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1- PONTO CRÍTICO

Dada uma função y = f(x) dizemos que Dfc é um ponto crítico de f se '( )f c = 0 ou não existe '(x)f .

Como a função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, os únicos

pontos nos quais a função pode possuir máximos ou mínimos relativos são aqueles nos quais as derivadas são nulas

ou indefinidas. O ponto crítico da função é aquele no qual a derivada é nula ou indefinida. Todo extremo relativo é

um ponto crítico, mas nem todo ponto crítico é, necessariamente, um extremo relativo.

Figura - Três pontos críticos

Teste da Derivada Primeira

Seja c um número crítico de uma função f contínua em um intervalo aberto I que contém c. Suponha que f é

diferenciável em todo o intervalo I, exceto possivelmente em c. Então:

1. Se o sinal de f´ muda no ponto c, passando de negativo à positivo, f(c) é um mínimo relativo de f;

2. Se o sinal de f´ muda no ponto c, passando de positivo à negativo, f(c) é um máximo relativo de f;

3. Se f´ não muda de sinal no ponto c, então f(c) não é máximo relativo nem mínimo relativo de f. A Figura

acima ilustra a situação.

2- VALOR MÁXIMO RELATIVO

Dizemos que uma função f tem um valor máximo relativo em c, se existe um intervalo aberto I Df com c I, tal

que f(x) f (c) , Ix .

UIA 4 – APLICAÇÕES DA DERIVADA E INTEGRAL

AULA 19 E 20 – EXTREMOS DE FUNÇÕES E GRÁFICOS

3- VALOR MÍNIMO RELATIVO

Dizemos que uma função f tem um valor mínimo relativo em c, se existe um intervalo aberto I Df com c I, tal

que f(x) f (c) , Ix .

Obs: Se uma função f tem um máximo ou um mínimo relativo em c, então dizemos que f tem um extremo relativo

em c.

Teorema de Fermat: Seja f definida no intervalo (a, b). Se f possui um extremo relativo em c (a, b) e '(x)f

existe, então '( )f c = 0.

4- FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES

Diz-se que uma função f definida em um intervalo I é crescente neste intervalo se, e somente se, )()( 21 xfxf

sempre que 21 xx para todo x1, x2 I .

Diz-se que uma função f definida em um intervalo I é decrescente neste intervalo se, e somente se, )()( 21 xfxf

sempre que 21 xx para todo x1, x2 I .

Teorema 1: Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Então:

(i) se '(x)f > 0 ),( bax , então f é crescente em [a, b].

(ii) se '(x)f < 0 ),( bax , então f é decrescente em [a, b].

5- TESTE DA 1a DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Seja f uma função contínua em (a, b) e derivável em (a, b) exceto eventualmente em c ).,( ba Então:

(i) Se '(x)f < 0 ),( cax e '(x)f > 0 ),( bcx , então f(c) é um mínimo relativo em f.

(ii) se '(x)f > 0 ),( cax e '(x)f < 0 ),( bcx , então f(c) é um máximo relativo em f.

Exemplo 1 - Determine onde a função f(x) = 2x³ + 3x² - 12x – 7 é crescente e onde é decrescente, calcule seus

extremos relativos e construa o gráfico correspondente.

-SOLUÇÃO-

1º PASSO - Comece calculando a derivada e iguale a zero para calcular o ponto crítico.

2'(x) 6 6 12

'( ) 0 2 1

f x x

f x x e x

Logo, os pontos críticos são - 2 e 1.

2º PASSO - Determinar onde a função é crescente e onde é decrescente,

Basta observar os sinais da derivada, quando x < - 2, - 2 < x < 1 e x > 1. Para ficar mais fácil, monte a tabela abaixo.

Pegue um número qualquer em cada intervalo, substitua na função derivada e observe o sinal:

se '(x)f > 0 ),( bax , então f é crescente em [a, b].

se '(x)f < 0 ),( bax , então f é crescente em [a, b].

Logo, f é crescente nos intervalos , 2 e 2, e decrescente em 2,1 .

3º PASSO – Calcular máximos e mínimos relativos.

Pelo teste da 1º derivada calculamos os extremos relativos.

(i) Se '(x)f < 0 ),( cax e '(x)f > 0 ),( bcx , então f(c) é um mínimo relativo em f.

(ii) se '(x)f > 0 ),( cax e '(x)f < 0 ),( bcx , então f(c) é um máximo relativo em f.

Pelo quadro acima, podemos observar que:

'(x)f < 0 ( 2, 1)x e '(x)f > 0 (1, )x .

Por (i) f tem um mínimo relativo em 1 e seu valor mínimo é (1) 14f .

'(x)f > 0 ( , 2)x e '(x)f < 0 ( 2, 1)x .

Por (ii) f tem um máximo relativo em -2 e seu valor máximo é ( 2) 13f .

