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AA-220 AERODINÂMICA NÃO

ESTACIONÁRIA

Soluções para movimentos prescritos de um aerofólio

Prof. Roberto GILEmail: gil@ita.brRamal: 6482

2

Admitância Indicial

� Ao se aplicar uma entrada degrau a um sistema dinâmico, a resposta do sistema quando o mesmo é lineaar, éconhecida como a admitância indicial – A(t).

� Ou seja, a forma da função A(t) depende do sistema linear considerado; e a resposta do sistema uma força arbitrária f(t) pode ser obtida uma vez que se conheça esta função.

� A resposta no tempo a uma entrada degrau na força ∆f(t) aplicada em um instante de tempo t+∆t é:

( ) ( ) ( ),x t f A tτ τ τ τ τ τ∆ + ∆ = ∆ + ∆ − + ∆

3

Admitância Indicial

� Somando para todo o intervalo temporal, chega-se a integral de Duhamel:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

0

0

0

0 ,

0

0 0

t

t

t

x t f A t x t

fx t f A t A t

dfx t f A t A t d

d

τ

τ

τ

τ

τ τ

τ ττ τ τ

τ

ττ τ τ

τ

−∆

=

−∆

=

≅ + ∆ + ∆

∆ + ∆= + − + ∆ ∆

∆

∆ → ⇒ = + −

∑

∑

∫

4

� A resposta no tempo a uma entrada degrau na força ∆f(t) aplicada em um instante de tempo t+∆t é:

� Somando para todo o intervalo temporal, chega-se a integral de Duhamel:

( ) ( ) ( ),x t f A tτ τ τ τ τ τ∆ + ∆ = ∆ + ∆ − + ∆

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

0

0

0

0 ,

0

0 0

t

t

t

x t f A t x t

fx t f A t A t

dfx t f A t A t d

d

τ

τ

τ

τ

τ τ

τ ττ τ τ

τ

ττ τ τ

τ

−∆

=

−∆

=

≅ + ∆ + ∆

∆ + ∆= + − + ∆ ∆

∆

∆ → ⇒ = + −

∑

∑

∫

Admitância Indicial

5

Admitância Indicial

� Que pode ser reescrita na forma:

� Chegou-se na forma acima após um rearranjo resolvendo a integral por partes.

� Note que se A(t) é um degrau, a sua derivada no tempo será a função impulso, e f(t) é o termo forçante, que na realidade é a entrada do sistema dinâmico.

� Note que a equação acima é uma integral de convolução, também conhecida como chamamos anteriormente de integral de Duhamel.

� E do que se trata exatamente o conceito de convolução e por qual motivo se consegue obter a resposta de um sistema dinâmico dada uma entrada impulsiva?

( ) ( ) ( ) ( )( )

00

t dA tx t f A t f d

d

ττ τ

τ

−= + ∫

6

Conceito de Convolução

� É uma operação matemática formal, assim como a soma.� Soma: toma dois números e gera um terceiro.� Convolução: toma dois sinais (funções) para gerar um

terceiro (a).� O sinal de saída é o resultado da convolução do sinal de

entrada com a resposta INDICIAL do sistema.� Podemos estudar a convolução sob dois pontos de vista

distintos: do sinal de entrada: como cada ponto do sinal de entrada contribui para vários pontos do sinal de saída.

� do sinal de saída: como cada ponto do sinal de saída recebeu contribuições de vários pontos do sinal de entrada.

� Estas duas perspectivas são formas diferentes de analisar a mesma operação matemática, e portanto são equivalentes:

� a primeira fornece uma idéia conceitual da convolução, enquanto que a segunda descreve a matemática da convolução.

7

Conceito de Convolução

� Convolução:

( ) ( ) ( )t

'

0

= t- u dx t A τ τ τ∫t

u(t)

t

t

u(t0 ) • A’(t)

•••

u(t1) • A’(t)

x(t)

+

Sistema

A’(t)

y(t)

u(t) y(t)

' ( )( )

dA tA t

dt=

A’ = impulso; A = degrau

8

Convolução

9

Objetivo

� Nota-se que precisamos saber qual é a função de admitância indicial A(t).

