Razão e Proporção

Daniel Bruno

Razão

A razão pode ser expressa como a divisão ourelação entre duas grandezas de algum sistema demedidas. Por exemplo, para preparar uma bebida naforma de suco, normalmente adicionamos a litros desuco concentrado com b litros de água.

A relação entre a quantidade de litros de sucoconcentrado e de água é um número real expressocomo uma fração:

𝐚

𝐛= a/b, lê-se razão entre a e b ou a está para b.

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Razão

Outro exemplo:

Em uma partida de basquete um jogador faz 20arremessos e acerta 10. Podemos avaliar oaproveitamento desse jogador, dividindo onúmero de arremessos que ele acertou pelototal de arremessos, o que significa que ojogador acertou 1 para cada dois arremessos.Nesse caso, temos:

Razão = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑒𝑚𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠=

10

20=

𝟏

𝟐

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Razão Inversa

Na razão temos os termos: antecedente e

consequente, onde na razão1

2o

antecedente é 1 e o consequente é 2.

Para a razão inversa é feita a troca do

antecedente com o consequente. Exemplo:

Razão = 1

2 RazãoInversa =

2

1

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Proporção

Proporção representa a igualdade entre

duas razões. A proporção entre a/b e c/d é

a igualdade:

𝑎

b=

c

𝑑

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Proporção

Exemplo: Um carro faz 13km por litro de

combustível, então para 26km preciso de 2L,

para 39km preciso de 3L e assim por diante.

R1 = 26

2

R2 = 39

3

Logo, formamos a proporção:

R1 = R2 26

2=

39

3

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Propriedades

Numa proporção:

𝑎

b=

c

𝑑

Os números a e d são denominados

extremos enquanto os números b e c são

os meios e vale a propriedade: o produto

dos meios é igual ao produto dos extremos,

isto é:

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a · d = b · c

Propriedades

Numa proporção quando somamos termo a

termo a razão se mantém.

26

2=

39

3=

26 + 39

2 + 3

65

5 13

Numa proporção quando subtraímos termo

a termo a razão se mantém.

26

2=

39

3=

26 − 39

2 − 3

−13

−1 13

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Números proporcionais

O número 3 representa em relação a 6 (metade) omesmo que 10 representa em relação a 20 (metade),que é o mesmo que 8 representa em relação a 16.

Dizemos então que os números 3, 10 e 8 sãodiretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16,nessa ordem. Veja:

3

6=

10

20=

8

16

1

2

1

2

1

2

Nesse caso, 1

2é considerado o coeficiente ou constante

de proporcionalidade.

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Números proporcionais

Além disso:

A fração irredutível𝑎

𝑏é equivalente ao

coeficiente de proporcionalidade(k);

Quando somamos ou subtraímos termos a

termos a razão que se mantém é k. Exemplo:𝑎 + 𝑐 + 𝑒 +⋯ 𝑦

𝑏 + 𝑑 + 𝑓 +⋯ 𝑧= k

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Grandezas Diretamente Proporcionais

(G.D.P.)

Duas grandezas são ditas diretamente

proporcionais, quando o aumento de uma

implica no aumento da outra, quando a

redução de uma implica na redução da

outra, ou seja, o que você fizer com uma

acontecerá com a outra.

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Grandezas Diretamente Proporcionais

(G.D.P.)

Exemplo: Se numa receita de pudim de

micro-ondas uso duas latas de leite

condensado, 6 ovos e duas latas de leite,

para um pudim. Terei que dobrar a

quantidade de cada ingrediente se quiser

fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada

quantidade de ingredientes se quiser,

apenas meia receita.

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Grandezas Diretamente Proporcionais

(G.D.P.)

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Observe a tabela abaixo que relaciona o preçoque tenho que pagar em relação à quantidadede pães que peça:

Preço e quantidade de pães são grandezasdiretamente proporcionais. Portanto, se peçomais pães, pago mais, se peço menos pães,pago menos.

Preço (R$ ) 0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00

Nº de pães 1 2 5 10 20 50

Grandezas Diretamente Proporcionais

(G.D.P.)

Observe que quando dividimos o preço pela

quantidade de pães obtemos sempre o

mesmo valor. Em grandezas diretamente

proporcionais, a razão é constante.

0,20

1=

0,40

2=

1,00

5=

2,00

10=

4,00

20=

10,00

50= k

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Grandezas Inversamente Proporcionais

(G.I.P.)

Duas grandezas são ditas inversamente

proporcionais quando o aumento de uma

implica na redução da outra, quando a

redução de uma implica no aumento da

outra, ou seja, o que você fizer com uma

acontecerá o inverso com a outra.

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Grandezas Inversamente Proporcionais

(G.I.P.)

Exemplo: Numa viagem, quanto maior avelocidade média no percurso, menor será otempo de viagem. Quanto menor for avelocidade média, maior será o tempo deviagem. Observe a tabela abaixo querelaciona a velocidade média e o tempo deviagem, para uma distância de 600km.

