 + bx + c = 0 onde b > 0 e c < 0 (C.N. -1958)
33. Formar as equaes cujas razes so a) 2 e -5. b) -0,5 e 0,4 (Col. Pedro 11 - Art. 91) c) k d) 3232 + e . (Col. Pedro 11 -P. Parcial -1953) 34. Compor a equao do 2 grau cujas razes so os valores absolutos de x e y no Sistema
=
=+
13322
xyyx
35. Estabelecer a equao do 2 grau cujo produto de suas razes e 1 e a maior e 32 +
36. Qual o valor de k que torna equivalentes, no campo real, as equaes: (x2 + 1) (x - k) = 0 e -7x + 2 = -3x ? (C.N. -1957) 37. Calcule a menor raiz da equao px2 + px + 2 = 0 sabendo que, se subtrairmos uma
unidade do valor de p obteremos uma nova equao do 2 grau, cujas razes so iguais. (E.N.C.D. -1958)
38. Determinar c na equao x2 -10x + c = 0, de modo que uma raiz seja o qudruplo, da outra.
39. Determinar c na equao, de modo que suas razes sejam consecutivas: x
2 -7x + c = 0.
40. Determinar b na equao 2x2 + bx + 1 = 0 de modo que uma de suas razes seja a metade da outra.
41. Calcular o menor de m na equao mx2 - (3m l )x + m = 0 de modo que a razo entre suas razes seja 1/4.
42. Calcular m de modo que as razes da equao abaixo existam e sejam inversas. 2x2 + 5x + 2m - 3 = 0.
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
43. Os nmeros a e b so razes da equao em x: 10x2 + 3x + 10ab = 0; calcule a e b sabendo-se que o quntuplo do inverso de a igual ao simtrico do dobro do inverso de b. (C.N. 1 Concurso - 1958)
44. Dada a equao 2x2 3x + 4 = 0, cujas razes so x' e x", forme outra equao cujas razes so
"
1'
1xx
e .
45. Dada a equao x2 14x + 25 = 0, formar outra equao cujas razes sejam, respectivamente, a mdia aritmtica e a mdia geomtrica das razes da equao dada.
46. Dada a equao x2 - 6x + 25 = 0 determinar a equao do 2 grau cujas razes so as mdias aritmtica e geomtrica das razes da equao dada.
(C.N. 1 Concurso - 1959). 47. Dada a equao x2 - 2px + q2 = 0, forme outra equao do 2 grau cujas razes
sejam, respectivamente; a mdia aritmtica e a mdia geomtrica das razes da equao dada. (E.P.C. do Exercito -1955)
48. Determine c na equao 4x2 - 12x + c = 0 de modo que a diferena das razes seja nove. (C. Naval -1956)
49. Completar: a) A equao incompleta do 2 grau que tem uma raiz nula da forma.................... = 0. b) Quando a soma das razes da equao do 2 grau for nula, a equao do tipo.....= 0 c) Supondo a > 0 e sendo x' e x" as razes de ax2 + bx + x = 0 quando x x" < 0
teremos a
c
................ 0. (E.P.C. do Exrcito -1953)
50. A diferena das razes da equao 4x2 - 15x + p = 0 49
. O valor de p :
(a) 9 (b) 3 (c) 9
(d) 4
15 (e)
154
(I.E. -1972) 51. Resolva equao: abcx2 - (a2b2 + c2)x + abc = 0
(a) abc
c
ab e
(b) ( ) ( )acbcba ++ e
(c) cba
ca
b e
(d) abcabc e
(e) bca
abe
e
(E. Tcnica -1971) 52. Determinar k na equao x2 - 4x + k = 0 sendo R e S as suas razes e sendo: SS RR SR RS = 256. (C.N.-1971)
53. Qua1 a resposta que voc aceitaria de seus alunos para a expresso ba11
+ , sendo a e
b as razes da equao x2 - 4x + 12 = 0 ?