4º PASSO - Gráfico

Exemplo 2 - Determine onde a função f(x) = x³ – 7x + 6 é crescente e onde é decrescente, calcule seus extremos

relativos e construa o gráfico correspondente.

-SOLUÇÃO-

Intervalo Sinal de f´(x) Função Crescente ou Decrescente

x < - 2 '( 3) 24 0f (+) Crescente

- 2 < x < 1 '(0) 12 0f ( - ) Decrescente

x > 1 '(2) 24 0f (+) Crescente

1º PASSO - Comece calculando a derivada e iguale a zero para calcular o ponto crítico.

2'(x) 3 7

7'( ) 0

3

f x

f x x

Logo, os pontos críticos são 7 73 3

e .

2º PASSO - Determinar onde a função é crescente e onde é decrescente,

Basta observar os sinais da derivada, quando 7 7 7 7,3 3 3 3

x x e x .

Para ficar mais fácil, monte a tabela abaixo.

Pegue um número qualquer em cada intervalo, substitua na função derivada e observe o sinal:

se '(x)f > 0 ),( bax , então f é crescente em [a, b].

se '(x)f < 0 ),( bax , então f é crescente em [a, b].

Logo, f é crescente nos intervalos 7,3

e 7 ,3 e decrescente em 7 7,

3 3 .

3º PASSO – Calcular máximos e mínimos relativos.

Pelo teste da 1º derivada calculamos os extremos relativos.

(iii) Se '(x)f < 0 ),( cax e '(x)f > 0 ),( bcx , então f(c) é um mínimo relativo em f.

(iv) se '(x)f > 0 ),( cax e '(x)f < 0 ),( bcx , então f(c) é um máximo relativo em f.

Pelo quadro acima, podemos observar que:

'(x)f < 0 7 7,3 3

x e '(x)f > 0 7 ,3

x . Por (i) f tem um mínimo

relativo em 73

e seu valor mínimo nesse ponto é 73

f .

'(x)f > 0 7,3

x e '(x)f > 0 7 7,3 3

x . Por (ii) f tem um máximo

relativo em 73

e seu valor máximo nesse ponto é 73

f .

Intervalo Sinal de '(x)f Função Crescente ou Decrescente

73

x '( 2) 5 0f (+) Crescente

7 73 3

x '(0) 7 0f ( - ) Decrescente

73

x '(2) 5 0f (+) Crescente

4º PASSO - Gráfico

6- TESTE DA 2

a DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Se f uma função contínua em I, c I é um ponto crítico de f no qual '(c)f =0 e 'f existe para todos os valores de

x I . Então, se ''(c)f existe e

(i) se ''(c)f > 0, então f tem um mínimo relativo em c.

(ii) se ''(c)f < 0 , então f tem um máximo relativo em c.

(iii) se ''(c)f =0, então nada se pode afirmar sobre f(c).

7- CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO

Seja f uma função contínua em um intervalo aberto I, e c um ponto qualquer de I tal que existe '( )f c . Dizemos que

f tem concavidade voltada para baixo em I se, e somente se, para todo x I, sendo x diferente de c, o ponto P(x,

f(x)) do gráfico de f se encontra abaixo da reta tangente ao gráfico de f no ponto Po(c, f(c)).

Teorema: Seja f uma função derivável num intervalo aberto (a, b). Então

(i) Se ''(x)f 0, x (a, b), então a curva y = f(x) tem a sua concavidade voltada para cima neste intervalo.

(ii) Se ''(x)f 0, x (a, b), então a curva y = f(x) tem a sua concavidade voltada para baixo neste

intervalo.

Dizemos que o ponto (c, f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico da função f, se o gráfico da função f tiver neste

ponto reta tangente e se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que, se x I, então

(i) ''(x)f < 0, se x < c e ''(x)f > 0, se x > c.

(ii) ''(x)f > 0, se x < c e ''(x)f < 0, se x > c.

Isto é, “se f muda de concavidade em c”.

Teorema: Seja y = f(x) a equação da curva. Se ''(c)f = 0 ou ''(c)f não existe e a derivada Segunda ''(x)f muda de

sinal passando pelo valor x = c, e o ponto da curva da abscissa x = c é um ponto de inflexão.

Exemplo - Encontre os máximos e mínimos relativos de f(x) = -4x³ +3x²+ 18x utilizando o teste da segunda

derivada. Verifique também onde a função é côncava para baixo e para cima

1º PASSO - Comece calculando a derivada e iguale a zero para calcular o ponto crítico.

2'(x) 12 6 18

'( ) 0 3 / 2 1

f x x

f x x e x

Logo, os pontos críticos são x = 3/2 e x = -1.

2º PASSO – Derivada segunda e aplique o teste

''(x) 24 6f x

Aplicando o teste da segunda derivada:

(i) se ''(c)f > 0, então f tem um mínimo relativo em c.

