Post on 24-Jan-2019
Funções vetoriais
I) Funções vetoriais a valores reais:
I = intervalo da reta real denominada domínio da função vetorial f = {conjunto de todos os valores possíveis de t, para os quais todas as componentes estão definidas}.
(t))f(t),....,f(t),(f(t)f t
n21=
→⊂r
a
rn RR I:f
para os quais todas as componentes estão definidas}.Imagem f : conjunto de vetoresCassi particular:
Exemplo 1: defina o domínio e a imagem da função vetorial a seguir:
(t))f(t),f(t),(f(t)f t
321
3
=
→⊂r
a
r RR I:f
)()()()( 321 fDomfDomfDomfDom II=
)1-tt),-ln(41),(sin(t(t)f t
3
++=
→⊂r
a
r RR I:f
)sin(t),-t-4
11,((t)f t
2
3
+=
→⊂
t
RR I:fr
a
r
Exemplo 2.- Defina o domínio e a imagem da função vetorial aSeguir
Resposta: Dom(f)={...,[-4pi,-3pi],[-2pi,-pi],[0,pi]}.
Curva espacial: dada uma função vetorial
Tal que f1(t), f2(t),...fn(t) são funções reais continuas no domínio da função vetorial f. Então o conjunto V de pontos do espaço R3
tais que x1 = f1(t), x2 = f2(t),x3 = f3(t),......xn = fn(t)...............(*) ; e t variando no domínio de f é chamado de curva espacial. As equações (*) são denominadas equações paramétricas de V
(t))f(t),....,f(t),(f(t)f t
n21=
→⊂r
a
rn RR I:f
Curvas no espaço tri-dimensional R3
Quando uma partícula se movimenta no espaço R3, ela descreve
uma curva r(t) denominada trajetória.
))(),(),(((t))r(t),r(t),(r(t)r t
],[
321
3
tztytx
RbaI:r
==
→=
a
Exemplo: seja a função vetorial definida no espaço R3
Esta função define uma curva no espaço R3, denominadade helicóide.
)),sin(),cos(()( vttatatf =r
usando Maple> restart; #helicoide> with(plots):> a:=3: v:=2: # dados para ajustar a curva> spacecurve( [a*cos(t), a*sin(t), v*t], t=0..5*Pi, a xes=box, labels=[x,y,z], thickness=2);
Uma curva plana é um conjunto r de pares ordenados de reais ( f(t), g(t) ), em que f(t) e g(t) são funções reais contínuas em um intervalo I.
Y
r =(x,y) curva no plano R2
x = f(t) equação
y = g(t) paramétrica
I
tf
gP
y
0 x X
y = g(t) paramétrica
Exemplo: a função vetorialdefine uma curva plana denominada de ciclóide, v,r, w são constantes.
))cos(),sin(()( wtrrwtrvttf −−=r
> restart; #cicloide> with(plots):> v:=2:w:=1:R:=2:> plot( [v*t-R*sin(w*t), R -R*cos(w*t), t=0..5*Pi], scaling=constrained, thickness=2, color=blue,labels =[x,y]);
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/cicloide.htm
Funções vetoriais: representação gráfica
Importante: A parametrização define uma orientação na curva
Limite de funções vetoriaisDefinição: Sejam uma função vetorial que define uma curva no espaço R3, tal quer(t)=(x(t),y(t),z(t)) = x(t) i+ y(t) j + z(t) k,
Logo, dizemos que r tem limite L a medida que t se aproxima a to e escrevemos assim:
)(trr
Desde que os limites das funções componentes existam.
