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Instituto de Estudos Superiores da Amaznia

Curso Engenharia Ambiental

Prof. Francisco Jnior

Disciplina Clculo II

A Transformada de Laplace

1 - Integrais Imprprias

Seja ( )g x uma funo definida no intervalo [ , )a . Ento a integral imprpria

( )a

g x dx

definida por

( ) lim ( )

R

Ra a

g x dx g x dx

,

se o limite existir. Quando o limite existe diz-se que a integral converge; caso contrrio,

diz-se que ela diverge.

2 Definio da Transformada de Laplace

Seja ( )F t uma funo de t definida para 0t . Ento, a transformada de

Laplace de ( )F t , denotada por L { ( )}F t , definida por

L0

{ ( )} ( ) ( )stF t f s e F t dt

onde s um parmetro real.

3 - A Transformada de Laplace de Algumas Funes Elementares

A tabela abaixo mostra a transformada de Laplace de vrias funes

elementares.

( )F t L { ( )} ( )F t f s

1 1 1 ( 0)s

s

2 t 2

1 ( 0)s

s

3 nt

0,1,2,3,...n 1!

( 0)n

ns

s

4 ate 1 ( )s a

s a

5 senat

2 2 ( 0)

as

s a

6 cosat

2 2 ( 0)

ss

s a

7 tsenat

2

2 2

2 ( 0)

ass

s a

8 cost at

2 2

22 2

( 0)s a

ss a

2

9

1,2,3,...

n att e

n

1

!

n

ns a

s a

10 bte senat

2 2

as b

s b a

11 cosbte at

2 2

s b

s b a

4 Funes Seccionalmente Contnuas Uma funo chamada de seccionalmente contnua ou contnua por partes num

intervalo t se o intervalo pode ser subdividido num nmero finito de intervalos

em cada um dos quais a funo contnua e tem limites laterais, direita e esquerda,

finitos.

5 Funes de Ordem Exponencial

Uma funo se diz de ordem exponencial se existem constantes , e NM

tais que ( )te F t M ou ( ) tF t e M para todo t N .

Exemplo: 2( )F t t uma funo exponencial de ordem 3, pois 2 2 3t

t t e .

Teorema 1

Se ( )F t uma funo seccionalmente contnua em todo intervalo finito

0 t N , com 0N , e se ( )F t uma funo de ordem exponencial , ento sua

transformada de Laplace ( )f s existe para todo s .

Prova: Temos, para qualquer inteiro positivo N ,

0 0

( ) ( ) ( )

N

st st st

N

e F t dt e F t dt e F t dt

.

Como ( )F t uma funo seccionalmente contnua em todo intervalo finito 0 t N , a

primeira integral direita existe. Tambm a segunda integral direita existe, pois ( )F t

uma funo de ordem exponencial pata todo t N . Para verificar isso, observe que

( )F t

t 1t 2t 3t

3

0

0

( ) ( )

( )

st st

N N

st

st t

e F t dt e F t dt

e F t dt

Me Me dt

s

Assim, a transformada de Laplace existe para s .

Observe que as condies enunciadas so suficientes para garantir a existncia

da transformada de Laplace. Porm, se as condies no so satisfeitas nada pode ser

afirmado, ou seja, a transformada de Laplace pode existir ou no. Assim, as condies

no so necessrias para garantir a existncia da transformada de Laplace.

6 Algumas Propriedades da Transformada de Laplace

6.1 Propriedade de Linearidade

Se 1 2 e c c so constantes quaisquer, enquanto que 1 2( ) e ( )F t F t so funes

com transformadas de Laplace 1 2( ) e ( )f s f s , respectivamente, ento

L 1 1 2 2 1{ ( ) ( )}c F t c F t c L 1 2{ ( )}F t c L 2{ ( )}F t

= 1 2 2 2( ) ( )c f s c f s .

Prova: Temos

L 1 1 1 1 1 1 10 0

{ ( )} ( ) ( )st stc F t c e F t dt c e F t dt c

L 1 1 1{ ( )} ( )F t c f s

e

L 2 2 2 2 2 2 20 0

{ ( )} ( ) ( )st stc F t c e F t dt c e F t dt c

L 2 2 2{ ( )} ( )F t c f s .

Assim,

L 1 1 2 2 1 1 2 20

{ ( ) ( )} ( ) ( )st stc F t c F t c e F t c e F t dt

= 1 1 2 20 0

( ) ( )st stc e F t dt c e F t dt

= 1 1 2 2( ) ( )c f s c f s .

