Post on 10-Nov-2018
Hidrostática de Navios
Hidrostática de Navios
Capítulo 2 – Teoria Metacêntrica
Leonhard Euler (1707-1783) Pierre Bouguer (1698-1758)
Hidrostática de Navios
Equilíbrio à Rotação - 1
• Para que um flutuador esteja em equilíbrio é necessário que satisfaça ascondições de equilíbrio de forças e de momentos.
• Após a satisfação do equilíbrio à translação vertical, se o centro degravidade e o centro de carena de um flutuador não estiverem na mesmavertical, o flutuador inclina-se.
• A inclinação deve ser isocarénica, ou seja, mantendo o mesmo volume decarena.
Hidrostática de Navios
Equilíbrio à Rotação - 2• Durante a rotação, a cunha de líquido cujo centro está no ponto é retirada
à carena e a cunha com o centro em é adicionada. Esta variação dovolume da carena faz o centro de carena transferir-se do ponto para oponto .
tg.yh
tg..= ydAdV
A
dAyV .tg.
AdAyV .tg.
C
C
oC
1C
y
Hidrostática de Navios
Equilíbrio à Rotação - 3
V
• No caso da figura de flutuação, o centróide da área denomina-se centro deflutuação.
• Conclui-se assim que para pequenas rotações isocarénicas os flutuadoresrodam em torno de um eixo que contem o centro de flutuação.
• Dado que tem de ser zero, esta condição só será satisfeita se o últimointegral se anular.
• Este integral representa o momento da área e este só se anula quando écalculado relativamente a um eixo que contenha o centróide da área.
0.tg
..tg
A
A
dAy
dAydAyVVV
• A definição de rotações isocarénicas é a de serem inclinações a volume decarena constante ou seja:
Hidrostática de Navios
Superfície dos Centros de Carena - 1
• A rotação equivale também a transportar o liquido que encontrava no volumepara o volume . Em resultado do transporte do liquido, o centro de carenamuda de C0 para C1.
C CV C C
Vm
0 10
.
A
Ac
A
Ac
dAy
dAyY
dAy
dAyyY
.
.tg.
).tg.(
2
VV
Hidrostática de Navios
Superfície dos Centros de Carena - 2
V C C V C Cm0 0 1. .
Vm
IdAy
VmYYCC xx
Acc
tgtg 2
• é o momento de inércia da área de flutuação relativamente ao eixo OX,em torno do qual se dá a rotação transversal.
xxI
• A distância que os meniscos são transportados é:
• O correspondente deslocamento do centro de carena obtém-se a partir daigualdade dos momentos:
0010
tg..
V
I
V
CCVCCY xxm
c
• Daqui se conclui que o deslocamento transversal depende do momento deinércia da figura de flutuação, do ângulo de rotação e do volume de carena.
Hidrostática de Navios
Superfície dos Centros de Carena - 3
tgtg)(
000 V
IdAyx
VV
XXVX xy
A
ccmc
dAxydVxdM y tg.
Am
A
A
A y
dAyxV
Xc
V
dAyx
dV
dMXc
tg
tg
• O deslocamento longitudinal do centro de carena obtém-se de forma análoga.• O momento de um elemento de volume relativamente ao eixo dos yy é:
• onde é o produto de inércia da área.Ixy
Hidrostática de Navios
Superfície dos Centros de Carena - 4• Para além do transporte transversal e longitudinal do volume de carena existe
também um movimento vertical do mesmo.
dvy
dM tg2
m
A
A
Ac V
dAy
dV
dMZ
2
tg 22
• O momento do elemento cilíndrico de volume dV relativamente ao plano x-y éigual ao produto do volume pela coordenada do seu centro de volume, o qualestá a uma ordenada igual a metade da altura :) tg5.0=5.0( yh
:
• A ordenada do centro do menisco removido obtem-se pela razão do momentototal do volume pelo volume total:
Hidrostática de Navios
Superfície dos Centros de Carena - 5
0
2
0 2
tg)(
V
I
V
ZZVZZZ xxccm
ccc
2
tgcc YZ
:
m
Ac V
dAyZ
2
tg 22
• Analogamente, para o centro do volume adicionado:
• O transporte vertical do volume de carena é igual às distância entre os doispontos ou seja à soma das distâncias dos pontos ao plano x-y:
• Comparando este resultado com a variação de abcissa resulta:
Hidrostática de Navios
Superfície dos Centros de Carena - 6
• Obtiveram-se as expressões que quantificam a variação das coordenadas docentro de carena com uma rotação do flutuador em torno do eixo dos xx.