3 02 01 0
321 0
lz(t) lim,ly(t) lim,l x(t)lim
),l,l,(lLr(t)lim
=====
→→→
→
tttttt
tt
εδδε
<−⇒<−<
∀>∃>∀
=→
|)(| ||0
t 0, 0
,)(lim O0tt
Ltrtt
tal que
sesomenteexiste seLtr
o
rr
rDefinição formal :
Exemplo 1, Seja a função , demonstrar que :
Exemplo 2 Seja a função , demonstra que :
Continuidade de funções vetoriais
),1()( 2 tttr +=r
)0,1()(lim 0 ==→ Ltrt
rr
)1,,()( 2 += tettr tr
)1,1,0()(lim 0 ==→ Ltrt
rr
Continuidade de funções vetoriais
Uma função vetorial r(t) será contínua em um ponto t=t0, do seu domínio se
L,))(z),(y),((x)(r c)
existe )( )
existe L (t)rlim)
0000
0
0
==
=→
tttt
trb
a tt
r
r
r
Exemplo 2. Verifique se a função vetorial abaixo é contínua para .t= 0
Exemplo 1. Verifique se é contínua em
ktjtittrrrrr
)cos( )sin()( ++=
)(trr
4/π=t
Continuidade de funções vetoriais.
para .t= 0
Derivada de uma função vetorialDefinição: Seja uma função vetorial, ela é derivável outem derivada, se as derivadas das componentes x(t),y(t),z(t) estão bem definidas para todo t do domínio de
Interpretação geométrica da derivada de uma
),dt
dz,
dt
dy,
dt
dx(
(t)r-)(trlim)(')( 0 =+=== →∆ h
h
dt
rdtrtr t
rrrr&r
)(trv
)(trv
Interpretação geométrica da derivada de uma
função vetorial.
Seja r(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3 . A função é a velocidade da partícula e é um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula (para cada instante do tempo t).
)(tr&r
L
P0
Z
P
V
Seja P=(x,y,z) ϵ L,P0=(x0,y0,z0) ϵ L,
V é um vetor paralelo a L.
Exemplo 1 : Determine a derivada da função vetoriala) f(t) = (t2, cos(t),4 t) b) f(t) = (2t-3sin(2t), 3-3cos(2t)) usando a definição
Equação vetorial de uma reta L
0 Y
X
V
ϵ
V é um vetor paralelo a L.Logo:
Forma paramétrica da equação da reta L.x= x0 + vx tY= yo + vy tz= z0 + vz t , sendo v = (vx,vy,vz)
t}{: 0 VPPL +==
Regras de derivação
Seja u,v funções vetoriais de variável real t; a e b são números reais, e f(t),g(t) são funções reais de variável real t.
,)(
)()()()]()([
.3
,)()]([
.2
,)()()]()([
.1
tvdtftv
tdftvtfddt
tuda
dt
tuaddt
tvd
dt
tud
dt
tvtud
+=
=
+=+
rr
r
rr
rrrr
vetorial
,)()())](([
.6
,)(
)()()()]()([
.5
,)(
)()()()]()([
.4
,)(
)()()()]()([
.3
produto
escalarproduto
dt
tdf
df
fud
dt
tfuddt
tvdtutv
dt
tud
dt
tvtuddt
tvdtutv
dt
tud
dt
tvtuddt
tvdtftv
dt
tdf
dt
tvtfd
→×→
=
×+×=×
+=
+=
o
rr
rrr
rrr
r
orr
o
rro
r
r
ExercíciosExercício 1.- Determine a velocidade v(t) e a aceleração a(t)de uma partícula que descreva a seguinte curva (trajetória)r(t)=(2t, 8-3t2,3t+4)m.Exercício 2.- Seja uma partícula pontual que segue uma trajetória dada pela curva, definida assim:
R, w, V são constantes. R =2,w = 1, v = R.w = 2.
2: RI →αRcos(wt)),-RRsin(wt),-(vtα(t)t:α =→
R, w, V são constantes. R =2,w = 1, v = R.w = 2.a) Determine a posição, velocidade e aceleração no instante t=0s, e t=3π/2.b) Determine a equação da reta tangente a curva α no instante t=3π/2.Exercício 3.-Demonstre a propriedade 4 e 6 da regra de derivação.