Exemplo: L 0 0 0 0

{2 3} 2 3 (2 3 ) 2 3st st st st stt e t dt e t e dt e tdt e dt

= 2

1 12 3s s

4

6.2 Transformada de Laplace de Derivadas

Teorema 1: Se L{ ( )} ( )F t f s , ento L{ '( )} ( ) (0)F t sf s F , se ( )F t contnua

para 0 t N e de ordem exponencial para t N , enquanto '( )F t seccionalmente

contnua em 0 t N .

Prova: Aplicando integrao por partes, tem

L0 0

{ '( )} '( ) lim '( )

P

st st

PF t e F t dt e F t dt

=0

0

lim ( ) '( )

Pp

st st

Pe F t s e F t dt

=0

lim ( ) (0) ( )

P

sP st

Pe F P F s e F t dt

=0

( ) (0)

p

sts e F t dt F

= ( ) (0)s f s F

Usando o fato de que ( )F t de ordem exponencial quando t , de modo que

lim ( ) 0sPP

e F P

para s .

Teorema 2: Sejam ( ) e '( )F t F t contnuas para 0 t N e de ordem exponencial para

t N , e ''( )F t seccionalmente contnua para 0 t N . Se L { ( )} ( )F t f s , ento

L 2{ ''( )} ( ) (0) '(0)F t s f s sF F .

Prova: Pelo teorema 1, temos

L{ '( )} ( ) (0)G t sg s G .

Fazendo ( ) '( )G t F t , temos

L{ ''( )}F t s L { '( )} '(0)F t F

= [ ( ) (0)] '(0)s sf s F F

= 2 ( ) (0) '(0)s f s sF F .

Exerccios 1

1 Prove que:

a) L {1}1

, 0ss

b) L 2

1{ } , 0t s

s

c) L 1

{ } , ate s as a

d) L 2 2

{ } , 0a

senat ss a

e) L 2 2

{cos } , 0s

at ss a

5

6.3 Multiplicao por nt

Teorema 3: Se L{ ( )} ( )F t f s , ento

L ( ){ ( )} ( 1) ( ) ( 1) ( )n

n n n n

n

dt F t f s f s

ds ,

onde n 1, 2, 3, ....

Prova: A demonstrao feita usando induo matemtica.

Temos

0

( ) ( )stf s e F t dt

.

Ento pela regra de Leibniz para derivao sob o sinal de integrao, para 1n , temos

0 0

0

0

'( ) ( ) ( )

( ) ( )

{ ( )}

st st

st

st

df df s e F t dt e F t dt

ds ds s

t e F t dt

e tF t dt

L { ( )}tF t

ou seja,

L{ ( )} '( )df

F t f sds

.

Suponhamos, agora, que o teorema vale para n k , isto ,

L ( ){ ( )} ( 1) ( )k k kt F t f s ,

ou ainda,

L ( )

0

{ ( )} { ( )} ( 1) ( )k st k k kt F t e t F t dt f s

.

Assim, temos

0 0

1

0

1

1 ( 1)

{ ( )} { ( )}

{ ( )}

( 1) ( )

( 1) ( )

st k st k

st k

k k

k k

de t F t dt e t F t dt

ds s

e t F t dt

f s

f s

Portanto, se vale para n k , ento tambm vale para 1n k .

6

6.4 - Diviso por t

Teorema 4: Se L{ ( )} ( )F t f s , ento L( )

( )s

F tf u du

t

, contanto que 0( )

limt

F t

t

exista.

Prova: Suponha que ( )

( )F t

G tt

. Ento, ( ) ( )F t tG t . Agora, tomando a transformada

de Laplace em ambos os lados, obtemos

L{ ( )}F t L{ ( )}tG t

( )dg

f sds

.

Da, temos

( ) ( ) ( )

s

s

g s f u du f u du

.

Note que lim ( ) 0s

g s

Exerccios 2

1 Determine:

a) L { }t senat

b) L 2{ cos }t at

c) L 42 te

d) L 23 te e) L 5 tt e f) L 6 2 5cos2sen t t

g) L 3 3tt e

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A Transformada Inversa de Laplace

1 - Definio da Transforma Inversa de Laplace

Se a transformada de Laplace de ( )F t ( )f s , ou seja, L ( ) ( )F t f s , ento ( )F t chamada de transformada inversa de Laplace de ( )f s e escrevemos

simbolicamente por ( )F t L-1 ( )f s .

Exemplo: Como L 31

3

tes

, podemos escrever L-1 31

3

tes

.

