Análise Dinâmica de uma Viga do tipo biapoiada utilizando o

Método dos Elementos Finitos (Software ANSYS11)

Vinicius Elias da Costa

professorviniciuselias@hotmail.com

Universidade de Brasília - UNB

Mestrado em Integridade de Materiais da Engenharia

Dezembro de 2011

Resumo

A dinâmica relaciona as forças que atuam num corpo com seu movimento. E este movimento pode ser obtido

através das equações de Lagrange. Um corpo rígido ou uma estutura nestas condições está sujeito à vibrações,

onde o sistema oscila a partir de uma posição de equilíbrio. Este trabalho tem como objetivo explorar estes

conceitos apresentando a formulação básica por elementos finitos e mostrar uma aplicação através do software

ANSYS. Trata-se da análise dinâmica de um viga biapoiada buscando com isto verificar seu comportamento

extraindo os modos de vibrar, frequências naturais e amplitude.

1 Introdução

A análise de estruturas é uma das aplicações mais comuns do método dos elementos finitos (MEF). O termo

”estrutura” não só diz respeito as estruturas de engenharia civil, mas também estruturas navais, aeronauticas,

mecânicas e etc.

Em geral, a análise de estruturas pode ser dividida em estática e dinâmica. E para realizar esta análise, faz-

se necessário na maioria das vezes o auxilio de ferramentas computacionais, onde neste caso, foi utilizado o

software ANSYS11. O ANSYS é software de elementos finitos que pode ser utilizado nas mais diversas classes

de problemas em engenharia. Este ainda apresenta sete tipos de análise de estruturas: Estática, modal, harmônica,

dinâmica transiente, espectral e dinâmica explicita.

2 Elementos Finitos em Dinâmica

Nesta seção apresentaremos a formulação para análise dinâmica em elementos finitos (EF) para o caso dinâmico

de uma estrutura. Este processo consiste basicamente na obtenção das equações de movimentos de Lagrange, onde

estas consitem apenas numa forma derivada dos principio dos trabalhos virtuais e o princípio de D’Alembert.

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2.1 Método Geral

Seja l o comprimento de um elemento, e considere u(ξ, t) com ξ : 0 ≤ ξ ≤ l, a função deslocamento, escolhida

satisfazendo a continuidade apropriada. Se u1, u2, . . . , uk representam os graus de liberdade para o elemento,

então

u(ξ, t) =

k∑i=1

φi(ξ)ui(t). (1)

onde φi(ξ) são chamadas funções de forma.

A energia potencial do elemento é calculada usando a equação (6) para o deslocamento e tem a seguinte forma:

V =1

2uT ku. (2)

onde u = [u1, . . . , uk]T e k é a matriz de rigidez local ou matriz de rigidez do elemento considerado.

A energia cinética para o elemento pode ser calculada também usando (6), e tem a seguinte forma

T =1

2u̇Tmu̇. (3)

onde m é a matriz de massa local ou matriz de massa do elemento.

O número total de graus de liberdade no modelo de EF é n = αβ − η, onde α é o número de elementos, β é o

número de graus de liberdade por elemento e η é o número de condições de contorno geométricas.

Considere o vetor deslocamento global dado por U = [U1, . . . , Un]T onde U1, . . . , Un representam os des-

locamentos a serem encontrados (ou não determinados). Desta forma, a energia potencial total do sistema tem a

forma:

V =1

2UTKU. (4)

onde K é a matriz de rigidez global, obtida pelo cálculo das matrizes de rigidez locais. A energia cinética total do

sistema tem a forma

T =1

2U̇TMU̇. (5)

onde M é a matriz de massa global, obtida pelo cálculo das matrizes locais.

2.2 Equações de Movimento - Dinâmica

Humar (2002) afirma que em dinâmica problemas envolvendo deslocamento, velocidade, deformação, tensão e

carregamento são todos dependentes do tempo. O procedimento consiste em obter equações de elementos finitos

para um problemas dinâmico, e que basicamente pode ser descrito pelos seguintes passos:

1. Idealize o corpo (objeto de estudo) num conjunto E de elementos finitos.

2. Considere o modelo de deslocamento de elemento e como:

~U(x, y, z, t) =

u(x, y, z, t)

v(x, y, z, t)

w(x, y, z, t)

= [N(x, y, z)] ~Q(e)(t). (6)

onde ~U é o vetor de deslocamento [N ] é a matriz de funções de forma e Q(e) é o vetor de deslocamentos

nodais, que é assumido em função do tempo t.2

3. Determine as matrizes de rigidez e massa (propriedades).

De (6), a deformação pode ser expressa por:

~ε = [B]Q(e). (7)

E a tensão como:

~σ = [D]ε = [D][B]Q(e). (8)

Derivando (6) em respeito ao tempo, a velocidade pode ser obtida por

~̇U(x, y, z, t) = [N(x, y, z)] ~̇Q(e)(t), (9)

onde ~̇Q(e) é o vetor de velocidade nodal.

Para deduzir as equações de movimento dinâmico de uma estrutura, podemos usar as equações de Lagrange

ou o princípio de Hamilton. Deste modo as equações de Lagrange são dadas por

d

dt

{∂L

∂Q̇

}−{∂L

∂Q

}+

{∂R

∂Q̇

}= {0} (10)

Onde

L = T − πp (11)

é a função Lagrangiana, T é a energia cinética do sistema, πp é a energia potencial, R é a função de dissipa-

ção, Q é o deslocamento nodal e Q̇ a velocidade nodal.

