topicosde algebra

TÓPICOSDE

ÁLGEBRA

1a Edição - 2008

SOMESBSOCIEDADE MANTENEDORA DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DA BAHIA S/C LTDA.

WILLIAM OLIVEIRAPRESIDENTE

SAMUEL SOARESSUPERINTENDENTE ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO

GERMANO TABACOFSUPERINTENDENTE DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO

PEDRO DALTRO GUSMÃO DA SILVASUPERINTENDENTE DE DESENVOLVIMENTO E PLANEJAMENTO ACADÊMICO

FTC-EADFACULDADE DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS – ENSINO A DISTÂNCIA

REINALDO DE OLIVEIRA BORBADIRETOR GERAL

MARCELO NERYDIRETOR ACADÊMICO

ROBERTO FREDERICO MERHYDIRETOR DE DESENVOLVIMENTO E INOVAÇÕES

MÁRIO FRAGADIRETOR COMERCIAL

JEAN CARLO NERONEDIRETOR DE TECNOLOGIA

ANDRÉ PORTNOIDIRETOR ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO

RONALDO COSTAGERENTE DE DESENVOLVIMENTO E INOVAÇÕES

JANE FREIREGERENTE DE ENSINO

LUÍS CARLOS NOGUEIRA ABBEHUSENGERENTE DE SUPORTE TECNOLÓGICO

OSMANE CHAVESCOORD. DE TELECOMUNICAÇÕES E HARDWARE

JOÃO JACOMELCOORD. DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO

MATERIAL DIDÁTICO

PRODUÇÃO ACADÊMICA PRODUÇÃO TÉCNICA

JANE FREIRE JOÃO JACOMELGERENTE DE ENSINO COORDENAÇÃO

ANA PAULA AMORIM CARLOS MAGNO BRITO ALMEIDA SANTOSSUPERVISÃO REVISÃO DE TEXTO

GECIARA DA SILVA CARVALHO PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTOCOORDENADOR DE CURSO REVISÃO DE CONTEÚDO

ADRIANO PEDREIRA CATTAIRICARDO LUIZ QUEIROZ FREITAS PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO

AUTOR(A) EDIÇÃO EM LATEX 2ε

EQUIPEALEXANDRE RIBEIRO, ANGÉLICA JORGE, BRUNO LEMOS CEFAS GOMES, CLAUDER FILHO, DANILO BARROS DIEGO DORIA

ARAGÃO, FÁBIO GONÇALVES, FRANCISCO FRANÇA JÚNIOR, HERMÍNIO FILHO, ISRAEL DANTAS, LUCAS DO VALE, MARCIO

SERAFIM, MARIUCHA PONTE, RUBERVAL DA FONSECA E TATIANA COUTINHO.

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Sumário

Bloco 1: Teoria de Números e Polinômios 6

Tema 1: Números Inteiros e Congruências 6

Números Inteiros 6

1.1 Sistemas de Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 O Processo de Contagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 A Representação de um Número em uma Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Princípios da Indução e Boa Ordenação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Primeira Forma do Princípio da Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Segunda Forma do Princípio da Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 O Princípio da Boa Ordenação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Divisão Euclidiana e Critérios de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 O Algoritmo da Divisão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.3 Critérios de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19


1.4 Números Primos e o Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.1 Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.2 Crivo de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.3 O Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22


1.5 MMC e MDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.1 Máximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.2 Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


1.6 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7 Definição e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


1.8 Classes de Congruência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


Tema 2: Polinômios 48

Divisão de Polinômios 48

2.1 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


2.2 Definições e Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


2.3 Lema da Divisão de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


2.4 MDC e MMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4.1 Máximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4.2 Mínimo Múltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


TÓPICOS DE ÁLGEBRA 3

2.5 Raízes e Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5.1 O Algoritmo de Briot-Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


2.6 O Teorema Fundamental da Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


2.7 Fatoração em Polinômios Irredutíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


Bloco 2: Grupos 71

Tema 3: Grupos, Subgrupos e Homomorfismos. 71

Teoria de Grupos 71

3.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71


3.2 Subgrupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


3.3 Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


3.4 Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


Tema 4: Outros Tipos de Grupos 81

Grupos Cíclicos 81

4.1 Potências e Múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


4.2 Grupos Cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.1 Grupos Cíclicos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.2 Grupos Cíclicos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


4.3 Grupos Gerados Por Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.4 Classes Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4.1 Proposições Sobre Classes Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.4.2 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89


4.5 Subgrupos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


4.6 Grupos Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


4.7 Teorema do Isomorfismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


4.8 Anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.9 Exemplos Importantes de Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Referências Bibliográficas 94

FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA4

Caro aluno,

A Álgebra Moderna é um ramo da Matemática que estuda a teoria dos números e as estruturas

algébricas tais como grupos, anéis e corpos.

A construção dos conjuntos numéricos clássicos como os naturais, inteiros, racionais e reais se

constituem em partes importantes da Álgebra. Outras estruturas associadas a conjuntos de Matrizes

e Polinômios também são abordadas no estudo da disciplina.

O objetivo do nosso trabalho é o uso de um texto ameno, que procura motivar cada conceito

introduzido e, dentro do possível, apresentá-lo dentro de um contexto histórico. Um texto que admita

a inexperiência inicial do aluno, mas que fosse capaz de acompanhar sua evolução com o decorrer

do curso. Tentamos adotar o mesmo enfoque empregado no ensino básico, tornando nosso texto

uma fonte de consulta imediata para os professores daqueles níveis.

O Princípio da indução é bastante abordado devido à sua importância para a demonstração da

maior parte dos resultados obtidos para números naturais, números inteiros e polinômios.

No Bloco Temático 1, veremos, no Tema 1, os inteiros e o conceito de congruências. No Tema

2, estudaremos os polinômios salientando a similaridade destes com os inteiros em diversos teore-

mas. Já no Bloco Temático 2, trataremos, no Tema 3, do estudo de uma estrutura algébrica muito

importante denominada Grupo e por fim no Tema 4 apresentaremos vários tipos importantes de car-

acterização dessas estruturas e uma breve introdução ao estudo dos anéis, os quais se constituem

numa outra estrutura algébrica importante da álgebra Moderna.

Encontra-se disponível nesse material, além de vários exercícios resolvidos e exemplos de apli-

cação, questões propostas, ao final de cada seção.

Esse trabalho foi elaborado com bastante cuidado, sendo que cada tópico da teoria foi cuidadosa-

mente pensado com o objetivo de facilitar o seu aprendizado. Os erros são previsíveis. Portanto,

para que possamos melhorar este material a sua contribuição será necessária.

Prof. Ricardo Luiz Queiroz Freitas.

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA

BLOCO 01Teoria de Números e Polinômios

TEMA 01 Números Inteiros e Congruências

Números Inteiros

1.1 Sistemas de Numeração

1.1.1 O Processo de Contagem

O conceito de número, com o qual estamos acostumados, evoluiu muito lentamente. Para o homem civi-

lizado de hoje, o numero natural é um ente puramente matemático, uma conquista de seu pensamento.

Todos os tipos de sociedades foram obrigadas a desenvolver um conceito de número e, associado a este,

algum processo de contagem. O processo de contagem passou a ser definido, então, a partir de um conjunto

familiar ao qual se fazia corresponder os objetos a serem contados.Estes conjuntos eram chamados conjuntos

de contagem e poderiam estar associados, por exemplo, aos dedos da mão, do pé, pedras e etc. Com a

evolução da humanidade, o homem sentiu que era necessário sistematizar o processo de contagem, e os

povos de diversas partes do mundo desenvolveram vários tipos de sistema de contagem. Estabelecia-se

então um conjunto de símbolos juntamente com algumas regras que permitem contar, representar e enunciar

os números. Alguns desses conjuntos continham cinco, outros dez, doze, vinte ou até sessenta símbolos,

chamados “símbolos básicos”.

Hoje, o processo de contagem consiste em fazer corresponder os objetos a serem contados com o conjunto

N = {1, 2, 3, . . .}.

A possibilidade de se estender indefinidamente a seqüência numérica e, portanto, a existência de números

arbitrariamente grandes, foi uma descoberta difícil. Arquimedes (287-212 a.C.), em sua monografia “O contador

de Areia, descreve um método para enunciar um número maior do que o número de grãos de areia suficiente

para encher a esfera das estrelas fixas (então considerada como “Todo” isto é, o Universo). Em outras palavras,

Arquimedes descreveu um número maior do que o número de elementos do maior conjunto de contagem

possível: o Universo.

Tendo sido escolhido o conjunto de símbolos básicos, os primeiros sistemas de numeração, em grande

maioria, tinha por regra formar os numerais pela repetição de símbolos básicos e pela soma de seus valores.

Assim eram os sistemas egípcio, grego e romano.

Por volta de 3000 a.C. os egípcios usavam figuras para representar seus numerais. Tinham então um

sistema que consistia em separar os objetos a serem contados em grupos de dez, mas não tinham um símbolo

para zero. Portanto, pra representar cada múltiplo de dez, eles utilizavam um símbolo diferente dos básicos.

Por volta de 400 a.C., os gregos utilizavam letras para representar os números.

Como essas notações eram aditiva apresentavam um grande inconveniente: à medida que os números


maiores são escritos, mais símbolos devam representá-los (já que utilizar apenas os símbolos antes empre-

gados torna a representação do número demasiadamente extensa). Entretanto, essa dificuldade é superada

atribuindo-se importância à posição que um símbolo ocupa na representação de um número. Assim já era o

sistema desenvolvido pelos babilônios por volta de 1800 a.C. Estes usavam grupos de 60 elementos e seus

símbolos eram combinações de cunhas verticais ( representando a unidade) e angulares (representando a

dezena), dando origem ao que se chama sistema sexagesimal - ainda nos tempos de hoje utilizamos esse

sistema ao medir o tempo em horas, minutos e segundos e os ângulos em graus. Um símbolo em uma seqüên-

cia fica então multiplicado por 60 cada vez que avançamos uma casa à esquerda. Estes sistemas posicionais

serão estudados mais adiante, a partir do conceito de base de numeração.

Os babilônios também não tinham um símbolo que representasse o zero, mas nas posições em que ele

deveria aparecer era deixado um espaço em branco, ficando a cargo do leitor a tarefa de adivinhar, pelo

contexto o valor correto que estava sendo representado.

A origem do zero é incerta; entretanto, os maias da América central, que possuíam um sistema vigesimal

posicional, já faziam uso dele por volta de 300 d.C.

Atualmente, quase todos os povos do mundo usam o mesmo sistema de numeração e aproximadamente os

mesmos algoritmos para efetuar as operações básicas da aritmética. Esse sistema quase que universalmente

adotado é conhecido como sistema numérico hindu-arábico, por acreditar-se ter sido ele inventado pelos indi-

anos e introduzido na Europa pelos árabes.

Esse sistema é decimal posicional. Ele é decimal, pois faz uso de dez símbolos (chamados algarismo): nove

para representar os números de um a nove e outro para representar posições vazias ou o número zero. Usamos

os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. É posicional, pois todos os números podem ser expressos por meio desses

algarismos, que têm valor alterado à medida que eles avançam para a esquerda na representação do número:

cada mudança para a esquerda multiplica seu valor por dez. É o que passaremos a explicar.

1.1.2 A Representação de um Número em uma Base

Vimos, na seção anterior que a cada sistema de numeração posicional está associado um conjunto de

símbolos (algarismos), a partir dos quais escrevemos todos os outros números. Chamamos de base do sistema

à quantidade destes símbolos. Por exemplo, os babilônios usavam um sistema sexagesimal (isto é, de base

60), e hoje utilizamos o sistema decimal, ou seja, de base 10.

A razão de utilizarmos base 10 é convencional e, provavelmente, é conseqüência do fato de quase todos os

povos terem usado os dedos das mãos para contar. Temos então que no nosso sistema todo número pode ser

representado por uma seqüência

anan−1...a1a0,

em que cada algarismo ai ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. O que cada algarismo representa depende de sua posição

nessa seqüência, de acordo com a seguinte regra: cada vez que deslocamos uma casa para a esquerda na

seqüência anterior, o valor do algarismo fica multiplicado por dez.

Generalizando: se o número de elementos de um conjunto é representado por uma seqüência anan−1 . . . a1a0,

esse conjunto tem an grupos de 10n elementos, mais an−1 grupos de 10n−1 e assim por diante, até a1 grupos de

10 mais a0 elementos; ou seja, ele tem

an · 10n + an−1 · 10n−1 + . . .+ a1 · 10 + a0

elementos.

De forma análoga, podemos escrever qualquer número natural em outra base, bastando para isso tomar

quantidades de símbolos maior ou menor que dez e escrevermos o número com a mesma notação acima,

sendo que, ao invés de usarmos grupos de dez usaríamos grupos com outro número de elementos.


Na verdade, não é difícil demonstrar que podemos ter sistemas de numeração posicionais com qualquer

base b ∈ N. Uma vez selecionada a base b , escolhemos b símbolos para representar os números de “0′′ a

“b − 1′′. Se b ≤ 10, podemos utilizar os nossos algarismos hindu-arábicos. Caso contrário, ou seja, se b > 10,

podemos utilizar os mesmos algarismos hindu-arábicos de 0 até 9 e escrever outros símbolos ( por exemplo,

as letras do alfabeto) para representar os números 10, . . . , b − 1.

Resumindo, se b ∈ N , qualquer número inteiro não-negativo a pode ser escrito como

a = anbn + ... + a1b + a0,

em que os coeficientes ai , i = 0, 1, ..., n tomam valores de 0 a b − 1.

O número a é representado posicionalmente na base b pela seqüência

anan−1 . . . a2a1a0

e escrevemos a = (anan−1 . . . a2a1a0)b. Convencionamos não escrever o subscrito b quando estamos utilizando

a base 10, que é usual. Para cada i ∈ N, o símbolo ai representa, portanto, um múltiplo de alguma potência

da base, a potência dependendo da posição na qual o algarismo aparece, de modo que ao mover um símbolo

uma casa para a esquerda este tem seu valor multiplicado por b.

A afirmação de que é possível representar um número natural a em uma base b faz parte de um resultado

conhecido como Teorema de Representação de um número em uma base, o qual estudaremos mais adiante.

Este teorema nos garante não só a existência, mas também a unicidade dessa representação, uma vez fixada

a base. Veremos também um algoritmo que nos permite obter a representação de um número natural qualquer

em uma base.

1.2 Princípios da Indução e Boa Ordenação

Na Matemática, muitos resultados são admitidos como verdadeiros desde que possam ser demonstrados,

isto é, deduzidos de resultados já conhecidos (teoremas, proposições,lemas, corolários, etc.), ou então de

afirmações aceitas como verdadeiras de forma intuitiva, ou seja, que não possuem uma demonstração formal

(axiomas, postulados, princípios). A seguir descreveremos os números naturais a partir de uma indispensável

ferramenta na demonstração de muitos teoremas: o Postulado do Princípio da Indução Finita. Veremos, assim,

como utilizá-lo na demonstração de várias afirmações a respeito dos números naturais.

Toda a teoria dos números naturais pode ser desenvolvida a partir dos axiomas devido a Giussepe Peano

(1858-1932). Dados, como objetos não definidos, um conjunto N, cujos elementos são chamados números

naturais, e uma função s : N→ N. Para cada n ∈ N, o número s(n), valor que a função s assume no ponto n, é

chamado o sucessor de n.

A função s satisfaz aos seguintes axiomas:

(i) s : N → N é injetiva, isto é, dados m, n ∈ N, s(m) = s(n) ⇒ m = n. Em outras palavras, dois números que

têm o mesmo sucessor são iguais.

(ii) N − s(N) consta de um só elemento, ou seja, existe um único número natural que não é sucessor de

nenhum outro. Ele se chama “um” e é representado pelo símbolo 1. Assim, qualquer que seja n ∈ N,

tem-se 1 6= s(n).

(iii) Se X ⊂ N é um subconjunto tal que 1 ∈ X e para todo n ∈ X tem-se também s(n) ∈ X , então X = N.

Não desenvolveremos, aqui, as demais definições de operações entre naturais e suas propriedades, bem

como as relações de ordem entre naturais, lembrando que estas definições e propriedades são obtidas por


indução, ou seja, a partir dos axiomas dados acima ( para detalhes, o leitor pode consultar...). O terceiro

axioma é, exatamente, o Princípio da Indução e o enunciaremos de outra forma, a qual será mais conveniente

para se trabalhar.

1.2.1 Primeira Forma do Princípio da Indução

Suponhamos que uma afirmação seja válida em muitos casos particulares e que seja impossível considerar

todos os casos possíveis - por exemplo, uma afirmativa a respeito de todos os números naturais. Como se pode

determinar se essa afirmativa é válida em geral? Na maior parte das vezes podemos resolver essa questão

aplicando um método de indução matemática (indução completa), baseado no

Princípio da Indução Matemática - primeira forma:

Suponha que para cada número natural n se tenha uma afirmativa P(n) que satisfaça as seguintes pro-

priedades:

(i)P(1) é verdadeira;

(ii) sempre que a afirmativa for válida para um número natural arbitrário n = k , ela será válida para o seu

sucessor n = k + 1 (ou seja, P(k) verdadeira implica P(k + 1) verdadeira).

Então P(n) é verdadeira para todo número natural n.

As hipóteses do Princípio da Indução (quer dizer, os ítens 1 e 2 acima) possuem significados específicos. A

primeira hipótese cria, digamos assim, a base para se fazer a indução. A segunda hipótese nos dá o direito de

passar de um número inteiro para o seu sucessor (de k para k +1), ou seja, o direito de uma extensão ilimitada

desta base. Observe que o item ii é uma implicação possuindo uma hipótese (P(k) é verdadeira) e uma tese

(P(k + 1) é verdadeira). Assim, provar o item ii significa provar que a hipótese acarreta a tese. A hipótese do

item ii é chamada hipótese de indução.

ER 1. Calcular a soma

Sn =1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 + · · ·+ 1

n(n + 1).

Solução: Sabemos que S1 =1

2, S2 =

2

3, S3 =

3

4, S4 =

4

5.

Observando os valores das somas S1, S2, S3, S4, tentaremos provar, usando o método de indução

matemática que

Sn =n

n + 1

para todo natural n.A afirmação vale para n = 1, pois S1 =1

2. Supondo válido para n = k , isto é,

Sk =1

1 · 2 +1

2 · 3 + · · ·+ 1

k(k + 1)=

k

k + 1.

Provaremos que vale para n = k + 1, ou seja,

Sk+1 =k + 1

k + 2.

De fato,

Sk+1 =1

1 · 2 +1

2 · 3 + · · ·+ 1

k(k + 1)+

1

(k + 1)(k + 2)= Sk +

1

(k + 1)(k + 2).


Pela hipótese de indução, Sk =k

k + 1. Logo,

Sk+1 = Sk +1

(k + 1)(k + 2)=

k

k + 1+

1

(k + 1)(k + 2)=

k2 + 2k + 1

(k + 1)(k + 2)=

k + 1

k + 2

Verificadas as hipóteses do Princípio da Indução Matemática, podemos então afirmar que, para todo natural

n.

Sn =n

n + 1

O método de indução matemática se baseia no fato de que, depois de cada número inteiro k , existe um

sucessor (k + 1) e que cada número inteiro maior do que 1 pode ser alcançado mediante um número finito de

passos, a partir de 1.

Nota 1. Muitas vezes uma afirmação sobre números inteiros é aceita a partir de um número n0 fixo (não

necessariamente n = 1). Assim, podemos reescrever o Princípio da Indução Matemática da seguinte

forma:

1.1 Teorema. [Formulação equivalente do Princípio da Indução] Suponha que, para cada número inteiro

n ≥ n0, se tenha uma afirmativa P(n) satisfazendo as seguintes propriedades:

(i)P(n0) é verdadeira;

(ii) sempre que a afirmativa for válida para um inteiro n = k ≥ n0 ela também será válida para n = k + 1.

Então P(n) é verdadeira para todo número inteiro n ≥ n0.

1.2.2 Segunda Forma do Princípio da Indução

Algumas vezes no princípio da indução a validade de P(k + 1) não pode ser obtida facilmente apenas da

validade de P(k), dependendo também da validade de algum P(r) tal que 1 ≤ r ≤ k .

Nesses casos podemos usar uma outra forma do princípio da indução, a qual apresentamos a seguir.

1.2 Teorema. (Princípio da Indução Matemática - segunda forma) Seja r um número inteiro. Suponha que,

para todo inteiro n ≥ r , se tenha uma afirmativa P(n) que satisfaça as seguintes propriedades:

(i) P(r) é verdadeira;

(ii) P(m) verdadeira para todo natural m com r ≤ m ≤ k implica P(k + 1) verdadeira.

Então P(n) é verdadeira para todo n ≥ r

Nota 2. Note que aqui também a condição (ii) consiste em uma implicação. Sua hipótese, como antes,

é chamada hipótese de indução. A diferença entre as duas formas do Princípio da Indução Matemática

está exatamente na hipótese de Indução: na primeira forma, supõe-se que P(k) seja verdadeira e, na

segunda, supõe-se que

P(k), P(k − 1), ..., P(r + 1), P(r)

sejam todas verdadeiras.


Por ser uma afirmação sobre números naturais, a segunda forma do principio da Indução pode ser provada

usando-se a primeira forma. Vejamos:

Demonstração da segunda forma do princípio da Indução: Para mostrar que a afirmativa P(n) é verdadeira

para todo natural n ≥ r , tomaremos o conjunto

S = {n ∈ Z : n ≥ r e P(r), P(r + 1), . . . , P(n) são verdadeiras}

e mostraremos, usando a primeira forma do Princípio da Indução, que

S = {n ∈ Z : n ≥ r}

Pela condição (i) temos que P(r) é verdadeira, ou seja, r ∈ S . Seja, k ≥ r tal que k ∈ S . Logo, pela

definição de S , P(r), P(r + 1), ...,P(k) são verdadeiras e então, pela condição (ii), temos que P(k + 1) também

é verdadeira, donde (k + 1) ∈ S .

Temos, assim, pelo terceiro axioma de Peano, que todos os inteiros n tais que n ≥ r pertencem a S , ou seja:

S = n ∈ Z : n ≥ r ,

Desta forma, concluímos que P(n) é verdadeira para todo n ≥ r .

1.2.3 O Princípio da Boa Ordenação

Uma outra propriedade importante dos números naturais é o Princípio da Boa Ordenação, também con-

hecido como Princípio do Menor Inteiro. Tal princípio também é muito útil na demonstração de resultados a

respeito dos números inteiros. Veremos mais tarde que o princípio da indução e da boa ordenação, na ver-

dade, se equivalem, e que podemos tomar qualquer um deles como postulado e provar o outro.

Um conjunto S ⊂ R é dito limitado inferiormente, se existe um número a ∈ R tal que a ≤ s para todo s ∈ S .

Nesse caso, a é uma cota inferior para o conjunto S . Se a cota inferior está no conjunto S , dizemos que a é o

menor elemento de S .

1.3 Teorema. (Princípio da Boa Ordenação) Seja S ⊂ Z um conjunto não-vazio e limitado inferiormente.

Então S possui um menor elemento.

Exemplo 1.1. No conjunto {6, 8, 10, 12, 14, . . .} dos números pares maiores do que 4, temos que 6 é o menor

elemento.

Exemplo 1.2. O conjunto dos números inteiros

Z = {0,±1,±2,±3, . . .}

não possui menor elemento, pois, se z ∈ Z então (z − 1) ∈ Z, isto é, Z não é limitado inferiormente.

De acordo com o exemplo anterior, não podemos esperar que conjuntos não-limitados inferiormente pos-

suam um menor elemento. O próximo exemplo mostra que mesmo conjuntos que são limitados inferiormente

podem não possuir um menor elemento.

Exemplo 1.3. Considere o conjunto dos números racionais positivos

Q+ =nm

n; m e n são naturais positivos

o,

ou seja, o conjunto de todas as frações positivas. Note que 0 é menor do que todos os elementos de Q+.

Assim, concluímos que Q+ é limitado inferiormente. Mas, 0 não é menor elemento de Q+ pois 0 /∈ Q+. Iremos


mostrar que Q+ não possui menor elemento. Suponha, por absurdo, que a ∈ Q+ seja o menor elemento de

Q+. Comoa

2também pertence a Q+ e

a

2< a chegamos a uma contradição.

Em geral, qualquer resultado sobre os números inteiros que pode ser demonstrado usando-se o Princípio

da Indução, também pode ser demonstrado usando-se o Princípio da Boa Ordenação.

A seguir daremos uma demonstração do princípio da boa ordenação utilizando a segunda forma do princípio

da indução. A melhor forma de se obter tal resultado é considerarmos um conjunto S ⊂ Z de inteiros maiores

do que o inteiro a e supormos que S não possui menor elemento. Então provaremos que este conjunto só pode

ser o conjunto vazio e desta forma podemos concluir que, se S for um conjunto de inteiros maiores do que o

inteiro a e S 6= ∅, então S possui menor elemento. Vejamos, então a prova:

Demonstração do Princípio da Boa Ordenação: Seja S ⊂ Z um conjunto não-vazio e limitado inferiormente.

seja a ∈ Z uma cota inferior para S . Suponhamos que S não possua menor elemento.

Temos então que a /∈ S pois, caso contrário, a seria o menor elemento de S . Suponhamos que a, a + 1, a +

2, . . . , a + k não estejam em S (segunda forma do Princípio da Indução). Afirmamos que a + (k + 1) /∈ S . De

fato, se a +(k +1) ∈ S então a +(k +1) seria o menor elemento de S , pois todos os inteiros maiores do que a e

menores do que a+(k+1) não estão em S ; como S não possui menor elemento, concluímos que a+(k+1) /∈ S .

Logo, pela segunda forma do Principio da Indução, nenhum elemento de Z maior do que a está em S .

Como S ⊂ Z é um conjunto de números maiores do que a, só podemos ter S = ∅. Concluímos que a única

possibilidade de S não possuir menor elemento é quando S = ∅ o que mostra o Princípio da Boa Ordenação.

A segunda forma do Princípio da Indução e o Princípio da Boa Ordenação foram apresentados como teo-

remas: a segunda forma do Princípio da Indução foi provada utilizando-se a primeira forma, enquanto que o

Princípio da Boa Ordenação resultou da segunda forma do Princípio da Indução.

Dizemos que duas afirmações A e B são equivalentes se A implica B (notação: A⇒ B) e, reciprocamente,

B implica A (notação: B ⇒ A) e escrevemos A⇔ B, que se lê: A se, e somente se, B.

Observe que já demonstramos que a primeira forma do Princípio da Indução implica a segunda forma, e que

esta implica o Princípio da Boa Ordenação. Assim, para completarmos a verificação que esses Princípios são

todos equivalentes, basta mostrarmos que o Princípio da Boa Ordenação implica a primeira forma do Princípio

da Indução. É o que faremos a seguir.

1.4 Teorema. O Princípio da Boa Ordenação implica a primeira forma do Princípio da Indução.

Prova: Seja P(n) uma afirmativa à respeito dos números inteiros, tais que

(a) P(n0) é verdadeira;

(b) Se k ≥ n0, P(k) verdadeira implica P(k + 1) verdadeira.

Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ≤ n0. Para isso, definimos o conjunto

S = {n ∈ Z; n ≥ n0 e P(n) é falsa} .

Vamos mostrar, usando o Princípio da Boa Ordenação, que S = ∅, donde podemos concluir o desejado.

Claramente S é um conjunto limitado inferiormente. Suponhamos que S não seja vazio. Então, pelo

Princípio da Boa Ordenação, S tem um menor elemento k0 ∈ S . Temos que k0 6= n0 pois, por hipótese,

P(n0) é uma afirmação verdadeira. Logo, k0 > n0. Isso quer dizer que k0 − 1 /∈ S e também que P(k0 − 1) é

uma afirmação verdadeira (pois k0 é a primeira afirmativa falsa). Mas isso é uma contradição com a hipótese

(b):P(k0 − 1) verdadeira implica P(k0) verdadeira. 2


1.2.4 Exercícios Propostos

EP 1.1. Mostre, por indução, a validade de

1 + 23 + 33 + . . .+ n3 =

�n(n + 1)

2

�2

.

EP 1.2. Prove, usando o princípio da indução, que o número de diagonais dn de um polígono convexo de n

lados é dado por

dn =n(n − 3)

2.

EP 1.3. Encontre a lei geral sugerida para as somas abaixo e, em seguida, mostre tal lei por indução.

1 +1

2= 2− 1

2,

1 +1

2+

1

4= 2− 1

4,

1 +1

2+

1

4+

1

8= 2− 1

8.

1.3 Divisão Euclidiana e Critérios de Divisibilidade

Por volta de 300 a.C., Euclides de Alexandria (325-265 a.C.) escreveu o mais antigo texto matemático

grego conhecido até nossos dias, denominado Os elementos. Alguns capítulos da obra são sobre teoria de

números. Para os gregos, a palavra número significava o que hoje denominamos número natural e se refere

a um número como AB e não usa as expressões “é múltiplo de” ou “é dividido por”, mas “é medido por” ou

“mede”, respectivamente. O modelo concreto de número utilizado por Euclides era um segmento de reta de

comprimento igual a esse número, sendo a unidade de medida u escolhida arbitrariamente; por exemplo, o

número 7 era entendido como o seguimento AB, como na seguinte figura:

A B

u

Uma característica dos inteiros é que um número nem sempre divide o outro, e Euclides interessava-se

particularmente pelo estudo dessa relação, ou seja, pela teoria da divisibilidade. Resultados sobre os inteiros

já eram encontrados na obra de Euclides, com demonstrações que são utilizadas até hoje, apenas reescritas

numa notação moderna.

