1

Medidas de Bem-Estar no Modelo de Equilíbrio Parcial

Em equilíbrio geral todos os mercados da economia são interligados pelo efeito-

renda nas demandas. Em muitas aplicações de microeconomia os fenômenos de

interesse são circunscritos a um ou a poucos mercados. Nesses casos, é conveniente

evitar essa complexidade gerada pelo efeito-renda para analisar impactos de políticas ou

de outras mudanças exógenas no equilíbrio. O modelo de equilíbrio parcial determina o

equilíbrio de preços e alocações (produção e consumo) para um subconjunto de bens

isoladamente do equilíbrio de todos os outros mercados na economia.

Define-se um sub-conjunto de 1≥L bens incluindo aqueles em cujos preços e

alocações estamos interessados, e que não tenham substitutos ou complementares

importantes deixados de fora. Assim, supõe-se que uma mudança do preço de qualquer

um dos 1≥L bens pode alterar a demanda compensada por algum outro bem

pertencente ao grupo, mas não a dos outros bens da economia (e vice-versa).

Além disso, consideramos também que os 1≥L bens representam em conjunto

uma fração pequena da despesa dos consumidores, de maneira que mudanças dos preços

dos bens do grupo não afetem a renda perceptivelmente. De acordo com a equação de

Slutsky, se ( )Rpxi , é a demanda pelo bem { }Li ,...,1∈ , uma variação emjp ,

{ }Lj ,...,1∈ , pode ser desmembrada num efeito-substituição e num efeito-renda

R

xx

p

x

p

x ij

Uj

i

j

i

∂∂−

∂∂=

∂∂

R

x

x

R

R

xp

p

x

x

p

p

x

x

pi

i

jj

Uj

i

i

j

j

i

i

j

∂∂−

∂∂=

∂∂

Se a fração da despesa com o bem { }Lj ,...,1∈ for suficientemente pequena, isto

é, 0→R

xp jj , e a elasticidade renda da demanda pelo bem é limitada, isto é,

∞<∂∂

R

x

x

R i

i

, tem-se que:

Uj

i

i

j

j

i

i

j

p

x

x

p

p

x

x

p

∂∂→

∂∂

2

Ou seja, a elasticidade-preço da demanda é igual à elasticidade-preço compensada, isto

é, só há efeito-substituição, mas não há efeito-renda na demanda por qualquer dos bens

{ }Lj ,...,1∈ .

Finalmente, como por hipótese variações dos preços dos 1≥L bens não alteram

as demandas pelos outros bens da economia por efeito substituição nem por efeito

renda, pode-se considerar os preços daqueles bens como sendo constantes.

O modelo quase-linear incorpora essas hipóteses. A utilidade dos consumidores

é definida no conjunto dos 1≥L bens e de um bem adicional (o bem numerário) que

representa um agregado (com preços fixos) de todos os outros bens da economia. A

utilidade marginal do consumo do bem numerário é considerada constante (e

normalizada para a unidade), o que elimina o efeito renda das demandas pelos 1≥L

bens.

Função de utilidade quase-linear

Cada consumidor Hh ,...,1= tem função de utilidade dada por

( ) ( ) mxxmxxu Lh

Lh += ,...,,,..., 11 φ

Onde os 1≥L bens compõem o mercado em questão e m é o consumo do bem

numerário1.

Com 0>hlφ , 0<h

llφ , para 0≥x , e normalizando-se ( ) 00,...,0 =φ .

O consumidor individual resolve:

1A quantidade m poderia, por exemplo, ser interpretada como a utilidade do consumo de um agregado de todos os outros bens consumidos em proporções fixas:

Max ( ) ( ) { }nnn cacaquccqU ,...,min,...,, 111 +=

Icpqptsn

jjj =+∑

=10:..

O consumidor maximiza a utilidade escolhendo jjii caca = , nji ,...,1, =∀ . Então:

1111

caa

pcp

n

j j

jn

jjj

= ∑∑

==

Podemos então redefinir 11cam ≡ e

≡

∑=

n

j j

j

a

p

pp

1

0 .

3

( ) mxx Lmxx L

+,...,max 1,,...,1

φ

s.t.

