Apostila

MATEMTICA FINANCEIRAPROF. DIOGO CRUZ

INTRODUOEste trabalho destinado aos alunos da disciplina de Matemtica Financeira da Universidade de Fortaleza e foi elaborado sobre o programa atualmente vigente. Entretanto em funo do assunto e da abordagem prtica, o mesmo pode ser utilizado nos negcios por empresrios, para preparao em concursos, e estudantes de outras escolas de nvel mdio e superior. Alm de uma abordagem terica com uma linguagem simples , tambm mostra a utilizao da mquina financeira HP 12-C que facilita bastante a resoluo de problemas . Em cada captulo, todos os assuntos so acompanhados de exerccios resolvidos, e para uma melhor fixao, no seu final um grande nmero de exerccios propostos acompanhados das respectivas respostas . Espera-se que esta iniciativa venha surtir um efeito positivo para o aprendizado, aliado a uma economia para os alunos da UNIVERSIDADE DE FORTALEZA , pois unifica neste trabalho todo contedo programtico da disciplina. O autor.

CONTEDO PROGRAMTICO DA DISCIPLINA1.OBJETIVO GERAL:Capacitar o aluno para utilizao da Matemtica Financeira como uma ferramenta de apoio para a vida profissional e pessoal, utilizando o conhecimento terico para as situaes prticas utilizados em gesto empresarial.

3.CONTEDO PROGRAMTICO:OBJETIVOS CONTEDOSCAPTULO 1 : CONCEITOS BSICOS . Destacar a utilizao da matemtica financeira no mundo dos negcios e conhecer seus conceitos bsicos . 1.1- A rea de abrangncia da Matemtica Financeira . 1.2.- A matemtica financeira como instrumento de - 04 apoio aos negcios. . 1.3- Conceitos bsicos de juros , capital , taxa e montante . 1.4- Os sistemas de juros . 1.5.- As formas de apresentao da taxa . 1.6.- Concordncia da taxa com o perodo de aplicao.

CH/DIAS

horas aula

CAPTULO 02 : O SISTEMA DE JUROS SIMPLES Conhecer o clculo do juro , montante , taxa , capital , perodo de aplicao , taxas equivalente , juro exato , juro comercial , valor nominal e valor atual, demonstrando a importncia de suas utilizaes na gesto de uma empresa e no processo de tomada de decises 2.1.Clculo do juro . 2.2- Clculo do montante . 2.3- Clculo da taxa de juros , do capital aplicado , do perodo de aplicao em funo do juro e do montante . 2.4- Taxa equivalente. 2.5- Juro exato e juro comercial . 2.6- Valor nominal e valor atual .

-08 horas aula

financeiras .

CAPTULO 03 : DESCONTO SIMPLES Conhecer detalhadamente os tipos e as operaes de descontos , possibilitando a avaliao no custo financeiro de uma empresa ,avaliando tambm o desgaste financeiro do dinheiro no tempo . 3.1-Conceito de descontos 3.2- Conceito e clculo de desconto racional ou por dentro. 3.3- Conceito e clculo de desconto comercial ou por fora. 3.4- Conceito e clculo de desconto bancrio. 3.5- Determinao das taxas de desconto . 3.6Determinao das taxas efetivas para descontos comerciais e bancrios. 3.7Clculo do IOF

- 10 horas aulas

CAPTULO 4 : O SISTEMA DE JUROS COMPOSTOS Conhecer o regime de capitalizao composta, determinado em operaes financeiras os valores de : montantes , juros , capital , taxas nominais , taxas efetivas e taxas equivalentes , com ou sem a utilizao de calculadoras financeiras . 4.1-Diferenas entre os sistemas de capitalizao. 4.2-Clculo do montante . conceito de capitalizao . 4.3-Determinao do capital , da taxa , do perodo de capitalizao em funo do montante . -10 4.4-Clculo do juros . 4.5-Taxa equivalente e efetiva . 4.6-Utilizao deste sistema em mquinas financeiras . 4.7.Equivalncia de Capitais

horas aulas .

CAPTULO 5 : NDICES, TAXA REAL , NOMINAL E DE INFLAO Conhecer os conceitos dos ndices que Permeiam a economia brasileira e os conceitos que definem a inflao e a formao da taxa nominal . 5.1. ndices de Preos (IGP,IGP-DI, IGP-M, IPC, ICV E outros ) 5.2. Principais taxas de mercados e indexadores. 5.3.Taxa Over 5.4.Taxa Referencial (TR) 5.5.Taxa de juros a longo prazo (TJLP) 5.6. Taxa SELIC 5.7. Determinao taxas real , nominal e de inflao

08 horas aulas .

CAPTULO 6 : ANUIDADES E EMPRSTIMOS Determinar os modelos ,bsico e genrico de anuidades possibilitando a anlise das operaes de crdito prazo . 6.1-Conceitos de rendas certas ou anuidades . 6.2- Classificao das anuidades . 6.3- Modelo bsico de anuidades . 6.4- Aplicao dos clculos de anuidades em calculadora financeira . 6.5-Aplicaes do clculos de anuidades em diversas operaes de crdito

08 horas aulas

.

Calcular as parcelas de financiamentos postecipados e antecipados

CAPTULO 7 : OPERAES DE EMPRSTIMOS 7.1. Sistema de amortizao constante (SAC) 7.2. Sistema Francs - Price

06 horas aulas

Calcular o retorno de um conjunto de entradas e sadas previstas ao longo do tempo.

CAPTULO 8 : ANLISE DE INVESTIMENTOS 8.1. Valor Presente Lquido - VPL 8.2. Taxa Interna de Retorno

06 horas aulas

CAPTULO 1CONCEITOS BSICOS1.1 REA DE ABRANGNCIA DA MATEMTICA FINANCEIRA

Atualmente a Matemtica Financeira possui uma vasta rea de atuao como instituies financeiras, comerciais, industriais, e vrias outras, de forma direta ou indireta. Para o cidado fundamental o conhecimento da Matemtica Financeira a fim de prover melhor seus recursos financeiro e tambm para no ser enganado em transaes que envolvem financiamentos. Qualquer estabelecimento de ensino superior que capacita profissionais para o mercado deve ter a matemtica financeira como uma cadeira obrigatria para a maioria de seus cursos, pois seu aprendizado ser de grande valia. 1.2 A MATEMTICA FINANCEIRA COMO APOIO AOS NEGCIOS.

Quando se fala em negcio, est implcita uma operao envolvendo pessoas e capital. Levar vantagem a parte mais preparada, isto , a que tiver maior conhecimento do produto , do mercado, e da forma financeira que o mesmo dever se realizar. O aspecto financeiro em um negcio decisivo em sua realizao, pois afora o seu valor efetivo, tem importncia tambm a forma de pagamento, o prazo combinado, a taxa envolvida se houver financiamento, etc. Para qualquer empresa ou para qualquer cidado fundamental uma boa anlise financeira antes da realizao de qualquer negcio , e a matemtica financeira o instrumento adequado .

1.3 CONCEITUAO DE CAPITALIZAO, JUROS, CAPITAL, , PERODO DE APLICAO E MONTANTE.

TAXA

CAPITALIZAR a forma de agregar valores sobre um investimento inicial, durante o perodo que este ficar aplicado. Existe uma grande diferena nos resultados , em funo da forma de capitalizar . Normalmente em pases organizados monetariamente, sem inflao, e com baixas taxas de juros, pela sua simplicidade, utiliza a capitalizao simples, entretanto quando as taxas so elevadas e necessitar um maior perodo no investimento, a utilizao da capitalizao composta ser essencial, pois caso contrrio a perda ser significativa . Juros - a remunerao obtida na aplicao de um capital por um determinado perodo. Pode tambm ser entendido de outra forma, que juros o aluguel recebido pelo dinheiro locado . Capital qualquer valor aplicado, normalmente em papel moeda vigente no pas. utilizado como valor inicial ou valor presente de qualquer aplicao. Taxa quem define o valor dos juros. um valor expresso na forma percentual que incide sobre o capital aplicado, determinando os juros que este ir gerar. Se estivesse falando de um imvel alugado, a taxa seria o valor do aluguel. Montante o valor total recebido no final de uma aplicao, isto , a adio do capital com os juros. Perodo de aplicao - o tempo necessrio para realizao de uma operao financeira.

1.4 SISTEMA DE JUROS Existem duas formas de realizao de juros no mercado, a simples e a composta. JUROS SIMPLES Para obteno dos Juros Simples no necessita a utilizao de frmulas complicadas, nem calculadoras financeiras para realizao de qualquer operao , pois utiliza-se somente as operaes bsicas de soma , subtrao , multiplicao e diviso. Ela atua diretamente sobre o capital inicial investido, e resulta de forma proporcional ao valor aplicado, taxa submetida e ao perodo de aplicao. JURO COMPOSTO - obtido de uma capitalizao seqencial sobre o montante realizado perodo a perodo , gerando um crescimento sobre o capital inicial de forma exponencial . Nesta forma de capitalizao as operaes j so mais complexas, pois envolve expoentes, razes, logaritmos, etc. Para facilitar operaes que envolvem a capitalizao composta, normalmente so utilizadas calculadoras financeiras. No mercado existem vrias marcas disponveis, e a mais utilizada no mundo inteiro a HP 12-C.

1.5

FORMA DE APRESENTAO DE TAXA

Como foi visto acima a taxa fundamental em uma operao financeira , pois ela quem define o valor da operao .No mercado sempre descrita na forma percentual . O por cento ou per cento a centsima parte de um todo. Como a taxa estar sempre vinculada a um determinado valor financeiro, fica melhor compreendida em uma operao desta forma . Porm , quando houver a necessidade de operar matematicamente , dever realizar sua transformao da forma percentual para forma unitria a fim de poder operar normalmente com os demais valores numricos. Na forma unitria utilizamos o valor expresso em percentual dividido por 100, portanto quando quiser utilizar em uma operao 10%

, ento deve dividir 10 por 100 e utilizar na operao o seu resultado igual a 0,1.

