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Sumário Capítulo 0. Introdução Capítulo 1. Conceitos Básicos; Proposições; Conectivos Capítulo 2. Operações Lógicas Capítulo 3. Tautologia, Contradição e Contingência Capítulo 4. Implicação Lógica e Equivalência Lógica Capítulo 5. Álgebra Proposicional Capítulo 6. Argumento Lógico Dedutivo Capítulo 7. Proposições Categóricas (Quantificadores); Argumento Categórico Capítulo 8. Proposições Abertas de Primeira Ordem

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Capítulo 0. Introdução

"Não se pode ensinar coisa alguma a um homem; apenas ajudá-lo a encontrá-la dentro de si mesmo."

[Galileu] O que é Lógica? Certamente, o leitor já deve ter se deparado com uma dúzia de definições, e isto pode ter trazido mais confusão do que esclarecimento. A Lógica surgiu como um ramo da Filosofia, mas atualmente suas aplicações permeiam os limites de todas as áreas do pensamento, inclusive os mais simples afazeres cotidianos. Podemos dizer, não de modo conclusivo, que o homem é um ser essencialmente lógico. Este livro não tem a pretensão de lhe trazer respostas prontas a respeito das questões relacionadas à Lógica. E, por aí, já estaremos mostrando o que a lógica pode ser: uma forma de bem pensar e buscar, por si só, conclusões fundamentadas em evidências. Certamente que não estamos dizendo que cada um poderá praticar ciência isoladamente, sem qualquer base conceitual. Deixaremos para examinar, mais adiante, os conceitos e definições da Lógica Formal, antecipando apenas que seu objeto principal de estudo é o argumento. Enfim, para não nos alongarmos demasiadamente neste ponto, deixaremos para o leitor a tarefa de chegar às suas próprias conclusões, desde que consistentemente fundamentadas. 0.1. Recomendações necessárias Como estudar Lógica? Paciência e disciplina são requisitos fundamentais! Muitos alegam que não conseguem aprender lógica, mas um simples diagnóstico mostra que a maioria dos que iniciam seus estudos nesse assunto, o fazem buscando respostas prontas, pois pensam que irão aprender raciocínio lógico por meio de questões resolvidas.

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Pense apenas no seguinte: se uma questão de raciocínio lógico já está respondida, não haverá aprendizado... Na verdade, nem sequer se tem uma questão. Nosso cérebro é extremamente poderoso, mas também é bastante preguiçoso... Se lançarmos um desafio ao cérebro, ele jamais irá parar de trabalhar sobre o problema, até que consiga solucioná-lo. Porém, se a solução é apresentada ao cérebro, ele imediatamente para de trabalhar na questão, passando a fazer uma simples leitura do raciocínio alheio. A recomendação fundamental, então, é: deixe as questões propostas em segundo plano e se preocupe em assimilar bem os conceitos. Vale dizer: tenha paciência! Geralmente, as questões de lógica formal requerem o domínio de mais de um conceito para que se possa respondê-las. Estude todos os conceitos primeiro, baseando-se apenas nos exemplos solucionados para a assimilação dos conceitos. Deixe os exercícios para a segunda leitura: releia um capítulo de cada vez e tente responder a bateria de questões propostas. Tenha disciplina! Estude todos os dias, nem que sejam apenas 30 minutos, e não abandone um capítulo enquanto não tiver pelo menos 70% de aproveitamento nas questões propostas. 0.2. Tipos de Argumento A lógica diferencia duas classes fundamentais de argumentos: os dedutivos e os indutivos. 0.2.1. Argumento Dedutivo Os argumentos dedutivos são aqueles nos quais as premissas fornecem um fundamento definitivo da conclusão. Em outras palavras, numa dedução é impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Num raciocínio dedutivo a informação da conclusão já está contida nas premissas, de modo que se toda a informação das premissas é verdadeira, a informação da conclusão também deverá ser verdadeira. Resumidamente: nos argumentos dedutivos o raciocínio parte de premissas gerais para uma conclusão particular.

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Exemplo: Todos os mamíferos são mortais. Os cães são mamíferos. Logo, os cães são mortais. 0.2.2. Argumento Indutivo Nos argumentos indutivos as premissas proporcionam somente alguma fundamentação da conclusão, que contém alguma informação que não está contida nas premissas, ficando em aberto a possibilidade de que essa informação a mais cause a falsidade da conclusão apesar das premissas verdadeiras. Resumidamente: Raciocinar indutivamente é partir de premissas particulares, na busca de uma conclusão geral. Exemplo: Um aluno chega à sua escola e, ao passar pela sala 1 percebe que ela foi pintada de azul. Observa que a sala 2 também foi pintada de azul. Ao passar pelas salas 3 e 4 percebe que ambas foram pintadas de azul, o mesmo ocorrendo com sua sala, que é a 5. Dessa forma, esse aluno conclui que todas as salas de aula da escola foram pintadas de azul. Entretanto, esse aluno não pode ter certeza de que isto está correto, visto que é uma generalização (inferência) baseada em alguns casos particulares (experiência). 0.3. Interpretações Os conceitos da lógica formal são apresentados de modo muito simples, e talvez seja justamente essa simplicidade que gere confusões e interpretações diversas de um mesmo conceito. Para ilustrar, tomaremos a frase: “Eu não disse que ele pegou o dinheiro.” Se perguntarmos se o leitor entendeu a frase acima, a resposta certamente será “sim!”