Nesta seção apresentaremos o importante resultado sobre números inteiros conhecido como o Lema da

Divisão de Euclides e mostraremos também outros teoremas como conseqüência desse lema, além de alguns

critérios de divisibilidade.

1.3.1 O Algoritmo da Divisão

Utilizando o modelo de número utilizado por Euclides, sejam os segmentos AB e CD de forma que o

comprimento de CD seja maior do que o comprimento de AB e suponhamos que o segmento CD possa ser

obtido pela justaposição do segmento AB num certo número de vezes. Dessa forma, podemos dizer que CD

possui AB como parte exata ou que AB pode servir para medir CD. A partir dessa idéia podemos obter a

definição abstrata de múltiplo.

1.5 Definição. Dados os números naturais a e b, dizemos que a é múltiplo de b, se existe um número natural

n tal que a = nb.


No entanto, se o segmento AB não for uma parte exata do segmento CD, teremos que o segmento AB cabe

em CD um número máximo de vezes mais um segmento restante, por exemplo MN , o qual possui comprimento

menor do que o de AB.

Dessa forma, se os segmentos CD e AB representam os números naturais a e b, respectivamente, temos

que a = nb + r , em que r < b é o número natural que representa o segmento MN e n é o número máximo de

segmentos do tamanho de AB que cabe em CD.

Este é o enunciado, para os números naturais , do que hoje conhecemos como Lema da Divisão de Euclides

o qual demonstraremos através da indução matemática.

Sejam a e b números naturais. Vemos que existe somente duas possibilidades: ou a é múltiplo de b, isto

é, a = qb, em que q ∈ N, ou a está compreendido entre dois múltiplos consecutivos de b como indica a figura

abaixo.

qb a (q + 1)b

Nesse caso, temos que a distância de a a qb é menor do que a distância entre dois múltiplos consecutivos

de b. Assim, podemos escrever a = qb + r , em que 0 < r < b.

Nota 3. Até agora, consideramos o “1” como o primeiro número natural. No Lema de Euclides, a seguir,

consideraremos “0” como número natural. É uma simples convenção a questão do zero ser ou não um

número natural.

1.6 Teorema. (Lema da Divisão de Euclides) Sejam a e b números naturais, com b > 0. Então existem

números naturais q e r , com 0 ≤ r < b, de modo que a = qb + r .

Prova: Faremos a demonstração por indução em a.

Se a = 0, escolhemos q = 0 e r = 0, obtendo 0 = 0 · b + 0. Nesse caso, o resultado está demonstrado.

Seja então a > 0 (inclusive menor que b) e suponhamos, por indução, que o resultado seja válido para o

número natural (a− 1): existem q′, r ′ ∈ N, tais que

(a − 1) = q′b + r ′,

em que 0 ≤ r ′ < b. Logo, a = q′b + r ′ + 1 com 1 ≤ r ′ + 1 ≤ b.

Se r ′ + 1 < b, tomamos q = q′ e r = r ′ + 1, o que mostra o resultado. Se, por outro lado, r ′ + 1 = b temos

que

a = q′b + b = (q′ + 1)b,

e basta tomar, nesse caso, q = q′ + 1 e r = 0.

Portanto, o Lema da Divisão de Euclides nos garante que, dados a, b ∈ N, com b > 0, sempre podemos

achar o quociente q e o resto r da divisão de a por b, o que fazíamos desde o ensino básico, para pares

particulares de números naturais a e b.

Podemos agora nos perguntar se o quociente e o resto são únicos. A nossa experiência nos diz que a

resposta a essa pergunta é afirmativa: há muito tempo sabemos que existe uma única “resposta certa” para

a divisão de a por b (verifique que essa unicidade fica clara ao considerarmos o nosso modelo geométrico).

Para demonstrar formalmente esse fato, vamos supor que (q′, r ′) e (q′′, r ′′) sejam dois pares de números


naturais tais que

a = q′b + r ′, a = q′′b + r ′′,

com 0 ≤ r ′ < b e 0 ≤ r ′′ < b.

Queremos concluir que q′ = q′′ e r ′ = r ′′.

Se tivéssemos q′ > q′′, obteríamos após subtrair membro a membro as equações acima que (q′−q′′)b =

r ′′− r ′, e como q′−q′′ é um número natural não-nulo, q′−q′′ ≥ 1 e, portanto, (q′−q′′)b ≥ b. Logo, obteríamos

r ′′− r ′ ≥ b, o que é absurdo, já que 0 ≤ r ′ < b e 0 ≤ r ′′ < b. Assim, não podemos ter q′ > q′′. Analogamente,

não podemos ter q′′ > q′ e, portanto ,q′ = q′′. Como

r ′ = a− q′b = a− q′′b = r ′′,

está provada, então, a unicidade no Lema da Divisão de Euclides.

Queremos, agora, estender o Lema de Euclides para o conjunto dos inteiros

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} .

Estes podem ser representados sobre uma reta escolhendo um ponto arbitrário como posição do zero

(chamado origem) e associando os pontos à direita do zero aos números naturais e os pontos à esquerda do

zero aos números inteiros negativos:

−2 −1 0 1 2

Temos, então, que o ponto correspondente a 2 fica à direita da origem e a duas unidades dessa, enquanto

que o número −2 fica à esquerda da origem, também a duas unidades dessa. Assim a cada inteiro b está

associado um número natural que é a distância de b à origem chamado valor absoluto de b. 2

1.7 Definição. O valor absoluto de um número inteiro b, denotado por |b|, é

|b| =

8<: b , se b ≥ 0

−b , se b < 0.

Nota 4. Para todo b ∈ Z, |b| é um número natural. Além disso, |b| = | − b|.

Podemos, agora, estender a definição de múltiplo para os inteiros.

1.8 Definição. Dados dois inteiros a e b, dizemos que a é múltiplo de b, se existe um inteiro q tal a = qb.

Exemplo 1.4. 8 é múltiplo de 4, pois 8 = 2 · 4; 8 também é múltiplo de −4 pois 8 = (−2)(−4); −8 é múltiplo

de 4 e de −4, pois −8 = (−2)4 = 2(−4).

Dado um inteiro b 6= 0, destacando na reta os múltiplos deste, temos que, para todo inteiro a, ou a é múltiplo

de b ou a está entre dois múltiplos consecutivos de b:

q|b| a (q + 1)|b|

Como estamos agora considerando também números negativos, podemos exprimir o fato de a estar entre


os múltiplos consecutivos de b, q|b| e (q + 1)|b|, de duas maneiras:

a = q|b|+ r , com 0 < r < |b|, ou a = (q + 1)|b|+ r , com − |b| < r < 0.

Trabalharemos sempre com a primeira forma exigindo, assim, que o resto seja não-negativo.

Exemplo 1.5. Se a = 8 e b = 3, escreveremos 8 = 2 · 3 + 2 ao invés de 8 = 3 · 3 + (−1). Dessa forma, o

quociente da divisão de 8 por 3 é 2 e o resto também é 2.

Se a = −8 e b = 3, escreveremos −8 = (−3)3 + 1 e não −8 = (−2)3− 2, ou seja, o quociente da divisão de

−8 por 3 é −3 e o resto é 1. Quais são os quocientes e os restos das divisões de 8 por −3 e de −8 por −3?

Enunciaremos agora o Lema da Divisão de Euclides para números inteiros.

1.9 Teorema. (Lema da Divisão de Euclides para inteiros) Sejam a e b inteiros, com b 6= 0. Então existem

inteiros q e r , com 0 ≤ r < |b|, tais que a = qb + r . Além disso, são únicos os inteiros q e r satisfazendo essas

condições.

Prova: Supondo a existência do quociente q e do resto r , podemos considerar quatro casos:

1. a ≥ 0 e b > 0; 2. a ≥ 0 e b < 0; 3. a < 0 e b > 0; 4. a < 0 e b < 0.

Observe que o caso 1 é uma repetição do Lema de Euclides para os naturais. Os outros casos possuem

demonstrações análogas e por isso mostraremos apenas o caso 4 deixando os outros a cargo do leitor.

Como a < 0 e b < 0, temos −a > 0,−b > 0 e |b| = −b. Pelo Lema de Euclides para naturais, existem

q′, r ′ ∈ N tais que −a = q′(−b) + r ′, com 0 ≤ r ′ < −b. Se r ′ = 0, temos a = q′b e, então, basta fazer q = q′ e

r = 0. Se r ′ > 0, temos a = q′b + (−r ′) e, portanto,

a = q′b + b − b + (−r ′) = (q′ + 1)b + (−b − r ′)

e, então, basta fazer q = q′ + 1 e r = −b − r ′, pois, como 0 < r ′ < −b, temos, após adicionar b a todos os

membros, b < b + r ′ < 0⇒ 0 < −b − r ′ < −b = |b|, uma vez que, por hipótese, b < 0. 2

A unicidade de q e r pode ser provada de forma similar àquela feita para números naturais e também

deixamos a cargo do leitor.

Exemplo 1.6. Se a ∈ Z, então a = 2q + r , em que q, r ∈ Z e 0 ≤ r < 2. Assim, a = 2q ou a = 2q + 1. Os

números da primeira forma são chamados pares e os da segunda forma ímpares.

ER 2. Mostre que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma 3k ou 3k + 1, com k ∈ N.

Solução: De fato, usando o Lema de Euclides concluímos que qualquer inteiro a pode ser escrito na

forma a = 3q + r , em que r ∈ 0, 1, 2. Portanto, a2 = 9q2 + 6qr + r2 = 3(3q2 + 2qr) + r2.

Analisando a expressão acima, temos os seguintes casos a considerar:

(i) se r = 0, então a2 = 3(3q2 + 2qr) = 3k , em que k = 3q2 + 2qr ; (observe que k ∈ N pois a2 ≥ 0, ∀ a ∈ Z)

(ii) se r = 1, então a2 = 3(3q2 + 2qr) + 1 = 3k + 1, em que k = 3q2 + 2qr ;

(iii) se r = 2, então a2 = 3(3q2 + 2qr) + 4 = 3(3q2 + 2qr + 1) + 1 = 3k + 1, em que k = 3q2 + 2qr + 1, k ∈ N


Veremos, agora, propriedades importantes sobre o caso em que a divisão euclidiana é exata (r = 0).

Quando a é múltiplo de b, dizemos também que b divide a ou que b é divisor de a e escrevemos b | a. Se b

não divide a, denotamos b ∤ a.

Exemplo 1.7. Observe que 3 | (−21), pois −21 = 3(−7). No entanto 2 ∤ 3, pois não existe n ∈ Z tal que

3 = 2n. Note ainda que 0 | 0 porque 0 = k0 para todo k ∈ Z. Também temos que n | 0 para todo n ∈ Z, pois

0 = n · 0. Por outro lado 0 ∤ n, n 6= 0, pois não existe k ∈ Z tal que n = k · 0. Temos ainda que a | a para todo

a ∈ Z, pois a = 1a.

1.10 Proposição. Sejam a,b e c inteiros quaisquer. Então vale:

(i) se a | b, então a | (−b);

(ii)se a | b e a | c , então a | (b + c);

(iii) se a | b e a | (b + c), então a | c ;

(iv) se a | b e b | a, então a = ±b;

(v) se a | b e a | c , então a | (bx + cy) para quaisquer x , y ∈ Z;

(vi) se a | b e b | c , então a | c .

Prova: Faremos as provas de (ii), (v) e (vi). Os outros ítens são provados de forma similar e deixaremos

como exercício.

(ii) Se a | b, então existe q ∈ Z tal que b = aq. Se a | c , existe p ∈ Z tal que c = ap. Logo, somando

membro a membro teremos

b + c = aq + ap = a(q + p).

Como (q + p) ∈ Z, concluímos que a | (b + c).

(v) Se a | b, então existe k ∈ Z tal que b = ka. Se a | c , existe t ∈ Z tal que c = ta. Multiplicando

essas duas equações por x e y teremos xb = xka e yc = yta. Somando-se membro a membro obtemos

xb + yc = xka + yta = (xk + yt)a. Como (xk + yt) ∈ Z temos que a | (bx + cy).

(vi) Como a | b e b | c , existem inteiros k1 e k2 com b = k1a e c = k2b. Substituindo o valor de b na

equação c = k2b teremos c = k2k1a o que implica que a | c uma vez que k2k1 ∈ Z. 2

Nota 5. A recíproca de (ii) não é verdadeira, ou seja, não podemos garantir que se a | (b + c), então a | be a | c . Por exemplo, 5 | (8 + 2) mas 5 ∤ 8 e 5 ∤ 2

1.3.2 Mudança de Base

Vimos que um número natural arbitrário a possui uma representação posicicional numa base qualquer b .

Essa representação é dada por uma seqüência anan−1 . . . a1a0, em que cada ai(i = 0, 1, . . . , n) assume um valor

em {0, 1, . . . , b − 1} de forma que podemos escrever

a = anbn + an−1b

n−1 + . . .+ a1b + a0.

Demonstraremos, formalmente, que essa representação sempre existe e que, escolhida a base b, ela é

única. Antes vejamos um exemplo:


ER 3. Represente 32 na base 5.

Solução: Para representar 32 na base 5, de acordo com o raciocínio utilizado na seção 1.1.2, devemos

efetuar as seguintes divisões:

32 = 6 · 5 + 2

6 = 1 · 5 + 1

1 = 0 · 5 + 1

Dessa forma, temos que

32 = 6 · 5 + 2 = (1 · 5 + 1) · 5 + 2 = 1 · 52 + 1 · 5 + 2,

isto é, a representação de 32 na base 5 é (112)5, sendo que os algarismos 1, 1 e 2 são exatamente os restos

das divisões efetuadas, tomados de baixo para cima.

Generalizando, podemos obter um algoritmo para a representação de um número natural a qualquer numa

base b através de sucessivas divisões e obtenções dos restos das mesmas, da seguinte forma:

a = q0b + a0, 0 ≤ a0 < b

q0 = q1b + a1, 0 ≤ a1 < b

...

qn−1 = 0 · b + an, 0 ≤ an < b

Observe que qn−1 é o último quociente não nulo e, como os quocientes vão decrescendo, necessariamente,

devemos ter qn = 0, para algum n.

De acordo com o exercício resolvido anteriormente, a representação de a na base b é, então, (anan−1 . . . a1a0)b.

1.11 Teorema. Dado um número natural a ≥ 0 e um natural b ≥ 2, existe e é única a representação de a na

base b.

Prova: A afirmação é claramente válida para a = 0. Seja a > 0 e suponhamos, por indução, que o

resultado seja válido para para todo natural c , com 0 ≤ c < a. Ou seja, vamos supor que c possa ser escrito

de forma única como

c = anbn + an−1b

n−1 + ... + a1b + a0,

em que 0 ≤ ai < b.

Vamos mostrar que o resultado vale para o natural a.

Pelo Lema de Euclides, existem e são únicos os naturais q ≥ 0 e 0 ≤ r < b, tais que a = qb + r .

Se q = 0, então a = r e a coincide com sua representação na base b. Considerando agora q > 0, uma

vez que b ≥ 2, teremos que

a = qb + r ≥ 2q + r ≥ 2q > q.

Assim, pela hipótese de indução, podemos escrever de modo único

q = anbn + an−1b

n−1 + ... + a1b + a0

e, portanto,

a = qb + r = anbn+1 + an−1b

n + ... + a1b2 + a0b + r ,


com 0 ≤ r < b. Conseguimos, assim, uma representação de a na base b. A unicidade segue imediatamente

da unicidade de q e r , dadas pelo Lema da Divisão de Euclides, e da unicidade da representação de q na

base b, de acordo com a hipótese de indução. 2

1.3.3 Critérios de Divisibilidade

Nesta parte apresentaremos algumas idéias sobre como deduzir critérios de divisibilidade de números na

base 10. Os resultados usam, basicamente, as definições de múltiplos e divisores e suas respectivas pro-

priedades. Eventualmente, precisaremos lembrar do desenvolvimento do binômio de Newton para a conclusão

de certas multiplicidades nas deduções desses critérios.

1.12 Proposição. (Critério de divisibilidade por 2) Um número natural a é divisível por 2 se, e somente se, o

algarismo das unidades for divisível por 2.

Prova: Seja anan−1 . . . a2a1a0 a representação de a ∈ N na base 10. Assim,

a = an10n + . . .+ a2102 + a110 + a0,

em que os algarismos ai assumem valores de 0 a 9.

Colocando o número 10 em evidência a partir da segunda parcela, teremos:

a = 10�an10n−1 + . . .+ a210 + a1

�+ a0 = 10m + a0,

em que m = an10n−1 + . . .+ a210 + a1 é um inteiro.

Se 2 | a = 10m + a0 e uma vez que 2 | 10m temos pelo item (iii) da proposição anterior que 2 | a0.

Reciprocamente, suponhamos que o algarismo das unidades de a seja divisível por 2, isto é, suponhamos

que 2 | a0. Como a = 10m + a0 temos , pela mesma proposição item (ii), que 2 | a. 2


EP 1.4. Prove os itens (i), (iii) e (iv) da Proposição 1.10.

EP 1.5. Seja a ∈ Z. Mostre que, na divisão de a2 por 8, os restos possíveis são 0, 1 ou 4.

EP 1.6. Se m e n forem inteiros ímpares, mostre que m2 − n2 é divisível por 8.

EP 1.7. Mostre que, dados 3 inteiros consecutivos, um deles é múltiplo de 3.

EP 1.8. Transforme para a base 10 os seguintes números

(a) (2351)7 (b) (1001110)2

EP 1.9. Expresse o número 274 na base 5.

EP 1.10. Mostre critérios de divisibilidade por 5 e por 3. Para isso, use raciocínios similares aos critérios de

divisibilidade por 2 e por 9, respectivamente.


1.4 Números Primos e o Teorema Fundamental da Aritmética

Veremos nesta seção que determinados números naturais podem ser escritos como produto de dois fatores

positivos menores que ele (por exemplo, 10 = 2 · 5 ). No entanto, existem outros que não admitem tal escrita

( por exemplo, 1,3,17 e 19 ). Veremos também que qualquer inteiro pode ser construído multiplicativamente a

partir de certos números de forma única, a menos de ordenação dos fatores.

1.4.1 Números Primos

1.13 Definição. Seja n ∈ N, com n > 1. Dizemos que n é um número primo, se seus únicos divisores positivos

são a unidade e ele mesmo. Caso contrário, dizemos que n é composto.

De outra forma podemos dizer que um número natural n é primo se, sempre que escrevemos n = ab, com

a, b ∈ N, temos necessariamente que a = 1 e b = n ou a = n e b = 1. Conseqüentemente, um número natural

n é composto, se existem a, b ∈ N, com 1 < a < n e 1 < b < n, tais que n = ab. Observe que o número 1 não é

primo nem composto.

ER 4. Determine todos os números primos p que são iguais a um quadrado perfeito menos 1.

Solução: Se p = n2− 1, então temos que p = (n + 1)(n− 1). Pela definição de número primo só existem

duas possibilidades: n + 1 = 1 e n− 1 = p ou n + 1 = p e n− 1 = 1.

Do primeiro sistema de equações temos, para solução, n = 0 e p = −1, o que não convém, pois p ∈ N,

por definição. Já do segundo sistema, temos n = 2 e p = 3. Segue que p = 3.

De acordo com a definição apresentada, para decidir se um determinado número n é primo, é necessário

verificar a divisibilidade dele por todos os números naturais menores do que ele, o que fica extremamente

trabalhoso à medida que avançamos na seqüência dos números naturais. Entretanto, é suficiente testar a

divisibilidade de n pelos primos menores do que a sua raiz quadrada.

Antes de provarmos esse resultado, gostaríamos de observar que, se considerarmos o conjunto dos divi-

sores positivos diferentes da unidade de um número natural n ≥ 2 (por exemplo, n = 12, 17 e 25), então o seu

menor elemento é sempre um número primo. Esse é o fato que fundamenta a demonstração de nosso lema:

1.14 Lema. Seja n ∈ N, com n ≥ 2. Então n admite um divisor primo.

Prova: Considere o conjunto S dos divisores positivos de n, além da unidade, ou seja:

S = {d ∈ N : d ≥ 2 e d | n} .

É claro que S é um conjunto não-vazio, pois o próprio n está em S . Assim, pelo principio da Boa Orde-

nação, S possui um menor elemento d0. Mostraremos que d0 é primo. Com efeito, se d0 não fosse primo,

existiriam números naturais a e b tais que d0 = ab, com

2 ≤ a ≤ (d0 − 1) e 2 ≤ b ≤ (d0 − 1).

Uma vez que a | d0 e d0 | n, temos pela proposição 1.10 item (vi) que a | n. Além disso, a ≥ 2, de onde

concluímos que a ∈ S . Chegamos, assim, a um absurdo pois a é menor do que o menor elemento de S . 2


Mostraremos agora um resultado devido ao matemático grego Eratóstenes, que viveu por volta de 230 anos

antes de Cristo.

1.15 Proposição. Se um número natural n ≥ 2 não é divisível por nenhum número primo p tal que p2 ≤ n,

então ele é primo.

Prova: Suponhamos, por absurdo, que n não seja divisível por nenhum número primo p tal que p2 ≤ n e

que não seja primo. Seja q o menor número primo que divide n; então, n = qn1, com q ≤ n1. Segue daí que

q2 ≤ qn1 = n. Logo, n é divisível por um número primo q tal que q2 ≤ n, o que é um absurdo.

Portanto, o primeiro passo para se decidir se um dado número n é primo consiste na determinação de

todos os números primos menores que√

n. (Determine, por exemplo, se n = 1969 é primo). 2

É conveniente então, temos à nossa disposição uma lista de primos. Várias tabelas de números primos, até

certo limite, já foram calculadas. Antigamente essas tabelas eram baseadas num algoritmo ou crivo, desen-

volvido por Eratóstenes (276-194 a.C.), e cujo princípio abordaremos a seguir.

1.4.2 Crivo de Eratóstenes

Escrevem-se, na ordem natural, todos os números naturais entre 2 e n. Em seguida, eliminam-se todos os

números inteiros compostos que são múltiplos dos primos p tais que p ≤ √n, isto é: primeiro elimine todos os

múltiplos 2k de 2, com k ≥ 2; a seguir, todos os múltiplos 3k de 3, com k ≥ 2; depois os múltiplos 5k de 5,

com k ≥ 2; e assim sucessivamente, para todo primo p ≤ √n. Os números que sobraram na lista são todos os

primos entre 2 e n.

ER 5. Construa a tabela de todos os primos menores que 100.

Solução: Como√

100 = 10, pelo crivo de Eratóstenes devemos eliminar da lista dos números naturais

de 2 a 100 todos os múltiplos dos primos p tais que p ≤ 10, ou seja, os múltiplos de p = 2, 3, 5 e 7. Assim,

obtemos:2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

52 53 54 55 56 57 58 59 60 61

62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

92 93 94 95 96 97 98 99 100

Segue-se, então, do crivo de Eratóstenes, que os primos entre 1 e 100 são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

Os problemas de determinação de números primos têm fascinado bastante os matemáticos, desde épocas

remotas. Uma das demonstrações mais antigas em teoria de números que chegou até nós foi a prova da

infinitude dos números primos, que se encontra mo Livro IX d’Os elementos de Euclides. Apresentaremos essa

demonstração usando linguagem moderna.


1.16 Teorema. Existem infinitos números primos.

Prova: Suponhamos, por absurdo, que exista somente uma quantidade finita de números primos. Sejam

eles p1, p2, . . . , pk . Considere então o número

m = p1p2 . . . pk + 1

Como m é maior que qualquer um dos primos p1, ldots, pk , segue-se da nossa hipótese que m não é

primo. Logo, pelo Lema 1.14, m admite um divisor primo, que teria de ser um dos primos p1, ldots, pk . Mas

nenhum desses pode dividir m. De fato, se p fosse primo que divide m, então p teria que dividir 1 também, já

que

1 = m − p1p2 . . . pk .

Portanto, qualquer que seja k ∈ N, o conjunto {p1, p2, . . . , pk} não pode conter todos os primos. 2

Muitas questões interessantes sobre números primos não foram respondidas até hoje. Por exemplo, dize-

mos que dois primos são gêmeos se eles são números ímpares consecutivos. Assim 3 e 5 e 7, 11 e 13 são

números primos gêmeos. Um antigo problema, que até hoje não foi resolvido, é se existe ou não um número

infinito de primos gêmeos.

1.4.3 O Teorema Fundamental da Aritmética

Veremos agora que qualquer inteiro pode ser construído multiplicativamente a partir de números primos. De

fato, se um número não é primo, podemos decompô-lo até que os seus fatores sejam todos primos.

Exemplo 1.8.

360 = 3 · 120 = 3 · 30 · 4 = 3 · 3 · 10 · 2 · 2 = 3 · 3 · 5 · 2 · 2 · 2 = 23 · 32 · 5.

Consideraremos que uma decomposição de um número primo p é dada por ele mesmo.

Observamos agora que, se um número foi expresso como produto de primos, podemos dispor esses fa-

tores primos em qualquer ordem. A experiência nos diz que, a menos de arbitrariedade da ordenação, tal

decomposição é única. Tal afirmação não é tão simples de se demonstrar, embora pareça óbvia pela nossa

experiência no uso da decomposição em fatores primos. A demonstração clássica desse resultado, conhecido

como o “Teorema Fundamental da Aritmética”, dada por Euclides, está baseada em um método (ou algoritmo)

para o cálculo do máximo divisor comum de dois números, e diz respeito apenas à existência da fatoração

de um número natural em primos. Acredita-se que Euclides conhecia a unicidade dessa fatoração e que, por

dificuldades de notação, não conseguiu estabelecer a demonstração desse resultado, a qual será apresentada

a seguir. As demonstrações, tanto da existência quanto da unicidade, serão feitas pelo Princípio da Indução, o

qual só começou a ser utilizado muito depois da época de Euclides.

Dividiremos a demonstração desse teorema em duas partes: a primeira mostrará a existência dessa fa-

toração em números primos, a segunda mostrará a unicidade dessa fatoração, a menos da ordem dos fatores.

1.17 Teorema. (Teorema Fundamental da Aritmética) Todo número natural n ≤ 2 pode ser escrito como um

produto de números primos. Essa decomposição é única, a menos da ordem dos fatores.

Prova: Seja P(n) a afirmativa: n é um número primo ou pode ser escrito como um produto de números

primos. P(2) é verdadeira, pois 2 é primo. Suponhamos a afirmativa verdadeira para todo número m com


2 ≤ m ≤ k e provemos que P(k + 1) é verdadeira.

• Se k + 1 for primo, então P(k + 1) é verdadeira.

• Se k + 1 não for um número primo, então k + 1 pode ser escrito como

k + 1 = ab, em que 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k .

Portanto, pela hipótese de indução, ou a e b podem ser escritos como produto de primos, ou são números

primos. Logo k + 1 = ab é também um produto de números primos , a saber, o produto dos números primos

da fatoração de a multiplicados pelos números primos da fatoração de b. Isso completa a primeira parte da

demonstração: provamos que todo número natural k > 1 pode ser decomposto como produto de fatores

primos.

Para mostrar a unicidade dessa decomposição, consideramos

S = {n ∈ N : n ≤ 2 e n tem duas decomposições distintas em fatores primos} .

Suponhamos, por absurdo, S 6= ∅. Logo, pelo Principio da Boa Ordenação, S tem um menor elemento m.

Assim,

m = p1p2 . . . pr = q1q2 . . . qs ,

são duas fatorações distintas de m como produto de números primos. Reordenando esses primos, se

necessário, podemos supor que

p1 ≤ p2 ≤ . . . ≤ preq1 ≤ q2 ≤ . . . ≤ qs .

Notemos que p1 6= q1. De fato, caso contrário, teríamos duas decomposições diferentes para um número

natural menor do que m (a saber, o número natural m/p1), contrariando assim o fato de m ser o elemento

mínimo de S . Observe que temosm

p1≥ 2. Assim, podemos assumir que p1 < q1.

Definimos, então

m′ = m − (p1q2q3 . . . qs).

Substituindo m pelas expressões dadas nas igualdades acima, obtemos

m′ = p1p2 . . . pr − p1q2 . . . qs = p1(p2 . . . pr − q2 . . . qs)

m′ = q1q2 . . . qs − p1q2 . . . qs = (q1 − p1)(q2q3 . . . qs).

Por definição, temos m′ < m. Por outro lado, a penúltima igualdade nos mostra que m′ ≥ 2 pois p1 | m′.

Assim, m′ tem decomposição única como produto de fatores primos.

Se for (p2 . . . pr − q2 . . . qs) ≥ 2, podemos decompor esse termo como produto de fatores primos. Caso

contrário, (p2 . . . pr − q2 . . . qs) = 1. De qualquer modo, vemos que p1 é um fator na decomposição de m′ em

fatores primos.