(ii) se ''(c)f < 0 , então f tem um máximo relativo em c.

(iii) se ''(c)f =0, então nada se pode afirmar sobre f(c).

Como ''(3 / 2) 30 0f , f tem um valor máximo relativo em 3/2.

Como ''( 1) 30 0f , f tem um valor mínimo relativo em -1.

3º PASSO – Concavidade.

1º - Calcular o ponto de inflexão, ou seja, onde ''(x) 0f .

Para realmente ser um ponto de inflexão além da derivada segunda dar zero no ponto, precisamos ter a mudança de

sinal de f''(x) < 0 para f''(x) > 0 (ou vice-versa).

''(x) 0 24 6 0 1 / 4f x x

Intervalo Sinal de '(x)f Função Crescente ou Decrescente

1/ 4x ''(0) 6 0f (+) Côncava para cima

1/ 4x ''(1) 18 0f ( - ) Côncava para baixo

1/ 4x ''(1 / 4) 0f Ponto de inflexão

Estudo completo de uma função.

Roteiro:

(a) Determinação do domínio;

(b) Determinação das interseções com os eixos, quando possível;

(c) Determinação dos intervalos crescente e decrescente e de possível ponto de máximo e mínimo;

(d) Determinação dos intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo e de possíveis pontos de

inflexão;

(e) Assíntotas horizontais e verticais

EXERCÍCIOS

1- Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem.

(a) y = 3x + 4 (b) y 2 3 8x x

(c) 22 2y x x (d) y = (x - 2)(x + 4)

(e) 33y x (f) 3 22 5 3y x x x

(g) 4 34y x x (h) ( )y sen x

Respostas

(a) Não admite ponto crítico. (b) x = 3/2 (c) x = 1 (d) x = -1 (e) x = 0

(f) Não existe ponto crítico (g) x = 0 e x = -3 (h) , 0, 1, 2, 3,........2

x k onde k

2- Para as funções abaixo, pede-se:

I. Domínio;

II. Ponto crítico (se existirem)

III. Seus intervalos de crescimento ou decrescimento;

IV. Seus extremos relativos;

V. Seus pontos de inflexão;

VI. Assíntotas

VII. Esboçar seus gráficos.

(a) 4 3 2( ) 3 8 6 2f x x x x

(b) 2

( 3)( ) , 1x

xf x x

(c)1/3( ) ( 1)f x x

(d) 4 3 24

( ) 43

f x x x x

RESPOSTAS

(a) D = IR

Ponto crítico 0 e 1

f é crescente em (0, ) e decrescente ( ,0)

Ponto de mínimo relativo x = 0 e f(0) = 2 é um mínimo relativo de f. Em x = 1 nada podemos afirmar.

Ponto de inflexão: x = 1/3 e x = 1

Concavidade para cima em ( ,1/ 3) (1, ) e côncava para baixo em (1/3, 1)

Não existe assíntota

Gráfico

(b) D = IR – {3}

Ponto crítico 0 e 6

f é crescente em ( ,0) (6, ) e decrescente (0, 6)

Ponto de máximo relativo: x = 0 e f(0) = 0 é um máximo relativo de f.

Ponto de mínimo relativo: x = 6 e f(6) = 12 é um mínimo relativo de f.

Ponto de inflexão: x = 3

Concavidade para cima em (3, ) e côncava para baixo em ( ,3)

Assíntotas vertical: x = 3

Gráfico

(c) D = IR

Ponto crítico x = -1 (a derivada não existe nesse ponto)

f é sempre crescente e não existe máximo e mínimos

Ponto de inflexão: x = -1

Concavidade para cima em ( , 1) e côncava para baixo em ( 1, )

Não existe assíntota.

Gráfico

(d) D = IR

Ponto crítico x = -2, 0 e 1

f é sempre crescente em ( 2,0) (1, ) e f é decrescente em ( , 2) (0,1)

Ponto de máximo relativo: x = 0 e f(0) = 0 é um máximo relativo de f.

Ponto de mínimo relativo: x = -2 e x = 1 e f(-2) = -32/2 e f(1) = -5/3 são mínimos relativos de f.

Ponto de inflexão: x = 1 7

3

Concavidade para cima em1 7 1 7

, ,3 3

côncava para baixo em 1 7 1 7

,3 3

Não existe assíntota.

Gráfico

3- Verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função .603)( 2 xxxf

Resposta: x > -10 f é crescente x < -10 f é decrescente

4- Determine os intervalos em que a função 71232)( 23 xxxxf é crescente, decrescente, determine os extremos

relativos e esboce seu gráfico.

Resposta: x < -2; x > 1 f é crescente -2 < x < 1 f é decrescente .

x 0 = -2 é abscissa de pto de máx (-2; 13) x 0 = -2 é abscissa de pto de mín (1; -14)