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Vamos imaginar que essa frase é um dos conceitos que estamos tentando interpretar. Façamos, então, um exercício, tirando da frase interpretações diversas: Interpretação 1: “Eu não disse que ele pegou o dinheiro.” Significado: pode ter sido outra pessoa quem disse isso. Interpretação 2: “Eu não disse que ele pegou o dinheiro.” Significado: posso ter dito que outra pessoa pegou o dinheiro. Interpretação 3: “Eu não disse que ele pegou o dinheiro.” Significado: posso ter dito que ele pegou outro objeto. Interpretação 4: “Eu não disse que ele pegou o dinheiro...” Significado: eu já havia dito isto antes, mas não me deram ouvidos... Como se vê, isto não pode acontecer quando se trata de um conceito. É preciso haver consenso na interpretação, sob pena de se criar muita confusão. 0.4. Para finalizar Este livro não foi escrito com a pretensão de fechar a questão em torno do assunto, visto que nem mesmo os mais renomados logicistas alcançaram tal proeza. Entretanto, o consenso é algo constantemente buscado nos cursos que ministro, e é justamente isto que apresentarei neste livro. Foram os meus alunos que me incentivaram a transformar minhas notas de aulas neste livro. Várias das recomendações para estudo e até mesmo formas mais simples de se entender certos conceitos, que estão neste livro, são dos meus alunos, não meus... Posso dizer que este livro tem tantos coautores, que citá-los nominalmente tomaria todas as suas páginas... Fica aqui o meu agradecimento a todos eles. Tiro-lhes o chapéu! Espero que o leitor possa ter com este livro o mesmo proveito e alcance os mesmos resultados que os alunos dos nossos cursos presenciais, visto que vários deles já conseguiram gabaritar provas de Raciocínio Lógico, tanto no Teste ANPAD quanto em Concursos Públicos.

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Em onze anos, o Instituto Integral já preparou mais de 100 turmas (quase 1.000 alunos) para o Teste ANPAD (maioria) e para Concursos Públicos em geral. Nosso índice de aprovação já ultrapassou os 75%. Estude com garra e determinação! Depois, envie-nos sua história de sucesso, para que o seu nome seja inserido em nossa Galeria dos Campeões.

O Autor.

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Capítulo 1. Conceitos Básicos

“A Experiência é uma professora difícil, pois ela dá o teste primeiro e a lição depois.”

[Vernon Sanders Law]

1.1. Visão Geral:

Lógica Informal (Não clássica) Lógica Formal (Clássica) ↓ ↓

VERDADE (julgamento) VALIDADE (forma) ↓ ↓

Interpretação Textual Estrutura Lógica ↓ ↓

“O que” foi dito

Exemplo: Na sentença: “Se há fumaça, há fogo.” fumaça é a causa e fogo é o efeito. ( ) correto. (×) incorreto. “o que” foi dito está incorreto, pois fumaça não causa fogo.

“Como” foi dito

Exemplo: Na sentença: “Se há fumaça, há fogo.” fumaça é a causa e fogo é o efeito. (×) correto. ( ) incorreto. “como” foi dito está correto, pois fumaça é a proposição antecedente, e fogo é a proposição consequente.

Observa-se, no quadro acima, que a Lógica Formal preocupa-se com a estrutura lógica (como foi dito), e não com seu conteúdo (o que foi dito), a menos que a questão solicite que seja feito um julgamento de valor. [Nota: Lógica Informal será tratada em outro livro.] Veja um exemplo: Premissa 1: “Se três é um número primo, então dois não é um número par.” Premissa 2: “Mas dois é um número par.” Conclusão: “Três não é um número primo.” No argumento acima, tanto a premissa 1 quanto sua conclusão são falsas (julgamento), e a premissa 2 é verdadeira (julgamento). Entretanto, o argumento acima é válido (estrutura).

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[Nota: Argumentos serão vistos em capítulo próprio, assim como a forma correta e segura de validá-los. Neste ponto, é suficiente deixar apenas o alerta ao leitor: a lógica formal se baseia na estrutura lógica (como foi dito) e não na interpretação do texto (o que foi dito)].

