Razão, Proporção, Grandezas Proporcionais e Web viewFaça dessas um...

Licenciatura em Matemática

Matemática Elementar

Marco Antonio Claret de Castro

Flávia Borges Arantes

Patrícia Oliveira Costa.

UFSJ

MEC / SEED / UAB

2010

catalogação

Sumário

PRA COMEÇO DE CONVERSA.................................................................................................................................6

UNIDADE I - POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO......................................................................................................8

1.1. POTENCIAÇÃO................................................................................................................................................91.1.1. Propriedades da potenciação.............................................................................................................121.1.2. Aplicações de Potências..................................................................................................................15

1.2. RADICIAÇÃO.................................................................................................................................................171.2.1. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS FRACIONÁRIAS.........................................................................................221.2.2. PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO................................................................................................................231.2.3. RACIONALIZAÇÃO......................................................................................................................................25

UNIDADE II - MMC(MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM) E MDC(MÁXIMO DIVISOR COMUM...........................28

2.1. DEFINIÇÕES..................................................................................................................................................292.1.1. Múltiplos e Divisores.......................................................................................................................292.1.2. Números primos.................................................................................................................................332. 1.3. Decomposição de um número natural em fatores primos......................................................342.1.4. Teorema Fundamental da Aritmética..........................................................................................40

2.2. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM – M.M.C..............................................................................................................422.3 - MÁXIMO DIVISOR COMUM – M.D.C.............................................................................................................45

UNIDADE III - PRODUTOS NOTÁVEIS...............................................................................................................50

3.1. INTRODUÇÃO................................................................................................................................................513.2. REVISÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS...........................................................................................................513.3. PRODUTOS NOTÁVEIS MAIS COMUNS.............................................................................................................54

3.3.1. Quadrado da soma...........................................................................................................................543.3.2. Quadrado da diferença...................................................................................................................573.3.3. Produto da soma pela diferença....................................................................................................593.3.4. Cubo da soma......................................................................................................................................61

3.3.5. CUBO DA DIFERENÇA...................................................................................................................................633.3.6. QUADRADO DA SOMA DE POLINÔMIOS EM GERAL...........................................................................................663.3.7. TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO...............................................................................................................67

3.3.8. Completar quadrados.....................................................................................................................693.3.9. Aplicações de produtos notáveis...................................................................................................71

UNIDADE IV - EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAUS..................................................................................................74

4.1. INTRODUÇÃO................................................................................................................................................754.2. EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU.....................................................................................................................83

4.2.1. Definição............................................................................................................................................834.2.2. Resolução de equações do primeiro grau....................................................................................834.2.3. Aplicações das equações do primeiro grau.................................................................................87

4.3. EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU......................................................................................................................914.3.1. Definição............................................................................................................................................914.3.2. Tipos de equações............................................................................................................................924.3.4. Raízes de Equações incompletas da forma ax2 + bx = 0............................................................964.3.5. Raízes de Equações completas da forma ax2 + bx + c = 0...........................................................974.3.6. Relações entre os coeficientes e as raízes..................................................................................103

4.3.6.1. Soma das raízes (S)................................................................................................................................1034.3.6..2. Produto das raízes (P)..........................................................................................................................104

4.3.7. Equação biquadrada.....................................................................................................................1084.3.8. APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU.................................................................................................112

4.3.8.1. Resolução de problemas do 2º grau....................................................................................................1124.3.8.2. Sistemas do 2º grau....................................................................................................................................117

UNIDADE V - OPERAÇÕES COM FRAÇÃO......................................................................................................119

INTRODUÇÃO.....................................................................................................................................................120

5.1. DEFINIÇÕES................................................................................................................................................1205.1.1. Frações.............................................................................................................................................1205.1.2. Leitura de frações..........................................................................................................................1225.1.3. Classificação das frações..............................................................................................................1235.1.4. Equivalência de frações................................................................................................................1255.1.5. Simplificação de frações...................................................................................................................127

5.2 OPERAÇÕES COM FRAÇÃO............................................................................................................................1285.2.1. Adição e subtração frações...........................................................................................................1285.2.2. Multiplicação de frações...............................................................................................................1315.2.3. Divisão de frações..........................................................................................................................1325.2.4. Potenciação (ou exponenciação) de frações..............................................................................1335.2.5. Radiciação de frações....................................................................................................................1355.2.6. Transformações de frações..........................................................................................................136

5.2.6.1. Redução de números inteiros para frações impróprias..................................................................1365.2.6.2. Redução de número misto para fração imprópria...........................................................................1365.2.6.3. Conversão de fração imprópria para número misto........................................................................137

5.3. NÚMEROS DECIMAIS....................................................................................................................................1385.3.1. Leitura de um número decimal...................................................................................................1395.3.2. Conversão de fração decimal para número decimal................................................................1415.3.3. Conversão de fração não decimal para número decimal........................................................1425.3.4. Conversão de número decimal para fração decimal................................................................1435.3.5. Propriedades dos números decimais..........................................................................................145

5.4. OPERAÇÕES ENVOLVENDO NÚMEROS DECIMAIS...........................................................................................1465.4.1. Adição e subtração de números decimais..................................................................................1465.4.2. Multiplicação de números decimais...........................................................................................1485.4.3. Divisão de números decimais.......................................................................................................150

5.4.4. POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS.....................................................................................................1525.4.5. Radiciação de números decimais................................................................................................152

5.4.6. Aplicações de números decimais e frações: porcentagens.....................................................153

UNIDADE VI - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO........................................................155

6.1. DEFINIÇÕES................................................................................................................................................1566.1.1 Projeções..........................................................................................................................................156

6.2. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.......................................................................................1586.2.1. Primeira relação métrica.............................................................................................................1586.2.2. Segunda relação métrica.............................................................................................................1606.2.3. Terceira relação métrica..............................................................................................................1616.2.4. Quarta relação métrica. Teorema de Pitágoras.......................................................................162

6.2.4.1. TRIÂNGULOS PITAGÓRICOS...................................................................................................................1646.2.4.2. Um pouco de história..............................................................................................................................166

6.3. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.........................................................................1706.3.1. Seno de um ângulo.........................................................................................................................170

6.3.2. COSSENO DE UM ÂNGULO.........................................................................................................................1726.3.3. Tangente de um ângulo................................................................................................................173

6.3.4. CÁLCULO DOS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO..............................................................................1776.3.5. RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA:........................................................................................1786.4. APLICAÇÕES DOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS NA ENGENHARIA.....................................................................181

UNIDADE VII - REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA............................................................................187

7.1. RAZÃO ENTRE DOIS NÚMEROS.....................................................................................................................1887.2. PROPORÇÃO..............................................................................................................................................1937.2.1 – PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES..................................................................................196

7.2.2. Grandezas Proporcionais.............................................................................................................1977.3. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA......................................................................................................199

7.3.1. Regra de Três Simples..................................................................................................................2007.3.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA...................................................................................................................202

PRA FINAL DE CONVERSA................................................................................................................................206

Referências...........................................................................................................................................................207

Pra começo de conversa...

Olá aluno (a)! Bem-vindo ao módulo da disciplina Matemática Elementar!

A finalidade do oferecimento dessa disciplina é preencher uma lacuna que tem existido

nos cursos presenciais de Licenciatura em Matemática, pois muitos formam nesses

cursos e vão, em seguida, lecionar para alunos do ensino fundamental onde existem

tópicos que não são abordados na graduação. Essa disciplina tem a carga horária de 72

horas e é composta de sete unidades:

1. Potenciação e Radiciação

2. M.M.C. e M.D.C.

3. Produtos notáveis

4. Equações do 1º e 2º graus

5. Operações com frações

6. Relações métricas no triângulo retângulo

7. Regra de 3 (simples e composta)

As aulas compreenderão a parte teórica, confecção de exercícios e avaliações.

Nós nos preocupamos em trabalhar com você os tópicos abordados nessa disciplina

numa linguagem bem acessível, usando as definições acompanhadas de exemplos e

exercícios para você fixar melhor os objetivos pretendidos.

Esperamos que você inicie o curso com garra, vontade e persistência. Nunca desista

diante das adversidades. Faça dessas um desafio e verá que uma das melhores coisas da

vida será ultrapassar as barreiras com determinação

Matemática Elementar Unidade I

Unidade I - Potenciação e Radiciação

Problematizando

1) O que é base e expoente numa potência?

2) Quais as propriedades da potenciação?

3) Como é determinada a potenciação de números?

4) Como calcular a raiz enésima de um número?

5) Quais as propriedades da radiciação?

1.1. Potenciação:

Objetivo

Definir potenciação.

Vamos responder:

a) Numa estrada, encontrei sete mulheres.

Cada mulher tinha sete sacos,

Cada saco tinha sete gatos,

Cada gato tinha sete gatinhos.

Quantos gatinhos eu encontrei na estrada?

Essa brincadeira, adaptada de um verso inglês, é solucionada, usando também a

potenciação:

7 x 7 x 7 x 7 = 74 = 2 401

b) Se você lançar uma moeda, quantos e quais resultados você pode obter?

Veja:

1) Se lançarmos uma moeda, são dois resultados possíveis:

2) Se lançarmos duas moedas, são quatro resultados possíveis:

3) Se lançarmos três moedas, quantos serão os resultados possíveis?

Fonte: (GIOVANNI, 2005, p. 8)

Vamos então estabelecer uma relação entre o número de moedas lançadas ao ar e o

número de resultados possíveis.

Veja no quadro:

Nº de moedas Nº de resultados possíveis

1 2 = 21

2 4 = 2x2 = 22

3 8 = 2x2x2 = 23

4 16= 2x2x2x2 = 24

5 32 = 2x2x2x2x2 = 25

... ............

Concluímos então, no lançamento simultâneo de n moedas, o número de resultados

possíveis é dado por 2n. Que também é potenciação.

Resolva você:

Em uma colônia, cada bactéria se reproduz dividindo-se em quatro bactérias por

minuto. Partindo de uma só bactéria, quantas serão produzidas em 6 minutos de

divisão? ( r: 4 094 bactérias)

Agora então, podemos definir o que é a operação potenciação de números reais.

Definição

A potência 23, por exemplo, indica que a base, o número 2, será multiplicada

sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja 2x2x2. Se o expoente é 1, então o

resultado tem o valor da base (71 = 7), enquanto que com um expoente 0, devido as

propriedades da potência, o resultado é sempre igual a 1 (160 = 1).

Então vamos ver estas propriedades!!!

1.1.1. Propriedades da potenciação

Objetivo

Aplicar as propriedades da potenciação.

As potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma xn, onde n é o expoente e x é a base.

1) Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

Observe que: 27 x 9 = 243 , 27 = 33 e 9 = 32 , isto implica que

33 x 32 = 243 = 35 = 33+2

2) Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Usando o mesmo exemplo: 27 / 9 = 3 então : 33 / 32 = 3 = 33-2

Agora podemos justificar porque 160 = 1

Temos: 16 : 16 = 24 : 24 = 1, usando a propriedade teremos:

24 : 24 = 2 4-4 = 20 = 1

3) Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os

expoentes.

(xa)b = xab

Observe:

93 = 729 , (32)3 = 729 = 36 = 3 2X3

O número real x, diferente de zero, elevado a zero sempre será 1.

4) Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores

a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao

mesmo expoente.

Observe:

6 2 = 36 vamos lá, usando o mesmo método:

62 = ( 3x2)2 = 32 x 22 = 9 x 4 = 36

62 = ( =

E o expoente negativo?

Com esta propriedade e o estudo de frações poderemos compreender a definição se o

expoente for um número real negativo.

Exemplo

9 : 27 = isto implica então que (3)-1 =

Verifique se é valido para este exemplo: ( = ( = .

Se a base for um número real negativo é preciso colocar entre parênteses.

Exemplo

(-2)2 = ( -2) x ( -2) = 4 , -22 = - ( 2 x 2 ) = -4

Vamos resolver:

1) Escreva na forma de potência os seguintes produtos:

Então, diremos que se o expoente for negativo invertemos a base e colocamos o expoente positivo.

a) 12 x 12 x 12 (r: 123) b) (-15) x ( -15) x (-15) x ( -1 (r: -15)4

c) (r: 0,3)n

Calcule:

a) (-2)5 (r: -32) b) (0,8) 3 (r: 0,512)

c) (11/6) 2 (r:121/36) d) -54 (r: -625)

e) (5)-2 (r: 1/25) f) (-2)-5 (r: -1/32)

g) (-2/3)3 (r: -27/8) h) 60 (r: 1)

2) Usando as propriedades transforme numa só potência cada uma das expressões:

a) 32 . 3 . 3 -4 (r: 3-1) b) 67 : 6-2 (r: 69) c) 2-3 : 2-1 (r: 2-2)

d) (102)-5 (r: 10-10) e) (7-1)-3 (r: 73)

4) (Fuvest – SP) Qual é a metade de 222? (r: 221)

1.1.2. Aplicações de Potências:

Segundo (ANDRINI, 2002, p. 13):

O

bs

er

ve

que 0,01 = e 10000000000 = 1010

Então, outra aplicação da potenciação é a “notação científica”:

A distância entre o planeta Vênus e o Sol é de 108 000 000 quilômetros.

A notação científica permite registrar esse número numa forma mais simples:

Um ótimo truque algébrico:

29 x 31 = ( 30 – 1) x ( 30 + 1) = 302 - 12 = 900 – 1 = 899

Este truque nada mais é do que a aplicação da chamada da diferença de dois quadrados: (a – b) ( a + b) = a2 – b2 , que veremos na unidade 3.

Os registros de números na notação científica apresentam um número entre 1 e 10

multiplicado por uma potência de base 10.

Assim:

108 000 000 Km = 1,08 .108 km

Você sabe qual é a distância entre a Terra e o Sol? Responda a essa pergunta, usando a

notação científica. (r: 1,5. 108)

Exemplo:

Certo vírus tem espessura aproximada de 0,000006 milímetros. Expresse esse valor em

notação científica.

0,000006 mm = 6. 10-6

Veja mais um exemplo de aplicação da potência:

Escrever na forma de produto a expressão 5100 + 5101 + 5102 .

5100 + 5101 + 5102 = 5100(1 + 5 + 52) = 5100(1 + 5 + 25) = 5100(31)

5100 + 5101 + 5102 = 31. 5100

Então agora:

Vamos resolver:

1) A velocidade da luz é de 300.000Km/s. Use a notação científica para escrever esta

velocidade. (r: 3.105)

2) Se x = 0,000011 e y = 0,003. Escreva o produto de x por y usando a notação

científica. (r: 33. 109)

3) Simplifique a expressão , dizendo o seu valor na forma de número

decimal. (r: 0,06)

4) Qual é a forma mais simples de escrever a expressão:

a) (r: a7b3c2)

b) (r: b3/ a2)

Um pouco de história:

Segundo (GIOVANNI, 2005, p. 9) “Os babilônios, (denominação genérica para diversos

povos na antiguidade, que durante 3000 anos, ocuparam sucessivamente a

Mesopotâmia, região aproximadamente correspondente ao Iraque de hoje), usavam as

potências como auxiliares da multiplicação, enquanto os gregos tinham preferência

pelos quadrados e pelos cubos.

No século III, o matemático grego Diofante idealizou as seguintes notações das

potências: x para expressar a primeira potência, xx a segunda e xxx para expressar a

terceira potência.

No século XVII, o pensador e matemático francês René Descartes ( 1596 -1650)

introduziu as notações x , x2 , x3, . . . , para potências, notações essas que usamos hoje.”

1.2. Radiciação

Objetivos

Definir radiação.

Resolver problemas usando radiciação.

Definição

Em

outros

termos,

dado um número relativo a denominado radicando e dado um número inteiro positivo n

denominado índice da raiz, é possível determinar outro número relativo b, denominado

Radiciação de números relativos é a operação inversa da

potenciação. Ou seja,

raiz enésima de a (ou raiz de índice n de a), representada pelo símbolo , tal que b

elevado a n seja igual a a.

Exemplo

, pois 7. 7 = 72 = 49 7 =

= -2, pois (-2) . (-2) . (-2) = (-2)3 = -8 -2 =

Para determinarmos a raiz enésima de um número real a, temos dois casos a examinar:

1º caso: O índice n é par:

bn = a a 0 , pois multiplicaremos b n ( par) vezes .

Então a potência “a” será sempre positiva. Assim não se define no conjunto de números

reais raiz de índice par e radicando negativo, pois o radicando será a potência da

operação inversa.

Exemplo

= não se define nos números reais, pois (-7) . (-7) = 49

Este fato se estende quando consideramos a raiz quarta, sexta, oitava... e assim por

diante, de um número real negativo.

Mas atenção:

-

E também

=

Então vamos definir:

= , quando n é par

=-7 e = +7

Chegaríamos à conclusão que -7 = +7, que é um absurdo!!!!!!!

Generalizando: x o radicando, n o expoente par e k 0 uma constante.

Xn = kn = = k , observe que a raiz é

sempre positiva, o radicando xn é que poderia ter valor para x positivo e valor para x

negativo.

Exemplo

X2 = 49 = 7

2º caso: O índice n é impar:

= -2, pois (-2) . (-2) . (-2) = (-2)3 = -8 -2 =

Então concluímos que:

, isto é, dado um número real a e sendo n um número

natural ímpar, a expressão é o número real b, tal que bn = a .

Então agora:

Vamos Resolver:

1) Calcule:

a) (r: 1) b) (r: 200) c) (r: 0,7)

A raiz de um número real com índice

par é sempre um número real positivo.

Sendo n um número natural diferente

de zero, define-se:

d) (r: 5) e) (r: 2/5) f) (r: -0,1)

g) (r: 1,1)

2) Calcule, caso exista no conjunto dos números reais:

a) (r: 8 ) b) (r: Não existe) c) (r: -1) d)

(r: Não existe)

E o expoente fracionário?

Os expoentes racionais relacionam a potenciação e a radiciação da seguinte maneira:

Consideremos um número real x, tal que x = .

Usando a definição, temos:

x = x3 = 52 (1)

Agora, se tivermos outro número y, tal que y = 5

Usando as propriedades da potência temos:

y = 5 y3 = (5 )3 y3 = 5 y3 = 52 (2)

Comparando as igualdades (1) e (2) , temos:

Então podemos escrever que: = 5

Sendo , m , n , m > 0, n > 0, podemos escrever:

As potências de base positiva e expoente racional

podem ser escritas na forma de radical, e os radicais

podem ser escritos na forma de potência com

expoente racional.

Exercícios

Calcule:

a) 64 (r: 8) b) 1000,5 (r: 10) c) ( ) (r: 2/3)

d) (-32) (r: -2) e) 6250,25 (r: 5)

1.2.1. Propriedades das potências fracionárias:

Objetivo

Conhecer a aplicar as propriedades de potências fracionárias.

As mesmas propriedades que foram estudadas para expoentes inteiros valem para as

potências com expoentes fracionários.

Vamos resolver:

1) Escreva em forma de uma só potência cada uma das seguintes expressões:

a) 2 . 2 (r: 2 ) b) 5 : 5 (r: 5 )

c) (7 ) (r: 49) d) (r: 101/4)

2) Determine o valor da sentença: 27 + 9 (r: 252)

3) Se A = (4 + 81 ) , determine A-1. (r: 1/5)


Segundo (GIOVANNI, 2005. p.43), “Contam os historiadores da Matemática que o

número foi responsável pela primeira grande crise entre os matemáticos gregos.

O teorema de Pitágoras garantia que é a medida da diagonal do quadrado de lado

unitário. Aí é que as coisas começaram a se complicar, pois na Antiguidade eram

conhecidos apenas os números inteiros (positivos) e fracionários. Como não é inteiro

nem fracionário, que número é então?

Para os Pitagóricos os números regulavam o universo.

Euclides de Alexandria (séc. III a.c) provou que não é racional usando um raciocínio

denominado “redução ao absurdo”.

A palavra radical vem do latim radix ou radicis, que significa raiz.. O símbolo de

radical (adotado talvez porque lembra um r minúsculo, de raiz) introduzido em 1525,

por Christoff Rudolff em seu livro de álgebra intitulado Die coss.”

1.2.2. Propriedades da Radiciação:

Objetivo

Aplicar as propriedades da radiciação.

1ª propriedade:

Se a 0 , então = a

Ex: = 7, = x, se x 0

2ª propriedade:

= , com p 0 e p divisor comum de m e n.

Observe:

= 2, pela 1ª propriedade

= 2 , pela 1ª propriedade

Então, = = = 2

3ª propriedade:

Observe:

=

4ª propriedade:

Observe:

5ª propriedade:

Observe:

Adicionando algebricamente dois ou mais radicais:

Se uma expressão contém radicais semelhantes, podemos reduzi-los a um só radical.

Acompanhe:

7 = ( 7 + 5 – 8 + 1 ) = 5

Multiplicando e dividindo expressões com radicais de índices diferentes:

Neste caso, convém transformar dois ou mais radicais de índices diferentes em radicais

equivalentes e que tenham o mesmo índice, que já sabemos calcular:

Observe:

=

Potenciação de expressões com radicais:

Acompanhe:

1.2.3. Racionalização:

Objetivos

Racionalizar frações que envolvem radical no denominador.

Aplicar a racionalização para facilitar o cálculo de expressões.

Antigamente, quando ainda não existiam as calculadoras, era muito complicado calcular,

por exemplo, Teriam que dividir

Então eles multiplicaram o numerador e o denominador por

= = , esta é uma conta muito mais fácil de fazer.