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
(a) 3 (b) 3
(c) 31
(d) 31
(e) Impossvel calcular
(Concurso Professores Estado RJ - 1976) 54. Na equao x2- 4x + k = 0 onde a e b so suas razes e aa bb ab ba = 16, o valor
de k2 : (a)1 (b)9 (c)4 (d)16 (e)25
(Concurso Professores - Municpio do Rio de Janeiro -1976)
GG AA BB AA RR II TT OO
IIIIIIII ........
a) 0 e 0 b) 0 e
21
c) 5 d) 4 e
41
e) 222 e f) am g) 5a e 3a h)
baba
baba
+
+ e
i) k
qp
j) 3 e 34
k) 32
43
e
l) 3 e 1 m) x = 3 (1 raiz estranha, pois anula o
m.m.c.). n) 0 e
2ba +
IIIIIIII IIIIIIII ........
1) 3
102 +
2) 2 3) 2
4) 9
10
5) 2, -2 e 35
,
21
6) Sim 7) m = -2, p = -1 ou m = 1, p = 2 8) 4 ou 1 9) 0 ou 6 10) No h valor de m 11) 3 12) 3
13) 2081
mm e
15) mpn 42 < 16) m > 1
17) 31
37
e
18) a) 3 e 21
19) -3,5 e -5 20) -8 21) -0,4
22) 5
16
23) 6 e 4
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
24) -15 25) a) Positivas; b) negativas; c) no tem razes reais; d) positivas; e) negativas.
26) a) No, porque o produto 0 2 32) x1 > 0 e x2 < 0
33) a) x2 + 3x -10 = 0 ; b)10x2 + x - 2 = 0; c) x2 k2 = 0; d) x2 - 4x + 1 = 0 34) 6x2 - 9x + 2 = 0 35) x2 - 4x + 1 = 0
36) 21
37) 32
38) 16 39) 12 40) 3
41) 112
42) 2,5
43) 51
21
== ba e
44) 02034 2 =+ xx 45) x2 12x + 35 = 0 46) x2 8x + 15 = 0 47) x2 (p + q)x + pq = 0 48) 72
49) ax2 + bx = 0; ax2 + c = 0; 0> a
c
50) a 51) a 52) 4 53) c 54) c
EQUAO B I Q UADRADA
1. Resolver: 5x4 = 0 2. Resolver: 4x4 - 1 = 0 3. As razes da equao 3x4 - 6x2 = 0 so ....................... (I.E. e C.D. - 1957) 4. As razes da equao x4 - 5x2 + 4 = 0 so..................... (I.E. -1956) 5. Resolver: 4x4 - 9x2 + 2 = 0 6. Resolver: 214 512 - 3 = 0 (F. Eng. S.P. -1975) 7. Resolver: c4x4 + c2(a2 - b2)x2 a2b2 = 0 (E.P.C. do Ar -1957)
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
8. Resolva a equao:9
1011
22
=
+
+
x
x
x
x (C.N. -1958)
9. Resolver: 5x-4 2x-2 - 3 = 0 10. A soma das razes da equao 3x4 + x2 + 5 = 0 igual a ................... (I.E..- 1959) 11. Uma das razes da equao x4 - bx2 + 36 = 0 3. Calcular as outras, sendo b
constante. (C.N. -1959) 12. Calcule a mdia aritmtica das razes da equao: x4 5x2 + 4 = 0 (C.N. -1957)
Compor as equaes de razes:
13. 32 e
14. a
a212 e
15. 2m e m
16. 5353 + e
17. Qual a equao biquadrada que possui uma raiz nula e uma. raiz igual a 2 ? 18. A equao biquadrada, de coeficientes inteiros e primos entre si, que apresenta as
razes -3 e +2 ..................................... (E.N.C.D. -1958) 19. Resolva a equao: x4 - 8x2 + 9 = 0, transformando as razes em radicais simples. Sem resolver as equaes abaixo, dizer a natureza de suas razes: 20. 2x4 - 3x2 + 5 = 0 21. x4 2x2 -15 = 0 22. 9x4 - 6x2 + 1 = 0 23. 4x4 + 4x2 + 1 = 0 24. Calcular m para que a equao tenha duas razes nulas: x4 - 3x2 + m -1 = 0 25. A equao mx4 + (p + 1 )x2 + m2 + m = 0 tem todas as suas razes nulas se ............ 26. A equao x4 2x2 + m -3 = 0 tem duas razes nulas e duas reais e simtricas se........ 27. Para que a equao 2x4 + 3x2 + m + 1 = 0 tenha duas razes nulas e duas imaginrias.
temos......................