• Estas expressões constituem uma representação paramétrica de umasuperfície no espaço que define o lugar geométrico das posições do centrode carena.
• Quando se faz coincidir a origem dos eixos coordenados com a posição docentro de carena, as variações de posição daquele ponto passam a ser assuas coordenadas em valor absoluto.
2
0
0
0
tg2
tg
tg
V
IZ
V
IY
V
IX
xxc
xxc
xyc
Hidrostática de Navios
Superfície dos Centros de Carena - 7
• A análise destas expressões permite concluir que para pequenos valores de, o centro de carena move-se assintoticamente no plano x-y pois serámuito menor que ou .
• Daqui se infere que a superfície dos centros de carena é perpendicular aoeixo dos Z na vizinhança da posição inicial do centro de carena.
• Portanto, a impulsão será perpendicular à superfície dos centros de carena,já que é vertical.
• Com o aumento da inclinação , o centro de carena vai ocupar uma posiçãocom uma ordenada diferente de zero.
Zc
X c Yc
Zc
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Superfície dos Centros de Carena - 8
• Pode também concluir-se que a superfície dos centros de carena, que tem aforma de um elipsóide, está sempre acima da posição inicial do centro decarena.
B
• A forma da superfície dos centros de carena depende da figura de flutuaçãoe dos eixos de inércia que forem escolhidos.
C
• Os eixos principais de inércia são eixos perpendiculares relativamente aosquais os momentos de inércia da figura de flutuação são máximos emínimos e o produto de inércia é nulo.
Hidrostática de Navios
Superfície dos Centros de Carena - 9
• Quando existem eixos de simetria numa figura, estes coincidem com oseixos principais de inércia.
• Em flutuadores é frequente os eixos principais de inércia coincidirem com asmaiores e menores dimensões, ou seja com o eixo longitudinal e com otransversal, embora só o primeiro seja normalmente um eixo de simetria.
• Quando um flutuador se inclina em torno de um eixo principal de inércia, atrajectória do centro de carena está contida no plano de inclinação pois oproduto de inércia é nulo e portanto .
• O plano de inclinação é o plano vertical que é normal ao eixo de rotação eque contém o centro de carena e o centro de gravidade.
0cX
Hidrostática de Navios
Superfície dos Centros de Carena - 10
• Uma rotação em torno de um eixo qualquer pode sempre ser decomposta emduas rotações em torno dos eixos principais de inércia.
• Quando as rotações em torno dos eixos principais de inércia são suficientementepequenas para se poder substituir por diz-se que é aplicável a Teoriametacêntrica.
tg
• Note-se que para = 10º a razão é 0.990, para =20º é 0.959 e para30º é de 0.907.
• Daqui se pode verificar que a substituição é perfeitamente adequada paravalores de até 7º ou 10º e que em certas aplicações até se poderia entenderaquele domínio a 30º.
/ tg
Hidrostática de Navios
Raio Metacêntrico - 1• No domínio de aplicação da teoria metacêntrica a trajectória do centro de
carena para rotações em torno do eixo dos xx é:
2
2
V
IZ
V
IY
xxc
xxc
O raio de curvatura
d
O raio de curvatura
• O raio de curvatura na origem dos eixos deduz-se a partir da relação entreo comprimento de um arco elementar ds e a inclinação ::
dds T0
22
0
d
dZ
d
dY
d
ds ccT
Hidrostática de Navios
Raio Metacêntrico - 2
• As derivadas das expressões anteriores avaliadas em são:
• Daqui se deduz que o raio de curvatura é:
V
I xxT
• Uma dedução semelhante a esta para rotações em torno do eixo dos yypermitiria deduzir o raio de curvatura transversal como:
V
I yyL
0
000
V
I
d
dZV
I
d
dY
xxc
xxc
Hidrostática de Navios
Raio Metacêntrico - 3
• Para pequenas rotações, no domínio de validade da teoria metacêntrica osraios de curvatura são constantes.
• A superfície dos centros de carena, na vizinhança da origem é umacircunferência e o seu centro de curvatura é denominado metacentro.
• O metacentro está uma distância acima do centro de carena.
• Logo as ordenadas dos metacentros longitudinal e transversalserão:
LMZTMZ
L
T
M C L
M C T
Z Z
Z Z
Hidrostática de Navios
Posição de Equilíbrio à Rotação - 1• Considere-se um corpo que estando inicialmente no seio de um líquido, teve
uma translação vertical.
• Esta transformou-o num flutuador mediante a satisfação da condição deequilíbrio à translação vertical.
