TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA Ana Isabel Cebola Inês Silva Liliana Nogueira Raquel Santos.

TEORIA DA PARTILHA

EQUILIBRADAAna Isabel Cebola

Inês Silva

Liliana Nogueira

Raquel Santos

Teoria da partilha equilibrada

Caso contínuo

Caso misto

Caso discreto

Caso Contínuo:O objecto em causa pode ser dividido em partes, por

exemplo, o tempo, a terra, o dinheiro, a areia, um bolo ou uma pizza.

Método do Divisor Selector

Método do Divisor Único

Método do Selector Único

Método do Último a Diminuir

Método da Faca Deslizante

Estes são métodos de partilha justa.

No geral, um problema de divisão justa consiste em n indivíduos, chamados jogadores, a quem

nós fazemos corresponder os números 1, 2, …, i, …, n-1, n. Eles devem dividir um conjunto S de ganhos (ou perdas) em n partes distintas S1, S2,

…, Si, …, Sn-1, Sn. O objectivo é encontrar

subconjuntos Si tais que cada pessoa i considere

a sua parte recebida (Si) justa no seu sistema de

valores pessoal.

Hmm… Deve haver uma maneira melhor

de dividir um bolo…?

É meu!

MétodoMétodo do do Divisor-SelectorDivisor-Selector

A técnica para dividir um objecto S de uma maneira justa entre dois jogadores 1 e 2 é “um corta, o outro escolhe”:

O jogador 1 divide o conjunto S em duas partes, S1 e S2;

O jogador 2 escolhe uma das peças, S1 ou S2;

O jogador 1 fica com a parte não escolhida pelo jogador 2.

É comum lançar uma moeda ao ar no início para decidir qual dos jogadores será o cortador.

Exemplo: A Rita e a Sofia querem dividir um bolo de chocolate e amêndoa.

A Rita não tem qualquer preferência entre os sabores

Rita Sofia

enquanto que a Sofia prefere a amêndoa ao chocolate.

Após o lançamento da moeda ao ar, coube à Rita o papel de cortador.

A Sofia escolheu a parte que tinha mais amêndoa.

Note que…

Se fosse a Sofia a cortar, provavelmente, a divisão não seria a mesma.

Pode funcionar para potências de base 2.

Método do Divisor ÚnicoMétodo do Divisor Único

1ª etapa – DIVISÃO: O divisor corta a pizza em três partes. A divisão é racional apenas se cada

parte tiver igual valor para o divisor;

2ª etapa – DECLARAÇÕES: Cada selector declara quais as partes que considera aceitáveis;

3ª etapa – DISTRIBUIÇÃO: Depende da escolha feita na 2ª etapa

Caso 1: O selector 1 declara mais do que uma parte aceitável.

O selector 2 fica com a parte que escolheu, independentemente da escolha

do selector 1.

O selector 1 fica com uma das partes que escolheu.

O divisor fica com a parte que sobrou.

Caso 2: Ambos os selectores declaram uma só parte distinta.

Cada selector fica com a parte que escolheu e o divisor fica com a restante.

Caso 3: Ambos os selectores declaram a mesma parte.

Podemos facilmente estender este método a mais jogadores, se necessário.

O divisor escolhe uma das partes que os selectores não

escolheram.

Para dividir, as duas partes que restam, pelos selectores

utiliza-se o método do Divisor-Selector.

Método do Selector ÚnicoMétodo do Selector Único

Passo 1: PRIMEIRA DIVISÃO – Os dois divisores cortam o bolo pelo Método do Divisor-Selector.

Passo 2: SEGUNDA DIVISÃO – Cada divisor divide agora a sua parte em três porções que considera de igual valor.

Passo 3: SELECÇÃO – O selector escolhe uma parte de cada um dos divisores, e cada divisor fica com o que restou da sua

parte.

Exemplo: O Afonso, a Lara e a Diana querem dividir um bolo de laranja e ananás que custou 27€.

O Afonso não tem qualquer preferência de sabores.

A Lara detesta ananás.

A Diana prefere duas vezes mais ananás do que laranja.

Por sorteio vai ser a Diana a selectora e o Afonso vai ser o primeiro a dividir por não ter preferências.

A Lara, a outra divisora, escolhe dividir a parte do bolo com mais laranja.

