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Sinais e Sistemas Série de Fourier
Renato Dourado Maia
Universidade Estadual de Montes Claros
Engenharia de Sistemas
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Introdução “A Série e a Integral de Fourier englobam um dos desenvolvimentos matemáticos mais produtivos e
bonitos, que funciona como instrumento para vários problemas na área da matemática, ciências e engenharia. Maxwell ficou tão admirado com a
beleza da Série de Fourier que ele a chamou de um grande poema matemático. Na Engenharia Elétrica,
ele é fundamental a áreas de comunicação, processamento de sinais, e diversas outras áreas,
incluindo antenas.”
LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares. Porto Alegre. Bookman, 2007. p. 544
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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Introdução A representação e a análise de sistemas LTI utili-
zando convolução é baseada em expressar sinais como uma combinação linear de impulsos deslo-cados e ponderados.
Agora, desenvolveremos a representação e análi-se de sistemas LTI expressando os sinais como u-ma combinação linear de exponenciais comple-xas.
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Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Introdução Veremos que se a entrada de um sistema LTI é
uma combinação linear de exponenciais comple-xas, a saída poderá ser expressa nessa mesma forma.
Veremos primeiro a análise para sinais periódi-cos, que resulta nas Séries de Fourier: somas ponderadas de exponenciais complexas harmoni-camente relacionadas.
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Introdução Em seguida, veremos a análise para sinais ape-
riódicos, que resulta nas Transformadas de Fou-rier: integrais ponderadas de exponenciais com-plexas não-harmonicamente relacionadas.
A análise não será mais feita no domínio do tempo, mas sim no domínio da frequência!
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Representações de Fourier para Sinais
Sinal Representação Sinal Contínuo Periódico Série de Fourier (FS) Sinal Discreto Periódico Série de Fourier Discreta (DTFS)
Sinal Contínuo Aperiódico Transformada de Fourier (FT) Sinal Discreto Aperiódico Transformada de Fourier Discreta (DTFT)
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Resposta a uma Exponencial Complexa Vamos analisar a resposta de um sistema LTI
contínuo a uma entrada exponencial complexa:
( ) , tsx t e é um número cos mplexo
Assim:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ts s sty t h x t d h e d e h e d
Tomando ( ) ( ) sH hs e d
=( ) ( ) tsy t H s e
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Resposta a uma Exponencial Complexa Vamos analisar a resposta de um sistema LTI
discreto a uma entrada exponencial complexa:
[ ] , nx n é um número comp oz z lex
Assim:
[ ] ( ) ny n H z z
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n k n k
k k k
zy n h k x n k h k h kz z
Tomando ( ) [ ] k
k
z zH h k
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Resposta a uma Exponencial Complexa Sintetizando
( ) , ( ) ( )s st tx t e é um número complexo y t H es s
[ ] , [ ] ( )n nx n é um número complexo y nz zHz z
Contínuo:
Discreto:
As exponenciais complexas são autofunções de sistemas LTI discretos e contínuos. H(z) e H(s), para valores específicos de “z” e “s”, são os autovalores associados às autofunções:
para uma entrada exponencial complexa, a saída é a mesma exponencial complexa, modificada pelo seu respectivo autovalor.
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Resposta a uma Exponencial Complexa Consideremos agora a seguinte entrada, para um sistema LTI:
= + + 31 2
31 2( ) s t t ss ta e ax e eat
O que se pode dizer sobre a saída?
→
→
→
1
3
2 2
3
1
2
3 3
1 1
2
3
1
2
( )
( )
( )
s st t
t
t s t
s s
s
t
e H e
e H
a a s
a a s
e
a
e
H e
a s
= + +1 2 3
31 321 2( ) ( ) ( ) ( )s st t tsa sy t H e H ea s esHa
14/04/2014 10/29
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Resposta a uma Exponencial Complexa Vamos generalizar o raciocínio:
( ) ( ) ( )
[ ] [ ] ( )
k kt t
k kk k
kn n
k kk k
s s
k
k
k
x t a y t a H e
x n a y n a H
e
z z
s
z
= → =
= → =
∑ ∑∑ ∑
O que há de interessante
nisso?
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Resposta a uma Exponencial Complexa De um modo geral, as variáveis s e z podem ser
um número complexo geral. Todavia, a análise de Fourier envolve restrições nessas variáveis:
Para o tempo contínuo, o interesse está em valores pu-ramente imaginários:
Para o tempo discreto, o interesse está em valores de magnitude unitária:
( ) , , ( ) ts j tsx t e j x t e
[ ] , , [ ]n j j nx n z ez x n e
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Quando um sinal contínuo é periódico?
Um sinal contínuo é periódico se existe uma constante positiva T, tal que:
( ) ( ), x t x t T t
O MENOR VALOR PARA T QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL – T0.
00
00
1: ( )
2: ( )
f frequência fundamental de x t em hertz
frequência fundamental de x t em radianos por segundo
T
T
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) O sinal é periódico, com frequência fun-
damental e período fundamental . Tal como já vimos, o conjunto de harmônicas é:
0( ) j tx t e
0
002T
0( ) , 0, 1, 2,...jk t
kt e k
Como as harmônicas possuem frequências que são múltiplas da frequência fundamental, elas também são periódicas com período
T0. Então, uma combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas também resultará num sinal
periódico com período T0.
0
0( ) , jk t
kk
x t a e é um sinal periódico com p Teríodo
Vejamos uma animação em Java...
