8/17/2019 2aV-discreta-espelho

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UFPA/ICEN

FACULDADE DE COMPUTAÇÃO

MATEMÁTICA DISCRETA – CBCC – 2013 – 4

2ª. Avaliação –

 3ª. feira, 03 de dezembro de 2103 –

 16:50 –

 18:20

Orientações. Este exame é com consulta de material produzido livremente pelo aluno em uma

folha de papel A4. Cada aluno somente pode consultar sua própria folha, sendo vedada a

consulta aos colegas e/ou às suas demais anotações. Esta orientação faz parte do código de

ética da disciplina. Responda todas as 3 questões nas próprias folhas da prova. A prova vale

100 pontos. O aluno pode fazer comentários adicionais nos finais de página para esclarecer ou justificar suas respostas. Não esquecer de assinar o nome e informar o número da matrícula.

Eu reconheço e aceito o código de honra._____________(Escreva sim ou não)

Nome/Matricula:_______________________________________________________________

Valor das questões

 ________________________________

1 | /50 |

2 | /30 |

3 | /20 !

Total /100 |

 _________________________________

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Problema 1:

a.  Imagine que no dia 1 =você recebeu 1 centavo e, para i >1, no dia i você recebeu duas

vezes mais centavos do que você recebeu no dia i-1. Quantos centavos você terá no

dia 20. Quanto terá no dia n. Use o principio da adição ou do produto para justificar

sua resposta. (20 pontos)

Resposta: você terá 1 + 2 + 4 + ...+ 219 = 220-1 = 1.048.575 centavos. Pode usar os dois

princípios para explicar o resultado; usando somente o da soma: o conjunto de todos

os centavos é a união do conjunto de centavos do dia 1 com aqueles do dia 2, assim

por diante; usando os dois princípios: o conjunto de centavos que você recebeu no dia

i é a união de dois conjuntos cada um do tamanho daquele que você recebeu no dia i-

1.

Obviamente que estamos falando de um progressão geométrica (P.G.) de razão r  igual

a 2, primeiro termo igual a 1 (a1) e numero de termos n  igual a 20; a expressão da

soma dos termos de uma pg é igual a (rn  –  1)/(r-1); entretanto, não era necessário

relembrar esta formula, pois o aluno poderia experimentar valores para menos dias e

intuir o valor da soma para 20 dias. Exemplo: em dois dias o numero de centavos seria

1 + 2 = 3 = 22-1; em três dias o numero de centavos seria 1 + 2 + 4 = 7 = 2 3  – 1; em

quatro dias: 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 2 4-1; em 20 dias: 1 + 2 + 4 + ... + 2 19  = 220  – 1.

b.  Falso ou verdadeiro: C(n,k) = C(n-2,k-2) + C(n-2,k-1) + C(n-2,k)? Se for verdadeiro, dê

uma prova. Se for falso, dê valores de n e k que mostrem qua a afirmação é falsa e

ache uma afirmação que seja verdadeira para C(n,k) e prove-a. (20 pontos)

Resposta: a expressão é falsa, pois C(4,2) é 6, mas C(2,0) + C(2,1) + C(2,2) = 4. Para

consertar a situação observamos que pela regra de Pascal C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-

1,k); aplicando a regra para cada um dos termos do segundo membro: C(n-1,k-1) = C(n-

2,k-2) + C(n-2,k-1) e C(n-1,k) = C(n-2,k-1) + C(n-2,k); somando os termos, ficamos com:

C(n,k) = C(n-2,k-2) + C(n-2,k-1) + C(n-2,k-1) + C(n-2,k) = C(n-2,k-2) + 2C(n-2,k-1) + C(n-

2,k), que é a expressão correta, pois C(4,2) = 6; e C(2,0) + C(2,1) + C(2,2) = 6, o que

confirma a equivalência das expressões.

c. 