1.6 CONCORDANCIA DA TAXA COM O PERODO DE APLICAO Outro requisito necessrio para utilizao da taxa nas frmulas financeiras, que a mesma sempre dever estar no mesmo perodo utilizado na aplicao. Por exemplo, se a taxa contratada em uma determinada operao for anual, mas esta ir levar apenas alguns meses em sua realizao, ento deveremos igualar os perodos da taxa ou de aplicao a fim de que ambos, fiquem mensal ou anual. Na capitalizao simples tanto faz adequar a taxa ao perodo de aplicao e vice-versa, pois ambos esto em proporo direta, porm na composta s podemos adequar diretamente o perodo de aplicao para o perodo da taxa .

CAPTULO 2CAPITALIZAO SIMPLES A Capitalizao Simples a forma mais bsica para a realizao de uma operao financeira, pois a mesma atua apenas sobre o capital inicial, em forma de proporo direta e cujo crescimento na forma de progresso aritmtica. 2.1.CLCULO DO JURO SIMPLES - Js obtido utilizando diretamente sobre o capital, a taxa de aplicao e o perodo de utilizao deste valor. Js= cin Onde: c = capital , i = taxa , n = perodo de aplicao Baseado na frmula acima , tambm podem ser determinados : Capital Taxa Perodo de aplicao c= Js / in

i = Js/ cn n = Js / ci

Exemplo 1.- clculo do juros simples Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado por um perodo de 2 anos e 5 meses , no regime de capitalizao simples com uma taxa de 4,8% ao ms , determine o juros obtidos no final da operao . c=1.000,00 i = 4,8% ao ms = 4,8/100 = 0,048 am n= 2 anos 5 meses = ( 2 x 12) + 5 = 29 meses Js = 1.000,00 x 0,048 x 29 = 1.392, 00 Exemplo 2 clculo do capital em funo dos juros simples Determine o capital necessrio para obter juros de 3.600,00 aps um perodo de aplicao de 24 meses, capitalizado sob o regime de juros simples com uma taxa de 20 % ao ano. Js = 3.600,00 i= 20% ao ano = 20 / 100 = 0,2 aa n = 24 meses = 24 / 12 = 2 anos c= 3600,00 0,2 x 2 = 9.000,00

Exemplo 3 clculo da taxa em funo do juro simples Um capital de R$ 10.000,00 investido em sistema de capitalizao simples, rendeu R$ 4.580,00 em um perodo de 3 anos e 2 meses . Determine a taxa mensal de aplicao nesta operao. c= 10.000,00 Js=4.580,00 n= 3 anos 2 meses = 3 (12) + 2 = 38 meses i= 4.580,00 10.000 x 38 = 0,01205 am

Da mesma forma que devemos transformar a taxa percentual em unitria a fim de realizar a operao matemtica , devemos realizar a operao inversa no ato da determinao da taxa , pois neste caso ningum a entenderia , ento temos : i = 0,01205 x 100 = 1,205 % ao ms Exemplo 4 - determinao do perodo de aplicao em funo de juros simples. Determine o perodo mensal que um capital de R$ 5.000,00 deve ser aplicado sob o regime de capitalizao simples com uma taxa de 25% ao ano a fim de obter juros de R$ 1.800,00. c= 5.000,00 i=25% ao ano = 25/100 = 0,25 Js= 1.800,00 n= 1.800,00 5.000 x 0,25 = 1,44 anos

Como o perodo solicitado no problema foi o mensal, temos: n= 1,44 x 12 = 17,28 meses = 17meses + 0,28(30) dias = 17 meses e 8 dias 2.2.CALCULO DO MONTANTE SIMPLES a soma do capital inicial com o juros simples obtido , ento temos : Ms = c + Js => , logo Ms = c + cin , Ms = C (1 + in ) ento :

Atravs da frmula do montante deduzimos : Capital Taxa c = i = Ms 1+in M/c - 1 n n = M/c i 1

Perodo de aplicao

Exemplo 5- Clculo do montante simples Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado por um perodo de 3 anos e 2 meses , no regime de capitalizao simples com uma taxa de 6,8% ao ms , determine o montante obtido no final da operao . c= 10.000,00 i= 6,8% am = 6,8 / 100 = 0,068 am n= 3anos 2meses = (3 x 12) + 2 = 38 M = 10.000 ( 1 + 0,068 . 38 ) = 35.840 ,00 Exemplo 6 clculo do capital em funo do montante simples Determine o capital necessrio para obter no final de um investimento um montante de 14.600,00 aps um perodo de aplicao de 18 meses , capitalizado sob o regime de juros simples com uma taxa de 24 % ao ano . M=14.600,00 i= 24% ao ano = 24/100 = 0,24 aa n= 18 meses = 18 / 12 = 1,5 anos c= 14.600,00 1+ 0,24 x 1,5 = 10.735,29

Exemplo 7 clculo da taxa em funo do montante simples Um capital de R$ 16.800,00 investido em sistema de capitalizao simples, gerou um montante de R$ 28.400,00 em um perodo de 1 ano e 8 meses . Determine a taxa mensal de aplicao nesta operao. c= 16.800,00 M=28.400,00 n= 1 ano 8 meses = 1 (12) + 8 = 20 meses i= ( 28.400/16.800) - 1 20 = 0,03452 am

i= 0,03452 x 100 = 3,45 % ao ms Exemplo 8 - determinao do perodo de aplicao em funo do montante simples. Determine o perodo anual para um capital de R$ 15.000,00 aplicado sob o regime de capitalizao simples com uma taxa de 25% ao ano afim de obtenha no final da aplicao um montante de R$ 30.800,00 . c= 15.000,00 i=25% ao ano = 25/100 = 0,25 Js= 30.800,00 n= ( 30.800 / 15.000 ) - 1 0,25 = 4,21 anos

2.3.TAXA EQUIVALENTE SIMPLES Na capitalizao simples a taxa diretamente proporcional, e para adequ-la ao perodo desejado basta simplesmente multiplic-la ou dividi-la.

Exemplo 9 : Tem-se uma taxa de 1% ao ms e procura-se a anual, basta multiplicar por 12 (meses ) e teremos 12% ao ano . O inverso tambm verdico, pois se temos 36% ao ano, ao dividir por 12 (meses) , teremos 3% ao ms . 2.4. JURO EXATO E JURO COMERCIAL Juro Exato - Para determin-lo , utiliza-se todos os meses com os nmeros de dias reais , e o ano com 365 dias . Juro Comercial o que se utiliza no mercado, todos os meses so determinados com 30 dias e o ano com 360 dias . Exemplo 10 determinao de juros exato e comercial Determine o juros exato e comercial no sistema de capitalizao simples , para um capital de R$ 10.000,00 aplicados durante 140 dias com uma taxa de 35% ao ano . c=10.000,00 i= 35% aa = 35 / 100 = 0,35 J exato = 10.000 x 0,35 x 140 = 1.342 , 46 365 140 = 1.361,11 360

J comercial = 10.000 x 0,35 x

EXERCCIOS PROPOSTOS DE JUROS SIMPLES . . 1 - Determinar quanto render um capital de $ 40.000,00 aplicado taxa de 20 % ao ano , durante sete meses . Resposta: $ 4.666,67 2 - Um capital de $ 38.000,00, aplicado durante 6 meses , rendeu juros de $ 11.800,00 . Determinar a taxa anual. Resposta: 62,10 % ao ano 3 - Durante 180 dias, certo capital gerou um montante de $ 50.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros de 4% ao ms, determinar o valor do capital aplicado. Resposta: $ 40.322,58 4- Determine o valor dos juros contidos em um montante de $120.000,00, resultante da aplicao de certo capital taxa de 30% ao ano, durante 20 meses? Resposta: $ 40.000,00 5- Determine o montante realizado no final de 5 meses e 18 dias , correspondente a um emprstimo de $ 125.000,00 sabendo-se que a taxa de juros de 27% ao semestre ? Resposta: $ 156.500,00 6-Determine o perodo mensal para um capital de $ 1.000,00, aplicado a uma taxa de 20% ao ano, gera um montante de $ 2.000,00? Resposta: 60 meses 7-Determine o perodo dirio para um capital de $ 90.000,00 aplicado a uma taxa de 5% ao ms , produz $ 120.000,00 de juros ? Resposta: 200 dias 8-Obteve-se um emprstimo de $ 20.000,00 para ser liquidado por $ 32.000,00 ao final de dez meses. Qual a taxa anual de juros final cobrada nesta operao? Resposta: 72 % ao ano

9 - Quantos meses um capital aplicado a uma taxa de 38% ao ano ,dobra seu valor ? Resposta: 94,73 meses ou 94 meses e 22 dias 10-A que taxas de juros, um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a do seu valor ? Resposta: 2,5% ao ms 12-Um capital emprestado gerou $ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de aplicao foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao ms, calcular o valor do montante. Resposta: $ 220.720,00

CAPTULO 3DESCONTO SIMPLES 3.1 .CONCEITO DE DESCONTO o valor que dever ser abatido, de um ttulo com vencimento futuro com data pr-determinada, em funo da antecipao de seu pagamento. Como no regime de Juro Simples, o desconto ser igual em cada perodo. Normalmente o conceito de Desconto confundido com o abatimento obtido em funo de uma pechincha ou promoo na hora da comercializao. Para capitalizar, importante a concepo do perodo futuro ( prorrogao no resgate ) e para o desconto a concepo de antecipao ( pagamento antecipado ) . No desconto o valor futuro, que na capitalizao o montante, denomina-se de Valor Nominal. o valor efetivo do ttulo (duplicata, promissria, etc.) na data de seu vencimento. Na diferena entre o Valor Nominal e o Desconto, obtm o Valor Atual ou Valor Descontado. o valor pago com desconto em funo da antecipao no pagamento.