RmxpL

lll =+∑

=1

Ou

( ) ∑=

−+L

lllL

xxxpRxx

L 11

,...,,...,max

1

φ

Com FOCs: Ll ,...,1= , dadas por:

( ) 0,...,1 ≥≤ llLl xsepxxφ

( ) 0,...,1 >= llLl xsepxxφ

Considerando-se o caso de demandas estritamente positivas para os 1≥L bens,

( )Lppp ,...,1= , ( )Lxxx ,...,1= , tem-se um sistema de funções de demanda inversas

( )xPp = onde ( ) ( )xxP xφ≡ :

( )LxxxPp ,,, 2111 K=

( )LxxxPp ,,, 2122 K=

M

( )LLL xxxPp ,,, 21 K=

O Jacobiano de ( )xP é

( ) ( )xD

xxx

xxx

x

P

x

P

x

P

x

P

xDP

nn

n

n

nn

n

φφφ

φφ

2

2

2

1

2

1

2

21

2

1

1

1

1

=

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

L

MOM

L

L

MOM

L

Se ( )⋅φ é 2C , ( )⋅DP é simétrica. Acrescentando-se a hipótese de que φ2DDP =

é negativa definida (que implica em ( )⋅φ estritamente côncava), de modo que os termos

na diagonal são estritamente negativos, tem-se:

4

i

j

j

i

x

P

x

P

∂∂

=∂∂

e 0<∂∂

i

i

x

P ni ,,2,1 K=∀

Já que o determinante de uma matriz simétrica é igual ao produto dos seus

autovalores, que são todos estritamente negativos se DP é negativa definida, a matriz

DP é inversível para qualquer x .

Se DP é inversível, pelo teorema da função inversa pode-se obter um sistema de

demandas diretas ( )pXx = , que dependem somente dos preços (não há efeito-renda)

onde:

( )LpppXx ,,, 2111 K=

( )LpppXx ,,, 2122 K=

M

( )LnL pppXx ,,, 21 K=

Com Jacobiano dado por:

[ ] 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

−

−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= DP

x

P

x

P

x

P

x

P

p

X

p

X

p

X

p

X

DX

L

LL

L

L

LL

L

L

MOM

L

L

MOM

L

A inversa de uma matriz simétrica e negativa definida também é simétrica e

negativa definida. Sendo assim,

i

j

j

i

p

X

p

X

∂∂

=∂∂

e 0<∂∂

i

i

p

X Li ,,2,1 K=∀ .

Figura: ausência de efeito renda na utilidade quase-linear

5

Excedente do consumidor

Como não há efeito renda no modelo quase-linear, não há ambiguidade nas

medidas pecuniárias de variação da utilidade entre alocações, medidas aos preços

iniciais ou finais.

Utilidade indireta:

( ) ( )( ) ( )pXpRpXRp ., −+= φν

Variação equivalente de renda ( )RppE ,, 10 definida pela renda adicional, aos

preços iniciais, necessária para igualar a utilidade aos preços finais:

( ) ( )( )RppERpRp ,,,, 1001 +=νν

Variação compensada de renda ( )RppC ,, 10 definida pela renda deduzida, aos

preços finais, necessária para igualar a utilidade aos preços iniciais:

( )( ) ( )RpRppCRp ,,,, 0101 νν =−

Em geral a variação equivalente e a compensada são diferentes, mas no caso da

função de utilidade quase-linear elas coincidem:

p

m

x p

6

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )000111 .. pXpERpXpXpRpX −++=−+ φφ

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )000111 .. pXpRpXpXpCRpX −+=−−+ φφ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]0001111010 ..,, pXppXpXppXppCppE −−−== φφ

Excedente do consumidor: ( ) ( )( ) ( )pXppXpCS .−≡ φ

A variação do Excedente do Consumidor entre duas alocações determinadas por

0p e 1p é igual às variações compensada e equivalente alente da renda:

( ) ( ) ( ) ( )101001 ,, ppEppCpCSpCS ==−

( )pCS é a diferença (positiva) entre a utilidade do consumo de X unidades do

bem e a utilidade do consumo de pX unidades do bem numerário, ou seja, é o ganho

de utilidade que o funcionamento do mercado gerou para o consumidor.

Note que ( )pCS é a função de utilidade indireta subtraída da renda. Assim,

( )pCS é decrescente e convexa nos preços. Além disso, de acordo com a Identidade de

Roy:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pXpXppXpXxpCS ppxp −=−−= ..φ

Pode-se expressar ( )pCS como a integral:

( ) ( ) ( )dssXdssCSpCSp

p

p .. ∫∫∞

∞

==

Com uma mudança de variáveis pode-se integrar nas quantidades em vez dos

preços:

( ) ( ) ( )( )

( )∫∫ −=

1

0

1

0

1

0

...pX

pX

p

p

p

p

dxxPppXdssX

Com pp =0 e ∞=1p tem-se:

( ) ( ) ( ) xxPdssPxCSx

..0

−= ∫

7

Assim, pode-se expressar o excedente do consumidor por uma integral das

demandas diretas nos preços ou por uma integral das demandas inversas nas

quantidades.