A mesma decomposição em fatores primos pode ser feita com respeito à última igualdade. Como p1 <

q2 ≤ . . . ≤ qs , necessariamente o fator primo p1 deve estar presente na decomposição que (q1 − p1). Mas

isso quer dizer que q1 − p1 = cp1 para algum inteiro c e, portanto, q1 = (c + 1)p1, contrariando o fato de ser

q1 > p1. Temos, assim, um absurdo, o que prova que S = ∅ e completa a demonstração. 2

ER 6. Determine todos os números primos p tais que 3p + 1 seja um quadrado perfeito.


Solução: Se 3p + 1 = n2, então 3p = n2 − 1 e, portanto,

(n + 1)(n − 1) = 3p.

Observe que não podemos ter nem n + 1 = 1 nem n − 1 = 1. Isso implica que devemos ter n + 1 ≥ 2 e

n−1 ≥ 2. Já que temos dois números primos do lado direito da igualdade anterior, pelo Teorema Fundamental

da Aritmética, n + 1 e n − 1 são ambos primos. Mais do que isso, só existem duas possibilidades:

n + 1 = 3 e n − 1 = p, ou n + 1 = p e n − 1 = 3.

No primeiro sistema de equações temos n = 2 e p = 1 o que não convém, uma vez que p é primo. Já no

segundo sistema temos n = 4 e p = 5 e portanto concluímos que a única solução para o problema é p = 5.

O próximo resultado é uma conseqüência imediata do Teorema Fundamental da Aritmética.

1.18 Corolário. Todo número inteiro não-nulo diferente de ±1 pode ser escrito como ±1 vezes o produto de

números primos. Essa expressão é única, exceto pela ordem na qual os fatores primos aparecem.

1.19 Definição. Um número negativo q cujo simétrico −q é um número natural primo é chamado número

primo negativo.

Exemplo 1.9. Temos então que 2, 3 e 5 são números primos, enquanto que−2,−3 e−5 são primos negativos.

Nota 6. Observemos que, na fatoração de um número inteiro a, o mesmo primo p pode aparecer várias

vezes. Agrupando esses primos, podemos escrever a decomposição de a como:

a = (±1)pr11 pr2

2 . . . prnn ,

em que 0 < p1 < p2 < . . . < pn e ri > 0 para i = 1, 2, . . . , n.

Quando nos referirmos a uma decomposição (ou fatoração) de um número inteiro em números primos,

estaremos nos referindo a essa decomposição, em que os primos são todos positivos. Assim, por exemplo,

aceitamos as decomposições 40 = 23 · 5 e −12 = −(22 · 3). Mas não aceitamos as decomposições 40 =

(−23) · (−5) e −12 = 22 · (−3).

1.20 Corolário. Sejam a, b ∈ Z e p um número primo. Se p for um fator de ab, então p é um fator de a ou p é

um fator de b.

Prova: Já sabemos que m | n se, e somente se, m | (−n); portanto é suficiente mostrar esse resultado

para a eb números naturais.

Se p não fosse um fator de a nem de b, então as fatorações de a e b em produtos de primos levaria a uma

fatoração de ab não contendo p. Por outro lado como, por hipótese, p é um fator de ab, existiria um q ∈ N tal

que pq = ab. Então, o produto de p por uma fatoração de q daria uma fatoração de ab em primos contendo

p, contrariando a unicidade da decomposição de ab em primos. 2


EP 1.11. Encontre todos os pares de primos p e q tais que p − q = 3.


EP 1.12. Mostre que 7 é o único número primo da forma n3 − 1.

EP 1.13. Mostre que o único número primo n tal que 3n + 1 é um quadrado é 5.

EP 1.14. Verifique entre os números 239, 241, 247, 253 e 1789 quais são primos.

EP 1.15. Uma das afirmativas abaixo sobre números naturais é FALSA . Qual é ela?

(a) Dado um número primo, existe sempre um número primo maior do que ele.

(b) Se dois números não primos são primos entre si, um deles é ímpar.

(c) Um número primo é sempre ímpar.

(d) O produto de três números naturais consecutivos é múltiplo de 6.

(e) A soma de três números naturais consecutivos é múltiplo de três.

1.5 MMC e MDC

1.5.1 Máximo Divisor Comum

Considere a e b números inteiros positivos. Queremos saber se existe um número c > 1 que divide simul-

taneamente a e b, isto é, que seja um divisor comum de a e b. Por exemplo, se a = 12 e b = 8, temos c = 4

ou c = 2. No entanto, se a = 7 e b = 5, não existe tal número c .

Chamaremos de máximo divisor comum de dois inteiros positivos a e b ao maior dos divisores comuns

de a e b. Nos exemplos antes considerados, temos então que 4 é o máximo divisor comum dos números 12

e 8, enquanto 1 é o máximo divisor comum dos números 7 e 5. Assim, podemos generalizar para os números

inteiros a seguinte definição:

1.21 Definição. defmdc Dados dois inteiros a e b, não simultaneamente nulos, dizemos que um inteiro d é o

máximo divisor comum de a e b, se d satisfaz:

(i) d | a e d | b;

(ii) se c ∈ Z for tal que c | a e c | b, então c ≤ d .

Se d for máximo divisor comum de a e b, escrevemos d = mdc(a, b) ou simplesmente d = (a, b), quando

não houver dúvidas quanto à notação.

1.22 Definição. Dizemos que dois números inteiros são primos entre si, se o máximo divisor comum entre

eles for igual a 1.

Nota 7. O leitor deve observar que, na definição de máximo divisor comum, exigimos a e b não simul-

taneamente nulos porque, caso contrário, qualquer inteiro c seria um divisor de a e b, o que tornaria

impossível tomar o maior desses números.

1.23 Proposição. Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos. Então:


(i) mdc(a, b) > 0;

(ii) se a 6= 0 e b 6= 0, então mdc(a, b) ≤ min {|a|, |b|};

(iii) é único o mdc(a, b);

(iv) mdc(a, b) = mdc(b, a);

(v) mdc(a, b) = mdc(|a|, |b|);

(vi) se a 6= 0, mdc(a, 0) = |a|.

Em um dos exercícios propostos desta seção convidamos o leitor a demonstrar os resultados acima.

O máximo divisor comum de a e b sempre existe, pois o conjunto de divisores positivos de a e b é não-vazio,

uma vez que 1 divide tanto a quanto b e limitado superiormente, pelo item (ii) da proposição 1.23. Dessa forma,

tal conjunto possui um maior elemento.

ER 7. Obter o máximo divisor comum de 24 e −18.

Solução: Como D−18 = {±18,±9,±6,±3,±2,±1} e D24 = {±24,±12,±8,±4,±3,±2,±1} são, respecti-

vamente, os conjuntos dos divisores de −18 e 24, então o conjunto dos divisores comuns de 24 e −18 é:

D−18 ∩ D24 = {±6,±4,±3,±2,±1} .

Assim, mdc(−18, 24) = 6.

Este processo para se encontrar o mdc se torna bastante trabalhoso, caso os números a e b sejam muito

grandes. Euclides descreveu um método mais prático conhecido atualmente como o “Algoritmo de Euclides” o

qual estudaremos a seguir.

É fácil ver que se a e b forem inteiros positivos e b | a, então mdc(a, b) = b.

O Algoritmo de Euclides usa, basicamente, o resultado do Lema da Divisão Euclidiana, já estudado por nós.

ER 8. Calcule o mdc(15, 4).

Solução: Fazendo as divisões sucessivas de 15 por 4 teremos

15 = 3 · 4 + 3

4 = 1 · 3 + 1

3 = 3 · 1 + 0

ou, como escrevemos desde o ensino fundamental:

3 1 3 ← quocientes

15 4 3 1

3 1 0 ← restos

Assim, mdc(a, b) = 1, que é o ultimo resto não-nulo obtido nas divisões sucessivas.

1.24 Lema. Se b for não-nulo e a = qb + r , então mdc(a, b) = mdc(b, r).


Prova: Seja d o máximo divisor comum de a e b.

Como r = a− qb(por hipótese) e d divide tanto a quanto b, concluímos que d | r e, portanto, d | b e d | r .

Por outro lado, se u for um inteiro tal que u | b e u | r , então u | a (pois a = qb + r ). Portanto, como d é

o máximo divisor comum de a e b concluímos que u ≤ d , ou seja, d satisfaz a definição do máximo divisor

comum de b e r , como queríamos demonstrar.

Agora fica mais fácil entender o algoritmo de Euclides. Sejam a e b inteiros positivos e b ≤ a. Dividindo a

por b obtemos

a = q1b + r1, com 0 ≤ r1 < b ≤ a

e, pelo lema, mdc(a, b) = mdc(b, r1). Se r1 = 0, então mdc(a, b) = mdc(b, 0) = b.

Caso contrário, podemos dividir b por r1, obtendo

b = q2r1 + r2, com 0 ≤ r2 < r1 < b ≤ a

e mdc(b, r1) = mdc(r1, r2). Se r2 = 0, então mdc(a, b) = mdc(b, r1) = mdc(r1, 0) = r1.

Se r2 6= 0, e obtendo r3 6= 0, . . . , rn 6= 0, podemos escrever

a = q1b + r1, 0 < r1 < b

b = q2r1 + r2, 0 < r2 < r1

r1 = q3r2 + r3, 0 < r2 < r1...

rn−2 = qnrn−1 + rn, 0 < rn < rn−1rn−1 = qn+1rn

e então, por aplicação sucessiva do lema,

mdc(a, b) = mdc(b, r1) = mdc(r1, r2) = . . . = mdc(rn−1, rn) = mdcmdc(rn, 0) = rn.

Observe que, com certeza, obteremos um resto nulo em algum momento desse processo, já que é decres-

cente a seqüência,

b > r1 > r2 > r3 > . . . > 0

e entre 0 e b só existe um número finito de números naturais. 2

Para formalizar a demonstração do processo descrito anteriormente, usaremos o Princípio da indução.

1.25 Teorema. (Máximo Divisor Comum - Algoritmo de Euclides) Sejam a e b dois números naturais não-nulos,

com a ≥ b. Dividindo sucessivamente segundo o algoritmo de Euclides, obtemos:

a = q1b + r1, 0 < r1 < b

b = q2r1 + r2, 0 < r2 < r1

r1 = q3r2 + r3, 0 < r3 < r2...

rn−2 = qnrn−1 + rn, 0 < rn < rn−1

rn−1 = qn+1rn.

Temos, então, que o máximo divisor comum de a e b é rn, o último resto não-nulo obtido nesse algoritmo.

No caso de r1 = 0, então mdc(a, b) = b.


Prova: Sabemos que, se a = q0b, então mdc(a, b) = b. Provaremos o caso geral, fazendo indução sobre

a quantidade de passos do algoritmo de Euclides. Sendo assim, consideremos a seguinte afirmação: se, ao

aplicamos o algoritmo de Euclides a dois números, obtivermos o primeiro resto nulo após n +1 passos, então

mdc(a, b) é igual ao último resto não-nulo obtido neste algoritmo, isto é, o resto rn obtido no passo n.

Observe que o número de passos é contado pelo índice do quociente qj . Dessa forma, no algoritmo

apresentado no enunciado do teorema, foram necessários n + 1 passos para se obter o primeiro resto nulo; o

resto rn é o máximo divisor comum procurado.

Se n = 1 (isto é, se o primeiro resto nulo ocorrer no segundo passo), o Lema 1.24 garante a veracidade

da afirmação, pois,

mdc(a, b) = mdc(b, r1) = mdc(r1, 0) = r1.

Suponhamos, agora, que a afirmação seja verdadeira toda vez que (n + 1) passos forem necessários

para se obter o primeiro resto nulo. Consideremos agora que o primeiro resto nulo na aplicação do algoritmo

de Euclides aos números a e b ocorra após (n + 2) passos, isto é,

a = q1b + r1, 0 < r1 < b

b = q2r1 + r2, 0 < r2 < r1

r1 = q3r2 + r3, 0 < r3 < r2...

rn−2 = qnrn−1 + rn, 0 < rn < rn−1

rn−1 = qn+1rn + rn+1, 0 < rn+1 < rn

rn = qn+2rn+1.

Queremos provar que mdc(a, b) = rn+1.

De fato, temos que o algoritmo de Euclides, aplicado aos números b e r1, produziu o primeiro resto

nulo após (n + 1) passos e pela hipótese de indução, mdc(r1, b) = rn+1. Mas, pelo Lema 1.24, temos que

mdc(a, b) = mdc(b, r1), o que completa a prova. 2

Nota 8. Como, pela proposição 1.23, mdc(a, b) = mdc(|a|, |b|), podemos também utilizar o algoritmo

dado para calcular o máximo divisor comum de inteiros negativos.

ER 9. Calcule o mdc(726,−275).

Solução: Como o mdc(726,−275) é igual ao mdc(726, 275), podemos aplicar o algoritmo de Euclides a

mdc(726, 275):

726 = 2 · 275 + 176

275 = 1 · 176 + 99

176 = 1 · 99 + 77

99 = 1 · 77 + 22

77 = 3 · 22 + 11

22 = 2 · 11,


ou seja,

2 1 1 1 3 2

726 275 176 99 77 22 11

176 99 77 22 11 0

e, portanto, mdc(726,−275) = 11.

Dizemos que um número c é combinação linear nos inteiros dos números a e b, se existem inteiros x , y tais

que c = xa+yb. É interessante notar, então, que o máximo divisor comum de 726 e −275 é combinação desses

números:

11 = 77− 3 · 22

= 77− 3(99− 1 · 77) = 4 · 77− 3 · 99

= 4(176− 1 · 99)− 3 · 99 = 4 · 176− 7 · 99

= 4 · 176− 7(275− 1 · 176) = 11 · 176− 7 · 275

= 11(726− 2 · 275)− 7 · 275 = 11 · 726 + 29(−275).

A próxima proposição mostra que o que foi feito com 726 e −275 pode ser feito com quaisquer inteiros a e

b; para isso, basta percorrer o algoritmo de Euclides no sentido contrário.

1.26 Proposição. Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos. Então existem inteiros x e y tais que

mdc(a, b) = xa + yb.

Prova: No caso de um deles ser nulo, por exemplo b, temos que

mdc(a, b) = mdc(a, 0) = |a| = (±1)a + y0

para qualquer inteiro y e x = ±1, dependendo de a ser positivo ou negativo.

Se ambos são não-nulos basta provar o resultado para inteiros positivos. De fato, se mdc(|a|, |b|) =

x |a|+ y |b| para certos números x e y , então mdc(a, b) = mdc(|a|, |b|) = (±)ax + (±)by .

Sejam, então, a e b dois números inteiros positivos. Se b | a, então mdc(a, b) = b = a · 0 + b · 1. Se

b ∤ a, então mdc(a, b) pode ser calculado pelo algoritmo de Euclides e a demonstração será feita por indução

no número de passos do algoritmo. Para isso, suponhamos que, ao aplicarmos o algoritmo de Euclides aos

números inteiros positivos a e b, obtenhamos o primeiro resto nulo após (n+1) passos e que, nessa situação,

existam inteiros x e y tal que rn = xa + yb (lembre-se que rn = mdc(a, b)).

A afirmação é verdadeira se dois passos são necessários ( observe que o caso em que apenas um passo

é necessário já foi considerado), pois, se r2 = 0, então,

a = q1b + r1, 0 < r1 < b

b = q2r1,

ou seja,

r1 = a − q1b = 1a + (−q1)b.

Suponhamos que a afirmava seja verdadeira toda vez que (n+1) passos forem necessários para se obter

o primeiro resto nulo. Consideraremos inteiros a e b tais que, aplicando-se o algoritmo de Euclides a eles,


obtemos o primeiro resto nulo após (n + 2) passos:

a = q1b + r1, 0 < r1 < b

b = q2r1 + r2, 0 < r2 < r1

r1 = q3r2 + r3, 0 < r3 < r2...

rn−2 = qnrn−1 + rn, 0 < rn < rn−1

rn−1 = qn+1rn + rn+1, 0 < rn+1 < rn

rn = qn+2rn+1.

Logo, aplicando-se o algoritmo de Euclides a b e r1, obtemos o primeiro resto nulo após (n + 1) passos.

Portanto, pela hipótese de indução, existem inteiros w e x tais que,

rn+1 = mdc(b, r1) = wb + xr1.

Mas, como a = q1b + r1, temos que r1 = a− q1b; portanto,

rn+1 = wb + x(a − q1b)x = xa + (w − q1x)b,

que é o resultado desejado com y = w − q1x . 2

Nota 9. Percebamos, no entanto, que os inteiros x e y dados pela Proposição 1.26 não são únicos.

Podemos observar, por exemplo, que vale 2 = mdc(6, 4). Mas

1 · 6 + (−1)4 = 2 e 3 · 6 + (−4)4 = 2.

Em geral, também não vale a recíproca da Proposição 1.26, pois,

2 · 6 + (−2)4 = 4 e mdc(6, 4) 6= 4.

Entretanto, se existirem inteiros x e y tais que xa + yb = 1, então mdc(a, b) = 1 (veja o exercício proposto

1.17). Esse é o único caso em que a recíproca da Proposição 1.26 é verdadeira.

ER 10. Mostre que, se p for primo e p ∤ a, então mdc(a, p) = 1.

Solução: Seja d = mdc(a, p). Então d | a e d | p. Como p é primo temos que d = 1 ou d = p. Se for

d = p, teríamos que p | a o que contraria a hipótese. Logo d = 1.

A partir do resultado acima e da proposição 1.26 podemos dar uma outra demonstração do corolário 1.20

1.27 Corolário. Seja p um número primo. Se p | ab e p ∤ a, então p | b.

Prova: Como mdc(a, p) = 1, existem inteiros x e y tais que xa + yp = 1. Multiplicando-se essa igualdade

por b obtemos:

xab + ypb = b.

Como p | ab e p | ypb, concluímos pela proposição 1.10 item (v) que p | b. 2

Apresentamos, a seguir, uma caracterização do máximo divisor comum, que corresponde a uma definição

equivalente à dada no início desta seção.


1.28 Proposição. Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos. O inteiro d é o máximo divisor comum de

a e b se, e somente se, d satisfizer as seguintes propriedades:

(i) d > 0;

(ii) d | a e d | b;

(iii) Se c ∈ Z for tal que c | a e c | b, então c | d .

Prova: Se d = mdc(a, b), então é claro que d satisfaz as propriedades (i) e (ii). Para mostrar (iii),

considere um inteiro c tal que c | a e c | b. Logo, existem inteiros a1 e b1 tais que a = a1c e b = b1c . De acordo

com a Proposição 1.26, existem inteiros x e y tais que,

d = xa + yb.

Então,

d = xa1c + yb1c = c(xa1 + yb1),

ou seja, c | d . Isso mostra que mdc(a, b) satisfaz as propriedades (i)-(iii).

Devemos agora provar que, se d for um inteiro satisfazendo (i)-(iii), então d satisfaz a definição 1.28, isto

é, é o máximo divisor comum de a e b. Para isso, falta apenas mostrar que, se c for um inteiro tal qual c | a e

c | b, então c ≤ d . Mas, uma vez que (iii) se verifica, existe um inteiro c1 tal que, d = cc1 = |c ||c1| (pois d > 0),

ou seja, c ≤ |c | ≤ d , como queríamos provar. 2

Essa definição equivalente será bastante usada para a demonstração de diversas propriedades do máximo

divisor comum de dois números inteiros que se seguirão.

1.29 Proposição. Sejam a, b e c inteiros não-nulos. Então vale:

(i) se c | ab e mdc(b, c) = 1, então c | a;

(ii) se mdc(a, c) = mdc(b, c) = 1, então mdc(ab, c) = 1;

(iii) se mdc(a, b) = d , então mdc

�a

d,b

d

�= 1;

(iv) se a | c e b | c , entãoab

mdc(a, b)| c ;

(v) se a | c , b | c e mdc(a, b) = 1, então ab | c .

Prova: (i) A demonstração é praticamente uma repetição da prova do corolário 1.27. De fato, existem

x , y inteiros tais que xb + yc = 1. Multiplicando-se essa igualdade por a teremos xba + yca = a. Logo c | a,

uma vez que c | ab e c | yca.

Consideremos a afirmativa (ii). Seja d = mdc(ab, c). Como mdc(a, c) = 1, existem inteiros x e y tais que

xa + yc = 1 e, portanto, xab + ycb = b.

Como d | ab e d | c , temos que d | b; portanto, d | b e d | c , o que implica que d | mdc(b, c) = 1 (item iii

da proposição 1.28). Como d > 0, concluímos que d = 1.

Para o item (iii), considere d = mdc(a, b). Logo, existem inteiros a1 e b1 tais que a = a1d e b = b1d . Por

outro lado, também existem inteiros x e y tais que, d = xa + yb. Assim, d = xa1d + yb1d . Dividindo essa


igualdade por d , obtemos 1 = xa1 + yb1, ou seja 1 = xa

d+ y

b

d.

De acordo com a observação 9, podemos concluir que

1 = mdc

�a

d,b

d

�,

verificando, assim, o item (iii). 2

Deixamos os ítens (iv) e (v) a cargo do leitor.

É conhecido de todos nós, desde o ensino básico, que o máximo divisor comum de dois inteiros positivos

a e b é o número obtido ao se tomar o produto de todos os fatores primos comuns de a e b, cada um desses

fatores sendo escolhido com o menor dos expoentes que aparece nas fatorações de a e b. Demonstraremos

agora esse resultado.

1.30 Proposição. Sejam a e b inteiros positivos não simultaneamente nulos, com decomposições em fatores

primos dadas por

a = pm1

1 . . . pmss qk1

1 . . . qktt ,

b = pn1

1 . . . pnss r l1

1 . . . rluu ,

em que os primos pi , qj , rk são todos distintos (i ∈ {1, . . . , s} , j ∈ {1, . . . , t} e k ∈ {1, . . . , u}) e todos os

expoentes são positivos. Então,

mdc(a, b) = px11 . . . pxs

s ,

em que xi = min {mi , ni}, para i = 1, . . . , s.

Prova: Seja

d = px1

1 . . . pxss .

Vamos mostrar que d satisfaz as condições da Proposição 1.28. Claramente d > 0. Como xi ≤ mi e xi ≤ ni

(para i = 1, . . . , s), temos que

a = a1d , em que a1 = pm1−x1

1 . . . pms−xss qk1

1 . . . qutt e b = b1d , em que b1 = pn1−x1

1 . . . pns−xss r l1

1 . . . rluu .

mostrando que d | a e d | b.

Se c | a e c | b temos, pelo Teorema Fundamental da Aritmética, que c pode ser escrito como

c = pe1

1 . . . pess

em que 0 ≤ ei ≤ min {mi , ni}, para i = 1, . . . , s.

Como ei ≤ xi (para i = 1, . . . , s), temos que

d = px1

1 . . . pxss = (pe1

1 . . . pess )(px1−e1

1 . . . pxs−ess = cpx1−e1

1 . . . pxs−ess ),

ou seja, c | d , o que conclui a demonstração. 2

1.5.2 Mínimo Múltiplo Comum

Veremos nesse tópico que se a e b forem inteiros não nulos, podemos considerar os múltiplos comuns

deles: ±ab,±2ab,±3ab, . . .O menor inteiro positivo que seja múltiplo tanto de a quanto de b (o qual existe, pelo

Principio da Boa Ordenação) é chamado mínimo múltiplo comum de a e b:


1.31 Definição. Sejam a e b inteiros não-nulos. Um inteiro m é mínimo múltiplo comum de a e b, se m satisfizer

as seguintes propriedades:

(i) m > 0;

(ii) a | m e b | m;

(iii) se c ∈ Z for tal que a | c , b | c e c > 0, então m ≤ c .

Se m for múltiplo comum de a e b, escrevemos m = mmc(a, b) ou simplesmente m = [a, b], quando não

houver dúvidas quanto à notação.

ER 11. Prove que se a = −6 e b = 15, então mmc(−6, 15) = 30.

Solução: De fato, o conjunto dos múltiplos de −6 é M−6 = {0,±6,±12,±18,±24,±30, . . .} e o dos

múltiplos de 15 é M15 = {0,±15,±30,±45,±60, . . .}. Portanto,

M−6 ∩M15 = {0,±30,±60, . . .} ,

e portanto mmc(−6, 15) = 30.

1.32 Proposição. Sejam a e b inteiros não nulos. Então valem as seguintes propriedades:

(i) mmc(a, b) ≥ max {|a|, |b|};

(ii) é único o mmc(a, b);

(iii) mmc(a, b) = mmc(b, a);

(iv) mmc(a, b) = mmc(|a|, |b|).

As demonstrações dessas propriedades também farão parte dos exercícios propostos para o leitor ( ver

exercício proposto 1.19).

Daremos, agora, uma definição equivalente de mínimo múltiplo comum substituindo a terceira propriedade

de sua definição por outra envolvendo divisibilidade.

1.33 Proposição. Sejam a e b inteiros não-nulos. Um inteiro m é mínimo múltiplo comum de a e b, se, e

somente se, satisfaz:

(i) m > 0;

(ii) a | m e b | m;

(iii) se c ∈ Z for tal que a | c e b | c , então m ÷ c .

Prova: Se m = mmc(a, b), precisamos mostrar apenas que m satisfaz a condição (iii) acima.

Considere c um inteiro qualquer tal que a | c e b | c . Pelo Lema de Euclides, temos que

c = qm + r , com 0 ≤ r < m.


Logo, r = c − qm. Uma vez que c e m são múltiplos de a e b, temos que r é múltiplo tanto de a quanto de b.

Mas, pela definição de mínimo múltiplo comum temos, se r > 0, que m ≤ r , o que é absurdo. Dessa forma,

concluímos que r = 0, ou seja, m | c .

Supondo agora m satisfazendo (i) -(iii). Queremos mostrar que m = mmc(a, b). Afirmamos que se c for

um inteiro tal que c > 0, a | c e b | c , então m ≤ c . De fato„ pela condição (iii), temos que m | c , ou seja,

c = qm para algum q ∈ Z. Como m > 0 e c > 0, então q > 0, isto é, q ≥ 1. Consequentemente, c = qm gem

provando assim a proposição.

Veremos agora um resultado muito conhecido de todos nós desde o ensino médio. Esse resultado diz

que que o mínimo múltiplo comum de dois números inteiros positivos a e b é o número obtido ao se tomar

o produto de todos os fatores primos comuns de a e b, cada um desses fatores sendo tomado com o maior

dos expoentes que aparece nas decomposições de a e b. Na verdade, aprendíamos também que devemos

tomar os fatores não comuns com maiores expoentes. No nosso caso, iremos considerar as decomposições

de a e b com exatamente os mesmos fatores primos, permitindo assim a existência de expoentes nulos. Por

exemplo, 20 = 22 · 30 · 5 e 15 = 20 · 3 · 5. 2

1.34 Proposição. Sejam a e b inteiros positivos, com decomposições em fatores primos como descritas

anteriormente, ou seja,

a = pr11 pr2

2 . . . prkk e b = ps1

1 ps2

2 . . . psk

k ,

em que cada fator pi é um número primo distinto, r1 ≥ 0 e si ≥ 0 ( para i = 1, . . . , k). Então

mmc(a, b) = pt11 pt2

2 . . . ptkk ,

em que ti = max {ri , si}.

Prova: Seja m = mmc(a, b). Como m é múltiplo de a, todos os fatores primos p1, . . . , pk aparecem na

fatoração de m, com expoentes maiores ou iguais a r1, . . . , rk , respectivamente. De forma análoga, como m

também é múltiplo de b, os expoentes de p1, . . . , pk na fatoração de m são maiores ou iguais a s1, . . . , sk ,

respectivamente. Mais geralmente, qualquer múltiplo comum c de a e b é da forma c = q(pt11 pt2

2 . . . ptkk , em

que q é um inteiro e ti ≥ max {ri , si}.Além disso, todo inteiro dessa forma é múltiplo comum de a e b, pois podemos escrevê-lo como

c = aq�pt1−r1

1 . . . ptk−rkk

�e c = bq

�pt1−s1

1 . . . ptk−sk

k

�,

em que os expoentes ti − ri e ti − si ≥ 0 são não negativos, para todo i = 1, . . . , k . Assim, o menor múltiplo

comum positivo de a e b é obtido quando temos q = 1 e ti = max {ri , si} para i = 1, . . . , k . 2

A próxima proposição é muito importante por relacionar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum

de dois inteiros não nulos.

1.35 Proposição. Se a e b forem inteiros não-nulos, então

mmc(a, b) =|ab|

mdc(a, b).

Prova: Se d = mdc(a, b), certamente|ab|d

é um inteiro; como a 6= 0, b 6= 0 e d > 0, temos que|ab|d

> 0.


Além disso, como d é divisor de a e b, existem inteiros a1 e b1 tais que a = a1d e b = b1d . Logo

|ab|d

= |a1||b1|d = ±a|b1| = ±|a1|b,

mostrando que|ab|d

é múltiplo de a e b. Mas, se c for um múltiplo de a e b, a Proposição 1.29 garante que

ab

d| c , donde

|ab|d| c . Portanto, pela Proposição 2.15, temos que

|ab|d

= mmc(a, b). 2


EP 1.16. Provar a proposição 1.23.

EP 1.17. Mostre que, se existem inteiros x e y tais que ax + by = 1, então mdc(a, b) = 1.

EP 1.18. Provar os itens (iv) e (v) da proposição 1.29.

EP 1.19. Provar a proposição 1.32.

EP 1.20. Mostre que dois inteiros consecutivos são sempre primos entre si.

