Telma Cristhina

Teorema de Lagrange

Biografia

• Joseph Louis Lagrange

Biografia

Turim, 25 de janeiro de 1736.

Biografia

Aos 16 anos de idade,

Lagrange, já estava se

dedicando à matemática. A

dedicação foi grande e

começou após ter

conhecido um trabalho feito

por Edmond Halley

(Haggerston, 08/11/1656-

Greenwich, 14/01/1742, o

matemático e astrônomo

britânico, o descobridor do

cometa).

Biografia Em 1754, com 18 anos, escreveu o seu

primeiro trabalho científico.

Com 19 anos, ou seja, em 1755, começou a atuar profissionalmente como professor de matemática na Escola Real de Artilharia, na sua terra natal, Turin. Ele ficou nesta escola até 1766.

Começou lecionando Geometria, mas, posteriormente, dadas as suas intensas pesquisas matemáticas em trabalhos escritos por matemáticos conhecidos como:

Biografia Isaac Newton (Woolsthorpe-by-

Colsterworth, 4 de janeiro de 1643 (no

calendário Gregoriano) —Londres, 31 de

março de 1727).

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Gottfried Wilhelm von Leipzig (Leipzig, 1 de

julho de 1646 — Hanôver, 14 de novembro de

1716)

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Daniel Bern (Groningen, 8 de fevereiro de

1700 — Basileia, 17 de março de 1782)

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Leonard Euler (Basiléia, Suíça 15 de abril

de 1707, e morreu em São Petersburgo 18 de

setembro de 1783).

Biografia O seu domínio sobre Análise

Matemática acabou o credenciando a fazer análises e avaliações de alguns desses trabalhos. Tanto que, aos 23 anos, ele pegou um trabalho de Isaac Newton e aplicou cálculos integrais à teoria das probabilidades.

Ele e outros intelectuais formaram uma produtiva sociedade científica que, inclusive, fundou a Academia de Ciências de Turin.

Castelo e Vila Medieval de Turin

Biografia Em 02 de outubro de 1759, não só foi

convidado a participar do quadro de

membros estrangeiros da Academia

Prussiana de Ciências, em Berlim, assim

como organizou o primeiro volume das

memórias concernentes à referida

academia.

Biografia

No caso, um registro interessante é o de que

sua indicação à Academia foi feita

por Euler e d'Alembert, pois eles já conheciam o

enorme potencial de Lagrange.

Biografia Em 1761, Lagrange, já era tido como um dos

maiores matemáticos da época, por isso foi indicado para substituir Euler na Academia Pussiana de Ciências (Berlim, em 1766).

Em 1762, a conceituada Academia de Ciências de Paris abriu um prêmio aos cientistas objetivando a explicação de como se poderia ver um pouco mais de cinquenta por cento da superfície da lua se esta se move desde seu eixo enquanto gira ao redor da Terra. Lagrange foi o vencedor. O resultado foi dado após dois anos de análises feitas pela comissão de estudos científicos dos trabalhos apresentados, isto é, em 1764 aos 28 anos.

Biografia

Dois anos depois, em 1766, a mesma academia

lançou um outro troféu para quem explicasse

matematicamente sobre as órbitas das luas

de Júpiter. Novamente, Lagrange venceu.

Biografia No ano de 1788, aos 52 anos, é publicada sua

grande obra Méchanique analytique (Mecânica

analítca) em Paris. Nesta obra, ele resumiu todos os

feitos sobre mecânica, desde a época de

Newton, transformando a mecânica em um ramo da

análise matemática, usando a teoria das equações

diferenciais.

Biografia Diz ele na abertura de seu livro: “Nenhum diagrama

(desenho) será visto neste trabalho”, e acrescenta que “a ciência da mecânica pode ser considerada como a geometria de um espaço com quatro dimensões – três coordenadas cartesianas e um tempo-coordenada, suficientes para localizar uma partícula móvel tanto no espaço quanto no tempo”.

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Além deste hove outros grandes trabalhos,os que

foram vencedores na Académie des Sciences de

Paris, nos anos de 1772, 1774 e 1778. No prêmio

de 72, por exemplo, ele descobriu cinco pontos

de equilíbrio especiais nas proximidades de duas

massas em órbita, são os chamados pontos de

Lagrange (correspondem a pontos especiais de

equilíbrio dentro da geometria das órbitas dos

satélites).

Biografia

Em 1794, foi indicado para a Escola Politécnica

(em francês, École Polytechnique), Lagrange, foi

o planejador do curso de matemática e primeiro

professor.

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Dessa época tem-se o trabalho intitulado

“Teoria das funções analíticas”, fruto das

anotações de suas aulas.

Biografia

Ele também contribuiu bastante com o seu

estudo sobre Cálculo das Variações, pois, graças

a esta sua teoria, vários problemas sobre

isometria foram solucionados.

Ainda dentro de suas contribuições não se

poderia deixar de citar também a dada à Teoria

dos Números, onde ele demonstra inclusive que

todo inteiro positivo é a soma de no máximo

quatro quadrados perfeitos.

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Lagrange faleceu aos 76 anos, no dia 10 de abril

de 1813. Ele está enterrado no Panthéon e seu

nome consta na relação de 72 nomes ilustres na

famosa Torre Eiffel.

Teorema de Lagrange

Teorema do Valor Médio afirma

que: se f contínua em [a, b] e

derivável em ]a, b[ então existirá pelo

menos um ponto c em ]a,b[ tal que :

Teorema de Lagrange

Demonstração

Seja f uma função definida em [a,b].

Consideremos a função S dada por:

Teorema de Lagrange

O gráfico de S é a reta que passando pelos pontos

((a, f(a)) e (b,f(b)).

g(x)

a b

f S

Teorema de Lagrange

Na demonstração do TVM iremos utilizar a função

dada por

Observe que

Teorema de Lagrange

Como g é contínua em [a,b]; derivável em ]a,b[ e

g(a) = g(b), pelo teorema de Roller que diz:

Se f for contínua em [a,b], derivável em ]a,b[ e

f(a) = f(b), então existirá pelo menos um c em ]a,b[

tal que f’(c)=0.

a c b

Teorema de Lagrange

Temos:

Assim

Daí,

Portanto

Teorema de Lagrange

Geometricamente, isto significa que

a tangente ao gráfico de f no ponto de

abcissa c é paralela à secante que passa pelos

pontos de abcissas a e b.

Aplicação do Teorema de Lagrange

O Teorema do Valor Médio também tem uma interpretação em termos físicos: se um objeto está em movimento e se a sua velocidade média

é v, então, durante esse percurso

(intervalo [a,b]), há um instante (ponto c) em que a velocidade instantânea

também é v .