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CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 2K
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
INTRODUÇÃO:
ALTERNATIVA:
Utilização de planejamentos que possam através de sucessivos
experimentos, com menor número de unidades experimentais
necessárias para a sua realização, responder aos objetivos do
estudo
MÉTODOS PROPOSTOS: Fatoriais 2k
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
CAPÍTULO 7 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 2K:
Experimentos com a presença de k Fatores com dois níveis cada um.
OBS.: Caso particular de um experimento fatorial
Denominação Usual:
Fator presente ou ausente;
Fator no nível alto ou baixo;
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 2K:
PORQUE ESTUDAR FATORIAIS 2K :
1. A análise e interpretação de seus resultados são bastante simples,
comparadas aos experimentos fatoriais no caso geral.
2. O número de ensaios envolvidos na realização desses experimentos,
por fator estudado é relativamente pequeno.
3. A região experimental nestes experimentos pode ser restrita,
porém pode indicar tendências e determinar uma melhor (ou mais
adequada) direção para novos experimentos.
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 2K:
PORQUE ESTUDAR FATORIAIS 2K :
4. Estes experimentos podem ser “aumentados” com a inclusão de
novos níveis e/ou novos fatores quando for necessário realizar uma
avaliação mais detalhada do problema em estudo.
5. Estes experimentos formam a base dos chamados EXPERIMENTOS
FATORIAIS FRACIONADOS, onde somente alguns dos possíveis
tratamentos são observados. Procedimento bastante utilizado nos
estágios iniciais da experimentação, quando há um número muito
grande de fatores a serem estudados.
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 22:
EXEMPLO:
Experimento cujo objetivo é o de examinar os efeitos do
aumento da temperatura e da mudança de catalisador
sobre o rendimento de uma reação.
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2º SEMESTRE DE 2010
CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 22:
EXEMPLO:
Começamos escolhendo os níveis: 40°C e 60°C para a
temperatura, e A e B para o catalisador. Como este é apenas
um exemplo para fins didáticos, o sistema é fictício, e a escolha
dos níveis arbitrária. Na vida real, teríamos de nos apoiar no
conhecimento disponível sobre o nosso sistema e pensar bem
antes de determinar quais são os níveis que devemos escolher.
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2º SEMESTRE DE 2010
CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 22:
EXEMPLO:
Para fazer o planejamento 22, devemos realizar ensaios e
registrar as respostas observadas (os rendimentos, neste caso)
em todas as quatro possíveis combinações dos níveis
escolhidos: (40°C, A), (40°C, B), (60°C, A) e (60°C, B). A lista
dessas combinações, que é chamada de matriz de
planejamento, e apresentada na Tabela a seguir:
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2º SEMESTRE DE 2010
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FATORIAIS 22:
EXEMPLO:
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Fatores Rendimento
Ensaio Temperatura(0C) Catalisador I II Média
1 40 A 57 61 59
2 60 A 92 88 90
3 40 B 55 53 54
4 60 B 66 70 68
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FATORIAIS 22:
EXEMPLO:
Importante:
Note que todos os ensaios foram feitos em duplicata,
produzindo oito respostas no total. Desta forma será possível
estimar o erro experimental de uma resposta individual. A
extensão desse erro e importante para decidirmos se existem
ou não efeitos significativos que possamos atribuir à ação dos
fatores.