EP 1.21. Usando o algoritmo de Euclides, calcule, para os pares a e b dados o d = mdc(a, b). Além disso,

escreva d = ax + by e calcule o mmc(a, b).

(a) a = 232 e b = 136;

(b) a = −25 e b = 5.

EP 1.22. Uma fábrica produz dados com três tamanhos: pequeno, médio e grande, com 6, 7 e 8 cm de

aresta, respectivamente. O fabricante deseja remeter a sua produção em caixas cúbicas do mesmo tamanho,

de forma que os dados fiquem bem ajustados na caixa que ela contenha um mesmo tipo de dado. Determine

o menor tamanho possível para cada caixa.

Congruências

1.6 Introdução

É impossível avançar no estudo dos números inteiros sem introduzir a teoria de congruências. O desen-

volvimento desta parte da Álgebra está intimamente relacionado ao nome do grande matemático alemão Carl

Friedrich Gauss (1777 - 1855). Sua contribuição à teoria dos números foi essencial, e seu trabalho mais im-

portante sobre o assunto é o livro Disquisitiones arithmeticae, publicado em 1801. Em seu primeiro capítulo,

Gauss desenvolve a álgebra das congruências e apresenta algumas aplicações, como a “prova dos nove fora”.

A introdução de congruência torna natural a criação de um novo “sistema” numérico, no qual são definidas

operações de adição e multiplicação: os conjuntos da forma Zm. Nesse conjunto, utilizando resultados devidos

a Fermat e Euler, somos capazes de obter resultados surpreendentes: sem efetuar as operações envolvidas,

podemos facilmente obter o resto da divisão de um número extraordinariamente grande por outro número -

como em 71010 dividido por 23, por exemplo.


1.7 Definição e Propriedades

A partir de agora, teremos particular interesse nos números inteiros com relação aos restos que eles deixam

ao serem divididos por um outro inteiro. Essa teoria se aplica principalmente quando consideramos fenômenos

periódicos. Vejamos alguns exemplos destes fenômenos:

Exemplo 1.10. Queremos determinar o horário que chegaremos a um certo destino, sabendo que essa

viagem dura, com paradas e pernoites, 73 horas e que o horário da partida é às 17 horas. Para isso, basta

obter o resto da divisão de 73 + 17 = 90 por 24, já que o dia tem 24 horas:

90 = 24 · 3 + 18.

Assim, o horário de chegada será às 18 horas.

Exemplo 1.11. Comprei um carro e vou pagá-lo em 107 prestações mensais. Se estamos em março, em

qual mês terminarei de pagá-lo? Aqui a repetição se dá de 12 em 12 meses. Considerando a numeração usual

dos meses, temos que março corresponde a 3. Somando 3 a 107, obtemos 110, que corresponde a fevereiro,

pois 110 = 9 · 12 + 2.

No exemplo 1.10, gostaríamos de identificar os inteiros que deixam o mesmo resto quando divididos por

24. Assim, se agora são 5 horas, daqui a 24 horas serão novamente 5 horas. Gostaríamos, então de identificar

5 com 29, números que deixam o mesmo resto quando divididos por 24. Teríamos, nesse caso, 24 tipos de

inteiros: os que deixam resto 0, 1, 2, . . . , 22 e 23 quando divididos por 24.

No Exemplo 1.11, gostaríamos de identificar os inteiros que deixam o mesmo resto quando divididos por 12.

De fato, se estamos no mês 3 (março), daqui a 12 meses estaremos novamente em março. Assim, gostaríamos

de identificar 3 com 3 + 12 = 15. Note que esses números deixam resto 3 quando divididos por 12. Nesse

exemplo, temos 12 tipos de inteiros: os que deixam resto 0, 1, . . . e 11 quando divididos por 12.

A noção de congruência nos permite fazer tais identificações como veremos a seguir.

1.36 Proposição. Os inteiros a e b deixam o mesmo resto quando divididos pelo inteiro m 6= 0 se, e somente

se, m divide (a − b).

Prova: Se a e b deixarem o mesmo resto r quando divididos por m, então

a = qm + r e b = tm + r , em que 0 ≤ r < |m|

Para certos inteiros q e t. Logo a − b = (q − t)m, ou seja, m | (a − b). Reciprocamente, se m | (a− b), existe

k ∈ Z tal que a = b + km.

Por outro lado, o Lema da Divisão de Euclides garante que existem inteiros q e r tais que a = qm+ r , com

0 ≤ r < |m|. Logo, b + km = qm + r e, portanto, b = (q − k)m + r , com 0 ≤ r < |m|.A unicidade do resto no Lema da Divisão de Euclides garante que r é o resto da divisão de b por m. 2

1.37 Definição. Seja m um inteiro fixo ou não-nulo. Dizemos que os inteiros a e b são congruentes módulo

m, se m dividir a diferença a− b. Nesse caso, escrevemos.

a ≡ b(modm).

Dados a, b ∈ Z e 0 6= m ∈ Z, para verificar que a ≡ b(modm), de acordo com a proposição 1.36, temos

duas possibilidades: mostrar diretamente que m | (a− b),isto é, exibir um inteiro k tal que a− b = km, ou então

mostrar que a e b deixam o mesmo resto quando divididos por m.


Exemplo 1.12. Temos que 11 ≡ 3(mod 2) pois 2 | (11 − 3). Também 90 ≡ 18(mod 24), pois 90 = 3 · 24 + 18 e

3111 ≡ 3813(mod9), pois 3111 e 3813 deixam resto 6 quando divididos por 9. Finalmente, −2 ≡ 2(mod 4), pois

4 | (−2− 2).

1.38 Proposição. Sejam m um inteiro não-nulo e a, b e c inteiros quaisquer. Então a congruência módulo m

satisfaz:

(i) a ≡ a(modm) (propriedade reflexiva);

(ii) Se a ≡ b(modm), então b ≡ a(modm) (propriedade simétrica);

(iii) Se a ≡ b(mod m) e b ≡ c(modm), então a ≡ c(mod m) (propriedade transitiva).

Prova:

(i) a ≡ a(modm), pois m | (a − a).

(ii) a ≡ b(mod m)⇒ m | (a− b)⇒ m | (−(a− b))⇔ m | (b − a)⇒ b ≡ a(modm).

(iii) Se a ≡ b(modm) e b ≡ c(mod m), então existem inteiros k1 e k2 tais que a − b = k1m e b − c = k2m.

Somando-se, membro a membro, estas últimas equações, obtemos a − c = (k1 + k2)m o que implica a ≡c(mod m). 2

Uma relação entre pares de elementos que satisfaz as três propriedades acima (reflexiva, simétrica e tran-

sitiva) é chamada uma relação de equivalência. Dessa forma a proposição anterior mostra que a congruência

módulo m é uma relação de equivalência.

A proposição seguinte mostra resultados imediatos, cujas demonstrações são deixadas a cargo do leitor.

1.39 Proposição. Sejam a, b inteiros quaisquer e m um inteiro não-nulo. Então:

(i) a ≡ b(mod 1);

(ii) a ≡ 0(mod m) se, e somente se, m | a;

(iii) a ≡ b(modm) se, e somente se, a ≡ b(mod−m).

Como conseqüência do item (iii) da proposição anterior, na congruência módulo m podemos supor sempre

que m > 0. Isso é o que faremos a partir de agora. Isso quer dizer que podemos identificar um inteiro qualquer

a com o seu resto na divisão por m como mostra a próxima proposição.

1.40 Proposição. Todo inteiro a é congruente módulo m a exatamente um dos valores:

0, 1, 2, 3, . . . , m− 1.

Prova: Se a for um inteiro qualquer e m > 0, então, pelo Lema da Divisão de Euclides, existem inteiros q

e r tais que

a = qm + r , com 0 ≤ r < m − 1.

Como q e r são univocamente determinados, temos o resultado. 2

Exemplo 1.13. Se a for um inteiro qualquer e m = 2, temos apenas duas possibilidades: se a for par,

a ≡ 0(mod 2); se a for ímpar, a ≡ 1(mod 2).


Veremos, a seguir, que propriedades válidas para a igualdade de números inteiros são também verdadeiras

para a congruência módulo m:

1.41 Proposição. Seja m um inteiro positivo fixo. Então:

(i) se a ≡ b(modm) e a′ ≡ b′(mod m), então

(a + a′) ≡ (b + b′)(mod m) e aa′ ≡ bb′(modm);

(ii) se a ≡ b(modm), então, para qualquer inteiro k , temos que

(a + k) ≡ (b + k)(mod m) e ak ≡ bk(modm);

(iii) se a ≡ b(mod m) e k > 0, então

ak ≡ bk(modmk).

Prova: Mostraremos apenas a segunda parte do item (i). Num dos exercícios propostos dessa seção, o

leitor é convidado a concluir a prova. Se a ≡ b mod m) e a′ ≡ b′(mod m), então existem inteiros k e t tais que

a = b + km e a′ = b′ + tm. Assim, multiplicando-se membro a membro as duas últimas equações, teremos

aa′ = bb′ + btm + b′km + ktm2 ⇒ aa′ − bb′ = m(bt + b′k + ktm),

ou seja,

aa′ ≡ bb′(mod m).

2

ER 12. Mostre que Nenhum número da forma 8n + 7 pode ser escrito como a soma dos quadrados de três

inteiros. Mais precisamente, se k = 8n + 7 para certo inteiro n, então não existem inteiros a, b e c tais que

k = a2 + b2 + c2.

Solução: De fato, se k = 8n + 7, então k ≡ 7(mod 8). Por outro lado, se fosse k = a2 + b2 + c2 para

inteiros a, b e c , então teríamos,

a2 + b2 + c2 ≡ 7(mod 8).

ER 13. Que valores o quadrado de um inteiro pode assumir módulo 8?

Solução: Se m for um inteiro, então m é congruente a um único elemento rm ∈ {0, 1, . . . , 7}. Mas, então,

m2 ≡ r2m(mod 8). Verificamos, imediatamente:

rm = 0⇒ m2 ≡ 0(mod 8),

rm = 1⇒ m2 ≡ 1(mod 8),

rm = 2⇒ m2 ≡ 4(mod 8),

rm = 3⇒ m2 ≡ 1(mod 8),

rm = 4⇒ m2 ≡ 0(mod 8),

rm = 5⇒ m2 ≡ 1(mod 8),

rm = 6⇒ m2 ≡ 4(mod 8),

rm = 7⇒ m2 ≡ 1(mod 8).


Assim, não há maneira de combinar os quadrados de a2, b2 e c2 de modo a produzir um número congruente

a 7. De fato, pelo menos um desses números deve ser congruente a 4 módulo 8: se todos eles fossem

congruentes a 0 ou 1, a soma seria congruente a, no máximo, 3 módulo 8. Se for a2 ≡ 4(mod 8), então,

claramente, não podemos tomar b2 e c2 congruentes a 0 ou 1, pois a soma seria congruente a, no máximo, 6

módulo 8. Se tomarmos também b congruente a 4, a soma a2 + b2 é congruente a 0 módulo 8 e, como não

há número cujo quadrado seja congruente a 7 módulo 8, a2 + b2 + c2 não é congruente a 7 módulo 8.

Uma propriedade que é válida quando lidamos com a igualdade de números, mas que não é válida no caso

da congruência módulo m, é a lei do cancelamento: se ab ≡ ac(modm), não é necessariamente verdade que

b ≡ c(mod m). Com efeito,

3 · 4 ≡ 3 · 8(mod 12),

mas 4 não é congruente a 8 módulo 12.

No entanto, com uma hipótese adicional a lei do cancelamento pode ser utilizada em congruências.

1.42 Proposição. Se ac ≡ bc(mod m) e mdc(c , m) = 1, então a ≡ b(modm).

Prova: Se ac ≡ bc(modm), então m | (a − b)c . Como mdc(c , m) = 1, temos m | (a − b), ou seja,

a ≡ b(modm). 2

Entretanto, se mdc(c , m) 6= 1, o melhor resultado que conseguimos é o seguinte:

1.43 Corolário. Se ac ≡ bc(modm) e mdc(c , m) = d , então a ≡ b�mod

m

d

�.

Prova: De ac ≡ bc(modm) temos ac − bc = c(a − b) = km. Se dividirmos os dois membros por d ,

teremosc

d(a − b) = k

m

d. Logo, (

m

d) |� c

d(a− b)

�e, como mdc(

m

d,c

d) = 1 ( ver proposição 1.29 item iii )

temos por essa mesma proposição item (i) que (m

d) | (a− b) o que implica a ≡ b

�mod

m

d

�. 2

A seguir, apresentamos mais algumas propriedades de congruências em diferentes módulos e regras para

cancelamento.

1.44 Proposição. Sejam a e b inteiros quaisquer, e sejam m, d , r e s inteiros positivos.

(i) Se a ≡ b(mod m) e d | m, então a ≡ b(mod d);

(ii) se a ≡ b(mod r) e a ≡ b(mod s), então a ≡ b(modmmc(r , s));

(iii) se ra ≡ rb(modm), então a ≡ b

�mod

m

mdc(r , m)

�;

(iv) se ra ≡ rb(mod rm), então a ≡ b(modm).

As demonstrações ficam a cargo do leitor (ver exercícios propostos).


EP 1.23. Demonstre o restante da proposição 1.41.

EP 1.24. Prove a proposição 1.44.


EP 1.25. Mostre que, se a ≡ b(modm), então an ≡ bn(modm) para todo inteiro positivo n.

EP 1.26. Se a = (72)6 + (72)5 + 2, mostre que 7 | a.

EP 1.27. Suponha que a ≡ b(modm) e c ≡ d(modm). Mostre que ax + cy ≡ bx + dy(mod m) para quaisquer

x , y ∈ Z.

EP 1.28. Resolva as congruências:

(a) 3 ≡ 3(mod 5);

(b) 3 ≡ 1(mod 6).

EP 1.29. Encontre todos os inteiros x , com 0 ≤ x < n, satisfazendo as congruências módulo n dadas a

seguir. Se a congruência não possuir solução, justifique.

(a) n = 6 e 4x ≡ 2(mod n);

(b) n = 11 e 5x ≡ 1(mod n).

1.8 Classes de Congruência

A congruência módulo m permite a identificação de todos os números que deixam o mesmo resto quando

divididos por m. Essa identificação nos permite a criação de outros “sistemas” numéricos.

1.45 Definição. Sejam m um inteiro fixo e a um inteiro qualquer. Denotamos por [a]m a classe de congruência

de a módulo m, isto é, o conjunto formado por todos os inteiros que são congruentes a a módulo m:

[a]m = {x ∈ Z : x ≡ a(modm)} .

ER 14. Determine a classe de congruência de 3 módulo 12 e 15 módulo 12.

Solução: Seja m = 12. Se a = 3, então,

[a]12 = {x ∈ Z : x ≡ 3(mod 12)}= {x ∈ Z : 12 | (x − 3)}= {x ∈ Z : x = 12k + 3 para algum k ∈ Z}= {. . . ,−21,−9, 3, 15, . . .}

Por outro lado,

[15]12 = {x ∈ Z : x ≡ 15(mod 12)} .

Como 15 ≡ 3(mod 12), então x ≡ 15(mod12) se, e somente se, x ≡ 3(mod 12), pela propriedade transitiva

de congruência vista na Proposição 1.38. Logo,

[15]12 = {x ∈ Z : x ≡ 3(mod 12)} = [3]12.

Para mostrar alguns dos próximos resultados, precisaremos lembrar a definição de igualdade entre dois

conjuntos. Para mostrar que dois conjuntos são iguais, devemos provar que eles possuem os mesmos elemen-

tos. Assim, A = B se, e somente se, A ⊂ B (todo elemento de A é elemento de B) e B ⊂ A (todo elemento de

B é elemento de A).


1.46 Proposição. Sejam a e b inteiros quaisquer e m um inteiro positivo. Então

(i) a ∈ [a]m para qualquer m;

(ii) a ≡ b(mod m) se, e somente se, [a]m = [b]m;

(iii) [a]m = [r ]m para algum r ∈ {0, 1, 2, . . . , m − 1}.

Prova: Como a ≡ a(mod m) para qualquer m, temos que a ∈ [a]m, mostrando (i).

Mostraremos agora que, se a ≡ b(modm), então [a]m = [b]m. De fato, se x ∈ [a]m, então x ≡ a(modm).

Como a ≡ b(mod m), deduzimos que x ≡ b(modm), isto é, x ∈ [b]m, mostrando que [a]m ⊂ [b]m. Para

mostrar a igualdade entre os dois conjuntos temos que mostrar a inclusão contrária, ou seja, [b]m ⊂ [a]m.

Seja x ∈ [b]m, então x ≡ b(modm). Pela propriedade simétrica da Proposição 1.38 temos que b ≡ a(modm)

uma vez que a ≡ b(mod m). Assim, temos novamente, pela transitividade que x ≡ a(modm), ou seja, x ∈ [a]m,

mostrando que [b]m ⊂ [a]m, e portanto [a]m = [b]m.

Reciprocamente, suponhamos que [a]m = [b]m. Como a ∈ [a]m, então a ∈ [b]m, ou seja, a ≡ b(modm),

completando a prova de (ii).

Para provarmos (iii) basta lembrarmos da Proposição 1.40 a qual afirma que se a for um inteiro qualquer,

então, o lema da Divisão de Euclides garante que a = qm + r , com 0 ≤ r ≤ m − 1. Portanto, a ≡ r(mod m).

Logo, como mostrado no item (ii), temos que [a]m = [r ]m, com 0 ≤ r ≤ m − 1.

Segue-se da proposição anterior que existem exatamente m classes de congruências módulo m, a saber:

[0]m, [1]m, . . . , [m− 1]m,

já que essas classes são todas distintas. 2

Denotamos por Zm o conjunto formado por todas as classes de congruências módulo m. Assim,

Zm = {[0]m, [1]m, . . . , [m − 1]m} .

Exemplo 1.14. O conjunto Z2 possui dois elementos, a saber,

[0]2 = {b ∈ Z : b = 2k} = {. . . ,−4,−2, 0, 2, 4, . . .} ,

que são os inteiros pares, e

[1]2 = {b ∈ Z : b = 2k + 1} = {. . . ,−3,−1, 1, 3, 5, . . .} ,

que são os inteiros ímpares.

Como [0]2 = [−2]2 = [4]2 e [1]2 = [3]2 = [−5]2, podemos escrever

Z2 = {[0]2, [1]2} = {[−2]2, [3]2} = {[4]2, [−5]2} = . . .

1.47 Definição. Um elemento qualquer b de uma classe de congruência [r ]m é chamado um representante

das classes de congruência [r ]m.

Se b estiver numa classe de congruência [r ]m, então, como já vimos, [r ]m = [b]m; portanto, qualquer repre-

sentante de uma classe determina completamente essa classe e, reciprocamente, uma classe de congruência


pode ser nomeada por qualquer um de seus representantes. Geralmente utilizamos os menores representantes

não-negativos para nomear essas classes.

Introduziremos a partir de agora em Zm, operações de adição e multiplicação, que têm um comportamento

semelhante às operações usuais dos números inteiros.

Exemplo 1.15. Já vimos que Z2 = {[0]2, [1]2}, em que [0]2 é o conjunto dos números pares, e [1]2 é o conjunto

dos números ímpares. Sabemos que,

inteiro par + inteiro par = inteiro par,

inteiro ímpar + inteiro ímpar = inteiro par,

inteiro ímpar + inteiro par = inteiro ímpar.

Denotaremos a operação de adição em Z2 por⊕. Dessa forma, as igualdades anteriores podem ser escritas

como[0]2 ⊕ [0]2 = [0]2

[1]2 ⊕ [1]2 = [0]2

[1]2 ⊕ [0]2 = [1]2 .

Note que também poderíamos escrever [1]2 ⊕ [1]2 = [2]2, pois [0]2 = [2]2. Assim, as operações acima

poderiam ser escritas como

[0]2 ⊕ [0]2 = [0 + 0]2 = [0]2

[1]2 ⊕ [1]2 = [1 + 1]2 = [2]2

[1]2 ⊕ [0]2 = [1 + 0]2 = [1]2 .

Exemplo 1.16. A introdução de uma operação em Z12 aparece naturalmente quando consideramos o tempo.

Se uma pessoa, com um relógio que marca as horas de 1 a 12, é internada num hospital quando seu relógio

marca 8 horas e ali permanece por 18 horas consecutivas, então ela sai daquele hospital quando seu relógio

marca 2 horas, como podemos deduzir facilmente. Entretanto, se essa mesma pessoa tivesse ficado internada

por 546 horas, nossa resposta não seria tão imediata, mas também poderíamos concluir que seu relógio tam-

bém estaria marcando 2 horas. Queremos criar uma operação matemática que nos dê esse resultado. Temos

duas maneiras simples de fazê-lo. Podemos pensar que 546 = 45 · 12 + 6. Assim, 546 equivalem a 45 rotações

completas dos ponteiros daquele relógio mais 6 horas. Agora inferimos imediatamente que o seu relógio estará

marcando 2 horas.

A outra forma é pensarmos na adição como definida no penúltimo exemplo. Sabemos que o relógio divide

o tempo em classes de congruência módulo 12: duas horas t1 e t2 têm a mesmo leitura no relógio, se elas

diferem por um múltiplo de 12 horas. Assim, queremos definir uma operação de “adição” ⊕ de modo que

[8]12 ⊕ [546]12 = [2]12.

Isto é uma generalização do penúltimo exemplo. Ou seja,

[8]12 ⊕ [546]12 = [8 + 546]12.

Como [8 + 546]12 = [554]12 = [46 · 12 + 2]12 = [2]12, temos o resultado desejado.

A operação de adição acima pode ser estendida para Zm, definindo-se

[a]m ⊕ [b]m = [a + b]m.


Observe que a operação [a]m⊕ [b]m é uma “adição” de conjuntos, enquanto a soma a + b em [a + b]m é uma

soma entre elementos desses conjuntos.

Sabemos que cada elemento de Zm possui infinitas representações. Como a soma a + b é efetuada entre

representantes desses conjuntos, precisamos ter certeza de que o resultado obtido independe do representante

utilizado.

Exemplo 1.17. Em Z24 temos que [73]24 = [1]24. Portanto, [17]24 ⊕ [73]24 e [17]24 ⊕ [1]24 devem dar o mesmo

resultado. Com efeito, pela regra acima, temos que

[17]24 ⊕ [73]24 = [90]24

e

[17]24 ⊕ [1]24 = [18]24.

Mas,

90 = 3 · 24 + 18,

ou seja,

[90]24 = [18]24.

O exemplo anterior nos sugere que, ao somarmos duas classes de equivalência, o resultado obtido inde-

pende do representante [73]24 ou [1]24 utilizado ao se efetuar a operação. A próxima proposição generaliza

esse resultado para elementos arbitrários de Zm.

1.48 Proposição. Sejam [a]m, [a′]m, [b]m e [b′]m elementos de Zm, com [a]m = [a′]m e [b]m = [b′]m. Então

[a + b]m = [a′ + b′]m.

Prova: Se [a]m = [a′]m e [b]m = [b′]m, então a ≡ a′(mod m) e b ≡ b′(mod m), isto é m | (a′ − a) e

m | (b′−b). Portanto, m | [(a′− a)+ (b′−b)], ou seja, m | [(a′ +b′)− (a+b)]. Logo, (a+b) ≡ (a′ +b′)(mod m),

o que significa que [a + b]m = [a′ + b′]m. 2

1.49 Definição. A operação de adição em Zm é definida por

[a]m ⊕ [b]m = [a + b]m.

Exemplo 1.18. As tabelas de adição para Z2, Z3, Z4 e Z5 são:

Z2 : ⊕ [0] [1]

[0] [0] [1]

[1] [1] [0]

Z3 : ⊕ [0] [1] [2]

[0] [0] [1] [2]

[1] [1] [2] [0]

[2] [2] [0] [1]

Z4 : ⊕ [0] [1] [2] [3]

[0] [0] [1] [2] [3]

[1] [1] [2] [3] [0]

[2] [2] [3] [0] [1]

[3] [3] [0] [1] [2]

Z5 : ⊕ [0] [1] [2] [3] [4]

[0] [0] [1] [2] [3] [4]

[1] [1] [2] [3] [4] [0]

[2] [2] [3] [4] [0] [1]

[3] [3] [4] [0] [1] [2]

[4] [4] [0] [1] [2] [3]


Como as tabelas anteriores são simétricas em relação à diagonal principal, temos que a adição em Zi (i ∈{2, 3, 4, 5}) é comutativa. Na verdade, para qualquer m, a adição em Zm é comutativa. Isso é conseqüência

imediata da comutatividade da adição em Z:

[a]m ⊕ [b]m = [a + b]m = [b + a]m = [b]m ⊕ [a]m.

De maneira análoga, mostramos que a adição em Zm é associativa, isto é:

([a]m ⊕ [b]m)⊕ [c]m = [a]m ⊕ ([b]m ⊕ [c]m),

e possui elemento neutro, que é [0]m, pois

[a]m ⊕ [0]m = [a + 0]m = [a]m = [0 + a]m = [0]m ⊕ [a]m.

As tabelas apresentadas no exemplo anterior nos mostram que, naqueles conjuntos, todos os elementos

possuem simétrico em relação à adição (o [0] aparece em todas as linhas). Observe que, em Z5,

−[3] = [2] e − [1] = [4].

Em geral o simétrico de um elemento [a]m de Zm, que será denotado por −[a]m, é dado por

−[a]m = [−a]m = [m − a]m.

De fato,

[a]m ⊕ [−a]m = [a− a]m = [0]m.

ER 15. Mostre o simétrico de um determinado elemento em Zm é único.

Solução: Suponha que existam b e b′ distintos tais que [a]m ⊕ [b]m = [0]m = [a]m ⊕ [b′]m, então

[b]m = [b]m ⊕ [0]m = [b]m ⊕ ([a]m ⊕ [b′]m) = ([b]m ⊕ [a]m)⊕ [b′]m = [0]m ⊕ [b′]m = [b′]m,

de acordo com a associatividade e comutatividade da adição em Zm.

Veremos a seguir que é possível definir uma operação de multiplicação em Zm, de modo similar à adição,

isto é, por meio da expressão [a]m ⊙ [b]m = [ab]m. Vejamos primeiro um exemplo.

Exemplo 1.19. Já vimos que os elementos de Z2 podem ser identificados com os números pares e os

números ímpares. Vale:

inteiro par · inteiro par = inteiro par,

inteiro par · inteiro ímpar = inteiro par,

inteiro ímpar · inteiro ímpar = inteiro ímpar.

Denotando a multiplicação em Z2 por ⊙, podemos escrever as igualdades anteriores como

[0]2 ⊙ [0]2 = [0]2

[0]2 ⊙ [1]2 = [0]2

[1]2 ⊙ [1]2 = [1]2 .

Do mesmo modo que antes, a operação de multiplicação em Zm,

[a]m ⊙ [b]m = [ab].

só estará bem definida, se for independente dos representantes escolhidos em cada classe de equivalência. É

o que provaremos a seguir.


1.50 Proposição. Sejam [a]m, [a′]m, [b]m, [b′]m ∈ Zm, com [a]m = [a′]m e [b]m = [b′]m. Então,

[ab]m = [a′b′]m.

Prova: Queremos mostrar que m | (a′b′ − ab), se m | (a′ − a) e m | (b′ − b). Observe que m | (a′ − a)b e

m | (b′ − b)a′. Portanto,

m | [(a′ − a)b + (b′ − b)a′].

Mas, (a′ − a)b + (b′ − b)a′ = a′b′ − ab. Logo [a′b′]m = [ab]m. 2

1.51 Definição. A operação de multiplicação em Zm é definida por

[a]m ⊙ [b]m = [ab]m.

Exemplo 1.20. As tabelas de multiplicação para Z2, Z3, Z4 e Z5 são

Z2 : ⊙ [0] [1]

[0] [0] [0]

[1] [0] [1]

Z3 : ⊙ [0] [1] [2]

[0] [0] [0] [0]

[1] [0] [1] [2]

[2] [0] [2] [1]

Z4 : ⊙ [0] [1] [2] [3]

[0] [0] [0] [0] [0]

[1] [0] [1] [2] [3]

[2] [0] [2] [0] [2]

[3] [0] [3] [2] [1]

Z5 : ⊙ [0] [1] [2] [3] [4]

[0] [0] [0] [0] [0] [0]

[1] [0] [1] [2] [3] [4]

[2] [0] [2] [4] [1] [3]

[3] [0] [3] [3] [4] [2]

[4] [0] [4] [1] [2] [1]

É fácil ver que a operação de multiplicação definida em Zm é comutativa:

[a]m ⊙ [b]m = [ab]m = [ba]m = [b]m ⊙ [a]m.

De modo análogo, verifica-se que ela é associativa:

([a]m ⊙ [b]m)⊙ [c]m = [a]m ⊙ ([b]m ⊙ [c]m)

e possui elemento neutro, [1]m:

[a]m ⊙ [1]m = [a]m.

Observando a tabela de multiplicação em Z4, dada no exemplo 1.20 vemos que o produto do elemento [2]

pelos outros elementos de Z4 ou é o próprio [2], ou é o elemento neutro [0]. Portanto, não existe elemento

[a] ∈ Z4 tal que [a]⊙ [2] = [1].

1.52 Definição. Um elemento [a]m ∈ Zm é invertível , se existe [b]m ∈ Zm tal que

[a]m ⊙ [b]m = [1]m.