Cada um dos divisores corta a sua parte em três porções que considere igualmente valiosas.

A Diana escolhe, retirando uma parte a cada um dos

outros dois.

Afonso Lara

No final da divisão cada um deles obtém uma parte que equivale a pelo menos 1/3 do valor total do bolo.

Conclusão:

O que é importante é o valor e não o tamanho de cada parcela, para quem a recebe.

LaraAfonso Diana

Método do Último a Método do Último a DiminuirDiminuir

Todos os participantes são simultaneamente divisores e selectores;

Vejamos como este método funciona para três amigos (o Luís, a Sara e a Vera) que querem dividir um bolo de ananás.

Estipula-se inicialmente a ordem dos cortadores;

Em que a ordem de corte é Luís – Sara – Vera.

O Luís corta uma parte (sombreada) do bolo que ele considera ser 1/3.

Sim Não

VeraVera

LuísLuís

LuísLuísSaraSaraSaraSara

SaraSara

SaraSaraSaraSara

VeraVeraVeraVera

VeraVera

LuísLuís

Será que a Sara pensa que a parte sombreada é mais do que 1/3?

Será que a Vera pensa que a parte sombreada é mais do que 1/3?

O Luís tira a parte sombreada; a Sara corta outra fatia; a Vera

escolhe.

A Sara corta a parte sombreada de modo a que a fatia

quadriculada seja, do seu ponto de vista, 1/3.

A Vera tira a parte sombreada; a Sara corta

outra fatia; o Luís escolhe.

Será que a Vera pensa que a quadriculada é 1/3 ou mais?

A Vera pega numa parte quadriculada; a Sara corta a outra em dois bocados; o

Luís escolhe.

A Sara pega numa parte quadriculada; a Vera corta a outra em dois bocados; o Luís

escolhe.

Método da Faca Deslizante A faca move-se contínua e lentamente sobre a porção do bolo;

Qualquer uma das pessoas pode dizer “pára” a qualquer momento;

A parte que é então cortada pertence à pessoa que disse “pára”;

As outras pessoas repetem o processo com a restante porção de bolo.

Caso Discreto:Caso Discreto:Os objectos não podem ser divididos em partes arbitrariamente

pequenas de nenhuma maneira.

Uma abordagem neste caso é tentar atribuir valores numéricos, quantias em euros, aos objectos e depois dividir o total em partes justas.

A abordagem final pode pois ser alcançada atribuindo os valores numéricos ou os próprios objectos .

Partilha justa: Exemplos: casas, carros, cd’s, chocolates,…

Distribuição de lugares em função do número de pessoas de cada estado.

Divisão proporcional: Exemplos: distribuição de lugares numa assembleia

Método dos marcadores

Método de Jefferson

Método de Webster-Willcox

Método de Huntington-Hill

Método de Adams

Método de Hamilton

Método das licitações secretasMétodo das licitações secretasPartilha justa

Divisão

proporcional

SERÁ ESTA A MELHOR FORMA DE DIVIDIR BENS?

Método das licitações Método das licitações secretassecretas

1ª etapa: LICITAÇÃO – Cada herdeiro atribui um valor monetário a cada bem da herança, colocando o valor da sua licitação dentro de um

envelope fechado.

Ana Raquel Inês Liliana

€ 120 000

€ 60 000

€ 30 000

€ 200 000

€ 40 000

€ 24 000

€ 140 000

€ 90 000

€ 20 000

€ 180 000

€ 50 000

€ 20 000

2ª etapa: DISTRIBUIÇÃO – Cada bem é entregue ao herdeiro que lhe atribuiu maior valor monetário. Se o valor atribuído a cada bem for superior/inferior à

divisão justa, então o herdeiro terá de pagar/receber a diferença.

€ 120 000 € 200 000 € 140 000 € 180 000

€ 60 000 € 40 000 € 90 000 € 50 000

Soma das Soma das ofertasofertas

Porção justaPorção justa

Objecto Objecto atribuídoatribuído

DiferençaDiferença

Soma / nº herdeiros

Porção justa - oferta

€ € 210 000 € 264 000 € 250 000 € 250 000210 000 € 264 000 € 250 000 € 250 000

€ € 52 500 € 66 000 € 62 500 € 62 50052 500 € 66 000 € 62 500 € 62 500

€ € 22 500 €(-) 134 000 € (-) 27 500 € 62 50022 500 €(-) 134 000 € (-) 27 500 € 62 500

€ 30 000 € 24 000 € 20 000 € 20 000

3ª etapa: EXCESSO – Existe quase sempre dinheiro em excesso, que deve ser dividido igualmente pelos herdeiros.