Quantas soluções existem para a equação x1+x2+...+xn  = k com cada xi  inteiro e não

negativo. Prove sua resposta com um exemplo. (10 pontos) 

Resposta: existem C(n+k-1,k) soluções. Fazendo exemplos com números para chegar à

expressão C(n+k-1,k). Exemplo1: x1+x2 = 2 (n=2 e k = 2) tem 3 soluções que representadas

pelos pares ordenados {(0,2),(2,0) e (1,1)}; neste caso o numero de soluções é C(3,2)= 3;

x1+x2+x3=3 (n=3 e k = 3) tem 10 soluções representadas pelos pares ordenados {(1,1,1),

(0,0,3),(0,3,0), (3,0,0),(1,2,0),(1,0,2), (2,0,1),(2,1,0),(0,1,2),(0,2,1)}; nesse caso o número de

soluções é igual C(5,3)=10; então no caso geral o numero de soluções é C(n+k-1,k).

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Problema 2:

a.  Dado o conjunto A = {0,1,2,3,4} e uma partição de A = {{0,3,4}, {1},{2}}. Esta partição de

A é formada por classes de equivalência definidas por uma relação R em A. Qual é a

relação de equivalência R induzida por esta partição? (10 pontos).

Resposta: A relação R é {(0,0), (0,3), (0,4), (3,0), (3,3), (3,4), (4,0), (4,3), (4,4), (1,1),

(2,2)}, ou seja, a relação é constituída pelos pares ordenados do produto cartesiano de

cada bloco da partição por ele mesmo; assim sendo se reescrevermos a partição da

seguinte forma {A,B,C}, onde A = {0,3,4}; B = {1} e C = {2}, então os pares ordenados da

relação de equivalência são aqueles originados pelos seguintes produtos cartesianos A

x A, B x B e C x C.

b. 

Mostre que a relação R encontrada acima é reflexiva, simétrica e transitiva. (10pontos)

Resposta: Toda relação de equivalência é reflexiva, simétrica e transitiva. No caso em

tela {(0,0), (0,3), (0,4), (3,0), (3,3), (3,4), (4,0), (4,3), (4,4), (1,1), (2,2)} é reflexiva pois

estão presentes os pares (0,0), (1,1),(2,2) e (3,3); é simétrica pois estão presentes os

pares (0,3) e (3,0), (0,4) e (4,0), (3,4) e (4,3); ela é transitiva pois estão presentes os

pares (0,3), (3,0) e (0,0), que vale também para (0,4),(4,0) e (0,0), também (3,4),(4,3) e

(3,3); e também para (4,3), (3,4) e (4,4).

c. 

Seja R uma relação no conjunto A = {0,1,2} definida por {(0,0), (0,1), (0,2), (1,1), (1,2)}.

R é simétrica ou anti-simétrica? Justifique sua resposta (10 pontos)

Resposta: R não é simétrica, pois os pares (1,0), (2,0) e (2,1) não pertencem a relação,

o ou seja o consequente da relação é falso; é anti-simétrica  pela falsidade do

antecedente da implicação da definição da propriedade de anti-simetria.

Problema 3:

a.  Sejam A = {x|xR e x2  – 4x + 3 < 0} e B = {x|xR e 0 < x < 6}. Prove que A B. (10

pontos)

Resposta: os elementos de A satisfazem a inequação (x-1)(x-3) 0; ou b)

(x-1) > 0 e (x-3) < 0; no caso a) a solução seria x < 1 e x > 3, o que não resolve a

inequação, pois se escolhermos x = 0 (que é menor que 1), ficaríamos com (0-1)(0-

3)1 e x

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b. Prove que (A)  (B)  (A   B), onde A e B são conjuntos arbitrários (10

pontos).

Resposta: sem perda de generalidade, sejam A = {1,2} e B = {a,b}; A  B = {1,2,a,b};(A) = {, {1},{2},{1,2}};(B) = {, {a},{b},{a,b}};

(A) (B) = {, {1},{2},{1,2},{a},{b},{a,b}};

(A   B) = {, {1}, {2}, {a}, {b}, {1,2}, {1,a}, {1,b},

{2,a},{2,b},{a,b},{1,2,a},{1,2,b},{2,a,b},{1,a,b};{1,2,a,b}}; como se vê todos os elementos

de(A) (B) pertencem a(A B), o que prova que (A) (B)  (A B).