3.2.CONCEITO E CLCULO DE DESCONTO RACIONAL OU POR DENTRO o desconto obtido entre o valor vista do produto, multiplicado pela taxa de descontos e pela quantidade de perodos antecipados no ato do pagamento. Como neste ttulo a ser descontado dificilmente ir ser conhecido o seu valor de origem determinamos tambm o Desconto Racional pela frmula: Dr = Nin___ 1 + in ou Dr = PV . in

Dr = desconto racional N= Valor nominal i = taxa de desconto n = perodo de antecipao PV = valor presente Valor Atual Racional Vr - a diferena entre o Valor Nominal e o Desconto Racional . o valor que ser realmente pago aps sofrer um desconto simples por dentro, e obtm-se o seu valor pela frmula: Vr = N Dr => Vr = N__ 1 + in

Exemplo 1 Determine o Desconto Simples Racional e o Valor Atual Racional obtidos em funo do pagamento antecipado em 80 dias , de uma duplicata de R$ 1.000,00 , com uma taxa utilizada de 4,5%ao ms . N = R$ 1.000,00 i = 4,5% ao ms = 4,5/100 = 0,045 am n= 80 dias = 80/30 ms = 2,6667 meses Determinao do Desconto Racional Dr = 1.000 x 0,045 x 2,6667 1 + 0,045 x 2,6667 = 107,14

Determinao do Valor Atual Racional Vr = 1.000,00 107,14 = 892, 86 Utilizando a frmula : Vr = 1.000,00 = 1 + 0,045 x 2,6667 892,86

3.3.CONCEITO E CALCULO DE DESCONTO COMERCIAL OU POR FORA o desconto obtido diretamente sobre o Valor Nominal do ttulo a ser pago na data de seu vencimento. o produto entre o Valor Nominal pela taxa de desconto e pelo perodo pago antecipado. O Desconto Comercial ser sempre maior que o Desconto Racional, pois como foi visto, o primeiro atua sobre o Valor Nominal e o segundo sobre o valor vista. Dc = N.i.n Valor Atual Comercial Vc a diferena entre o Valor Nominal e o Desconto Comercial. Vc = N Dc => Vc = N ( 1 in ) Exemplo 2 Determine o Desconto Simples Comercial e o Valor Atual Comercial obtidos em funo do pagamento antecipado em 80 dias , de uma duplicata de R$ 1.000,00 , com uma taxa utilizada de 4,5%ao ms . N = R$ 1.000,00 i = 4,5% ao ms = 4,5/100 = 0,045 am n= 80 dias = 80/30 ms = 2,6667 meses Propositalmente, utilizou-se os mesmos valores do exemplo anterior , afim de possibilitar uma comparao de valores . Determinao do Desconto Comercial Dc = 1.000 x 0,045 x 2,6667 = 120,00 Valor Atual Comercial Vc = 1.000 120 = 880,00 Pela frmula: Vc = 1.000 (1 0,045 x 2,6667 ) = 880,00

3.4 CONCEITO E CLCULO DE DESCONTO BANCRIO. Desconto Bancrio obtido pelo Desconto Comercial, adicionado a uma taxa de servios bancrios que incide diretamente sobre o Valor Nominal . Db = Nin + Nh => Db = N [ in + h ] h taxa cobrada pela utilizao de servios bancrios. O Valor Atual Bancrio a diferena entre o Valor Nominal e o Desconto Bancrio. Vb = N Db => Vb = N { 1 [ in + h ] } Exemplo 3 Uma duplicata de R$ 10.000,00 foi descontada em um banco 110 dias antes de seu vencimento com uma taxa de 26% ao ano e uma taxa de servios bancrios de 2,5%. Determine os Desconto e o Valor Atual Bancrio. N=10.000,00 i = 26 % ao ano = 26 / 100 = 0,26 aa n= 110 dias = 110/360 anos = 0,3056 anos h = 2,5 % = 2,5 / 100 = 0,025 Determinao do Desconto Bancrio Db= 10.000 [ 0,26 x 0,3056 + 0,025 ] = 1.044,56 Determinao do Valor Atual Vb = 10.000 1.044,56 = 8.955,44 Pela frmula: Vb = 10.000 { 1 [ 0,26 x 0,3056 + 0,025 ]} = 8.955,44

3.5.DETERMINAO DAS TAXAS EFETIVAS PARA DESCONTO COMERCIAL A taxa efetiva aquele que incide diretamente sobre o Valor Atual Comercial e determina o Valor Nominal. Em funo dela, atuar em um valor menor (valor atual) a fim de determinar um valor maior ( valor nominal ) , a taxa efetiva ser sempre maior que a taxa de desconto . If = i__ 1- in

Exemplo 4 Determinar a taxa efetiva mensal referente a uma taxa de Desconto Comercial de 5 % ao ms em funo de uma antecipao de 160 dias . i = 5% ao ms = 5/100 am = 0,05 am n = 160/30 = 5,3333 meses If = 0,05__ 1- 0,05 x 5,3333 = 0,0682 am

If = 0,0682 x 100 = 6,82% ao ms

3.6 A RELAO ENTRE OS DESCONTOS COMERCIAL E RACIONAL A relao entre os Descontos Comercial e os Descontos Racional obtido por : Dc Dr = Nin / 1+in Nin = 1 + in

Imposto sobre Operaes Financeiras - IOF A sigla IOF, em verdade, no corresponde s iniciais do nome do tributo, que Imposto sobre Operaes de Crdito, Cmbio e Seguros. O mais preciso seria cham-lo de IOCCS. De qualquer forma, IOF um bom resumo sobre o que o imposto incide. O IOF, cabe esclarecer, foi criado para ser um instrumento de nivelamento do mercado financeiro. Ele evita que ocorra a chamada ciranda financeira de recursos, j que, na maioria das operaes sobre as quais incide, sua alquota diminui (em alguns casos chegando a zerar) com o aumento da permanncia dos recursos nas aplicaes. por esta razo que, ao contrrio da maioria dos impostos, quem administra sua alquota o poder executivo, por decreto, na figura do ministro da Fazenda. H, evidentemente, limites previstos por lei para a manipulao das alquotas. Abaixo, sero descritas as diferentes alquotas e dinmicas de incidncia do IOF nos diversos tipos de operaes sobre as quais ele recai e entenda o que mudou para o mercado de crdito. Operaes de crdito Cabe ao ministro da Fazenda definir a alquota vigente do IOF para operaes de crdito, que no pode ultrapassar 1,5% ao dia. A alquota atual de 0,0082% ao dia, alm da incidncia de uma taxa fixa de 0,38% sobre o somatrio dos acrscimos dos saldos devedores dirios, apurado no ltimo dia do ms. Entenda esta dinmica do exemplo abaixo:

Se o saldo devedor do ltimo dia do ms anterior (que transferido para o 1 dia do ms subseqente) for de R$ 1.000,00, e assim permanecer at o ltimo dia do ms corrente, o IOF ser calculado: 0,0082% sobre 30.000,00 (somatrio do saldo devedor de 30 dias); 0,38% sobre R$ 0 (no houve acrscimo de saldo devedor); Total devido: R$ 2,46.

Se houver novo dbito no dia seguinte, no valor de 500,00 (passando o saldo devedor para R$ 1.500,00), o IOF ser cobrado: 0,0082% sobre R$ 44.500,00 ( ou seja, R$ 1.000,00 x 1 dia + R$ 1.500,00 x 29 dias); 0,38% sobre R$ 500,00 (acrscimo de saldo devedor no ms); Total devido: R$ 3,65 + R$ 1,90 = R$ 5,55.

Operaes de cmbio A alquota mxima do IOF para operaes de cmbio pode ser de at 25%. Atualmente, no entanto, no caso de emprstimos, ela encontra-se reduzida. Veja como ele incide sobre as situaes abaixo: a) transferncia de recursos do exterior para o Brasil: at 90 dias do incio do contrato: 5% sobre o valor transferido; acima de 90 dias: zero; demais transferncias: zero; b) transferncia de recursos do Brasil para o exterior: vinculada carto de crdito: transferido; demais transferncias: zero;

2%

sobre

o

valor

Operaes de seguro Assim como em operaes de cmbio, o teto da alquota do IOF para operaes de seguro de 25%, embora a alquota vigente seja bem inferior: a) para seguros privados de assistncia sade: 2%;

b) resseguro, seguro obrigatrio, seguro vinculado a financiamento de imvel, exportao e transporte internacional, entre outros: alquota zero; c) seguro de vida, de acidentes pessoais e do trabalho: 4%, para contratos feitos a partir de 1 de setembro de 2004 a 31 de agosto de 2005; 2%, para contratos feitos de 1 de setembro de 2005 a 31 de agosto de 2006; e zero, para constratos feitos a partir de 1 de

setembro d) demais operaes

de de seguro:

2006; 7%;

Operaes relativas a ttulos ou valores mobilirios A alquota mxima do IOF que incide sobre as operaes de ttulos ou valores mobilirios de 1,5% ao dia. Atualmente, porm, a alquota vigente zero, com exceo das seguintes operaes: a) Aplicaes feitas por investidores estrangeiros em fundos mtuos de investimento em empresas emergentes e em fundos de investimento imobilirio: 1,5% ao dia, limitada a 10%; b) Resgate de quotas de Fundo de Aposentadoria Programada Individual (Fapi), feito em at 1 ano de permanncia dos recursos no fundo: 5% (acima de 1 ano, a alquota zero); c) Resgate, cesso ou repactuao de operaes com ttulos ou valores mobilirios: 1% ao dia (limitada ao rendimento da operao, ou zero, aps passados 30 dias da operao); d) Resgate de quotas de fundos de investimento, antes de completado o prazo de carncia para crdito de rendimentos: 0,5% ao dia.