€ 120 000 € 200 000 € 140 000 € 180 000

€ 60 000 € 40 000 € 90 000 € 50 000

€ 30 000 € 24 000 € 20 000 € 20 000

Soma das ofertasSoma das ofertas € € 210 000210 000 € € 264 000264 000 € € 250 000250 000 € € 250 000250 000

Porção justaPorção justa € € 52 50052 500 € € 66 00066 000 € € 62 50062 500 € € 62 50062 500

Objecto atribuídoObjecto atribuído

DiferençaDiferença € € 22 50022 500 € € (-) 134 000(-) 134 000 € € (-) 27 500(-) 27 500 € € 62 50062 500

Excesso totalExcesso total

Divisão do Divisão do excessoexcesso

Distribuição finalDistribuição final

€ € 76 50076 500

€ € 19 125 € 19 12519 125 € 19 125 € 19 125 € 19 125 € 19 125 € 19 125

+ € 41 625+ € 41 625 - € 114 875- € 114 875 - € 8 375- € 8 375 € € 81 62581 625

Circunstâncias necessáriasCircunstâncias necessárias

Cada herdeiro deve ter dinheiro suficiente para as suas licitações.

Cada herdeiro deve aceitar dinheiro como um substituto de qualquer bem.

É obrigatório que cada herdeiro, antes de licitar, não tenha nenhuma informação útil sobre as licitações dos outros

herdeiros.

Método dos MarcadoresMétodo dos MarcadoresExemplo: Distribuição de 12 cd’s (numerados de 1 a 12) por

três amigos (Francisco, Gonçalo e Pedro).

1ª etapa: Colocam-se os cd’s numerados, aleatoriamente, em linha;

2ª etapa: colocam-se os marcadores;

1211109871 653 42

3ª etapa: Constrói-se uma tabela para colocar os segmentos efectuados por cada amigo;

1211109871 653 42

Seg 1 Seg 2 Seg 3

Francisco

GonçaloPedro

1 2 -3 4 -12

1 - 5 6 - 10 11 - 121 - 3 4 - 9 10 - 12

4ª etapa: Observa-se a linha da esquerda para a direita até se encontrar o primeiro marcador.

5ª etapa: Este primeiro segmento é entregue ao Francisco

121110987653 421

Neste exemplo, é o marcador do Francisco.

e são retirados todos os seus marcadores;

6ª etapa: Procura-se agora o primeiro marcador do segundo segmento.

7ª etapa: Este segmento é entregue ao Pedro

987654 12111032

No nosso exemplo é o marcador do Pedro;

e retiram-se os seus marcadores.

F1 F2F1F1 F2

2-36-104-9

8ª etapa: Encontra-se ainda um marcador pertencente ao terceiro segmento.

10 121132

É-lhe entregue então o último segmento;

11-1210-12

4 5 6 7 8 91

Este pertence ao Gonçalo pois é o único que resta.

Como distribui-los?...

Estipula-se aleatoriamente uma ordem entre os amigos. Cada um vai escolhendo um cd até acabarem.

Neste caso a ordem será Gonçalo – Francisco – Pedro

Todos os amigos receberam cd’s. Contudo ainda sobram alguns.

Francisco

Gonçalo

Circunstâncias necessárias:

Deve haver um número de cd’s superior ao número de amigos;

1211109871 653 42

Cada amigo deve poder dividir os cd’s em segmentos de valor igual.

Em Resumo:

Definições necessárias:

Nº lugares

Quociente eleitoral =

Pop. Total

Quota mínima é a aproximação da quota por defeito.

Quota = Pop. de cada estado Quociente eleitoral

Regra da quota: cada estado deve receber a sua quota mínima ou a sua quota máxima na distribuição final.

Quota máxima é a aproximação da quota por excesso.