28. Para que a equao x4 + ax2 + 4 = 0 tenha razes deveremos ter................. (E.N.S.K. - 1959)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) Todas nulas
2) 22
3) 0, 0, 2- e 2 4) 4 e 1
5) 221 e
6) 3
7) c
b
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
8) 21
9) 1 10) 0 11) -3 e 2 12) 0 13) x4 - 7x2 + 12 = 0 14) 4a2x4 - (8a3 + l)x2 + 2a = 0 15) x4 - 5m2x2 + 4m4 = 0 16) x4 - 6x2 + 4 = 0 17) x4 4x2 = 0 18) x4 - 13x2 + 36 = 0
19) ( ) ( )21272127 + e 20) No tem razes reais 21) Duas reais simtricas 22) Duas a duas reais e simtricas 23) No tem razes reais 24) m = 1 25) m = p = -1 26) m = 3 27) m = -1 28) a -4
EQUAO IRRAC I ONA L
Resolver: 1. xx =12 2
2. 1133 =x
3. xx =+ 531
4. 2=xx
5. xx 217 =++
6. xx =+ 11 2 (I.E.-1956)
7. 132 += xx (I.E.-1959)
8. 08274 =++ xx
9. 257 +=+ xx
10. 11026 =+++ xx (C.N.-1959)
11. 7323 +=++ xxx
12. 1211 +=++ xxx (C.N.-1959)
13. 532 =++ xx
14. 2222 =+ x
15. 363421 = x
16. 33
2= x
x (I.E. e E.N.C.D.-1957)
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
17. ( ) 55 2121 =++ xx 18. 21 =+
xx
19. 64 = xx
20. 3036 =+ xx
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 1
2) 32
3) 2 ou 3 4) 4 5) 2 6) 1 7) 2
8) 21
9) 2 10) 5 11) 6
12) 25
13) 3 14) 3 15) 5 16) 9 17) 4 18) 1 19) 81 20) 15.625
S I S T EMAS D E EQUAES ( PARTE 2 )
1. Calcule os valores reais x e y, que so solues dos seguintes sistemas redutveis ao 2 grau.
1.
=+
=
3116
22
22
xyyx
yx
2.
=
=
31022
xyyx
3.
=
=+
8341729
22
22
yx
yx
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
4.
=
=
1611
211
22 yx
yx
5.
=
=
+
yx
yxyx
48725
22
22
(E.Militar-1937)
6. ( )
=++
=++
314822
xyyxyxyx
(E.Militar-1940)
7.
=+
=+
4
72
yx
yx
8.
=+
=+
33
2
22
yx
yx
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 5 e 3; -5 e 3
2) 2 e 11 e 3
====
yxyx
3) 2 e 1 == yx
4) 31
e 51
5) 8 e 6; -8 e -6 6) 3 e 7; 7 e 3 7) x = 3, y = 1
8) 0 e 3 ;1 e 2
PROBLEMAS
11 PP AA RR TT EE
1. Qual o nmero, cujos 52
mais os 73
, mais 54 igual ao prprio nmero, mais 72? (E.N.C.D. -1948)
2. Que horas so, se o que ainda resta para terminar o dia e 32
do que j passou?