EXERCCIOS PROPOSTOS DE DESCONTO SIMPLES 1. Uma pessoa pretende saldar um ttulo de $ 8.500, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de 30% aa, qual o desconto e o valor atual racional? (Desconto Racional Simples) Resposta - Dr = $ 593,02 e Vr = $ 7.906,98 2. O valor nominal $ 2.721,60 e o valor descontado racional $ 2.430,00, a taxa utilizada foi 3% ao ms qual o prazo de antecipao mensal? Resposta n =3,99 meses 3. Determine o desconto comercial de uma promissria de 80,000,00, taxa de 40% ao ano, resgatada 80 dias antes do vencimento. Resposta: dc = $ 7.111,11 4. Uma duplicata foi descontada comercialmente pelo valor de $ 30.000,00, 75 dias antes de seu vencimento, taxa de 45% ao ano. Qual o seu valor nominal? Resposta: N = $ 33.103,45. 5. Ao pagar um ttulo de $ 36.000,00 com antecipao de 60 dias, dado um desconto comercial de $ 6.000,00. Qual a taxa anual de desconto? Resposta: i = 100 % a.a. 6. 0 valor atual de um ttulo de 48.000,00 43.800,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial de 3,5% ao ms, qual a antecipao diria? Resposta: n= 75 dias 7. Um ttulo de $120.000,00 foi descontado comercialmente faltando 60 dias para o seu vencimento. Sabendo-se que o desconto foi de

18.000,00, calcular a taxa anual de desconto e a taxa anual de juro efetivo. Resposta: i= 90% a.a. e if = 106 % a.a. 8. Calcular o valor nominal de um ttulo com vencimento para 60 dias, sabendo que a diferena entre os seus descontos comercial e racional, taxa de 3% ao ms, de $ 407,55. Resposta: N = $ 120.000,00 9. Um comerciante desconta em um banco uma nota promissria para 90 dias taxa de 3% ao ms, mais 1 % de taxa administrativa. Sabendo-se que o lquido creditado para o comerciante foi de 108.000,00, qual o valor da nota promissria? Resposta: N = $ 120.000,00 10. Calcule o tempo de antecipao mensal que uma nota promissria descontada comercialmente, a 30% ao ano, sabendo-se que o seu valor nominal cinco vezes o do desconto. Resposta: 8 meses 11.Uma nota promissria de $ 86.000,00 foi paga 3 meses e 15 dias antes do vencimento com desconto bancrio de 12% a.a e taxa de servio de 1% ao ms. Qual o valor de resgate? 12. Uma financeira deseja obter uma taxa de juros efetiva de 40% ao ano em uma operao de 3 meses . Nessas condies, determine a taxa de desconto comercial simples anual que deve ser cobrada? 23. O desconto racional de um ttulo equivale a 80% do desconto comercial. Sendo a taxa de 2% ao ms, determine o perodo de antecipao.

CAPTULO 4CAPITALIZAO COMPOSTA 4.1. SISTEMA DE CAPITALIZAO COMPOSTO Como j vimos anteriormente a capitalizao composta determina juros cumulativamente, sobre o montante de cada perodo. a capitalizao realizada de forma direta e sem parcelas para um determinado perodo. a forma de capitalizar sobre o montante, perodo a perodo, gerando um crescimento do capital inicial de forma exponencial. Como exemplo: Se temos c=100,00 e i= 10% ao ms Aplicando este valor temos: 1o perodo M 1 = 100 ( 1 + 0,1 ) = 110,00 2o perodo C2 = M1 = 110,00 M2 = 110 (1 + 0,1) = 121,00 3o perodo C3 = M2 = 121,00 M3 = 121,00 (1 + 0,1 ) = 133,10

Pelo exemplo acima, observa-se que: M3 = c (1+i ) ( 1 + i ) ( 1 + i ) => M3 =C (1+i )3

Esta forma de capitalizao a utilizada pelo nosso sistema financeiro, a partir da Caderneta de Poupana, que a aplicao mais popular. Vale lembrar que um investimento que deve ser resgatado integralmente no final da aplicao. Para determinao de investimentos compostos, facilita muito a utilizao de uma mquina financeira. No mundo atualmente a mais utilizada pelo mercado a HP 12-C, que ser utilizada a partir de agora para determinao dos problemas. 4.2. DETERMINO DO MONTANTE o resultado obtido no final da aplicao. Para determin-lo matematicamente deve-se utilizar a seguinte frmula :

M=C(1+i)

n

Com a HP 12-C deveremos obedecer a seguinte sequncia :

Valor da aplicao Taxa na forma percentual Perodo no tempo da taxa < n >

Exemplo 1: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado em uma poupana , em regime de capitalizao composta , que rendeu em mdia 5% ao ms e foi retirado aps 1 ano . Determine o valor da retirada ? c = 1.000,00 i = 5% am = 0,05 am n = 1 ano = 12 meses M = 1.000,00 ( 1+0,05) Determinando pela HP 12-C : 1.000,00 5 12 CHS R$ 1.795 ,85 E PERODO DE12

= 1.795,85

4.3.DETERMINAO CAPITAL , TAXA , CAPITALIZAO EM FUNO DO MONTANTE

4.3.1. CAPITAL , VALOR PRESENTE OU VALOR ATUAL ; determinado para se conhecer o valor aplicado , oriundo de uma aplicao no regime de Capitalizao Composta , quando se conhece apenas o resultado final da operao , a taxa e o perodo .

Matematicamente , utilizamos a frmula : C = M (1+i)n

Utilizando a HP 12-C , teremos a seguinte sequncia : Valor futuro Taxa percentual Perodo igual ao da taxa < n > Exemplo 2 : Determine o valor de aplicao de um investimento cujo o resultado fora R$ 3.216,87 aps uma aplicao de 2 anos com uma taxa de 2% ao ms . M = 3.216,87 i= 2% ao ms = 2/100 am = 0,02 am n= 2 ano = 24 meses C= 3.216,87 = 2.000,00 (1+0,02) 24

Utilizando a HP 12 C : 3.216,87 2 24 < n> R$ 2.000,00

4.3.2. Determinao da Taxa : Como j foi visto anteriormente, a taxa fundamental para qualquer transao financeira , pois ela quem determina o preo da operao . Na capitalizao composta, taxa realizada de forma acumulada, quanto maior o seu valor e o seu perodo de aplicao maior ser o seu resultado . Matematicamente , determinamos taxa pela frmula :

i=

[( m/c )

1/n

1] x 100

Utilizando a HP 12-c , ns deveremos ter o resultado da aplicao , que chamamos de montante (FV) , o valor da aplicao e o perodo de aplicao , que ser o mesmo da taxa , ento: Resultado da aplicao Valor da aplicao Perodo Exemplo 3 : Um aplicador investiu R$ 1.000,00 e aps 8 meses retirou R$ 1.450,00 , determine a taxa mensal , obtida na aplicao : C=1.000,00 M=1.450.00 n=8 meses i = [ ( 1.450/1.000 ) Utilizando a HP 12-C 1.450,00 1.000,00 8 = 4,754% ao ms 4.3.3.PERODO DE APLICAO Este o item mais complicado para se determinar com exatido , pois a HP 12-C sempre arredonda os valores por ela determinado , da quando se quer o perodo real, dever ser utilizada a frmula matemtica , que definida por : n= log m/c log(1+i) ou n= ln m/c ln(1+i)1/8

- 1]x100 = 4,754% ao ms

Atravs da HP 12-C , devermos ter o resultado da aplicao , o valor da aplicao e a taxa utilizada para todo o perodo , da determinamos da seguinte forma : Resultado da aplicao Valor da aplicao Taxa 

Exemplo : Determine o perodo necessrio para aplicar R$ 1.000 ,00 e obter R$ 2.000 ,00 se a taxa obtida na aplicao for de 5% ao ms . Primeiramente vamos resolver pela forma aritmtica : N= ln ( 2.000 / 1.000 ) Ln ( 1+ 0,05) = 0,693147 = 0,04879 14,20 meses

Isto : 14 meses e 0,2 x 30 = 6 dias

Se determinar diretamente pela HP 12-C , teremos : 2000 1000 5 =

15 meses

Vimos atravs deste exerccio que realizando pela forma financeira teremos uma diferena de 24 dias em funo do arredondamento , da sempre aconselhamos utilizar a frmula matemtica .

4.3.4. DETERMINAO DO JURO COMPOSTO Sabemos que M = C + J , logo J = M C . Ento para determin-lo determinaremos o montante e subtrairemos o capital . Matematicamente , determinamos pela seguinte frmula : J = C ( 1+i )n

1

Com a HP 12-C , pela forma financeira , ser o seguinte : Valor de aplicao Taxa percentual Perodo de aplicao valor de aplicao < - >

4.4. TAXA EQUIVALENTE COMPOSTA Na capitalizao composta como vimos no podemos transformar uma taxa com o perodo mensal para anual simplesmente multiplicando por 12 e vice versa , por isso deveremos utilizar a frmula da taxa equivalente : Do menor para o maior perodo , temos: i eq = ( 1 + i )n

1

Do maior para o menor perodo i eq = ( 1+i )1/n 1

Exemplo : Em 2002 a taxa de inflao do Brasil fora de 15% . Determine a taxa mdia mensal . r- Como vimos ele pede para transformar uma taxa anual para mensal , isto de um perodo maior para um perodo menor , ento temos : imensal

= [ ( 1 + 0,15 )