Método de Hamilton:Método de Hamilton:1º passo1º passo: Calcular a quota de cada círculo : Calcular a quota de cada círculo

eleitoral;eleitoral;

2º passo2º passo: atribuir a cada círculo um número : atribuir a cada círculo um número de lugares igual à parte inteira da quota de lugares igual à parte inteira da quota

(quota mínima);(quota mínima);

3º passo3º passo: atribuir os lugares sobrantes, um : atribuir os lugares sobrantes, um a um, aos círculos com quota com maior a um, aos círculos com quota com maior

parte decimal.parte decimal.

Universidades Nº Estud. Quota Quota mínima P.Decimal Lugar Nº Rep. Lisboa 9230

Coimbra 8231 Beira Interior 139

Total 17600 Nº lugares 176

Q. eleitoral

Quota mínima é a aproximação da quota por defeito.

92,382,311,39

0,30,310,39 1º

Parte decimal = quota – quota mínima

Exemplo: Encontro de estudantes de Matemática

O quociente eleitoral significa que uma universidade levará ao encontro um representante por cada 100 estudantes.

A quota é o número exacto de representantes que cada faculdade deveria ter no encontro.

Nº lugares

Quociente eleitoral= Total

Quota= Nº estudantes Quociente eleitoral

I ENCONTRO DE

ESTUDANTES DE

MATEMÁTICA

De facto, para uma só aplicação, este método é provavelmente o mais simples de usar.

A única confusão que pode ocorrer é quando existem duas partes decimais iguais porque dificulta a atribuição de lugares.

Neste caso, vai ser a universidade com quota mínima mais elevada que irá receber o lugar extra.

Pode surgir alguma controvérsia se este método for aplicado repetidamente durante um certo período de tempo.

Paradoxo de Alabama

Paradoxo da População

Falhas do Falhas do Método de Método de HamiltonHamilton

Paradoxo dos Novos Estados

Paradoxo de Alabama:Paradoxo de Alabama:

Aumento no tamanho do corpo legislativo

Perda de um representante de um estado individual

Suponhamos que há um aumento do número de lugares de representantes no encontro de 176 para 177.

É necessário fazer uma nova distribuição dos lugares.

Universidade Nº Estud. Quota Quota mínima P.Decimal Lugar Nº Rep. Lisboa 9230

Q. eleitoral

92.8282.771.40

0.820.770.40

2º93831

Tinha 2 rep.

Paradoxo da População:

Um estado X pode perder lugares para um estado Y

mesmo que a população de X cresça muito mais do que a

Anos Nº Estud. Quota Quota mínima P.Decimal Lugar Nº Rep. 1º 400 2º 90 3º 225 4º 200

Q. eleitoral

10.9292.4596.1485.464

0.9290.4590.1480.464

2336.6

Anos Nº Estud. Quota Quota mínima P.Decimal Lugar Nº Rep. 1º 400 2º 99 3º 225 4º 211

Q. eleitoral

10.6952.6476.1065.642

0.6950.6470.1060.642

1º2º

25Ganhou mais estudantes, mas perdeu um rep.

Exemplo: Núcleo de estudantes de Matemática da Universidade de Évora

Transferiram-se para esta universidade 20 alunos

Paradoxo dos novos Paradoxo dos novos estadosestados

O aparecimento de um novo estado e O aparecimento de um novo estado e um aumento do número de lugares um aumento do número de lugares

pode afectar a divisão de lugares dos pode afectar a divisão de lugares dos outros estados.outros estados.

Contabilizando-se o ano de estágio…

Anos Nº Estud. Quota Quota mínima P.Decimal Lugar Nº Rep. 1º 400 2º 90 3º 225 4º 200 5º 120

Q. eleitoral

36.964

10.8212.4356.0875.4113.246

102653

0.8210.4350.0870.4110.246

1º2º 3

Tinha 2 rep.

Tinha 6 rep.

A existência destes três paradoxos não significa que o método de Hamilton seja inválido ou incorrecto.

Assim, surge um novo método…

A maior fragilidade deste método surge no 3º passo. Seria bom eliminá-lo, modificando a quota, para que não haja

lugares sobrantes.

Ao utilizar o método de Hamilton, cada estado recebe ou a sua quota mínima ou a sua quota máxima na distribuição

final.

Isto é, satisfaz a REGRA DA QUOTA .