Se [a]m ⊙ [b]m = [1]m, chamamos [b]m inverso de [a]m.

Exemplo 1.21. Em Z2, o elemento [1] é invertível. Em Z3, todos os elementos não-nulos são invertíveis. Em

Z4, somente os elementos [1] e [3] são invertíveis. Em Z5, todos os elementos distintos do elemento neutro são

invertíveis.


1.53 Lema. Se [a]m ∈ Zm for invertível, então seu inverso é único. Denotamos o inverso de [a]m por [a]−1m .

Prova: Suponhamos que [a]m ⊙ [b]m = [1]m e [a]m ⊙ [b′]m = [1]m. Então, uma vez que a multiplicação em

Zm é associativa e comunicativa, concluímos que

[b]m = [b]m ⊙ [1]m = [b]m ⊙ ([a]m ⊙ [b′]m) = ([b]modot[a]m)⊙ [b′]m = [b′]m.

2

Queremos agora determinar quando um determinado elemento de [a]m ∈ Zm é invertível. O próximo teorema

nos permite tal identificação.

1.54 Teorema. Um elemento [a]m ∈ Zm é invertível se, e somente se, mdc(a, m) = 1.

Prova: Temos

mdc(a, m) = 1 ⇔ ∃x , y ∈ Z : ax + my = 1⇔ [ax + my ]m = [1]m,

⇔ [ax ]m ⊕ [my ]m = [1]m ⇔ [ax ]m = [1]m,

⇔ [a]m ⊙ [x ]m = [1]m.

2

Nota 10. Se mdc(a, m) = 1 e [a]m = [a′]m, então mdc(a′, m) = 1. De fato, se mdc(a′, m) = d e [a]m = [a′]m,

então existe um inteiro k tal que a = a′ + km. Como d é um divisor de a′ e de m, d também é um divisor

de a. Logo, d divide o máximo diviso comum de a e m, isto é, d | 1. Portanto, d = 1.

Observe que o produto de dois elementos invertíveis módulo m é um elemento invertível. De fato, se [a]m e

[b]m forem elementos invertíveis, claramente

[b]−1m ⊙ [a]−1

m = [a]−1m ⊙ [b]−1

m

é o inverso de [ab]m.

ER 16. Vamos obter os inversos de todos os elementos invertíveis de Z12.

Solução: Pelo Teorema 1.54, os únicos elementos invertíveis de Z12 são [1], [5], [7] e [11. Como o

inverso de um elemento invertível é também um elemento invertível, para obter o inverso de [7]−1 basta então

testarmos os outros elementos invertíveis. Como [7]⊙ [1] = [7], [7]⊙ [5] = [35] = [−1] = [11], [7]⊙ [7] = [49] =

[1], vemos que o inverso de [7] é o próprio [7].

Procedendo da mesma maneira, verificamos que [1]−1 = [1], [5]−1 = [5] e [11]−1 = [11]. Quer dizer, cada

elemento invertível de Z12 é seu próprio inverso!

1.55 Proposição. Se p for um número primo, então todos os elementos não-nulos de Zp são invertíveis:

[1]p, . . . , [p − 1]p. Isto é imediato pelo teorema 1.54.

A introdução das operações de adição e multiplicação em Zm nos possibilita trabalhar com as classes de

equivalência desse conjunto como se elas fossem números inteiros. Mas é preciso ficar atento, pois nem todas

as regras da aritmética são validas em Zm. Por exemplo, não devemos esperar que a lei do cancelamento seja

verdadeira em Zm, já que ela não vale para a relação de congruência, como já foi visto anteriormente.


Com efeito, se [a]m ⊙ [c]m = [b]m ⊙ [c]m, em que [c]m 6= [0]m, então [ac]m = [bc]m, ou seja, m | (a − b)c

e m ∤ c . Daí não podemos concluir que m | (a − b), ou equivalentemente, que [a]m = [b]m. Como vimos na

Proporção 1.42 para essa conclusão é preciso supor que mdc(c , m) = 1, ou seja, que [c]m é invertível. Nesse

caso, multiplicando pelo inverso de [c], obtemos o seguinte teorema:

1.56 Teorema. (Lei do Cancelamento em Zm) Se [a]m ⊙ [c]m = [b]m ⊙ [c]m e [c]m for invertível, então

[a]m = [b]m.


EP 1.30. Encontre as soluções de

(a) [2142]238 ⊙ [x ]238 = [442]238;

(b) [14]77 ⊙ [x ]77 = [21]77.

EP 1.31. Determine os elementos invertíveis de Zm para m = 2, m = 5, m = 8, m = 15 e m = 21.


TEMA 02 Polinômios

Divisão de Polinômios

Apresentação

Neste tema estudaremos o conjunto de polinômios em uma variável com coeficientes reais ou complexos,

munido das operações de adição e de multiplicação. Faremos um paralelo com o conjunto dos números in-

teiros, vistos anteriormente, e obteremos resultados equivalentes ao Lema da Divisão de Euclides, ao Algoritmo

de Euclides para o cálculo do Máximo divisor comum etc. Veremos que muitos resultados demonstrados e uti-

lizados anteriormente serão bastante úteis aqui.

2.1 Corpos

Um dos resultados que vamos mostrar para o conjunto dos polinômios é bastante similar ao algoritmo da

divisão para os números inteiros. Antes de apresentá-lo, no entanto, veremos os tipos de coeficientes que estes

polinômios devem ter para satisfazer certas propriedades. Veremos, por exemplo, que estes coeficientes devem

possuir inverso multiplicado (ou recíproco). Enquanto em Z os únicos elementos que possuem recíproco são 1

e −1, em Q ou em R qualquer número não-nulo tem tal propriedade. Vejamos, então, a seguinte definição:

2.1 Definição. Seja K um conjunto cujos elementos podem ser adicionados e multiplicados. Dizemos que K

é um corpo se, para quaisquer a, b e c em K as seguintes propriedades forem satisfeitas:

(i) (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da adição);

(ii) a + b = b + a (comutatividade da adição);

(iii) existe um elemento em K, denotado por 0, tal que a + 0 = a (elemento neutro);

(iv) para cada a ∈ K, existe um único x ∈ K tal que a + x = 0. O elemento x é denotado por (−a) (simétrico

ou inverso aditivo);

(v) (ab)c = a(bc) (associatividade da multiplicação);

(vi) ab = ba (comutatividade da multiplicação);

(vii) existe um elemento em K, denotado por 1, tal que 1a = a (unidade);

(viii) a(b + c) = ab + ac (distributividade da multiplicação com relação a adição);

(ix) para cada 0 6= a ∈ K , existe um único elemento x ∈ K−{0} tal que ax = 1. O elemento x é denotado por

a−1 ou1

a(recíproco ou inverso).

Exemplo 2.1. Os conjuntos Q e R com as operações usuais de adição e multiplicação são corpos. Já os

conjuntos N e Z não o são. O leitor deverá verificar isso num dos exercícios propostos desta seção.


Veremos que vários resultados sobre polinômios terão um enunciado mais simples quando estendermos

o conjunto dos números reais ao conjunto C dos números complexos, isto é, ao conjunto dos números da

forma a + bi , com a, b ∈ R, em que i2 = −1. Faremos uma breve revisão das propriedades desses números

(historicamente, os números complexos só foram bem compreendidos e aceitos no inicio do século XIX).

Pode-se pensar em C como o conjunto dos vetores no plano, com a + bi correspondendo ao vetor que vai

da origem até o ponto de coordenadas (a, b):

(a, b)

i

Todo número real a pode ser visto como um número complexo por meio da identificação a = a + 0i . Na

verdade, se z = a + bi , dizemos que a é a parte real de z e que b é a parte imaginária de z.

Se z1 = a + bi e z2 = c + di , definimos a igualdade z1 = z2 se, e somente se, a = c e b = d . As operações

usuais de adição e multiplicação são definidas por:

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

z1z2 = (ac − bd) + (ad + bc)i .

O número complexo a − bi é chamado conjugado do número z = a + bi e denotado por z = a + bi . Temos

que, para qualquer número complexo z,

zz = (a + bi)(a− bi) = a2 + b2,

que é um número real não-negativo. O módulo do número complexo z = a + bi é definido por

|z| =√

zz =p

a2 + b2.

Exemplo 2.2. No conjunto C dos números complexos, com as operações usuais de adição e multiplicação,

o elemento neutro é 0 = 0 + 0i , a unidade é 1 = 1 + 0i e o simétrico do número a + bi é (−a) + (−b)i . Se o

número complexo z = a + bi é não-nulo, ou seja, a 6= 0 ou b 6= 0), o seu recíproco é dado por

1

z=

1

a + bi=

a− bi

(a + bi)(a− bi)=

a

a2 + b2− b

a2 + b2i .

É fácil verificar que o conjunto dos números complexos munido com as operações de adição e multiplicação

descritas acima é um corpo (Ver exercício proposto).

O conjunto Z dos inteiros não é um corpo, pois a propriedade (ix) falha. Por outro lado, além das pro-

priedades (i)-(viii), Z não possui divisores de zero, ou seja, seus elementos satisfazem a propriedade de que

se ab = 0, então a = 0 ou b = 0.

2.2 Definição. Dizemos que um conjunto D é um domínio de integridade se ele satisfizer as propriedades

(i)-(viii) e a propriedade acima, ou seja, se ab = 0, então a = 0 ou b = 0 para a, b ∈ D.

Assim, o conjunto Z é um domínio de integridade. Se K for um corpo então K é um domínio de integridade.



EP 2.1. Mostre que R e Q, com as operações usuais de adição e multiplicação, são corpos.

EP 2.2. Verifique que N e Z com as mesmas operações acima, não são corpos.

EP 2.3. Mostre que C, com as operações de multiplicação e adição definidas no texto, é um corpo.

2.2 Definições e Operações

Exemplos de funções reais, tais como, p(x) = x2 − 5x + 1, p(x) = 2x − 1, p(x) = −5 etc. são bastante

estudadas nos cursos do ensino médio. De modo geral, estudam-se também as funções do tipo

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x + a0

em que an, . . . , a0 são números reais dados e n é um inteiro ≥ 0, que a cada elemento x ∈ R associa o número

real p(x), dado pela expressão anterior. A adição e o produto de funções reais são definidas como sendo as

funções que associam, a cada x , a soma ou o produto dos valores dessas funções em x , respectivamente. Em

outras palavras, se

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x + a0

e

q(x) = bmxm + bm−1xm−1 + . . .+ b1x + b0,

então(p + q)(x) = p(x) + q(x)

= (anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x + a0) + (bmxm + bm−1xm−1 + . . . b1x + b0).

Considerando m ≥ n, podemos agrupar os termos correspondentes obtendo assim

(p + q)(x) = bmxm + . . .+ bn+1xx+1 + (an + bn)x

n + . . .+ (a1 + b1)x + (a0 + b0). ( 2.1)

De forma análoga,

(pq)(x) = p(x)q(x) ( 2.2)

= (anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x + a0)(bmxm + bm−1xm−1 + . . .+ b1x + b0)

= anbmxn+m + . . .+ (a0bi + a1bi−1 + . . .+ aib0)xi + . . .+ (a0b1 + a1b0)x + a0b0

2.3 Definição. Um polinômio p na variável x com coeficientes num corpo K é uma expressão da forma

p = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x + a0

em que an, . . . , a0 ∈ K, n ≥ 0 é um inteiro, ai = 0 para todo i > n e x é um símbolo formal. Os números ai são

chamados coeficientes do polinômio p.

Dizemos que o polinômio p é igual ao polinômio q dado por

q = bmxm + bm−1xm−1 + . . .+ b1x + b0

se, e somente se, todos os coeficientes correspondentes são iguais. Portanto, se m > n, então

a0 = b0, a1 = b1, . . . , an = bne e bn+1 = bn+2 = . . . = bm = 0.


O conjunto de todos os polinômios na variável x com coeficientes em K é denotado por K[x ].

Se p for um polinômio e c um elemento de K, então

p(c) = ancn + an−1c

n−1 + . . .+ a1c + a0

também é um elemento de K. Portanto, p ∈ K[x ] define uma função

p : K→ K

que a cada elemento c ∈ K associa o número p(c) ∈ K. Dizemos então que p(x) é a função polinomial

associada ao polinômio p. Quando K = R, esses dois conceitos podem ser identificados. Entretanto, para

certo corpos K, é possível termos polinômios distintos cujas funções polinomiais associadas são idênticas

(veja o Exercício Proposto 2.4).

O corpo K está contido em K[x ]: um elemento c de K pode ser visto como o polinômio p = 0xn + . . .+0x +c ,

que é chamado polinômio constante.

Se definirmos a adição e a multiplicação em K[x ] pelas equações 2.1 e 2.3, é fácil ver que o polinômio nulo

0 = 0xn + . . .+ 0x + 0

é o elemento neutro e que o polinômio constante p = 1 é a unidade.

Para calcularmos os coeficientes do produto pq, podemos utilizar o seguinte dispositivo prático: colocar-

mos numa tabela todos os coeficientes ai de p e bj de q como a seguir, calculamos todos os produtos aibj

e somamos os produtos em cada diagonal no sentido sudoeste-nordeste, obtendo assim os coeficientes do

polinômio produto pq.p\q bm · · · b5 b4 b3 b2 b1 b0

an anbm · · · anb5 anb4 anb3 anb2 anb1 anb0

.... . .

......

......

......

...

a5 a5bm · · · a5b5 a5b4 a5b3 a5b2 a5b1 a5b0






Outra forma de se obter os termos de mesmo grau é somar todos os produtos dos coeficientes cuja soma

dos índices é igual a este grau. Por exemplo, para n = 5 teremos que

a0b5 + a1b4 + a2b3 + a3b2 + a4b1 + a5b0 =5X

i=0

aib5−i .

2.4 Definição. Se p ∈ K[x ] for um polinômio não-nulo dado por

p = anxn + . . .+ a1x + a0,

dizemos que o grau de p é n, denotado gr(p) = n, se an 6= 0 e ai = 0 para todo i > n.

Em geral, não se define o grau do polinômio nulo.

Nota 11. As constantes não-nulas são polinômios de grau zero. Os polinômios de grau 1 são polinômios

da forma p = ax + b, com a 6= 0 (As funções polinomiais que lhes são associadas são chamadas funções

afins). Os polinômios de grau 2 são da forma p = ax2 + bx + c , com a 6= 0 (As funções polinomiais que

lhe são associadas são chamadas funções quadráticas).


É fácil ver que K[x ], com as operações de adição e multiplicação definidas anteriormente, é um domínio de

integridade. Uma conseqüência do nosso próximo teorema é que K[x ] não tem divisores de zero.

2.5 Proposição. Sejam p e q polinômios não-nulos, então pq é não-nulo e gr(pq) = gr(p) + gr(q).

Prova: Chamemos de cj , j ∈ N, os coeficientes do produto pq. Vimos que cj =X

i+k=j

aibk . Desta forma,

só teremos j > n + m, se i > n ou k > m.

Como gr(p) = n e gr(q) = m, temos ai = 0 para i > n, e bk = 0 para k > m. Logo cj = 0 para todo

j > k + m. Por outro lado, anbm 6= 0, o que implica cn+m 6= 0. Assim gr(pq) = n + m = gr(p) + gr(q). 2

Nota 12. O fato essencial na demonstração da Proposição anterior é que, se an 6= 0 e bm 6= 0, então

anbm 6= 0, isto é, que K é um domínio de integridade. Assim, tal Proposição é verdadeira não somente em

K[x ], mas também para polinômios com coeficientes em Z.


EP 2.4. Considere Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} com as operações usuais de adição ⊕ e multiplicação ⊙.

(a) Mostre que Z5, com essas operações é um corpo.

(b) Se Z5[x ] for o conjunto dos polinômios na variável x com coeficientes em Z5, mostre que os polinômios p =

x5 e q = x são diferentes, mas que as funções polinomiais p : Z5 → Z5; p(x) = x5 e q : Z5 → Z5; p(x) = x

são iguais. Lembre-se de que a notação an significa a · a · . . . · a (n vezes)

EP 2.5. Sejam p = (a2 − 1)x4 + (a + 1)x3 + x2 − 2 e q = (a + 3)x3 + (a2 − 4)x2 + (a + 1)x − 1 polinômios em

R[x ]. Determine todos os valores possíveis para os graus de p, q, p + q, p − q e pq.

2.3 Lema da Divisão de Euclides

Um fato interessante é que podemos associar a cada polinômio não-nulo um inteiro não-negativo relativo

ao seu grau. Essa caracterização nos permitirá usar o Principio da Indução de modo semelhante ao utilizado

em Z.

A primeira conseqüência desse fato é a existência de um resultado análogo ao Lema da Divisão de Euclides

para números inteiros. Veremos que muitos argumentos utilizados no Tema 1 para os inteiros Z, também serão

válidos em K[x ], quando K for um corpo.

2.6 Teorema. (Lema da Divisão de Euclides) Sejam f e g polinômios em K[x ], com g 6= 0. Então existem

polinômios q e r em K[x ] tais que f = qg + r , em que r = 0 ou gr(r) < gr(g).

Prova: Temos três casos a considerar:

(i) (1)f = 0;

(2) f 6= 0 e gr(f ) < gr(g);


(3) f 6= 0 e gr(f ) ≥ gr(g).

No primeiro caso, como 0 = 0g + 0, basta tomar q = r = 0. No segundo caso, como f = 0g + f e, por

hipótese, gr(f ) < gr(g), basta tomar q = 0 e r = f .

Para mostrarmos o terceiro caso, utilizaremos indução no grau de f . Quando tivermos gr(f ) = 0, podemos

concluir que gr(g) = 0. Mas isso quer dizer que f e g são polinômios constantes e ambos não-nulos. Assim,

f = a0 6= 0, g = b0 6= 0 e a0 =a0

b0b0 + 0.

Quer dizer, basta tomar q = (a0/b0) ∈ K e r = 0.

Mostrado o primeiro passo no argumento da indução, consideremos agora o caso em que gr(f ) ≥ 1.

Sejam m = gr(f ) e n = gr(g), com

f = amxm + . . .+ a1x + a0 e g = bnxn + . . .+ b1x + b0, com m ≥ n.

Suponhamos, por indução, que o resultado seja válido para todo polinômio de grau menor do que m e

maior do que ou igual a n.

Consideremos o polinômio (note que bn 6= 0)

h = f − am

bn

xm−ng . ( 2.3)

Observe queam

bn

xm−ng é um polinômio de grau m, cujo coeficiente do termo de maior grau é am. Se h = 0

ou gr(h) < gr(g), como

f =am

bn

xm−ng + h,

basta tomar q =am

bn

xm−n e r = h.

Se, por outro lado, h 6= 0 e gr(h) ≥ gr(g), podemos aplicar a hipótese de indução em h, pois gr(h) ≤m − 1 = gr(f )− 1. Logo, existem polinômios q0 e r0 tais que h = q0g + r0 em que r0 = 0 ou gr(r0) < gr(g).

Substituindo na equação 2.3, temos que

q0g + r0 = f − am

bn

xm−ng

e, finalmente,

f =

�q0 +

am

bn

xm−n

�g + r0,

em que r0 = 0 ou gr(r0) < gr(g). Basta então tomar q = q0 +am

bn

xm−n e r = r0. 2

Observe que a demonstração anterior é construtiva, ou seja, o argumento usado para se obter h consti-

tui a primeira etapa no algoritmo da divisão polinomial. O algoritmo consiste na repetição sucessiva desse

argumento, até que se obtenha ou o polinômio nulo ou um de grau menor do que o do divisor.

ER 17. Determine o quociente e o resto da divisão euclidiana de f = 2x3 − 1 por g = x + 3.

Solução: Temos que

m = gr(f ) = 3, n = gr(g) = 1, am = 2 e bn = 1.

Logo,am

bm

xm−n =2

1x2 = 2x2


e portanto,am

bn

xm−ng = 2x2(x + 3) = 2x3 + 6x2.

Assim,

h = f − am

bn

xm−ng = (2x3 − 1)− (2x3 + 6x2) = −6x2 − 1.

Esse é, exatamente, o algoritmo que utilizamos desde o ensino fundamental. Na prática, adotaremos o

seguinte dispositivo:

f → 2x3 + 0x2 + 0x − 1 x + 3 ← g

−am

bn

xm−ng → −2x3 − 6x2 2x2

h → −6x2 + 0x − 1

Como o grau de h ainda é maior do que o de g , repetimos o processo. Assim temos:

2x3 + 0x2 + 0x − 1 x + 3

−2x3 − 6x2 2x2 − 6x + 18

− 6x2 + 0x − 1

+ 6x2 + 18x

18x − 1

− 18x − 54

− 55

Logo, o quociente é q = 2x2 − 6x + 18 e o resto é r = −55.

2.7 Corolário. São únicos os polinômios q e r obtidos no teorema anterior.

Prova: Suponhamos que se tenha f = q1g + r1 e f = q2g + r2, com gr(ri ) < gr(g) ou ri = 0 para i = 1, 2.

Subtraindo as duas expressões para f , obtemos

r2 − r1 = (q1 − q2)g .

Se r2 − r1 6= 0, então gr(r2 − r1) < gr(g). Mas então temos uma contradição, pois

gr(r2 − r1) < gr(g) e gr(r2 − r1) = gr ((q1 − q2)g) ≥ gr(g).

Devemos, então ter, necessariamente, r2 − r1 = 0, o que implica q1− q2 = 0 (pois g 6= 0), provando assim

a unicidade. 2

Detalharemos agora o caso em que a divisão é exata (ou seja, o resto r é nulo) e apresentaremos algumas

propriedades de divisibilidade de polinômios.

2.8 Definição. Sejam f , g ∈ K[x ]. Dizemos que g divide f ou que f é múltiplo de g , se existe q ∈ K[x ] tal que

f = qg . Se g dividir f , escrevemos g | f . Se g não dividir f , escrevemos q ∤ f .

Exemplo 2.3. Sejam g = x + 1 e f = −x2 + 1 em R[x ]. Como

−x2 + 1 = (−x + 1)(x + 1)

e (−x + 1) ∈ R[x ] temos que g | f .


Exemplo 2.4. O polinômio f = x2 + 1 pode ser visto como elemento de R[x ] ou de C[x ], por exemplo. Como

elemento de C[x ], f possui divisores de grau 1, pois podemos escrever

x2 + 1 = (x + i)(x − i).

Por outro lado, como elemento de R[x ], f não possui divisores de grau 1. Com efeito, suponhamos, por

absurdo, que g = ax + b (com a 6= 0) seja um divisor de f , isto é

x2 + 1 = (ax + b)h em que h ∈ R[x ].

Como gr(f ) = 2 e gr(g) = 1, temos que gr(h) = 1, ou seja, h = a1x + b1, com a1, b1 ∈ R e a1 6= 0. Logo,

x2 + 1 = (ax + b)(a1x + b1).

Assim, deveríamos ter aa1 = 1, bb1 = 1 e ab1 + a1b = 0. Entretanto, tal sistema não possui solução real.

Absurdo.

Exemplo 2.5. Seja c ∈ K[x ] uma constante não-nula. Então, para qualquer f ∈ K[x ], temos que c divide f .

Com efeito, seja

f = anxn + . . .+ a1x + a0, em que ai ∈ K.

Como c 6= 0, temos queai

c∈ K para qualquer i = 0, . . . , n. Logo

f = cq,

em que

q =an

cxn + . . .+

a1

cx +

a0

c∈ K[x ].

Portanto, os polinômios de grau zero (isto é, as constantes não-nulas) desempenham em K[x ] um papel

análogo ao dos inteiros 1 e −1 em Z. As constantes não-nulas são chamadas de divisores triviais de um

polinômio.

2.9 Proposição. Sejam f , g , h ∈ K[x ] polinômios quaisquer. Então vale:

(i) f | f ;

(ii) se f | g e g | h, então f | h;

((iii) se f | g e f | h, então f | (pg + qh) para quaisquer p, q ∈ K[x ];

(iv) se f e g são não-nulos, f | g e g | f , então existe uma constante não-nula c ∈ K tal que f = cg .

Prova: Provaremos o item (iv) e os demais ficam a cargo do leitor (ver exercícios propostos).

Supondo que f | g e g | f , temos que existem polinômios q1, q2 ∈ K[x ] tais que

g = q1f e f = q2g .

Desta forma, concluímos que

g = q1q2g , com q1 6= 0 e q2 6= 0.


Portanto,

gr(g) = gr(q1q2) + gr(g)⇒ gr(q1q2) = 0⇒ gr(q1) + gr(q2) = 0⇒ gr(q1) = 0 e gr(q2) = 0.

Logo, q2 = c 6= 0 e, conseqüentemente, f = cg com c 6= 0, como queríamos demonstrar. 2


EP 2.6. Demonstre as propriedades (i)-(iii) da Proposição 2.9.

EP 2.7. Determine o quociente e o resto da divisão de p = 7x5 − 3x3 + x − 1 por q = x2 − 2x + 1.

EP 2.8. Verifique se p é divisível por q, sendo p = x2 + 1 e q = x − i , polinômios em C[x ].

2.4 MDC e MMC

2.4.1 Máximo Divisor Comum

Veremos a partir de agora a definição de máximo divisor comum para dois polinômio com coeficientes em

um corpo K. Também mostraremos sua existência e unicidade de forma análoga a que fizemos para números

inteiros.

2.10 Definição. Um polinômio p = anxn + . . .+ a1x + a0 ∈ K[x ] de grau n é mônico , se a1 = 1.

Exemplo 2.6. Existe um único polinômio mônico de grau 0, a saber, p = 1. Os polinômios mônicos de grau

1 em K[x ] são da forma p = x + a.

2.11 Definição. Sejam f , g ∈ K[x ] polinômios não simultaneamente nulos. Dizemos que d ∈ K[x ] é um

máximo divisor comum de f e g se:

(i) d é mônico;

(ii) d | f e d | g ;

(iii) se q ∈ K[x ] for tal que q | f e q | g , então q | d .

Se d for um máximo divisor comum de f e g , escrevemos d = mdc(f , g).

ER 18. Se f = 2x + 2 ∈ R[x ] e g = x2 − 1 ∈ R[x ], o polinômio d = x + 1 ∈ R[x ] é um máximo divisor comum

de f e g .

Solução: De fato, d = x +1 é um polinômio mônico. Uma vez que f = 2d e g = (x−1)d , vemos também

que d | f e d | g .

Suponhamos, agora, que q ∈ R[x ] é tal que q | f e q | g . Então existe h ∈ R[x ] tal que f = qh. Como

gr(f ) = 1, concluímos que gr(q) = 0 ou gr(q) = 1.

No primeiro caso, temos q ∈ R− 0, isto é q = c 6= 0 e, portanto , q | d .


No segundo caso, temos q = ax + b e h = c , em que a, c 6= 0. Temos também que b 6= 0, pois f não é

múltiplo de x . Segue-se então da igualdade f = qh que ac = bc = 2. Como c 6= 0, concluímos que a = b, ou

seja, q = a(x + 1). Portanto, d = x + 1 =1

aq, ou seja, q | d .

A seguir, como foi feito para números inteiros, demonstraremos a existência e a unicidade do máximo divisor

comum dos polinômios não simultaneamente nulos f , g ∈ K[x ].

2.12 Teorema. Se f , g ∈ K[x ] não forem simultaneamente nulos, então o máximo divisor comum de f e q

existe e é único.

Prova: Mostraremos primeiro a unicidade. Suponha que existam d1, d2 ∈ K[x ] tais que

d1 = mdc(f , g) e d2 = mdc(f , g).

Como d1 = mdc(f , g), concluímos que d2 | d1, pois d2 | f e d2 | g . De forma análoga, concluímos que

d1 | d2.

Assim, pela Proposição 2.9 item (iv), existe c ∈ K, c 6= 0, tal que d2 = cd1. Como d1 e d2 são mônicos,

concluímos que c = 1 e, portanto, d1 = d2.

Para demonstrar a existência, suponhamos g não-nulo. Logo, pelo Lema da Divisão de Euclides para

polinômios, existem q1, r1 ∈ K[x ] tais que

f = q1g + r1, com gr(r1) < gr(g) ou r1 = 0.

Se r1 = 0, então g satisfaz as propriedades (ii) e (iii) da definição do máximo divisor comum de f e g .

Dividindo g pelo coeficiente de seu termo de maior grau, obtemos um polinômio mônico, qual seja, mdc(f , g).

Se r1 6= 0, então existem polinômio q2, r2 ∈ K[x ] tais que

g = q2r1 + r2, com gr(r2) < gr(r1) ou r2 = 0.

Se r2 = 0, então r1 satisfaz as propriedades (ii) e (iii) da definição do máximo divisor comum de f e g .

Obtemos um polinômio mônico como anteriormente: dividimos r1 pelo coeficiente de seu termo de maior grau.

Se r2 6= 0, então

r1 = q3r2 + r3, com gr(r3) < gr(r3) ou r3 = 0.

Continuando este processo obtemos:

f = q1g + r1, gr(r1) < gr(g)

g = q2r1 + r2, gr(r2) < gr(r1)

r1 = q3r2 + r3, gr(r3) < gr(r2)

...

rn−2 = qnrn−1 + rn, gr(rn) < gr(rn−1)

rn−1 = qn+1rn.

Sabemos que, necessariamente, existe n ∈ N tal que rn+1 = 0, pois

gr(g) > gr(r1) > gr(r2) > . . . ≥ 0.