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2º SEMESTRE DE 2010
CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 22:
NOTAÇÃO:
Quanto aos níveis dos fatores:
Atribuir sinais – e + aos níveis de cada um dos fatores;
Atribuir valores 0 e 1 aos níveis de cada um dos fatores;
Fatores
A B A B A B
40 A 0 0 - -
60 A 1 0 + -
40 B 0 1 - +
60 B 1 1 + +
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2º SEMESTRE DE 2010
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FATORIAIS 22:
NOTAÇÃO:
Quanto aos tratamentos:
Os tratamentos são definidos pela presença ou ausência do nível alto de
cada fator em cada uma das possíveis combinações:
(1) = ambos os fatores estão ausentes (baixo);
a = somente fator A esta no presente (alto);
b = somente fator B esta presente (alto);
ab = ambos os fatores (A e B) estão presentes(alto);
Fatores
A B A B A B
a1 b1 0 0 - - (1)
a2 b1 1 0 + - a
a1 b2 0 1 - + b
a2 b2 1 1 + + ab
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2º SEMESTRE DE 2010
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FATORIAIS 22:
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2º SEMESTRE DE 2010
Efeitos a serem Estimados:
1. Efeito Principal do Fator A : Temperatura
2. Efeito Principal do Fator B : Catalisador
3. Efeito de Interação : Efeito Conjunto Temperatura e
Catalisador
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FATORIAIS 22:
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2º SEMESTRE DE 2010
CÁLCULO DOS EFEITOS:Os efeitos principais de cada fator são obtidos a partir da diferença entremédias das respostas dos níveis alto e baixo de cada fator, isto é:
Fatores
A B A B A B
a1 b1 0 0 - - (1)
a2 b1 1 0 + - a
a1 b2 0 1 - + b
a2 b2 1 1 + + ab
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FATORIAIS 22:
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
CÁLCULO DOS EFEITOS:
O efeito da interação entre dois fatores é a diferença média entre os efeitos de um fator nos níveis do outro fator, por exemplo: média entre o efeito de A no nível alto de B e o efeito de A no nível baixo de B.
Fatores
A B A B A B
a1 b1 0 0 - - (1)
a2 b1 1 0 + - a
a1 b2 0 1 - + b
a2 b2 1 1 + + ab
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FATORIAIS 22:
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2º SEMESTRE DE 2010
O efeito principal da temperatura e por definição a
media dos efeitos da temperatura nos dois níveis do
catalisador.
Este valor indica que o rendimento da reação sobe 22,5% ,
em media, quando a temperatura passa de seu nível
inferior (400C) para o seu nível superior (600C).
Fatores
A B A B Média
40 A - - (1) 59
60 A + - a 90
40 B - + b 54
60 B + + ab 68
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FATORIAIS 22:
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
O efeito principal do catalisador é por definição a media
dos efeitos da temperatura nos dois níveis de
temperatura.
Quando trocamos o catalisador A pelo catalisador B orendimento diminui 13,5% em média.
Fatores
A B A B Média
40 A - - (1) 59
60 A + - a 90
40 B - + b 54
60 B + + ab 68
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FATORIAIS 22:
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
O efeito de interação é dado por:
Fatores
A B A B Média
40 A - - (1) 59
60 A + - a 90
40 B - + b 54
60 B + + ab 68
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FATORIAIS 22:
COMO VERIFICAR A SIGNIFICÂNCIA DOS EFEITOS ESTIMADOS?
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
DUAS SITUAÇÕES:
EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
EXPERIMENTOS SEM REPETIÇÕES
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2º SEMESTRE DE 2010
EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
DUAS ALTERNATIVAS:
REPETIÇÕES NOS PONTOS UTILIZADOS NO EXPERIMENTO:
REPETIÇÕES NO PONTO CENTRAL DO EXPERIMENTO
1. ANOVA
2. INTERVALOS EM TORNO DOS VALORES ESTIMADOS
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EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
DUAS ALTERNATIVAS:
REPETIÇÕES NOS PONTOS UTILIZADOS NO EXPERIMENTO:
REPETIÇÕES NO PONTO CENTRAL DO EXPERIMENTO
1. ANOVA
2. INTERVALOS EM TORNO DOS VALORES ESTIMADOS
QUESTÃO: Cálculo da variância?