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Sinais Contínuos Periódicos (FS)
0
0( ) , jk t
kk
x t a e é um sinal periódico com p Teríodo
1 ( )
2
k componentes fundamentais primeira harmônica
k componentes da segunda harmônica
k N componentes da enésima harmônica
Representação em Série de Fourier para um sinal contínuo periódico: Forma Exponencial
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Sinais Contínuos Periódicos (FS)
0
31 12
3 2 2
3 3
1
1 4( )
1 2
1 3
jk tk
k
a
a ax t a e
a a
a a
Exemplo: Script em Matlab – M_10_SerieFourierProg1.m
Desenvolvendo o somatório, reorganizando os termos, e utilizando a relação de Euler:
2 2 4 4 6 61 1 1( ) 1 ( ) ( ) ( )
4 2 3j t j t j t j t j t j tx t e e e e e e
1 2( ) 1 cos2 cos 4 cos6
2 3x t t t t
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50
0.5
1
1.5
2
Tempo (t)
x0(t) = 1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5
0
0.5
Tempo (t)
x1(t) = (1/2)cos(2πt)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo (t)
x2(t) = cos(4πt)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo (t)
x3(t) = (2/3)cos(6πt)
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50.5
1
1.5
Tempo (t)
x0(t) + x1(t)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1
0
1
2
3
Tempo (t)
x0(t) + x1(t) + x2(t)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2
0
2
4
Tempo (t)
x0(t) + x1(t) + x2(t) + x3(t)
14/04/2014 18/29
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo
1 2( ) 1 cos2 cos 4 cos6
2 3x t t t t
Esse resultado é um exemplo de uma forma alternativa da Série de Fourier, aplicável para sinais contínuos periódicos reais.
Vamos considerar um sinal periódico contínuo real:
0 0( ) ( )jk t jk t
k kk k
x t a e x t a e
Assim: 0( ) jk t
kk
x t a e
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo
0( ) jk t
kk
x t a e
0( ) jk t
kk
x t a e
Trocando k por -k
0 0( ) jk t jk t
k kk k
x t a e a e
Para sinais contínuos periódicos reais: k k
a a∗−=
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Vamos derivar as formas alternativas da Série de Fourier para
sinais contínuos periódicos reais:
ω ω ω+∞ +∞
−−
=−∞ =
= = + +∑ ∑0 0 0
01
( ) [ ]jk t jk t jk t
k k kk k
x t a e a a e a e
−=*
k ka a
ω ω ω+∞ +∞
−
=−∞ =
= = + +∑ ∑0 0 0*0
1
( ) [ ]k
jk t jk t jk t
k kk k
x t a e a a e a e
SOMA DE COMPLEXOS CONJUGADOS
ω+∞
=
= + ∑ 0
01
( ) 2 { }jk t
kk
x t a Real a e
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) ω
+∞
=
= + ∑ 0
01
( ) 2 { }jk t
kk
x t a Real a e
θω+∞
+
=
= + ∑ 0( )
01
( ) 2 { }kj k t
kk
x t a Real Ae
θω+∞
=
= + +∑01
0( ) 2 cos( )
kk k
x k tAt a
Representação em Série de Fourier para um sinal contínuo periódico real: Forma Trigonométrica Compacta.
θ= k
k
j
ka eA
(Forma Polar)
14/04/2014 22/29
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Sinais Contínuos Periódicos (FS)
ω+∞
=
= + ∑ 0
01
( ) 2 { }jk t
kk
x t a Real a e
ω ω+∞
=
= + −∑1
00 0( ) 2 [ cos( ) sen( )]
kk k
x t a k t k tB C
Representação em Série de Fourier para um sinal contínuo periódico real: Forma Trigonométrica.
= +kk k
Ba jC(Forma Retangular)
14/04/2014 23/29
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Formas da FS para Sinais Contínuos Periódicos Reais:
ω+∞
=−∞
= ∑ 0( ) jk t
kk
x t a e
θω+∞
=
= + +∑01
0( ) 2 cos( )
kk k
x k tAt a
ω ω+∞
=
= + −∑1
00 0( ) 2 [ cos( ) sen( )]
kk k
x t a k t k tB C
Forma Exponencial
Forma Trigonométrica Compacta
Forma Trigonométrica
14/04/2014 24/29
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) MAS COMO CALCULAR OS COEFICIENTES DA FS?
... contas, contas, contas ... (faremos depois!)
ω−= ∫ 0
00
1( ) jk t
Tka x t e
Tdt
14/04/2014 25/29
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) FS de um Sinal Periódico Contínuo
ω
ω
+∞
=−∞
−
=
=
∑
∫
0
0
00
( )
1( )
jk t
kk
jk t
k T
x t a e
a eT
x t dt
Equação de Síntese
Equação de Análise
{ } → k
a coeficientes da Série de Fourier ou coeficientes espectrais
Quantificam a contribuição de cada harmônica.
0a Corresponde ao valor médio sobre um período e é
chamado de componente DC.
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo
ω=0
( ) sen( )x t t
ω ωω −= = −0 0
0
1 1( ) sen( )
2 2j t j tx t t e e
j jRelação de Euler:
−
=
= −
= ≠ ≠ −
1
1
12
12
0, 1 1k
aj
aj
a k e k
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo: Script em Matlab – M_10_SerieFourierProg2.m
ω ω πω= + + + +0 0 0
( ) 1 sen( ) 2 cos( ) cos(2 4)x t t t t
Aplicando-se a Relação de Euler:
Como os coeficientes da FS são números complexos, eles podem também ser expressos na forma polar – módulo e fase.
−
=
= −
= +
0
1
1
1
11
21
12
a
a j
a j
−
= +
= −
= >
2
2
2(1 )
42
(1 )4
0, 2k
a j
a j
a k
14/04/2014 28/29
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Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
k
|ak|
Coeficientes Apresentados na Forma Módulo e Fase
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1
-0.5
0
0.5
1
k
∠ a
k
14/04/2014 29/29