Afirmamos que, se rn+1 = 0, então o polinômio rn satisfaz as condições (ii) e (iii) da definição do máximo


divisor comum de f e g . (A demonstração desse fato é idêntica à demonstração do resultado análogo para

números inteiros.) De fato, observando essa seqüência de igualdade de baixo para cima, vemos que rn |rn−1, rn | rn−2 (pois divide o lado direito de igualdade), . . . , rn | g , rn | f . Além disso, se q | f e q | g ,

considerando essa seqüência de igualdades de cima para baixo, vemos que q | rn.

Se rn não for mônico, dividimos esse polinômio pelo coeficiente de seu termo de maior grau , isto é,

definimos

rn =1

an

rn,

em que an é o coeficiente do termo de maior grau de rn. Assim r ′n = mdc(f .g). 2

Observe que a condição (i) da definição do máximo divisor comum de dois polinômios foi imposta justamente

para garantir sua unicidade. A demonstração apresentada é construtiva, isto é, ela nos fornece uma maneira

prática para determinar o máximo divisor comum dos polinômios f e g . Esse algoritmo é o algoritmo de

Euclides para o cálculo do máximo divisor de dois polinômios e é análogo ao usado para calcular o máximo

divisor comum de dois números inteiros. Note que a demonstração apresentada mostra que se g | f , então

mdc(f , g) = (1

an

)g , em que an é o termo de maior grau de g .

Exemplo 2.7. Se f = x4 + x3 + 2x2 − 2 e g = x2 + x + 3 estão em R[x ], então, pelo algoritmo anterior, temos

f = (x2 − 1)g + (x + 1), r1 = x + 1

g = x(x + 1) + 3, r2 = 3

x + 1 = 3(x

3+

1

3) + 0, r3 = 0.

O último resto não-nulo obtido nesse processo é r2 = 3, que não é polinômio mônico. Logo, mdc(f , g) = 1.

Exemplo 2.8. Consideremos agora os polinômios

f = x4 + x3 + x2 + 2x + 1 e g = x3 + x2 + x + 1

em R[x ]. Como antes, temos

f = xg + (x + 1), r1 = x + 1

g = (x2 + 1)(x + 1) + 0, r2 = 0.

Como x + 1 é mônico, então d = x + 1 é o máximo divisor comum de f e g .

Vimos que, para números inteiros, o máximo divisor comum de dois números a e b escreve-se como combi-

nação linear de a e b. Um resultado análogo para polinômios é dado no seguinte corolário.

2.13 Corolário. Se d ∈ K[x ] for o máximo divisor comum de f e g , então existem a, b ∈ K[x ] tais que

d = af + bg .

Prova: Usaremos a prova da existência e unicidade do máximo divisor comum de dois polinômios. Temos

novamente uma demonstração similar àquela feita para números inteiros.

Se g | f , isto é, se r1 = 0, o Teorema da Unicidade nos garante

d = mdc(f , g) =1

an

g ,

em que an é o coeficiente do termo de maior grau de g . Logo,

d = mdc(f , g) =1

an

g =1

an

g + 0 · f ,


que é uma combinação linear de f e g .

Se r1 6= 0, então foi mostrado no referido teorema que

d =1

an

rn,

em que rn é o último resto não-nulo obtido quando se aplica o algoritmo de Euclides aos polinômios f e g .

Logo, se mostrarmos que qualquer um dos r ′i s se escreve como combinação linear de f e g , o corolário estará

demonstrado.

Ainda de acordo com o Teorema da Unicidade, temos que

r1 = f − q1g

é uma combinação de f e g (com a = 1 e b = −q). Suponhamos, por indução, que para todo i ≤ n− 1, ri seja

combinação linear de f e g . Em particular temos:

rn−1 = an−1f + bn−1g e rn−2 = an−2f + bn−2g ,

em que an−1, bn−1, an−2, bn−2 ∈ K[x ]. Como pelo desenvolvimento da demonstração do Teorema da Unicidade

temos

rn = rn−2 − qnrn−1,

entãorn = (an−2f + bn−2g)− qn(an−1f + bn−1g)

= (an−2 − qnan−1)f + (bn−2 − qnbn−1)g .

Tomando

an = an−2 − qnan−1 e bn = bn−2 − qnbn−1,

obtemos o resultado afirmado. 2

Exemplo 2.9. No exemplo 2.7 já mostramos ao calcular o máximo divisor comum dos polinômios f =

x4 + x3 + 2x2 − 2 e g = x2 + x + 3, que o último resto não-nulo obtido no algoritmo de Euclides foi r2 = 3 e que

mdc(f , g) = 1. O algoritmo de Euclides então nos dava

3 = g − x(x + 1) = g − x [f − (x2 − 1)g ] = (−x)f + (x3 − x + 1)g .

Logo,

1 =

�−1

3x

�f +

�1

3x3 − 1

3x +

1

3

�g ,

isto é a = (−1

3x) e b =

�1

3x3 − 1

3x +

1

3

�.

Os polinômios a e b do corolário anterior não são únicos (verifique isso com raciocínio análogo ao apresen-

tado para números inteiros). Também não podemos garantir que, se h ∈ K[x ] se escreve como combinação

linear de f e g , então h = mdc(f , g).

2.14 Proposição. Sejam f , g , h ∈ K[x ]. Então vale:

(i) se f | gh e mdc(f , g) = 1, então f | h;

(ii) se f | h, g | h e mdc(f , g) = 1, então f g | h.


Prova: Para mostrar (i), observe que se mdc(f , g) = 1, então existem a, b ∈ K[x ] tais que af + bg = 1 e,

portanto, af h + bgh = h.

Como f | f e f | gh (por hipótese), então f | (af h + bgh), ou seja, f | h.

Para o segundo item, como mdc(f , g) = 1, existem a, b ∈ K[x ] tais que af + bg = 1 e, também, temos,

nesse caso,

af h + bgh = h. ( 2.4)

Como f | h e g | h, existem polinômios f ′, g ′ ∈ K[x ] tais que h = ff ′ e h = gg ′.

Substituindo essas expressões na equação 2.4, obtemos af (gg ′)+bg(ff ′) = h, ou seja, f g(ag ′+bf ′) = h,

isto é, f g | h. 2

2.4.2 Mínimo Múltiplo Comum

Apresentaremos a seguir a definição de mínimo múltiplo comum e mostraremos a relação entre o máximo

divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois polinômios.

2.15 Definição. Sejam f , g ∈ K[x ] polinômios não-nulos. Um mínimo múltiplo comum de f e g é um

polinômio m ∈ K[x ] tal que

(i) m é mônico;

(ii) f | m e g | m;

(iii) se h ∈ K[x ] for tal que f | h e g | h, então m | h.

Se m for um mínimo múltiplo comum de f e g , escrevemos m = mmc(f , g).

A existência e unicidade do mínimo múltiplo comum de dois polinômios decorre do seguinte resultado:

2.16 Proposição. Sejam f = anxn + . . .+ a1x + a0, g = bmxm + . . .+ b1x + b0 ∈ K[x ] polinômios de graus n e

m, respectivamente. Então

mmc(f , g) =f g

anbm(mdc(f , g)).

Prova: Seja

h =f g

anbm(mdc(f , g)).

Vamos mostrar que h ∈ K[x ] satisfaz a definição do mínimo múltiplo comum de f e g . Denotando d =

mdc(f , g), temos que d | f ; assim, f = f1d , com f1 ∈ K[x ]. Então

h =f1dg

anbmd=

f1g

anbm

,

isto é,

h = cf1g , c ∈ K, f1 ∈ K[x ], g ∈ K[x ],

e portanto, h ∈ K[x ]. Afirmamos que h é mônico. De fato1

an

f e1

bm

g são mônicos. Como o produto de

polinômios mônicos é um polinômio mônico, vemos que dh é mônico. Como d também é mônico, concluímos


o afirmado.

Temos também que f | h, pois h =f g

anbmd= f

g

anbmd, com

g

anbmd∈ K[x ]. De forma análoga concluímos

que g | h.

Suponhamos agora que s ∈ K[x ] satisfaça

f | s e g | s.

Queremos mostrar que h | s, ou seja, que existe q ∈ K[x ] tal que

s = qh = qf g

anbmd,

isto é, que

sd = q1f g , com q1 ∈ K[x ].

Como d = mdc(f , g), existem polinômios a, b ∈ K[x ] tais que

d = af + bg .

Portanto, sd = saf + sbg .

Como f | s e g | s, existem polinômios a1 e b1 em K[x ] tais que

s = a1f e s = b1g .

Logo,

sd = b1gaf + a1f bg ,

isto é,

sd = (b1a + a1b)f g = q1f g ,

mostrando a afirmação e concluindo a prova. 2


EP 2.9. Ache o mdc(f , g), sendo f = x4 + 2x3− 6x − 9 e g = 3x4 + 8x3 + 14x2 + 8x + 3. Determine, também,

polinômios a, b ∈ R[x ] tais que mdc(f , g) = af + bg .

EP 2.10. Encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de

(x − 2)3(x − 3)4(x2 + 1) e (x − 1)(x − 2)(x − 3)3

em C[x ] e em R[x ].

Raízes e Irredutibilidade

Nesta seção apresentaremos outros resultados importantes sobre polinômios e introduziremos o conceito

de irredutibilidade. Veremos que podemos decompor um polinômio em fatores mais simples, que chamaremos

fatores irredutíveis ( ao invés de primos como foi feito para os inteiros). Mostraremos também a relação entre a

existência de raízes e a existência de fatores de grau um na decomposição do polinômio.


2.5 Raízes e Fatoração

2.17 Definição. Sejam f ∈ K[x ] e a ∈ K. Diremos que a é uma raiz de f , se a função polinomial associada a

f se anula em a, isto é, se f (a) = 0.

Exemplo 2.10. Se f = x2 + 1 ∈ R[x ], então f não possui raízes reais, pois, para todo a ∈ R, temos que

a2 + 1 ≥ 1, ou seja, f (a) nunca se anula. Por outro lado, considerando f como elemento de C[x ], ele possui

duas raízes que são a = i e a = −i .

2.18 Proposição. Se f ∈ K[x ] e a ∈ K, então o resto na divisão euclidiana de f por x − a é f (a).

Prova: Pelo algoritmo da divisão de Euclides, temos que existem polinômios q e r ∈ K[x ] tais que

f = (x − a)q + r ,

em que r = 0 ou gr(r) = 0. Sendo assim, r é constante.

Determinando o valor de f em a, teremos que

f (a) = (a− a)q(a) + r(a) = r(a).

Uma vez que r é constante, temos finalmente

r = r(a) = f (a).

2

De acordo com a proposição anterior temos o seguinte resultado:

2.19 Teorema. (Teorema da Raiz) Sejam f um polinômio com coeficientes em K e a ∈ K. Temos que x − a

divide f se, e somente se, a é raiz de f .

Prova: Se x − a divide f , então existe g ∈ K[x ] tal que f = g(x − a) + 0. Logo, pela proposição anterior

temos

0 = r(a) = f (a)

e, portanto, a é raiz de f .

Reciprocamente, sendo a raiz de f , temos f (a) = 0 e novamente pela proposição anterior f (a) = 0 é

exatamente o resto da divisão Euclidiana de f por x − a e portanto x − a divide f . 2

Exemplo 2.11. Na divisão euclidiana de f = 2x3 − 1 por g = x + 3, o resto r é dado por:

r = f (−3) = 2(−3)3 − 1 = 2(−27)− 1 = −55.

(Verifique usando o algoritmo de Euclides)

2.5.1 O Algoritmo de Briot-Ruffini

Um dispositivo prático para dividir um polinômio f por um polinômio de grau um, x−u, é dado pelo algoritmo

de Briot-Ruffini, que apresentaremos a seguir:


Sejam f = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0 ∈ K[x ] e u ∈ K. Se

q = bnxn−1 + bn−1x

n−2 + · · ·+ b1 e r = b0

são, respectivamente, o quociente e o resto na divisão euclidiana de f por x − u, então

bn = an e bi = ubi+1 + ai para i = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

De fato, como

f = (x − u)q + r

e(x − u)q + r = (x − u)(bnxn−1 + bn−1xn−2 + · · ·+ b1) + b0

= bnxn + (bn−1 − ubn)x

n−1 + · · ·+ (b1 − ub2)x + (b0 − ub1),

obtemos as seguintes igualdades:

bn = an, bn−1 − ubn = an−1, . . . , b1 − ub2 = a1 e b0 − ub1 = a0.

Daí

bn = an, bn−1 = ubn + an−1, . . . , b1 = ub2 + a1 e b0 = ub1 + a0.

Na prática, o algoritmo de Briot-Ruffini pode ser efetuado da seguinte maneira:

ER 19. Determinar o quociente e o resto da divisão de p = 3x4 − x2 + 2x − 5 por x − 2.

Solução:

Então q = 3x3 + 6x2 + 11x + 24 e r = 43.

2.20 Corolário. Um polinômio não-nulo f ∈ K[x ], de grau n, possui, no máximo, n raízes.

Prova: Mostraremos por indução em n = gr(f ).

Se n = 0, então f é um polinômio constante e não-nulo. Portanto, não possui raízes.

Suponhamos agora que gr(f ) = n > 0 e que o resultado seja verdadeiro para todo polinômio de grau

n − 1.

Se f não possuir raízes, nada temos a demonstrar. Caso contrário, se a ∈ K for uma raiz de f , então

existe g ∈ k[x ] tal que f = (x − a)g , e podemos concluir que gr(g) = n − 1.

Pela hipótese de indução, g possui no máximo (n−1) raízes. Como qualquer outra raiz de f (caso exista)

é raiz de g , temos que f possui no máximo n raízes. 2

2.21 Definição. Sejam f ∈ K[x ] e a ∈ K. Dizemos que a é uma raiz de multiplicidade m de f , em que m ≥ 1,

se (x − a)m divide f e (x − a)m+1 não divide f . Se m ≥ 2, dizemos que a é uma raiz múltipla de f .

2.22 Definição. Se f = anxn + . . .+ aix

i + . . .+ a1x + a0 for um polinômio em K[x ], então definimos a derivada

(formal) de f como sendo o polinômio, com coeficientes em K, dado por

f ′ = nanxn−1 + . . .+ iaix

i−1 + . . .+ 2a2x + a1.

Para quaisquer polinômios f e g em K[x ], valem as regras de derivação estudadas em cursos de Cálculo

Diferencial, ou seja,

(i) se f = c ∈ K, então f ′ = 0;


(ii) (f + g)′ = f ′ + g ′;

(iii) (f g)′ = f g ′ + f ′g .

2.23 Proposição. Seja f ∈ K[x ]. Temos que a ∈ K é raiz múltipla de f se, e somente se, a for raiz comum de

f e f ′.

Prova: Se a for uma raiz múltipla de f , então podemos escrever

f = (x − a)2q, com q ∈ K[x ].

Logo, f ′ = 2(x − a)q + (x − a)2q′ e, portanto, f ′(a) = 0.

Reciprocamente, se a for raiz de f , então f = (x − a)q.

Logo, f ′ = (x − a)q′ + q.

Como a é raiz de f ′, temos 0 = f ′(a) = q(a).

Pelo Teorema da Raiz, o polinômio (x−a) divide q, donde q = (x−a)h e, então, f = (x−a)2h, mostrando,

assim, que a é raiz múltipla de f . 2


EP 2.11. Verifique se i é raiz de p = x4 − 1 ∈ C[x ]. Caso afirmativo, determine sua multiplicidade.

EP 2.12. Idem para p = 4x3 + 8x2 − 3x − 9 ∈ R[x ] e −3

2como raiz.

EP 2.13. Determine a e b reais tais que p = x5 − 5ax + b seja divisível por (x − 1)2.

2.6 O Teorema Fundamental da Álgebra

Veremos a seguir que qualquer polinômio de grau ≥ 1 com coeficientes complexos possui raízes complexas.

Esse é exatamente o Teorema Fundamental da Álgebra que foi provado por Graus em 1798.

2.24 Teorema. (Teorema Fundamental da Álgebra) Todo polinômio p em /mathbbC [x ] de grau ≥ 1 possui

pelo menos uma raiz complexa.

Não apresentaremos a demonstração desse resultado, que foge ao escopo deste texto, mas pode ser

encontrada em livros de análise complexa.

2.25 Definição. Uma equação algébrica é uma equação da forma p(x) = 0, em que p é uma função polinomial.

No nosso contexto atual, resolver uma equação quadrática ax2 + bx + c = 0 pelo método de completar os

quadrados era conhecida desde o tempo dos babilônios. Já as soluções das equações cúbicas e quárticas

foram obtidas no século XVI pelos matemáticos italianos da Renascença. Em 1542, Cardano (1501 - 1576)

publicou, no livro Ars magna, a resolução da equação geral de terceiro grau e também método de seu discípulo

Ferrari (1522 - 1566) de redução de uma equação geral de quarto grau para uma de terceiro.

Exemplo 2.12. Uma raiz do polinômio x3 − 8 é, obviamente, x = 2. Fatorando este polinômio obtemos

x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)


e usando a fórmula de Bháskara encontramos as raízes do polinômio x2 + 2x + 4. Assim,

x1 = 2, x2 = −1−√

3i e x3 = −1 +√

3i

são as raízes do polinômio x3 − 8.

Em geral, as raízes de um polinômio podem ser obtidas apenas aproximadamente. A determinação aproxi-

mada das raízes de um polinômio constitui uma parte importante da análise numérica.

Apesar de não sabermos calcular explicitamente as raízes de um polinômio qualquer, temos o seguinte

resultado, que é uma conseqüência imediata do Teorema Fundamental da Álgebra.

2.26 Corolário. Seja f um polinômio em C[x ] de grau n ≥ 1. Então ele possui n raízes a1 . . . , an ∈ C (não

necessariamente distintas). Sendo assim, ele pode ser fatorado como

f = k(x − a1) . . . (x − an).

com K ∈ C.

Num dos exercícios propostos desta seção você será convidado a mostrar este corolário.

Já vimos que existem polinômios em R[x ] que não possuem raiz real. No entanto, estes polinômios apre-

sentam uma propriedade interessante com relação às raízes complexas que eles possam vir a apresentar.

2.27 Lema. Seja f um polinômio em R[x ] de grau n ≥ 1. Se α = a+bi , com b 6= 0, é raiz de f então α = a−bi

também é raiz de f .

Prova: Se f = anxn + . . .+ a1x + a0, então

f (α) = anαn + . . .+ a1α+ a0 = 0

e

0 = f (α) = anαn + . . .+ a1α+ a0.

Como a0, a1, . . . , an ∈ R temos que ai = ai para todo i . Assim, pelas propriedades de conjugação de

números complexos,

0 = f (α) = anαn + . . .+ a1α+ a0 = f (α),

mostrando que f (α) = 0. 2

Assim, as raízes que não são reais de um polinômio em R[x ] aparecem aos pares. Como conseqüência,

essas raízes darão origem a termos quadráticos na sua fatoração:

2.28 Teorema. Seja f um polinômio com coeficientes reais e grau ≥ 1. Então existem polinômios f1, . . . , fn ∈R[x ], n ≥ 1, tais que

f = f1 · · · fn,

em que cada fi tem grau 1 ou é quadrático com discriminante negativo.

Prova: Será feita por indução em d = gr(f ).

Se d = 1, não há o que demonstrar.

Seja f um polinômio de grau d , com d ≥ 2. Suponhamos que o resultado seja verdadeiro para todo


polinômio de grau s, com 1 ≤ s ≤ d − 1. Se f possuir uma raiz real, então

f = (x − a)g em que gr(g) = d − 1.

Portanto, pela indução, g se escreve na forma anterior e, conseqüentemente, o mesmo acontece com f .

Se f não possuir raiz real então, pelo lema anterior, existe α = a + bi com b 6= 0, tal que α e α são raízes

de f . Logo,

h = (x − α)(x − α) = (x − a)2 + b2

é um polinômio com coeficientes reais. Pelo Lema da Divisão de Euclides, existem q, r ∈ R[x ] tais que

f = hq + r , com r = a1x + a0.

Substituindo α nessa equação, temos

f (α) = h(α)q(α) + r(α).

Como α é raiz de f e h obtemos

r(α) = 0,

ou seja,

a1α+ a0 = 0, com a0, a1 ∈ R e α ∈ C \ R.

Logo, a0 = a1 = 0 e, portanto r = 0, mostrando que f = hq, com q ∈ R[x ] e gr(q) = d − 2.

Se d = 2, então q é constante e o teorema está provado.

Se d − 2 ≥ 1, então, pela hipótese de indução, q possui uma fatoração como antes e, conseqüentemente,

o mesmo acontece com f . 2

Uma conseqüência imediata desse resultado é o corolário seguinte.

2.29 Corolário. Todo polinômio f ∈ R[x ], de grau ímpar, possui pelo menos uma raiz real.

No caso particular em que os coeficientes do polinômio f são números inteiros, temos um critério que

permite estabelecer se f possui raízes racionais. Vejamos:

2.30 Proposição. Seja f = anxn + . . .+ a1x + a0 um polinômio de grau n ≥ 1 com coeficientes inteiros. Se

a

bfor uma raiz racional de f , com mdc(a, b) = 1, então a | a0 e b | an.

Prova: Sea

bfor uma raiz de f , temos que

an

an

bn+ an−1

an−1

bn−1+ · · ·+ a1

a

b+ a0 = 0.

Portanto,ana

n + ban−1an−1 + · · ·+ bn−1a1a + bna0

bn= 0 ( 2.5)

e, colocando a em evidência, obtemos

ak + bna0 = 0,

em que k = anan−1 + · · ·+ bn−1a1. Portanto a | bna0 e, como mdc(a, b) = 1, concluímos que a | a0.

De maneira análoga, colocando b em evidência na equação 2.5 e fazendo j = an−1an−1 + · + bn−1a0,


obtemos

anan + bj = 0,

donde concluímos, de maneira análoga, que b | an. 2

A Proposição 2.30 nos permite definir candidatos possíveis para as raízes racionais do polinômio. Entre-

tanto, pode acontecer que nenhum desses candidatos seja efetivamente uma raiz do polinômio.

Em particular para polinômios mônicos temos:

2.31 Corolário. Seja f = xn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 um polinômio de grau n ≥ 1 com coeficientes inteiros.

Se a ∈ Z for raiz de f , então a | a0.

ER 20. Determine as raízes racionais de

f = 3x3 + 2x2 − 7x + 2.

Solução: De acordo com a Proposição 2.30 as possíveis raízes racionais de f são:

±1

3,±2

3,±2 e ± 1.

Substituindo esses valores em f , verificamos que apenas

−2, 1 e1

3

são raízes de f . Como f tem grau igual a 3, estas são todas as raízes de f .


EP 2.14. Mostre o corolário 2.26.

EP 2.15. Seja f ∈ C[x ] tal que f (i) = f (−i) = 0. Determine o resto da divisão de f por x2 + 1.

2.7 Fatoração em Polinômios Irredutíveis

Os polinômios irredutíveis desempenham em K[x ] papel análogo ao dos números primos na fatoração dos

inteiros. Já vimos a fatoração de polinômios quando K = C e K = R. Nesta seção tomaremos sempre K um

corpo qualquer.

2.32 Definição. Dizemos que um polinômio p ∈ K[x ] é irredutível sobre K se, e somente se,

(i) gr(p) > 0;

(ii) se p se escreve como um produto p = f g , em que f , g ∈ K[x ], então necessariamente gr(f ) = 0 ou

gr(g) = 0.

Se gr(p) ≥ 1 e p não for irredutível sobre K, dizemos que ele é redutível sobre K.


Já vimos que as constantes não-nulas dividem qualquer polinômio em K[x ]. Portanto, se c ∈ K for uma

constante não-nula, então f ∈ K[x ] admite a fatoração trivial

f = c

�1

cf

�.

Assim, os polinômios irredutíveis são aqueles que apenas possuem fatorações triviais.

ER 21. Mostre que, independente do corpo K, qualquer polinômio de grau 1 é irredutível em K[x ].

Solução: Com efeito, seja p = ax + b ∈ K[x ] um polinômio de grau 1. Obviamente ele satisfaz (i) e, se

p = gh, então 1 = gr(g) + gr(h). Logo, gr(g) = 0 ou gr(h) = 0.

ER 22. Mostre que o polinômio f = x3 − 1 ∈ R[x ] é redutível sobre R.

Solução: De fato, gr(f ) = 3 > 0 e f = (x − 1)(x2 + x + 1).

ER 23. Mostre que é falsa a afirmação: um polinômio irredutível em R[x ] é irredutível em em C[x ].

Solução: Podemos escrever em C[x ] que p = (x + i)(x− i). Portanto, ele é redutível. Assim, a irredutibil-

idade de um polinômio depende do corpo considerado.

Exemplo 2.13. O polinômio p = x2 − 2 é irredutível sobre Q, pois - como se verifica imediatamente - ele não

possui raízes racionais.

Já vimos que os únicos polinômios irredutíveis sobre C são os polinômios de grau 1, enquanto que os

polinômios irredutíveis sobre R são os de grau 1 ou os de grau 2 com discriminante negativo. Em um corpo

arbitrário K temos o seguinte resultado:

2.33 Teorema. Todo polinômio em K[x ], de grau maior do que ou igual a 1, é irredutível ou se escreve como

produto (finito!) de polinômios irredutíveis.

Prova: A demonstração será feita por indução no grau do polinômio.

O resultado é verdadeiro para polinômios de grau 1, pois estes são irredutíveis.

Seja f um polinômio de grau n, e suponhamos o resultado verdadeiro para polinômios de grau menor do

que n.

Se f for irredutível não há nada a fazer. Se f for redutível, então existem polinômios g , h ∈ K[x ] tais que

f = gh, com gr(g) > 0 e gr(h) > 0. Como gr(f ) = gr(g) + gr(h) e gr(f ) = n, temos que gr(g) < n e gr(h) < n.

Pela hipótese de indução, g e h se escrevem como produto de polinômios irredutíveis (ou são irredutíveis).

Portanto, f também pode ser escrito como produto de polinômios irredutíveis. 2

Nota 13. Note que a demonstração apresentada é análoga à do resultado correspondente para inteiros.

Se p ∈ K[x ] for irredutível e f ∈ K[x ] dividir p, então f = c ou f = cp, para alguma constante não-nula

c ∈ K.

No caso de números inteiros, temos que, se p for primo e a ∈ Z dividir p, então a = ±1 ou a±p. Assim, os

polinômios constantes não-nulos desempenham em K[x ] papel análogo ao dos elementos {−1, 1} em Z.

(Observe que {−1, 1} é o conjunto dos elementos invertíveis de Z, assim como os polinômios constantes

não-nulos são os elementos invertíveis de K[x ].)

A semelhança entre números primos em Z e polinômios em K[x ] pode ser reforçada pelo resultado seguinte.


2.34 Proposição. Sejam p, f , g ∈ K[x ], com p irredutível. Se p | f g , então p | f ou p | g .

Prova: Suponhamos que p | f g e que p ∤ f . Então f e p são primos entre si, isto é, mdc(f , p) = 1

(verifique!).

Logo, existem polinômios a, b ∈ K[x ] tais que af + bp = 1.

Multiplicando essa igualdade por g , temos af g + bpg = g .

Como p | f g e p | bpg , concluímos que p | g . 2

O próximo resultado é uma generalização da proposição anterior.

2.35 Corolário. Seja p ∈ K[x ] um polinômio irredutível. Se p dividir o produto f1f2 . . . fn, em que cada fi ∈ K[x ]

e n ≥ 1, então p divide um dos fatores fi .

Já mostramos que todo número inteiro a pode ser escrito de maneira única como

a = ±1p1p1 . . . pn,

em que p1, . . . , pn são números primos positivos. Se não tivéssemos exigido que os primos fossem positivos,

teríamos unicidade a menos de sinal (por exemplo, 6 = 2 · 3 e 6 = (−2)(−3)).

Da mesma forma, polinômios podem ser decompostos de maneira única em fatores irredutíveis, a menos

de multiplicação por constantes. Aqui temos novamente os polinômios de grau zero desempenhando o mesmo

papel dos inteiros ±1 (unidades). Por exemplo, em R[x ],

x2 + 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) =�x

2− 1�

(2x − 6).

Observe que, toda vez que p for um polinômio irredutível em K[x ] e c ∈ K uma constante não-nula, então

cp também será irredutível sobre K.

Portanto, se p = anxn + . . . + a1x + a0 for um polinômio irredutível sobre K, então (1/an)p é um polinômio

mônico e irredutível. Apresentaremos a unicidade da fatoração em polinômios irredutíveis em termos de

polinômios mônicos. A existência de uma fatoração já foi provada no Teorema 2.33.

2.36 Teorema. (Unicidade da Fatoração) Seja f um polinômio em K[x ] não-constante. Então f pode ser

escrito de maneira única como

f = cp1 · · · pn,

em que c ∈ K é uma constante e p1, . . . , pn ∈ K[x ] são polinômios mônicos irredutíveis sobre K.

Prova: Considere a afirmativa P(n): se um polinômio em K[x ], não-constante, possui uma decomposição

em n fatores mônicos irredutíveis, então essa decomposição é única, a menos da ordem dos fatores.

A afirmativa é obviamente verdadeira para n− 1.

