Trabalho de ASP

Vitor QueirozFundao Universidade Federal de Rondnia, Ncleo de Cincia e Tecnologia, Departamento de Engenharia Eltrica - DEE

Bacharelado em Engenharia Eltrica - 8o Perodo - Anlise de Sistema de Potncias

ResumoEste trabalho se prope a ser uma reviso com-preensivadas de modo a expandir os mtodos de anlise paraos quais os programas computacionais de soluo de problemasem sistemas de potncias.

Index TermsMatrizes, equaes dos ns, equaes de laos,Eliminao de ns por transformao Estrela-Malhas.

I. INTRODUO

COm o conhecimento das leis fundamentais da teoriade circuitos (lei de Ohm e as leis Kirchhoff), agora possvel aplicar essas leis para desenvolver duas tcnicaspoderosas para a anlise de circuitos: anlise nodal, que baseado em uma aplicao sistemtica das leis de Kirchhoffdas correntes, e anlise de lao, que se baseia em uma apli-cao sistemtica da lei de Kirchhoff de tenso. No obstanteoutra ferramenta apresentada trata-se da transformao decircuitos e a utilizao de matrizes para resoluo.

II. MATRIZES

As matrizes so estruturas matemticas organizadas naforma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organiza-o de dados e informaes. Nos assuntos ligados lgebra,as matrizes so responsveis pela soluo de sistemas lineares.Matrizes podem ter um nmero qualquer de linhas e colunas.Uma matriz de m linhas e n colunas uma matriz m x n.So classificadas por tipos como por exemplo: matriz linhas,matriz coluna, matriz nula, matriz quadrada, matriz diagonal,matriz identidade, etc.

A manipulao das matrizes regida por operaes conheci-das como as regras da lgebra matricial. Tais regras propor-cionam um mtodo ordenado para a resoluo de equaes. Asregras e a metodologia da lgebra matricial so especialmenteadequadas para a programao em computadores digitais. Agrande importncia dos computadores digitais na anlise desistemas de potncia faz com que o conhecimento das ope-raes bsicas com matrizes seja essencial para o engenheirode sistemas de potncia sendo a lgebra matricial a base dasexplicaes encontradas na literatura especializada no assunto.

III. ELIMINAO DE NS POR TRANSFORMAESESTRELA-MALHAS

O nmero de equaes necessrias para a soluo de umcircuito reduzido pela eliminao dos ns, que so as pontasformadas pela juno de dois ou mais elementos puros (R,L, C ou uma fonte ideal de tenso ou corrente) ligadospor seus terminais. O conhecimento da tenso em um ncomum a mais de dois elementos normalmente uma parteconveniente da soluo, razo pela qual deve ser evitada aeliminao desse n. Nos casos em que no for importante

a tenso num certo n, ele pode ser eliminado a fim dereduzir o nmero de equaes necessrias soluo. A tensono n eliminado bem como as correntes que circulam noselementos que terminam no n podem ser determinadas pormeio de clculos adicionais baseados na informao obtida nasoluo com o n eliminado. Se no sistema for preciso realizarmuitos estudos de estabilidade, a eliminao de ns reduz aquantidade de clculos, uma vez que tais estudos raramenteexigem informaes sobre as tenses nas barras.Se apenas trselementos terminam num n e nenhum deles uma fonte, essen pode ser eliminado por uma transformao delta-estrela.

A figura 01 mostra um circuito em estrela e o circuito deltaequivalente:

Figura 1. Circuitos equivalentes Y-delta.

as relaes entre as impedncias dos dois circuitos so asseguintes:

Zab =Za Zb+ Zb Zc+ Zc Za

Zc(1)

Zbc =Za Zb+ Zb Zc+ Zc Za

Za(2)

Zca =Za Zb+ Zb Zc+ Zc Za

Zb(3)

essas equaes so teis na determinao das impednciasligadas em delta equivalentes a uma dada ligao em estrela.Se quisermos converter impedncias ligadas em delta numaligao em estrela, as equaes apropriadas so:

Za =Zab Zca

Zab+ Zbc+ Zca(4)

Zb =Zab Zbc

Zab+ Zbc+ Zca(5)

Zc =Zbc Zca

Zab+ Zbc+ Zca(6)

se tivermos mais que trs impedncias terminando em um n,ele poder ser eliminado aplicando-se as equaes gerais deconverso estrela-malhas. A figura 02 mostra cinco impedn-cias ligadas em estrela, convergindo no n o e o circuitoequivalente de malhas.

