ÁREAS E MEDIDAS DE SUPERFÍCIES

1 . Área do Retângulo A área de uma região retangular cuja

base (comprimento) é b e cuja altura (largu-

ra) é h é dada por bh unidades de área, ou

seja:

A = bh

Observações: Tem lados opostos com medidas iguais e

paralelos; Todos ângulos internos são retos (medida

de 90°);

Teorema de Pitágoras: d2 = b2 + h2.

2 . Área do Quadrado O quadrado é um caso particular de um

retângulo, logo a área de uma região quadra-

da, cujo lado mede unidades de compri-

mento, é igual a . = 2 unidades de área,

ou seja:

A = . = 2

Observações: Todos os lados têm medidas iguais e os la-

dos opostos paralelos;

Todos os ângulos internos são retos (medi-

da de 90°);

Teorema de Pitágoras: d2 = 2 + 2

d2 = 2 2 d = 2 ;

É um caso particular de losango e retângu-

lo;

Perímetro: P = + + + P = 4

3 . Área do Paralelogramo A área da região limitada por um para-

lelogramo é encontrada multiplicando-se a sua

base b (comprimento) pela sua altura h (lar-

gura), ou seja:

A = bh

Observações: Tem lados opostos com medidas iguais e

paralelos;

Tem ângulos opostos com medidas iguais.

4 . Área do Losango A área da região limitada por um lo-

sango é igual à metade do produto das medi-

das das diagonais:

A =

2

d D

;sendo D – diagonal maior e d – diagonal menor.

Observações: Todos os lados têm medidas iguais e os la-

dos opostos paralelos; Tem ângulos opostos com medidas iguais;

As diagonais são perpendiculares;

Perímetro: P = + + + P = 4

5 . Área do Trapézio A área da região limitada por um trapé-

zio é igual à metade do produto da altura h pela soma das bases maior e menor B + b:

B

b

h

A = 2

h b) (B

; sendo

B - base maior,

b - base menor, h - altura.

PROF. GILBERTO SANTOS JR

GEOMETRIA PLANA

D

d

2

B

b

h

b

a

C

60° 60°

60°

h

b

Observações: Num trapézio as bases são paralelas;

Trapézio reto-retângulo: um dos lados coincide com a altura:

6 . Área do Triângulo A área limitada por triângulo pode ser

calculada de diferentes modos, dependendo

dos elementos conhecidos. Veja alguns:

6.1 Conhecidos um lado (base) b e a altu-

ra correspondente h: A área da região triangular é igual à

metade do produto da base b pela altura h, ou

seja,

A = 2

bh

6.2 Conhecidos dois lados a e b e o ângu-lo Ĉ formado por eles:

Estudamos em Trigonometria que a área

da região triangular é dada por,

A =

2

1.a.b.sen C

6.3 Conhecidos os três lados a, b e c: A área da região triangular pode ser

calculada pela fórmula de Heron; sendo o

semiperímetro P = 2

c b a , temos:

A = c) - b)(p - a)(p - p.(p

7 . Área do Triângulo

Isósceles

A = 2

bh

Observações: Dois lados têm medidas iguais;

Os ângulos da base têm medidas iguais;

Perímetro: P = + + b; A altura é também mediana e bissetriz:

8 . Área do Triângulo Equilátero

A = 4

32

Observações: Todos os lados têm medidas iguais;

Todos os ângulos internos têm medidas iguais;

Perímetro: P = + + P = 3 ; O triângulo equilátero também é triângulo

Isósceles, portanto, a altura é também

mediana e bissetriz.

h

b

b

a

c

h

h

altura mediana

bissetriz

altura,mediana ebissetriz

triângulo Isóscelestriângulo qualquer

triângulo qualquer triângulo qualquer

3

60°

60°

60°

30°

10 cm 10 cm

9 . Área do Hexágono Regular O hexágono regular é um polígono es-

pecial, pois é formado por seis triângulos equi-

láteros. Sendo o lado do triângulo equiláte-

ro, então a área do hexágono regular será

igual a:

AH = 6 . AT.E. = 6 .

4

32 =

2

33 2

Observações: Como em todo polígono regular os lados e

ângulos internos tem medidas iguais;

Perímetro: P = + + + + +

P = 6 .

10 . Área de Um Polígono Regular

Qualquer Observe o pentágono abaixo, que é um

exemplos de polígono regular. Se o polígono

regular tem n lados, a região limitada por ele pode ser decomposta em n regiões limitadas

por triângulos isósceles. Em cada um desses

triângulos, a base é o lado e a altura é o

apótema a do polígono regular. A área da re-

gião limitada por um polígono regular de n

lados pode então ser escrita assim:

aa

apótema

AH = n.

2

a ou A =

2

n. a ou A =

2

p.a

em que: : lado;

a: apótema;

n : perímetro;

p: perímetro.