3. As idades de Joo e Pedro somam 45 anos e h 5 anos a idade de Joo era quatro vezes a de Pedro. Que idades tm agora Joo e Pedro? (E.P.C. do Ex. -1953)
4. Roberto tem 24 anos e Paulo 10. No fim de quantos anos a idade de Roberto ser o triplo da de Paulo? (C.N. -1951)
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
5. Dois indivduos tm: o primeiro 45 anos e o segundo 15. Depois de quantos anos a idade do 2 ser um quarto da idade do 1 ? (E.P .C. do Ex. -1954)
6. A soma das idades de A e B 35. Daqui a 5 anos a idade de A ser o dobro da de B. Calcular as idades de A e B. (C.N. -1955)
7. Um pai tem 32 anos e o seu filho 14. Quando aconteceu ou acontecer que a idade de um seja o triplo da do outro?
8. Um pai diz a seu filho: hoje, a sua idade 72
da minha e h 5 anos era 61
. Qual a idade do pai e qual a do filho? (E.P.C. do Ex. -1953) 9. Resolva o problema: H 18 anos, a idade de uma pessoa era o duplo da de outra; em
9 anos a idade da primeira passou a ser 45
da segunda. Que idade tm as duas atualmente? (E.P.C. do Ex. -1952)
10. Uma pessoa possui 2 cavalos e uma sela que vale R$ 15,00. Colocando a sela no primeiro cavalo, vale este o dobro do segundo. Colocando-a no segundo, vale este R$ 30,00 menos que o primeiro. Quanto vale cada cavalo?
(Maratona Intelectual -1953) 11. Duas vasilhas contm, em conjunto, 36 litros de gua. Se transferssemos, para a que
tem menos gua, 52
da gua contida na outra, ficariam ambas com a mesma
quantidade de gua. Quantos litros contm cada vasilha? (E.N.S.K; -1959) 12. Tenho R$ 53,00 em notas de R$ 5,00 e de R$ 1,00. Sabendo que o total de notas
21, calcular o nmero de notas de cada valor. 13. Tm-se galinha e carneiros, ao todo 21 cabeas e 50 ps. Quantos animais h de
cada espcie? (Col. Pedro II - Artigo 91 -1949) 14. Resolver o seguinte problema: Num depsito, h viaturas de 4 e de 6 rodas, ao todo
40 viaturas e 190 rodas. Quantas viaturas h de cada espcie, no depsito? (A soluo deve ser algbrica.) (E.P.C. do Exrcito - Julho, 1953, 1 Ano)
15. Duas torneiras enchem um tanque em 4 horas. Uma delas, sozinha, ench-lo-ia em 7 horas. Em quantos minutos a outra, sozinha, encheria o tanque? (C.N. -1952)
16. Uma torneira enche um tanque em 12 e outra em 18 horas. Em quantas horas e minutos as duas juntas enchero o tanque?
GG AA BB AA RR II TT OO
1) -105 2) 14h 24min 3) 33 e 12 4) H 3 anos 5) H 5 anos 6) 25 a 10 7) H 5 anos 8) 35 e 10 anos
9) 24 e 21 10) R$ 60,00 e R$ 105,00 11) 30 e 60 12) 8 e 13 13) 17 e 4 14) 25 e 15 15) 560 16) 7h 12min
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
22 PP AA RR TT EE
1. Determine dois nmeros cuja soma seja (-2) e o produto seja (-15). Soluo algbrica. (E.P.C. do Exrcito -1952)
2. Dois nmeros inteiros esto entre si na razo 75
e a diferena entre seus quadrados
excede de 5 centenas o qudruplo do menor. Calcular os nmeros. (E.P .C. do Exrcito -1953)
3. Qual o maior de dois nmeros cuja soma 2 e cujo produto 43 ?
(C.N. -1951) 4. A soma de dois nmeros 100 e o produto, 1.875. Determinar estes nmeros.
(E.N.C.D. -1948) 5. A soma de dois nmeros 14 e a soma dos seus quadrados, 100. Quais so os
nmeros ? (E.P.C. do Exrcito - Julho, 1953)
6. Qual o menor dos dois nmeros cuja soma 2 e o produto 95
?
7. A diferena de dois nmeros uma dezena. Qual o menor dos dois nmeros, se ele excede a raiz quadrada do maior de 2 unidades.