Esta transformação, ou qualquer transformação deste tipo, é dada o nome de

Racionalização de denominadores.

Podemos também, simplificar um radical, retirando fatores do radicando:

= = = = 10

= = = 24 .3 = 48

Ou podemos também introduzir um fator externo no radicando:

10 = = =

Aplicação de Radiciação:

A figura a baixo é um quadrado cujo lado mede l. A área desse quadrado é 2304 cm 2.

Qual é o valor de l em cm?

Como sabemos, a área do quadrado é l. l = l2

l2 = 2 304 l = = 24 .3 = 48

Então o valor de l = 48 cm

Vamos resolver:

1) Um terreno quadrado tem 900m2 de área.

a) Quantos metros medem o seu perímetro? (r: 120 m)

b) Qual será a área, em m2, de um terreno com o triplo da medida do lado deste

quadrado? (r: 8.100 m2)

2) Certo ou errado? Justifique dizendo a propriedade ou operação usada.

a) = 21 (r: c) b) = 2 (r: e) c) (r: c)

d) 2 (r: e) e) (r: c) f) (r: c)

3) Se a , escreva na sua forma mais simples possível o seguinte produto:

(r: a2b2)

4) Vamos simplificar cada um dos radicais:

a) (r: 2 ) b) (r: 5 )

lcm

5) Introduza o fator externo no radicando:

a) 2 (r: ) b) 5y3 (r: )

c) ( x + y ) = (r: )

6) Simplifique as frações:

a) (r: ) b) (r: x -

)

7) Se X = 3 e Y = 3

Determine:

a) (r: ) b) X – Y (r:

)

c) (X + Y) (X – Y) (r: 43)

8) Dadas as igualdades e , determine o valor de x + y (r: 6)

E aí? Compreenderam?

Esperamos ter conseguido, neste capítulo, alcançar nossos objetivos.

Vamos então para a próxima unidade...

Matemática Elementar Unidade II

Unidade II – M.M.C. (Mínimo Múltiplo Comum) e M.D.C. (Máximo Divisor Comum)

Problematizando

1) Como calcular o M.M.C. de dois ou mais números?

2) Como determinar o M.D.C. de dois ou mais números?

3) Quais as aplicações do M.M.C. e do M.D.C.?

4) O que são números primos?

5) Como decompor um número em fatores primos?

2.1. Definições

2.1.1. Múltiplos e Divisores:

Objetivo

Definir e determinar múltiplos e divisores de números naturais.

Você sabe o que é múltiplo de um número? A palavra “múltipla” vem de multiplicação.

Observe:

2 x 8 = 16

Em uma multiplicação, o produto (resultado da multiplicação) é sempre múltiplo de

cada um dos fatores.

Assim,

i) 2 x 8 = 16

Logo 16 é múltiplo de 2 e de 8.

ii) 3 x 45 = 135

Logo 135 é múltiplo de 3 e de 45.

Para encontrarmos o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicá-lo pela

sucessão de números naturais.

Desta forma, quais são os múltiplos de 12?

12 x 0 = 0 12 x 6 = 72

12 x 1 = 12 12 x 7 = 84

12 x 2 = 24 12 x 8 = 96

12 x 3 = 36 12 x 9 = 108

12 x 4 = 48 12 x 10 = 120

12 x 5 = 60 12 x n = 12n

Então o conjunto dos múltiplos de 12 pode ser representado por

M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132,...}

Este conjunto é infinito? A resposta é sim. Como o conjunto dos números naturais é

infinito, se você continuar multiplicando o número 12 por todos os elementos deste

conjunto obterá um conjunto também infinito.

Agora, encontre o conjunto de todos os múltiplos de 8. Note que o conjunto dos

múltiplos de 12 e 8 é infinito.

E aí? O que podemos concluir? Todos os números naturais possuem o conjunto dos

múltiplos infinito?

A resposta é não! Observe o conjunto dos múltiplos de zero.

0 x 0 = 0 0 x 6 = 0

0 x 1 = 0 0 x 7 = 0

0 x 2 = 0 0 x 8 = 0

0 x 3 = 0 0 x 9 = 0

0 x 4 = 0 0 x 10 = 0

0 x 5 = 0 0 x n = 0

O conjunto dos múltiplos de zero é unitário e pode ser representado por

M(0) = {0}

Portanto,

O conjunto dos múltiplos de um número não – nulo é infinito.

Agora observe e analise:

60 = 1 x 60

60 = 2 x 30

60 = 3 x 20

60 = 4 x 15

60 = 5 x 12

60 = 6 x 10

Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 são fatores do número natural 60. E se

você dividi-lo por todos estes fatores, a divisão dará resto zero, ou seja, será exata.

Assim podemos afirmar que:

O 12 é divisor de 60 e 60 é divisível por 12.

Mas como encontrar o conjunto de todos os divisores de um número?

Daremos uma sugestão para a resolução desta situação.

Divida um número n por 1, por 2, por 3, por 4, e vá dividindo até chegar em n. Considere

como resposta adequada a pergunta acima apenas as divisões exatas. Logo todos os

números em que o resto da divisão foi zero, são divisores de n.

Faça este exemplo utilizando situações reais, como por exemplo, sua sala de aula tem 20

alunos. Desejamos distribuí-los em grupos menores de forma que nenhum de vocês

fique sem grupo. Quais as possibilidades de formar grupos em que todos tenham o

mesmo número de elementos?

Observe a tabela:

Número de grupos Número de alunos

1 20

Os divisores de um número natural a são todos os números naturais que ao dividirem a, resultarão em uma divisão exata.

2 10

4 5

5 4

10 2

20 1

Neste caso, poderemos formar 1 grupo de vinte alunos, 2 grupos de 10 alunos, 4 grupos

de 5 alunos, 5 grupos de 4 alunos, 10 grupos de 2 alunos e 20 grupos de um aluno, de

forma que não sobre nenhum aluno sem grupo, ou seja, que o resto da divisão entre

alunos e grupos seja zero. Quando isto acontecer, dizemos que 20 será divisível por

todos os números que a divisão for exata, isto é, por 1, 2, 4, 5, 10 e 20.

Concluindo, teremos que:

Dados dois números naturais a e b, dizemos que a é divisor de b se existir um número

natural c tal que a.c = b. Nestas condições, podemos dizer ainda que a divide b e que b é

múltiplo de a ou que b é divisível por a. Usando a linguagem matemática:

a b c N | a.c = b

Vamos praticar:

1) Escreva os seis primeiros múltiplos de 15. (r: 0, 15, 30, 45, 60, 75)

2) Quais são os divisores de 15 que também são divisores de 25? (r: 1 e 5)

3) Quantos múltiplos comuns de 3 e 5 há de 0 a 30? (r: 3 números)

4) Determine:

a) os divisores de 14 que não são divisores de 35. (r: 2 e 14)

b) os divisores de 35 que não são divisores de 14. (r: 5 e 35)

c) os divisores de 14 que são também divisores de 35. (r: 1 e 7)

5) A idade de Paulo corresponde ao maior divisor par de 60, sem ser o número 6.

Qual a idade de Paulo? (r: 30 anos)

6) Os números 143 e 91 são múltiplos de 13. Verifique se a soma desses números,

bem como a diferença entre eles, também são múltiplos de 13. (r: Tanto a soma

como a diferença entre eles é múltipla de 13)

7) É fácil saber quando um ano é bissexto. É só verificar se o número que representa

esse ano é divisível por 4, ou no caso dos anos terminados em 00, se é divisível

por 400.

a) Diga se foi ano bissexto

- o ano do descobrimento do Brasil (1500) (r: Não, pois 1500 não é divisível por

400)

- o ano da Proclamação da Independência (1822) (r: Não, pois 1822 não é divisível

por 4)

b) A década de 90 (de 1991 a 2000) teve quantos anos bissextos? (r: três: 1992, 1996

e 2000)

c) Qual o primeiro ano bissexto do século XXI (iniciado em 2001)? (r: 2004)

2.1.2. Números primos

Objetivos

Definir números primos.

Decompor um número natural em fatores primos.

Antes de iniciarmos o estudo dos algoritmos de M.M.C. e M.D.C., faremos uma breve

recordação sobre os números primos.

O que vocês entendem por números primos?


Segundo (OLIVEIRA, 2005, p.1), “Primus é uma palavra de origem latina, que significa:

“primeiro e único”. Ela foi escolhida para designar o grupo de números naturais que não

podem ser decompostos em fatores, a não ser por um e por ele mesmo, mas que são

fatores dos demais números inteiros.”

Assim sendo, podemos classificar os números naturais em:

Primos: números diferentes de zero e um, que possuem apenas dois divisores, o 1

e ele mesmo.

Compostos: números que possuem mais de dois divisores.

2.1.3. Decomposição de um número natural em fatores primos:

Vamos decompor os números 6, 10 e 15.

6 = 2 x 3 (2 e 3 são números primos, e 6 é o produto de fatores primos)



Agora, vamos decompor o número 36.

36 = 2 x 18 (18 é um número composto)

18 = 2 x 9 (9 é um número composto)

9 = 3 x 3

Assim, percebemos que 36 = 2 x 2 x 3 x 3 e podemos afirmar que 36 é composto por

números primos. Calculando o produto destes números primos, teremos

2 x 2 x 3 x 3 = 36.

Vejamos outros exemplos:

O número 2 é o único número natural, primo que é

par.

par.

25 = 5 x 5 (5 é um número primo)

39 = 3 x 13 (3 e 13 são números primos)

42 = 2 x 21

21 = 3 x 7 (2, 3 e 7 são números primos)

Então 42 = 2 x 3 x 7.

Existe uma maneira mais prática para decompor um número natural, mas para isso é

importante recordarmos os principais critérios de divisibilidade. Veja:

Divisibilidade por 2:

Um numero natural é divisível por 2 quando ele é par, ou seja quando termina em 0, 2, 4,

6, 8.

Veja a divisão do número 1020 por 2. Note que 1020 termina em zero e o resto da

divisão por 2 é zero:

Logo, 1020 é divisível por 2. Esta regra vale para todos os múltiplos de 2.


Um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Examine a divisão do número 261 por 3.

Como o resto da divisão é zero, temos que 261 é divisível por 3. Agora, observe que

somando os algarismos do número 261, obtemos 2 + 6 + 1 = 9, que é um número

divisível por 3. Esta regra vale para todos os múltiplos de 3.


1020 2 020 510

0

261 3 021 87 0

Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um

número divisível por 4.

Veja a divisão do número 548 por 4 e a divisão do número 48 por 4.

Os dois últimos algarismos do número 548 formam 48, que é um número divisível por 4.

Isso ocorre com todos os múltiplos de 4.


Um número natural é divisível por 5 quando termina em zero ou 5.

Observe a divisão do número 570 por 5 e a divisão do número 835 por 5:

O número 570 termina em zero e é divisível por 5 e o número 835 termina em 5 e é

divisível por 5. Este fato, terminar em zero ou 5, acontece com todos os múltiplos de

5.


Um número natural é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 simultaneamente.

Veja a divisão do número 624 por 6:

548 4 014 137 028 0

48 4 08 12 0

570 5 07 114 020

0

835 5 033 167 035 0

624 6 02 104 024

0

Note que o número 624 é divisível por 2, pois ele é par e 624 também é divisível por

3, pois 6 + 2 + 4 = 12 e 12 é divisível por 3. Esta regra é válida para todos os

múltiplos de 6.


Um número natural é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um

número divisível por 8.

Observe a divisão do número 1 320 por 8 e a divisão do número 320 por 8.

Os três últimos algarismos do número 1320 formam 320, que é um número divisível

por 8. Isso acontece com todos os múltiplos de 8.


Um número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por 9.

Examine a divisão do número 4212 por 9.

Já sabemos que como o resto da divisão é zero, temos que 4 212 é divisível por 9. Agora,

veja que somando os algarismos do número 4 212, obtemos 4 + 2 + 1 + 2 = 9, que é um

número divisível por 9. Esta regra vale para todos os múltiplos de 9.


Um número natural é divisível por 10 quando termina em zero.

Observe a divisão do número 4 530 por 10:

320 8 00 40 0

1320 8 052 165 040 0

4212 9 061 468 072 0

4530 10 053 453 030

0

O número 4 530 termina em zero e é divisível por 10. Este fato, terminar em zero,

acontece com todos os múltiplos de 10.

Vamos praticar:

1. Considere os números a seguir:

Descubra quais são divisíveis por:

a) 5 (r: 6930, 680, 24 000)

b) 6 (r: 6930, 72 048, 24 000, 4032)

c) 8 (r: 680, 24 000, 72 048, 4 032, 16 664)

2. O número 58X tem três algarismos, mas o algarismo das unidades está escondido.

Sabendo-se que este número é múltiplo de 9, qual o algarismo escondido? (r: 5)

3. Qual o menor natural de quatro algarismos que é divisível por 3 e por 4 ao mesmo

tempo? (r: 1.008)

Agora que já sabemos os critérios de divisibilidade mais utilizados, retornaremos aos

nossos estudos da decomposição em fatores primos... Vamos decompor o número 135.

135 3

45 3

15 3

5 5

1

3x3x3x5 = 33x5

Logo 135 = 33x5

divisores primosquociente

6930

72 048 16 66424 000

4 032680

Escrevemos: 135 = 3 x 3 x 3 x 5, ou seja, o número 135 é composto pelos fatores primos

3 e 5. Podemos ainda representá-lo utilizando potências 135 = 33x5.

Analisando o que fizemos acima, podemos dizer que decompomos o número 135 em

fatores primos, ou seja, que ele foi dividido sucessivamente pelos seus fatores primos. Os

divisores foram colocados à direita do traço vertical e os quocientes obtidos, à esquerda.

O processo terminou quando encontramos o quociente 1.

Isso pode ser verificado através de um teorema muito importante no conjunto dos

números naturais, que está especificado mais abaixo:

2.1.4. Teorema Fundamental da Aritmética

Objetivos

Aplicar o teorema fundamental da aritmética.

Determinar números primos pelo método “crivo de Eratóstenes”.

Fique por dentro...

Segundo (OlIVEIRA, 2005, p.1), “Eratóstenes (do grego ) foi umΕρατοσθένης

matemático, bibliotecário e astrônomo grego. Nasceu em Cirene, Grécia, por volta de 276

Os fatores primos podem ser escritos na ordem em que

forem lembrados, pois a multiplicação atende a

comutatividade, embora eles estejam em ordem

crescente devido a uma questão de organização.

Todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma única (a menos da ordem dos fatores) como um produto de números primos.

a.C, passando grande parte de sua juventude em Atenas. Aos 40 anos de idade, foi

convidado pelo rei Ptolomeu III, do Egito, para o honroso cargo de bibliotecário da

Universidade de Alexandria. Seus feitos foram notáveis. Ele criou um método para

encontrar números primos, hoje conhecido como crivo de Eratóstenes. No quadro, estão

os números de 1 a 100.

Ele primeiramente eliminou o 1, depois eliminou os múltiplos de 2, exceto o 2. Em

seguida, riscou os múltiplos de 3, exceto o 3. E assim continuou com o 5, o 7, o 11..., até

que não existissem números compostos neste quadro. Os números em azul são os

números primos menores que 100.”

2.2. Mínimo Múltiplo Comum – M.M.C.

Objetivos

Construir o conceito de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números

naturais.

Determinar o M.M.C. de dois ou mais números naturais através de algoritmos

Vamos escrever os múltiplos de 24 e 6.

M(24) = {0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216,...}

M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ...}

Os múltiplos que são comuns, que se repetem, em 24 e 6 são respectivamente { 0, 24,

72,...}. Observando este conjunto, verificamos com exceção do zero, que o menor

múltiplo comum é o 24. O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM de 24 e 6 pode ser indicado da

seguinte maneira:

M.M.C.(6,24) = 24

Generalizando...

Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se MÍNIMO MÚLTIPLO

COMUM (M.M.C.) desses números o menor dos múltiplos comuns dados, diferente de

zero.

Este procedimento que acabamos de ver não é prático para números muito grandes.

Vejamos agora outras maneiras de calcularmos o M.M.C.:

Primeiro dispositivo:

Vamos determinar o M.M.C. de 135 e 42:

Primeiramente devemos decompor 135 em fatores primos e em seguida o número 60.

O zero é múltiplo de qualquer número e o

único múltiplo de zero é o próprio zero.

3 x 3 x 3 x 5 = 33 x 5 2 x 3 x 7

135 3 42 245 3 21 315 3 7 7

5 5 11

O M.M.C. é o produto dos fatores primos comuns e não comuns com maiores expoentes.

Observe:

135 = 33 x 5

42 = 2 x 3 x 7

M.M.C. (135, 42) = 2 x 33 x 5 x 7 = 2 x 27 x 5 x 7 = 1890

Portanto, o M.M.C. (135, 42) = 1890

Observação: O número que foi obtido, ou seja, 1890 é múltiplo de 42 e de 135.

Segundo dispositivo:

Podemos determinar o M.M.C. de 135 e 42 por decomposição simultânea, isto é,

podemos encontrar os fatores primos dos dois números 135 e 42 de uma só vez. Veja:

135, 42 2 _________ apenas o 42 é divisível por 2

135, 21 3 _________ 135 e 21 são divisíveis por 3





1, 1

2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 7 = 1890

M.M.C. (135, 42) = 1890

De modo análogo ao anterior, encontraremos o M.M.C. de três números.

Acompanhe o raciocínio

35, 75, 25 3 _________ apenas o 35 é divisível por 3




1, 1, 1

3 x 5 x 5 x 7 = 525

M.M.C. (35, 75, 25) = 525

2.3 - Máximo Divisor Comum – M.D.C.

Objetivos

Construir o conceito de máximo divisor comum de dois ou mais números

naturais.

Determinar o M.D.C. de dois ou mais números naturais através de algoritmos.

Utilizar o M.D.C. na resolução de problemas do cotidiano

O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama – se máximo divisor

comum.

Por exemplo, analise a decomposição de fatores do número 12 e 54:

12 = 1 x 12 54 = 1 x 54

12 = 2 x 6 54 = 2 x 27

12 = 3 x 4 54 = 3 x 18

54 = 6 x 9

Daí temos que o conjunto dos divisores de 12 e 54 é respectivamente:

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}

Selecionando os divisores em comum entre 12 e 54, teremos 1, 2, 3 e 6.

O maior destes divisores comuns é o número 6. Então podemos concluir que o maior

divisor comum de 12 e 54 é o número 6, isto é, 6 é o máximo divisor comum.

O que podemos indicar por M.D.C. (12, 54) = 6.

Generalizando...

Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se MÁXIMO DIVISOR

COMUM (M.D.C.) desses números ao maior dos seus divisores comuns.

Estamos caminhando... Você compreendeu o processo que utilizamos para encontrar o

M.D.C.? Mas será que não existe outro método para facilitar o seu cálculo?

De modo análogo ao cálculo do M.M.C., vamos decompor os números 12 e 54 em fatores

primos.

Agora considere apenas os fatores comuns aos dois números, cada um deles com seu

menor expoente, pois devem ser divisores de dois números ao mesmo tempo.

Os fatores comuns de menor expoente são 2 e 3.

Encontrando o produto destes fatores que selecionamos como comuns, encontraremos o

M.D.C. entre 12 e 54. Logo, o máximo divisor comum entre 12 e 54 é 20, ou seja, M.D.C.

(12, 54) = 6.

Vamos praticar...

1) Calcule em seu caderno:

a) m.d.c. (180, 150) (r: 30)

b) m.d.c. (231, 825) (r: 33)

c) m.d.c. (340, 728) (r: 4)

d) m.d.c. (39, 117, 130) (r: 13)

e) m.d.c. (25, 120, 150) (r: 5)

f) m.d.c. (36, 144, 180) (r: 36)

2) Calcule em seu caderno:

g) m.m.c. (12, 18) (r: 36)

2 x 2 x 3 = 22 x 3 2 x 3 x 3 x 3 = 2 x 33

12 2 54 26 2 27 33 3 9 31 1

h) m.m.c. (90, 180) (r: 180)

i) m.m.c. (55, 121) (r: 605)

j) m.m.c. (25, 48, 156) (r: 15 600)

k) m.m.c. (15, 18, 21) (r: 630)

l) m.m.c. (21, 36, 168) (r: 504)

3) Responda e justifique:

a) O maior divisor comum de 25 e um número natural A pode ser 30? (r: Não, pois

30 não é divisor de 25)

b) O menor múltiplo comum de 8 e um número natural A pode ser 6? (r: Não, pois 6

não é múltiplo de 8)

c) O maior divisor comum de 12 e um número natural A pode ser 4? (r: sim)

d) O maior divisor comum de 100, 15 e 10 é o número 5? (r: sim)

Vamos Aplicar...