No caso de 1=L , CS corresponde à medida simples da área sob a curva de

demanda e acima do preço pago pelo consumidor:

No caso de 1>L , CS é uma integral de linha. De acordo com o Segundo

Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, ( ) ( )01 pCSpCS − independe

da sequência particular de mudanças de preços que consideramos porque i

j

j

i

p

X

p

X

∂∂

=∂∂

Lji ,,2,1, K=∀ , ji ≠ .2

2 Integrais de linha: Definição: [ ] ntt ℜ→ℜ∈10 ,:α é um caminho suave (“smooth path”) se a

derivada 'α existe e é contínua no intervalo ( )10 , tt . A função ( )α é um caminho suave em trechos

(“piecewise smooth path”) se o intervalo [ ]10 , tt pode ser particionado em um número finito de

subintervalos em cada um dos quais α é suave.

Definição (integral de linha): Seja um caminho suave em trechos [ ] ntt ℜ→10 ,:α e nnf ℜ→ℜ:

definido sobre a imagem de α com ( )0ta α= , ( )1tb α= . A integral de linha de f ao longo de α é

p

( )pX

CS

8

( )( ) ( ) ( )( ) ( )∑∫∫ ∫=

=⋅=⋅n

k

t

t

kk

t

t

dtttfdtttfdf1

''1

0

1

0

.ααααα

quando a integral à direita existir.

Teorema (Segundo Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha): Seja ℜ→ℜn:ϕ com

um gradiente ϕ∇ contínuo em nS ℜ⊂ aberto e conexo. Então, para quaisquer dois pontos a e b

ligados por um caminho α suave em trechos com ( )0ta α= , ( )1tb α= ,

( ) ( )abdb

a

ϕϕαϕ −=⋅∇∫

Prova: tome [ ] ntt ℜ→10 ,:α piecewise smooth com ( )0ta α= , ( )1tb α=

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )abdtdt

tddtttd

t

t

t

t

b

a

ϕϕαϕααϕαϕ −==⋅∇=⋅∇ ∫∫∫1

0

1

0

'

O teorema mostra que quando o integrando é um gradiente contínuo então podemos escolher livremente qual é o caminho da integração entre os dois limites de integração. Este é o nosso caso para

integrar ( ) ( )dttXpCSp

.∫∞

= ou ( ) ( ) ( ) xxPdssPxCSx

..0

−= ∫ , já que ( ) ( )pCSpX −∇= e

( ) ( )xxP φ∇= .

Também podemos verificar este resultado de uma forma direta. Considere o exemplo com dois bens ( 2=L ). Calculemos a variação do excedente do consumidor por dois caminhos que representam a mesma variação final dos preços: no primeiro caminho (I) a variação do preço do bem 1 precede a do bem 2 e no segundo caminho (II) a ordem é invertida:

( ) ( )∫∫ +=∆12

02

11

01

221121

0211 ,,

p

p

p

p

I dpppXdpppXCS

( ) ( )∫∫ +=∆11

01

12

02

1121122

012 ,,

p

p

p

p

II dpppXdpppXCS

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫∫ −+−=∆−∆12

02

11

01

220122

1121

1211

0211 ,,,,

p

p

p

p

III dpppXppXdpppXppXCSCS

Considere intervalos diferenciais de preço iii dppp =− 01 de forma que

( ) ( ) ( )2

2

02110

2111211

,,, dp

p

ppXppXppX

∂∂=−

( ) ( ) ( )1

1

2012

20122

112

,,, dp

p

ppXppXppX

∂∂=−

Nesse caso,

( ) ( ) =∂

∂+∂

∂−=∆−∆ ∫∫++ 2

02

02

101

01

211

2012

122

0211 ,,

dpp

p

dpp

p

III dpdpp

ppXdpdp

p

ppXCSCS

( ) ( ) ( ) ( )21

1

02

012

2

02

011

211

02

012

122

02

011 ,,,,

dpdpp

ppX

p

ppXdpdp

p

ppXdpdp

p

ppX

∂∂−

∂∂−=

∂∂+

∂∂−=

Ou seja, se as derivadas cruzadas das demandas coincidirem para todos os preços então ICS∆ e

IICS∆ também coincidirão para qualquer caminho.