4. Montar as matrizes e vetores do sistema, e obter as equações de movimento total do sistema. Deste modo

ainda podemos obter,

T =1

2~̇Q

T

[M ]~̇Q (12)

πp =1

2~̇Q

T

[K]~̇Q− ~̇QT ~P (13)

R =1

2~̇Q

T

[C]~̇Q (14)

onde

M =

E∑e=1

[M (e)]

K =

E∑e=1

[K(e)]

C =

E∑e=1

[C(e)]

M matriz de massa global da estrutura, K matriz de matriz de rigidez global da estrutura, M matriz de

amortecimento global da estrutura, ~P (t) é o vetor de carga total.

Deste modo, a partir de (10),(13) e (14) podemos deduzir as equações de movimento da estrutura ou corpo

como:

[M ]~̈Q+ [C] ~̇Q(t) + [K] ~̇Q(t) = ~P (t) (15)

onde ~̈Q é o vetor de aceleração nodal no sistema global. Se o amortecimento for desconsiderado, temos

[M ]~̈Q+ [K] ~̇Q(t) = ~P (t) (16)3

5. Finalmente este passo consiste em resolver as equações de movimento, aplicando as condições iniciais e de

contorno.

Na análise dinâmica de uma estrutura além de obter as equações de movimento, efetua-se a análise modal

obtendo as frequências naturais e harmônica.

2.3 Análise de Vibrações Livres

Segundo Seto (1970), Vibração livre é um movimento periódico que se observa quando um sistema é deslocado da

sua posição de equilíbrio estático. Uma vez considerando o movimento harmônico como

~Q = ~Qeiωt. (17)

A equação de vibrações livres será dada por

([K]− w2[M ])~Q = ~0. (18)

onde ~Q representa a amplitude do deslocamento ~Q (Autovetor ou modo de vibração do sistema) e ω denotamos

por frequência natural de vibração (Autovalor). A frequência natural é a frequência do sistema que tem vibração

livre sem atrito.

Como ~Q por se tratar de um autovetor deve ser não-nulo, então segue que a solução para a equação (18) é dada

pelo determinante dos coeficientes da matriz ([K]− w2[M ]), isto é,

([K]− w2[M ]) = 0. (19)

3 Análise dinâmica via Software ANSYS

Considere uma viga bi-apoiada com as seguintes características: L = 1m, h = b = 5cm, A = 25cm2, I =

5.21.10−7, ρ = 7800kg/m3, v = 0, 3, E = 21000N/m2.

O modelo obtido no ANSYS pode ser visto na figura 1.

Figura 1: Modelo da Viga bi-apoiada no ANSYS

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3.1 Análise Modal

Uma vez feito a modelagem e aplicando as condições de contorno, foi feito a análise modal e obtido os seguintes

resultados para as frequências naturais

Figura 2: Primeiro Modo de Vibrar.

Figura 3: Segundo Modo de Vibrar.

Figura 4: Terceiro Modo de Vibrar.

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Modo de Vibração Frequências Naturais (Hz)

1 0,3717

2 0,148238

3 0,331988

3.2 Análise Harmônica

Para esta análise consideramos uma carga de 10N aplicada no nó 7 da viga, assim como visto abaixo na figura 5.

Figura 5: Viga com a força peso de 10N aplicada no nó 7.

Nesta análise utilizou-se um domínio de 0 a 0,5HZ, tendo em vista as frequências obtidas pela análise anterior.

Após aplicado todas as condições iniciais foi obtido o gráfico de amplitude em função da frequência para o nó 7.

Figura 6: Gráfico de amplitude em função da frequência para o nó 7.

É importante observar que os picos mais altos ocorrem próximo às frequências naturais.

3.3 Análise Transiente

Este tipo de análise, fornece o comportamento da estrutura a partir de uma força aplicada, em função do tempo.

Deste modo, foi aplicado uma força em função do tempo próximo ao ponto central da viga. A análise foi consi-

derada dentro de um intervalo de 50s, tempo suficiente para a observação de um período de oscilação da estrutura.

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Para tanto, aplicando um impulso com largura de 1s e magnitude 10N, ao qual foi definido como uma função.

Assim foi possível observar o comportamento da estrutura nestas condições, uma vez que o ANSYS efetua uma

animação no formato .avi, facilitando a compreensão desta análise.

Figura 7: Animação produzida pelo Ansys.

4 Conclusão

De acordo com os resultados obtidos observa-se que a análise dinâmica pelo método dos elementos finitos uti-

lizando uma ferramenta computacional que possibilite a obtenção de parâmetros como respostas com o tempo,

modo de vibrar da estrutura e suas frequências naturais de trabalho são de fundamental importância para obter um

projeto adequado. Verifica-se também em relação ao dados obtidos, que foram satisfatórios levando como parâ-

metro as referências consultadasm, mostrando a eficácia do MEF para este tipo de determinação. Em trabalhos

futuros, pretende-se fazer uma análise pelo MEF comparando a solução analítica com a obtida pela ferramenta

computacional.

5 Bibliografia

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Publications, 1987.

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RAO, S. S., The Finite Element Method in Engineering, Pergamon Press, Oxford, 1989.

SADD, Martin H. Elasticity: Theory, Applications, and Numerics. Academic Press, August 2004.

SETO, Willian W. Vibrações Mecânicas: Coleção Schaum, McGraw-Hill Int. Ed., 1970.

SORTELO Jr, José . Introdução às Vibrações Mecânicas, 1ed-São Paulo: Edgar Blucher,2006.

ZIENKIEWICZ, O.C., TAYLOR, R.L. The finite element method - Basic formulation and linear problems,

Vol. 1, 4th.ed., McGraw-Hill Int. Ed., 1989.

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