1) Três corredores largaram juntos em uma prova cujo percurso é circular. Eles

correm com velocidade constante. Bruno leva 3 minutos para completar cada

volta, Henrique, 4 minutos e Davi, 6 minutos. Depois de quanto tempo os três

passarão juntos pela primeira vez a linha de largada? (r: depois de 12 minutos)

2) Para um congresso em Curitiba, foram 28 funcionários de uma empresa: 16

foram em carros particulares e 12 em carros da empresa. Cada carro transportou

o maior número de pessoas e todos transportaram a mesma quantidade de

funcionários. Quantos funcionários foram em cada carro e quantos carros foram

utilizados? (r: 4 funcionários e 7 carros)

3) Diante da minha casa há um ponto de ônibus por onde passam duas linhas

diferentes. Os ônibus de uma delas passam de 30 em 30 minutos, enquanto os da

outra linha passam de 15 em 15 minutos.

a) Se os ônibus das duas linhas passaram juntos no ponto às 13 horas e 30 minutos,

a que horas deve ocorrer o décimo encontro? (r: às 14 horas)

b) Se o primeiro encontro dos ônibus das duas linhas ocorre às seis horas da manhã,

a que horas deve ocorrer o décimo encontro? (r: às 10 horas e 30 minutos)

4) Dois livros, um com 176 páginas e outro com 240 páginas, serão divididos em

fascículos para venda semanal nas bancas de jornal. Os fascículos serão montados

com o mesmo e o maior número de páginas possível.

a) Quantas páginas terão cada fascículo? (r: 16 páginas)

b) Em quantas semanas uma pessoa terá os dois livros completos, considerando que

ela compre todos os fascículos e que um livro seja vendido após o outro? (r: 26

semanas)

5) Um marceneiro precisa cortar 3 tábuas em pedaços de mesmo comprimento. Para

melhor aproveitamento das tábuas, o comprimento dos pedaços deve ser o maior

possível. Uma tábua mede 250 centímetros de comprimento, a outra, 350

centímetros e a outra, 550 centímetros. Qual o comprimento de cada pedaço de

tábua? (r: 50 centímetros)

Esperamos ter conseguido neste capítulo alcançar nossos objetivos.

Vamos então para a próxima unidade...

Matemática Elementar Unidade III

Unidade III - Produtos notáveis

Problematizando

1. Como relacionar o cálculo de área de quadrados e retângulos com os produtos

notáveis?

2. Qual a maneira mais fácil de expressar os cálculos: (a + b)2.(a – b)2, (a +

b)(a – b), (a + b)3 e (a – b)3?

3. Quais as aplicações dos produtos notáveis?

3.1. Introdução

Objetivos

Definir produtos notáveis.

Rever conceitos básicos sobre expressões algébricas

Definição

Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem uma forma geral

para sua resolução. Eles são usados para simplificar cálculos algébricos, sem que seja

necessária a utilização de todas as etapas da multiplicação usando a propriedade

distributiva. O termo produto é usado porque é a solução de uma multiplicação e a

palavra notável quer dizer que ele é importante, que se destaca o seu uso.

3.2. Revisão de expressões algébricas

Conceito:

As letras (parte literal) das expressões algébricas são chamadas de variáveis

(pois o valor de cada letra pode ser substituído por um valor numérico).

Exemplos

5 – 2a, x2 + y2, , 4abxy2

Os termos semelhantes são aqueles que têm a parte literal idêntica.

Exemplos

Os termos 3ax2y e -5ax2y são semelhantes

Os termos 2ab e -3ba são semelhantes (pois ab = ba).

Os termos 2bxy2 e 7bx2y2 não são semelhantes.

Expressões algébricas são aquelas que apresentam números e letras.

Chama-se polinômio a toda expressão algébrica racional e inteira (onde não

aparecem variáveis sob radical nem no denominador).

Exemplos

São polinômios: x3 - 2x +1 2a + b - c a2 - a 6ax2y3

Não são polinômios:

Monômios são os polinômios que têm um só termo.

Exemplo

São monômios: 3x2, 2x3y2, -5a e 7

A parte inteira de um monômio é chamada de coeficiente e a parte literal é

composta das letras. No exemplo acima, respectivamente, são coeficientes: 3, 2, -5

e o 7 e são literais x3, x3y2 e a.

Só podemos somar ou subtrair termos semelhantes.

Exemplo

Seja efetuar a operação: 2x + x2 + 5x – 3x2

Como os termos em x são semelhantes e os termos em x2 também são, podemos

associá-los (fazer a redução de termos semelhantes) e efetuar as operações

entre eles:

(2x + 5x) + (x2 - 3x2) = 7x – 2x2

Na multiplicação de monômios multiplicamos os coeficientes desses monômios e

também suas partes literais.

Exemplos

(5a²b)(-3ab³) = 5.(-3).a².a.b.b³ = -15a³b4

xy5. ax3y4 = . .a.x.x3.y5.y4 = ax4y9

Na divisão de monômios dividimos os coeficientes e as partes literais.

Exemplos

6x3 : 2x = (6 : 3).(x3 : x) = 2 x2

A potenciação de monômios envolve diretamente a multiplicação.

Exemplo

Na multiplicação de polinômios utilizamos a propriedade distributiva da

multiplicação.

Exemplo

= 2x2 + 2x – 12

3.3. Produtos notáveis mais comuns

Objetivos

Desenvolver algebricamente o quadrado da soma de dois termos.

Desenvolver geometricamente o quadrado da soma de dois termos.

Os Produtos Notáveis podem ser desenvolvidos de duas maneiras:

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, que consiste no

desenvolvimento mais detalhado, optando pelo emprego exagerado de cálculos.

A utilização da regra prática, que vem a ser o uso de uma definição geral para

cada caso, simplificando os cálculos.

Há de se ressaltar que os dois métodos são objetivos e precisos.

Os principais produtos notáveis são:

Quadrado da Soma

Quadrado da diferença

Produto da soma pela diferença

Cubo da Soma

(x + 3).(2x – 4) = x.2x + x.(-4) + 3.2x + 3.(-4) = 2x2 - 4x + 6x -12 =

Cubo da diferença

Quadrado de polinômios

3.3.1. Quadrado da soma

Vamos determinar algebricamente o produto (a + b)2.

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação teremos:

(a + b)2 = (a + b).(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a2 + 2ab + b2

Ou seja:

A regra prática (A) pode ser escrita como:

Geometricamente, podemos determinar a relação (A):

Determinando a área do quadrado maior de lado (a + b) da primeira figura acima como

o produto dos seus lados, teremos:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do

primeiro termo, mais o dobro do produto do primeiro pelo

segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (A)

Determinando a área do quadrado maior da segunda figura acima como a soma dos dois

quadrados menores e os dois retângulos que o compreendem, obtemos:

Como os dois quadrados maiores têm os mesmo lados, as áreas são iguais, a expressão

(B) é igual à (C), ou seja, A1 = A2, logo:

Exemplos

Aplicando a regra prática, podemos calcular os seguintes produtos:

a) (3x + y2)2 = (3x)2 + 2.3x.y2 + (y2)2 = 9x2 + 6xy2 + y4

b)

Exercícios

1. Calcule os seguintes produtos notáveis, aplicando a regra prática:

a) (am3 + n)2 (r: a2m6 + 2am3n + n2)

b)

2. Efetue as operações:

a) 3x – (x + 1)2 (r: -x2 + x – 1)

b) (x² + 1)2 - (3 + x2)2 (r: -4x2 - 8)

3.3.2. Quadrado da diferença

Objetivos

A2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (C)

A1 = (a + b).(a + b) = (a + b)2inalmente adrados menores mais a soma dos dois retto do primeiro pelo segundo termo

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Desenvolver algebricamente e geometricamente o quadrado da diferença de dois

termos

Desenvolver algebricamente e geometricamente o produto da soma pela

diferença de dois termos

Desenvolver algebricamente e geometricamente o cubo da soma de dois termos.

Vamos determinar algebricamente o produto (a - b)2.

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação teremos:

(a - b)2 = (a - b).(a - b) = a.a - a.b - b.a + (-b).(-b) = a2 - 2ab + b2

Ou seja:

A regra prática (D) pode ser escrita como:

Geometricamente, podemos determinar a relação (D):

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado

do primeiro termo, menos o dobro do produto do primeiro

pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (D)

A área do quadrado maior é igual à soma dos dois quadrados menores mais a soma

dos dois retângulos, ou seja:

a2 = (a – b)2 + b(a – b) + b(a – b) + b2, então:

(a – b)2 = a2 – [b(a – b) + b(a – b) + b2]

(a – b)2 = a2 – [ ba – b2 + ba – b2 + b2]

(a – b)2 = a2 – [2ab - b2]

Chegamos finalmente à expressão:

Exemplo

(2x – 3y)2 = (2x)2 + 2.(2x).(-3y) + (-3y)2 = 4x2 -12xy + 9y2

Exercícios

Efetuar as operações

1) (3x2 – a)2 (r: 9x4 – 6ax2 + a2)

2) (mn3 - m2nb)2 (r: m2n6 – 2bm3n4 + m4n2b2)

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

3.3.3. Produto da soma pela diferença

Determinando-se algebricamente o produto (a + b).(a – b), utilizando a propriedade

distributiva da multiplicação teremos:

(a + b).(a - b) = a.a + a.(-b) + b.a + b.(-b) = a2 - ab + ab – b2

Ou seja:

A regra prática (E) pode ser escrita como:

Geometricamente, podemos determinar a relação (E):

Na primeira figura acima, a área do quadrado maior é a2 e a área do quadrado menor é

b2.

Logo a área da região hachurada dessa figura será:

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

(a + b).(a - b) = a2 - b2 (E)

A1 = a2 – b2 (F)

Na segunda figura o retângulo hachurado que estava na horizontal foi transposto para a

vertical, ou seja, as áreas hachuradas das duas figuras são iguais.

Determinando a área da segunda figura teremos:

Como as duas áreas são iguais, A1 = A2, igualamos (G) a (F) e obtemos:

Exemplo

(2x – 3y4).(2x + 3y) = (2x)2 – (3y4)2 = 4x2 – 9y8

Exercícios

Resolver os produtos:

1) (-2m3 + x2).(-2m3 – x2) (r: 4m6 – x4)

2) ( a4 – ab5).( a4 + ab5) (r: a8 – a2b10)

3.3.4. Cubo da soma

Determinando-se algebricamente o produto (a + b)3, utilizando a propriedade

distributiva da multiplicação, teremos:

(a + b)3 = (a + b).(a + b).(a + b) = (a + b)2.(a + b) = (a2 + 2ab + b2).(a + b) =

= a2..a + a2.b + 2ab.a + 2ab.b + b2.a + b2.b = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 =

=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ou seja:

A regra prática (H) pode ser escrita como:

A2 = (a + b)(a – b) (G)

(a + b).(a - b) = a2 - b2

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro

termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo

multiplicado pelo segundo, mais três vezes o primeiro termo

multiplicado pelo quadrado do segundo, mais o cubo do

segundo termo.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (H)

Geometricamente, podemos determinar a relação (H):

Como mostrado nas figuras acima, o volume do cubo maior é igual à soma dos volumes

dos dois cubos menores mais a soma dos seis prismas que o compõe.

Assim:

(a + b)3 = a.a.a + a.a.b + a.a.b + a.a.b + a.b.b + a.b.b + + a.b.b + b.b.b

(a + b)3 = a3 + a2b + a2b + a2b + ab2 + ab2 + ab2 + b3

Encontrando-se o mesmo valor da equação (H):

a2 3a2b 3ab2 b3

| a | b |

Exemplos

(x4 + x2)3 = (x4)3 + 3.(x4)2.(x2) + 3.(x4)

(a2 + )3 = (a2)3 + 3.(a2)2. ( ) + 3.a2.( )2 + ( )3

(a2 + )3 = a6 + a5b + a4b2 + a3b3

Exercícios

Resolver pela maneira mais fácil:

1) (3xy + 5x3y)3 (r: 27x3y3 + 135x5y3 + 225x7y3 + 125x9y3)

2) ( a4 + ab5)3 (r: a12 + a9b5 + 2 a6b10 + a3b15)

3.3.5. Cubo da diferença

Objetivo

Desenvolver algebricamente e geometricamente o cubo da diferença de dois

termos.

Determinando-se algebricamente o produto (a - b)3, utilizando a propriedade

distributiva da multiplicação, teremos:

(a - b)3 = (a - b).(a - b).(a - b) = (a - b)2.(a - b) = (a2 - 2ab + b2).(a - b) =

= a2..a + a2.(-b) + (-2ab).a + (-2ab).(-b) + b2.a + b2.(-b) =

a3 - a2b - 2a2b + 2ab2 + ab2 - b3 = =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ou seja:

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (I)

(a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

A regra prática (I) pode ser escrita como:

Geometricamente, podemos determinar a relação (I):

__

Como é mostrado nas figuras acima, a3 – b3 é a diferença entre o volume do cubo maior e

o volume do cubo menor.

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do

primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro

termo multiplicado pelo segundo, mais três vezes o primeiro

termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, menos

o cubo do segundo termo.

++

a

a

a - b

b

ba - b

b

a - b

a

a3 b3

3(a-b)(a-b).b 3(a-b).b.b (a-b)3

Como é mostrado nas figuras acima, do volume do cubo maior tirando o volume do cubo

menor, restarão os volumes dos seis prismas mais o volume do cubo médio, que serão

representados algebricamente por:

3.(a – b).(a – b).b + 3.(a – b).b.b + (a – b).(a – b).(a – b) =

= 3.(a2 – 2ab + b2).b + 3.(ab2 – b3) + (a2 – 2ab – b2).(a – b) =

= 3a2b – 6ab2 + 3b3 + 3ab2 – 3b3 + a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

= a3 – b3

Comprovando então a regra prática:

Exemplo

(4x2 – 2xy3)3 = (4x2)3 – 3.(4x2)2.(2xy3) + 3.(4x).(2xy3)2 + (2xy3)3

(4x2 – 2xy3)3 = 64x6 – 96x5y3 + 48x3y6 + 8x3y9

Exercícios

Resolver, usando produto notável:

1) (4x5y3 – 2x2y4)3 (r: 64x15y9 – 96x12y10 + 48x9y9 + 8x6y12)

2) ( a4 - ab5)3 (r: a12 - a9b5 + 2 a6b10 - a3b15)

3.3.6. Quadrado da soma de polinômios em geral

Objetivo

Desenvolver algebricamente o quadrado da soma de polinômios.

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

As regras práticas de produtos notáveis podem ser entendidas para polinômios,

bastando para isso: agrupar os termos dos polinômios formando uma soma implícita de

dois termos e aplicar a regra do quadrado da soma vista nessa unidade.

Exemplo:

a) Quadrado de um trinômio

(a + b + c)2 = ((a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2.(a + b).c + c2

Desenvolvendo as operações, teremos:

a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2

Ordenando os termos, obtemos:

b) Quadrado de um polinômio de quatro termos

(a + b + c + d)2 = ((a + b) + (c + d))2 = (a + b)2 + 2.(a + b).(c + d) + (c + d)2

Desmembrando as operações teremos:

(a + b + c + d)2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + c2 + 2cd + d2

Ordenando os termos obtemos:

c)

Quadrado de um polinômio de n termos

Generalizando a regra prática para n termos, podemos usar a definição:

Exercícios

Calcule as expressões pelo modo mais fácil:

1) (2x + 5y + 3xy)2 (r: 4x2 + 25y2 + 9x2y2 + 20xy + 12x2y + 30xy2 )

2) (x + 2y + 5x2y + 3xy3)2

(r: x2 + 4y2 + 25x4y2 + 9x2y6 + 4xy + 10x3y + 6x2y3 + 20x2y2 + 12xy4 + 30x3y4)

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2+ 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

O quadrado da soma de um polinômio de n termos é

igual à soma dos quadrados desses n termos mais a

soma do duplo produto desses n termos tomados dois

a dois.

3) (a + b + c + d + x)2

(r: a2 + b2 + c2 + d2 + x2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2ax + 2bc + 2bd + 2bx + 2cd + + 2cx + 2dx)

3.3.7. Trinômio quadrado perfeito

Objetivos

Fatorar o trinômio quadrado perfeito.

Desenvolver a técnica de completar quadrados.

Dizemos que 25 é um quadrado perfeito, pois 25 pode ser obtido elevando-se 5 ao

quadrado. Do mesmo modo, a expressão 32 + 2.(2.3) + 22 pois é obtido elevando-se (3 +

2) ao quadrado, ou seja: 25 = (3 + 2)2, aquela expressão é o desenvolvimento do produto

notável do quadrado da soma de dois termos.

O trinômio x2 + 2xy + y2 é também um quadrado perfeito, pois é obtido a partir do

desenvolvimento de (x + y)2.

Podemos então definir o trinômio quadrado perfeito para dois termos x e y quaisquer,

da seguinte forma:

Exemplos:

Um trinômio será um quadrado perfeito se verificar as duas condições:

Dois termos dos seus termos são quadrados: x2 e y2.

O terceiro termo é o duplo produto das raízes desses quadrados: 2.x.y.

a) Verificar se o trinômio x2 + 2xy + y2 é um quadrado perfeito

Logo esse trinômio é quadrado perfeito

c) Verificar se o trinômio 16a2 + 10ab + 9b2 é quadrado perfeito:

Para ser quadrado perfeito o segundo termo teria que ser 24ab, como é 10ab ele não é

quadrado perfeito.

Exercícios

Verificar quais dos trinômios abaixo são quadrados perfeitos:

a) 4x2 – 8xy + y2 (r: não é quadrado perfeito)

b) 9x2 + 6x + 1 (r: é quadrado perfeito)

c) a2 + 9b2 + 6ab (r: é quadrado perfeito)

x2 + 2xy + y2

x y

2.x.y

16a2 + 10ab + 9b2

29216 ba

4a 3b

24ab

2.4a.3b

d) x2 – 4bx + 4b2 (r: é quadrado perfeito)

3.3.8. Completar quadrados

O método de completar quadrados usa a representação geométrica dos termos de uma

equação do 2º graus utilizando áreas de retângulos e de quadrados.

Exemplo

Resolver, utilizando o método de completar quadrados, a equação: x2 + 8x = 16 (da

forma ax2 + bx = c).

R. Para construir a representação, siga os passos:

1) Desenhe um quadrado de lado "x" para representar o termo x2. Depois,

represente o termo 8x por quatro retângulos de lados 2 e x, como mostra a figura

abaixo:

Temos um quadrado de área: x.x = x2 e também quatro retângulos, cada um com área:

2.x = 2x, a área total dos retângulos será: 4.2x = 8x.

2) Vamos acrescentar quatro quadrados de lado igual a 2, um em cada extremidade

da figura acima, completando o quadrado maior.

Esse quadrado maior será a área anterior, x2 + 8x, adicionada da área dos quatro

quadrados que foram acrescentados 4.(2.2), ou seja:

Mas da equação dada temos que: (II)

Levando (II) em (I), obtemos:

A = = 16 + 16 = 32

Se a área é 32 então o lado desse quadrado é .

Como o lado também é definido por x + 4, temos:

x + 4 = x =

x2 + 8x = 16

A= (x2 + 8x) + 16 (I)A = x2 + 8x + 4.(2.2)

Exercícios

Completem o quadrado e determinem o valor de x e do lado (y) do quadrado maior

formado:

a) x2 + 8x = 9 (r: x = 1, y = 5)

b) x2 + 28x = 60 (r: x = 2, y = 16)

3.3.9. Aplicações de produtos notáveis

Objetivos

Aplicar os produtos notáveis no desenvolvimento do binômio de Newton.

Aplicar os produtos notáveis na resolução de problemas que envolvem

determinação de áreas.

Vamos mostrar algumas das muitas aplicações de produtos notáveis.

I) Binômio de Newton

Pela definição:

Os valores do binômio de Newton para n = 2 e para n = 3 podem ser resolvidos usando

as regras já definidas nessa unidade, ou seja:

Para n = 2, teremos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Para n = 3, teremos: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

A partir do termo de ordem 4, para desenvolver o binômio de Newton basta fatorar os

termos em produtos notáveis conhecidos e em seguida é só aplicar as regras práticas

que aprendemos e efetuar as operações usando a propriedade distributiva da

multiplicação.

Binômio de Newton é todo termo da forma (a + b)n, sendo n um

número natural.

Exemplo

(a + b)4 = (a + b)2. (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2).( a2 + 2ab + b2) = ...

(a + b)7 = (a + b)2. (a + b)2. (a + b)3 =

= (a2 + 2ab + b2).( a2 + 2ab + b2).(a3 +3a2b + 3ab2 + b3) = ...

II. Resolução de problemas

Exemplo:

Em um loteamento, cada quadra de terreno é um quadrado com 58 metros de lado. O

autor do projeto resolveu então aumentar a largura da calçada e, com isso, cada quadra

passou a ser um quadrado de 56 metros de lado. Que área os terrenos perderam?

Pense um pouco antes de ver a solução.

Uma maneira simples de responder a esta questão é calcular a área antiga e diminuir o

valor encontrado da área nova. Inicialmente, a área da quadra era 58 2 m2. Depois a área

da quadra passou a ser 562 m2. Então a área perdida foi (582 – 562) m2.

É claro que não é tão difícil fazer essas contas. Mas, veja como fica simples o cálculo se

utilizarmos o produto da soma pela diferença de dois termos:

582 – 562 = (58 + 56)(58 - 56) = 114 · 2 = 228 m2

O que fizemos é simplesmente aplicação da fórmula de um dos produtos notáveis:

(a2 – b2) = (a + b).(a – b), onde a = 58 e b = 56.

Vamos agora transpor mais uma Unidade!

Matemática Elementar Unidade IV

Unidade IV - Equações do 1º e 2º graus

Problematizando

1) Qual a diferença entre equação e identidade?

2) Qual a diferença entre conjunto universo e conjunto verdade?

3) O que é equação?

4) Como determinar o conjunto verdade de equações do primeiro e segundo graus?

5) Como transformar uma linguagem escrita para uma linguagem matemática ao

resolver problemas de primeiro e segundo graus?

6) Que aplicações temos das equações do 1º e do 2º graus?.

4.1. Introdução

Objetivos

Definir: identidade conjunto verdade e conjunto universo.