Método de JeffersonMétodo de Jefferson

1º passo:1º passo: encontrar um quociente encontrar um quociente eleitoral (modificado) de modo que as eleitoral (modificado) de modo que as quotas modificadas arredondadas, às quotas modificadas arredondadas, às

unidades, por defeito (quotas mínimas unidades, por defeito (quotas mínimas modificadas) somem o número exacto modificadas) somem o número exacto

de lugares;de lugares;

2º Passo:2º Passo: atribuir a cada círculo a sua quota atribuir a cada círculo a sua quota mínima modificada.mínima modificada.

1ª tentativa:

Universidade Nº Estud. Quota modificada Quota mín. mod. Lisboa 9230

Q. eleitoral Q. modificado

100100.5

91.8481.901.38

Soma inferior

TENTATIVA FALHADA!!!

Q. mod= Nº estudantes Q. modificado

2ª tentativa:

93.2383.141.40

Soma superior

OUTRA TENTATIVA FALHADA!!!

3ª tentativa:

10099.2

93.0482.971.40

Consegui!!!

10099.18

93.0682.991.40

Será este quociente modificado único?

NÃO!!!

Outro modo de resolver sem ser por tentativas

Universidade Nº Est. Q Q mín. Q max. Q mín+2 Q. mod.1 Q. mod.2 Lugar Nº Rep. Lisboa 9230

Coimbra 8231 B. Interior 139

Q. eleitoral

92.382.311.39

Quota máxima = Quota mínima + 1

99.24799.16969.5

98.19197.98846.333

Quota modificada 1 = Nº Estudantes

Quota mínima

Nº Estudantes

Quota máximaQuota modificada 2 =

1º 93821

Este é o valor mais alto

Encontramos a perfeição?

Este método tem uma falha.

Por vezes, viola a regra da quota.

O problema está na análise simultânea das duas colunas das quotas modificadas.

Anos Nº Est. Q Q mín. Q max. Q mín+2 Q. mod.1 Q. mod.2 Lugar Nº Rep. 1º 328 2º 1388 3º 30 4º 420 5º 136 6º 198

Q. eleitoral

Exemplo: Simpósio de estudantes de Arquitectura da Universidade de Coimbra

39.36166.56

3.650.4

16.3223.76

3501623

401674511724

5521825

8.2008.3117.5008.2358.0008.250

8.0008.2626.0008.0777.5567.920

1º 2º

3501624

3008.333

Faltadistribuir 3

lugares

2º lugar

3º lugar

Neste exemplo é violada a REGRA DA QUOTA

1º lugar

Método de AdamsMétodo de Adams

1º Passo1º Passo: encontrar um quociente : encontrar um quociente eleitoral (modificado) de modo que as eleitoral (modificado) de modo que as quotas modificadas arredondadas, às quotas modificadas arredondadas, às

unidades, por excesso (quotas máximas unidades, por excesso (quotas máximas modificadas) somem o número exacto modificadas) somem o número exacto

de lugares;de lugares;

2ºPasso2ºPasso: atribuir a cada círculo a : atribuir a cada círculo a sua quota máxima modificada.sua quota máxima modificada.

Universidade Nº Estud. Quota modificada Quota max. mod Lisboa 9230

100104104

1ª tentativa:

88.7579.141.34

171171

Soma inferior

2ª tentativa:

1009999

93.2383.141.4

180180

Soma superior

100100.5100.5

91.8481.91.38

176176

3ª tentativa:

No nosso exemplo, a regra da quota não foi violada. No entanto, este método viola esta regra. O problema começa na escolha do quociente

modificado. Contudo, os exemplos são escassos pois este método nunca foi utilizado na prática.

Consegui!!!

Método de Webster-WillcoxMétodo de Webster-Willcox

1º Passo1º Passo: encontrar um quociente : encontrar um quociente eleitoral (modificado) de modo eleitoral (modificado) de modo

que as quotas modificadas que as quotas modificadas arredondadas, às unidades, de arredondadas, às unidades, de modo convencional somem o modo convencional somem o

número exacto de lugares;número exacto de lugares;

2º Passo2º Passo: atribuir a cada círculo a : atribuir a cada círculo a sua quota arredondada de modo sua quota arredondada de modo

convencional.convencional.