2 - A Transformada Inversa de Laplace de Algumas Funes

( )f s L -1

{ ( )} ( )f s F t

1 1

s

1

2 2

1

s

t

3 1

!

n

n

s

nt

0,1,2,3,...n

4 1

s a

ate

5 2 2

a

s a

senat

6 2 2

s

s a

cosat

7

2

2 2

2

as

s a

tsenat

8

2 2

22 2

s a

s a

cost at

9

1

!

n

n

s a

1,2,3,...

n att e

n

10

2 2

a

s b a

bte senat

11

2 2

s b

s b a

cosbte at

8

3 Propriedades da Transformada Inversa de Laplace

3.1 Propriedade de Linearidade

Teorema 5: Sejam 1 2 e c c so constantes quaisquer e 1 2( ) e ( )f s f s as transformadas de

Laplace das funes 1 2( ) e ( )F t F t , respectivamente. Ento,

L -1

1 1 2 2 1{ ( ) ( )}c f s c f s c L -1

1 2{ ( )}f s c L -1

2{ ( )}f s

1 1 2 2( ) ( )c F t c F t .

Prova: Exerccio.

Exemplo: L -1

2

4 34

2 16

s

s s

L

-1 13

2s

L

-1 2

24 3cos 4

16

ts e ts

4 Transformada Inversa de Laplace de Derivada

Teorema 6: Se L -1

{ ( )} ( )f s F t , ento

L -1 ( ) ( )nf s L -1 ( ) ( 1) ( )

nn n

n

df s t F t

ds

, com 1,2,3,...n

Prova: Observe que

L ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )n

n n n n

n

dt F t f s f s

ds ,

Portanto,

L -1 ( ) ( 1) ( )n n nf s t F t .

5 Multiplicao por s

Teorema 6: Se L -1 ( ) ( )f s F t e (0) 0F , ento L -1 ( ) '( )sf s F t .

Prova: Exerccio

6 Diviso por s

Teorema 7: Se L -1

( ) ( )f s F t , ento L -1 0

( )( )

tf s

F u dus

.

Prova: Seja 0

( ) ( )

t

G t F u du . Ento, '( ) ( )G t F t e (0) (0)G F . Assim, temos

L '( )G t s L ( ) (0)G t G s L ( ) ( )G t f s .

Portanto, L ( )

( )f s

G ts

ou L -1

0

( )( ) ( )

tf s

G t F u dus

.

Prova: Exerccios (Pesquisar)

9

Exerccios 3

1 Encontre

a) L -1

3 2 4

5 4 2 18 24 30

9

s s s

s s s

b) L

-1

2 2

6 3 4 8 6

2 3 9 16 16 9

s s

s s s

.

2 Determine

a) L -1

2

2 2

s

s a

b) L -1

3 21

1s s

Prof. Francisco Junior

Email: fmoj@oi.com.br

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Aplicaes s Equaes Diferenciais

1 Equaes Diferenciais Ordinrias com Coeficientes Constantes

A transformada de Laplace til na resoluo de equaes diferenciais

ordinrias com coeficientes constantes. Por exemplo, suponha a seguinte equao

diferencial linear de segunda ordem

2

2( )

d Y dYa bY F t

dt ds ou '' ' ( )Y aY bY F t , (1)

onde e a b so constantes, sujeita s condies iniciais ou de contorno

(0) , '(0)Y A Y B (2)

onde e A B so constantes dadas. Tomando a transformada de Laplace em ambos os

lados de (1) e usando (2), obtemos uma equao algbrica para a determinao de

L ( ) ( )Y t y s . A soluo desejada obtida encontrando a transformada de Laplace de ( )y s . O mtodo pode ser estendido as equaes diferenciais de ordem mais elevada.

Exemplo:

1 Resolva os seguintes problemas de valor inicial aplicando a transformada de Laplace:

a)

''

(0) 1

'(0) 2

Y Y t

Y

Y

b)

2'' 3 ' 2 4

(0) 3

'(0) 5

tY Y y e

Y

Y

2) Resolva as seguintes equaes diferenciais aplicando a transformada de Laplace:

a) 1)0('0)0(;05'2" yeyyyy

b) 1)0('1)0(;06'" yeyyyy

c) 0)0('2)0(;02'2" yeyyyy

d) 0)0('1)0(;cos2'2" yeytyyy

e) 1)0('2)0(;4'2" yeyeyyy t

f) 1)0('0)0(;sen5'2" yeyteyyy t

g) 5)0('3)0(;1'" yeyeyyy t