Exercıcios Resolvidos - 5o. Tarefa

1 de abril de 2013

Questao 3 Demonstre que a posicao, a velocidade e a aceleracao de uma partıcula que realiza um mo-vimento harmonico simples podem ser representadas pela projecao de vetores girantes. Neste caso, qual arelacao entre a velocidade angular do vetor girante e a frequencia angular do movimento oscilatorio?

Solucao

obs: No referencial considerado, usaremos ~A = Ai

Considerando um vetor girante sobre o ponto de equilıbrio do MHS(x = 0), podemos es-crever que, num instante qualquer em que o vetor faz um angulo de θ com o eixo x,sempremedido no sentido trigonometrico a partir do primeiro quadrante, a projecao horizontal daponta do vetor e

~x = ~A cos θ = ~A cos (ωt+ φ0)

pois do MCU temos θ = ωt+φ0, onde φ0 e o angulo inicial do movimento do vetor. Derivandoessa equacao, e em seguida derivando novamente o resultado, chegamos a

d~x

dt= ~v = − ~Aω sin (ωt+ φ0)

d~v

dt= ~a = − ~Aω2 cos (ωt+ φ0)

Assim, verificamos que a projecao da ponta do vetor se comporta como uma partıcula em MHS,sendo que a frequencia angular do movimento e a mesma do vetor, pois so uma vez a cadavolta do vetor a projecao tera a mesma posicao,velocidade e aceleracao que uma certa posicaona volta anterior.

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