Figura 2. Circuitos equivalentes estrela-malha.

Nesse, existe uma impedncia ligada entre cada par determinais do circuito original. A impedncia ligada entre doisterminais como p e q, no circuito de malhas, dada por:

Zpq = Zp Zq 1

Zo(7)

onde o termo, escrever somatrio de 1/z0, a soma dosinversos de todas as impedncias ligadas ao n, no circuitooriginal ligado em estrelas.

IV. EQUAES DOS LAOS

Cada elemento de circuito chamado ramo, constituindo-seno caminho entre um par de ns. Algumas vezes convenienteconsiderar apenas aqueles ns formados pela juno de maisde dois elementos; so chamados de ns principais. Os camin-hos fechados formados por um n de partida, passando por umconjunto de ns e retornando ao n de partida, sem passar porqualquer n mais de uma vez so denominados laos. Um lao dito independente se ele contiver um ramo que no pertenaa qualquer outro lao. Os laos independentes resultam emconjuntos independentes de equaes. Considerando a figura03:

vemos um circuito em que para cada lao tm-se as re-spectivas correntes numeradas. A aplicao da segunda lei deKirchhoff para o percurso I4 fornece:

EaEc = I1(Zad)+I2(Zdg)+I4(Zca+Zad+Zdg)(8)

O primeiro membro da equao acima a soma das quedasde tenso ao longo do lao, no sentido considerado positivopara a corrente de lao. No segundo membro, a corrente dolao considerado multiplicada pela soma das suas impedn-cias. A esse produto so adicionadas (com o sinal correto) asquedas de tenso devidas a todas as outras correntes de laoque circulam por uma das impedncias do lao original. Paratodos os outros laos da figura 03 teremos:

Figura 3. Circuito para equaes de laos.

E1 = I1 (Z11) + I2 (Z12) + I3 (Z13) + I4(Z14) (9)E2 = I1 (Z21) + I2 (Z22) + I3 (Z23) + I4(Z24) (10)E1 = I1 (Z31) + I2 (Z32) + I3 (Z33) + I4(Z34) (11)E4 = I1 (Z41) + I2 (Z42) + I3 (Z43) + I4(Z44) (12)

os primeiros termos das equaes so as elevaes da FEMao longo dos respectivos laos. As impedncias Z11, Z22,Z32 e Z44, so chamadas de impedncias prprias dos laose so iguais, respectivamente, soma das impedncias noslaos 1, 2 , 3 e 4. As outras impedncias so chamadas deimpedncias mtuas dos laos, sendo comuns aos laos indica-dos pelos ndices. Cada impedncia mtua ou a impednciareal comum aos dois laos com os quais se identifica ou ovalor negativo da impedncia real, conforme sejam iguais ouopostos os sentidos positivos das correntes dos dois laos naimpedncia considerada. A ordem dos ndices nas impednciasmtuas a de efeito-causa, isto , o primeiro ndice refere-seao lao onde ocorre a queda de tenso e o segundo ao laoonde h a elevao de tenso, A manuteno dessa ordemde ndices contribui para a simetria das equaes, mas poroutro lado, suprfluo porque (com elementos bilaterais) acorrente no lao 1 produzir a mesma queda de tenso nolao 2 que a que seria produzida no lao 1 pela corrente nolao 2. Portanto Z12 = Z21 e o mesmo raciocnio aplica-se soutras impedncias mtuas. Essas impedncias podem ocorrerentre partes de um circuito acopladas somente por meio decampos magnticos.

V. EQUAES NODAIS

A formulao sistemtica de equaes determinadas nos nsde um circuito, mediante a aplicao da lei das correntesde Kirchhoff, constitui a base para uma excelente soluode problemas de sistemas de potncia usando computadores.A fim de examinar alguns aspectos das equaes nodais, ocircuito da figura 04 mostrado a seguir:

Aplicando-se a H das correntes de Kirchhoff ao n 1 e aon 2, tem-se as seguintes equaes:

Figura 4. Circuito para equaes de ns.

