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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO PARAN

ESCOLA POLITCNICA

CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUO

GABRIELA F. FERREIRA

APLICAO DE LGEBRA LINEAR EM ENGENHARIA

LONDRINA 2015

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SUMRIO

1 - SITUAO PROBLEMA: CIRCUITOS ELTRICOS ------------------------------------1

1.1 - DEFINIES--------------------------------------------------------------------------------3

1. 2- CONCLUSO-------------------------------------------------------------------------------4

2 - SITUAO PROBLEMA: BALANCEAMENTO DE EQUAES QUMICAS------5

2.1 - DEFINIES--------------------------------------------------------------------------------6

2.2 - CONCLUSO-------------------------------------------------------------------------------7

3 - FONTES DE PESQUISA---------------------------------------------------------------------8

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1 CIRCUITOS ELTRICOS

Para tratar de circuitos eltricos faz-se necessrio definir: Lei de Ohm, em que a fora

eltrica o produto da resistncia pela corrente eltrica, descrita pela equao:

E = Ri (1)

e as Leis de Kirchhoff em que tem-se a Lei dos Ns, onde a soma das correntes que entram em

qualquer n igual soma das correntes que saem dele, e a Lei das Malhas, onde a soma das

quedas de tenso ao longo de qualquer circuito igual tenso total em torno do circuito (fornecida

pelas baterias).

Numericamente, pode-se analisar o caso abaixo onde deseja-se determinar as correntes do

circuito eltrico.

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No circuito com duas baterias e quatro resistores, tem-se as seguintes equaes para os ns:

i - i + i = 0 (2)

i - i + i = 0 (3)

Pelo circuito CABC tem-se:

4i + i = 8 (4)

Pelo circuito DABD:

i+ 4i = 16 (5)

Sendo assim, o sistema linear em questo segue:

i - i + i = 0

4i + i = 8 (6)

i+ 4i = 16

O sistema linear formado (6) pode ser escrito na forma matricial Ai = B , onde a matriz A a matriz

dos coeficientes, ou seja,

, o vetor i o vetor das incgnitas, e o lado direito dado por

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1.1 DEFINIES

No exemplo acima, foi utilizado um sistema linear, para sua resoluo, uma das opes Regra de

Cramer , que s deve ser utilizada na resoluo de sistemas que o nmero de equaes e o nmero

de incgnitas forem iguais.

Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equaes e n incgnitas para a sua resoluo

devemos calcular o determinante (D) da equao incompleta do sistema e depois substituirmos os

termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a

regra de Cramer que diz:

Os valores das incgnitas so calculados da seguinte forma:

x1 = D1

D

x2 = D2

D

x3 = D3 ... xn = Dn

D D

Como aplicar a Regra de Cramer:

Encontrar a matriz incompleta do sistema linear que ser chamada de A;

Calcular o seu determinante que ser D;

Substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda

matriz que ser Ax;

Calcular o seu determinante Dx;

Substituir os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay

Calcular o seu determinante Dy;

Substituir os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta para formar

a matriz Az;

Calcular o seu determinante Dz;

Depois de ter substitudo todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes,

colocar em prtica a regra de Cramer.

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1.2 CONCLUSO

possvel concluir que, utilizando sistemas lineares podemos determinar as correntes de um

circuito eltrico. No caso da situao problema apresentada, foi utilizado a Lei de Ohm, que tem

como base o seguinte conceito: a voltagem aplicada nos terminais de um condutor proporcional

corrente eltrica que o percorre. Sendo assim, este apenas um dos inmeros exemplos que podem

ser encontrados a relao da lgebra linear com a engenharia.

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2 BALANCEAMENTO DE EQUAES QUMICAS

Uma equao qumica balanceada uma equao algbrica que d o nmero relativo de

reagentes e produtos na reao e tem o mesmo nmero de tomos de cada tipo do lado esquerdo e

direito . Mantm reagentes esquerda e produtos direita.

Tem-se que 2H2 + O2 => 2H2O uma equao balanceada. Duas molculas de hidrognio se

combinam com uma molcula de oxignio para formar duas molculas de gua. Ainda, 6H2 + 3O2 =>

6H2O tambm uma equao balanceada.

No caso abaixo, a combusto de amnia (NH3) em oxignio produz nitrognio (N2) e gua.

Uma nova aplicao de sistemas lineares se d quando quer-se encontrar uma equao qumica

balanceada para a reao seguinte:

wNH3 + xO2 => yN2 + zH2O (7)

Pode-se fazer a seguinte correspondncia:

Nitrognio: w=2y (8)

Hidrognio: 3w=2z (9)

Oxignio: 2x=z (10)

E assim, o sistema linear est formado:

w=2y

3w=2z (11)

2x=z

Neste caso, o sistema linear (11) pode ser escrito na forma matricial Ax = b, onde a matriz A a

matriz dos coeficientes, ou seja, , o vetor x o vetor das incgnitas,

e o lado direito dado por

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2.1 DEFINIES

Assim como na situao problema do circuito eltrico, novamente foi utilizado um sistema linear,

para sua resoluo.

Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equaes e n incgnitas para a sua resoluo

devemos calcular o determinante (D) da equao incompleta do sistema e depois substituirmos os

termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a

regra de Cramer que diz:

Os valores das incgnitas so calculados da seguinte forma:

x1 = D1

D

x2 = D2

D

x3 = D3 ... xn = Dn

D D

Como aplicar a Regra de Cramer:

Encontrar a matriz incompleta do sistema linear que ser chamada de A;

Calcular o seu determinante que ser D;

Substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda

matriz que ser Ax;

Calcular o seu determinante Dx;

Substituir os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay

Calcular o seu determinante Dy;

Substituir os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta para formar

a matriz Az;

Calcular o seu determinante Dz;

Depois de ter substitudo todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes,

colocar em prtica a regra de Cramer.

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2.2 CONCLUSO

Atravs de sistemas lineares, novamente foi possvel desenvolver um aplicao da lgebra

linear na engenharia, nesse caso em um balanceamento de equaes qumicas, onde as variveis

eram coeficientes estequiomtricos.

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3 FONTES DE PESQUISA

ANTON, Howard; RORRES, Chris. lgebra linear com aplicaes. Porto Alegre: Bookman, 2001.

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemtica. So Paulo: Editora Contexto,

2002.

STRANG, Gilbert. Introduction to linear algebra. Wellesley: Cambridge, 2003.

http://www.brasilescola.com/matematica/regra-cramer.htm

http://www.infoescola.com/quimica/balanceamento-de-equacoes-quimicas/

http://www.brasilescola.com/fisica/a-lei-ohm.htm