1/12

1 ] x 100 = 1,171 % ao ms

Para realizar este clculo na HP 12-C , temos : 1 0,15 1 12 1 100 < x >

EQUIVALENCIA DE CAPITAIS COMPOSTA 5.1.DEFINIO , DATA FOCAL Dois ou mais capitais so denominados equivalentes , quando levados para a mesma data focal , com a mesma taxa de juros , tiverem o mesmo valor real . A necessidade da determinao de capitais equivalentes se deve a freqente prorrogao e antecipao de ttulos em operaes financeiras . Data Focal a data que servir de referencia e para onde sero levados os diversos valores de uma operao financeira . Se a Data Focal se encontrar anterior aos valores operados , devemos determinalos utilizando a frmula do Valor Atual ou Capital , se a mesma estiver posterior dever ser utilizada a frmula do Valor Futuro ( Montante) . 5.2.EQUAO DE VALOR uma equao que permite igualar capitais distintos em datas diferentes , utilizando a mesma taxa de juros e uma nica data focal . 5.3.DETERMINAO DO VALOR ATUAL E VALOR FUTURO DE UM CONJUNTO DE CAPITAIS . Em uma equao de valor , determina-se o Valor Atual todos aqueles que tiverem a necessidade de antecipao . Utiliza-se a mesma frmula utilizada que determina o Capital no regime de capitalizao composta , como tambm o mesmo procedimento na HP 12-C . Pv = Fv (1+i)n

Determina-se o Valor Futuro em uma equao de valor , aqueles que tiverem a necessidade de prorrogao . tiliza-se a mesma frmula que determina o Montante no regime de capitalizao composta , como tambm o mesmo procedimento na HP 12-C . importante lembrar que os valores da equao devero ser levados para a mesma Data Focal , utilizando a mesma taxa . Fv = Pv ( 1 + i )n Exemplo 1 Uma pessoa contraiu uma dvida com um amigo de R$ 1.000,00 para 6 meses , R$ 1.500,00 para 1 ano , e R$ 2.000,00 para 1,5 ano . Sabendo-se que a taxa acertada fora de 20% ao ano . Determine : a. O valor integral desta dvida , hoje : ______1.000________!.500_________2.000 0 6m 1ano 1,5anos Esta a seqncia pactuada , porm no caso de determinar o valor vista da dvida , todos os valores devem ser levados para a Data Focal zero (hoje). Como todos esto posteriores a data focal , devero ser antecipados utilizando a frmula do Valor Atual , ento : PV = 1.000,00 + (1+0,2)0,5 1.500,00 + (1+0,2) 1 2.000,00 ( 1+0,2) 1,5

PV = 912,87 + 1.250,00 + 1.521,45 = 3.684,32 Utilizando a HP 12 C 1.000 FV , 20 , 0,5 < n > => PV = 912,87 => 1 1.500 FV , 20 , 1 < n > => PV = 1.250,00 => 2 2.000 FV , 20 , 1,5 < n > => PV = 1.521,45 => 3 1 2 < + > 3 => 3.684,32

b. O valor integral se a dvida fosse totalmente quitada daqui a 1 ano : ______1.000______1.500______2.000 0 6m 1ano 1,5anos Se houver um acordo para quitar todas as parcelas juntas para 1 ano , a primeira parcela de R$ 1.000,00 pactuada para 6 meses , dever ser prorrogada em 6 meses , a segunda parcela de R$ 1.500,00 para 1 ano, que j se encontra na data do pagamento ( Data Focal ) no sofrer alterao de valor , e a terceira parcela de R$ 2.000,00 para 1,5 anos dever ser antecipada em 6 meses , ento : X = 1.000,00 ( 1+0,2)0,5

+ 1.500,00 +

2.000,00 ( 1 + 0,2)0,5

X = 1.095,45 + 1.500,00 + 1.825,74 = 4.421,19 Utilizando a HP 12 C 1.000 , 20 , 0,5 < n > => = 1.095,45 => 1 1.500 2 2.000< FV> , 20 , 0,5 < n > =>< PV> = 1.825,74 => 3 1 2 < + > 3 => 4.421,19

O valor integral se a dvida fosse totalmente paga apenas na data pactuada para pagamento da ltima parcela . :

______1.000______1.500______2.000 0 6m 1ano 1,5anos

Como foi visto no grfico acima as duas primeiras parcelas , de R$ 1.000,00 para 6 meses e R$ 1.500,00 para 1 ano devero ser adiadas para 1,5 anos , e a terceira parcela de como se encontra na data focal permanece com o valor inalterado , ento : X = 1.000,00 ( 1+0,2)1,0

+ 1.500,00 ( 1+0,2)

0,5

+ 2.000,00

X = 1.200,00 + 1.643,17 + 2.000,00 = 4.843,17 Utilizando a HP 12 C 1.000 , 20 , 1,0 < n > 1 1.500 , 20 , 0,5 < n > 2 2.000 3 => = 1.200,00 => => = 1.643,17 =>

1 2 < + > 3 => 4.843,17

UTILIZAO DA HP 12-CA finalidade deste item mostrar algumas teclas e funo importantes da mquina de calcular HP 12-C , afim de permitir o seu manuseio com maior facilidade : 1.Para LIGAR ou DESLIGAR sua Calculadora, pressione a tecla ; 2.Para limpar o visor, pressione a tecla ; 3. Para realizar qualquer operao deveremos : Aperte o 1o valor aperte na tecla ENTER , aperte o 2o valor e posteriormente a operao desejada . 4. A mquina possui 10 memrias e para ARMAZENAR um nmero contido no visor, pressione e o nmero do registrador de zero a nove; Para chamar um nmero armazenado digite < RCL> e o nmero do registrador; 5. Para trocar o PONTO E VRGULA de acordo com a convenincia : 1. Desligue a calculadora; 2. Com o indicador da mo direita, mantenha pressionada a tecla ; 3. Com o indicador da mo esquerda, ligue a calculadora;Solte a tecla . 6.Para determinarmos a quantidade de algarismos decimais, pressione a tecla seguida do nmero indicativo da quantidade de casas desejada; 7.Para apagar os registros tecle e ao mesmo templo. FUNES MATEMTICAS

1.Para efetuar TROCA DE SINAL um valor qualquer basta apertar a tecla < CHS >; 2.INVERSO DE UM NMERO para se obter o inverso de um nmero contido no VISOR, basta pressionar a tecla .

3.EFETUANDO AS QUATRO OPERAES : DIGITE O PRIMEIRO NMERO; PRESSIONE A TECLA ; 3. DIGITE O SEGUNDO NMERO; 4. PRESSIONE A TECLA REFERENTE OPERAO DESEJADA. 4. CALCULANDO POTNCIAS : DIGITE A BASE (Y); 2. PRESSIONE A TECLA ; 3.DIGITE O EXPOENTE (X); 4. PRESSIONE A TECLA < y x >. 5. CALCULANDO RAZES : DIGITE O RADICANDO (Y); PRESSIONE A TECLA ; DIGITE O NDICE (X); 4. PRESSIONE A TECLA 1/x e posteriormente a tecla yx. 6. DETERMINANDO PERCENTAGEM .DIGITE O VALOR FINANCEIRO PRESSIONE A TECLA DIGITE O VALOR DA PERCENTAGEM E APERTE A TECLA %.

FUNES FINANCEIRAS1.Para voc entrar nas funes financeiras , inicialmente interessante limpar a memria financeira da calculadora , para isso aperte as teclas f e depois clear fin .

2. Em funo do fluxo de caixa , toda vida aps dar entrada no primeiro dado , aperte a tecla CHS , tornando este valor negativo . interessante que o primeiro valor seja o maior ou seja FV ( montante) , PV ( capital) , ou PMT ( valor da prestao ), somente a seguir entre com perodo e taxa . 3. As teclas financeiras se encontram na primeira linha da calculadora : Perodo n , taxa i , capital PV , valor da prestao PMT , montante FV 1. Sempre o perodo de aplicao dever est de acordo com o perodo da taxa empregada . 2. Se deseja determinar quantidade de dias aperte inicialmente nas teclas < 4> , quando ir aparecer no visor dmy , posteriormente digite dd.mmaaaa inicial dd.mmaaaa atual e posteriormente as teclas 3. Quando for trabalhar com financiamento com entrada , devemos apertar as teclas , e dever aparecer no visor a palavra begin , para elimin-lo aperte as teclas . 4. Para trabalhar com capitalizao composta deveremos apertar as teclas , e aparecer no visor a letra c .

EXERCCIOS PROPOSTOS DE CAPITALIZAO COMPOSTA

1-Determinar o montante , no final de 8 meses , resultante de uma aplicao de capital de $ 100.000,00 taxa de 4,3 % ao ms. Resposta : $ 144.504,39 2-Quanto devo aplicar hoje , taxa de 1.000.000,00 ao final de 19 meses ? Resposta - $ 520.154,96 51,107 % ao ano , para ter $

3Uma empresa obtm um emprstimo de $ 700.000,00 que ser liquidado de uma s vez , no final de 2 anos . Sabendo-se que a taxa de juros de 25% ao semestre , determinar o valor pelo qual esse emprstimo deve ser quitado. Resposta : $ 1.708.984,38 4Em que prazo de aplicao de $ 374.938,00 , taxa de 3,25% ao ms , gera um resgate de $ 500.000,00 . Resposta : 9 meses 5Um terreno est sendo oferecido por $ 450.000,00 150.000,00 de entrada e mais uma parcela de $ 350.000,00 meses . Sabendo-se que no mercado a taxa mdia para ttulos de renda prefixada de 3,5 % ao ms , determinar a para que um interessado possua condio de compr-lo. Resposta : a melhor condio compr-lo a prazo a vista ou $ , no final de 6 aplicao em melhor opo

6A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado , no final de 17 meses , pelo dobro do seu valor ? Resposta : 4,162% ao ms 7Em quanto tempo um capital aplicado pode ser resgatado , utilizando uma taxa de 10% ao ms, pelo dobro do seu valor ?