� E o que temos até agora? Uma solução analítica para a teoria de aerofólio fino não estacionária, no domínio da frequencia uma vez que se usou a transformada de Laplacepara resolver a equação da condição de Kutta (integro diferencial, no tempo e no espaço)

� Particularizou-se a solução para MHS e chegamos a função de Theodorsen.

� Como A(t) é a resposta indicial, vamos estudar o problema para uma variação súbita em ângulo de ataque (degrau em ângulo de ataque) fazendo uso do que se obteve no domínio da frequencia – MHS � TRANFSFORMADA DE FOURIER PODE SER UMA SAIDA ...

10

Normalwash arbitrário

� Dado o aerofólio:

� Equação para o normalwash:

11

Coeficientes aerodinâmicos I

� Sustentação no domínio da frequencia

12

Coeficientes aerodinâmicos II

� Momento no domínio da frequencia

13

Coeficientes aerodinâmicos III� Sustentação e momento no domínio do tempo:

14

Forças e momentos:

� Uma vez calculadas cada uma das integrais e aplicando a condição de contorno, temos:

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Normalwash e Downwash

� Um é o posto do outro !?

� Termo aparece sendo multiplicado por C(k).

� Note que é uma velocidade alinhada com z, de um ponto a ¾ da corda (b/2) .

16

Generalizando o movimento

� Para um downwash a ¾ da corda qualquer, podemos fazer uso de uma transformada de Fourier para representar o infinito conteúdo de frequencias do downwash.

17

Parcela circulatória e não-circulatória

� Primeiro a parcela circulatória

Carregamento total:

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Generalizando Theodorsen

� Observamos que as equações de Theodorsen foram apresentadas no domínio a frequência, supondo movimento harmônico simples;

� Esta suposição deve-se ao ato que a função de Theodorsen foi definida baseada na hipótese de movimento harmônico da esteira que se forma devido a um movimento de mesma natureza do aerofólio;

� Porém a função de Theodorsen pode ser generalizada, isto é pode ser aplicável para movimentos quaisquer.

� E a forma de representar a função de Theodorsen para movimento quaisquer é associa-la a função de Wagner.

19

De Theodorsen para Wagner� Também podemos obter a resposta aerodinâmica para

movimentos arbitrários através da transformada de Fourier da resposta a movimento harmônico simples, que depende da função de Theodorsen. (ref BAH)

� Lembrando que o downwash é dado por:

� Pode-se representar o carregamento para movimentos quaisquer através da integral de Fourier dada por:

( ) 03 / 4

1

2cw t h V b aα α

= − + + −

� �

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ){ } ( )

( ) ( )( ) ( )

22

0

2

0 0 0

2

1 1

2 2

12

2

1 12

2 2

i t i t

h

i t

i t

l t l h e d l e d

b V bC k h e d

b V ba V bC k V b a e d

i

i i

ω ω

α

ω

ω

ω ω ω ω α ω ωπ π

πρ πρ ω ωπ

πρ πρ α ω ωπ

ω ω

ω ω ω

∞ ∞

−∞ −∞

∞

−∞

∞

−∞

= + =

= − + +

+ + + + −

∫ ∫

∫

∫

20

De Theodorsen para Wagner� Onde:

� Sabendo que:

� Temos:

( ) ( )

( ) ( )

i t

i t

h h t e d

t e d

ω

ω

ω ω

α ω α ω

∞

−∞

∞

−∞

=

=

∫

∫( )

( ) ( )n

n i t

n

di e d

dt

ωω ω∞

−∞= ∫i

i

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

0 02 2

0

0

1

2

1

2

i t

i t

d h d dL t b V ba V b C k f e d

dt dt dt

f i h V b a i

h V b a e dt

ω

ω

α απρ ρ ω ω

ω ω ω α ω ωα ω

α α

∞

−∞

∞

−∞

= + − +

= + + − =

= + + −

∫

∫ � � Note que f é o downwash a 3/4da corda

21

Entrada Degrau em αααα

� Supondo que o downwash é uma função degrau unitário (lembre que Wagner definiu a sua função para este tipo de movimento):

� O carregamento circulatório é dada por:

� Lembre que:

( )

( )

