Função de uma variável real

Laura Goulart

UESB

30 de Janeiro de 2019

Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de 2019 1 / 15

1-De�nição de função

Desde dos primórdios, com o desenvolvimento de outras ciências, tais como

Física e Química, sentiu-se a necessidade de um instrumento matemático

relacionando as leis de maneira quantitativa.

Por exemplo, para cada tipo de alimento está associado a uma

porcentagem de proteína bruta, conforme o quadro abaixo:

Alimento Proteína bruta(%)

Milho grão 10

Farelo de soja 45

Farelo de trigo 18

Feno de gramínea 10

Sal mineral 0

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1-De�nição de função

Desde dos primórdios, com o desenvolvimento de outras ciências, tais como

Física e Química, sentiu-se a necessidade de um instrumento matemático

relacionando as leis de maneira quantitativa.

Por exemplo, para cada tipo de alimento está associado a uma

porcentagem de proteína bruta, conforme o quadro abaixo:

Alimento Proteína bruta(%)

Milho grão 10

Farelo de soja 45

Farelo de trigo 18

Feno de gramínea 10

Sal mineral 0

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1-De�nição de função

Desde dos primórdios, com o desenvolvimento de outras ciências, tais como

Física e Química, sentiu-se a necessidade de um instrumento matemático

relacionando as leis de maneira quantitativa.

Por exemplo, para cada tipo de alimento está associado a uma

porcentagem de proteína bruta, conforme o quadro abaixo:

Alimento Proteína bruta(%)

Milho grão 10

Farelo de soja 45

Farelo de trigo 18

Feno de gramínea 10

Sal mineral 0

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Assim, a relação possui uma propriedade marcante: a cada alimento

"x"está associada exatamente a um único percentual "y"de proteína bruta.

Tal relação é chamada de uma aplicação ou uma função. Observemos que

o alimento é uma variável qualitativa enquanto que o percentual é uma

variável quantitativa.

De�nição

Uma função f é uma relação de um conjunto A em um conjunto B

obedecendo a seguinte regra:

"Todo elemento de A(domínio) tem que estar relacionado com apenas um

elemento de B(contradomínio)."

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Assim, a relação possui uma propriedade marcante: a cada alimento

"x"está associada exatamente a um único percentual "y"de proteína bruta.

Tal relação é chamada de uma aplicação ou uma função. Observemos que

o alimento é uma variável qualitativa enquanto que o percentual é uma

variável quantitativa.

De�nição

Uma função f é uma relação de um conjunto A em um conjunto B

obedecendo a seguinte regra:

"Todo elemento de A(domínio) tem que estar relacionado com apenas um

elemento de B(contradomínio)."

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Exemplo 1.1

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Observação

Em Matemática utilizamos letras para representar grandezas variáveis.

Numa função temos sempre duas variáveis: chamamos de x a variável do

domínio e y a variável que depende do valor da primeira.

Assim, em geral existe uma sentença aberta f (x) = y que expressa a

regra matemática da função.

f é uma função de A em B⇔ (∀x ∈ A,∃!y ∈ B tal que f (x) = y

As funções de nosso maior interesse são as funções reais a valores reais, ie,

são aquelas em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R.

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Observação

Em Matemática utilizamos letras para representar grandezas variáveis.

Numa função temos sempre duas variáveis: chamamos de x a variável do

domínio e y a variável que depende do valor da primeira.

Assim, em geral existe uma sentença aberta f (x) = y que expressa a

regra matemática da função.

f é uma função de A em B⇔ (∀x ∈ A,∃!y ∈ B tal que f (x) = y

As funções de nosso maior interesse são as funções reais a valores reais, ie,

são aquelas em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R.

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Observação

Em Matemática utilizamos letras para representar grandezas variáveis.

Numa função temos sempre duas variáveis: chamamos de x a variável do

domínio e y a variável que depende do valor da primeira.

Assim, em geral existe uma sentença aberta f (x) = y que expressa a

regra matemática da função.

f é uma função de A em B⇔ (∀x ∈ A, ∃!y ∈ B tal que f (x) = y

As funções de nosso maior interesse são as funções reais a valores reais, ie,

são aquelas em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R.

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Observação

Em Matemática utilizamos letras para representar grandezas variáveis.

Numa função temos sempre duas variáveis: chamamos de x a variável do

domínio e y a variável que depende do valor da primeira.

Assim, em geral existe uma sentença aberta f (x) = y que expressa a

regra matemática da função.

f é uma função de A em B⇔ (∀x ∈ A, ∃!y ∈ B tal que f (x) = y

As funções de nosso maior interesse são as funções reais a valores reais, ie,

são aquelas em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R.

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Exercício de Fixação

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1.1-Domínio de uma função

Em muitos casos, é comum que a função seja dada apenas pela sua lei de

correspondência. Assim, vamos supor que a função de�nida tenha o

domínio o conjunto de todos os números reais que possam signi�camente

ser substituídos por x em f(x).

Em todos os casos, vamos considerar que o contradomínio é R.

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1.1-Domínio de uma função

Em muitos casos, é comum que a função seja dada apenas pela sua lei de

correspondência. Assim, vamos supor que a função de�nida tenha o

domínio o conjunto de todos os números reais que possam signi�camente

ser substituídos por x em f(x).

Em todos os casos, vamos considerar que o contradomínio é R.