Suponhamos a afirmativa verdadeira para n − 1 e consideremos um polinômio f que possui uma decom-

posição em n fatores:

f = cp1p2 . . . pn,

em que pi é mônico irredutível para todo i e c ∈ K.

Se f = kq1q2 . . . qt for outra decomposição de f com k ∈ K e qj ∈ K[x ] mônico irredutível (1 ≤ j ≤ t),

então

f = cp1p2 . . . pn = kq1q2 . . . qt .


Devemos ter c = k , pois essas constantes são iguais ao coeficiente do termo de maior grau de f . Além

disso, como p1 | q1q2 . . . qt , decorre do corolário anterior que p1 | qi para algum i . Reordenando os fatores, se

necessário, podemos supor que p1 | q1. Como q1 é irredutível e p1 não é constante, concluímos que p1 = q1,

pois ambos os polinômios são mônicos.

Cancelando as constantes c = k e os polinômios p1 = q1 em ambos os lados da igualdade, obtemos

p2 · · · pn = q2 · · · qt .

Tomando h = p2 . . . pn, temos duas fatorações para h, uma delas com n−1 fatores mônicos irredutíveis. A

hipótese de indução pode ser aplicada: concluímos que n = t e, após reordenação dos termos, se necessário,

que pi = qi para i = 2, . . . , n. Isso implica imediatamente o afirmado.

Da mesma forma que nos inteiros, podemos agrupar os polinômios iguais na fatoração de um polinômio

f ∈ K[x ] e escrevê-lo como

f = cpe1

1 pe2

2 . . . perr ,

em que pi 6= pj se i 6= j , e ei é um inteiro positivo, denominado multiplicidade do fator pi . Quando ei > 1,

dizemos que pi é um fator múltiplo de f .

Se f possui um fator múltiplo de grau um, sabemos que a raiz correspondente é uma raiz múltipla de f .

2

Exemplo 2.14. Em R[x ],

f = (x2 + 2)2(x + 1)3

tem x2 + 2 e x + 1 como fatores irredutíveis múltiplos e −1 como raiz de multiplicidade 3 de f .


EP 2.16. Mostre que, se p ∈ K[x ] for irredutível e c ∈ K uma constante não-nula, então cp é irredutível sobre

K.

EP 2.17. O polinômio p = 6x3 + 10x2 + 30x + 8 ∈ R[x ] fatora-se como p = (x + 2)(x + 4)(3x + 1) ou

p = 3(x + 2)(x + 4)

�x +

1

3

�. Por que isso não contradiz a unicidade da fatoração do polinômio?

EP 2.18. Fatore cada um dos seguintes polinômios em produtos de polinômios irredutíveis sobre Q, R, C:

(a) p = x4 + 1;

(b) p = x4 − 4x2 − x + 2.


BLOCO 02 Grupos

TEMA 03Grupos, Subgrupos e

Homomorfismos.

Teoria de Grupos

Introdução

A teoria de grupos foi, inicialmente, desenvolvida por Arthur Cayley. Em seguida, grandes matemáticos,

como Lagrange e Ruffini, desenvolveram essa área da matemática, mas foi Evariste Galois quem primeiro

utilizou a terminação “grupo” para representar essa mais nova estrutura da álgebra. Também é de sua autoria

a Teoria de Galois em que a teoria de grupos é uma ferramenta de suma importância.

Neste tema, veremos a definição de grupo e algumas estruturas algébricas relacionadas a grupos.

3.1 Grupos

3.1 Definição. Um conjunto G munido com a operação G × G −→ G(a, b) 7−→ a · b é um grupo se satisfaz as

seguintes condições:

(i) a operação é associativa, ou seja, a · (b · c) = (a · b) · c ;

(ii) existe elemento neutro, ou seja, ∃ e ∈ G tal que a · e = e · a = a;

(iii) todo elemento possui elemento inverso, ou seja, ∀ a ∈ G , ∃ b ∈ G , tal que a · b = b · a = e. Tal elemento b

é denotado por a−1 e chamado de elemento inverso de a.

Caso a operação seja comutativa, a · b = b · a ∀ a, b ∈ G , dizemos que o grupo é comutativo ou abeliano.

Observe que um grupo é composto por dois elementos: um conjunto e uma operação. A notação usual é

(G , ·), mas denotaremos o mesmo grupo por G com o intuito de simplificar a linguagem. Da mesma forma,

usaremos ab ao invés de a · b.

Exemplo 3.1. Z é um grupo aditivo infinito.

Exemplo 3.2. Se n ≥ 1 é um número inteiro, então o conjunto Zn dos inteiros módulo n, é um grupo aditivo

contendo exatamente n elementos.

Exemplo 3.3. O conjunto S△ das simetrias espaciais de um triângulo eqüilátero.

Seja P1P2P3 um triângulo eqüilátero. Admitiremos que o centro do triângulo está na origem (caso contrário

basta fazermos um movimento de translação). Sejam m1, m2 e m3 as retas que passam pelas medianas do

triângulo.


P1

P2 P3

m1

m2m3

As transformações espaciais que conservam o triângulo são:

(i) id , R 2π

3, R 4π

3: as rotações planas centradas na origem, no sentido anti-horário, de ângulos zero,

2π

3e

4π

3,

respectivamente;

(ii) R1, R2, R3: as rotações espaciais de ângulo π com eixos m1, m2 e m3, respectivamente.

P1

P2 P3

m1

m2m3 R2

P3

P2 P1

m3

m2m1 R3

P3

P1 P2

m3

m1m2

Nesse caso, S△ = {id , R 2π

3, R 4π

3, R1, R2, R3}, com a operação de composição de funções, é um grupo.

Exemplo 3.4. Grupo das Permutações do conjunto S .

Sejam S um conjunto não vazio e G = {f : S −→ S ; f é bijetiva}. Se ◦ é a operação composição de funções,

isto é, ◦ : G × G −→ G em que (g , f ) 7−→ g ◦ f , então (G , ◦) é um grupo chamado grupo das permutações do

conjunto S . Observe que a identidade é IS : S −→ S tal que x 7−→ x .

Exemplo 3.5. Seja G um conjunto com dois elementos, G = {e, a}. Seja ∗ uma operação em G tal que

∗ e a

e e a

a a e

Essa é a tabela de Cayley, em homenagem ao grande matemático Arthur Cayley. Ela é lida inicialmente

pela linha e depois pela coluna, ou seja,

∗ e a

e e ∗ e = e e ∗ a = a

a a ∗ e = a a ∗ a = e

A tabela de Cayley ilustra todas as operações possíveis entre os elementos de um grupo. Conseqüente-

mente, a tabela de Cayley só é utilizada para ilustrar grupos finitos. Além disso, não é interessante representar

um grupo com muitos elementos na tabela de Cayley, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo 3.6. Grupo dos inteiros módulo 5

O grupo dos inteiros módulo 5 é obtido através da operação de módulo entre dois números. A operação


utilizada será a soma de módulos. Representemos esse grupo através da tabela de Cayley:

+ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

3.2 Definição. A ordem de um grupo G é o número de elementos em G e será denotada por |G |.

Observe que a tabela de Cayley é muito útil para grupos de ordem pequena, mas não é muito operacional

caso a ordem do grupo seja muito grande.

Exemplo 3.7. Seja Mm×n(R) o conjunto das matrizes m× n com entradas reais. Então, Mm×n(R) é um grupo

com relação à operação soma. De fato, a associatividade é trivial e a matriz nula é o elemento neutro, enquanto

que a matriz −A é o elemento inverso da matriz A.

Exemplo 3.8. Seja, agora, Mn(R) o conjunto das matrizes invertíveis n×n com entradas reais. Então, Mn(R)

é um grupo com relação à operação produto. De fato, a associatividade é trivial e o elemento neutro é a matriz

identidade, enquanto que A−1 é o elemento inverso da matriz A.

ER 24. Construa a tabela de Cayley para o grupo S3.

Solução: Inicialmente, construiremos os elementos do grupo S3. Assim, seja C = {1, 2, 3}

• id : C −→ C , em que id(1) = 1, id(2) = 2 e id(3) = 3;

• f : C −→ C , em que f (1) = 2, f (2) = 1 e f (3) = 3;

• g : C −→ C , em que g(1) = 3, g(2) = 2 e g(3) = 1;

• h : C −→ C , em que h(1) = 1, h(2) = 3 e h(3) = 2;

• m : C −→ C , em que m(1) = 2, m(2) = 3 e m(3) = 1;

• n : C −→ C , em que n(1) = 3, n(2) = 1 e n(3) = 2.

Em geral, os elementos do conjunto das permutações são denotados por:�1 2 3

a b c

�em que a representa a imagem de 1, b representa a imagem de 2 e c representa a imagem de 3. Com isso,

S3 =

8<:� 1 2 3

1 2 3

�,

�1 2 3

2 1 3

�,

�1 2 3

3 2 1

�,

�1 2 3

1 3 2

�,

�1 2 3

2 3 1

�,

�1 2 3

3 1 2

�9=;TÓPICOS DE ÁLGEBRA 73

Vejamos como operar esses elementos:

f ◦ g(1) = f (g(1)) = f (3) = 3

f ◦ g(2) = f (g(2)) = f (2) = 1

f ◦ g(3) = f (g(3)) = f (1) = 2

logo, f ◦ g = n.

Por outro lado, �1 2 3

2 1 3

�◦

�1 2 3

3 2 1

�=

�1 2 3

3 1 2

�Então, a tabela de Cayley é:

◦

�1 2 3

1 2 3

� �1 2 3

2 1 3

� �1 2 3

3 2 1

� �1 2 3

1 3 2

� �1 2 3

2 3 1

� �1 2 3

3 1 2

��1 2 3

1 2 3

� �1 2 3

1 2 3

� �1 2 3

2 1 3

� �1 2 3

3 2 1

� �1 2 3

1 3 2

� �1 2 3

2 3 1

� �1 2 3

3 1 2

��1 2 3

2 1 3

� �1 2 3

2 1 3

� �1 2 3

1 2 3

� �1 2 3

3 1 2

� �1 2 3

2 3 1

� �1 2 3

1 3 2

� �1 2 3

3 2 1

��1 2 3

3 2 1

� �1 2 3

3 2 1

� �1 2 3

2 3 1

� �1 2 3

1 2 3

� �1 2 3

3 1 2

� �1 2 3

2 1 3

� �1 2 3

1 3 2

��1 2 3

1 3 2

� �1 2 3

1 3 2

� �1 2 3

3 1 2

� �1 2 3

2 3 1

� �1 2 3

1 2 3

� �1 2 3

3 2 1

� �1 2 3

2 1 3

��1 2 3

2 3 1

� �1 2 3

2 3 1

� �1 2 3

3 2 1

� �1 2 3

1 3 2

� �1 2 3

2 1 3

� �1 2 3

3 1 2

� �1 2 3

1 2 3

��1 2 3

3 1 2

� �1 2 3

3 1 2

� �1 2 3

1 3 2

� �1 2 3

2 1 3

� �1 2 3

3 2 1

� �1 2 3

1 2 3

� �1 2 3

2 3 1

�Note que S3 não é abeliano. Como a operação composição de funções não é comutativa, Sn, em geral, não

é abeliano.

Exemplo 3.9. Seja C um conjunto qualquer. Considere o conjunto Bij(C ) = {f : C −→ C ; f é bijeção}.Mostre que Bij(C ) é um grupo com a operação composição de função.

Solução: Para mostrarmos que (Bij(C ), ◦) é um grupo, temos de verificar se satisfaz às 3 propriedades

de grupos. Assim,

i) Associatividade

Sejam f , g , h ∈ Bij(C ).

f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ h = (f ◦ g) ◦ h

ii) Elemento neutro

Como a operação utilizada é a composição de funções, o elemento neutro é a função identidade, ou

seja,

id ◦ f = f ◦ id = f

iii Elemento inverso


O elemento inverso da função f será a função inversa de f, ou seja,

(f )−1 = f −1

Portanto, existe elemento inverso.

Como todas as propriedades são satisfeitas, (Bij(C ), ◦) é um grupo.

Caso C seja finito, digamos ♯C = n, Bij(C ) é chamado grupo das permutações de n elementos e denotado

por Sn. Nesse caso, |Sn| = n!

ER 25. Mostre que (A, +) em que A = {a + b√

7; a, b ∈ Z}.

Solução: Para mostrarmos que (A, +) é um grupo, temos de verificar se satisfaz às 3 propriedades de

grupos. Assim,

i) Associatividade:

Sejam a, b, c , d , m, n ∈ Z.

(a + b√

7) + [(c + d√

7) + (m + n√

7)] = (a + b√

7) + [(c + m + (d + n)√

7)]

= (a + c + m) + (b + d + n)√

7

= [(a + c) + (b + d)√

7] + (m + n√

7)

= [(a + b√

7) + (c + d√

7)] + (m + n√

7)

ii) Elemento neutro:

Como a operação utilizada é a soma, o elemento neutro é o zero, ou seja,

(0 + 0√

7) + (a + b√

7) = (a + b√

7) + (0 + 0√

7) = (a + b√

7)

iii Elemento inverso:

Sejam a, b ∈ Z e m ∈ (A, +). Então, se m for o inverso de (a + b√

7), temos

(a + b√

7) + m = 0⇒ m = (−a− b√

7)⇒ m = −(a + b√

7).

Portanto, existe elemento inverso e o elemento inverso de (a + b√

7) é −(a + b√

7).

Como todas as propriedades são satisfeitas, (A, +) é um grupo.


EP 3.1. Mostre que todos os exemplos dados no decorrer do tema são grupos.

EP 3.2. Prove que os elementos neutro e inverso são únicos.

EP 3.3. Mostre que S△ não é comutativo.


EP 3.4. Desenvolva o grupo das simetrias do quadrado.

EP 3.5. Desenvolva a tabela de Cayley para um grupo com 3 elementos.

EP 3.6. Prove que Sn é abeliano se e, somente se, C possui 1 ou 2 elementos.

3.2 Subgrupos

3.3 Definição. Seja G um grupo. Um subconjunto não vazio H de G é um subgrupo de G (denotamos H < G )

quando, com a operação de G , o conjunto H é um grupo.

Observe que as o elemento neutro de H é o mesmo elemento neutro de G . Além disso, a associatividade é

sempre válida, pois G é grupo.

3.4 Teorema. Seja H um subconjunto não vazio do grupo G . Então H é um subgrupo de G se, e somente se,

as duas condições seguintes são satisfeitas:

(i) h1 · h2 ∈ H , ∀ h1, h2 ∈ H ;

(ii) h−1 ∈ H , ∀ h ∈ H .

Prova: Suponhamos que H seja um subgrupo de G . A primeira condição é claramente satisfeita. Agora,

seja h ∈ H ; sendo H um grupo, h possui um inverso em H ; mas como o elemento inverso é único, tal inverso

é necessariamente igual ao inverso de h ∈ G , ou seja, é necessariamente igual a h−1; logo h−1 ∈ H e a

segunda condição é satisfeita.

Reciprocamente, suponhamos que as duas condições sejam satisfeitas. A associatividade é sempre

satisfeita como visto anteriormente.

A existência do elemento inverso é garantida pela segunda condição. Com isso, se h ∈ H , então h−1 ∈ H

e, pela primeira condição, e = hh−1 ∈ H , conseqüentemente, o elemento neutro pertence a H . 2

Exemplo 3.10. Se G é um grupo, então {e} e G são grupos.

Exemplo 3.11. (2Z, +) é um subgrupo de (Z, +), assim como (nZ, +) em que n um número inteiro.

Exemplo 3.12. {id , R1} e {id , R 2π

3, R 4π

3} são subgrupos de S△.

Exemplo 3.13. Sejam H e K subgrupos de G , então HT

K é subgrupo de G .

ER 26. Seja G um grupo qualquer. Mostre que o subconjunto Z (G) = {x ∈ G ; xg = gx , ∀ g ∈ G} é um

subgrupo de G .

Solução: De fato, Z (G) 6= ∅, pois ex = xe, ∀x ∈ G , logo e ∈ Z (G). Além disso, se a, b ∈ Z (G), então

abx = axb = xab =⇒ ab ∈ Z (G). Por fim, temos que se a ∈ Z (G), então

ax = xa =⇒ axa−1 = xaa−1 ⇒ a−1axa−1 = a−1xe ⇒ exa−1 = a−1x ⇒ xa−1 = a−1x

logo, a−1 ∈ Z (G). Conseqüentemente, Z (G) é um subgrupo de G chamado centro de G .


ER 27. Mostre que todo subgrupo de (Z, +) é da forma (nZ, +).

Solução: Seja H um subgrupo qualquer de G . Se H = {0}, então H = 0Z. Podemos, agora, supor que

H 6= {0}.

Seja n = min{x ∈ H ; x > 0}). Como n ∈ H e como H é um subgrupo, temos nZ ⊆ H .

Reciprocamente, seja h ∈ H ; pelo algoritmo da divisão, existem q, r ∈ Z tais que h = qn + r com

0 ≤ r < n;como h, n ∈ H , então r ∈ H também; pela minimalidade de n, temos que r = 0, pois r ∈ H e

0 ≤ r < n. Portanto h = qn, ou seja, h ∈ nZ.Logo, H = nZ.

ER 28. Desenvolva todos os subgrupos de Z6.

Solução: Observe que Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Para calcular os subgrupos, iremos partir de um elemento e

fazer todas as operações possíveis e identificar os elementos:

Seja A o subgrupo que possui 0 como elemento. Logo, 0 + 0 = 0 =⇒ 0 ∈ A.

Nesse caso, A = {0} e é um dos subgrupos triviais. Além disso, A é chamado subgrupo gerado por 0 e

denotado por < 0 >.

Calculemos, agora, os subgrupos gerados pelos demais elementos:

• Subgrupo gerado por 1:

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 1 = 4

4 + 1 = 5

5 + 1 = 0

logo, < 1 >= {0, 1, 2, 3, 4, 5} que é o próprio conjunto Z6.


2 + 2 = 4

4 + 2 = 0

logo, < 2 >= {0, 2, 4}.


3 + 3 = 0

logo, < 3 >= {0, 3}.


4 + 4 = 2

2 + 4 = 0


logo, < 4 >= {0, 2, 4} =< 2 >.


5 + 5 = 4

4 + 5 = 3

3 + 5 = 2

2 + 5 = 1

1 + 5 = 0

logo, < 5 >= {0, 1, 2, 3, 4, 5} = Z6.

Portanto, os subgrupos gerados de Z6 são < 0 >, < 1 >= Z6, < 2 > e < 3 >. Observe que estes são os

únicos subgrupos de Z6.

ER 29. Calcule o centro dos grupos Z8 e de S3.

Solução: Como Z8 é abeliano, temos que Z (Z8) = Z8 enquanto que, pela tabela de Cayley, temos que

Z (S3) = {e}.


EP 3.7. Mostre que todos os exemplos dados no decorrer do tema são subgrupos.

EP 3.8. Mostre que G é abeliano se e, somente se, Z (G) = G .

EP 3.9. Desenvolva os subgrupos de S3.

3.3 Homomorfismo

3.5 Definição. Sejam (G , ·) e (H ,×) dois grupos. Uma função f : G −→ H é um homomorfismo se ela é

compatível com as estruturas dos grupos, ou seja, se

f (a · b) = f (a)× f (b).

Exemplo 3.14. I d : (G , ·) −→ (G , ·), I d(g) = g , é um homomorfismo chamado identidade.

Exemplo 3.15. e : G −→ H , e(g) = eH para todo g ∈ G , é um homomorfismo chamado trivial.

Exemplo 3.16. Seja g ∈ G fixo. Então, f : G −→ G , f (x) = g × g−1, é um homomorfismo.

3.6 Teorema. Seja f : G −→ H um homomorfismo de grupos. Então:

1) f (eG ) = eH . De fato, f (eG ) = f (eG · eG ) = f (eG )× f (eG ).

2) f (x−1) = (f (x))−1. De fato, eH = f (eG ) = f (x · x−1) = f (x)× f (x−1).

3) Nuc(f ) := {x ∈ G ; f (x) = eH} é um subgrupo de G chamado núcleo do homomorfismo f .


4) Im(f ) = {y ∈ H ; y = f (g) para algum g ∈ G} é um subgrupo de H , chamado imagem de f .

5)Se K é um subgrupo de G , então f (K ) é um subgrupo de H .

6) A composição de homomorfismos é um homomorfismo, isto é, sejam f : (G , ·) −→ (H ,×)) e h : (H ,×) −→(K ,⊙)) dois homomorfismos de grupos. Então a composição h◦f : (G , ·) −→ (K ,⊙) é um homomorfismo.

Prova: Inicialmente, temos que eG ∈ Nuc(f ). De fato, f (eG ) = eH , logo Nuc(f ) 6= ∅. Para mostrarmos

que Nuc(f ) é um subgrupo de G , basta mostrarmos a propriedade de fechamento e a existência do elemento

inverso. Assim, sejam a, b ∈ Nuc(f ). Com isso, f (a · b) = f (a) × f (b) = eH × eH = eH , logo (a · b) ∈ Nuc(f ).

Por outro lado, eH = f (eG ) = f (a · a−1) = f (a) × f (a−1) = eH × f (a−1) = f (a−1), logo f (a−1) ∈ Nuc(f ) e,

conseqüentemente, Nuc(f ) é um subgrupo.

Sejam a, b ∈ G . h ◦ f (a · b) = h(f (a · b) = h(f (a)× f (b)) = h(f (a)) ⊙ h(f (b)) = h ◦ f (a) ⊙ h ◦ f (b)). Logo,

h ◦ f : (G , ·) −→ (K ,⊙) é um homomorfismo. 2

ER 30. Seja n ∈ Z fixo. Mostre que φn : (Z, +) −→ (Z, +), φn(z) = nz, é um homomorfismo. Mais geralmente,

se (G , ·) é um grupo abeliano, então φn : G −→ G , φ(g) = gn, é um homomorfismo.

Solução: Inicialmente, provemos que f está bem definida. Assim, se x ∈ D(f ) = Z, então f (x) = nx .

Por outro lado, se nx , ny ∈ I (f ) = Z tais que nx 6= ny , então, pela lei do cancelamento, x 6= y . Portanto, f está

bem definida.

Sejam x , y ∈ Z. Então φ(x +y) = n(x +y) = nx +ny = φ(x)+φ(y). Logo, a função φ é um homomorfismo

de grupos.

Sejam, ainda, a, b ∈ G . Então φ(a·b) = (a·b)n = an ·bn = φ(a)·φ(b). Logo, a função φ é um homomorfismo

de grupos.


EP 3.10. Considere os elementos α1 = (1̄, 0̄), α2 = (0̄, 1̄) e α = (1̄, 1̄) ∈ Z

2Z× Z

2Z

. Mostre que

fi :Z

2Z→ Z

2Z× Z

2Z0̄ 7→ (0̄, 0̄)

1̄ 7→ α1

é um homomorfismo de grupos.

EP 3.11. Mostre que existe um homomorfismo de grupos entre S3 e S△.

3.4 Isomorfismo

3.7 Definição. Seja f : G −→ H um homomorfismo de grupos. Então:


(a) f é monomorfismo, se f é injetora;

(b) f é epimorfismo, se f é sobrejetora;

(c) f é isomorfismo, se f é bijetora.

Nota 14. Se existe um isomorfismo entre dois grupos, dizemos que esses dois grupos são isomorfos e

denotamos por G ≃ H

Exemplo 3.17. O grupo (Z, +) é isomorfo ao grupo (2Z, +). Mais geralmente, o grupo (Z, +) é isomorfo ao

grupo (nZ, +).

Exemplo 3.18. O homomorfismo

fi :Z

2Z→ Z

2Z× Z

2Z0̄ 7→ (0̄, 0̄)

1̄ 7→ α1

é um homomorfismo injetivo, ou seja, é um monomorfismo.

ER 31. Seja f : Z −→ Z2. Mostre que f é um epimorfismo. Mostre ainda, que g : Z −→ Zn é um epimorfismo.

Solução: Inicialmente, construiremos a função f . Nesse caso, façamos f (x) = 0̄ se x for par ou f (x) = 1̄

se x for ímpar, ou seja, x 7−→ ( resto da divisão por 2). Mostremos que f definida dessa forma é um

homomorfismo:

f (a + b) = a + b = a + b = f (a) + f (b).

Logo, f é um homomorfismo. Basta mostrarmos que f é sobrejetora, mas Z2 possui dois elementos 0 e 1

que são imagens, respectivamente, de 0 e 1. Portanto, f é sobrejetora. Observe que f não é injetora, afinal 0

e 2 possuem mesma imagem. O caso g : Z −→ Zn é análogo e deixamos a cargo do leitor.

ER 32. Seja g ∈ G fixo. Mostre que f : G −→ G , f (x) = g × g−1, é um isomorfismo.

Solução: Sejam x , y ∈ G , tais que f (x) = f (y).

f (x) = f (y)⇒ gxg−1 = gyg−1 ⇒ g−1gxg−1 = g−1gxg−1 ⇒ exg−1g = exg−1g ⇒ xe = ye ⇒ x = y

Logo, f é injetiva.

Por outro lado, seja a ∈ G . Então, g−1ag ∈ G e f (g−1ag) = g(g−1ag)g−1 = eae = a, logo f é sobrejetiva

e, portanto, isomorfismo.


EP 3.12. Mostre que S3 é isomorfo a S△.

EP 3.13. Seja ψ um homomorfismo de grupos. Mostre que ψ é injetiva se, e somente se, Nuc(ψ) = {e}.


TEMA 04 Outros Tipos de Grupos

Grupos Cíclicos

4.1 Potências e Múltiplos

4.1 Definição. Seja G um grupo multiplicativo. Dado a ∈ G , define-se potência m-ésima de a, para todo inteiro

m, da seguinte maneira:

• se m ≥ 0, por recorrência da seguinte forma

a0 = e (elemento neutro de G );

am = am−1a se m ≥ 1.

• se m < 0, am = (a−m)−1.

ER 33. No grupo multiplicativo Mn(R) tomando o elemento a =

�1 1

2 3

�calcule a0, a2, a−1 e a−2.

Solução:

• a0 =

�1 0

0 1

�• a2 = a · a =

�1 1

2 3

��1 1

2 3

�=

�3 4

8 11

�• a−1 =

�1

det a

�· adj(a)

• a−2 = (a2)−1 =

�3 4

8 11

�−1

=1

33− 32·

�11 −4

−8 3

�=

�11 −4

−8 3

�ER 34. No grupo multiplicativo Z∗

5 (observe que este é, de fato, um grupo pois 5 é um número primo garantindo

assim que todos os elementos são invertíveis com relação à multiplicação), tomando o elemento 2, calcule 20,

22, 2

3, 2

−1e 2

−2.

Solução:

20

= 1, 22

= 2 · 2 = 4, 23

= 2 · 2 · 2 = 3, (2)−1 = 3, (2)−2 = (22)−1 = (4)−1 = 4, etc.

ER 35. Dada a permutação a =

�1 2 3

2 3 1

�, calcule a0, a2, a3 e a−1.


Solução:

• a0 =

�1 2 3

1 2 3

�= elemento neutro de S3,

• a2 = a ◦ a =

�1 2 3

2 3 1

�◦

�1 2 3

2 3 1

�=

�1 2 3

3 1 2

�,

• a3 = a2 ◦ a =

�1 2 3

3 1 2

�◦

�1 2 3

2 3 1

�=

�1 2 3

1 2 3

�,

• a−2 = (a2)−1 =

�1 2 3

3 1 2

�−1

=

�1 2 3

2 3 1

�, etc.

Da definição dada decorrem as seguintes propriedades:

(a) aman = am+n, ∀ a ∈ G e ∀ m, n ∈ Z;

(b) (am)n = amn, ∀ a ∈ G e ∀ m, n ∈ Z;

(c) a−m = (am)−1 = (a−1)m, ∀ a ∈ G e ∀ m ∈ Z

Provaremos, a seguir, a primeira dessas propriedades. As outras deixaremos como exercício.

4.2 Proposição. Dado um grupo multiplicativo G , se a ∈ G e m, n ∈ Z, então aman = am+n.

Prova:

(I) n ≥ 0 e m + n ≥ 0. (Este caso será tratado por indução sobre n).

n = 0 =⇒ aman = ama0 = ame = am = am+0 = am+n

Suponhamos amar = am+r , onde r ≥ 0. Daí

amar+1 = am(ara) = (amar )a = am+ra = a(m+r)+1 = am+(r+1)

(II) Suponhamos agora que m e n são dois inteiros quaisquer. Tomemos um número inteiro p > 0 tal que

p+m > 0, p+n > 0 e p+m+n > 0. Então , observando que apa−p = ap(ap)−1 = e (como conseqüência

da definição) temos:

am+n = am+n(apa−p) = (am+nap)a−p = a(m+n)+pa−p = am+(n+p)a−p.

Observe que na terceira igualdade acima foi usada a primeira parte da demonstração. Aplicando nova-

mente o resultado da primeira parte temos

am+(n+p)a−p = (am(anap))a−p = ((aman)ap)a−p = (aman)(apa−p) = (aman)e = aman.

2


Nota 15. Para um grupo aditivo G define-se múltiplo (ao invés de potência) de um elemento a ∈ G da

seguinte maneira:

(a) m ≥ 0, por recorrência assim

0a = e( elemento neutro de G) e ma = (m − 1)a + a, se m ≥ 1;

(b) se m < 0, então ma = (−m)(−a).