11 . Área do Círculo

A = 2R

Observação: Comprimento do círculo é de medida

2πR.

12 . Área do Setor Circular A parte pintada da figura é conhecida como setor circular de um círculo de raio R.

Todo setor circular tem um arco correspon-

dente e um ângulo .

R

Lembrando que o círculo todo tem

comprimento de arco 2πR e como área πR2,

podemos determinar o arco ℓ e a área do setor

circular As utilizando regras de três:

Conhecido o arco :

s

2

A-

-R 2 R

As = R2

R2

As =

2

R

Conhecido , em grau:

s

2

A -

- 360 R

As = 360

R2

Conhecido , em radianos:

s

2

A -

- 2 R

As =

2

R2

As = 2

R2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Qual é a área da região triangular limitada pelo tri-

ângulo cujos medidas estão indicadas na figura abaixo?

2) Um terreno tem a forma de um trapézio de bases 20 m e 14 m, e altura 11 m. Nesse

terreno, construiu-se uma piscina retangular

de 8 m por 5 m. No restante do terreno foram colocadas pedras mineiras. Qual foi a área

onde se colocou pedra?

3) Na figura abaixo DM = MN = NC . Calcule

a área da região colorida dessa figura.

R

4

12 cmA B

D M N C

5 cm

4) O Perímetro de um triângulo equilátero é 30 cm. Calcule a área desse triângulo.

5) De uma placa de alumínio foi recortada uma região triangular equilátera de lado

20 cm. Qual é a área dessa região que foi recortada?

6) Qual é a área da bandeirinha abaixo, for-mado por quatro triângulos equiláteros?

2 cm

2 cm

2 cm

7) Qual é a área

de toda parte colo-rida da figura abai-

xo? Qual a área da

região não colori-

da?

8) Feito o levanta-mento de um terreno,

foram determinados

os dados indicados na

figura abaixo. Nessas

condições, qual é a área do terreno?

9) Uma placa de alumínio tem a forma de um

paralelogramo. Suas medidas estão indicadas na figura. Calcule a área dessa placa.

25 cm

40 cm

120°

10) Calcule a área da região poligonal de uma cartolina limitada por um hexágono regular de

lado 10 cm.

11) A figura abaixo mostra uma folha cir-

cular de zinco, de on-de foi recortada a re-

gião triangular equilá-

tera colorida. Calcule

a área dessa região

colorida. ( = r 3 e

a = r/2.)

r = 10 cm

12) Um piso de cerâmica tem forma hexago-nal regular. O lado do piso mede 8 cm. Qual é

a área desse piso?

13) Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas grandes, de forma circular, por

R$ 5,40. Para atender alguns pedidos, a piz-zaria passará a oferecer a seus clientes pizzas

médias, também de forma circular. Qual deve-

rá ser o preço da pizza média, se os preços

das pizzas grandes e médias são proporcionais às suas as áreas? (Dados: raio da pizza gran-

de = 18 cm; raio da pizza média = 12 cm.)

14) O piso (fundo) de uma piscina circular

tem 2,80 m de diâmetro (internamente). Qual é a área do piso dessa piscina?

15) Qual é a área da

região colorida da figura abaixo?

16) Um terreno tem a forma da figura abaixo.

Na figura estão registrados alguns dados do terreno, que nos permitem calcular a sua

área. Calcule então a área desse terreno.

8 m

6 m

17) O perímetro do quadrado ABCD da

figura abaixo é 32

cm. Calcule a área

da região colorida da figura.

D C

A B

18) Calcule a área do setor circular da figura abaixo.

2 cm

2 cm

40 m 30 m

36 m

40 m

4 cm

4 cm

5

= 10 cm

r = 4 cm

O

19) Quantos cm2 de alumínio são necessá-

rios para se fazer uma arruela cujas dimen-

sões r1 = 3 cm e

r2 = 1 cm, conforme a

figura abaixo.

EXERCÍCIOS DE VESTIBULAR

20)(Unicamp-SP) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públi-

cos considerando que cada metro quadrado é

ocupado por 4 pessoas. Qual a estimativa do

número de pessoas presentes numa praça de 4000 m2 que tenha ficado lotada para um

comício, segundo essa avaliação?

21)(PUC-SP) Um mapa é feito em uma esca-

la de 1 cm para cada 200 km. O município onde se encontra a capital de certo Estado

está representado, nesse mapa, por um lo-

sango que tem um ângulo de 1200 e cuja dia-

gonal menor mede 0,2 cm. Determine a área desse município.

22)(UFMT) O lado, o semiperímetro e a área de um hexágono regular formam, nessa or-

dem, uma PG. Determine o apótema desse hexágono.