8. A soma dos quadrados de dois nmeros inteiros e positivos 41. Achar esses nmeros, sabendo-se que so consecutivos.
9. A diferena dos quadrados de dois nmeros inteiros 32. O triplo do menor excede o dobro do maior de 3 unidades. Achar os nmeros.
10. A soma dos quadrados de dois nmeros inteiros 41. Trs vezes um deles igual ao dobro do outro mais duas unidades. Achar os nmeros. (E.N.C.D. - 1950)
11. A soma de dois nmeros 7 e o primeiro mais a raiz quadrada do segundo 5. Achar os nmeros.
12. A soma de dois nmeros 13; o primeiro mais a raiz quadrada do 2 7. Calcular esses nmeros. (C.N. 1953)
13. O produto dos dois algarismos de um nmero 12. Trocando a posio dos algarismos, obteremos um outro nmero que excede o primitivo de 36 unidades. Qual o nmero?
14. Determinar um nmero de dois algarismos, tal que, dividindo-o pela soma dos algarismos. igual ao quociente 4; e que o produto destes algarismos mais 52 igual ao nmero, escrito em ordem inversa. (C.P.O.R. - Seleo -1950)
GG AA BB AA RR II TT OO
1) -5 e 3 2) 25 e 35 3) 1,5 4) 75 e 25 5) 6 e 8 6) 1/3
7) 6 8) 4 e 5 9) 7 e 9 10) 5 e 4 11) 3 e 4 12) 4 e 9
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
13) 26 14) 48
33 PP AA RR TT EE I. Resolva: 1. A soma de dois nmeros 48. Um deles o dobro do outro. Calcule o menor. 2. Joo e Pedro tm juntos 44 anos, Joo tem o triplo da idade de Pedro. Calcule suas
idades. 3. Comprei um terno e uma camisa por R$ 800,00. O terno custou o triplo do preo da
camisa. Qual o preo do terno? 4. A soma de dois nmeros 72 e o quociente exato da diviso desses nmeros 5.
Quais so esses nmeros ? 5. Eu sou. 26 anos mais velho do que minha filha. Qual a minha idade se o triplo da
de minha filha? 6. Um pai tem 30 anos e seu filho 6. Daqui a quantos anos a idade do pai ser o dobro
da do filho? 7. Eu tenho 37 anos e minha melhor aluna 15 anos. H quantos anos eu tive o triplo de
sua idade? 8. Um pai tem 37 anos e o filho 7. Quando aconteceu ou acontecer da idade do pai ser
o triplo da do filho? 9. Um pai tem 50 anos e os seus trs filhos 5, 7 e 10 anos, respectivamente. Daqui a
quantos anos os filhos, juntos, tero a mesma idade do pai? Sugesto: bom lembrar que, cada ano, a diferena entra a idade do pai e dos filhos, juntos, diminui de 2 anos.
GG AA BB AA RR II TT OO
1) 16 2) 33 e 11 3) R$ 600,00 4) 12 e 60 5) 39
6) 18 7) 4 8) Daqui a 8 anos 9) 14
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
DESAF I O S
1. Determine o polinmio P(x), do 2 grau, tal que P(-1) = 1, P(1) = 2 e P(2) = 3. 2. Determine a equao do 2 grau cuja menor raiz 32 e o produto das duas
razes 1. 3. Dados dois conjuntos A e B tais que
( ) ( ) ( ) ( ) ,.. e 5. ,10. bnnnn == pode-se afirmar que a soma dos valores possveis paras ( ).n : a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
(Col. Naval 1998)
4. A soluo da equao x
xx4
11 =+ :
a) Uma dzima peridica. b) Um n. natural, quadrado perfeito. c) Um n. racional cujo inverso tem 4 divisores positivos. d) Um n. irracional e) Inexistente
(Col. Naval 1996)
5. O quociente entre a maior e menor raiz da equao 9 8
9 174
xx
x+ = :
(Col. Naval 1994)
6. A soma e o produto das razes da equao ( ) ( ) 0665565 222 =+++ xxxx so, respectivamente:
(Col. Naval 1996)
7. ( )0 ,01122
++
+
baabbaba
igual a:
a) abab
+
+ 22
b) ( )ababab+
+ 22
c) ab
ab +
d) ba11
+
e) NRA
8. Calcule ( )( ) ( )( ) ( )( )bcacc
abcbb
cabaa
+
+
9. Demonstre identidade de Plato. ( ) ( ) ( )2222222 2abbaba +=+ 10. A mdia aritmtica de 50 nmero 38. Se dois dos nmeros, 45 e 55. So
suprimidos, a mdia aritmtica passa a ser: a) 35,5 b) 37
c) 37,2 d) 37,5
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
e) 37,52
11. Sendo qp
uma frao irredutvel, que nmero se deve subtrair de seus termos para
se obter p inverso dessa frao? 12. Se na frmula yxxy e ,2= descrevem de 25%, .