Hidrostática de Navios
Posição de Equilíbrio à Rotação - 2
• Se o centro de gravidade e o centro de carena não estiverem na mesmavertical cria-se um momento inclinante igual ao produto do deslocamentoD pela distância entre aqueles pontos:
M1
M D G G1 . '
• O momento inclinante pode ser decomposto em momentos relativamente aoseixos transversal e longitudinal:
M Y D
M X D
T G
L G
Hidrostática de Navios
Posição de Equilíbrio à Rotação - 3
'
'
sin
cosL L
LG L
G M M L
X GG GM
Z Z G M Z GM
• Consideremos primeiramente as rotações longitudinais.
• Na posição inclinada, a linha de acção da impulsão passa pelo centro decarena e pelo centro de gravidade, interceptando o eixo dos z nometacentro.
• Denominando por G’ a projecção de G no eixo dos z, deduz-se da geometriaque:
Hidrostática de Navios
Posição de Equilíbrio à Rotação - 4
• Considerando ângulos inferiores a 10º, tem-se que
cosL 1Logo:
LL M GGM Z Z
Donde se deduz que:
( ) sinLG M G LX Z Z
• Considerando-se agora as rotações transversais, pode obter-se de modointeiramente análogo a expressão:
( ) sinTG M G TY Z Z
• As expressões entre parêntesis nas duas últimas equações denominam-sealtura metacêntrica e são determinantes na resistência que o flutuadoroferece às inclinação.
Hidrostática de Navios
Posição de Equilíbrio à Rotação - 5• No domínio da teoria metacêntrica as ordenadas dos metacentros são iguais
aos raios metacêntricos quando a origem dos eixos coordenados coincidecom a posição do centro de carena.
• Os senos dos ângulos são aproximadamente iguais aos ângulos.
X Z
Y ZG L G L
G T G T
( )
( )
• Os ângulos de inclinação longitudinal e transversal em função das coordenadasdo centro de gravidade de um flutuador:
LG
L G
TG
T G
X
Z
Y
Z
Hidrostática de Navios
Posição de Equilíbrio à Rotação - 6
• A partir das componentes das rotações em torno dos eixos coordenados épossível determinar o ângulo de rotação real:
T L2 2
• Esta vai-se dar num plano que faz um ângulo com o eixo x tal que:
tg = T L/
• Quando a origem dos eixos coordenados não coincide com a posição docentro de carena, a expressão da altura metacêntrica será alterada para:
( ) ( ) ( )Z Z Z Z Z ZM G c G G c
• Neste caso, o raio metacêntrico vai ser subtraído da altura do centro degravidade relativamente ao centro de carena.
Hidrostática de Navios
Estabilidade do Equilíbrio - 1• Tendo já visto como determinar as posições de equilíbrio relativamente à
translação vertical e à rotação, importa agora estudar a estabilidade daqueleequilíbrio.
• Diz-se que o equilíbrio é estável quando o flutuador revela tendência por voltarà posição inicial de equilíbrio após uma perturbação daquela posição.
• No caso da translação vertical o equilíbrio é intrinsecamente estável.
• Este facto deriva de qualquer variação da posição do flutuador afectar o valorda impulsão criando uma desigualdade relativamente ao peso do corpo.
• Essa desigualdade cria as condições para o corpo voltar novamente àsposição de equilíbrio.
• No caso das inclinações a situação é mais complexa e o equilíbrio só é estávelpara certos valores relativos entre alguns dos parâmetros.
Hidrostática de Navios
Estabilidade do Equilíbrio - 2• Para estudar a estabilidade do equilíbrio considera-se uma inclinação que
resulta da perturbação do equilíbrio de um flutuador.
• Nesta situação os vectores deslocamento e impulsão deixam de estar namesma vertical.
• As linhas de acção a uma distância uma da outra, onde Z é a projecção deG na linha de acção da impulsão.
GZ
Hidrostática de Navios
• Em que é a altura metacêntrica transversal inicial :
• A distância constitui o braço do binário formado pelo deslocamento eimpulsão o qual se pretende que leve o flutuador à posição inicial e por isso sedenomina momento endireitante.
Estabilidade do Equilíbrio - 3
GMZ ZM G
• A partir do triângulo rectângulo que assim se forma deduz-se que:
( ) sinM GGZ Z Z
GZ
( ) sinE M GM D GZ D Z Z • Esta expressão do momento endireitante é suficiente para caracterizar a
estabilidade do equilíbrio.