Universidade Nº Estud. Quota modificada Q. mod. arredondada Lisboa 9230

1ª tentativa:

101101

91.3981.501.38

174174

Soma inferior

2ª tentativa:

Soma superior

10099.599.5

92.7682.721.40

177177

3ª tentativa:

Consegui!!!

99.7899.78

92.5082.491.39

176176

O problema que surge neste método é mais teórico do que prático, já que as violações da regra da quota são

consideradas raras.

Será este o método ideal?

Do ponto de vista prático este é considerado por muitos especialistas o melhor de todos os métodos de partilha.

Método de Huntington-HillMétodo de Huntington-Hill

REGRA DE ARREDONDAMETO DE REGRA DE ARREDONDAMETO DE HUTINGTON-HILLHUTINGTON-HILL

Se a quota está entre L e L+1, o ponto de viragem é H = Lx(L+1) . Se a quota é Se a quota está entre L e L+1, o ponto de viragem é H = Lx(L+1) . Se a quota é inferior a H, arredonda-se por defeito, caso contrário, arredonda-se por excesso.inferior a H, arredonda-se por defeito, caso contrário, arredonda-se por excesso.

1º Passo: encontrar um quociente modificado tal que quando cada quota modificada é arredondada pela regra

de Huntington-Hill, o total dos arredondamentos é exactamente o número de lugares a distribuir;

2º Passo: Atribuir a cada círculo a sua quota modificada arredondada pela regra de Huntington-Hill.

Universidade Nº Estud. Q. modificada Ponto Viragem Q. mod. arredondada Lisboa 9230

Soma inferior

1ª tentativa:

100104

88.7579.141.34

88.5079.501.41

H = Lx(L+1)H = Lx(L+1)L = 88

2ª tentativa:

Soma superior

10099.5

92.7682.721.40

92.5082.501.41

3ª tentativa:

Consegui!!!

10099.78

92.5082.491.39

92.5082.501.41

Este exemplo não viola a regra da quota.

Teorema da Teorema da impossibilidade de impossibilidade de Balinski e YoungBalinski e Young

Qualquer método de partilha que não viole a regra da quota produz paradoxos e qualquer método de partilha que não

produza paradoxos viola a regra da quota.

Universidade Nº Estud. Quota Hamilton Jefferson Adams Webster Huntington Lisboa 9230

Q. eleitoral

92.3082.311.39

176 176 176 176 176

Viola a regra da quota

Possui paradoxos

Favorece universidades

pequenas

Favorece universidades

grandes

Caso Misto:

É um combinação entre o caso contínuo e discreto, ou seja, existem objectos divisíveis e indivisíveis para

distribuir.

Como, por exemplo, no caso de uma herança em que haja para dividir uma casa, um piano e um terreno.

Aplicação no secundário:

No curso geral de Ciências Sociais e Humanas e no curso tecnológico de Ordenamento de Território, vai-se introduzir no próximo ano lectivo uma nova disciplina designada por

Matemática Aplicada às Ciências Sociais (MACS).

É no capítulo dos Métodos de Apoio à Decisão do 10º ano que se estuda a Teoria da Partilha Equilibrada.

Ainda não existem manuais para esta nova disciplina.

“Justiça” depende de quem a define…

FIMFIM

TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA Ana Isabel Cebola Inês Silva Liliana Nogueira Raquel Santos.

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Vida Cristã Equilibrada

ALIMENTAÇÃO EQUILIBRADA

Diapositivas liliana rangel

Alimentação saudável e equilibrada

Diogo & Liliana

Coloração Equilibrada de Arestas

Alimentação Saudável Equilibrada.

Fotografias Liliana Pereira

Nash 2013 liliana

Lorenzo Viotti · Tânia Viegas Verónica Silva contraltos Ana Urbano Beatriz Cebola Carmo Coutinho Elsa Gomes Inês Martins Inês Mazoni Joana Esteves Joana Nascimento Liliana Silva

Vida Financeira Equilibrada (1)

Liliana parada sanchez

Conte de liliana

Dieta vegetariana equilibrada

Fotografia Liliana Pereira

Liliana Farinha Cardoso

Cebola - Cultivo

Cebola jovem

Informativo técnico sobre cebola: Redução do uso de agroquímicos em cebola.

Bullying liliana (1)