1.2. Proposição 1.2.1. Conceito: Chama-se de proposição uma frase ou sentença declarativa. 1.2.2. Indo além do conceito 1.2.2.1. Frase: é uma palavra ou conjunto de palavras que constitui um enunciado de sentido completo. A frase não vem necessariamente acompanhada por um sujeito, verbo ou predicado. Por exemplo: “Atenção.” é uma frase, pois transmite uma ideia, mas não há verbo, sujeito ou predicado. Ademais, a frase “Atenção.” Não é declarativa, e, portanto, não é uma proposição. 1.2.2.2. Oração: é todo enunciado linguístico que contém um verbo. 1.2.2.3. Período: é uma frase que possui uma ou mais orações. O período pode ser: a) Simples: Quando constituído de uma só oração. Exemplo: Mariana foi ao cinema ontem. b) Composto: Quando é constituído de duas ou mais orações. Exemplo: O aluno foi bem na prova, pois estudou muito.

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1.2.2.4. Tipos de frases: a) declarativas. Exemplo: João teve cuidado. b) exclamativas. Exemplo: Que dia lindo! c) imperativas. Exemplo: Vire à esquerda. d) interrogativas. Exemplo: Será que vai chover? e) rogativas. Exemplo: Por favor, me liga. Há ainda outros tipos de frases, mas não é propósito deste estudo discutir essa questão. À Lógica formal só interessa o primeiro tipo, ou seja, as frases declarativas. Seguindo-se o conceito acima, pode-se definir proposição como uma oração declarativa. Observe o leitor que, para fazer uma declaração necessita-se fazer uso de um verbo. Redefinindo o conceito: Proposição é uma oração declarativa, que pode ser expressa de forma afirmativa ou negativa. Exemplos de proposições: a)“João é funcionário público.” (forma afirmativa) “João não é funcionário público.” (forma negativa) b) “Paulo foi Ministro da Educação.” (forma afirmativa) “Paulo não foi Ministro da Educação.” (forma negativa) c) “sin(kπ) = 0, com k ∈ {0, 1, 2, 3}.” (forma afirmativa) “sin(kπ) ≠ 0, com k ∈ {0, 1, 2, 3}.” (forma negativa) d) “x + 5 = 12.” (forma afirmativa) “x + 5 ≠ 12.” (forma negativa)

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Observe que a proposição d acima está representada em sua forma simbólica (simbolismo matemático). Podemos estabelecer a leitura dessa proposição em linguagem corrente: d) “Xis mais cinco é igual a doze.” (forma afirmativa) “Xis mais cinco não é igual a doze.” ou “Xis mais cinco é diferente de doze.” (forma negativa) e) “Este carro é azul.” (forma afirmativa) “Este carro não é azul.” (forma negativa) f) “Todos foram aprovados no exame.” (forma afirmativa) “Nem todos foram aprovados no exame.” (forma negativa) [Nota: As formas de se estabelecer a negação dos diversos tipos de proposições serão vistas em capítulo próprio. Fica o alerta ao leitor para que se preocupe em assimilar um conceito de cada vez!] g) “2 + 2 = 3.” (forma afirmativa) “2 + 2 ≠ 3.” (forma negativa) h) “Nenhum aluno compareceu à aula hoje.” (forma afirmativa) “Algum aluno compareceu à aula hoje.” (forma negativa) 1.2.3. Linguagem corrente e Linguagem simbólica: Uma proposição pode ser representada tanto em linguagem corrente quanto em linguagem simbólica. 1.2.3.1. Linguagem corrente: é a representação sob a forma de uma frase, no idioma natural do leitor. Exemplo: “João é médico.”

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1.2.3.2. Linguagem simbólica: é a representação por meio de letras do alfabeto. As proposições simples são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s, t, etc.), e as proposições compostas são representadas por letras maiúsculas (P, Q, R, S, T, etc.). Exemplos: a) p: “João é médico.” (proposição simples) b) P: “Pedro é engenheiro e Maria é professora.” (proposição composta) [Nota: os conceitos de proposição simples e proposição composta serão vistos em detalhes mais adiante.] 1.2.4. Aspas: Quando estiver na linguagem corrente, é prudente sempre colocar uma proposição entre aspas. Embora nem todos os autores sigam essa determinação, aconselha-se ao leitor desenvolver esse hábito, a fim de evitar algumas confusões na identificação das proposições simples e compostas. Exemplos: a) Dadas as proposições: “João é médico.” e “Pedro é engenheiro.” Note que, neste exemplo, têm-se duas proposições simples. O “e” entre ambas não é um conectivo lógico. p: “João é médico.” e q: “Pedro é engenheiro.” b) Dada a proposição: “João é médico e Pedro é engenheiro.” Note que, neste exemplo, tem-se uma proposição composta, formada por duas proposições simples. O e entre as proposições simples é um conectivo lógico. P: “João é médico e Pedro é engenheiro.”