a) Decresce 50% b) Decresce 75%
c) Decresce 6437
do seu valor
d) Decresce 6427
do seu valor
e) N R A 13. As razes de 062 =+ xx
a) So positivas b) Tm produto igual a 6 c) Tm soma 0 d) Tm soma 1 e) N R A 14. Calcule a soma dos cubos das razes da equao 0262 = xx . 15. Calcule m de modo que uma das razes de x2 + mx + 27 = 0, seja o quadrado da
outra. 16. Dada a equao 2x2 + x + 1 = 0 de razes x1 e x2 , calcule o valor da expresso
22
221
1
11 xx
x
x
++
+.
17. Determinando-se os pares (x,y) de nmeros reais que satisfaam s condies
=
+
+=
xyyx
xxy
12
22
2
tem-se:
a) Dois pares b) Nenhum par c) Trs pares d) Uma infinidade de pares e) Um nico par
18. Verifique se existem nmeros inteiros positivos x tais que 028345
2
2
+
xx
xx.
19. Cada sistema disposto na primeira coluna possui uma correspondente representao grfica, constante da segunda coluna.
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
Y
X
Y
X
=
=+21
0xy
xyS ( )
=
=
12
2
2xy
xyS ( )
=
=
42
2
3xy
xyS ( )
=
=+
12
4 yxyx
S ( )
=+
=+
2222
5 yxyx
S ( )
Assinale a seqncia resultante da correta associao das duas colunas. a) S4 S5 S2 S3 S1 b) S1 S2 S4 S5 S3 c) S5 S1 S4 S3 S2 d) S5 S2 - S3 S4 S1
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
e) S5 S4 S2 S3 S1 20. Sabendo que os nmeros inteiros q e r so tais que 622 =+ rqrq , podemos
afirmar que q e r so as razes da equao. a) 2x2 + 4x 6 = 0 b) x2 x 12 = 0 c) 3x2 9x + 4 = 0 d) x2 + 6x + 1 = 0 e) 2x2 12x + 6 = 0
21. Sobre o conjunto verdade da equao 22222
yxyx
yxyx
+=
+ no universo dos nmeros
podemos afirmar que. a) infinito b) vazio c) unitrio d) Contm nmeros negativos e) Contm dzimas peridicas.