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INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
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EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
NO EXEMPLO:
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EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
NO EXEMPLO:
LOGO, VARIÂNCIA DOS EFEITOS VARIÂNCIA DE MÉDIAS
nV
y
2
2Média ariância
n : número de médias envolvidas
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EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
NO EXEMPLO:
LOGO, VARIÂNCIA DOS EFEITOS VARIÂNCIA DE MÉDIAS
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EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
VARIÂNCIA DOS EFEITOS: CASO GERAL
n : número de observações por “ponto”
NO EXEMPLO: n =2 k=2
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EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
Média Global (Efeito Comum) 67.75 0.9
Efeitos Principais
A = Temperatura 22.50 1.8
B = Catalisador -13.5 1.8
Efeito de Interação
A x B = TC -8.50 1.8
Tabela 7.2 Efeitos calculados para o planejamento fatorial 22 daTabela 7.1. Note que o erro padrão da media global e a metade doerro padrão dos efeitos.
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EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
Com o erro padrão podemos construir intervalos de confiança para osvalores dos efeitos , usando a distribuição de Student:
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EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
Conclusão:
Inicialmente, precisamos decidir quais, dos efeitos calculados, são
significativamente diferentes de zero, e portanto merecedores de
interpretação. Se considerarmos estatisticamente significativo, com 95%
de confiança, um efeito cujo valor absoluto for superior a t4 x s(efeito) =
2,776 x 1,8% = 5,0%. Aplicando esse critério aos valores da Tabela 7.2,
vemos que todos eles são significativos, ou seja, os efeitos existem
mesmo. Podemos, portanto, tentar entender o que eles significam na
pratica.
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EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
Conclusão:
Como o efeito de interação e significativo, os efeitos principais devem
ser interpretados conjuntamente. A melhor forma de fazer isso e traçar
um diagrama contendo as respostas médias em todas as combinações
de níveis das variáveis, como na Figura 3.3. Examinando o diagrama,
podemos concluir que:
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EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
Conclusão:
1. Elevando a temperatura
aumentamos o rendimento da reação,
mas esse efeito e muito mais
pronunciado com o catalisador A do
que com o catalisador B (+31% contra
+ 14%).
2. Trocando o catalisador A pelo
catalisador B diminuímos o
rendimento da reação, e esse efeito é
muito mais significativo a 600C do que
a 400C ( -22% contra -5%).
3. Os maiores rendimentos (90%, em
media) são obtidos com o catalisador
A e com a temperatura em 600C.
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FATORIAIS 22:
ANOVA: MODELO
HIPÓTESES:
Interações Dois Fatores:Ho : 22 - 12 -21 + 11 = 0H1 : 22 - 12 -21 + 11 0
Efeitos Principais:Ho : 1 = 2 H1 : 1 2
Ho : 1 = 2 H1 : 1 2
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EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES
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FATORIAIS 22:
ANOVA: ANOVA
TABELA ANOVA:
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2º SEMESTRE DE 2010
Source DF
Sum of
Squares
Mean
Square F Value Pr > F
Model 3 1521.5000 507.16666 78.03 0.0005
Error 4 26.000000 6.500000
Correcte
d Total7 1547.5000
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FATORIAIS 22:
ANOVA: ANOVA
TABELA ANOVA:
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Source DF Type I SS
Mean
Square F Value Pr > F
T 1 1012.5000 1012.500 155.77 0.0002
C 1 364.50000 364.5000 56.08 0.0017
T*C 1 144.50000 144.5000 22.23 0.0092
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FATORIAIS 22:
ANOVA: ANOVA
TABELA ANOVA:
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FATORIAIS 22:
IMPORTANTE:
Para tornar validas as conclusões é necessária a análise deresíduos do modelo para verificação dos pressupostos domodelo.
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FATORIAIS 23:
Experimentos com três fatores, cada um com dois níveis cada um.
EXEMPLO:
Fatores: Temperatura, Concentração (Quantitativos) e Catalisador
(Qualitativo).
16 testes foram realizados, atribuindo-se aleatoriamente a cada
um, uma das combinações dos três fatores em estudo. Ou seja, temos
um fatorial 23 com duas repetições.
