Carlos Ferreira1

O que é uma equação do 2º grau?

Chama-se equação do 2º grau em x a toda a equação redutível à forma

a, b e c são números reais

Forma canónica

Carlos Ferreira2

Não te esqueças que para ser uma equação do 2º grau Se a for 0A equação é do 1º grau

Carlos Ferreira3

Qual é o valor de p de modo que a equação

Para ser do 2º grau o coeficiente de x2 tem de ser diferente de zero

seja do 2º grau?

Carlos Ferreira4

p – 1 0 p 1

Para ser do 2º grau o coeficiente de x2 tem de ser diferente de zero

logo

portanto para p 1 a equação é do 2º grau

Carlos Ferreira5

Termo independente

Termo em x

Termo em x2

Coeficiente de x2

Coeficiente de x

Carlos Ferreira6

EquaçãoCoeficiente

do termo em x2

Coeficiente do termo

em x

Termo independe

nte

Completa/Incompleta

2x2 – x + 3 = 0 2 – 1 3 Completa

5x2 + 7x = 0 5 7 0 Incompleta

– 3x2 – 2 = 0 – 3 0 – 2 Incompleta

– 8x2 = 0 – 8 0 0 Incompleta

1 13 1 x2 + x + 13 = 0 Completa

Vamos ver os coeficientes dos termos de algumas equações do 2º grau

Carlos Ferreira7

Resumindo:

As equações do 2º grau podem ser:

Completas

Carlos Ferreira8

ou

Incompletas

Carlos Ferreira9

Como resolver equações do 2º grau?

Equações incompletas

ficha síntese

PowerPoint (plataforma moodle)

Carlos Ferreira10

Vamos aprender a resolver equaçõescompletas do 2º grau

Por exemplo:

x – 3 = 16(x – 3)2 = 16 pela noção de raiz quadrada

x – 3 = 4 Atenção

Carlos Ferreira11

Obtemos a disjunção de duas condições

x – 3 = - 4x – 3 = 4

x – 3 = 4

resolvendo as duas equações obtidas

x = - 4 + 3x = 4 + 3

x = - 1x = 7

S = { -1, 7 }

Carlos Ferreira12

Vamos resolver a mesma equação usandooutro método

x2 – 6x + 9 = 16

(x – 3)2 = 16 aplico o caso notável

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

x2 – 6x – 7 = 0 igualamos a zero

a equação encontra-se na forma canónica

ax2 + bx + c = 0

Carlos Ferreira13

x2 – 6x – 7 = 0

Quando a equação se apresenta na forma

ax2 + bx + c = 0aplicamos a FÓRMULA RESOLVENTE

Carlos Ferreira14

x2 – 6x – 7 = 0

Primeiro identificamos o valor dos parâmetros a, b e c

ax2 + bx + c = 0

a = 1 b = -6

c = -7

1ATENÇÃO

AOSSINAIS

Carlos Ferreira15

Agora basta substituí-los na fórmularesolvente a = 1 b = - 6 c = -7

x = - ( )

- 6

( )2 – 4 ( ) ( )

- 6 1 1

2 ( )

-7

Os parênteses no 1 não eram necessários mas é para se lembrarem quando os parâmetros forem negativos

Carlos Ferreira16

Efectuando os cálculos

x = - (- 6 ) (- 6 )2 – 4 1 (-7 )

2 1

x = 6 642

x = 6 8

2

x = 6 + 8

2 x = 6 - 8

2

Carlos Ferreira17

x = 6 + 8

2 x = 6 - 8

2

x = 7 x = - 1 S = { -1, 7 }Como é óbvio a

solução é a mesma

Cuidado com a identificação dosparâmetros e seus sinais e com a

substituição na fórmula, o resto são cálculos

Carlos Ferreira18

Método mais indicado para resolver equações do 2º grau

Equações incompletas

ax2 = 0

Usamos a noção de raiz quadrada

Tem uma solução única nula

Carlos Ferreira19

ax2 + c = 0

Usamos a noção de raiz quadrada

Tem soluções simétricas se a e c têm sinais diferentes

É impossível se a e c têm o mesmo sinal

Carlos Ferreira20

ax2 + bx = 0

Factorizamos os termos comuns eaplicamos a lei do anulamento do produto

Tem duas soluções uma nula e

outra positiva se a e b têm sinais diferentes ou

outra negativa se a e b têm o mesmo sinal

Carlos Ferreira21

ax2 + bx + c = 0

Aplicamos a fórmula resolvente

O número de soluções dependedo valor do binómio discriminante

= b2 – 4ac

Carlos Ferreira22

Se

= b2 – 4ac > 0

a raiz quadrada de um número positivo existe, e é diferente de zero, pelo que a equação tem duas raízes reais distintas

Carlos Ferreira23

Se

= b2 – 4ac = 0

a raiz quadrada de zero é zero, pelo que a equação tem um único número real como raiz (tem uma raiz dupla)

Carlos Ferreira24

Se

= b2 – 4ac < 0

não há raízes quadradas reais de números negativos, logo a equação não tem raízes reais a equação é impossível

Carlos Ferreira25

Vamos ver se há alguma relação entre as soluções (raízes) das equações e os coeficientes a, b e c na forma canónica

Recorda que a equação

x2 – 6x – 7 = 0

tinha como solução os valores 7 e -1

Consegues ver alguma relação?

Carlos Ferreira26

Se resolveres a equação

x2 – 5x +6 = 0as soluções são 2 e 3

Consegues, agora, ver alguma relação?

Não?

Qual é o produto e a soma das raízes nas duas equações?

Carlos Ferreira27

x2 – 5x +6 = 0

P = 2 3 = 6

Agora já consegues ver a relação?

Pois é

x2 – 6x – 7 = 0

Raízes 2 e 3 Raízes -1 e 7

P = -1 7 = -7

S = 2 + 3 = 5 S = -1 + 7 = 6

Carlos Ferreira28

P = 2 3 =

Repara onde aparece o produto das raízes

E as somas

x2 – x = 0

Raízes 2 e 3 Raízes -1 e 7

P = -1 7 =

S = 2 + 3 = S = -1 + 7 =

6

6

- 7

– 7

5

x2 – x + = 05 6

6

Carlos Ferreira29

Portanto podemos concluir que quando a equação está na forma

O S representa a soma das raízes

x2 – Sx + P = 0

e o P representa o produto das raízes

Carlos Ferreira30

E se a equação estiver na forma canónica?

Como a 0 podemos dividir ambos osmembros da equação por a

ax2 +bx + c = 0

obtendox2 + bx + c = 0 __ __

a a

Carlos Ferreira31

Relacionando as duas expressões anteriores

obtemos

x2 + bx + c = 0 __ __ a a

x2 – Sx + P = 0

S = - b/a P = c/a

Carlos Ferreira32

Espero ter contribuído para uma melhor

compreensão sobre o conteúdo

apresentado

FIM