Construir o conceito de equação.

Aplicar as regras de equivalência.

Primeiro vamos dar algumas definições básicas para você se habituar a termos que

iremos usar nessa Unidade.

Conjuntos numéricos Os conjuntos numéricos que iremos trabalhar serão:

o Naturais Representado pela N e é composto pelo zero e dos números

inteiros positivos.

N = {0, 1, 2, 3, . . .}

o Inteiros Representado pela letra Z, é composto do zero e dos inteiros

negativos e positivos.

Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}

o Racionais Simbolizado pela letra Q compreendem os números que

podem ser escritos na forma de fração.

Q = {x = , a Z e b Z∈ *}

Z* representa os números inteiros exceto o zero.

o Irracionais Representam as dízimas infinitas não periódicas.

Exemplo de alguns elementos desse conjunto: = -2,6457. . . , =

1,732. . ., = 3,1416. . . , etc.

o Reais Representado pela a união dos conjuntos dos racionais e dos

irracionais, ou seja: R = Q I.

Observações: todos esses conjuntos supracitados são compostos de infinitos elementos.

Existem algumas simbologias adotadas que valem para os conjuntos que contém os

elementos citados. Abaixo vai ser exemplificado só para o conjunto dos reais:

R* Conjunto dos reais, excluindo o número 0.

R- Conjunto dos reais, excluindo os números positivos (zero incluso).

R+ Conjunto dos reais, excluindo os números negativos(zero incluso).

R*+ Conjunto dos reais, excluindo os números negativos e o zero.

R*- Conjunto dos reais, excluindo os números positivos e o zero.

Devemos observar também que: N Z Q R.

Sentença declarativa É aquela que exprimi uma certeza que pode ser uma

afirmação ou uma negação. Uma sentença não pode ser simultaneamente falsa

(F) e verdadeira (V).

Exemplos

O triângulo é um polígono de três lados!

A equação: x4 – 2x3 + 1 = 0 não é biquadrada!

Sentença aberta É aquela que usa proposição cujo sujeito é uma variável.

Exemplos

a) x + 1 = 6

b) Ele foi presidente do Brasil!

c) No primeiro exemplo acima, x = 5 torna a sentença verdadeira (V), qualquer outro

valor a torna falsa (F).

d) No segundo exemplo, se “ele” = Aécio Neves, torna a sentença falsa (F) e se “ele” =

Lula, torna a sentença verdadeira (V).

Conjunto universo É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos

envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U

(contém todos os valores possíveis para as incógnitas na resolução de um

problema). Dizemos também que, quando uma sentença aberta se transforma

numa sentença declarativa, o sujeito da sentença é elemento desse conjunto-

universo. O conjunto universo é geralmente simbolizado pela letra maiúscula U.

Exemplos

a) Na sentença aberta “2x – 4 = 6”, o conjunto universo é igual ao conjunto dos números

inteiros relativos, ou seja, U = Z.

b) Na sentença aberta “O dia da semana x é o mais cansativo”, o conjunto universo é

formado pelos dias da semana, ou seja:

U = {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}

Conjunto verdade O conjunto verdade (V), também denominado conjunto solução

(S) é formado de elementos que convertem uma sentença aberta numa sentença

declarativa. Os elementos do conjunto verdade também são chamados de raízes da

equação. O conjunto verdade é sempre um subconjunto do conjunto universo.

Exemplos

a) Na sentença aberta:

a) “No dia x do mês de dezembro comemora-se o Natal”

b) O conjunto universo será: U = {1, 2, 3, 4, . . . , 29, 30, 31} e o conjunto verdade será: V

= {25}.

c) Na sentença aberta:

“2 < x < 7, sendo x um número natural”

O conjunto universo será: U = N, o conjunto verdade será: V = {3, 4, 5, 6}.

Identidade É uma sentença aberta que exprime uma relação de igualdade

sobre conjuntos numéricos e o seu conjunto verdade coincide com o próprio

conjunto universo.

Exemplo

Seja a sentença aberta:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Tomando qualquer valor no conjunto Q para substituir a e b teremos sempre uma

relação de igualdade, logo U = Q, como também V = Q, logo: U = V.

Definição de equação

Com os conceitos dados anteriormente podemos agora definir equação:

Equações algébricas são aquelas nas quais a incógnita x está sujeita às operações

algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

A forma canônica de uma equação algébrica é escrita da seguinte forma:

Onde n é um número inteiro positivo.

Como vamos trabalhar com equações do 1º e 2º graus vamos definir o que vem a ser

grau de uma equação.

Exemplos:

a) 3x² - 2x + 5 = 0 é uma equação do 2º grau, 3x2 é o termo dominante.

Equação é uma sentença aberta que exprime uma relação de igualdade sobre

conjuntos numéricos, envolvendo expressões matemáticas e o seu conjunto

verdade é um subconjunto do conjunto universo.

ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0

Grau de uma equação é o maior expoente da incógnita em uma equação algébrica

e o termo que tem o maior grau é chamado de termo dominante.

b) 2x -3 = 0 é uma equação do 1º grau, o termo dominante é 2x.

Observação: nesse exemplo, o expoente é igual a 1. A equação poderia até ser escrita

como: 2x1 – 3 = 0, mas como um número elevado a 1 dá ele mesmo, não se costuma

colocar o expoente 1.

d) ax5 + bx3 +1 = 0 é uma equação do 5º grau, o termo ax5 é o dominante.

Membros de uma equação

Como toda equação tem explícito o sinal de igualdade “=”, os termos que estão à

esquerda desse sinal constituem o primeiro membro (ou membro da esquerda) e os que

estão do lado direito da igualdade constituem o segundo membro (ou membro da

direita). A incógnita representa um numero que não sabemos qual é, geralmente ela é

representada pela letra x. A palavra incógnita quer dizer desconhecida.

Exemplos

Na equação: x2 + 2x = x – 1, os termos x2 + 2x constituem o primeiro membro e os

termos x – 1 formam o segundo membro. A incógnita é o x.

Na equação: x + 2 = y + 3x – 2, os termos x + 2 constituem o primeiro membro e os

termos y + 3x – 2 formam o segundo membro. As incógnitas são x e y.

Raízes de uma equação

Raiz de uma equação é todo elemento que pertence ao seu conjunto verdade.

Exemplo

Na equação: 2x - 3 = 7 a raiz é 5 pois substituindo esse valor para a incógnita x,

obtemos:

2 . 5 - 3 = 7 10 – 3 = 7 7 = 7

Logo seu conjunto verdade é: V = {7}

Equações equivalentes

São aquelas que admitem o mesmo conjunto verdade.

Exemplo

Determinar o conjunto verdade das equações:

3x - 1= 8 (I)

x + 2 = 5 (II)

Podemos verificar que o conjunto verdade da equação (I) é 3, pois:

3. 3 – 1 = 8 9 – 1 = 8 8 = 8

Verificando esse valor na equação (II), obtemos:

3 + 2 = 5 5 = 5

Assim concluímos que as duas têm o mesmo conjunto verdade V = {3}, logo elas são

equivalentes.

Regras de equivalência

Na hora de resolver equações, às vezes devemos lançar mão de duas regras básicas que

auxiliam na determinação do conjunto verdade.

R.1 – Somando-se (ou subtraindo-se) o mesmo número (ou a mesma expressão) aos dois

membros de uma equação, obtém-se uma nova equação equivalente à primeira.

Exemplo

x – 3 = 13 (III)

Repare que o conjunto verdade da equação (III) é V = {16}, pois:

16 - 3 = 13 13 = 13

Somando +3 a ambos os membros da equação (III), obtemos:

x – 3 + 3 = 13 +3

Efetuando as operações, teremos:

x + 0 = 16 x = 16

O conjunto verdade dessa última equação também é V = {16}.

Observação: Quando somamos +3 a ambos os membro é o mesmo efeito que transpor o

-3 da equação (III) do primeiro para o segundo membro com sinal contrário. Assim

quando transpomos um termo que está somado (ou subtraído) a outro, do primeiro

membro para o segundo (e vice-versa) devemos mudar seu sinal.

R.2 – Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma equação por um

mesmo número (ou uma mesma expressão), diferente de zero, obtém-se uma nova

equação equivalente à primeira.

Exemplo

= 10 (IV)

Repare que o conjunto verdade da equação (IV) é V = {50}, pois:

= 10 10 = 10

Multiplicando ambos os membros da equação (IV) por +5, obtemos:

5.( ) = 5.10 x = 50

Essa última equação tem o mesmo conjunto verdade V = {50}, da equação (IV).

Observação: Quando multiplicamos ambos os membros da equação (III) por +5 é o

mesmo efeito que transpor o 5 que está dividindo o primeiro membro, para o segundo

membro com operação inversa, isto é, multiplicando. Assim quando transpomos um

termo que está dividindo um membro para o outro esse passa multiplicando o mesmo e

vice-versa.

Resolução de equações

Resolver uma equação é determinar a sua solução, podemos dizer também que é achar

um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa

igualdade numérica verdadeira.

4.2. Equações do primeiro grau

Objetivo

Definir e resolver equações do primeiro grau.

4.2.1. Definição

Chama-se equação do 1º grau, na incógnita (ou variável) x, a toda equação da forma:

Onde: a e b e a ≠ 0.

4.2.2. Resolução de equações do primeiro grau

Para verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma equação, basta

substituirmos a incógnita por esse número. Se o valor substituído tornar a sentença

verdadeira então ele é raiz da equação.

Exemplos

a) Verificar se 4 é raiz da equação: 2x – 3 = x + 2.

Substituindo o valor de x por 4 na equação dada, teremos:

2.4 – 3 = 4 + 2

8 – 3 = 6

5 = 6?

Como a sentença não é verdadeira então 4 não é raiz da equação.

b) Verificar se 5 é raiz da equação: 2 + 3x = 5x – 8

Substituindo o valor de x por 5 na equação dada, obtemos:

ax + b = 0

2 + 3.5 = 5.5 – 8

2 + 15 = 25 – 8

17 = 17!

Como a sentença é verdadeira então 5 é raiz da equação dada.

A resolução de uma equação do 1º grau é baseada nas regras de equivalência citadas no

início dessa Unidade.

Exemplos

a) Resolver a equação: x – 7 = 2

Nesse caso aplicamos a regra da adição (princípio aditivo), transpondo o (-7) para o

segundo membro, lembrando-se que o sinal será trocado, ficando:

x = 2 + 7

Efetuamos então a soma algébrica, obtendo-se:

x = 9

A raiz da equação (ou o conjunto verdade) será V ={9}.

b) Resolver a equação: 3x – 4 = 5

Primeiramente aplicamos a regra da adição e efetuamos a soma algébrica, onde teremos:

3x = 5 + 4 3x = 9

Aplicamos a regra da multiplicação, o elemento que está multiplicando o primeiro termo

passará dividindo o segundo termo, ou seja:

x = x = 3

Assim a raiz (conjunto verdade) da equação dada é: V = {3}.

c) Determinar o conjunto verdade da equação: 3.(4x – 2) = 2(x -1) + 2

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação teremos:

3.4x + 3.(-2) = 2*x + 2.(-1) + 2

12x – 6 = 2x – 2 + 2

Aplicando a regra aditiva, isolamos as incógnitas no primeiro membro e as constantes

no segundo membro, obtendo-se:

12x – 2x = -2 + 2 + 6

10 x = 6 x =

O conjunto verdade será: V = .

d) Resolver a equação:

Primeiramente devemos determinar o m.m.c. dos denominadores:

m.m.c. (4, 2, 3) = 12

Dividimos 12 por cada denominador e multiplicamos o resultado por cada numerador,

obtendo-se:

Multiplicando ambos os membros por 12 e efetuando as operações, teremos:

9x – 12x + 6 = 10x – 4 + 12

Transpondo as incógnitas para o primeiro membro e as constantes para o segundo

membro, obtemos:

9x – 10x = -4 + 12 - 6

-x = 2

Usando o princípio multiplicativo, teremos:

A raiz (conjunto verdade) será: V = {-1}.

e) Resolver a equação:

O m.m.c. (2, 3, 6) é 12, reduzindo ao mesmo denominador e aplicando o princípio aditivo

e o multiplicativo, teremos:

6x + 4(x – 1) = 10x 6x + 4x - 4 = 10x 10x – 10x = 4 0x = 4

Não existe nenhum número que multiplicado por 0 cujo resultado é 4. Concluímos que

essa equação não tem solução, logo seu conjunto verdade será: V = .

f) Determinar conjunto verdade da equação:

O m.m.c. (3,6) é 6, aplicando o princípio aditivo e multiplicativo e efetuando as

operações, teremos:

6.(2x – 1) = 3.(4x - ) 12x - 6 = 12x – 6 12x – 12x = 6 – 6

0.x = 0

Nesse caso, nós vamos ter infinitos valores de x que satisfazem a equação dada, dizemos

então que a equação tem infinitas soluções. O conjunto verdade será o conjunto dos

números reais, ou seja: V = {R}

Observação

Exercícios

Resolver as equações:

1) (r: V = {60})

2) 5.(x-1) + 2.(x-3) + x = 5 (r: V = {2})

3) (r: V = )

4) (r: V = )

5) (r: V = }

6) (r: V = {R})

Equações em que qualquer valor atribuído à variável

torna a equação verdadeira, são denominadas

identidades.

Observação

4.2.3. Aplicações das equações do primeiro grau

Objetivo

Resolver problemas do primeiro grau com a utilização de equações.

Problemas do primeiro grau

Para facilitar a resolução de certos problemas devemos traduzi-los da linguagem escrita

para a linguagem matemática. Nesses tipos de problemas, para simplificar os passos,

podemos seguir quatro itens básicos:

1) Expressar o problema corretamente numa linguagem matemática (que é sua

equação).

2) Saber identificar o conjunto universo do seu problema.

3) Resolver a equação.

4) Verificar se o resultado encontrado pertence ao conjunto universo do problema.

Exemplo

a) Determinar um número real que somado com 5 é igual à sua terça parte.

Como determinado no problema, o conjunto universo é R (reais).

Sendo x o número procurado, a expressão matemática será:

Aplicando o princípio multiplicativo e o aditivo e efetuando as operações, teremos:

Ao resolver uma equação do 1º grau podemos achar

uma raiz (conjunto verdade unitário), nenhuma raiz

(conjunto verdade vazio) ou infinitas raízes (conjunto

verdade igual ao conjunto dos reais).

3(x + 5) = x 3x + 15 = x 2x = -15

Como a raiz encontrada pertence ao conjunto universo dado, então o conjunto verdade

será: V = {-7,5}

b) Achar o número inteiro que somado com sua quarta parte é igual a 18.

Primeiro sabemos que o conjunto universo é Z (inteiros).

Sendo x o número procurado, a expressão matemática será:

Aplicando o princípio multiplicativo e efetuando as operações, teremos:

3x + x = 54 4x = 54

A raiz encontrada é um número fracionário, logo não pertence ao conjunto dos números

inteiros, logo o conjunto verdade será: V = .

c) Júlia foi ao supermercado e pagou por um mamão e um abacaxi a quantia de R$ 5,20.

Sabendo-se que o abacaxi é R$ 0,40 mais caro que o mamão, quanto custou cada

fruta?

Aqui não está explicitado o conjunto universo, mas como o problema está tratando de

dinheiro e esse tem os centavos, que é uma parte fracionária, então consideramos R

(reais) o conjunto universo.

Considerando x como o preço do mamão. Como o abacaxi é R$ 0,40 mais caro que o

mamão, o seu preço será x + 0,40. Montamos então a equação:

x + x + 0,40 = 5,20

Resolvendo a equação, teremos:

2x = 5,20 – 0,40 2x = 4,80 x = 2,40

Logo o preço do mamão será R$ 2,40 e o preço do abacaxi será: 2,40 + 0,40 = R$ 2,80.

Resposta: o mamão custou R$ 2,40 e o abacaxi custou R$ 2,80.

d) Joãozinho perguntou à professora qual era sua idade e ela respondeu:

- Se ao triplo da minha idade eu acrescentar 4 anos, ainda faltarão 6 anos para eu

completar um século de idade. Qual é a idade da professora?

Sabemos que não existe idade negativa e nem pessoas com zero ano de idade, mas uma

pessoa pode ter 6 anos e meio de idade, logo podemos considerar como R*+ o conjunto

universo desse problema.

Considerando como x a idade da professora, a expressão matemática será:

3x + 4 = 100 - 6

Usando o princípio aditivo e o multiplicativo, teremos:

3x + 4 = 94 3x = 90 x = 30

Como a raiz pertence ao conjunto universo, a resposta é: a idade da professora é 30

anos.

Exercícios

1) O Sr. José recebeu seu salário e foi no supermercado gastando lá um terço do seu

salário. Em seguida ele pagou todas suas contas do mês, gastando a metade do seu

salário e sobrou R$ 400,00. Qual era o salário do Sr. José? (r: R$ 2400,00)

2) Uma herança de R$ 29.000,00 deve ser repartida para três pessoas. Margarida

receberá certa quantia; João receberá o dobro da quantia de Margarida e Vicente

receberá o triplo da quantia de João mais R$ 2.000,00. Quanto receberá cada

pessoa?

(r: Margarida receberá R$ 3.000,00, João receberá R$ 6.000,00 e Vicente receberá R$

20.000,00).

3) Três garotos, Pedro, Luiz e Léo possuem juntos 240 figurinhas. Luiz tem o triplo de

figurinhas que Pedro e 30 a menos que a quantidade de figurinhas de Léo. Calcular o

número de figurinhas de cada garoto.

(r: Pedro tem 30 figurinhas, Luiz tem 90 figurinhas e Léo tem 120 figurinhas).

5) Lucas pagou uma conta de R$ 5,90 com 16 moedas; umas de R$ 0,50 e outras de

R$ 0,20. Calcular a quantidade de moedas de cada espécie.

(r: Sete moedas de R$ 0,20 e nove moedas de R$ 0,50).

4.3. Equações do segundo grau

Objetivos

Definir equações do segundo grau.

Resolver equações do segundo grau.

4.3.1. Definição

Chama-se equação do 2º grau, na incógnita (ou variável) x, a toda equação da forma:

Onde: a, b, c e a ≠ 0.

A relação (A) denomina-se forma geral ou normal e as letras a, b e c são os parâmetros

ou coeficientes (esses podem ser números ou letras).

Exemplos:

Na equação 3x2 - 5x + 7 = 0, temos: a = 3, b = -5 e c = 7.

Na equação (m – n)x2 + mx + (2n + 5) = 0, temos: a = (m – n), b = m e c = (2n + 5).

Observações:

ax2 + bx + c = 0 (A)

Se o coeficiente de x2 da equação (A) for negativo

multiplica-se toda a equação por (-1) e os seus

termos mudarão de sinal.

O termo c é denominado termo independente ou

constante.

Se os coeficientes são números a equação diz-se

numérica, se aqueles forem letras ela diz-se literal.

4.3.2. Tipos de equações:

Equações completas: são aquelas que, na forma geral, têm todos os coeficientes

diferentes de zero.

Exemplo

5x2 – 4x -12 = 0 a, b e c ≠ 0

Equações incompletas: são aquelas que têm pelo menos um dos coeficientes

(exceto o coeficiente a) iguais a zero.

Exemplos

2x2 – 6x = 0 com c = 0

-x2 + 12 = 0 com b = 0

6x2 = 0 onde temos b = 0 e c = 0

4.3.3. Determinação de raízes

Objetivo

Determinar as raízes de uma equação do segundo grau da forma ax2 + c = 0.

Determinar as raízes (ou resolver uma equação do 2º grau) consiste em achar o

conjunto verdade (ou conjunto solução). No conjunto dos números reais, o conjunto

verdade pode ter um elemento, dois elementos ou então nenhum elemento (conjunto

vazio). Esse último acontece quando, ao resolver uma equação, o resultado envolver a

extração da raiz quadrada de um número negativo.

Na resolução de algumas equações do 2º grau usamos técnicas de fatoração e duas

propriedades dos números reais:

Podem ocorrer três casos de determinação de raízes:

1. Raízes de Equações incompletas da forma ax2 + c = 0

Transpomos a constante para o segundo membro, que é o mesmo que somar (– c) a

ambos os membros, ou seja:

ax2 + c – c = 0 – c ax2 = - c

Nessa última equação, como o termo do primeiro membro está elevado ao quadrado,

esse será sempre positivo. Então se o termo do segundo membro for negativo não temos

solução no conjunto dos reais e o conjunto verdade será vazio.

Se o segundo membro for positivo o conjunto verdade terá dois elementos (duas raízes

simétricas):

ou, de outra maneira: x1 = e x2 = e o conjunto verdade

será:

Exemplos


Colocação de termos em evidência.

Exemplo: ax2 + bx = x(ax + b)

Propriedade 1: Se x e y e x.y = 0 então x = 0 ou y = 0

(ou seja, se o produto de dois fatores é zero então um dos dois

fatores é igual a zero).

Propriedade 2: Se x e y e x2 = y então

a) 3x2 – 12 = 0

Transpondo a constante para o segundo membro (com mudança de sinal), temos:

3x2 = 12

Dividindo ambos os membros pelo coeficiente de x2, obtemos:

x2 = 4

Extraindo as raízes, fica:

x1 = -2 e x2 = 2

O conjunto verdade será: V = {-2, 2}

b) 4x2 – 5 = 0

De maneira análoga ao item (a), fazemos:

4x2 = 5

x2 =

x = = x1 ≈ -1,11 e x2 ≈ 1,11

Obs.: como a raiz calculada não é exata usamos o símbolo ≈ (aproximadamente igual)

O conjunto verdade será: V = {-1,11, 1,11)

c) –6x2 + 24 = 0

Como o coeficiente de x2 é negativo, multiplicamos a equação por (-1), ficando:

6x2 – 24 = 0

6x2 = 24

x2 = 4 x1 = -2 e x2 = 2

Teremos o conjunto verdade: V = {-2, 2}

d) 5x2 + 20 = 0

5x2 = -20

x2 = -4

Como o segundo membro é negativo, não temos raízes no corpo dos reais.