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FATORIAIS 23:
EXEMPLO: Fatores RepetiçõesTotal
T P K T P K T P K I II
a1 b1 c1 0 0 0 - - - (1) 59 61 120
a2 b1 c1 1 0 0 + - - a 74 70 144
a1 b2 c1 0 1 0 - + - b 50 58 108
a2 b2 c1 1 1 0 + + - ab 69 67 136
a1 b1 c2 0 0 1 - - + c 50 54 104
a2 b1 c2 1 0 1 + - + ac 81 85 166
a1 b2 c2 0 1 1 - + + bc 46 44 90
a2 b2 c2 1 1 1 + + + abc 79 81 160
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CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 23:
EXEMPLO:
F ato r ia l 2 **3
(1) = 60
k = 52
c = 54
ck = 45
t = 72
tk = 83
tc = 68
tck = 80
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CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 23: EXEMPLO: CÁLCULO DOS EFEITOS.
Fatores RepetiçõesTotal
T P K I II- - - (1) 59 61 120+ - - a 74 70 144- + - b 50 58 108+ + - ab 69 67 136- - + c 50 54 104+ - + ac 81 85 166- + + bc 46 44 90+ + + abc 79 81 160
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FATORIAIS 23: EXEMPLO: CÁLCULO DOS EFEITOS.
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FATORIAIS 23: EXEMPLO: GRAFICAMENTE
T=0
T=1
F ato r ia l 2 **3
K : 0.
Y
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
P 0. 1.
K : 1.
P 0. 1.
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CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 23: EXEMPLO: GRAFICAMENTE
F ato r ia l 2 **3
E fe ito P rin c ip a l d e K
K
Y
5 0
5 5
6 0
6 5
7 0
7 5
8 0
0 . 1 .
F ato r ia l 2 **3
Efeito P rincipal de T
T
Y
50
55
60
65
70
75
80
0 . 1 .
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CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 23: EXEMPLO: SOMA DE QUADRADOS
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CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 23: ANOVA : MODELO
ANOVA : HIPÓTESES
Efeito Interações Ordem 3:
Efeitos Interações Ordem 2:
Efeitos Principais:
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CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 23: ANOVA :
Fonte GL SQ QM F P-ValorModelo 15 2699T 1 2116 2116 264.5 < 0.001P 1 100 100 12.5 0.008TP 1 9 9 1.1 0.320K 1 9 9 1.1 0.320TK 1 400 400 50.0 <0.001PK 1 0 0 0.0 1.000TPK 1 1 1 0.1 0.733Residuos 8 64 8
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2º SEMESTRE DE 2010
CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 23: ANOVA : CONCLUSÕES
1. Interações entre três fatores não significativas;
2. Interações entre dois fatores apenas T:K significativa;
3. Efeitos principais de T e P significativos;
Procedimento:
Estudar a interação T:K;
Estudar o efeito principal de P (imediato!);
Verificar as suposições do modelo (diagnóstico);
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2º SEMESTRE DE 2010
CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 2K
IC para a estimativa de cada efeito é dada por:
Se o intervalo acima contém o valor zero, pode-se concluir que o efeito
considerado não é significativo ((1-)% de confiança).
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CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 2K
ALTERNATIVA PARA AVALIAÇÃO DA SIGNIFICÂNCIA DOS EFEITOS EM FATORIAIS 2K
No exemplo: s2 = QME = 8
Efeito ICT 23.00 2.82P -5.00 2.82TP 1.50 2.82K 1.50 2.82TK 10.00 2.82PK 0.00 2.82TPK 0.50 2.82
Conclusões são as mesmas doprocedimento anterior!
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2º SEMESTRE DE 2010
CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K
FATORIAIS 2K CASO GERAL
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
Todos os procedimentos vistos nos casos de
experimentos 22 e 23 podem ser generalizados para o
caso 2k, isto é, nos casos onde o número de fatores
em estudo é maior que 3, todos com 2 níveis cada.