23)(Vunesp-SP) Certos registros históricos babilônicos indicam o uso de uma regra para o

cálculo da área do círculo equivalente á fórmu-

la (em notação atual) A = 12

2C

, em que C re-

presenta o comprimento da circunferência cor-respondente. Determine o valor de oculto

nesses registros.

24)(UEPA-2010) A larga experiência tem levado profissionais ligados às diversas áreas

de produção de conhecimento tecnológico a

escreverem manuais técnicos com a finalidade de orientar estudantes, projetistas de máqui-

nas e professores de cursos técnicos. A figura

abaixo ilustra o desenho técnico planificado de

uma peça que será produzida em escala in-dustrial.

Fonte: Elementos de máquina, Sarkis Melconian – edição atualizada e revisada, São Paulo: Érica, 2000.

Com base nessa figura, a área delimitada pelo

desenho planificado da peça é:

(a)

4

1 3r2

unidades de área.

(b)

4

4 3r2

unidades de área.

(c)

4

4

3r2

unidades de área.

25)(UEPA-2009) Preocupado com a falta de área verde em sua cidade, um prefeito

resolveu aproveitar um terreno triangular, localizado no cruzamento de duas ruas, para

construir uma praça, conforme representado

na figura abaixo:

A área da praça a ser construída, em m2, é:

(a) 250 (c) 300 (e) 500

(b) 250 3 (d) 300 3

26)(PSS-2007) Durante muito tempo, quando se precisava usar a área do círculo em

problemas de Geometria, o cálculo era feito

por aproximação. Uma dessas maneiras era usar o Método da Exaustão, que consiste em

aproximar o círculo por polígonos regulares

nele inscritos, conforme mostram as figuras a

seguir:

Supondo que os círculos acima possuam raio

de comprimento igual a 1m, qual o erro co-

metido ao aproximar a área do círculo pela

área do hexágono regular nele inscrito, con-

forme mostra a Fig. 4? Admita que p = 3,14,

Or1

r2

6

3 = 1,73 e use duas casas decimais após a

vírgula.

27)(PROSEL-2003) Uma área retangular de

2 km de largura por 3 km de comprimento foi

reflorestada por determinada espécie de árvo-

re que necessita de uma área quadrada de 4

m de lado, para sua melhor preservação. Nes-

tas condições, o número de árvore existente

na área é:

(a) 375.000 (c) 475.000 (e) 550.000

(b) 425.000 (d) 525.000

28)(UFPA-2002) Um terreno retangular, cujas dimensões são 400 m e 500 m, será usado para abrigar famílias remanejadas da

área de macrodrenagem. Pretende-se fazer

lotes de 20 m x 20 m para cada família e usar

uma área equivalente a 20% da área total

para um complexo de lazer e para circulação. Quantas famílias podem ser alocadas?

29)(UEPA-2001) Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos

A, B e C (veja figura. O

arco AB mede 120° e a

corda AB mede 12 cm.

Calcule o valor de r.

30)(UFRA-2004) Em um triângulo retângu-lo, a medida da mediana relativa a hipotenusa

é 6 cm e o perímetro é 5 54 cm. Área

desse triângulo em, cm2, é

(a) 8 5 (c) 18 (e) 50

(b) 16 5 (d) 24 5

31)(UNAMA-2004, modificada) Responda

a questão tomando por base o TEXTO abaixo:

Caso o círculo acima possuísse 4 cm de diâ-

metro, a razão entre a área e o comprimento do arco correspondente ao setor circular que

representa o "Trabalho" seria:

(a) 4

1 (b)

2

1 (c) 1 (d) 4

32)(UNAMA-2007, modificada) Considere o texto a seguir para responder à questão.

O RIO AMAZONAS

O Rio Amazonas nasce no lago Lauricocha,

no Andes do Peru, possui 5.825 km de ex-

tensão e sua bacia é a mais vasta do mundo

com 5.846.100 km2. A diferença entre os

níveis mínimo e máximo de suas águas che-

ga a 10,5 m e, em alguns trechos, a distância

entre as margens mede 15 km. Em 1963,

constatou-se que a vazão do Amazonas,

num determinado trecho, é de 216.000 m3/s

de água. Nos trechos de baixo e médio cur-

so as águas correm a uma velocidade de 2,5

km/h, chegando à velocidade de 8 km/h na

parte mais estreita.

Um círculo de raio R é equivalente à bacia do

Amazonas (linha 4). Tomando = 3, o valor

de R, em quilômetros, está entre:

(a) 1.000 e 1.200 (c) 1.400 e 1.600

(b) 1.200 e 1.400 (d) 1.600 e 1.800

“A perseverança alimenta a esperança.”

Nunca deixe que lhe digam:

Que não vale a pena

Acreditar no sonho que se tem

Ou que seus planos

Nunca vão dar certo

Ou que você nunca

Vai ser alguém...

Renato Russo

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Um grande abraço!

A

B D