O conjunto verdade será: V = { } ou V =

Exercícios

Determine as raízes das equações:

a) 9x2 – 1 = 0 (r: V = )

b) 4x2 – 5 = 2x2 - (r: V = )

c) 3x2 - 4 = x2 – 5 (r: V = )

d) (r: V = )

4.3.4. Raízes de Equações incompletas da forma ax2 + bx = 0

Objetivos

Determinar as raízes de uma equação do segundo grau da forma ax2 +

bx = 0.

Determinar as raízes de uma equação do segundo grau da forma ax2 +

bx +c = 0.

Para resolver equações desse tipo a primeira coisa a fazer é colocar x em evidência,

obtendo um produto de dois fatores. Temos então:

ax2 + bx = 0 x (ax + b) = 0

Em seguida usamos a propriedade supracitada do produto de números reais, que diz:

“se o produto de dois fatores é zero então um dos dois fatores é igual a zero”.

x (ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0, encontrando então a solução:

x = 0 e

ax + b = 0 x = , o conjunto verdade será:

V =

Exemplo

Resolver as equações: 5x2 -20x = 0

Fatorando a expressão do primeiro membro (colocando 5x em evidência), teremos:

5x (x – 4) = 0

Igualando cada fator a zero, obtemos:

5x = 0 x = 0

(x – 4 ) = 0 x = 4

Logo o conjunto verdade será: V = {0, 4}

Exercícios


a) 20x2 – x = 0 (r: V = )

b) 3x2 + 12x = 0 (r: V = {-4, 0})

c) (x + 2).(x - 4) = -8 (r: V = {0, 2})

4.3.5. Raízes de Equações completas da forma ax2 + bx + c = 0

Para achar o conjunto verdade usamos a dedução da fórmula de Bhaskara que se baseia

no objetivo de transformar essa última equação noutra equivalente de modo que o

primeiro termo seja um quadrado perfeito.

Seguem os passos para essa transformação:

1) Multiplicaremos ambos os membros por 4a:

(ax2 + bx + c).4a = 0.4a

4a2x2 + 4abx + 4ac = 0

2) Passando 4ac para o segundo membro:

4a2x2 + 4abx = - 4ac

Para o primeiro membro ser um trinômio quadrado perfeito, vamos recorrer a um

esquema aprendido a partir dos produtos notáveis:

Assim deduzimos que: = b m = b2

3) Logo somaremos b2 a ambos os membros, ficando:

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac

O primeiro membro agora é um trinômio quadrado perfeito.

4) Fatorando o primeiro membro, teremos:

(2ax + b)2 = b2 – 4ac

5) Como o objetivo é determinar o valor de x, extraímos a raiz quadrada dos dois

membros:

6) Para explicitar o termo em x no primeiro membro, passamos b para o segundo

membro, obtendo:

Para ficar somente x no primeiro membro, dividimos ambos os membros por 2a,

obtendo-se:

aacbbx

242 (B)

4a2x2 + 4abx +

m

ma24

2a

2.2ab

4ab

Essa é a chamada fórmula resolutiva da equação do 2º grau ou fórmula de

Bhaskara.

Podemos expressar a equação (B), explicitando as raízes, da seguinte forma:

O termo dentro do radical é chamado de discriminante ou delta e é indicado por essa

letra grega, ou seja:

Dependendo dos coeficientes de uma equação do 2º grau, o discriminante pode ser

positivo, igual a zero ou negativo.

Vamos determinar as raízes analisando então esses três casos que acontecem.

I) O discriminante é positivo ( > 0)

Nesse caso nós teremos duas raízes distintas e podemos representá-las por x’ e x’’ ou

por x1 e x2.

O conjunto verdade será dado por:

V =

Exemplos


a) x2 – 7x + 12 = 0

= b2 – 4ac (C)

x1 = e x2 =

Nesse caso: a = 1, b = -7 e c = 12

Determinando o discriminante:

= b2 – 4ac = (-7)2 – 4.1.12 = 49 – 48 = 1

Achando as raízes:

x’ =

x’’ =

O conjunto verdade será: V = {3, 4}

b) 5x2 + 11x + 2 = 0

Nesse caso: a = 5, b = 11 e c = 2


= b2 – 4ac = (11)2 – 4.5.2 = 121 – 40 = 81

Achando as raízes:

x1 =

x2 =

O conjunto verdade será: V =

II) O discriminante é nulo ( = 0)

Substituindo o valor do discriminante na equação (B), teremos:

Nesse caso, dizemos que temos uma raiz dupla.

Exemplo

Resolver a equação: x2 – 6x + 9 = 0

Nesse caso: a = 1, b = -6 e c = 9


= b2 – 4ac = (-6)2 – 4.1.9 = 36 – 36 = 0

Achando as raízes:

x1 =

x2 =

Logo temos x1 = x2 = x = 3, uma raiz dupla.

O conjunto verdade será: V = {3}

III) O discriminante é negativo ( < 0)

Ao substituir o valor desse discriminante na equação (B), não podemos extrair a raiz

quadrada de um número negativo. Assim concluímos que toda equação do segundo grau

com < 0 não admite nenhuma raiz real e, por conseguinte o seu conjunto verdade será

vazio.

Exemplo

Resolver a equação: x2 + 3x + 7 = 0

Nesse caso: a = 1, b = 3 e c = 7


= b2 – 4ac = (3)2 – 4.1.7 = 9 – 28 = -19

Achando as raízes:

x1 = x2 =

Como, no cálculo das raízes, está envolvida a raiz quadrada de um número negativo,

concluímos que essa equação não tem raízes reais.

O conjunto verdade será então: V = Ø

Exercícios


1) –x2 + 3x – 2 = 0 (r: V = {1, 2}

2) 3x2 – 2x – 4 = 0 (r: V = Ø)

3) 4x2 – 4x = -1 (r: V = )

4) 2x2 – x +3 = 0 (r: V = )

5) (r: V = {2, 3})

4.3.6. Relações entre os coeficientes e as raízes

Objetivo

Estabelecer as relações entre os coeficientes e as raízes.

4.3.6.1. Soma das raízes (S)

Vimos anteriormente que as raízes de uma equação do 2º grau são:

Somando os termos, membro a membro, teremos:

x1 + x2 = +

x1 + x2 =

x1 = e x2 =

Fazendo a simplificação, resultará:

Podemos definir então a relação das somas das raízes:

4.3.6.2. Produto das raízes (P)

Analogamente ao que foi feito na soma de raízes, agora realizaremos o produto das

raízes x1 e x2, ou seja:

Multiplicando os termos, membro a membro, teremos:

x1 . x2 =

A multiplicação dos numeradores irá envolver o produto da soma pela diferença de dois

termos, é um produto notável, cujo resultado é o quadrado do primeiro termo menos o

quadrado do segundo termo. Obtemos então:

x1 . x2 =

Fazendo a simplificação, resultará:

A soma das raízes de uma equação

do segundo grau é igual a: .

x1 + x2 = (D)

x1 . x2 = (E)

Podemos definir então a relação do produto das raízes:

Das relações (D) e (E) determinadas, fazemos:

S = x1 + x2 e P = x1. x2

Substituindo os valores das relações (D) e (E), teremos:

S = (F)

P = (G)

Se da equação completa: ax2 + bx + c = 0, dividirmos ambos os membros por a, teremos:

(H)

Substituindo os valores de (F) e (G) em (H), obtemos:

Essas relações estudadas nos ajudam a relacionar as raízes e também a fazer o caminho

inverso, ou seja, determinar uma equação do 2º grau dadas as raízes.

Exemplos

O produto das raízes de uma equação

do segundo grau é igual a: .

x2 – Sx + P = 0 (I)

a) Sem resolver a equação 2x2 – 4x + 8 = 0, calcular a soma e o produto das raízes.

A soma das raízes é dada por:

x1 + x2 =

O produto das raízes é dado por:

x1 . x2 =

b) Dadas as raízes x1 = - 4 e x2 = 7, formar a equação do segundo grau.

A soma S = -4 + 7 = 3

O produto P = (-4).(7) = -28

Substituindo esses valores na equação (I), teremos:

x2 – 3 – 28 = 0

c) Calcular m na equação x2 + 8x + m = 0 de modo que uma raiz seja o triplo da

outra.

Pelos dados do problema, temos:

x1 + x2 =

x1 . x2 =

x1 = 3x2

Substituindo x1 por 3x2 na primeira equação, teremos:

3x2 + x2 = -8 4x2 = - 8 x2 = -2

Como x1 = 3x2 então x1 = 3.(-2) = -6

Como P = x1.x2 = (-6).(-2) = 8 e m é o mesmo valor de P, então:

m = 8

E a equação será: x2 + 8x + 12 = 0

Exercícios

a) Determinar a equação do 2º grau cujas raízes são: x1 = -5 e x2 = .

(r: 2x2 + 11x + 5)

b) Calcular o valor de k na equação x2 + kx - 15 = 0, sabendo-se que a soma das raízes é

igual a 2.

(r: k = -2)

4.3.7. Equação biquadrada

Objetivos

Especificar o conceito de equação biquadrada.

Determinar as raízes de uma equação biquadrada.

Definição

Observação:

Por exemplo, as equações: 2x4 + 4x3 + 3 = 0 e 5x4 + 6x2 + 3x + 4 = 0 não são biquadradas.

Raízes de uma equação biquadrada

Temos a equação biquadrada:

Uma equação é dita biquadrada se ela é do quarto grau, com uma só incógnita e

pode ser expressa na forma:

ax4 + bx2 + c = 0, com a, b, c e a ≠ 0.

ax4 + bx2 + c = 0(K)

Uma equação biquadrada não contém potências

ímpares da incógnita.

Fazendo-se x2 = y e substituindo na equação (K), obtemos:

A equação (L) é do segundo grau, que já aprendemos a resolver e cuja solução é:

Como fizemos x2 = y e queremos determinar x, explicitamos x em função de y, ou seja:

Se x2 = y então , levando esse valor em (M), teremos:

Cada valor positivo de y corresponde a duas raízes reais e

simétricas. Se y for negativo não é possível determinar raízes reais.

Exemplos

Resolver:

a) x4 – 10x2 + 9 = 0

Fazendo x2 = y e substituindo na equação dada, teremos:

y2 – 10y + 9 = 0

Determinando as raízes pela fórmula de Bhaskara:

y1 =

y2 =

Obtemos então duas raízes positivas para y, vamos determinar então os valores de x:

(M)aacbby

242

ay2 + by + c = 0 (L)

x1 =

x2 =

x3 =

x4 =

O conjunto verdade será então: V = {-3, -1, 1, 3}

Concluímos que a equação biquadrada é o resultado do produto:

(x - 1).(x + 1).(x - 3).(x + 3)

b) 3x4 + 2x2 + 1 = 0


3y2 + 2y + 1 = 0


y1 =

y2 =

Nos dois casos acima teríamos que determinar a raiz quadrada de um número

negativo, logo podemos concluir que não existem raízes reais.

O conjunto verdade será então: V = Ø

c) x4 – 4x2 + 4 = 0


y2 - 4y + 4 = 0


y1 =

y2 =

Como y1 = y2, teremos o caso de raiz dupla, então:

x1 = x2 =

x3 = x4 =

O conjunto verdade será: V =

Concluímos que a equação biquadrada dada é resultado do produto:

Exercícios

Resolver as equações biquadradas:

1) x4 – 5x2 + 4 = 0 (r: V = {-2, -1, 1, 2}

2) 2x4 – 10x2 + 12 = 0 (r: V = )

3) x4 – 2x3 – 4 = 0 (r: não é equação biquadrada)

4) x4 – 2x2 + 5 = 0 (r: V = Ø)

5) x4 – 8x2 + 7 = 0 (r: V = )

4.3.8. Aplicações das equações do 2º grau

Objetivo

Resolver problemas do segundo grau com o uso de equações.

Veremos a seguir algumas das aplicações da equação do 2º graus.

4.3.8.1. Resolução de problemas do 2º grau

Na resolução de problemas desse tipo, devemos seguir alguns passos:

Saber montar a equação, traduzindo a linguagem escrita para a linguagem

matemática;

Determinar as raízes da equação;

Analisar o resultado para determinar a solução.

Observação: Às vezes podem ser encontradas duas raízes, mas nem sempre as duas

satisfazem o objetivo do problema em questão (principalmente quando tratamos com:

unidades de medidas, pessoas, números inteiros etc.). Também tem algumas dicas que

podem ser adotadas ao se trabalhar com variáveis:

1) Escolha de um número ou uma incógnita: normalmente usa-se x (mas podemos

usar qualquer letra).

2) Consecutivo de um número: usa-se x + 1 e antecessor usa-se: x – 1.

3) Inverso de um número: .

4) Para o quadrado de um número podemos usar x2.

5) O dobro de um número pode ser definido como 2x.

6) Um número multiplicado por sua quarta parte:

7) Se a soma de dois números é 20 então um número será x e o outro será 20 – x.

8) Se o produto de dois números 20 então um número é x e o outro será .

9) Devemos sempre dar preferência de usar apenas uma incógnita para a resolução

se tornar mais simples, evitando usar um sistema de equações.

Exemplos

a) Determine um número que multiplicado por seu quádruplo é igual a 676.

Seja um número x, o seu quádruplo será 4 . x = 4x. Montamos a linguagem

matemática, para resolver esse problema:

x . 4x = 676 4x2 = 676

Passando 676 para o primeiro membro, teremos:

4x2 - 676 = 0

Esta é uma equação do 2º grau incompleta que já estudamos e onde a = 4, b = 0 e c = -

676. Resolvendo-a:

x1 =

x2 =

Conferindo os resultados:

(-13).4.(-13) = (-13).(-52) = 676

(13).4.(13) = 13.52 = 676

Logo o conjunto verdade será: V = {-13, 13}

b) Numa lanchonete, a conta de uma turma de jovens deu R$ 280,00 e ela iria ser

dividida em partes iguais. Mas, na hora de pagar, 3 jovens disseram que tinham

só cartão de crédito e aquele estabelecimento não aceitava aquela forma de

pagamento. Então a cota de cada um dos que iriam pagar ficou aumentada de R$

12,00. Quantos jovens haviam na lanchonete?

Se chamarmos a quantidade total de jovens de x, cada um deles ia pagar a quantia de

(cota inicial). Com a não contribuição de 3 pessoas a quantia a ser paga por cada um

dos outros será de (cota final).

Logo, cota final – cota inicial = 12 , ou seja:

- = 12

Tirando o m.m.c. e simplificando, teremos:

840 = 12x2 - 36 x

Dividindo ambos os membros por 12, obtemos:

70 = x2 - 3x x2 - 3x - 70 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau encontrada, fica:

x1 =

x2 =

Como a quantidade de pessoas não pode ser um número negativo, nossa solução será:

10 jovens.

c) Determinar três números consecutivos cuja soma deles acrescida de 12 unidades

é igual ao produto dos dois menores.

Se um número é x, os consecutivos serão: (x + 1) e (x + 2). Armando a sentença

matemática que atende ao problema em questão, fica:

x + (x + 1) + (x + 2) + 12 = (x).(x + 1)

Efetuando as operações, obtemos:

3x + 3 + 12 = x2 + x

Passando os termos para o segundo membro, fica:

3x + 15 = x2 + x x2 - 2x -15 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, obtemos:

x1 =

x2 =

Logo temos duas respostas: os números são -3, -2 e -1 ou então são os números 5, 6 e 7.

Exercícios

1) (CEFET/91 - 2ª FASE) Um pedaço de arame de 44 cm de comprimento é cortado em

duas partes e cada parte é dobrada em forma de um quadrado. A soma das áreas dos

dois quadrados é 61cm2. Calcule as medidas dos lados dos quadrados.

(r: 5 cm e 6 cm)

2) (U. E. Londrina 1997) Um comerciante comprou um lote de camisas por R$

600,00. Se ele tivesse feito negócio com outro fabricante, com a mesma quantia teria

comprado 20 camisas a mais, cada uma delas custando R$ 1,50 a menos. Quanto custou

cada camisa do lote comprado?

(r: R$ 7,50)

4.3.8.2. Sistemas do 2º grau

Objetivo

Resolver sistemas do segundo grau.

Quando temos um sistema com duas equações, a equação final pode ser do segundo grau

então aquele é chamado sistema do 2º grau. Um sistema do 2º grau só pode ser

constituído de uma equação do 2º grau e outra do primeiro.

Exemplo

A soma de dois números é sete e o seu produto é 12. Determinar os dois números.

Para resolver esse problema montamos o seguinte sistema de duas incógnitas:

Escolhemos qualquer uma das duas equações, explicitamos uma incógnita numa

equação e substituímos seu valor na outra equação. Por exemplo, escolhendo a equação

(a), vamos determinar o valor de y:

x + y = 7 y = 7 – x (c)

Levando (c) em (b), teremos:

x.(7 – x) = 12 7x – x2 = 12 x2 – 7x + 12 = 0 (d)

A equação (d) é do 2º grau e completa. Resolvendo-a:

x1 =

x2 =

Logo, o conjunto verdade será: V = {3, 4}

Exercícios

1) Determinar dois números inteiros cuja diferença entre o maior e o menor é 6 e cuja

soma dos seus inversos é . (r: V = {8, 2}).

2) Resolver o sistema:

(r: V {3,2})

Vamos para a próxima unidade!

Matemática elementar Unidade V

Unidade V - Operações com fração

Problematizando

1) O que vem a ser: frações próprias, impróprias, aparentes, irredutíveis e

equivalentes?

2) Como representar frações por meio de figuras?

3) Como somar, subtrair, multiplicar e dividir frações?

4) Quais as aplicações do M.D.C. e do M.M.C. ao se trabalhar com frações?

5) O que são números decimais.

6) Como efetuar operações com os números decimais?

Introdução

Objetivos

Definir frações.

Especificar os tipos de frações.

Tanto as frações como os números decimais apresentam grande importância na nossa

vida, pois a aplicação daqueles está no nosso cotidiano. Quando vamos ao supermercado

e compramos ½ Kg de açúcar ou 1 ½ Kg de café ou ½ dúzia de ovos etc., estamos

trabalhando com frações. Ao lidarmos com nosso dinheiro operamos com frações e

números decimais.

5.1. Definições

Vamos inserir alguns conceitos básicos que precisaremos conhecer para,

posteriormente, operar com frações com mais habilidade.

5.1.1. Frações

Definição

A fração é representada por uma das seguintes formas:

Onde:

A é chamado de numerador e indica quantas partes a fração tem.

B é chamado de denominador e indica em quantas partes a unidade foi dividida.

Exemplos

a) A fração indica que a unidade foi dividida em 5 partes e nós temos 3 delas.

Nesse exemplo o numerador é 3 e o denominador é 5.

b) Podemos representar as frações por meio de figuras. Por exemplo: Júlia comeu

3/8 de um chocolate. Isso quer dizer que se o chocolate for dividido em 8 partes

iguais, Júlia comeu 3 dessas partes. Veja a figura que representa essa fração:

Frações são números que: indicam uma ou mais partes iguais de uma

unidade ou expressam quantidades em que os objetos estão partidos

(fracionados) em partes iguais e são representadas como o quociente de

dois números.

BAouBA / Com A, B N e B 0

Na figura acima, as partes amarelas representam aquelas que Júlia comeu (3/8) e a parte

branca é a que sobrou (5/8) do chocolate.

5.1.2. Leitura de frações

Objetivos

Ler frações.

Classificar as equações.

As frações recebem nomes especiais de acordo com os numeradores e denominadores

usados. Quando o denominador for maior que 10 acrescentamos a palavra avos1 ao

denominador.

Veja alguns exemplos:

um meio dois terços três quartos três quintos

cinco sétimos seis décimos sete dezoito avos

onze quinze avos sete trinta avos sessenta centésimos

oito milésimos três meios dezesseis nonos

1 Avos é uma palavra usada na leitura de frações e indica cada uma das partes em que foi dividida a unidade e cujo denominador é maior que 10.

Observação: Quando o denominador é múltiplo de 10 podemos acrescentar avos ao

denominador ou usar o substantivo ordinal correspondente ao denominador.

Exemplo

: podemos ler essa fração como um vinte avos ou um vigésimo.

5.1.3. Classificação das frações

Temos três tipos de frações:

a) Frações próprias: são aquelas cujo numerador é menor que o denominador e

elas representam números menores que um inteiro.

Exemplos:

Usando uma representação simbólica:

Obs: As frações cujos denominadores são potência de 10 (10, 100, 1000,...) são

chamadas de frações decimais.

Exemplos:

Representa a fração própria

b) Frações impróprias: são aquelas cujo numerador é maior que o denominador e elas

representam números maiores que um inteiro.

Exemplos:

A figura abaixo representa a fração imprópria .

Obs: As frações impróprias podem ser constituídas de uma parte inteira e uma parte

fracionária. Quando são escritas dessa maneira recebem o nome de frações mistas.

Exemplos:

c) Frações aparentes: são as frações cujo numerador é múltiplo do denominador.