0 0 03 / 4

0 0

0 0

1

2c

i t

w t h V b a V

Vf V e dt

i

ω

α α α

αω α

ω

∞

−∞

= − + + − =

= =∫

� �

( )( )2

0

c i t

o

C kL t V b e d

i

ωρ α ωω

∞

−∞= ∫

0s V t b=

22

De Theodorsen para Wagner

� Substituindo a tempo reduzido na integral:

� Ficando o carregamento circulatório como:

( )( )2

0

C iks

o

C kL t V b e dk

ikρ α

∞

−∞= ∫

( )( )2 2

2 2

0 02 2

12

2

iks

o

d h d dL t b V ba V

C ke dk

i ikb

dt dt dt

α απρ πρ α

π

∞

−∞

= + − −

⇓

∫���������

Função de Wagner

( ) ( ) ( )2 2

1 0 0 0

12 2 2

2L s V b V sbsρ πα πρ φαφ= ⋅ ⋅ =

23

De Theodorsen para Wagner

�A função de Wagner é a transformada de Fourier da função de Theodorsen:

( )( )1

2

iksC k

s e dkik

φπ

∞

−∞= ∫

24

Generalização do Movimento

� A função de Wagner é a admitância indicial para o escoamento circulatório associado a uma variação tipo degrau no downwash a ¾ da corda - Vamos entender esta definição por partes:

� Ao se aplicar uma entrada degrau a um sistema dinâmico, a resposta do sistema quando o mesmo élinear, é conhecida como a admitância indicial – A(t).

� Ou seja, a forma da função A(t) depende do sistema linear considerado; e a resposta do sistema uma força arbitrária f(t) pode ser obtida uma vez que se conheça esta função.

25

Modelo de WagnerWagner, Herbert: Über die Entstehung des Dynamischen Auftriebes von TragFlügeln, fev. 1925

RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO� Assume-se como um primeiro

exemplo um aerofólio bidimensional movimentando-se em arfagem;

� Este aerofólio oscilante gera uma esteira de vórtices alternados cujo potencial a eles associado modifica o carregamento aerodinâmico sobre o perfil;

� As forças aerodinâmicas portanto não dependem somente da posição instantânea do aerofólio, mas também da posição e intensidade deste esteira de vórtices;

� Ou seja, isto significa que as forças não dependem exclusivamente do movimento instantâneo, mas também de uma história do movimento desde o seu início.

26

Modelo de Wagner I� O efeito da esteira pode ser significativo ponto de reduzir a

magnitude das forças atuantes no aerofólio;� Esta alteração causada pela esteira de vórtices podem

mudar significativamente as características aeroelásticas de um sistema;

� Vórtice de partida – é o modelo aerodinâmico não estacionário mais simples;

� Supõem-se que uma placa plana que idealiza um aerofólio é submetida a uma variação súbita em ângulo de ataque, quando a mesma encontra-se sujeita a um escoamento previamente estabelecido;

� Esta variação súbita no carregamento aerodinâmico gera um vórtice de partida suficientemente forte, a ponto de reduzir em 50% o carregamento instantâneo no aerofólio.

� Após um curto espaço de tempo, o seu efeito deixa de ser significativo uma vez que ele é convectado ao longo da esteira e seu potencial torna-se desprezível para o aerofólio.

27

Vórtice de partida

O conceito de vórtice de partida vem da aerodinâmica estacionária. Ele surge no início do movimento do aerofólio no sentido da direçãode vôo. De forma análoga, quando o escoamento já está estabelecidoao variarmos o ângulo de ataque subitamente aparecerá um vórticede partida.

28

Modelo de Wagner II

� O efeito do vórtice de partida na sustentação de um aerofólio em escoamento estabelecido émodelado pela função de Wagner;

� Esta função indica que o carregamento aerodinâmico no início do movimento é metade do carregamento aerodinâmico e regime permanente;

� Este carregamento instantâneo cresce suavemente até alcançar o valor de regime permanente para o ângulo de ataque associado àentrada impulsiva.

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Resposta indicial

� Função de Wagner:� Resposta a uma

variação súbita em ângulo de ataque do aerofólio.

� A função de Wagneré igual a 0,5 quando t=0 e cresce assintoticamente para 1.0.

� Esta resposta étambém conhecida como resposta indicialdo sistema.