LGEBRA
Ex1. Prove que : ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )zyxzyx=
=+++
111111
Ex2 : Simplifique
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacccbabbcabaa ++111
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacccbabbcabaa ++ 222111
Ex3: Mostre que: ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2222 xbcacbxax
cabcbaxcxb
cabacxbx
a =
+
+
Ex4: Mostre que: ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 1=
+
+
bcacbxax
abcbaxcx
cabacxbx
Ex5: Mostre que se a + b + c = 0
Ento : 9=
+
+
+
+
ac
bcb
a
bac
bac
a
cbb
ba
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
Ex6: Simplifique a seguinte expresso:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bcacabc
abcbacb
cababca
++
+++
+++
222
Ex7: Calcule
..............111
11
11
1
++
++
=S
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
PROVAS
MINISTRIO DA DEFESA . EXRCITO BRASILEIRO DEP - DFA - EsS A Concurso de Admisso aos CFS/2000 EXAME INTELECTUAL
APROVO:
Diretor de Ensino da Essa
IIIIIIII NNNNNNNN SSSSSSSS TTTTTTTT RRRRRRRR UUUUUUUU EEEEEEEE SSSSSSSS Inicialmente, confira os campos de identificao do candidato na Folha Respostas e
na Folha de Redao, seguindo a orientao do aplicador da prova. A soluo das Provas s ser vlida na Folha de Respostas e na Folha de Redao. No sero fornecidas Folha de Respostas reserva e Folha de Redao reserva por
erro do candidato. Folhas reservas s sero fornecidas nos casos de falha de impresso. Ao terminar, verifique o preenchimento e entregue a Folha de Respostas, Folha de
Redao e a Prova ao aplicador. A Prova e o gabarito estaro disposio dos interessados em data, hora e local
informados pela Comisso de Aplicao. S ser permitida a sada do local da prova aps transcorridas 02 h 40 min (duas horas e quarenta minutos) do tempo total destinado realizao das provas (aps s 11:40 hs). Tempo de durao das Provas (Mltipla Escolha + Redao): 04 horas
11111111 PPPPPPPP RRRRRRRR OOOOOOOO VVVVVVVV AAAAAAAA -------- MMMMMMMM AAAAAAAA TTTTTTTT EEEEEEEE MMMMMMMM TTTTTTTT IIIIIIII CCCCCCCC AAAAAAAA 1. Para armar um circo, 50 homens levam 2 dias, trabalhando 9 horas por dia. Com a
dispensa de 20 homens, em quantos dias o circo ser armado, trabalhando-se 10 horas por dia?
(A) 7 dias; (B) 6 dias; (C) 5 dias; (D) 4 dias; (E) 3 dias. 2. Seja ABCOE... um polgono regular convexo onde as mediatrizes dos lados AB e
CD formam um ngulo de 30. Sendo assim, temos que o nmero de diagonais desse polgono igual a: A)
(A) 252; (B) 251; (C) 250; (D) 249; (E) 248. 3. A expresso algbrica x2 - y2 z2 + 2yz + x + y z, admite como fator: (A) x + y + z + 1; (B) x y z + 1; (C) x + y z + 1; (D) x y + z + 1; (E) x + y + z + 1. 4. Dos 800 sargentos formados pela EsSA a cada ano, 5% pedem para sair do Exrcito
ao completarem 5 anos de servio. Ento, a quantidade de sargentos formados pela EsSA aps 12 anos e que ainda esto em atividade :
(A) 96OO; (B) 9460; (C) 9280; (D) 9120; (E) 8800;
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
5. Considere os pontos colineares A, B, O e C na ordem OABC. Se AO = 3 cm, OB = 5 cm e 4AB + AC 2BC = 6cm, ento a distncia, em cm, entre os pontos O e C igual a:
(A) 5; (B) 6; (C) 7; (D) 8; (E) 9. 6. Duas pessoas, fazendo seus exerccios dirios, partem de um mesmo ponto e
contornam, andando, uma pista oval. Uma dessas pessoas anda de forma mais acelerada e d uma volta completa na pista em 12 minutos, enquanto a outra leva 20 minutos para completar a volta. Depois de quanto tempo essas duas pessoas voltaro a se encontrar no ponto de partida?
(A) 40 minutos; (B) 50 minutos; (C) 60 minutos; (D) 70 minutos; (E) 90 minutos. 7. A potncia (2,12121212...)990 tem quantos divisores naturais ? (A) 12; (B) 13; (C) 120; (D) 121; (E) 991. 8. Numa circunferncia, uma corda de 60 cm tem uma flecha de 10cm. O dimetro da
circunferncia mede: (A) 50 cm; (B) 100 cm; (C) 120 cm; (D) 180 cm; (E) 200 cm. 9. A soma dos inversos das razes da equao x2 - 36x + 180 = 0 :
(A) 51
;
(B) 61
;
(C) 301
;
(D) 361
;
(E) 152
;
10. Um grupo de 18 homens pretendem construir um muro em 15 dias. Ao final de 10
dias perceberam que s haviam realizado 52
da obra. Se o grupo for reforado com
mais 12 homens, quanto tempo a mais que o pretendido levaro para concluir a obra?