Hidrostática de Navios
Estabilidade do Equilíbrio - 4
Z ZM G GM 0
• Se o momento endireitante é positivo e o flutuador tem tendência a voltar àposição inicial:
Z ZM G GM 0
• O equilíbrio é indiferente se o momento é nulo, não havendo reacção àperturbação do equilíbrio:
• O equilíbrio é instável quando com a inclinação se cria um momento que éproporcional à inclinação e que tende a aumentá-la.
Z ZM G GM 0
Hidrostática de Navios
Estabilidade do Equilíbrio - 5• A Figura seguinte ilustra os três tipos de estabilidade do equilíbrio de um
navio:
• Estável.
• Neutro.
• Instável.
Hidrostática de Navios
Acção de Momento Inclinante - 1• Quando o equilíbrio de um flutuador é estável, este tem sempre tendência a
voltar às posição inicial.
• Quando é sujeito às acção de um momento inclinante o flutuador vaiprocurar uma nova posição de equilíbrio por forma a que o momentoendireitante que se gera equilibre o momento inclinante.
M I
( ) sinLI E M G LM M D Z Z
• O ângulo de equilíbrio é:
sin( )
L
IL
M G
M
D Z Z
tendo em atenção que para pequenos ângulos se pode substituir porsinL L
Hidrostática de Navios
Acção de Momento Inclinante - 2• No caso em que o momento inclinante é provocado por uma movimentação
transversal de um peso de uma certa distância tem-se que:
TI ypM cos..
• Note-se que também é possível pensar na movimentação transversal de umpeso em termos de movimentação transversal do centro de gravidade dopróprio navio:
Hidrostática de Navios
Acção de Momento Inclinante - 3• Considerando a movimentação de peso como um momento inclinante, o
ângulo de equilíbrio transversal será:
.
.T
T
p ytg
D GM
• Nos flutuadores com formas típicas de navio o raio metacêntrico longitudinal émuito superior às alturas do centro de carena ou do centro de gravidade.
• Pode então simplificar-se o denominador da expressão do ângulo de equilíbriolongitudinal para:
L
I
L
M
D
Hidrostática de Navios
Acção de Momento Inclinante - 4• O valor elevado de e consequentemente os valores muito pequenos que
normalmente tem levam a que seja preferível medir diferenças de imersãoa vante e a ré nos flutuadores do que medir os ângulos .
• A diferença entre estas imersões denomina-se caimento, o que é dado por:
• O caimento provocado por um momento inclinante obtém-se combinando asduas últimas expressões:
L
L
L
d L L
onde L é o comprimento do flutuador ou a distância entre os pontos extremosque servem de referência ao caimento.
dL M
DI
L
Hidrostática de Navios
Acção de Momento Inclinante - 5
• É conveniente definir o momento de caimento unitário que é o momentoinclinante necessário para produzir o caimento de uma unidade:
uM
L
DM L
u
donde se deduz que o caimento provocado por um momento inclinante qualquerserá simplesmente:
uM
Md I
Hidrostática de Navios
Equilíbrio a Grandes Ângulos- 1
• A teoria metacêntrica assenta na hipótese de as inclinações serempequenas, em princípio até um limite de 7º a 10º.
• Para ângulos superiores a superfície dos centros de carena que éparabólica já não pode ser aproximada por uma circunferência de raio igualao raio metacêntrico.
• Ao considerar a forma exacta da superfície já deixa de ser válida a condiçãode o centro de curvatura da superfície estar fixa.
• Note-se que em flutuadores com as configurações típicas de navios osgrandes ângulos de rotação só ocorrem para inclinações transversais.
• Para grandes ângulos de rotação a posição do metacentro vai variar com oângulo de inclinação.
Hidrostática de Navios
Equilíbrio a Grandes Ângulos- 2• Para grandes ângulos de rotação a posição do metacentro vai variar com o
ângulo de inclinação.
• A ordenada do metacentro tem de ser calculada para cada posição inclinada, emfunção do momento de inércia da figura de flutuação e do volume de carena:
T
xxM T c c
IZ Z Z
V
• O lugar geométrico das posições do metacentro durante uma inclinação doflutuador a grandes ângulos denomina-se Evoluta metacêntrica.
A
B
C
D
a
b
c
d
Hidrostática de Navios
Equilíbrio a Grandes Ângulos- 3• Para navios de formas convencionais a posição do metacentro vai variar com o
ângulo de inclinação da forma abaixo ilustrada.• A ordenada do metacentro tem de ser calculada para cada posição inclinada, em
função do momento de inércia da figura de flutuação e do volume de carena,pelo que após a imersão do bordo-livre, a evoluta metacêntrica (curva M1, M2,M3, etc) sofre uma inflexão.