Gabarito da Primeira Prova de Matemática para Administração -Turma A

1. (a) Df = [0,+∞), Dg = R

(b) (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(4− x2) =√

4− x2

Df◦g : 4− x2 ≥ 0⇔ x2 ≤ 4⇔ −2 ≤ x ≤ 2, Df◦g = [−2, 2]

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = 4− (

√x)2 = 4− x,

Dg◦f = [0,+∞) (note que, para chegar à expressão acima, usamos√x)

2.

(a) limx→3+

√x2 − 9

x− 3indeterminação do tipo

0

0

= limx→3+

√(x− 3)(x + 3)

x− 3= lim

x→3+

√x− 3

x− 3

√x + 3

= limx→3+

1√x− 3

√x + 3 =

√6

0+= +∞

(b) limx→1

x− 2

|x− 1|=−1

0+= −∞

(c) limx→−∞

5x3 − 12x + 7

4x2 − 1indeterminação do tipo

∞∞

= limx→−∞

5x− 12x + 7

x2

4− 1x2

(dividindo em cima e em baixo por x2)

=−∞+ 0 + 0

4− 0= −∞

3. (a) Para x < 0, f é contínua pois é dada por uma função polinomial. Deigual modo, para x > 0, f é contínua.

Para analisar a continuidade na origem, usamos limites laterais:

limx→0−

f(x) = limx→0−

(x2 + 1) = 1, limx→0+

f(x) = limx→0+

(x + 1) = 1,

logo limx→0 f(x) existe e é igual a 1. Como este valor é igual a f(0), f é contínuana origem.

(b) Vamos ver se f ′(0) existe, usando a definição de derivada:

lim∆x→0+

f(0 + ∆x)− f(0)

∆x= lim

∆x→0+

∆x + 1− 1

∆x= 1,

lim∆x→0−

f(0 + ∆x)− f(0)

∆x= lim

∆x→0−

(∆x)2 + 1− 1

∆x= lim

∆x→0−∆x = 0.

Como os limites laterais destas taxas são diferentes, nao existe f ′(0), ou seja, f nãoé diferenciável na origem.

1

2

(c)

4. (a)(

1t2

)′=(t−2)′

= −2t−3

(b)( √

x

x2 − 15

)′=

12x− 1

2 (x2 − 15)− 2x√x

(x2 − 15)2

(c) Note que g(4) = 2 e (f ◦ g)(4) = f(2) = 14 . Temos de calcular a derivada de

f ◦ g no ponto 4. Pela Regra da Cadeia,

(f ◦ g)′(4) = f ′(g(4)) · g′(4) = f ′(2) · g′(4)

= −2

8

(1

2· 1

2− 8 · 2

)= − 1

16+ 4 =

63

16

Logo a equação cartesiana da reta tangente ao gráfico de f ◦ g no ponto (4, 14 ) é

y − 1

4=

63

16(x− 4) ⇔ y =

63

16x− 31

2.

5. Derivando a equação

(1) x2y = 5

implicitamente em relação à variável t, obtemos

2xdx

dty + x2 dy

dt= 0.(2)

Quando x = 2, obtemos de (1) que y = 54 . Botando estes valores, juntamente

com dydt = 3 em (2), obtemos

5dx

dt+ 12 = 0 ⇔ dx

dt= −12

5.

6. (a) x = 2p e xp = 8 ⇒ 2p2 = 8 ⇔ p2 = 4 ⇔ p = 2 pois p ≥ 0.Logo p = 2 é o preço de equilíbrio e a oferta/procura correspondente é x = 4.

curvas de oferta e procura, respectivamente, em função de p:

p =x

2e p =

8

x.

3

(b) x = 2p e xp = M ⇒ 2p2 = M . Fazendo p = 3 obtemos o orçamentoM = 18. A oferta/procura correspondente é x = 6.

novas curvas de oferta e procura, respectivamente, em função de p:

p =x

2e p =

18

x.