9

Em particular, podemos integrar variando cada preço entre os limites de

integração pela ordem dos seus índices:

( ) ( ) ( ) [ ]( )∑ ∫∫=

==−L

ii

p

p

ii

p

p

dppXdppXpCSpCSi

i1

01

1

0

1

0

.

Onde

[ ] ( )001

11

11 ,...,,,,..., Liii

i pppppp +−≡

Exemplo com 2=L :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )∫∫∫∫ +=+==−

12

02

11

01

12

11

02

01

1

0

221121

0211

,

,

2212121110 ,,,,.

p

p

p

p

pp

pp

p

p

dpppXdpppXdpppXdpppXdppXpCSpCS

Ou, integrando as demandas diretas, com ( )xPp = , ( )2111 , ppXx = , ( )2122 , ppXx = ,

( ) ( ) ( ) ( )pXpdssPxCSxCSx

x

..

1

0

01 −=− ∫

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )[ ]=−−+= ∫

02

01

02

01

12

11

12

11

,

,

22121211 ,.,,.,,,

12

11

02

01

xxppxxppdxxxPdxxxPxx

xx

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]02

01

02

01

12

11

12

1122

1121

0211 ,.,,.,,,

12

02

11

01

xxppxxppdxxxPdxxxPx

x

x

x

−−+= ∫∫

Produção

O modelo de equilíbrio parcial adota a hipótese de que os 1≥L bens

selecionados são produzidos com tecnologias que empregam apenas o bem numerário

como insumo.

( ) ( )

211

212

2

211 ,,,

0 ppp

ppX

p

ppXCSCS III ∀

∂∂=

∂∂⇔=∆−∆

Mas sabemos que esta condição é atendida, pois o Jacobiano do sistema de demandas é simétrico.

10

Suponha que existem Jj ,...,1= firmas na economia e cada firma produz um

vetor de quantidades ( )jL

jj qqq ,...,1= dos bens Ll ,...,1= (função de produção pode ser

multi-produto). A função de custo de produção da firma é ( )jj qc , medido em unidades

do bem numerário. Suponha ( )

0>∂

∂j

l

jj

q

qc e ( )jj qc convexa para 0≥jq .

Alocação Pareto Ótima

Suponha que a economia tem uma dotação (quantidade agregada não produzida)

de m unidades do bem numerário. Uma alocação (consumo dos H consumidores e

produção e emprego de insumo das J firmas) Pareto ótima é solução do problema:

( ) 111

,,max mx

jhh qmx+φ

s.t.

( ) hhhh umx =+φ ; Hh ,...,2=

( )∑ ∑= =

=+H

h

J

j

jjh mqcm1 1

∑ ∑= =

=H

h

J

j

jh qx1 1

Substituindo as restrições,

( )∑∑∑===

−=H

h

hhH

h

hH

h

h xum222

φ

( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑=====

−+−=−−=J

j

jjH

h

hhH

h

hJ

j

jjH

h

h qcxumqcmmm12212

1 φ

Substituindo no objetivo, elimina-se a escolha de hm :

( ) ( ) ∑∑∑===

−+−H

h

hJ

j

jjH

h

hh

qxumqcx

jh211,

max φ

s.t.

∑ ∑= =

=H

h

J

j

jh qx1 1

11

Note-se que m e ∑=

H

h

hu2

são parâmetros no problema. Uma alocação eficiente

deve maximizar a diferença entre a utilidade do consumo e o custo de produção dos

bens do mercado ( ) ( )∑∑==

−J

j

jjH

h

hh qcx12

φ , independentemente da distribuição de

utilidades para os consumidores { }hu ; Hh ,...,2= .

Definição: Excedente Total

( ) ( ) ( )∑∑==

−=J

j

jjH

h

hhJH qcxqqxxTS11

11 ,...,,,..., φ

A derivada total do Excedente Total é dada por:

( ) ( ) jJ

j

jjH

h

hhh dqqDcdxxDDTS ..11∑∑

==

−= φ

Os consumidores são perfeitamente competitivos e maximizam a utilidade

escolhendo consumos que igualam suas utilidades marginais ao vetor de preços tomado

como dado. Usando a notação ∑=

=H

h

hxx1

tem-se:

( ) ( )xPxD hh =φ ; Hh ,...,1=∀

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑ −=−=j

jjj

j

jjj

h

h dqqDcdxxPdqqDcdxxPdTS ....