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1o. caso: f (x) =1

g(x)

Df = {x ∈ R/g(x) 6= 0}

Exemplo (1.2)

f (x) =1

2x − 4

Exemplo (1.3)

f (x) =1

x2 + 2x − 3

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2o. caso: f (x) =√

g(x)

Df = {x ∈ R/g(x) ≥ 0}

Exemplo (1.4)

f (x) =√2x + 6

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Caso especial: f (x) =1√g(x)

Df = {x ∈ R/g(x) > 0}

Exemplo (1.5)

f (x) =1√

3x − 1

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1.2-Imagem de uma função

O conjunto formado pelos elementos do contradomínio que estão

relacionados com algum elemento do domínio é chamado de conjunto

imagem da função e denotado por Imf .

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1.3-Grá�co de uma função

Para construir o grá�co de uma função, basta atribuir valores do domínio

para a variável x e, usando a sentença matemática que de�ne a função,

calcular os correspondentes valores da variável y. Por exemplo, vamos

construir o grá�co da função f : R+ → R/f (x) =x

2.

Escolhidos os valores para x, montamos a seguinte tabela:

x 2 4 6 8

y 1 2 3 4

Identi�cando os pontos encontrados no plano cartesiano, obtemos:

O grá�co da função será uma reta que passará pelos quatro pontos

encontrados. Basta traçar a reta e o grá�co estará construído.

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1.3-Grá�co de uma função

Para construir o grá�co de uma função, basta atribuir valores do domínio

para a variável x e, usando a sentença matemática que de�ne a função,

calcular os correspondentes valores da variável y. Por exemplo, vamos

construir o grá�co da função f : R+ → R/f (x) =x

2.

Escolhidos os valores para x, montamos a seguinte tabela:

x 2 4 6 8

y 1 2 3 4

Identi�cando os pontos encontrados no plano cartesiano, obtemos:

O grá�co da função será uma reta que passará pelos quatro pontos

encontrados. Basta traçar a reta e o grá�co estará construído.

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1.3-Grá�co de uma função

Para construir o grá�co de uma função, basta atribuir valores do domínio

para a variável x e, usando a sentença matemática que de�ne a função,

calcular os correspondentes valores da variável y. Por exemplo, vamos

construir o grá�co da função f : R+ → R/f (x) =x

2.

Escolhidos os valores para x, montamos a seguinte tabela:

x 2 4 6 8

y 1 2 3 4

Identi�cando os pontos encontrados no plano cartesiano, obtemos:

O grá�co da função será uma reta que passará pelos quatro pontos

encontrados. Basta traçar a reta e o grá�co estará construído.

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1.3-Grá�co de uma função

Para construir o grá�co de uma função, basta atribuir valores do domínio

para a variável x e, usando a sentença matemática que de�ne a função,

calcular os correspondentes valores da variável y. Por exemplo, vamos

construir o grá�co da função f : R+ → R/f (x) =x

2.

Escolhidos os valores para x, montamos a seguinte tabela:

x 2 4 6 8

y 1 2 3 4

Identi�cando os pontos encontrados no plano cartesiano, obtemos:

O grá�co da função será uma reta que passará pelos quatro pontos

encontrados. Basta traçar a reta e o grá�co estará construído.Laura Goulart (UESB) Função de uma variável real 30 de Janeiro de 2019 12 / 15

1.4-Raízes de uma função

O que também nos interessa são os valores do domínio que anularão a

função chamados de raízes(ou zeros) da função. Observemos que são

exatamente estes pontos que cortam o eixo das abcissas, conforme ilustra a

�gura abaixo:

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1.5-Função crescente e decrescente

Seja f : D ⊂ R→ R uma função. Considere a, b ∈ D tq a < b.Diremos que:

f é crescente(ou estritamente crescente) se f (a) < f (b).

f é não-crescente se f (a) ≤ f (b).

f é decrescente(ou estritamente decrescente) se f (a) > f (b).

f é não-decrescente se f (a) ≥ f (b).

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1.5-Função crescente e decrescente

Seja f : D ⊂ R→ R uma função. Considere a, b ∈ D tq a < b.Diremos que:

f é crescente(ou estritamente crescente) se f (a) < f (b).

f é não-crescente se f (a) ≤ f (b).

f é decrescente(ou estritamente decrescente) se f (a) > f (b).

f é não-decrescente se f (a) ≥ f (b).

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1.5-Função crescente e decrescente

Seja f : D ⊂ R→ R uma função. Considere a, b ∈ D tq a < b.Diremos que:

f é crescente(ou estritamente crescente) se f (a) < f (b).

f é não-crescente se f (a) ≤ f (b).

f é decrescente(ou estritamente decrescente) se f (a) > f (b).

f é não-decrescente se f (a) ≥ f (b).

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1.5-Função crescente e decrescente

Seja f : D ⊂ R→ R uma função. Considere a, b ∈ D tq a < b.Diremos que:

f é crescente(ou estritamente crescente) se f (a) < f (b).

f é não-crescente se f (a) ≤ f (b).

f é decrescente(ou estritamente decrescente) se f (a) > f (b).

f é não-decrescente se f (a) ≥ f (b).

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1.6-Função par e ímpar

Seja f : D ⊂ R→ R uma função.

Diremos que f é par qdo f (−x) = f (x).

Diremos que f é ímpar qdo f (−x) = −f (x).

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1.6-Função par e ímpar

Seja f : D ⊂ R→ R uma função.

Diremos que f é par qdo f (−x) = f (x).

Diremos que f é ímpar qdo f (−x) = −f (x).

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1.6-Função par e ímpar

Seja f : D ⊂ R→ R uma função.

Diremos que f é par qdo f (−x) = f (x).

Diremos que f é ímpar qdo f (−x) = −f (x).

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