(A) 2; (B) 4; (C) 7; (D) 9; (E) 10.
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
22 PP rr oo vv aa dd ee MM aa tt eemm tt ii cc aa
211
//
==
CDAB
CAAB
CBAB
e
1. valor da expresso ( ) ( )( ) ( )9950
49100
1111
+
xx
xx para x = 101/99 :
(A) -1 (B) 100 (C) 1 (D) -100 (E) 101
2. Observando a figura2 (Fig.2) acima, conclu-se que o valor do ngulo a :
(A) 70 (B) 800 (C) 75 (D) 85 (E) 650
3. O nmero natural N = (105 + 3.104 + 7.103 + 440 + n) divisvel por 13, n um nmero natural menor que 10, e q o quociente da diviso de N por 13. Logo, o valor de q + n :
(A) 13052 (B) 10582 (C) 10739 (D) 10126 (E) 10026
4. O suplemento do ngulo 45 17' 27" foi dividido em trs partes iguais. A medida de cada parte :
(A) 2254'41"
(B) 4454'11"
(C) 1134'51"
(D) 3442'33"
(E) 5444'33" "
5. Um tringulo tem lados que medem 6, 9 e c. O nmero mximo de elementos do conjunto que podem ocupar o lugar de c :
(A) 5 (B) 6 (C) 9 (D) 3 (E) 7
6. Numa determinada escola, onde 40% dos alunos so do sexo masculino, foi feita uma pesquisa sobre conhecimentos na rea de informtica, com o seguinte resultado:
a) 18% dos alunos no tm conhecimento na rea de informtica.
b) 30% dos alunos do sexo masculino no tm conhecimento na rea de informtica.
Exerccios de lgebra Elementar Prof. Ivan Monteiro
Pode-se concluir, portanto, que a razo entre ,a quantidade de alunas desta escola que no tem e as que tem conhecimento, na rea de informtica : (A) 1/4 (B) 1/6 (C) 1/5 (D) 1/10 (E) 1/9
7. Uma empresa de telefonia precisa implantar torres de comunicao ao longo de trs rodovias distintas, que medem 450 km, 330 km e 300 km, Para facilitar sua localizao, decidiu-se instalar as torres mantendo, entre elas, sempre a mesma distncia nas trs rodovias. Foi utilizada a maior distncia possvel, e elas foram instaladas a partir do quilmetro zero de cada rodovia. O nmero de torres instaladas nas rodovias foi:
(A) 35 (B) 37 (C) 39 (D) 36 (E) 38
8. Na figura 1(Fig.1), a medida do segmento AB 12cm, e a do segmento CD e 8cm. Logo, a medida do segmento EF :
(A) 24/5 cm
(B) 30/5 cm
(C) 20/5 cm
(D) 29/5 cm
(E) 25/5 cm
9. Numa lanchonete, o refrigerante vendido em copos descartveis de 300 ml por R$ 1,35 e de 500 ml por R$ 1,80. Ao se comparar o preo do refrigerante no copo de 500 ml em relao ao de 300 ml, conclui-se que :
(A) 20% maior
(B) 30% maior
(C) Igual
(D) 20% menor
(E) 30% menor
10. Exrcito Brasileiro foi chamado para auxiliar no combate Dengue. O sargento Nilton recebeu um grupo de soldados, e a misso de distribui-los nos bairros de uma cidade. Observou, ento, que se enviasse 12 soldados para cada bairro, sobrariam 4 soldados, e que se enviasse 16 soldados para cada bairro, 3 bairros no receberiam soldado algum. O nmero de soldados recebidos pelo sargento Nilton :
(A) 160 (B) 176 (C) 128 (D) 144 (E) 192