Integral de uma função vetorialSeja f(t) =(x(t),y(t),z(t)) uma função vetorial, definição:
se as componentes de f são integráveis sobre I=[a,b],então
ktzjtyitxdttfb
a
b
a
b
a
b
a
))(())(())(()( ∫∫∫ ∫ ++=
Ipartiçãodetn
abtttrdttr i
ni
i
in
b
a ,,)(lim)(
1
∈−=∆∆= ∗=
=
∗∞→ ∑∫
rr
Exemplo: Calcular a integral da funçãof(t)= ((cos(w t))2, t3+2t+1),
Comprimento de arco para curvas lisasQuando uma partícula percorre uma determinadaTrajetória no espaço, ela descreve uma curva, o comprimento desta curva entre dois instantes dado t0 e t1 se denominacomprimento de arco
aaa a
Comprimento de arco 22 dydxdl +=
Definição : O comprimento “L” de uma curva lisar(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, tal que t ϵ [a,b] é
dtdt
dz
dt
dy
dt
dxL
b
a
)()()( 222∫ ++=
Comprimento de arco
Se
então a formula do comprimento de arco fica
),,()(')( zyx vvvtrtrdt
rdv ==== r&r
r
dttrdtvLb
a
b
a
|)('||| ∫∫ ==
Exemplo : Determine o comprimento de arcoda ciclóide r(t)=(2t-2 sin(t), 2-2 cos(t)) entre t=0 e t= 2pi
0 2π t
aa
FUNÇÃO COMPRIMENTO DE ARCO
∫∫ ==t
t
t
t
vdtdt
rdts
00
dt ||)(
s(t) é o comprimento da curva r(t) desde o instante t0 ate o instante t. Sendo v o módulo da velocidade, ou chamadatambém como velocidade escalar.
)(tvdt
ds =também como velocidade escalar. Usando um pouco de cálculo
Importante:
Como s=s(t) entãoLogo : O comprimento de arco de uma curva arbitrária nãodepende da parametrização.
dtdt
dsds=
ds || |)(
|1
0
1
0∫∫ ==st
t ds
rddt
dt
trdL
“O comprimento de arco de uma curva entre dois pontos
é invariante pela re-parametrização”
Exercícios
1.- estude a continuidade da função vetorial f(t)=(2t-2sin(t),2-2cos(t)) no ponto t=2π.f(t)=(2t-2sin(t),2-2cos(t)) no ponto t=2π.2.- Determine o limite da função vetorial f(t)=(2t3,4t2,3t+4) quando t se aproxima a t0=1.3.-Do exercício anterior determine f (́t) para todo t ϵ R. qual é o ângulo que forma o vetor f´(t) como o vetor f(t) no instante t.4.-Determine a função comprimento de arco s(t) para a ciclóide do exercício 2.
TRAJETÓRIA DE UMA PARTÍCULA EM CAMPOSELÉTRICOS E MAGNÉTICOS
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=53
Movimento de uma partícula no espaço R3
Sabemos que 1T.T ,||
===v
V
V
VT
0. =Tdt
Td Analisemos a velocidade de uma partícula dt
vTtV .)( = Derivando esta equação temos
ds
Td 2vTaa t += Definamos :
||ds
TdK =
Curvatura K
Nds
Td
ds
Td
ds
TdK
rrr
|| |,| == Sendo vetor unitárioNr
0. temos0,T.T == Tds
Tdde
rr
k
1=ρ, considerando o radio de curvatura
Finalmente N 2
ρv
Taa t +=
dsLogo deve ser ortogonal a , seu vetor unitário também
ds
Tdr
Tr
0. =NTrr
Aceleração instantâneaa
dt
dvaT = Aceleração tangencial
2v Aceleração centrípeta ou radial
ρ
2vacpta =
Aceleração centrípeta ou radialSempre orientada á parte côncavaDa trajetória.