Se dividirmos os numeradores dessas frações pelos seus respectivos

denominadores iremos obter valores inteiros.

Exemplos:

, que, na verdade, representam, respectivamente, os números: 3, 4 e 1.

Usando a representação em figura:

Exemplos

Representa a fração imprópria

Representa a fração aparente que é igual a 2, ou seja, 2 unidades.

a) b)

Podemos representar uma fração mista através de figuras. Por exemplo, vamos

representar a fração do item (a). Como o denominador é 4, concluímos que a unidade é

dividida em 4 partes e pela fração vemos que temos três unidades mais um quarto da

unidade. A fração, representada pela parte colorida, será:

d) Frações decimais: são aquelas frações cujos denominadores são potências de 10

(10, 100, 1000, . . .).

Exemplos

a) b) c)

5.1.4. Equivalência de frações

Objetivos

Estabelecer a equivalência de frações.

Frações equivalentes são aquelas que representam a mesma parte do todo. Quando

comparamos uma com a outra, verificamos que tanto o numerador como o denominador

é multiplicado pelo mesmo número.

Exemplo

As frações são equivalentes.

A segunda fração acima é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador da

primeira fração por 3 e a terceira fração acima é obtida multiplicando-se o numerador e

o denominador da primeira fração por 15.

Podemos representar por meio de figuras, frações equivalentes.

Na figura acima, as três frações são equivalentes. Observe que qualquer uma delas

representa a metade do todo (esse é o retângulo maior).

As duas últimas frações da figura foram obtidas da seguinte forma:

21

42

84

Então podemos deduzir que:

5.1.5. Simplificação de frações.

Objetivos

Simplificar frações.

Efetuar operações de adição e subtração de frações

Para simplificar uma fração devemos dividir, simultaneamente, o numerador e o

denominador por um fator comum. Esse fator comum, na verdade, é o M.D.C. do

numerador e denominador.

Exemplos

Simplificar as frações:

a)

O M.D.C. (15,3) = 3, então dividimos o numerador e o denominador por 3, obtendo-se:

b)

Para determinarmos frações equivalentes a uma fração dada devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

O M.D.C. (49,14) = 7, então dividimos o numerador e o denominador por 7, obtendo-se:

c)

O M.D.C. (17,11) = 1, quando isso acontece dizemos então que a fração é irredutível.

Nos itens (a) e (b) acima as frações resultantes da simplificação efetuada, e ,

também são irredutíveis, pois M.D.C. (5,1) = 1 e M.D.C. (7, 2) = 1.

Podemos então definir:

5.2 Operações com fração

As operações básicas com frações que veremos são: adição, subtração, produto, divisão,

potenciação, radiciação e estudaremos também transformações de frações.

5.2.1. Adição e subtração frações

Podem ocorrer dois casos:

I) Os denominadores das frações adicionadas são iguais

a) Para somar frações com denominadores iguais, somamos os numeradores e

conservamos o denominador.

b) Para subtrair frações com denominadores iguais, subtraímos os numeradores e

conservamos o denominador.

Fração irredutível é aquela que o numerador e o denominador não têm nenhum

fator em comum, ou seja, M.D.C. (denominador, numerador) = 1.

Exemplos

a) b)

c) d)

e)

II) Os denominadores das frações são diferentes

Quando, ao somar ou subtrais frações, os denominadores forem diferentes, devemos

reduzir todas as frações ao mesmo denominador. Temos então que determinar o M.M.C.

dos denominadores para pode efetuar as operações de adição e/ou de subtração. Se a

fração resultante puder ser simplificada, devemos então fazer a simplificação.

Exemplo

Efetuar as operações:

a)

Nesse caso os denominadores são diferentes, vamos então determinar o M.M.C. dos

denominadores:

M.M.C. (5, 7) = 35, esse vai ser o denominador comum de todas as frações.

Devemos, em seguida, dividir o M.M.C. encontrado (35), pelo denominador de cada

fração e multiplicar o resultado obtido dessa divisão pelo respectivo numerador.

b)

Determinando o M.M.C. dos quatro denominadores:

M.M.C. (3, 4, 8, 12) = 24, esse vai ser o denominador comum de todas as frações.

c)

Determinando o M.M.C. dos quatro denominadores:

M.M.C. (14, 7, 4, 28) = 28, esse vai ser o denominador comum de todas as frações.

Como a fração resultante pode ser simplificada (pois M.D.C. (28, 6)= 2, dividimos o

numerador e o denominador por 2, obtendo:

Essa fração é irredutível e é então o nosso resultado.

Exercícios


a) (r: )

b) (r: )

c) ) Efeturar as operaç sarto.nte dar+ 1teira (3) pelo denominador

c) (r: )

d) (r: )

e) (r: )

f) (r: )

5.2.2. Multiplicação de frações

Objetivo

Realizar operações de multiplicação e divisão de frações.

Na multiplicação de frações, devemos multiplicar todos os numeradores das frações

envolvidas e devemos multiplicar também todos os denominadores. Para facilitar as

contas, podemos fazer simplificações com os números envolvidos, antes de efetuarmos

as multiplicações.

Exemplos

Efetuar os produtos:

a)

b)

Na operação acima, antes de efetuarmos as multiplicações, “cortamos” o 2 do numerador

com o 2 do denominador.

d) 2

Na operação acima “cortamos” o 4 do numerador com o 4 do denominador; cortamos o

7 do denominador com o 14 do numerador, sobrando 2 (pois 14 / 7 = 2). Obs.:

colocamos o 2 em cima do número 14 para mostrar onde foi feita a operação.

Exercícios

Faça as multiplicações abaixo:

1) (r: )

2) (r: )

3) (r: 4)

4) (r: )

5.2.3. Divisão de frações

Na divisão de duas frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da

segunda fração.

Exemplo

Efetuar as divisões:

a)

Você deve estar se perguntando:

- Por que invertemos a operação e uma das frações?

Vamos dar essa explicação através de um exemplo simples:

Note que na igualdade: = , passamos de uma divisão para a multiplicação do

inverso do segundo número e não alteramos o valor da fração original. Fazemos então

essa inversão para facilitar as operações.

Exercícios

Efetue as operações:

a) (r: )

b) (r: )

c) (r: )

d) (r: )

5.2.4. Potenciação (ou exponenciação) de frações

Objetivo

Realizar a operação de potenciação de frações.

Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente,

devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente.

Exemplos

Efetuar as seguintes potenciações:

a)

b)

c)

Que é o mesmo que:

d)

Que equivale a:

Exercícios

Efetue as potenciações:

1) (r: )

2) (r: )

3) (r: )

5.2.5. Radiciação de frações

Objetivos

Realizar a operação de radiciação de frações.

Reduzir números inteiros para frações impróprias.

Quando aplicamos uma determinada raiz a um número fracionário, aplicamos essa raiz

ao numerador e ao denominador.

Exemplos

Exercícios

Resolva:

1) (r: )

2) (r: )

3) (r: )

5.2.6. Transformações de frações

5.2.6.1. Redução de números inteiros para frações impróprias

Para reduzirmos um número inteiro a uma fração imprópria multiplicamos o número

inteiro por uma fração com denominador e numerador iguais à quantidade de partes

que vai ser dividida a unidade.

Exemplos

a) Reduzir 7 inteiros a terços.

Nesse caso a quantidade de partes é 3, então teremos:

, ou seja, sete inteiros são iguais a vinte e um terços.

b) Reduzir 9 inteiros a quartos.

Nesse caso a quantidade de partes é 4, logo:

, ou seja, nove inteiros são iguais a trinta e seis quartos.

5.2.6.2. Redução de número misto para fração imprópria

Objetivos

Reduzir número misto para fração imprópria.

Converter fração imprópria para número misto.

Para reduzirmos um número misto a uma fração imprópria, multiplicamos a parte

inteira da fração dada pelo denominador dela e adicionamos esse produto ao numerador

da fração e mantemos o mesmo denominador.

Exemplos

Reduzir os números mistos dados a frações impróprias:

a)

Seguindo a regra dada, multiplicamos a parte inteira (3) pelo denominador (5) e

somamos com o numerador (1), obtendo-se: (3 x 5) + 1 = 16. Esse resultado será o

numerador da nova fração, cujo denominador (5) será mantido, ou seja:

b)

Usando o mesmo raciocínio do item (a), teremos:

5.2.6.3. Conversão de fração imprópria para número misto.

Dividimos o numerador da fração dada pelo denominador. O quociente dessa divisão

será a parte inteira do número misto e o resto será o numerador da fração mantendo-se

o mesmo denominador.

Exemplos

Converter as frações abaixo em números mistos:

a)

Dividimos 37 por 4, o quociente dará 9 e o resto será 1, observe a divisão:

Assim: nove inteiros e um quarto.

b)

Dividimos 25 pelo denominador 7, o quociente dará 3 e o resto será 4, observe a divisão:

Logo: três inteiros e quatro sétimos.

denominador

numerador parte inteira

numerador parte inteira

denominador

5.3. Números decimais

Objetivos

Conceituar número decimal.

Ler números decimais.

Existem diversas frações com diversos denominadores distintos, mas vamos nos

concentrar num um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. As frações

que têm essa particularidade são chamadas frações decimais.

São frações decimais:

As frações decimais podem ser representadas por um número decimal.

Definição

O número decimal é obtido de uma fração decimal.

5.3.1. Leitura de um número decimal

Vamos considerar um número decimal genérico composto de três casas antes e três

casas depois da vírgula (por exemplo, consideremos o número 523,769).

A terceira casa depois da vírgula representa os milésimos (o número 9).

A segunda casa depois da vírgula representa os centésimos (o número 6).

A primeira casa depois da vírgula representa os décimos (o número 7).

A primeira casa antes da vírgula representa as unidades (o número 3).

Número decimal é aquele composto por uma parte inteira e uma

parte decimal, separados por uma vírgula.

A segunda casa antes da vírgula representa dezenas (o número 2).

A terceira casa antes da vírgula representa as centenas (o número 5).

Na representação abaixo, os componentes da parte decimal estão na cor azul e os da parte

inteira estão na cor vermelha:

..., Centenas Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos,...

Além desses temos, em sequência decrescente da parte decimal, os componentes:

décimos milésimos, centésimos milésimos, milionésimos etc.

Também, na sequência crescente da parte inteira, temos os componentes: unidade de

milhar, dezena de milhar, centena de milhar, unidade de milhão etc.

Exemplos

Fazer a leitura dos números decimais abaixo:

a) 37,56

R. Trinta e sete inteiros e cinqüenta e seis centésimos.

b) 8,4

R. Oito inteiros e quatro décimos.

c) 59,512

R. Cinqüenta e nove inteiros e quinhentos e doze milésimos.

d) 0,81

R. Oitenta e um centésimos.

e) 0,7

R. Sete décimos.

f) 0,625

R. Seiscentos e vinte e cinco milésimos.

g) 0,00023

R. vinte e três centésimos milionésimos

h) 45000,000005

R. quarenta e cinco mil unidades e 5 milionésimos

5.3.2. Conversão de fração decimal para número decimal

Objetivos

Converter fração decimal para número decimal.

Converter fração não decimal para número decimal.

Convertemos uma fração decimal para um número decimal da seguinte forma: Primeiro

escrevemos o numerador da fração dada, depois contamos quantos zeros tem o

denominador da fração dada e fazemos com que o número decimal tenha o mesmo

número de casas decimais que o número de zeros do denominador. É, na realidade, a

realização da divisão do numerador pelo denominador.

Exemplos

Transformar as frações decimais em números decimais:

a) , como o denominador tem dois zeros, contamos duas casas decimais a

partir do número 5 (inclusive).

b)

c)

Observação: o número de casas decimais é contado

da direita para a esquerda (do numerador).

g)

5.3.3. Conversão de fração não decimal para número decimal

Para converter uma fração não decimal para um número decimal, dividimos numerador

pelo denominador. Podem acontecer dois casos:

a) O denominador contendo apenas fatores de 2 e 5: nesse caso determinamos

um número com a parte decimal finita.

Exemplos

i) ii)

b) Denominador contendo qualquer outro fator diferente de 2 e 5: nesse caso

encontramos um número cuja parte decimal são algarismos repetidos (dízima

periódica).

Exemplos

i) , os fatores são 1 e 11.

ii) , os fatores são 3 e 7.

Exercícios

Converter para números decimais:

a) (r: 0,125)

b) (r: )

c) (r: )

5.3.4. Conversão de número decimal para fração decimal

Objetivos

Converter número decimal para fração decimal.

Aplicar as propriedades dos números decimais.

Aqui podem ocorrer dois casos:

i) O número decimal tem a parte inteira igual a zero: a conversão resultará numa

fração, cujo numerador será igual à parte decimal do número dado e cujo denominador

será uma potência de 10 (que deverá ter zeros quantos forem o número de casas

decimais). A fração obtida, caso seja possível, poderá ser simplificada.

Exemplos

Reduzir os números decimais abaixo para fração decimal:

a) 0,27

R. O denominador é 27 e o número tem duas casas decimais, logo o denominador vai

ser uma potência de 10 que tenha dois zeros.

b) 0,0024

R. , simplificando por 8 teremos:

ii) O número decimal tem a parte inteira diferente de zero: a conversão resultará

numa fração imprópria cujo numerador consiste no número decimal dado, sem a vírgula

e cujo denominador é um número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros

10027270 ,

Duas casas decimais

Potência de 10 com dois zeros

Parte decimal

quantos forem os algarismos da parte decimal do número dado. Como a parte inteira é

diferente de zero o resultado será um número misto.

Exemplos

Converter os números decimais para frações:

a) 34,23

R.

Observação: poderíamos fazer a conversão também da seguinte maneira:

R. , que é um número misto.

b) 531,293

R.

5.3.5. Propriedades dos números decimais

Propriedade 1:

Exemplos

a) 0,7100 = 0,710 = 0,71

b) 23,538000 = 23,53800 = 23,5380 = 23,538

10034232334 ,

Duas casas decimais Dois zeros

Número decimal sem a vírgula

Um número decimal não tem seu valor alterado quando acrescentamos

ou retiramos um ou mais zeros à direita do último algarismo diferente

de zero da sua parte decimal.

Propriedade 2

Exemplos

a) 6,789 x 100 = 678,9 (100 tem 2 zeros, deslocamos duas casas).

b) 6,789 x 1000 = 6789 (1000 tem 3 zeros, deslocamos três casas).

c) 6,789 x 10000 = 67890 (10000 tem 4 zeros, deslocamos quatro casas).

d)

Propriedade 3:

Exemplos

a) 82,37 ÷ 100 = 0,8237 (100 tem 2 zeros, deslocamos duas casas).

b) 82,37 ÷ 1000 = 0,08237(1000 tem 3 zeros, deslocamos três casas).

c) 82,37 ÷ 10 = 8,237 (10 tem 1 zero, deslocamos uma casa).

5.4. Operações envolvendo números decimais

Objetivo

Adicionar e subtrair números decimais.

5.4.1. Adição e subtração de números decimais

Ao adicionarmos ou subtrairmos números decimais devemos seguir três regras básicas:

R1. Disposição dos números decimais

Ao multiplicarmos um número decimal por uma potência de 10, deslocamos a vírgula daquele para a direita tantas casas quantos forem os zeros da potência usada.

Ao dividirmos um número decimal por uma potência de 10, deslocamos

a vírgula daquele para a esquerda, tantas casas quantos forem os zeros

da potência usada.

Devemos dispor os algarismos de modo que cada coluna tenha um algarismo da mesma

posição que ocupam no número decimal (centésimos debaixo de centésimos, décimos

debaixo de décimos, centenas debaixo de centenas etc.). Também posicionaremos a

vírgula de um número decimal exatamente debaixo da vírgula de outro número decimal.

Exemplos

a) Formas corretas: 234,659 54,56 345,67

+ 56,769 - 31,43 + 23,68

125,87

b) Formas incorretas: 523,56 35,21

+ 43,98 - 8,47

R2. Número de casas decimais

Devemos somar ou subtrair números decimais com iguais quantidades de casas

decimais. Caso os números tenham casas decimais distintas devemos igualar com aquele

número que tem maior número de casas, acrescentando zeros à direita de suas partes

decimais.

Exemplos

a) 2,54 + 3,579 = 2,540 + 3,579

b) 3,57 + 23,567 + 41,5 = 3,570 + 23,567 + 41,500

c) 953,5 – 87,329 = 953,500 – 87,329

R3. Efetivação da adição ou da subtração

Igualando-se as casas decimais de todos os números a serem adicionados ou subtraídos

e com os algarismos posicionados corretamente, realizamos a adição e a subtração tal

qual é feita com os números inteiros, não se esquecendo de posicionar, no resultado, a

vírgula corretamente.

Exemplos

Efetuar as operações;

a) 325,56 + 857,11

325,56

R. + 857,11

1282,67

b) 638,2 – 54,179

638,200

R. - 54,179

584,021

Exercícios

Efetuar as operações

a) 58,32 + 625,497 (r: 683,817)

b) 0,34 + 10,345 (r: 10,685)

c) 345,67 + 76,1 (r: 421,77)

d) 654,679 – 65,87 (r: 588,809)

e) 87,9 – 0,046 (r: 87,854)

f) 761,532 – 123,44 (r: 638,092)

5.4.2. Multiplicação de números decimais

Objetivo

Multiplicar números decimais.

Podemos efetuar a multiplicação de números decimais de duas maneiras:

1) Multiplicamos os números decimais da mesma maneira como se fossem inteiros e

ao produto acrescentamos tantas casas decimais quantas forem as casas do

multiplicando somadas às do multiplicador.

Exemplo

Efetuar: 34,62 x 23,5

R. Nesse caso o multiplicando tem duas casas e o multiplicador tem uma casa, logo o

produto terá (1 + 2), três casas decimais.

34,62

x 23,5

17310

10386

6924

813,570

O resultado é 813,570, mas como pode ser desprezado o último zero à direita do número

decimal, a resposta mais correta será: 813,57.

2) Antes de multiplicar, transformamos os números decimais em frações,

multiplicamos as frações e o resultado, transformamos novamente para número

decimal.

Exemplo

Efetuar: 5,46 x 7,1

R. Transformando os números decimais em frações e efetuando o produto, teremos:

Exercícios

Determinar os produtos:

a) 23,45 x 76,98 (r: 1805,181)

b) 21,567 x 98,43 (r: 2122,83981)

c) 0,34 x 5,78 (r: 1,9652)

5.4.3. Divisão de números decimais

Objetivo

Dividir números decimais.

Uma regra básica para facilitar a divisão de números decimais é igualarmos as casas

decimais e usarmos também a seguinte propriedade:

Essa propriedade é bem fácil de entender, veja o exemplo para números inteiros:

20 ÷ 4 =

Do mesmo modo usaremos a propriedade também para a divisão dos números decimais.

Como visto, não importa por quais números o divisor e o dividendo é multiplicado e sim

que aqueles números sejam iguais. Para maior facilidade ao operarmos com números

decimais, os multiplicadores serão potências de 10.

Observação: Nas operações, caso seja possível, é conveniente usarmos a simplificação

dos fatores para facilitar as contas.

Exemplos


a) 8,1÷ 0,3

Ao multiplicarmos, tanto o dividendo como o divisor de uma divisão, pelo mesmo número, o quociente não se modificará.

R. Nesse caso, o divisor e o dividendo têm uma casa decimal, logo multiplicaremos

ambos por 10.

8,1 ÷ 0,3 =

b) 26,67 ÷ 0,127

R. Primeiro vamos igualar as casas decimais: 26,670 ÷ 0,127. Efetuando:

c) 0,49 ÷ 7

R. Igualando as casas: 0,49 ÷ 7,00. Efetuando:

Exercícios


1) 3,608 ÷ 1,1 (r: 3,28)

2) 0,01372 ÷ 0,343 (r: 0,04)

3) 0,144 ÷ 0,16 (r: 0,9)

4) 25 ÷ 0,015625 (r: 1600)

5.4.4. Potenciação de números decimais

Objetivos

Efetuar potenciação com números decimais.

Efetuar radiciação com números decimais.

A potenciação de números decimais ocorre quando a base é um número decimal e o

expoente é um número natural. Nesse caso, basta transformar a potenciação numa

multiplicação normal de números decimais.

Exemplos

a) (2,5)2 = 2,5 x 2,5 = 6,25

b) (0,34)2 = 0,34 x 0,34 = 0,1156

c) (0,12)3 = 0,12 x 0,12 x 0,12 = 0,0144 x 0,12 = 0,001728

Exercícios

Efetuar:

a) (0,71)2 (r: 0,5041)

b) (2,4)2 (r: 5,76)

c) (1,7)3 (r: 4,913)

5.4.5. Radiciação de números decimais

A radiciação de números decimais é determinada com mais facilidade transformando,

primeiramente, aqueles em frações decimais.

Exemplos

a)

b)

c)

Exercícios


a) (r: 0,04)

b) (r: 1,3)

c) (r: 0,08)

5.4.6. Aplicações de números decimais e frações: porcentagens

Objetivo

Aplicar números decimais no cálculo de porcentagens.

Ao se trabalhar com porcentagem (como o próprio nome já diz: “por cento”) é como

operarmos com frações cujo denominador é 100. O símbolo que simboliza a

porcentagem é: “%”.

Exemplos:

a) 34% (lê-se: trinta e quatro por cento) equivale a .

b) 0,25 = = 25%

Com isso podemos resolver problemas envolvendo cálculo de porcentagens.