30

� (ref. BAH e I.E.Garrick)� A Função de Wagner fornece o histórico de variação

no tempo da sustentação, dada uma entrada degrau em ângulo de ataque do aerofólio;

� Ela é normalmente representada em função do tempo adimensionalizado por:

� Este tempo adimensional ou (tempo reduzido)pode ser entendido como uma distância em semi cordas.

� Sustentação:

0s V t b=

( ) ( )2

0

12

2C

dCs V s

lL b

dρ α φ

α= ⋅ ⋅

( )sφ

Sustentação

31

� E como é a função de Wagner?

� Em 1925, Wagner derivou uma função que modela a resposta do carregamento de natureza circulatória a uma variação súbita em ângulo de ataque, supondo escoamento incompressível, e função do tempo reduzido dado por:

( )( ) ( )

2 20 2 2

0 1 0 1

1s

es d

K K I I

σ

φ σσ π

−∞

= − − + −

∫

0s V t b=

A Função de Wagner I

32

� É uma função que não possui uma transformada de Laplace;

� É função do tempo, ou ainda um tempo reduzido, grandeza muito comum em aerodinâmica não estacionária que representa a distância percorrida pelo aerofólio penetrando no escoamento, em termos de semi-cordas;

� Generalização para movimento arbitrários: A aplicação da função de Wagner a uma simulação de um movimento arbitrário no domínio do tempo pode ser compreendida como uma sucessão de variações tipo degrau em ângulo de ataque e sua derivada no tempo.

� A aplicação da integral de Duhamel permitirá o cálculo do carregamento aerodinâmico, para um dado movimento arbitrário conhecido.

A Função de Wagner II

33

Movimento Arbitrário

� Portanto, vamos nos basear na generalização do movimento fazendo uso da expressão que representa o downwash a ¾ da corda:

que será integrada no sentido de Duhamel fornecendo a sustentação correspondente representada por:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0 0

1

2

1

2

w t h V b a Q t

V dh dw s V s a V Q s

b ds ds

α α

αα

= + + − =

= + + − =

� �

( ) ( ) ( )2

0 00

2 0s dQ

l b h V ba V b Q s s dd

πρ α α πρ φ φ σ σσ

= + − + + − ∫�� � ��

34

� Porém para que a função de Wagner seja Laplace-transformável, R.T.Jones (NACA Rept 681) apresentou uma aproximação para esta função:

lembrando que s é o tempo reduzido dado por:

� Esta função permite agora a aplicação da transformada de Laplace.

( ) 0.0455 0.31 0.165 0.355

s ss e eφ − −≅ − −

Aproximação de Jones

0s V t b=

35

� A transformada de Laplace de

é:

( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0 0

10

2

12

2

12 0 2

2

d sl s bV L Q s

ds

l s bV s s Q s bV s s Q s

φ

φπρ

πρ φ φ πρ φ

=

= +

= + − =

� �

� � � � � � �

0

0

s V t b

s sb V

=

= ⇒�Variável deLaplaceadimens.

( ) ( )( )

( )2

0 00

2 0s d s

l b h V ba bV Q s Q dds

φ σπρ α α πρ φ σ σ

− = + − + +

∫�� � ��

Transformada de Laplace

36

� Lembrando que a aproximação de Jones dada por:

� Tem-se a função de transferência relacionando a entrada Q (downwash) com a saída l (carregamento):

� Note que é semelhante ao que temos da teoria de sistemas dinâmicos, é a função de transferência só que de natureza aerodinâmica!

( )

( )

2

0 2

0.5 0.2808 0.013652

0.3455 0.01365

l s s sbV

Q s s sπρ

+ +=

+ +

�

�

( )1 0.165 0.355

0.0455 0.3s

s s sφ ≅ − −

+ +�� � �

Função de transferência

aerodinâmica

37

� Resposta aerodinâmica no espaço de estados:

onde pode-se observar “estados aumentados”.� Quando tratarmos de aproximações por funções racionais

revisitaremos este assunto bem como veremos como aparecem os estados aumentados.

( )

( ) ( )

1 2

2

0 0

2 2 1

2

0 0

0 2 1

0.3455 0.01365

2 0.5 0.10805 0.0.006825

x x

V Vx Q t x x

b b

V Vl t bV Q t x x

b bπρ

=

= − −

= + −

�

�

Domínio do tempo