Suponhamos que : )(srrr= , definamos
ds
rdr
=τ
),,(ds
dz
ds
dy
ds
dx=τ
1)()()(|| 222 =++=ds
dz
ds
dy
ds
dxτ
Logo τrr
≡T
rd 2rrrddTd
|ds
rd| |)(| ||
2
2
===ds
rd
ds
d
ds
TdK
22
22
2
22
2
2
)()()(ds
zd
ds
yd
ds
xdK ++=
Logo, em forma explicita
Triedro de Frenet-Serret
TNB ×= Vetor binormal
Exercícios
1.- Provar que
2.- Provar que
3.- Provar que
1|| =B
v
Va
V
Vaa T
.
||
. ==
3
||
v
aVk
×=
Exercícios.. Continua
4.- Em relação á ciclóide estudada no começo
a) Determine o vetor T, N,B para a ciclóide no instantet=3pi/2.
b) Determine a aceleração tangencial e a aceleraçãocentrípeta para todo instante t. Particularize para centrípeta para todo instante t. Particularize para
t=3pi/2c) Determine a curvatura k(t) para todo instante de Tempo.c) Interprete seus resultados.5.- demonstre que no casso de uma circunferênciade radio a, a curvatura K em qualquer ponto da circunferência é sempre a mesma e é 1/a.
Exercícios.. Continua
6.- Seja uma partícula descrevendo uma helicóide r(t)=(2cos(t), 2sen(t),2t) no espaço R3
a) Determine a velocidade e a aceleração instantânea para todo instante t.b) Determine o vetor unitário tangente T, para todo instante t.instante t.c) Determine a equação da reta tangente a helicóide noInstante t=pi/4.d) Determine a função comprimento de arco s(t) em
função do tempo t.e) Determine a aceleração tangencial e a aceleração
centrípeta para todo instante t. Particularize para t=pi/4.
Exercícios.. Continua
f).- Determine os vetores N e B para todo instante t.
http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_2.htm
http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_1.htm
http://demonstrations.wolfram.com/FrenetFrame/
Equação de um plano .
Seja um plano M imerso no espaço euclidiano R3 onde
n é um vetor perpendicular ao plano M, então conhecendo um ponto Po=(xo,yo,zo) que pertence ao plano P, podemos determinar a equação algébrica que obedece todos os pontos (x,y,z) do plano M.obedece todos os pontos (x,y,z) do plano M.Basicamente, ela disse que toda reta contida no plano (ou todo vetor contido no plano), é perpendicular ao vetor normal n.
dado n=(a,b,c)
0. =PPn o (O produto escalar entre n e P0P é nulo)
Seja P=(x,y,z) um ponto arbitrario do plano M
Equação de um plano .
0=+++ dczbyax
Onde a constante d pode se achar avaliando a equação em qualquer ponto que pertence ao plano.
r
n
C ΒΒΒΒ
Paralelismo entre rectas e planos o vector director (da recta r) é perpendicular ao vector (n) normal ao plano
n
A
José MariaPlano_08
s
D
Perpendicularidade entre rectas e planos
o vector director da recta (s) é colinear com o vector (n) normal ao plano
αααα
ns
AC
José MariaPlano_09
αααα
n
Paralelismo entre dois planos
os vectores normais aos planos ( n e p ) são colineares
ββββ
αααα
p
José MariaPlano_10
αααα
n
Paralelismo entre dois planos
os vectores normais aos planos ( n e p ) são colineares
ββββ
αααα
p
José MariaPlano_10
Interseção de dois planos
n =(a ,b ,c )n1=(a1,b1,c1)n2=(a2,b2,c2)
||||
.)cos(
21
21
nn
nn=θ
21211121. ccbbaann ++=
Exercícios .
Exercício 1 .- Seja M um plano paralelo ao plano xylocalizada a uma distancia c da origem de coordenadas.Determine a equação deste plano.Exercício 2 .-Encontre a distancia do ponto Q=(1,2,1)ao plano M com equação x+y+z=6Exercício 3 .- Seja os planos Exercício 3 .- Seja os planos M1 : 3x+2y+z+4=0, M2: z=0,a) Determine o ângulo entre estes planosb) Determine a equação da reta proveniente da
interseção dos dois planos.
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm23/geometriaeuclideana.htm
Site recomendado para entender melhor a geometria euclidiana