Exemplo 4.1. No grupo aditivo Z4, tomando o elemento 3, temos:

0 · 3 = 0, 2 · 3 = 3 + 3 = 2, 3 · 3 = 3 + 3 + 3 = 1,−3 = 1,−2 · 3 = −(2 · 3) = −2 = 2, etc .

O elemento ma é chamado múltiplo de a segundo m. É claro que nessa definição m ∈ Z. As propriedades

são análogas às que apresentamos para potências em grupos multiplicativos, ou seja,

(a) ma + na = (m + n)a;

(b) m(na) = (mn)a;

(c) (−m)a = m(−a) = −(ma), ∀ m, n ∈ Z e ∀ a ∈ G .


EP 4.1. Construa os seguintes subgrupos:

(a) [−1]+ em (Q, +) (b) [3]+ em (Z, +) (c) [3] em (Q∗, ·) (d) [i ] em (C∗, ·)

4.2 Grupos Cíclicos

4.3 Definição. Um grupo multiplicativo G se denomina grupo cíclico se existe um elemento a ∈ G de maneira

que G = {am/m ∈ Z}. Notação G = [a]. O elemento a é dito gerador de G .

ER 36. Mostre que o grupo multiplicativo G = {1,−1} é cíclico.

Solução: G = {1,−1} é cíclico, uma vez que {(−1)m/m ∈ Z} = {1,−1} = G .

Exemplo 4.2. O grupo multiplicativo dos números racionais não é cíclico. É claro que não existe um número

racionalr

s6= 0 do qual todos os números racionais não nulos sejam potências, pois isto acarretaria que o

conjunto dos números primos é finito, o que é absurdo.

Nota 16. • Todo grupo cíclico é abeliano pois aman = am+n = an+m = anam.

• Um mesmo grupo cíclico pode conter mais do que um gerador. O leitor é convidado a provar essa

afirmação num dos exercícios propostos.

• Se G é um grupo aditivo cíclico gerado por a, então G = {ma/m ∈ Z} = [a]+.


4.4 Proposição. Dado um grupo multiplicativo G , se a ∈ G , então o subconjunto H = {am/m ∈ Z} é um

subgrupo de G .

Prova: Como a0 = e, então e ∈ H . Por outro lado, se x , y ∈ H , então existem m, n ∈ Z de modo que

x = am e y = an. Daí

xy−1 = ama−n = am−n ∈ H .

2

A proposição anterior nos diz que todo elemento a de um grupo G é um gerador de um subgrupo cíclico. Tal

subgrupo será indicado por [a] notação que é coerente com a Definição 4.3. Assim: [a] = {am/m ∈ Z}.

Exemplo 4.3. No grupo multiplicativo dos complexos: [i ] = {1,−1, i ,−i}.

Exemplo 4.4. No grupo multiplicativo dos reais: [−1] = {1,−1}.

Exemplo 4.5. No grupo multiplicativo dos racionais: [2] =

§. . . ,

1

4,1

2, 1, 2, 4, . . .

ª.

Exemplo 4.6. No grupo aditivo dos inteiros: [1]+ = [−1]+ = Z o que significa que Z é cíclico.

Exemplo 4.7. No grupo S3 se a =

�1 2 3

2 1 3

�, [a] = {e, a} (Verifique!).

4.2.1 Grupos Cíclicos Infinitos

Seja G um grupo multiplicativo cujo elemento neutro indicaremos por e. Suponhamos que a seja um ele-

mento de G com a seguinte característica:

am = e ⇔ m = 0.

O elemento 2 no grupo multiplicativo dos reais tem essa propriedade já que

2m = 1⇔ m = 0.

Nesse caso, vale a seguinte proposição:

4.5 Proposição. A aplicação f : Z → [a], dada por f (m) = am, ∀ m ∈ Z, é um isomorfismo do grupo aditivo Z

no grupo [a].

Prova: f (m + n) = am+n = aman = f (m)f (n), ∀ m, n ∈ Z , ou seja, f é homomorfismo. Temos que

N(f ) = {m ∈ Z/am = e} = {0}, devido à hipótese subjacente ao caso que estamos considerando. assim, f é

injetivo. É óbvio que f é sobrejetivo: todo ar ∈ [a] provém de r através de f . 2

4.6 Definição. Dado um elemento a de um grupo multiplicativo G , se

am = e ⇔ m = 0

dizemos que o elemento a tem período zero (ou ordem zero) e que o grupo [a] é um grupo cíclico infinito.

Exemplo 4.8. O elemento 2 tem período zero no grupo multiplicativo dos reais, conforme já vimos. O

isomorfismo entre Z e [2] pode ser assim visualizado:

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} → [2] =

§. . . ,

1

4,1

2, 1, 2, 4, . . .

ª.


4.2.2 Grupos Cíclicos Finitos

Analisemos, a partir de agora, a possibilidade contrária à considerada anteriormente, ou seja, a é um ele-

mento de um grupo multiplicativo G e ∃m ∈ Z, m 6= 0, de modo que am = e (elemento neutro de G ). Neste caso

a−m = (am)−1 = e−1 = e.

Logo, podemos dizer, com a hipótese considerada agora, que existe um número inteiro r > 0, de modo que

ar = e.

4.7 Definição. O menor número inteiro h > 0 tal que ah = e chama-se período ou ordem do elemento a.

Notação: o(a) = h.

Exemplo 4.9. (i) O elemento i ∈ C∗ tem período 4 porque i1 = i , i2 = −1, i3 = −i , i4 = 1.

(ii) O período do elemento (−1) no grupo multiplicativo Q∗ é 2 pois (−1)1 = −1, (−1)2 = 1.

(iii) O período do elemento a =

�1 2 3

2 1 3

�no grupo S3 é 2. A razão é a seguinte:

a1 = a, a2 =

�1 2 3

2 1 3

�◦

�1 2 3

2 1 3

�=

�1 2 3

1 2 3

�= e

4.8 Proposição. Seja a um elemento de um grupo multiplicativo G . Se a ordem de a é h > 0, então [a] é um

grupo finito de ordem h dado por [a] =�e, a, a2, . . . , ah−1

©.

Prova: Mostraremos primeiro que o conjunto�e, a, . . . , ah−1

©tem exatamente h elementos. De fato:

0 ≤ i < j < h e ai = aj ⇒ 0 < j − i < h e aj−i = e,

um absurdo, pois o(a) = h. Logo, não há elementos iguais nesse conjunto e são h os seus elementos.

Mostraremos agora que [a] =�e, a, a2, . . . , ah−1

©para o que é suficiente mostrar que o primeiro desses

conjuntos está contido no segundo. Ora, ∀ x ∈ [a], existe m ∈ Z de maneira que x = am. Usando o algoritmo

da divisão em Z com relação aos elementos m e h temos

∃q, r ∈ Z/m = hq + r com 0 ≤ r < h.

Daí:

x = am = ahq+r = ahqar = (ah)qar = eqar = ear = ar .

Como 0 ≤ r < h, então x ∈�e, a, a2, . . . , ah−1

©. 2

A proposição que acabamos de provar nos leva ao fato que, se o período de um elemento a de um grupo G

é h > 0, então a ordem do subgrupo gerado por a também é h : o(a) = o([a]).

4.9 Definição. Seja G = [a] um grupo cíclico. Dizemos G é um grupo cíclico finito se o período do elemento a

for um número natural h > 0. Pelo que já vimos é claro que neste caso G =�e, a, a2, . . . , ah−1

©.

4.10 Proposição. Seja a um elemento de período h > 0 de um grupo G . Então: am = e ⇔ h | m.

Prova: Dado m ∈ Z, existem q, r ∈ Z de modo que m = hq + r com 0 ≤ r < h. Daí:

e = am = ahq+r = (ah)qar = eqar = ear = ar .


Como r < h, então r = 0 (pois o período de a é h). Assim, m = hq e h | m.

Reciprocamente, se h | m, então existe q ∈ Z de maneira que m = hq. Portanto,

am = ahq = (ah)q = eq = e.

2

4.11 Proposição. Seja G um grupo cíclico finito de ordem h. Então G é isomorfo ao grupo aditivo Zh.

Prova: Se a é gerador de G , então G =�e, a, a2, . . . , ah−1

©. Consideremos a correspondência s 7−→ as

de Zh em G . Trata-se de uma aplicação injetora porque

s = t ⇐⇒ s ≡ t(mod h)⇐⇒ (∃q ∈ Z/s − t = hq)⇐⇒ as−t = ahq = e ⇐⇒ as = at .

É claro que é uma aplicação sobrejetora. Para mostrar que é um homomorfismo vamos chamá-la de f .

Então

f (s + t) = f (s + t) = as+t = asat = f (s)f (t), ∀ s, t ∈ Zh.

2

Esta proposição significa que quando tivermos de pensar em grupos cíclicos finitos podemos pensar em

grupos aditivos de classe de restos.


EP 4.2. Ache um grupo de ordem 4 cíclico e um não cíclico.

EP 4.3. Mostre que (Zm, +) é cíclico para todo m > 1.

EP 4.4. Seja G = [a] um grupo cíclico de ordem h. Mostre que: at ∈ G é um gerador de G ⇔ mdc(h, t) = 1.

EP 4.5. Mostre que todo grupo cíclico infinito tem dois e somente dois geradores.

4.3 Grupos Gerados Por Subconjuntos

Seja G um grupo multiplicativo. Dado um subconjunto não vazio L ⊂ G , vamos construir, a partir de L, um

outro subconjunto de G o qual indicaremos por [L].

Temos que

[L] = {aα1

1 aα2

2 . . . aαtt /t ≥ 1, a1, . . . , at ∈ L e α1, . . . ,αt ∈ Z}

É claro que [L] 6= φ pois, inclusive, L ⊂ [L] (verifique). Mostraremos que [L] é um subgrupo de G . De fato,

dados x , y ∈ [L], então

x = aα1

1 aα2

2 . . . aαtt e y = b

β1

1 bβ2

2 . . . bβss , onde ai , bj ∈ L e αi ,βj ∈ Z.

Daí

xy−1 = aα1

1 . . . aαtt b−βs

s . . . b−β1

1

o que significa que xy−1 ∈ [L].


Logo [L] é um subgrupo de G . É o “menor” subgrupo de G que contém L, isto é, dado um subgrupo K de G ,

se L ⊂ K , então [L] ⊂ K .

É claro, por outro lado, que se L = {a}, então [L] = {am/m ∈ Z} é o subgrupo cíclico gerado por a.

4.12 Definição. O grupo [L] obtido por intermédio das considerações anteriores é chamado subgrupo gerado

por L. Quando existe um subconjunto finito e não vazio L de modo que [L] = G , dizemos que o grupo G é um

grupo de tipo finito.

Exemplo 4.10. (i) Todo grupo cíclico é de tipo finito.

(ii) Um grupo diedral D2n =�e, a, . . . , an−1, b, ba, . . . , ban−1

é gerado por L = {a, b} .

Subgrupos Normais e Grupos Quocientes

4.4 Classes Laterais

4.13 Definição. Seja H um subgrupo de um grupo (G , ∗). Dado a ∈ G indicaremos por a ∗H (respectivamente

por H ∗ a) e chamaremos de classe lateral à esquerda (respectivamente à direita), módulo H , definida por a, o

seguinte subconjunto de G :

a ∗ H = {a ∗ x/x ∈ H}

(respectivamente, H ∗ a = {x ∗ a/x ∈ H}). Se G é um grupo comutativo é claro que a ∗ H = H ∗ a, ∀ a ∈ G .

Exemplo 4.11. Sejam o grupo multiplicativo G = {1, i ,−1,−i} e seu subgrupo H = {1,−1}. Temos:

1 · H = {1 · 1, 1 · (−1)} = {1,−1} = H · 1(−1) · H = {(−1) · 1, (−1) · (−1)} = {−1, 1} = H · (−1)

i · H = {i · 1, i · (−1)} = {i ,−i} = H · i(−i) · H = {(−i) · 1, (−i) · (−1)} = {−i , i} = H · (−i)

Exemplo 4.12. Sejam o grupo aditivo G = Z6 e seu subgrupo H =�0, 3©

. Temos:

0 + H =�0 + 0, 0 + 3

©=�0, 3©

= H + 0

1 + H =�1 + 0, 1 + 3

©=�1, 4©

= H + 1

2 + H = {2 + 0, 2 + 3} = {2, 5} = H + 2

3 + H =�3 + 0, 3 + 3

©=�3, 0©

= H + 3

4 + H =�4 + 0, 4 + 3

©=�4, 1©

= H + 4

5 + H =�5 + 0, 5 + 3

©=�5, 2©

= H + 5

Exemplo 4.13. Sejam G o grupo multiplicativo dos reais e H = {x ∈ R∗/x > 0}. Então,

• ∀ a > 0 =⇒ aH = H

• ∀ a < 0 =⇒ aH = {x ∈ R∗/x < 0}.


4.4.1 Proposições Sobre Classes Laterais

Nas considerações abaixo usaremos novamente a notação multiplicativa para indicar a lei de composição de

um grupo arbitrário. A razão dessa escolha é a mesma de sempre. Trabalhemos, ademais, com classes laterais

à esquerda, uma vez que para o que temos em vista tanto faz usar classes à direita ou à esquerda. Inclusive

as demonstrações seriam análogas com classes à direita. Seja pois G um grupo multiplicativo e suponhamos

que H um subgrupo de G .

4.14 Proposição. A união de todas as classes laterais módulo H é igual a G .

Prova: Seja e o elemento neutro de G . Então e ∈ H . Logo todo elemento a ∈ G pertence à classe aH

pois a = ae. Se cada elemento de G está numa classe lateral à esquerda, módulo H , nossa afirmação está

provada. 2

4.15 Proposição. (∀ a, b ∈ G)(aH = bH ⇐⇒ a−1b ∈ H).

Prova: (=⇒) Vimos na demonstração anterior que a ∈ aH . Como aH = bH , então a ∈ bH . Daí existe

h ∈ H de modo que a = bh. Concluímos, portanto, que a−1b = h−1 ∈ H .

(⇐=) Como a−1b ∈ H , então existe h ∈ H tal que a−1b = h. Daí resulta que a = bh−1.

Seja y ∈ aH . Então y = ah1, onde h1 é um elemento de H . Teremos, então

y = ah1 = (bh−1)h1 = b(h−1h1)

o que vem mostrar que y ∈ bH . Assim provamos que aH ⊂ bH . É claro que, também, bH ⊂ aH . Portanto,

aH = bH . 2

4.16 Proposição. Sejam aH e bH duas classes laterais módulo H genéricas. Então aH ∩bH = φ ou aH = bH .

Prova: Suponhamos que exista x ∈ aH ∩ bH . Então existem h1, h2 ∈ H de forma que x = ah1 = bh2.

Segue, então, que a−1b = h1h−12 ∈ H . Pela proposição anterior podemos dizer que aH = bH . 2

4.17 Proposição. Toda classe lateral aH é equipotente a H , isto é, existe uma bijeção entre aH e H .

Prova: A aplicação f : H 7−→ aH dada por f (h) = ah, ∀ h ∈ H , é uma bijeção pois f (h1) = f (h2) =⇒ah1, = ah2 =⇒ h1 = h2 e dado ah ∈ aH é evidente que ah é a imagem de h pela aplicação f . 2

Nota 17. Das proposições acima podemos inferir que o conjunto das classes laterais à esquerda, módulo

H , forma uma partição em G , com a peculiaridade de que aqui as classes são conjuntos equipotentes.

Se o conjunto das classes laterais à esquerda é finito, o número de classes à esquerda é igual ao de

classes à direita isto poderia ser provado mostrando que aH 7−→ Ha−1 é uma bijeção o que, aliás, vale

em qualquer caso. No caso finito chamaremos de índice de H em G o número de classes laterais módulo

H em G . Notação: (G : H).

Exemplo 4.14. Tomemos o grupo aditivo Z6 e consideremos o subgrupo H =�0, 2, 4

©. As classes módulo

H , à esquerda ou à direita, pois G é comutativo, são

H = 0 + H =�0, 2, 4

©e 1 + H =

�1, 3, 5

©já que as outras que poderiam ser construídas coincidem com uma dessas. Então a partição de Z6 nesse caso

é feita por duas classes, cada uma com 3 elementos. Logo (Z6 : H) = 2.


4.4.2 Teorema de Lagrange

Continuaremos a usar neste item a notação multiplicativa. Mas os grupos aqui considerados serão finitos.

4.18 Teorema. [Lagrange] Seja H um subgrupo de um grupo finito G . Então o(H) | o(G) e o(G) = o(H)(G : H).

Prova: Suponhamos (G : H) = r e seja {a1H , . . . , arH} o conjunto de todas as classes laterais à es-

querda, módulo H . Então

a1H ∪ . . . ∪ arH = G .

Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada

classe é o(H) pela proposição 4.17, então

r · o(H) = o(G).

Como r = (G : H) o teorema está provado. 2

4.19 Corolário. Sejam a ∈ G e H = [a]. Então o período de a divide a ordem de G e o quociente nessa divisão

é (G : H).

Prova: Basta lembrar que o(a) = o(H) e que, devido ao teorema, o(G) = o(H)(G : H). 2

4.20 Corolário. Se a é um elemento de G , então ao(G) = e.

Prova: Seja H = [a]. Então o(G) = o(H)(G : H) = o(a)(G : H). Mas ao(a) = e. Assim,

ao(G) = (ao(a))(G :H) = e(G :H) = e.

2

4.21 Corolário. Todo grupo finito G , cuja ordem é um número primo p, é cíclico e seus únicos subgrupos são

os triviais: G e {e}.

Prova: Como p > 1, então existe a ∈ G tal que a 6= e. Logo H = [a] é um subgrupo de G de ordem no

mínimo igual a 2: H contém e e a pelo menos. Como o(H) | o(G) e o(G) é um número primo, concluímos que

o(H) = p. Daí segue que H = G e, portanto, G é cíclico.

Por outro lado, como os subgrupos de G devem ter ordem 1 ou p (devido ao teorema), podemos afirmar

que G só comporta mesmo os subgrupos triviais. 2


EP 4.6. Determinar todas as classes laterais de H =�0, 2©

no grupo aditivo Z4.

EP 4.7. Determinar todas as classes laterais de 3Z no grupo aditivo Z.

EP 4.8. Se H é um subgrupo de G tal que (G : H) = 2, mostre que aH = Ha, ∀ a ∈ G .

EP 4.9. Mostre que são equipotentes os conjuntos das classes laterais à esquerda e o das classes laterais

à direita para todo subgrupo de um grupo G . ( Sugestão: considere ϕ(aH) = Ha−1.)


4.5 Subgrupos Normais

Continuaremos considerando nesta seção grupos multiplicativos. Mas é evidente que, mudada a notação,

os resultados que obteremos são válidos em geral: por exemplo, para grupos aditivos.

4.22 Definição. Um subgrupo N de um grupo G se diz normal de G se, e somente se, xN = Nx , ∀ x ∈ G .

Notação: N � G .

No caso de N ser subgrupo normal de G indicaremos por G/N o conjunto das classes laterais à esquerda

(que é o mesmo das classes laterais à direita), módulo H , em G . Se G é comutativo todo subgrupo de G é

normal.

4.23 Proposição. Seja N um subgrupo normal de G . Então G/N é fechado em relação à lei “multiplicação de

subconjuntos de G ”. Mais precisamente vale a igualdade (aN)(bN) = (ab)N , ∀ a, b ∈ G .

Prova: x ∈ (ab)N ⇒ ∃n ∈ N/x = (ab)n ⇒ x = (ae)(bn), onde e, n ∈ N ⇒ x ∈ (aN)(bN). Com isso

ficou provado que (ab)N ⊂ (aN)(bN). Para a inclusão contrária, temos que x ∈ (aN)(bN)⇒ ∃n1, n2 ∈ N/x =

(an1)(bn2) = a(n1b)n2. Mas n1b ∈ Nb = bN . Assim ∃n ∈ N/n1b = bn. Portanto,

x = a(bn)n2 = (ab)(nn2) ∈ (ab)N .

Isso nos garante a inclusão (aN)(bN) ⊂ (ab)N concluindo a prova. 2


EP 4.10. Prove que se N � G , a ∈ G e n ∈ N , então existe um elemento n′ ∈ N tal que an = n′a.

EP 4.11. Sejam M e N subgrupos normais de G . Mostre que M ∩ N e MN também o são.

4.6 Grupos Quocientes

Seja N um subgrupo normal de G . Observemos que

(a) (aN)(bN) = (ab)N , ∀ a, b ∈ G ;

(b) [(aN)(bN)](cN) = (aN)[(bN)(cN)], ∀ a, b, c ∈ G pelo item anterior;

(c) ∀ a ∈ G ⇒ (aN)(eN) = (eN)(aN) = aN ;

(d) ∀ a ∈ G ⇒ (aN)(a−1N) = (a−1N)(aN) = eN = N .

Todas essas propriedades nos mostra que (G/N , ·) é um grupo.

4.24 Definição. O grupo G/N obtido por meio das considerações anteriores é chamado grupo quociente de

G por N . É claro que a existência de G/N pressupõe que N seja normal.

Exemplo 4.15. Se G = {1, i ,−1,−i} e H = {1,−1}, então G/H = {H , iH}.

Exemplo 4.16. Se G = Z6 e H =�0, 3©

então, G/H =�H , 1 + H , 2 + H

©.



EP 4.12. Determinar todos os subgrupos não triviais do grupo aditivo Z6. Em cada caso construir o grupo

quociente.

EP 4.13. Construa a tábua do grupo quociente Z/2Z.

4.7 Teorema do Isomorfismo

Apresentaremos agora um dos resultados mais importantes da teoria de grupos: O Teorema do Isomorfismo.

Antes, vejamos um lema que será usado na sua demonstração.

4.25 Lema. Se f é um homomorfismo do grupo G no grupo J, então N(f ), onde N representa o núcleo de f ,

é um subgrupo normal de G .

Prova: Já sabemos que é subgrupo. Temos de provar que xN = Nx , ∀ x ∈ G , onde N = N(f ).

y ∈ xN ⇒ ∃n ∈ N/y = xn⇒ ∃n ∈ N/y = (xnx−1)x .

Mas

f (xnx−1) = f (x)f (n)f (x−1) = f (x)u(f (x))−1 = u,

em que u é o elemento neutro de J. Isso significa que xnx−1 ∈ N . Portanto,

y = (xnx−1)x ∈ Nx .

Mostramos, assim, que xN ⊂ Nx . A inclusão contrária é concluída de forma análoga. 2

4.26 Teorema. [do Isomorfismo] Seja f um homomorfismo sobrejetor (epimorfismo) do grupo G no grupo J.

Se N = N(f ), então G/N ≃ J.

Prova: Consideramos a relação aN → f (a) de G/N em J. Trata-se de uma aplicação injetora porque

aN = bN ⇔ a−1b ∈ N ⇔ f (a−1b) = u (elemento neutro de J) ⇔ (f (a))−1f (b) = u ⇔ f (a) = f (b). Vamos

chamar essa aplicação de σ.

Dado y ∈ J, existe x ∈ G de modo que f (x) = y . Tomando a classe xN , teremos σ(xN) = f (x) = y .

Então σ é também sobrejetora.

Finalmente, temos que: σ[(aN)(bN)] = σ[(ab)N ] = f (ab) = f (a)f (b) = σ(aN)σ(bN). 2


Nota 18. A aplicação ϕ : G −→ G/N dada por ϕ(a) = aN é um homomorfismo de grupos pois ϕ(ab) =

(ab)N = (aN)(bN) = ϕ(a)ϕ(b), ∀ a, b ∈ G . Este homomorfismo é chamado homomorfismo canônico de G

sobre G/N e com ele podemos construir o seguinte diagrama de grupos e homomorfismos:

G/N

G J

ϕ

f

σ

onde f = σ ◦ ϕ, pois

(σ ◦ ϕ)(a) = σ(aN) = f (a), ∀ a ∈ G .


EP 4.14. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e N um subgrupo normal de G . Mostre que NH é um

subgrupo de G e NH = HN .

EP 4.15. Seja T um subgrupo cíclico e normal de G . Mostre que todo subgrupo de T é subgrupo normal de

G .

Complemento sobre Anéis

4.8 Anel

Sejam (x , y) 7→ x + y e (x , y) 7→ xy leis da adição e multiplicação num conjunto A 6= φ. Suponhamos que

(I) O conjunto A é um grupo abeliano em relação à primeira dessas leis (adição), isto é:

(a) (∀ a, b, c ∈ A)(a + (b + c) = (a + b) + c)

(b) (∀ a, b,∈ A)(a + b = b + a)

(c) Existe elemento neutro para essa adição. Será ele indicado por OA ou apenas O, quando não

houver possibilidade de confusão: é o zero do anel. Portanto, para todo a ∈ A, temos: a + 0 = a;

(d) Todo elemento de A admite um simétrico aditivo. Ou seja, para todo a ∈ A existe um elemento em

A, indicado por (−a), de forma que a + (−a) = 0;

(II) A segunda das leis consideradas (multiplicação) é associativa:

(∀ a, b, c ∈ A)(a(bc) = (ab)c);

(III) A multiplicação é distribuída em relação à adição: (∀ a, b, c ∈ A)(a(b + c) = ab + ac e (a + b)c = ac + bc).

4.27 Definição. Nas condições expostas dizemos que o conjunto A é um anel em relação à adição e à mul-

tiplicação consideradas. Ou ainda, que a terna ordenada formada pelo conjunto A, a adição e a multiplicação

(resumidamente (A, +, ·)) é um anel. Às vezes diremos apenas “A é um anel” ou falaremos do “anel A”, por

simplificação de linguagem, mas isso pressupõe, naturalmente, um par de leis de composição internas em A

(com as propriedades citadas) sobre as quais não há nenhuma dúvida.


4.9 Exemplos Importantes de Anéis

Exemplo 4.17. São exemplos clássicos de anéis:

• Anel dos inteiros (Z, +, ·);

• Anel dos racionais: (Q, +, ·);

• Anel dos reais: (R, +, ·);

• Anel dos complexos: (C, +, ·). As operações aqui citadas são as usuais.

Exemplo 4.18. Os conjuntos nZ = {nq/q ∈ Z} (n ∈ N; n ≥ 1) são fechados em relação às operações usuais

de Z, pois,

nq1 + nq2 = n(q1 + q2) e (nq1)(nq2) = n(nq1q2).

É fácil provar (fica como exercício) que, para cada n ≥ 1, os seis axiomas da definição dada se verificam.

Logo, temos aí uma seqüência de anéis: Z, 2Z, 3Z, . . .

Exemplo 4.19. Cada conjunto Zm =�0, 1, . . . , m − 1

©, ∀ m ∈ Z, m > 1, é um anel em relação às operações

já definidas para Zm

a + b = a + b e ab = ab, ∀ a, b ∈ Zm

As propriedades dessas duas leis, estudadas anteriormente, nos garantem que, de fato, (Zm, +, ·) é um

anel. O zero desse anel é 0 e o oposto de um elemento a é m − a. Por simplicidade, escrevemos apenas

Zm = {0, 1, . . . , m − 1} em várias oportunidades. Quando assim procedemos, para operar com os elementos

de Zm devemos observar que a + b = resto na divisão euclidiana de a + b(∈ Z) por m e ab = resto na divisão

euclidiana de ab(∈ Z) por m.

Por exemplo, ao trabalhar em Z4 poderemos indicar os quatro elementos deste conjunto apenas por 0, 1, 2

e 3, ou seja, Z4 = {0, 1, 2, 3}. Nessas condições teremos, por exemplo, 2 + 2 = 0 e 2 · 3 = 2.

Exemplo 4.20. Anéis de Matrizes.

Consideremos os conjuntos Mn(Z)(∀ n ≥ 1). Já descrevemos grupos aditivos de matrizes e os grupos

lineares. Lá lembramos uma série de propriedade sobre matrizes quadradas: o suficiente para podemos dizer

agora que cada Mn(Z) é um anel em relação à adição e à multiplicação de matrizes n × n (Verifique!).

Analogamente são anéis: Mn(Q), Mn(R) e Mn(C).

De um modo geral, se A é um anel, podemos construir o conjunto Mn(A) das matrizes n × n sobre A e

transformar este conjunto num anel: é só generalizar o que se faz, por exemplo, com Mn(Z).


Referências Bibliográficas

[1] DOMINGUES, Higino H. & Fundamentos da Aritmética . São Paulo: Atual Editora, 1991.

[2] DOMINGUES, Higino H. & IEZZI, Gelson; Álgebra moderna . São Paulo: Atual Editora, 1982.

[3] MONTEIRO, L. H. Jacy; Iniciação às Estruturas Algébricas . São Paulo: Nobel, 1982.

[4] BOYER, Carl B.; História de Matemática . 2a edição. São Paulo: Edgard Blucher, 1996.

[5] GRUPO DE ÁLGEBRA, ; Introdução ao Estudo dos Polinômios . Belo Horizonte: UFMG, 1998.

[6] GRUPO DE ÁLGEBRA, ; Introdução à Teoria dos números . Belo Horizonte: UFMG, 1998.

[7] AYRES JR., Frank; Álgebra Moderna . 1a edição. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1971.

[8] FERNANDES, Ângela Maria Vidigal & GONÇALVES, Mirian Buss; Fundamentos de Álgebra . Belo Hori-

zonte: UFMG, 2005.


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