8A aplicao de um certo capital , a taxa de 69,588% ao ano gerou um montante de $ 820.000,00 ao final de 1 ano e 3 meses . Calcular o valor dos juros . Resposta : $ 396.288,79 9Qual mais vantajoso : aplicar $ 10.000,00 por 3 anos , a taxa de juros compostos de 3% ao ms ou aplicar esse mesmo valor , pelo mesmo prazo , a juros simples de 5% ao ms ? Demonstre . Resposta : Juro composto de 3% ao ms 10- No final de quanto tempo um capital , aplicado a taxa de 4% ao ms , quadruplica o seu valor . Resposta : 35,35 meses 11- Qual o montante produzido pela aplicao de $ 580.000,00 , taxa de 175% ao ano , pelo prazo de 213 dias ? Resposta : $ 1.055.277,08 12- Qual o valor do capital , que aplicado a taxa de 18% ao trimestre durante 181 ias , produziu um montante de $ 5.000,00 ? Resposta: $ 3.584,32 13- A aplicao de $ 400.000,00 proporcionou um resgate de $ 610.461,56 , no final de 6 meses . Determinar as taxas mensal e anual dessa operao. Resposta : 7,3% ao ms ou 132,91% ao ano 14- Certa aplicao rende 0,225% ao dia . Em que prazo um investidor poder receber o dobro de sua aplicao ? Resposta : 308 dias 15A aplicao de $ 380.000,00 proporcionou um rendimento de $ 240.000,00 no final de 208 dias . Determinar as taxas dirias , mensal , trimestral e anual de juros .

Resposta : 0,24% ao dia , 7,32% ao ms , 23,59% ao tri, 133,33% ao ano 16Em 154 dias uma aplicao rendeu 41,123%. Calcular as taxas mensal e anual da equivalentes Respostas : 6,941% ao ms , 123,722% ao ano

EXERCCIOS PROPOSTOS EQUIVALNCIA DE CAPITAIS 1-) Se Pedro precisar de R$ 280.000,00 daqui a um ano e 3 meses , coloca hoje R$ 50.000,00 na poupana , com 6 meses mais R$ 70.000,00 , e finalmente R$ 120.000,00 aps 1 ano . Sabendo-se que a taxa paga pela instituio que de 35%aa. . Que saldo ou dficit resultar nesta transao ? 2-) Clodoveu comprou um carro usado, sem dar nada de entrada sob a condio de pag-la em 05 parcelas trimestrais de $2.000,00. Como opo, o vendedor lhe props uma entrada de $ 6.000,00 e o saldo para 1 ano. De quanto ser este saldo, se a taxa de juros for de 4,5 %a.m.? 3-) Uma loja vende uma geladeira por $ 800 vista, ou a prazo em 03 parcelas mensais de $250 e uma entrada. A taxa de juros adotada pela loja de 7%a.m.; portanto, de quanto deve ser a entrada? 4-) Na venda de um barco, a Loja Nutica S.A. oferece duas opes a seus clientes: a-) $30.000 de entrada mais duas parcelas semestrais, sendo a primeira de $50.000 e a segunda de $100.000. b-) sem entrada, sendo o pagamento efetuado em quatro parcelas trimestrais : $40.000 nas duas primeiras e $50.000 nas duas ltimas. Qual a melhor alternativa para o comprador, se considerarmos a taxa de juros de mercado de 4%a.m.?

5-) Um terreno posto a venda por $ 100.000 vista, ou, caso o comprador opte por financiamento, por $50.000 no ato mas duas parcelas semestrais, sendo a primeira de $ 34.000 e a segunda de $35.000. Qual a melhor alternativa para o comprador, se considerarmos que a taxa de juros corrente de 50%a.a.? 6-) Um grande magazine anuncia a venda de um jogo de rodas de magnsio por $6.500 vista ou 2.000 de entrada de dois pagamentos mensais de 2.020,78. Se a taxa de juros de mercado for de 42,58% a.a., compensa a compra vista? 7-) Entre suas aplicaes o Sr. Felipe tem um ttulo com o valor de resgate de $3.000 e outro com o valor de $3.183 vencveis, respectivamente, em 180 e 240 dias. Se a aplicao tivesse sido feita hoje, qual das duas seria a melhor, na hiptese de mesmo capital aplicado e taxa de mercado 3%a.a.? 8-) O preo de um carro de $11.261,62, podendo este valor ser pago at o prazo mximo de 6 meses. Quem optar pelo pagamento vista beneficia-se de um desconto de 11,2%. Qual a taxa de juro cobrada nesta operao? 9-) Certa loja tem como poltica de vendas a crdito exigir 30% do valor da mercadoria vista como entrada e o restante a ser liquidado em at 3 meses. Neste caso, o valor da mercadoria sofre um acrscimo de 10% a ttulo de despesas administrativas. Qual a taxa de juros anual desta loja ? 10-) Tendo investido $25.000 na Bolsa de Valores, Joo esperava ganhar 100% a.a. Qual seria o lucro recebido por ele ao fim de 1 ano e 8 meses, caso tal rentabilidade ocorresse? 11-) Demonstrar se os dois planos seguintes so equivalentes considerando-se as taxas de 2% e 3% ao ms. PLANO A : 10 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 1.000. PLANO B : 1 pagamento de $ 4.500 no final de 05 meses e outro de $ 6.434,56 no final de 11 meses. Resp. Sim, a taxa de 35a.m. 12-) Uma TV est sendo ofertada por uma loja para pagamento em 12 parcelas mensais, sem entrada. Sabendo-se que o valor da 1a.prestao, que vence no final do 1o.ms, de $ 5.000; da 2a. de $ 4.000, da 3a. de $ 5.000, e assim alternadamente, at o final, e que a taxa de juros cobrada pela loja de 5% ao ms, calcular o valor financiado. Resp. $ 39.992,72

13-) Dados os capitais de $ 15.208,13 e $ 17.107,13, vencveis de hoje a 5 e 8 meses, respectivamente, verificar se so equivalentes, na data de hoje, considerada a taxa de juros de 4% ao ms. Resp. Sim, $ 12.500 14-) Demonstrar se os dois planos seguintes so equivalentes considerando-se as taxas de 2% e 3% ao ms. PLANO A : 10 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 1.000. PLANO B : 1 pagamento de $ 4.500 no final de 05 meses e outro de $ 6.434,56 no final de 11 meses. Resp. Sim, a taxa de 35a.m. 15-) Uma TV est sendo ofertada por uma loja para pagamento em 12 parcelas mensais, sem entrada. Sabendo-se que o valor da 1a.prestao, que vence no final do 1o.ms, de $ 5.000; da 2a. de $ 4.000, da 3a. de $ 5.000, e assim alternadamente, at o final, e que a taxa de juros cobrada pela loja de 5% ao ms, calcular o valor financiado. Resp. $ 39.992,72 16) Um consumidor adquire uma mercadoria, para pagamento em 12 prestaes mensais, sendo as 06 primeiras de $ 3.000 e as 06 restantes de $ 5.000. Qual o valor financiado, sabendo-se que a taxa de juros cobrada foi de 3,5% ao ms ? Resp. 37.659,57 17) Aline aplica $ 2.000 no final de cada ms, durante 30 meses. Alm dessas parcelas mensais, essa pessoa ainda aplica 3 parcelas extras no valor $ 12.000 cada uma, a primeira no final do 10o.ms, a segunda no final do 20o. ms e a terceira no final do 30o.ms. Calcular o montante no final do 30o.ms, sabendo-se que a taxa de juros de 2,5% a.m. Resp. $ 134.829,82 18) Uma imobiliria est oferecendo as seguintes opes de pagamentos para a venda de um terreno: Plano A : 10 parcelas de $10.000 + 10 de $ 12.000 + 10 de $ 15.000. Plano B : $ 25.000 de entrada + 30 de $ 11.000. Plano C : 10 prestaes trimestrais de $ 35.000, sendo a primeira paga no ato da assinatura do contrato. Admitindo uma taxa de juros de 3%a.m., apontar qual o melhor plano e qual o pior dos trs, dados para o comprador potencial. Resp. O melhor o A e o pior o C. 19) Rodrigo tomou $300.000 emprestados, a uma taxa de 56,25%a.a., para serem liquidados em 10 prestaes iguais, vencveis no final de cada semestre. No fim do 3o. ano, ou seja, logo aps ter pago a 6a.

prestao, Rodrigo resolveu liquidar de uma s vez, no ato, o valor atual da dvida remanescente. Calcular esse valor. Resp. $ 198.425,81 20) Um comerciante vende fogo por $750. Este valor pode ser pago em trs prestaes mensais iguais, sendo a primeira no ato da compra. Um cliente prope o pagamento de $200 como terceira parcela. De quanto deve ser cada uma das duas primeiras parcelas se elas forem iguais e a taxa de juros for de 10%a.m. ? Resp. $ 271,64.

CAPTULO 6ANUIDADES E EMPRSTIMOS 6.1.CONCEITO DE ANUIDADES Para o comrcio , financeiras e outros setores que trabalham diretamente com financiamento , fundamental o conhecimento de anuidade . Normalmente utiliza-se o modelo bsico de anuidade , que um sistema de financiamento com prazo determinado , com prestaes iguais , com nmero de prestaes definidas , com perodo igual entre cada prestao . Portanto o conceito de anuidade o do financiamento parcelado ou sistemas de financiamento com prestaes . Com a utilizao da HP 12-C , esta tarefa fica bastante facilitada em funo de clculos complicados para determin-lo matematicamente . muito comum um cidado chegar em uma loja verificar o preo vista do produto , o nmero de prestaes , e o valor da prestao , som-las achando um montante , dividi-lo pelo valor vista e querer determinar a taxa como se este valor estivesse pago de uma s parcela . um grande equvoco , pois temos de levar em conta a parcelas j quitadas afim de amortiza-las perodo a perodo . 6.2.CLASSIFICAO DAS ANUIDADES

As anuidades podem ser classificadas em funo do prazo , valor da prestao , forma de pagamento ou recebimento e a periodicidade . 6.2.1. Em funo do prazo : a- Temporrias quando o financiamento possuir uma durao pr determinada . b- Perptuas quando se paga um peclio ou um financiamento sem uma data especfica para trmino .