Exemplos

a) Quanto é 20% de R$ 32,00?

R. 20% x 20 = , ou seja: R$ 6,40

b) R$ 5,00 é quantos por cento de R$ 20,00?

R. Nesse caso podemos fazer uma regra de três simples:

R$ 20,00 100%

R$ 5,00 a%

Multiplicando e igualando os termos, teremos:

20 x a = 5 x 100%

20 x a = 5 x

20 x a = 5 x 1

Como = 25%, logo: R$ 5,00 corresponde a 25% de R$ 20,00.

Se não entendeu bem sobre regra de três simples não se preocupe, na Unidade VII você a

estudará com mais detalhes.

Matemática Elementar Unidade VI

Unidade VI - Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Problematizando

1) Como são conhecidos os lados de um triângulo retângulo?

2) Quais são as relações métricas e trigonométricas do triângulo retângulo?

3) O que vem a ser o famoso Teorema de Pitágoras?

4) Quais as aplicações do Teorema de Pitágoras?

5) Quais as fórmulas do seno, cosseno e tangente?

6) Como é deduzida a relação fundamental da trigonometria?

6.1. Definições

Objetivos

Estabelecer as projeções de um segmento.

Identificar os elementos de um triângulo retângulo.

Vamos dar umas definições básicas de elementos que serão necessários ao trabalharmos

com essa Unidade.

6.1.1 Projeções

Dentre as relações métricas em triângulos temos aquelas que envolvem a projeção de

segmentos. Por isso vamos recordar o que vem a ser projeção.

Projeção ortogonal de um ponto

Chama-se projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta o pé da perpendicular

conduzida desse ponto à reta.

Na figura abaixo o ponto A’ é a projeção do ponto A sobre a reta r.

Projeção ortogonal de um segmento

A projeção ortogonal de um segmento AB sobre uma reta r é o segmento A’B’

determinado pelos extremos A e B.

A'’

A’

r

Veja os exemplos na figura abaixo:

Observações:

Quando o segmento é paralelo à reta r, a sua projeção A’B’ é igual à AB;

Quando o segmento é inclinado em relação à reta r, a sua projeção A’B’ é menor

que o segmento AB;

Quando o segmento é perpendicular à reta r, a sua projeção se reduz a um ponto.

Elementos de um triângulo retângulo

Consideremos um triângulo retângulo ABC, sendo reto em A, veja figura abaixo:

O segmento AB é denominado de cateto maior, também simbolizado pela letra

minúscula c, é chamado também cateto oposto ao ângulo C.

O segmento AC é denominado de cateto menor, também simbolizado pela letra

minúscula b, é chamado também cateto oposto ao ângulo B.

O segmento BC é denominado de hipotenusa, também simbolizada pela letra minúscula

a, é sempre o segmento oposto ao ângulo reto A.

A altura h, que é um segmento que passa pelo ponto de cruzamento de dois lados e vai

até o lado oposto formando um ângulo reto com este último (nesse exemplo, o segmento

A’ A’ A’

A

B’

B B

A’

A

A

B

A

B

B’

B’ B’ r

A’ = B’

A

B

A

c

D

b

CBm n

h

AD passa por A e é perpendicular à hipotenusa BC). Aqui a altura h divide a hipotenusa

em dois segmentos m e n que são, respectivamente, as projeções de c e b sobre a

hipotenusa BC.

6.2. Relações métricas no triângulo retângulo

Objetivo

Construir o conceito e aplicar a primeira relação métrica do triângulo retângulo.

6.2.1. Primeira relação métrica

Da figura dada podemos destacar os dois triângulos retângulos semelhantes:

Demonstração:

Por hipótese, o triângulo ABC é retângulo e o segmento AD é a altura relativa à

hipotenusa.

A medida de cada cateto é a média geométrica entre a medida da hipotenusa e a da sua projeção sobre a hipotenusa.

A

c

a

b

CB

b

n

h

A

CD

A hipotenusa é, sempre, o maior lado de um triângulo retângulo.

Tese: b2 = a.n

c2 = a.m

1) Os triângulos ACD e ABC são semelhantes (têm o ângulo C em comum) e têm também

um ângulo reto.

2) Dessa semelhança decorre que:

3) Do mesmo modo, da semelhança dos triângulos ABD e ABC, que têm o ângulo B em

comum, teremos:

6.2.2. Segunda relação métrica

Objetivo

Construir o conceito e aplicar a segunda e a terceira relação métrica do triângulo

retângulo.

Demonstração:

c2 = a.m

b2 = a.n

A medida da altura relativa à hipotenusa é igual à média

geométrica das medidas dos dois segmentos que ela determina

sobre a hipotenusa.

b

n

h

A

CD

c

m

h

A

DB

Os triângulos ABD e ACD são semelhantes porque ambos são também semelhantes ao

triângulo ABC.

Logo:

6.2.3. Terceira relação métrica

1) Pela primeira relação métrica temos:

b2 = a.n (1)

c2 = a.m (2)

2) Multiplicando, membro a membro, as duas igualdades, obtemos:

(3)

3) Mas, da segunda relação métrica, h2 = m.n. Substituindo em (3) resulta:

b2.c2 = a2.h2 (4)

4) Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros de (4), teremos:

h2 = m.n

O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa

à mesma é igual ao produto das medidas dos dois catetos.

6.2.4. Quarta relação métrica. Teorema de Pitágoras

Objetivos

Construir o conceito do Teorema de Pitágoras.

Demonstrar o teorema de Pitágoras algebricamente e geometricamente.

Demonstração:

1) Pela primeira relação métrica podemos escrever:

b2 = a.n (A)

c2 = a.m (B)

2) Somando membro a membro as duas igualdades de (A) e (B) teremos:

b2 + c2 = a.m + a.n (C)

Colocando a em evidência no segundo membro, obtemos:

b2 + c2 = a.(m + n) (D)

3) Como m + n = a, substituindo esse valor em (D), vem:

O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

b.c = a.h

Essa é a famosa relação denominada Teorema de Pitágoras.

Podemos verificar também essa relação por equivalência de áreas fazendo uma

montagem. Primeiro desenhamos um triângulo retângulo qualquer e depois

desenhamos três quadrados, cada um com sua base num dos lados do triângulo

(conforme figura abaixo):

Cortamos os três quadrados nas extremidades, sendo que nos dois menores devemos

cortar também nas linhas tracejadas. Juntamos as partes dos dois quadrados menores

formando o quadrado maior.

Confira:

a2 = b2 + c2

Como os dois quadrados menores couberam exatamente no quadrado maior,

concluímos que:

Área do quadrado menor (b2) mais área do quadrado médio (c2) é igual à área do

quadrado maior (a2).

Provando que a2 = b2 + c2

Tente você fazer essa montagem também!

6.2.4.1. Triângulos pitagóricos

Objetivos

Reconhecer e determinar os triângulos pitagóricos.

Definição

Por exemplo, o triângulo cujos lados são: 3, 4 e 5 unidades é um triângulo usado pelos

pitagóricos para determinar um ângulo reto, pois:

5² = 4² + 3²

Esse é o mais notável triângulo pitagórico porque tem os lados expressos por três

números inteiros e consecutivos.

Triângulos pitagóricos são os triângulos retângulos cujas medidas dos lados são expressas por números inteiros.

Obs.: Devido à semelhança de triângulos, qualquer outro triângulo que tenha os lados

proporcionais a 3, 4 e 5 também são pitagóricos (Ex.: lados 6, 8 e 10; lados 9, 12 e 15

etc.).

Exemplo:

Dado o triângulo eqüilátero abaixo, determine a altura h.

Resolução:

Como o triângulo é eqüilátero, a altura divide a base BC ao meio, logo BD = .

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABD, obtém-se:

Isolando h no primeiro membro, resulta:

Logo:

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros e simplificando o radical, obtemos:

B

A

CD

xxh

2x

2x

6.2.4.2. Um pouco de história:

Os antigos egípcios usavam o triângulo com lados 3,4 e 5 para determinar um ângulo

reto. Numa corda faziam 13 nós igualmente espaçados. O primeiro nó era fixado no solo

com uma estaca. Da mesma forma era fixado o quarto e o nono nó, O décimo terceiro era

fixado junto ao primeiro. Eles sabiam que um triângulo com lados 3,4 e 5 era retângulo.

Veja a figura abaixo:

Fonte: (ANDRINI, 2002, p.164)

As informações sobre a vida de Pitágoras misturam lenda e realidade “Pitágoras de

Samos nasceu a 580 a.C. na ilha de Samos e foi discípulo de Tales de Mileto. Criou a

Escola Pitagórica, uma espécie de irmandade religiosa que tinha por finalidade a

purificação por meio de uma ciência e de uma arte: a Matemática e a Música. Essa escola

chegou a criar uma aritmética-geometria e com ela fizeram importantes descobertas.

Entre essas, convém destacar, a generalização da propriedade: ‘O quadrado da

hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Essa proposição já era conhecida desde os tempos dos caldeus, para alguns triângulos

particulares. Os pitagóricos, ensaiando com outros triângulos retângulos, conseguiram

generalizá-la e enunciá-la sob a forma de uma proposição demonstrável, agora

denominada Teorema de Pitágoras.” (Brandão, 1987)

Os conhecimentos dos babilônios eram mais extensos e avançados que o dos Egípcios.

Isto é particularmente verdadeiro em Álgebra e nos Cálculos Numéricos, mas também

ocorre em GEOMETRIA, onde além de conhecerem as áreas e volumes de figuras

geométricas simples, os Babilônios sabiam resolver problemas envolvendo a relação de

Pitágoras, que lhes era familiar mil anos antes dos pitagóricos.

Os chineses também conheciam e usavam esse triângulo

Exemplo

Com base na estrutura de telhado, feita com barras de ferro, da figura abaixo:

a) qual deve ser a medida de x em metros?

Portanto, usando o teorema de Pitágoras no triângulo ADC, teremos:

42 = x2 + (3,2)2

16 = x2 + 10,24

x2 = 16 – 10,24 = 2,4m

b) Barras de reforço foram colocadas na estrutura, formando um ângulo reto nos lados

AB e AC. Qual foi a medida dessas barras?

4

,

x

A

CD 3,2

B

A

C

4m

4 mm3,2 3,2D

x

Agora usaremos as relações métricas:

y é a medida da altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo DCA.

Sabemos que x = c = 2,4 e que o lado AC que chamaremos de a = 4, e o lado DC

chamaremos de b = 3,2.

Vimos que: a.h = b. c, neste problema: a.y = b.c

Então: 4.y = 2,4. 3,2

y = = 1,92m.

c) A que distancia do ponto C a barra de reforço foi fixada?

Usando a relação: c2 = am, 2,42 = 4 . m m = m = 1,44m

Vamos praticar:

1) Um fazendeiro quer colocar uma tábua em diagonal na sua porteira. Qual é

o comprimento dessa tábua, se afolha da porteira mede 1,2m por 1,6m? (r: 2 m).

2) Calcule o comprimento x nessa estrutura de telhado.

h = 40 cm

Lado BC mede 1m

(r: 0,64 m).

B

A

C

x h

3) Determine a diagonal de um quadrado de lado a. (r: )

4) Os catetos de um triângulo medem 6 cm e 8 cm. Calcular as suas projeções sobre a

hipotenusa. (r: 6,4 cm e 3,6 cm).

5) Calcular o perímetro de um losango cujas diagonais medem 18 m e 24 m. (r: 60

m)

6) A base de um triângulo isósceles excede a altura de 4 cm. Calcular essa base e a

altura sabendo-se que os lados iguais medem 15 cm cada um. (r: base ≈ 17,27 cm e

altura ≈ 13,27 cm)

6.3. Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Objetivo

Determinar o seno de um ângulo.

6.3.1. Seno de um ângulo

Seja um ângulo XOY e sobre o lado OU marquemos os pontos A, A’ e A’’. Tracemos por

esses pontos as perpendiculares AB, A’B’ e A’’B’’ ao lado OX, conforme a figura abaixo:

Como os triângulos OAB, OA’B’ e OA’’B’’ são semelhantes (ângulo O em comum e todos

têm um ângulo reto por causa da perpendicular), podemos escrever:

y

xO

AA’

B

A’’

B’’B’

Qualquer dessas razões, quaisquer que sejam os pontos tomados sobre OY, é sempre

igual e a ela dá-se o nome de seno.

Logo:

Representa-se o seno de um ângulo, por exemplo, do ângulo A da seguinte forma:

sen Â ou sen(A)

Obs.: como seno, em inglês, é sine, nas calculadoras e em alguns aplicativos é usada a

forma sin(A).

Aplicação:

Uma madeireira doará pranchas para construir uma rampa com plataforma que será

usada numa apresentação de manobras com mountain bike na praça de uma cidade.

Figura abaixo:

Fonte: (ANDRINI, 2002, p. 206)

Podemos então calcular o comprimento das rampas:

sen(37°) = =

Consultando a tabela de razões trigonométricas, temos que:

Chama-se seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo a razão entre a

medida do cateto oposto a esse e a medida da hipotenusa.

sen(37°) = 0,6018 0,6

Então: 0,6 = x =

Portanto, cada rampa deve ter 3 metros de comprimento.

6.3.2. Cosseno de um ângulo

Objetivo

Determinar o cosseno e a tangente de um ângulo.

De maneira análoga àquela feita para o seno, temos as razões:

Qualquer dessas razões, quaisquer que sejam os pontos tomados sobre OY, é constante e

denomina-se cosseno.

Portanto:

Representa-se o cosseno de um ângulo, por exemplo, do ângulo A, da seguinte forma:

cos Â ou cos(A)

Obs.: como cosseno, em inglês, é cosine nas calculadoras e em alguns aplicativos (como o

Excel) expressamos como cos(A).

6.3.3. Tangente de um ângulo

Também da semelhança de triângulos podemos determinar as razões:

Chama-se cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo à razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Qualquer dessas razões, quaisquer que sejam os pontos tomados sobre OY, é constante e

denomina-se tangente.

Representa-se a tangente de um ângulo, por exemplo, do ângulo A da seguinte forma:

tg Â ou tg(A)

Obs.: como tangente, em inglês, é tangent, nas calculadoras e em alguns aplicativos

(como o Excel) expressamos como tan(A).

Observações:

1) O valor do seno, o valor do cosseno e também o da tangente, por ser uma razão

entre duas grandezas, são números puros (ou seja, sem unidade).

2) Como a hipotenusa é sempre maior do que qualquer cateto, tanto o seno como o

cosseno de um ângulo agudo são sempre menores do que 1.

3) A tangente de um ângulo agudo pode assumir qualquer valor positivo do

conjunto dos reais.

Exemplo:

Luiz possui um terreno em forma de trapézio, que pretende cercar com tela de arame.

Chama-se tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo à razão entre a

medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente a esse

ângulo.

Calcule x, y e o perímetro do terreno.

tg(70°) = =

Consultando a tabela, temos que a tg(70°) = 2,7475 2,75

2,75 = x = 35,75 m

Cos (70°) = =

Consultando a tabela, temos que a cos(70°) = 0,3420 0,34

0,34 = y = 38,24m

Então o perímetro é igual a 60 + 38,24 + 47 + 35,75 = 180,99

Logo, Luiz precisará de, aproximadamente, 181 m de tela para cercar o terreno.

Exemplo:

Dado o triângulo abaixo, determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B.

Resolução:

Um pouco de história

Segundo (ANDRINI, 2002, p. 206), “As razões: tangente, seno e cosseno de um ângulo

são chamadas Razões Trigonométricas. A palavra “ trigonometria” vem do grego:

Trígono = três ângulos

Metria = medida

Não quer dizer por isso, que os gregos descobriram essas relações. Como quase tudo em

matemática, a trigonometria não teve um inventor. Outros povos, além dos gregos, como

por exemplo, os egípcios, babilônios, hindus e árabes, durante séculos investigaram e

aplicaram essas razões para resolver problemas.”

6.3.4. Cálculo dos lados de um triângulo retângulo

Objetivo

Calcular os lados de um triângulo retângulo usando os valores do seno, cosseno e

tangente de um ângulo.

Consideremos o triângulo ABC da figura abaixo:

Da definição de seno de um ângulo agudo, temos:

Com esses resultados, temos o teorema:

De maneira análoga, calculando o cosseno de B e C, obtemos:

Num triangulo retângulo cada cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pelo seno do ângulo oposto.

Então o teorema resultante é:

Determinando agora a tangente de B e C, resulta:

O que nos fornece o teorema:

6.3.5. Relação fundamental da trigonometria:

Objetivo

Determinar a relação fundamental da trigonometria.

Calcular seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis.

Na definição de seno e cosseno de um ângulo, por exemplo, do ângulo B obtemos as

seguintes relações;

Representamos esses valores na figura abaixo:

Num triângulo retângulo cada cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pelo cosseno do ângulo adjacente.

Num triângulo retângulo cada cateto é igual ao produto de sua tangente pela medida do outro cateto.

Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos:

a2 = b2 + c2

Dividindo ambos os membros por a2, teremos;

Invertendo a ordem dos membros. Resulta:

Como B pode ser um ângulo agudo qualquer (entre 0º e 90º), pode-se generalizar para

um ângulo agudo x, assim:

Essa é a denominada Lei Fundamental da Trigonometria.

Os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos de 0º a 90º encontram-se em tabelas

ou podem ser determinados usando calculadoras ou aplicativos. Segue abaixo uma

tabela dos valores mais usados (com três casas decimais):

Ângulos Seno Cosseno Tangente

0º 0 1 0

30º 0,500 0,866 ( ) 0,577 ( )

45º 0,707 ( ) 0,707 ( ) 1

60º 0,866 ( ) 0,500 1,732 0,866 ( )

90º 1 0 indeterminado

Exemplos:

Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 24 cm e o ângulo

agudo B mede 30º.

Resolução:

Como

b = 24 x sen(30º) = 24 X 0,5 = 12 cm

Como

c = 24 x cos(30º) = 24 X 0,866 ≈ 20,78 cm

Logo, os catetos são: b = 12 cm e c ≈ 20,78 cm.

6.4. Aplicações dos triângulos retângulos na Engenharia

Objetivo

Resolver problemas aplicados à Engenharia.

Retângulo áureo

Um pouco de história

Segundo (BELUSSI, 2005, P. 1-3):

[. . .] O número de ouro não é mais do que um valor numérico

cujo valor aproximado 1,618.

Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da

harmonia. A escola grega de Pitágoras estudou e observaram

muitas relações e modelos numéricos que apareciam na

natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas

provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina

ou proporção divina [...].

[...] Construído há muitas centenas de anos depois, por volta de 447 e

433 a.C., o Partenon Grego, templo representativo do século de

Péricles contém a razão de Ouro no retângulo que contém a

fachada, o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e

harmoniosa. [...]

Definição

Vamos mostrar como se constrói o retângulo áureo com régua e compasso:

Um retângulo é áureo quando o maior de

seus lados for igual ao menor multiplicado

por (≈ 1,618) .

Primeiro desenhamos o quadrado ABCD de lado l (figura 1). Em seguida marcamos o

ponto M que é a metade de AD, logo AM = MD = , usando o compasso, com centro em M

e comprimento MC, traçamos um arco até encontrar o ponto N no prolongamento de AD

(figura 2). Agora basta completar o retângulo DCEN com DN = CE (figura 3). O retângulo

ABEN formado é um retângulo áureo.

Agora vamos mostrar algebricamente, com uso do teorema de Pitágoras, como é

determinado o retângulo áureo. O objetivo será mostrar, pela definição, que o lado maior

AN (ou BE) é igual ao lado menor EN (ou ab) multiplicado por .

Com base na figura 3, considerando-se como l o lado do quadrado, vamos aplicar o

teorema de Pitágoras no triângulo retângulo M.D.C., obtendo-se:

MC2 = CD2 + MD2 como CD = l e MD = , substituindo, teremos:

MC2 = MC =

Pela figura vemos que MN = MC, logo o lado AN do retângulo maior será:

AN = AM + MN = C.Q.D.

Dimensionamento de telhados

O conhecimento das relações métricas no triângulo retângulo pode ser aplicado no

dimensionamento de uma tesoura de telhado.

Exemplo

a) Dimensionar as vigas de um telhado sabendo-se que a casa tem largura de 10 m e vai

ser coberto com telhas francesas (inclinação de 40 %), veja a figura abaixo:

A viga AC deve ter o mesmo comprimento de CB, para duas terem a mesma inclinação,

com isso temos que AM = MB = = 5 m.

Como a inclinação é 40% (ou 0,40) temos:

Temos agora que determinar as vigas AC e CB, que são iguais. Usando o teorema de

Pitágoras, obtemos:

AC2 = AM2 + CM2

Da mesma maneira podem ser determinadas as medidas das vigas restantes, sabendo-se

AE é a metade de AM e MG é a metade de MB.

Esses cálculos vão ficar por sua conta, mãos às obras!

(r: DE = FG = 1 m e DM = MF ≈ 2,69 m )

b) Com base na estrutura de telhado, feita com barras de ferro, da figura abaixo, qual

deve ser a medida de x em metros?

10 m

B

D

C

F

GE MA

Portanto, usando o teorema de Pitágoras:

42 = x2 + (3,2)2

16 = x2 + 10,24

x2 = 16 – 10,24 = 2,4m

c) Barras de reforço foram colocadas na estrutura mostrada na figura baixo, formando

um ângulo reto nos lados AB e AC.

i) Qual é a medida dessas barras?

Agora usaremos as relações métricas:

y é a medida da altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo DCA.