I1 = V1 (Yf + Yg + Ya + Yc) V2 Ya V4 Yc (13)0 = V1 Ya + V2 (Ya + Yb + Yc) V3 Yb V4 Yg (14)

em qualquer n, um dos produtos a tenso do n vezesa soma de todas as admitncias que terminam no n; esseproduto corresponde corrente que sai do n quando astenses, em todos os outros ns so iguais zero. Os demaisprodutos so iguais, com sinal negativo, ao produto da tensoem outro n pela admitncia ligada diretamente entre ele e on para o qual a equao formulada. A forma normalizadapara as quatro equaes nodais que o circuito possui :

I1 = V1 (Y 11) + V2 (Y 12) + V3 (Y 13) + V4(Y 14) (15)I2 = V1 (Y 21) + V2 (Y 22) + V3 (Y 23) + V4(Y 24) (16)I1 = V1 (Y 31) + V2 (Y 32) + V3 (Y 33) + V4(Y 34) (17)I4 = V1 (Y 41) + V2 (Y 42) + V3 (Y 43) + V4(Y 44) (18)

Como nas equaes normalizadas de lao, a ordem dosndices efeito-causa. As admitncias Y 11, Y 22, Y 33 e Y 44,so chamadas de auto-admitncias dos ns e cada uma delas igual soma de todas as admitncias que terminam no n,identificado pelos ndices repetidos. As outras admitncias sochamadas de admitncias mtuas dos ns, sendo cada umaigual soma, com sinal negativo, de todas as admitnciasligadas diretamente entre os ns identificados pelos doisndices.

VI. ELIMINAO DE NS PELA LGEBRA MATRICIAL

Sendo a equao nodal normalizada, em notao matricial,expressa por

I = Y V (19)onde I e V so matrizes coluna e Y uma matriz quadrada

simtrica. As matrizes coluna devem ser dispostas de talmaneira que os elementos associados aos ns a serem elimina-dos estejam nas linhas inferiores das matrizes. Os elementosda matriz quadrada das admitncias so situados de maneiracorrespondente. s matrizes coluna so particionadas de modo

que os elementos associados aos ns a serem eliminados este-jam separados dos outros elementos. A matriz admitncias particionada de maneira que apenas os elementos identificadoscom os ns a serem eliminados fiquem separados dos demaispor linhas horizontais e verticais. Efetuando-se a partio deacordo com essas regras, tem-se:[

IaIx

]=[K LLt M

][VaVx

]onde Ix a submatriz composta pelas correntes que entram

nos ns a serem eliminados e Vx a submatriz compostapelas tenses nesses ns. Obviamente, todos os elementos deIx so iguais a zero, do contrrio os ns no poderiam sereliminados. As admitncias prprias e mtuas que formam Kso as identificadas com os ns que permanecem. A matriz M composta pelas admitncias prprias e mtuas correspondentesaos ns a serem eliminados. L e sua transposta Lt, soconstitudas apenas pelas admitncias mtuas comuns a umn a ser mantido e a um n a ser eliminado. Resolvendo amatriz:

Ia = K Va + L Vx (20)Ix = Lt Va +M Vx (21)

Sendo todos os elementos de lx iguais a zero, subtraindoLtVA de ambos os membros e multiplicando ambos os mem-bros por M1 obtemos:

M1 Lt Va = Vx (22)Substituindo a expresso de Vx na equao 22 obtm-se:

Ia = K Va L M1 Lt Va (23)que uma equao nodal cuja matriz de admitncias :

Y = K L M1 Lt (24)VII. DISCUSSO E CONCLUSES

O uso de tcnicas de modelagem de circuito so essenciaispara a compreenso e anlise de de sistemas de potncias.Em geral esses sistemas so deveras complexos e portantotais tcnicas, como a eliminao de ns por transformaesestrelas-malhas e uso das equaes de Kichhoff para laos emalhas, oferecem informaes sobre o sistema em questo epermitem reduzir a complexidade dos mesmo. Isto, aliado aresoluo das equaes por meio matricial fornecem ao en-genheiro ferramentas para solues desses sistesma. Ressalta-se que o uso de matrizes propriciam maior facilidade nodesenvolvimento de programas computacionais.

REFERNCIAS[1] Stevenson,William. Elementos de Anlise de Sistemas de Potencia, 4a

edio.[2] Sadiku, Alexander. Fundamentos de Circuito Eltricos, 4a edio.