6.2.2. Em funo do Valor da prestao : a- Constante quando todos os valores das prestaes so fixos e iguais . b- Varivel quando os valores so ps fixados em cada prazo e diferentes entre si . 6.2.3. Em funo do pagamento ou recebimento : a- Imediatas Quando a 1a prestao vence no primeiro perodo , e podem ser : Vencidas Quando vence no final do primeiro perodo . Antecipadas- Quando o primeira prestao paga no incio do 1o perodo ( entrada ) . b- Diferidas Quando a 1a prestao vence a partir do 2o perodo . Vencidas Quando a 1a prestao vence no final do perodo de pagamento . Antecipadas - Quando a 1a prestao vence no incio do perodo de pagamento . 6.2.4. Quanto a periodicidade a- Peridica quando todas as prestaes possuem perodos iguais entre elas . b- No peridicas quando os perodos so diferentes entre uma prestao e outra .

6.3.MODELO BSICO DE ANUIDADE So financiamentos cujas prestaes so temporrias , constantes , imediatas e vencidas , e peridicas . A grande maioria dos financiamento so baseados neste modelo . Teclas que sero utilizadas na HP 12-C : present value valor a vista - future value valor futuro resultado do investimento , realizado parceladamente . - payment valor da prestao < - taxa com o mesmo perodo da forma de pagamento n > - nmero de prestaes 1. Determinao do VALOR DA PRESTAO - Para determinar o valor da prestao de um determinado financiamento necessrio definir o valor a vista do produto , o nmero de prestaes e a taxa que ser cobrada no financiamento , ento para determinar matematicamente : PMT = PV a

n i

a

n i

=

(1+i)n1 (1+i)n.i

a n i = coeficiente de amortizao em funo da quantidade de prestaes e da taxa utilizada . 1.Utilizando a HP 12-C , Sem entrada Valor da mercadoria < CHS > Valor da taxa Qde de prestaes

1. Com entrada : < 7 > begin Valor da mercadoria < CHS > Valor da taxa Qde de prestaes Para excluir o begin aperte as teclas < g >< 8 >

Exemplo 1 - sem entrada : Uma televiso de 20 marca Toshiba custa R$ 1.200,00 em uma loja de eletrodomsticos , podendo financi la em 6 prestaes sem entrada utilizando uma taxa de 3% ao ms . Determinar o valor das prestaes . 1200 3 6 < PMT> = 221,51 Ento ser 6 parcelas mensais de R$ 221,51 Exemplo 2 - com entrada : Uma televiso de 20 marca Toshiba custa R$ 1.200,00 em uma loja de eletrodomticos , podendo financi la em 1+5 prestaes , utilizando uma taxa de 3% ao ms . Determinar o valor das prestaes . < g > < 7 > begin 1200 < CHS > < PV > 3 6 < n > < PMT> = 215,06 Neste caso sero 1 + 5 parcelas de R$ 215,06

Como vocs notaram o valor da prestao foi menos , pois quando dada a entrada de R$ 215,06 , o credor passa a dever R$ 984,94 a ser financiado em 5 parcelas , diferente da 1a opo que financiou R$ 1.200,00 em 6 parcelas .

2. Determinao do VALOR VISTA OU VALOR PRESENTE : A determinao do valor vista uma operao inversa a determinao da prestao , pois neste caso temos que conhecer o valor das prestaes , o nmero de prestaes e a taxa cobrada , para determinar matematicamente , utiliza a frmula : PV = PMT . an i

Utilizando a HP 12 C : Valor da prestao < CHS > < PMT > Taxa Nmero de prestaes < n > < PV > Exemplo 3 : Determine o valor vista de uma mercadoria cuja a prestao R$ 300,00 , parcelada em 12 meses com uma taxa de 3% ao ms . 300 3 12 = 2.986 ,20

3.Determinao da TAXA DE FINANCIAMENTO ( taxa nominal ou taxa aparente ) o item mais importante para o consumidor , pois ela quem define o preo do financiamento . Para determin-la deveremos ter o valor vista do produto , o valor da prestao e o nmero de prestaes : SEM ENTRADA Valor vista Valor da prestao Nmero de prestaes < n >

COM ENTRADA < g > < 7 > begin Valor vista Valor da prestao Nmero de prestaes < n >

OBSERVAO importante lembrar que a taxa j determinada na forma percentual. Exemplo 4 - sem entrada : Determine a taxa cobrada em um financiamento cujo valor vista R$ 10.000,00 , realizada em 24 prestaes mensais sem entrada de R$ 567,00 . 10.000 567 24

 = 2,6269 % ao ms

Exemplo 5 - Com entrada : Para determinar o mesmo financiamento com entrada , sendo 1+23 parcelas mensais , temos : begin

10.000,00 567 24 < n > => = 2,888 % ao ms 4. Determinao do NMERO DE PARCELAS em um financiamento A determinao da quantidade de parcelas em um financiamento , dever obrigatoriamente ser um valor inteiro , da quando determinada pela HP 12-C , e o valor metematicamente no for exato , ela sempre arredondar aumentando a quantidade . Comercialmente interessante que a quantidade de parcelas sejam pr definidas atravs de operaes de forma exata .

Para determina las temos : Valor a vista < PV > Valor da prestao < PMT > Taxa => < n > O perodo da parcela determinado ser igual ao perodo da taxa , isto . se a taxa for mensal ela tambm .

5. Determinao do VALOR FUTURO - importante a determinao do valor futuro para realizao de investimento planejado , pois possibilita calcular o quanto ser o valor disponvel , aps a realizao de uma srie de depsitos igual , a mesma taxa durante um determinado perodo . Para determin-lo, temos: Valor dos depsitos < CHS> < PMT > Taxa Quantidade de depsitos < n > => Exemplo 6 :

< FV >

Pretendendo realizar uma futura reforma da loja na filial Fortaleza daqui a 1 ano , o gerente financeiro tem investido mensalmente a importncia de R$ 20.000,00 em um fundo que render at o final 4% ao ms . Determine o valor disponvel no final da aplicao? 20.000,00 < PMT > 4 12 < n > =>

< FV > = R$ 300.516,11

Isto , se aplicar mensalmente R$ 20.000,00 a taxa de 4% ao ms , ao final de 1 ano ter disponvel R$ 300.516,11 .

Em nvel de planejamento e metas, e de posse do valor que a empresa deseja realizar para um determinado perodo, com o VALOR FUTURO possvel determinar valor das mensalidades, e a taxa almejada na transao . Utilizando a HP 12-C, basta apenas inverter a operao do exemplo acima.

6.4.MODELO GENRICO DE ANUIDADES qualquer tipo de financiamento que no atenda aos padres do modelo bsico. 6.4.1. ANUIDADES DIFERIDAS

um financiamento, cuja primeira prestao vence a partir a segundo perodo. EXEMPLO 7: Uma sapataria vende um par de tnis por R$ 160,00 vista. Caso o cliente queira financi-lo pode pag-lo em 4 vezes , sendo a 1a prestao , dois meses aps a compra . Sabendo-se que a taxa cobrada de 5% ao ms, determinar o valor das prestaes: Inicialmente deveremos capitalizar o valor vista, para permitir a utilizao do modelo bsico. PV = 100,00 i=5% ao ms

n= 1 ms

= > 100 < CHS>< PV> 5 1

=> < FV > = 105,00

Ento agora pode ser utilizado o modelo bsico para 4 prestaes sem entrada : 105 < CHS >< PV> 5 4 < n >

=> = 29,61

Da mesma forma que foi determinado o valor da prestao , poderia resolver todos os outros problemas envolvendo anuidade diferida , sempre atualizando o Valor presente para 1 perodo anterior ao vencimento . 6.4.2. ANUIDADES EM QUE O PERODO DOS TRMOS NO COINCIDE COM O PERODO DA TAXA : Diferente da capitalizao composta o perodo correspondente ao pagamento ou recebimento da prestao mais importante que o perodo ajustado para a taxa cobrada na operao . Desde que as prestaes possuam valores iguais e peridicos , determina-se uma taxa equivalente afim de igualar ao perodo dos termos . EXEMPLO 8 : Pedro est vendendo para um amigo um carro usado em 6 prestaes bimestrais de R$ 2.500,00 , vencendo a 1a no final do 2o ms . Sabendo-se que a taxa cobrada fora de 4,5% ao ms , determine o valor vista do carro . PMT = 2.500,00 i= 4,5 % ao ms n= 6 bimestrais Como neste caso o perodo da prestao bimestral, devemos adequar a taxa mensal para bimestral, ento : ibimestral

= [( 1 + 0,045 )

2

- 1] x 100 = 9,2025 % ao bimestre

Agora pode determinar direto, 2.500,00 < CHS> < PMT> 9,2025 6 < n>

=>

= 11.147 ,41

6.4.3. PRESTAES IGUAIS, COM PARCELAS INTERMEDIRIAS EQUIDISTANTES : Quando ocorre um financiamento desta forma , a resoluo acontece em duas etapas :

a- Igualar os valores das prestaes com a taxa adotada em funo do perodo , da determina-se o Valor Atual e o Valor Futuro . b- A diferena entre as parcelas intermedirias e a prestao , so levada para o valor presente ou para o valor futuro conforme o clculo , com a taxa equivalente . Aps essa determinao adiciona os dois termos encontrados e tem-se o resultado . EXEMPLO 9 Uma loja vende uma jia em 6 prestaes , sendo a 1 a , 3a e 5a de R$ 800,00 e a 2a ,4a e 6a de R$ 1.200,00 . Considerando a taxa de juros de 5% ao ms , determine o seu valor vista . ___800___1200___800___1200___800___12 00 1 2 3 4 5 6

Primeiramente realiza a seguinte operao ___800___800___800___800___800___800 1 2 3 4 5 800 < CHS > < PMT > 5 6 < n >

6

= > < PV > = 4.060,55

Agora determinar a diferena das parcelas intermedirias com a taxa equivalente

______400______400 _______400 2 4 6 ibimestral

=[ ( 1 + 0,05 )