Sabemos que x = c = 2,4 e que o lado AC que chamaremos de a = 4, e o lado DC

chamaremos de b = 3,2.

Vimos que: a.h = b. c, neste problema: a.y = b.c

Então: 4.y = 2,4. 3,2

y = = 1,92m.

4

,

x

A

CD 3,2B

A

C

4m

4 mm

x

3,2 3,2D

ii) A que distância do ponto C a barra de reforço foi fixada?

Usando a relação: c2 = am, 2,42 = 4 . m m = m = 1,44m

Exercícios

1) Um fazendeiro quer colocar uma tábua em diagonal na sua porteira. Qual é

o comprimento dessa tábua, se a folha da porteira mede 1,2m por 1,6m? (r: 2 m).

2) Calcule o comprimento x na estrutura de telhado conforme figura abaixo:

(r: 3,03 m).

h = 40 cm

Lado BC mede 6m

Vamos agora para nossa última unidade!

B

A

C

x40 cm

6m

Matemática Elementar Unidade VII

Unidade VII - Regra de três Simples e Composta.

Problematizando

1) Quais são os termos de uma razão?

2) Qual a propriedade fundamental da proporção?

3) Como resolver problemas que abordam regra de três simples e composta?

4) O que são grandezas proporcionais?

7.1. Razão entre dois números:

Objetivos

Construir o conceito de razão entre dois números.

Identificar os termos de uma razão.

Determinar a razão entre dois números.


Segundo (FERRAZ, 2002, p. 1), “a palavra razão vem do latim ratio, que quer dizer

divisão. Vários conceitos de razão foram sendo apresentados por matemáticos gregos.

Euclides (325 a.C. – 265 a.C.) que viveu em Alexandria na primeira metade do século III

a.C., defendia a idéia de que “razão” era a relação de tamanho entre grandezas de mesma

espécie. No entanto, esse ponto de vista está atrelado apenas a aspectos teóricos do

conceito de número, sendo utilizado apenas como instrumento de cálculo. Foi somente

no século XV que matemáticos italianos, como Luca Pacioli (1445 – 1514), conseguiram

atribuir às “razões” outras aplicações práticas.

Vamos pensar em algumas estratégias de desenvolvimento do ensino e aprendizagem

sobre razões em sala de aula. Antes de iniciarmos matematicamente o conceito de razão

é importante mostrar aos alunos que podemos relacionar quantidades comparando-as e

que, a partir desta relação, obteremos uma divisão. E a essa divisão daremos o nome de

razão. Para que, ao final de todo o processo, ele seja construtor de seu próprio

conhecimento.”

Exemplos

1. Inicie com algumas situações – problema:

a) Comece utilizando exemplos em sala de aula, relacionando quantidades que para

o aluno são muito concretas. Assim: Observe o número de alunos em sua sala.

Você pode relacioná-los, criando diversos momentos de aprendizagem e

interação entre eles. Por exemplo: “Em nossa sala tem 35 alunos, 12 entre estes

alunos são meninas.” Esta situação expressa uma razão entre 12 e 35, ou seja,

12:35 ou , a razão entre o número de meninas e o total de alunos. É comum

nesta idade os alunos usarem aparelhos dentários. Conte estes alunos e faça a

razão entre eles e o resto da turma. Também podemos trabalhar com estes

alunos utilizando o computador, perguntando-os quantos tem computador em

casa e quantos não tem. E a partir destas respostas fazer todas as razões entre

estas quantidades.

b) Utilize também fatos concretos, como jogo de futebol que os meninos adoram:

Tome um clássico que tenha acontecido durante o final de semana, como

Flamengo e Fluminense. Suponhamos que nesta partida tenham sido feitos 5 gols,

dos quais 4 eram do Flamengo e 1 do Fluminense. A razão entre os gols do

Flamengo será e do Fluminense .

c) A revista Superinteressante, de março de 2006, afirma que nas proximidades da

costa de Guarapari, Espírito Santo, na ilha de Escalvada, o número de andorinhas

do mar, em 2004, era de 8000 e em 2005, passou para 15000.

Escrevendo na forma fracionária a razão entre o número de andorinhas que pousaram

em Guarapari em 2004, e, em 2005, temos:

Em 2005, pousaram 15000 andorinhas.

Em 2004, pousaram 8000 andorinhas.

Na forma fracionária, temos a razão entre 15000:8000 ou ou ainda 1,875.

Aqui foi feita uma análise relativa ao número de andorinhas do mar que pousaram em

uma determinada região nos anos de 2004 e 2005, o que expressa, também, uma razão.

A melhor maneira de definir é fazer com que o aluno primeiramente concretize. Assim

depois que todos tenham compreendido o processo, podemos dizer que quando

comparamos duas quantidades ou duas medidas por meio de uma divisão, o quociente

assim obtido é chamado de razão. A sugestão é a de escrever o conceito de razão em

uma linguagem matemática:

Observação:

Equivalente: Que equivale, o que é igual no valor, no peso ou na forma, conceito que

utilizamos para comparar frações.

2. Podemos também fazer o uso de figuras geométricas, vejamos:

A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente de a ÷ b,

que pode ser indicado por ou qualquer outra forma equivalente.

De acordo com estas figuras, peça aos alunos que observem bem as formas

geométricas, e classifique-as de acordo com a quantidade de lados, registrando a

resposta.

2 de três lados;

1 de oito lados;

3 de quatro lados;

1 de cinco lados;

1 de seis lados.

Em seguida, poderá ser solicitado ao aluno que realize outras atividades, como por

exemplo:

Compare a quantidade de figuras geométricas, informando o que está sendo

solicitado a seguir:

a) Quantidade de pentágonos em relação a quantidade de triângulos.

(r: 1/2)

b) Quantidade de triângulos e o total de figuras. (r: 2/8)

c) Quantidade de pentágonos e de regiões de quadriláteros. (r: 1/3)

d) Quantidade de regiões triangulares e de regiões de quadriláteros. (r:

2/3)

3. Também podemos introduzir o conteúdo de razão trazendo para a sala de aula

algumas propagandas, recortes de jornais ou reportagens que falem sobre o

cotidiano dos alunos:

a) 9 entre 10 jovens tomam Coca-cola;

b) Do total de 30 canais de televisão, apenas dois já entraram na era digital, isto é,

2/30 estão na era digital;

c) Discutindo assuntos polêmicos, como por exemplo: o índice de meninas grávidas

na adolescência. “Cerca de uma em cada cinco gestações ocorrem com meninas

menores de 20 anos, ou seja, a razão entre adolescentes grávidas com idade

inferior a vinte anos e todas as outras mulheres grávidas é de 1/5.”

4. Podemos também, iniciar a abordagem deste conteúdo comparando figuras. Veja

a sugestão:

No dia anterior à aula, peça aos alunos, como tarefa de casa, que peguem uma

foto 3/4 e tirem xerox da mesma, ampliando-a 2 vezes. Eles deverão trazer duas

fotos para a aula seguinte.

A partir das fotos, peça que analisem se ocorreu alguma alteração em relação a

composição da imagem de cada um. Em seguida, observem se todos os traços

ampliados têm a mesma razão. Para isso, escolha um determinado traço na figura

pequena e os mesmos pontos na figura grande. Repita este procedimento várias

vezes. Se a razão se mantiver, é porque as figuras são proporcionais.

Cabe a você, professor, dizer a eles que mesmo as fotos serem de tamanhos

diferentes, as imagens correspondentes às mesmas se mantiveram com

dimensões proporcionais, ou seja, que quando se observa este fato diz-se que as

imagens são proporcionais ou que há proporcionalidade entre as dimensões.

Assim você fará uma breve introdução sobre o próximo assunto que iremos

abordar.

Os alunos farão diferentes tipos de registros. Somente após o término desta atividade é

que o professor poderá indicar a forma correta de expressar a “razão”, nomeando seus

termos. Vejamos:

Os termos de uma razão recebem nomes especiais. Veja na “razão” , o

número 3 é chamado de antecedente, e o número 20 de consequente.

Lê-se: “3 está para 20”.

7.2. Proporção

Objetivos

Construir o conceito de proporção.

Identificar os termos de uma proporção.


Segundo (FERRAZ, 2004, p. 1), “a palavra proporção vem do latim proportione e

significa uma relação entre as partes de uma grandeza. A idéia de proporção é muito

antiga. Euclides expõe a teoria das proporções no quinto livro da sua obra Elementos. Já

no século XV, o matemático árabe Al – Kalsadi utilizou o símbolo (...) para indicar as

proporções e, em 1537, o italiano Niccolo Fontana de Brescia (1499 – Venecia, 1557),

conhecido como Tartaglia, escreveu uma proporção na forma 6\\3\\8\\4. Foram os

matemáticos italianos que divulgaram o emprego das proporções durante o período do

Renascimento.”

Fique por dentro...

Você sabia????

Segundo (PAULA, 2007, p. 56) “ Tartaglia significa GAGO? E que Niccolo

Fontana recebeu este apelido por sua dificuldade em falar, pois ele foi

gravemente ferido com golpes na cabeça e na face durante um saque na

Brescia (sua cidade de origem) por tropas francesas.”

O conceito de proporção está atrelado ao conceito de razão. Vamos retomar estes

conceitos com algumas aplicabilidades discutindo algumas formas de ensinar este

conteúdo.

Podemos introduzir a idéia de proporção, após ter trabalhado bem o conceito de razão.

Para ilustrar esta idéia, iniciaremos nossos estudos apropriando novamente da

Geometria. Observe os seguintes retângulos:

Retângulo 1:

Retângulo 2:

Vamos analisar e responder as seguintes perguntas:

a) Qual a medida das dimensões do retângulo (altura e comprimento)? Expresse a

medida em unidades (u). (r: Retângulo 1: altura 3 u e comprimento 5 u, retângulo

2: altura 6 u e comprimento 10 u)

b) Qual a razão entre a medida da altura do retângulo menor e a medida do

retângulo maior? E do comprimento? (r: 3/6 e 5/10)

c) Observe as razões obtidas entre a altura e o comprimento do retângulo. O que

você conclui? (r: Que são iguais.)

Quando duas razões são iguais, elas formam uma proporção. Logo, baseados no que

acabamos de fazer , ou seja, a razão entra a altura e o comprimento dos

retângulos, são iguais. Então podemos dizer que, os retângulos são proporcionais.

7.2.1. Propriedade Fundamental das Proporções:

Objetivos

Reconhecer a propriedade fundamental das proporções.

Identificar grandezas proporcionais.

Determinar a razão entre grandezas..

De modo geral, em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos

extremos e vice-versa. Simbolicamente:

Formalizando...

Se duas razões são iguais elas formam uma proporção.

Se a razão entre os números a e b, c e d é a mesma, ou seja, e

,dizemos que a igualdade é uma proporção.

Os números a, b, c, d que formam uma proporção, são denominados termos

da proporção, onde a e d são os extremos e b e c são os meios.

Indica-se por e lê-se “a” está para “b”, assim como, “c” está para “d ”.

Curiosidade:

Em se tratando desta propriedade de proporção, os alunos sempre cometem o erro de

usar o termo “multiplicar cruzado”.

Algebricamente, temos

Se os denominadores são iguais, resta aos numeradores serem iguais. Daí vem que a.d =

b.c.

Vamos praticar...

1) Em um estojo há 21 canetas. A razão entre o número de canetas azuis para

o número de canetas vermelhas é de 3 para 4. Pergunta-se: quantas

canetas azuis e quantas canetas vermelhas há no estojo? (r: 9 azuis e 12

vermelhas)

2) José e Eduardo colecionam figurinhas e a diferença entre a quantidade de

figurinhas de José para Eduardo é de 200 figurinhas. A razão entre a

quantidade de figurinhas de José e Eduardo é de 7 para 5. Calcule a

quantidade de figurinhas de cada um. (r: José e Eduardo têm 700 e 500

figurinhas respectivamente)

7.2.2. Grandezas Proporcionais:

Você já parou pra pensar sobre o que é uma grandeza?

É tudo aquilo que pode ser medido ou contado, como massa, peso, comprimento, tempo,

temperatura, idade, preço etc.

Antes de formalizarmos os conceitos, observe e analise os seguintes exemplos:

a) Se você gasta 1 litro de gasolina para percorrer 2 km, quanto você gastará para

percorrer 1 km? Neste exemplo, a distância percorrida caiu pela metade, logo,

você reduzirá pela metade também, o consumo de gasolina.

b) Em uma papelaria cobram R$ 0.09 por página xerocada. Se eu xerocar 13 páginas,

quanto vai custar? Note que a cada página xerocada, tenho um custo de R$ 0.09,

ou seja, se eu xerocar uma página irá me custar R$ 0.09, duas R$ 0.18, três R$

0.27 e assim por diante. À medida que aumenta o número de páginas aumentará

o meu custo. Logo 13x0.09 = R$ 1.17.

c) Daniel gasta para pintar uma extensão de 3 metros quadrados, 5 litros de tinta.

Para pintar um quarto de 15 metros de área, quantos litros ele gastar? Preste

bastante atenção... Observe que a área a ser pintada triplicou de tamanho, logo

ele irá gastar três vezes o número de tinta...

De acordo com estes exemplos, o que você notou de semelhante entre eles? Qual a

relação entre as grandezas? Observamos que quando uma das grandezas dobra, triplica,

fica pela metade, etc., a outra grandeza também aumenta ou diminui na mesma

proporção.

Generalizando...

De forma análoga, observe estes exemplos:

a) Seis pedreiros levam 1 dia para construir um muro. Se diminuirmos o número de

pedreiros para 2, o muro ficará pronto em três dias. Ou seja, quanto maior o

número de pedreiros utilizados na construção do muro, menor o tempo gasto

para construção do mesmo.

b) Agora, veja e analise a tabela. O que acontece nas transições do primeiro para o

segundo termo? E do segundo para o terceiro?

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando,

aumentando/diminuindo uma delas, a outra aumenta/diminui na

mesma razão da primeira, ou seja, duas grandezas diretamente

proporcionais variam sempre na mesma razão.

1° termo 2° termo 3° termo

Velocidade Média (km/h) 30 60 15

Tempo (h) 2 1 4

Note que, enquanto a velocidade do 1° para o 2° termo é multiplicado por 2, o tempo é

dividido por 2. Já no 2° termo para o 3° termo, a velocidade é dividida por 4, enquanto o

tempo é multiplicado por 4.

Quando isto acontece dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais.

Generalizando...

7.3. Regra de três Simples e Composta.

Objetivos

Determinar a regra de três simples.

Resolver problemas que envolvem regra de três simples.

Um pouco de História...

Segundo (BALIELO, 2005, p.1), “na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a Regra

de Três. No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa ou Leonardo Pisano (1170 – 1250),

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando aumentando

uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira, ou seja, duas

grandezas inversamente proporcionais variam sempre na razão inversa

da outra.

que nasceu na cidade de Pisa, na Itália, difundiu os princípios da regra de três em seu

livro, Líber Abaci, com o nome de ‘Regra dos Três Números Conhecidos’.”

Curiosidade...

Por que o nome “Regra de Três”?

Porque você conhece três termos e quer descobrir o quarto.

7.3.1. Regra de Três Simples

É um processo prático para resolver problemas através de proporções utilizando duas

grandezas,...

Agora leia e analise a situação problema:

Num dia de sol, Janete e Paulo mediram suas sombras. Janete tem 165 cm de altura e

Paulo 180 cm. Sabendo que em um determinado horário, o comprimento da sombra de

Paulo era 60 cm, qual o comprimento da sombra de Janete no mesmo horário?

Como você resolveria este problema?

Levante os dados do problema e coloque estes dados em uma tabela com as grandezas

de mesma espécie na mesma coluna. Observe:

Altura Sombra

165 X

180 60

O que você pode notar em relação às grandezas?

Elas são diretamente proporcionais, pois à medida que a altura aumentar a sombra

também irá aumentar na mesma proporção.

Logo, temos que:

Então, pela propriedade fundamental das proporções:

180X = 60.125

X = 55 cm

Outro exemplo:

Uma torneira enche um tanque em 20 minutos, com uma vazão de 15 l/min. Se a

torneira diminuir a vazão para 5l/min., quantos minutos serão necessários para encher

o tanque?

De forma análoga ao exemplo anterior, vamos montar a tabela.

Tempo (min.) Vazão (l/min.)

20 15

X 5

Note que a medida que a vazão diminui o tempo irá aumentar na mesma proporção, logo

estas grandezas são inversamente proporcionais.

Para resolver este exercício, devemos inverter uma das razões da proporção. Assim:

Depois disso, aplicaremos a propriedade fundamental das proporções:

5.X= 20.15

X=60 min.

7.3.2. Regra de Três Composta

Objetivos

Determinar a regra de três composta.

Resolver problemas que envolvem regra de três composta.

De modo análogo a regra de três simples, a regra de três composta resolve situações-

problema que envolvam mais que duas grandezas, dos mais variados tipos. Nós só

conseguimos resolver estas situações-problema, se de duas em duas, as razões forem

proporcionais (inversamente ou diretamente).

Exemplo:

Em um prédio, 6 pintores pintam uma área de 300 m2 em 2 horas. Quantos pintores são

necessários para pintar uma área de 400 m2 em 1 hora?

Da mesma forma que nos exemplos de regra de três simples, levante os dados do

problema e coloque estes dados em uma tabela com as grandezas de mesma espécie na

mesma coluna.

Pintores Área Tempo

Importante: Compare cada grandeza com aquela que tem a variável.

6 300 2

X 400 1

Agora, analise as grandezas, duas a duas.

Primeiramente compare pintores com área. Se os 6 pintores pintam uma área de 300 m2,

então, aumentando a quantidade da área para 400 m2, vamos precisar de mais pintores.

Logo estas grandezas são diretamente proporcionais.

Vamos comparar agora, a grandeza pintores com a grandeza tempo, como fizemos

anteriormente, com a grandeza área.

É muito importante saber que a grandeza que tem a incógnita x é a que deve ser

comparada com as outras grandezas.

Comparando, então...

Utilizando 6 pintores gastaremos 2 horas, para gastar uma hora de pintura precisaremos

de mais pintores. Logo estas grandezas são inversamente proporcionais.

Neste caso devemos:

a) Inverter os valores da razão onde as grandezas são inversamente proporcionais

àquela que contém a incógnita e permanecer aquela que é diretamente

proporcional. Assim:

b) Igualar a razão que tem o termo x com o produto das outras razões:

Assim, serão necessários 16 pintores...

Vamos praticar...

1) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04

confeiteiros poderão fazer 320 tortas? (r: 6 dias)

2) Um muro é construído em 6 dias por 20 operários, trabalhando 9 horas por dia.

Em quantos dias 12 operários, trabalhando 5 horas por dia, podem fazer o muro?

(r: 18 dias)

3) Um ciclista percorre em média200 km em 2 dias, se pedalar durante 4 horas por

dia. Em quantos dias este ciclista percorrerá 500 km, se pedalar 5 horas por dia?

(r: 4 dias)

4) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kg de ração. Se

mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para

alimentá-los durante 12 dias. (r: 7260 kg)

5) Um grupo de jovens fabrica em 16 dias 320 colares de 1,20 m cada. Quantos

colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias? (r: 96 colares)

Pra final de conversa...

Chegamos ao fim da nossa disciplina!

Os tópicos abordados são muito importantes, pois como fazem parte de disciplinas do

ensino fundamental que são pré-requisitos daquelas que os alunos irão cursar

posteriormente.

Muitos assuntos abordados envolvem ocorrências do nosso cotidiano por isso

esperamos que os conhecimentos adquiridos fossem bem aplicados na sua vida.

Como essa é uma das primeiras disciplinas cursadas por você, esperamos que tenha

alcançado sucesso nas atividades e continue com empenho, bom aproveitamento e

dedicação a todas as disciplinas desse curso.

Almejamos seu sucesso no desenvolvimento de todas as atividades!!!

Referências

ANDRINI, A.; VASCONCELLOS, M. J. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil,

2002. p. 13.

BALIELO, D.F. & SODRÉ, U. Ensino fundamental: Aplicações das razões e proporções.

2004. Disponível em:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/razoes-

aplic.htm#m108b05. Acesso em: março de 2010.

BELUSSI. G. M.. et ali. Número de ouro. 2005. Disponível em:

http://www.mat.uel.br/geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf. Acesso em: 01/05/2010.

FERRAZ, H. Sistemas de Proporções Matemáticas. Revista Eletrônica de Ciências, nº

26, abr. 2004. Disponível em:

http://www.cdcc.usp.br/ciencia/artigos/art_26/proporcao.html. Acesso em: março de

2010.

GIOVANNI, J. R., GIOVANNI JUNIOR, J R. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo:

FTD, 2005..

GIOVANNI, J. R., CASTRUCCI, B., GIOVANNI JUNIOR, J. R., A conquista da matemática.

São Paulo: FTD, 1998.

OLIVEIRA, S. et AL. Páginas dos números primos. 2005. Disponível em:

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm12/Historia.htm. Acesso em: março de 2010.

PAULA, L. A interpretação geométrica dos números imaginários no século XIX: a

contribuição de Jean Robert Argand (1768-1822). 2007. 157 f. Dissertação

(Mestrado). - Instituto de Educação, Universidade Federal de Mato Grosso. Cuiabá, 2007.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm12/Historia.htm

http://www.cdcc.usp.br/ciencia/artigos/art_26/proporcao.html

http://www.mat.uel.br/geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf

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http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/razoes-aplic.htm#m108b05

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