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Velocidade média (km/h) 60 100 120 150 200 300

Tempo de viagem (h) 10 6 5 4 3 2

Grandezas Inversamente Proporcionais

(G.I.P.)

Velocidade média e Tempo de viagem sãograndezas inversamente proporcionais, assim seviajo mais depressa levo um tempo menor, se viajocom menor velocidade média levo um tempo maior.Observe que quando multiplicamos a velocidademédia pelo tempo de viagem obtemos sempre omesmo valor.

Em grandezas inversamente proporcionais, oproduto é constante.

60 . 10 = 100 . 6 = 120 . 5 = 150 . 4 = 200 . 3 = 300 . 2 = k

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Vamos praticar...

Um estado brasileiro ocupa a área de

200.000 Km². De acordo com o censo

realizado, o estado tem uma população

aproximada de 12.000.000 habitantes. Qual

a densidade demográfica desse estado?

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Vamos praticar...

Para obtermos a densidade demográfica

usamos a seguinte razão:

Dens. demográfica = número de habitantes

área ocupada

Dens. demográfica = 12.000.000 habitantes

200.000 Km2

Dens. Demográfica = 60 habitantes/Km2

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Vamos praticar...

Suponhamos que um carro de Fórmula Indy

percorreu 328Km em 2h. Qual foi a

velocidade média do veículo nesse

percurso?

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Vamos praticar...

Para obtermos a velocidade média usamos

a seguinte razão:

Velocidade média = distância 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎

tempo gasto

Velocidade média = 328Km2h

Velocidade média = 164 Km/h

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Vamos praticar...

Qual a renda per capita de Alagoas

considerando os dados do IBGE (Instituto

Brasileiro de Geografia e Estatística), onde

o PIB (Produto Interno Bruto) era de

R$21.235.000 e população era cerca de

3.120.922 habitantes?

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Vamos praticar...

A renda per capita é a razão entre o PIB

(Produto Interno Bruto) e o número de

habitantes, assim:

Renda per capita =Produto Interno BrutoNúmero de habitantes

Renda per capita =R$21.235.000

3.120.922 habitantes

Renda per capita R$6,8/habitante

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Vamos praticar...

Uma empreiteira planejou construir

determinada obra em 8 dias, empregando

10 trabalhadores, trabalhando 6 horas por

dia. Se a jornada de trabalho fosse

ampliada em 2 horas diárias e o número de

trabalhadores reduzido para 7 essa mesma

obra seria concluída em quantos dias?

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Vamos praticar...

Separando os dados:

Faremos as seguintes considerações:

• Trabalhadores e Dias. Se 10 empregadosterminam uma obra em 8 dias, então apenas 7empregados vão terminar essa mesma obra emmais dias. Diminuiu o número de empregados, masaumentou o número de dias. Então considera-segrandezas inversamente proporcionais, assimteremos a razão de 7/10.

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Trabalhadores Horas por dia Conclusão em dias

10 6 8

7 8 x

Vamos praticar...

• Horas e dias. Dispondo-se de 6 horas

diárias, termina-se uma obra em 8 dias, se

passar a dispuser de 8 horas diárias, então

termina-se o trabalho em menos dias.

Aumentou o número de horas e diminuiu o

número de dias. Então considera-se

grandezas inversamente proporcionais,

assim teremos a razão de 8/6.

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Vamos praticar...

Agora é só multiplicar as razões e igualar à

razão que contém a incógnita (8/x). Assim:

7

10. 8

6=

8

𝑥

56

60=

8

𝑥 56x = 480 x =

480

56

x = 8,57

A obra será concluída em aproximadamente

9 dias.

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Vamos praticar...

Em uma construtora, 20 caminhões

descarregam 160m3 de areia em 8 horas.

Diminuindo as horas de atividade dos

caminhões para 5 horas, quantos

caminhões serão necessários para

descarregar 125m3 de areia.

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Vamos praticar...

Montando uma tabela, colocando em cada

coluna as grandezas de mesma espécie e,

em cada linha, as grandezas de espécies

diferentes que se correspondem:

Vamos comparar as grandezas.

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Horas Caminhões Volume

8 20 160

5 x 125

Vamos praticar...

Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemosdiminuir o número de caminhões. Portanto a relação éinversamente proporcional.

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar onúmero de caminhões. Portanto a relação é diretamenteproporcional.

Devemos igualar a razão que contém o termo x com oproduto das outras razões de acordo com o queobservamos.

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Vamos praticar...

Montando a proporção e resolvendo:

20

𝑥=

160

125.5

8

20

𝑥=

20

25

20

𝑥=

4

5 4x = 100

x =100

4 x = 25

Assim, serão necessários 25 caminhões

para descarregar 125m3 em 5 horas.

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