Convencionamos que ( ) 00 =hφ e ( ) 00 =jc (de modo que ( ) 00 =TS ).

Lembramos que cada firma j pode ter um componente de custo fixo (que não depende

de jq ) igual a j

c , além do custo variável, de modo que:

( ) ( ) jq

jjj cdrrDcqc

j

+≡ ∫0

Podemos afinal expressar o Excedente Total na forma:

12

( ) ( ) ( ) ∑∑ ∫∫ −−=j

j

j

qj

xJ cdrrDcdssPqqxTS

j

00

1 ..,...,,

Supondo que os preços ( )xP pagos pelos consumidores e recebidos pelos

produtores são iguais (como ocorreria, por exemplo, na ausência de taxas ou subsídios),

usando a notação ∑=

=J

j

jqq1

para a produção total das firmas e lembrando que xq = em

equilíbrio, somamos e subtraímos o termo ( ) ( )qqPxxP .. = ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑∫∫ −−+−=j

j

j

qj

xJ cdrrDcqqPxxPdssPqqxTS

j

00

1 ....,...,,

Def.: Excedente do Produtor: ( ) ( ) ( )∑ ∫−≡j

qjJ

j

drrDcqqPqqPS0

1 ..,...,

O Excedente do Produtor é a soma dos lucros variáveis (lucros totais somados

aos custos fixos) das firmas, ou seja:

( ) ( )[ ]∑ +Π=j

jjjJ cqqqPS ,...,1

Assim, o Excedente Total é a soma do Excedente do Consumidor com os lucros

totais das firmas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ Π+=−+=j

jj

j

jJJ qxCScqqPSxCSqqxTS ,...,,...,, 11

Excedente Total e alocação socialmente ótima

No modelo quase-linear qualquer alocação socialmente ótima pode ser

implementada com a maximização do Excedente Total e uma posterior redistribuição

"lump-sum" do bem numerário entre os consumidores.

Suponha que o governo maximiza uma função de utilidade social estritamente

crescente e quase côncava ( )HuuW ,...,1 escolhendo o consumo de bem numerário de

cada consumidor, { } 0,...,1 ≥Hmm , dada uma alocação factível de consumo e produção

{ }jhqx , dos 1≥L bens. O problema do governo é:

13

( )H

mmuuW

H,...,max 1

,...,1

s.t.

( ) hhhh umx =+φ

( )∑ ∑= =

=+H

h

J

j

jjh mqcm1 1

Substituindo as restrições,

( )H

uuuuW

H,...,max 1

,...,1

( ) ( )∑∑∑===

−+=J

j

jjH

h

hhH

h

h qcmxu111

φ

Verifica-se que um aumento do Excedente Total ( ) ( )∑∑==

−J

j

jjH

h

hh qcx11

φ só relaxa a

restrição do problema. Isto significa que, na presença da instituição adequada para

realizar transferências lump-sum automaticamente para maximizar W , a maximização

do Excedente Total seria suficiente para promover a implementação da alocação ótima

para qualquer função de utilidade social (figura 10.E.1, MW&G).

14

Exercícios:

1) Para uma economia fechada como a anterior, mas na presença de taxas ou subsídios

que gerem preços enfrentados pelo consumidor Cp e pelo produtor Pp diferentes,

mostre que o valor da arrecadação da política fiscal, ( )xpp PC .− , passa a integrar a

fórmula do Excedente Total.

2) Uma economia aberta tem vetor de importação dos 1≥L bens dado por qxM −≡

onde x é o vetor de consumo e q o vetor de produção da economia. O vetor de preços

domésticos (suposto igual para consumidores e firmas) é dado por p , o vetor de preços

no mercado internacional é *p , e ( )*ppt −= é o vetor de tarifas/subsídios específicos

praticados pelo país. As alocações Pareto ótimas são solução do seguinte problema:

( ) 111

,,max mx

jhh qmx+φ

s.t.

( ) hhhh umx =+φ ; Hh ,...,2=

( )∑ ∑= =

=++H

h

J

j

jjh mMpqcm1 1

* .

MqxH

h

J

j

jh =−∑ ∑= =1 1

Mostre que o valor da arrecadação da política comercial, dada por Mt. , passa a

integrar a fórmula do Excedente Total.