Vetores apostila 2

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1

Vetores

Vetores do plano ou do espaço são representados por segmentos orientados.

Segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento são representantes de um mesmo vetor.

No paralelogramo, a seguir, os segmentos orientados AB e CD determinam o mesmo vetor v, logo: . v= AB e CD

����������������������������

A

B

C

D

2

Quando escrevemos , estamos afirmando que o vetor é determinado pelo segmento orientado AB de origem A e extremidade B.

Qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o vetor v.

Cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que é representado por v.

O comprimento ou o módulo, a direção e o sentido de um vetor v é, também, o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.

O módulo de v é indicado por .

v= AB ��������������

v

3

Todo ponto do espaço representa o vetor zero, também chamado de vetor nulo, e é indicado por 0.

A cada vetor não nulo v corresponde um vetor oposto –v, que tem o mesmo módulo, a mesma direção e sentido contrário ao de v.

Um vetor v é unitário se .

v.

-v

v 1

4

Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção.

u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.

.

B.A v

CD.u

. .A Bv C Du

5

Os vetores não nulos u, v e w ( o número de vetores não importa) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano , diz-se que eles são coplanares.

.

B.A u

C

D

.v

.E

Fw

π

π

6

Operações com vetores

Adição de vetores: Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC, respectivamente:

Os pontos A e C determinam o vetor soma . AC = u + v��������������

A

B

C

u v

u + v

7

Operações com vetores

Propriedades da adição:

i) Associativa: (u + v) + w = u + (v + w).

ii) Comutativa: u + v = v + u.

iii) Existe somente um vetor nulo 0 tal que, para todo vetor v, se tem:

v + 0 = 0 + v = v

iv) Qualquer que seja o vetor v, existe somente o vetor –v , chamado de oposto de v, tal que:

v + (-v) = -v + v = 0 .

8

A

B

C

D

u + v

v + u

u

u

v

v

9

A

B

C

D

u - vv - u

A

B

C

D

uv

- v

u

u

- u

v

v

10

Operações com vetores

Multiplicação de um Número Real por um Vetor: Dado um vetor v (diferente de zero) e um número real k (diferente de zero), chama-se produto do número real k pelo vetor v o vetor u = kv, tal que:

a) módulo: .

b) direção: a mesma de v.

c) sentido: se k > 0 o mesmo de v; e contrário ao de v se k < 0.

u kv k v

.

.

v

2v

.- 3v

11

Operações com vetores

Propriedades da Multiplicação por um Número Real:

i) a(bu) = (ab)u.

ii) (a + b)u = au + bu.

iii) a(u + v) = au + av.

iv) 1u = u.

12

Vetores

O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores , sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente.

Calcule:

AB e CD����������������������������

A

D

B

C

a) AD + AB b) BA + DA c) AC - BC1d) AN + BC e) MD + MB f) BM - DC2

������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������ ������������������������������������������

M

N.

.

13

Vetores

.

A

D

B

C

= a) AD + AB AC������������������������������������������

M

N.

.

14

Vetores

.

A

D

B

CM

N.

.

= + = b) BA + DA CD DA CA����������������������������������������������������������������������

15

Vetores

. = = c) AC - BC AC + CB AB����������������������������������������������������������������������

D

B

C

N.

.M

A

16

Vetores

. = = d) AN + BC AN + NM NB + NM AM ou NC���������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������

D

B

C

N.

.M

A

17

Vetores

. = = e) MD + MB MD + DN MN����������������������������������������������������������������������

D

B

C

N.

.M

A

18

Vetores

. = = 1f) BM - .DC BM + MD BD2����������������������������������������������������������������������

D

B

C

N.

.M

A

19

Ângulo de Dois Vetores

.

u

O ângulo de dois vetores u e v não nulos é o ângulo formado pelas semirretas OA e OB e tal que 0 .

θθ

����������������������������

v

0

A

B

θ

20

Ângulo de Dois Vetores

.u v

0

θ=a) Se , u e v têm a mesma direção e sentidos con = trários.

����������������������������

b) Se , u e v têm a mesma direção e o mesmo = 0 sentido.����������������������������

.u v0

θ=0

21

Ângulo de Dois Vetores

.

u

v0

.c) Se , u e v são ortogonais e indica-se: u v= 2

��������������������������������������������������������

v

uu + v

.

A

B

C

2 2 2O ΔOBC permite escrever : .u+v = u + v

22

Ângulo de Dois Vetores

.d) O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor

e) Se u é ortogonal a v e k R , u é ortogonal a kv.��������������

.

f) O ângulo formado pelos vetores u e -v é o suplemento do ângulode u e v

����������������������������

����������������������������

.-v v

θ θ

u

23

. v60º

u

Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60º, determinar o ângulo formado pelos vetores:a) u e -vb) -u e vc) -u e -vd) 2u e 3v

�������������� ��������������

����������������������������

����������������������������

����������������������������

����������������������������

24

.-v v

u

a) u e -v����������������������������

120º60º

25

. v

u

b) -u e v����������������������������

60º

-u 120º

26

.-v v

-u

c) -u e -v����������������������������

60º

60º

u

27

. 3v

2u

d) 2u e 3v����������������������������

60º