2

-1]

x 100

= 10,25% ao bimestre

400 < CHS > < PMT > 10,25 3 < n >

=> < PV > = 990,38

Ento o preo vista da jia = 4.060,55 + 990,38 = 5.050,93

EXERCCIOS DE ANUIDADE UTILIZANDO A HP 12-C

1. Determine o valor vista de uma geladeira , vendida em 12 prestaes de R$ 68,00 , cuja taxa cobrada pela loja de 4,5% ao ms . 2. Uma loja de eletrnicos vende aparelho de Celular por R$ 500,00 vista . Pode tambm ser comercializados com dois outros planos , utilizando uma taxa de 3,5% ao ms . A primeiro em 1+5 prestaes e o segundo em 4 sem entrada . Determine o valor das prestaes para cada plano . 3. Determine a taxa cobrada na compra de um produto cujo preo vista R$ 5.000,00 e pode ser adquirido em 10 prestaes de R$ 600,00 . 4. Determine a taxa cobrada na compra de um produto cujo preo vista R$ 5.000,00 e pode ser adquirido em 1+ 9 prestaes de R$ 600,00 . 5. Determine o coeficiente que dever ser empregado sobre o valor vista , sabendo-se que a taxa empregada pela loja de 4% ao ms . a. para 6 prestaes

b. para 12 prestaes c. para 1+10 prestaes 6. Determine em quantos meses um capital de R$ 1.000,00 pode ser financiado com uma taxa de 5% ao ms , cuja prestao mensal de R$ 129,50 . 7. Quanto dever ser depositado mensalmente todo final de ms em uma aplicao que rende 4,5% ao ms para ao final de 01 ano obter R$ 10.000,00 . 8. Determine o preo vista de um automvel financiado em 10 prestaes mensais de R$ 1.500,00 se a taxa cobrada foi de 3,5 % ao ms . 9.Um produto vendido vista por R$ 40.000,00 ou a prazo em trs prestaes mensais e iguais , sem entrada . Qual o valor de cada prestao se a taxa aplicada foi de 4% ao ms . 10.Um produto vendido por R$ 10.000,00 , mas pode ser financiado a uma taxa de 2,5%aoMs . Obtenha o valor das prestaes se : a- 10 prestaes mensais sem entrada b- 10 prestaes mensais com entrada 11.Um som vendido por R$ 3.000,00 vista ou com 20% de entrada e mais 4 prestaes mensais e iguais . Determine o valor da prestao se a taxa for de 3% ao ms. 12.Uma casa vendida por R$ 100.000,00 ou em 24 parcelas de R$ 5.200,00 . Determine a taxa cobrada neste financiamento . 13.Um produto vendido por R$ 5.000 ,00 , ou em 10 prestaes mensais de R$ 550,00 . Determine a taxa da operao se a venda realizada : c- sem entrada d- com entrada 14.Uma geladeira vendida em 5 prestaes mensais de R$ 280,00 . Se a taxa cobrada na loja foi de 5% ao ms . Determine o valor a vista do produto .

15. Um computador foi vendido em 1+5 parcelas mensais de R$ 300,00 . Se a taxa de financiamento foi de 6% ao ms . Determine o valor vista . 16, Um imvel vendido por R$ 50.000,00 ou 15% de entrada e mais 20 prestaes de R$ 3.000,00 . Determine a taxa anual cobrada ? 17.Desejando comprar um carro daqui a 2 anos por R$ 20.000,00, quanto Pedro dever depositar mensalmente se a taxa mensal for de 3,5 % ao ms .

CAPTULO 7

TAXA REAL , TAXA NOMINAL E TAXA DE INFLAOAt o presente momento todas a taxa determinadas foram taxas chamadas de TAXA NOMINAL OU TAXA APARENTE . Seria bastante interessante se a economia no houvesse inflao , tributos , e outros agregados para que esta taxa nominal fosse igual a taxa real . Atualmente algumas instituies de crdito de forma dolosa , anuncia uma taxa real para o cliente e ao processar a operao a taxa totalmente distinta em funo de taxas agregados ( IPMF, IOF , seguro , taxa de administrao , etc). Esta a razo da importncia deste assunto , para no se comprar gato por lebre . 7.1. TAXA REAL o que podemos chamar de taxa pura , sem qualquer agregado . Para determin la necessrio conhecer a taxa aparente e os agregados , ento teremos :

R =

[

( 1+i ) (1+J }

- 1 ]

X 100

R TAXA REAL I - TAXA NOMINAL OU APARENTE J TAXA DE INFLAO OU TAXA AGREGADA OBS As taxas devero ser utilizadas nas frmulas na forma unitria .

7.2.TAXA NOMINAL OU TAXA APARENTE ( i ) - a taxa que realmente cobrada , por isso de fundamental importncia a sua determinao . a taxa determinada nas operaes da matemtica financeira . I = { [ ( 1 + R ) . ( 1 + J ) ] 1 } x 100 TAXA DE INFLAO OU TAXA INDEXADA INFLAO a perda do poder aquisitivo da moeda . Se em um ms podemos comprar uma determinada quantidade de produtos por um valor e no outro estes mesmo produtos so adquiridos por um valor superior esta diferena entre os valores a inflao . Vrios so os fatores responsveis pela inflao em uma economia , como a emisso de moeda , reajustamento de tarifas , incertezas poltica , etc . No Brasil j tivemos momentos bastante difceis , em funo da inflao elevada , chegando a mesma a um patamar de 89% ao ms , no governo Jos Sarney. Nesta poca a produo tornou-se secundria , tornando prioridade nas empresas as aplicaes financeiras . Tambm muita gente se desfez de patrimnio a fim de investir no mercado financeiro almejando ganhar dinheiro com facilidade. Porm nem todas obtinham sucesso, pois os aplicadores no sabiam diferenciar taxa nominal de taxa real.

7.3.

Alm da inflao tambm so agregados outras valores sobre a taxa real, como tributos (IPMF, IOF, seguro bancrio e at taxa de administrao). Para determinar, temos: J= [( 1+ i ) ( 1+R) - 1 ] x 100

7.4. ALGUNS NDICES DA INFLAO BRASILEIRA

No Brasil, historicamente, as principais instituies que calculam ndices de preos para economia brasileira so Fundao Getlio Vargas (FGV), Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE), Fundao Instituto de Pesquisas Econmicas (FIPE) e Departamento Intersindical de Estatstica e Estudos Scio-Econmicos (DIEESE), respectivamente. Sendo assim, a organizao desta nota ser baseada nos ndices de preos dessas quatro instituies. ndices de Preos da FGV 1. ndice Geral de Preos IGP A FGV iniciou o clculo de ndices de preos em 1947, com a criao da metodologia do ndice Geral de Preos (IGP) que, salvo pequenas correes e atualizaes, permanece inalterada. Inicialmente, as estimativas referiam-se a ndices de preos de ttulos pblicos e aes, preos no atacado, preos de gneros alimentcios e custo de vida. Estas sries foram calculadas retroativamente at 1944, ano de criao da FGV, e tinham a finalidade de deflacionar o ndice mensal da evoluo dos negcios. Com a introduo da correo monetria no pas, em 1964, este ndice passou a ser bastante usado na correo de contratos, especialmente obras pblicas. Para chegar-se ao IGP ponderam-se as parcelas ndice de Preos por Atacado (IPA); ndice de Preos ao Consumidor (IPC) e ndice Nacional

de Custo da Construo (INCC), com pesos iguais a 6,3 e 1 respectivamente. Trs derivaes do IGP aconteceram ao longo da histria. A primeira, em 1969, foi a separao do IGP em duas verses: Disponibilidade Interna (DI) e Oferta Global (OG). O principal objetivo era isolar os efeitos das oscilaes dos preos do caf. A verso DI se encarregava disto atribuindo um peso menor aos produtos de exportao. Hoje, com a diversificao das exportaes, a disperso entre as duas verses irrelevante. A segunda modificao foi a introduo, em 1989, do ndice Geral de Preos do Mercado (IGP-M), uma verso do IGP para o mercado financeiro. A diferena entre os ndices apenas o perodo de coleta. Enquanto o IGP-DI coleta os preos entre 1 e 30 do ms referncia, no IGP-M a coleta entre os dias 21 do ms anterior e 20 do ms de referncia. Desta forma, o IGP-M pode ser divulgado antes do final do ms calendrio, o que essencial para sua utilizao como referncia financeira. Antes do resultado final, duas prvias so divulgadas: o primeiro e o segundo decndios. Em 1993, comeou a ser divulgado o IGP-10, verso do IGP cuja coleta realizada entre os dias 11 do ms anterior e 10 do ms de referncia. 2 ndice de Preo por Atacado - IPA O ndice de Preo por Atacado (IPA) calculado, pela FGV, desde 1944. Mede a evoluo dos preos nas transaes interempresariais e abrange vrias etapas do processo produtivo, anteriores s vendas no varejo. So pesquisados preos de matrias-primas agrcolas e industriais, produtos intermedirios e de uso final. No clculo do ndice Geral de Preos (IGP-DI), o IPA representa a maior parcela, com peso de 60%. As sries mais longas do IPA so apresentadas em duas verses: Disponibilidade Interna (IPA-DI) e Oferta Global (IPA-OG). As sries que compem o IPA-DI so as categorias de uso, tais como bens de consumo ou bens de produo. No IPA-OG, as sries so os setores produtivos. Alm disso, a FGV tambm calcula o IPA-Mercado (IPA-M) que entra na composio do ndice Geral de Preos para o Mercado (IGP-M). 3 ndices de Custos da Construo

Os ndices de custos da construo esto subdivididos em residenciais e obras pblicas de engenharia civil ou infra-estrutura. Os principais ndices, especficos para construes residenciais, so: ndice Nacional de Custo da Construo (INCC), ndice de Custo da Construo do Rio de Janeiro (ICC-RJ) e ndice de Edificaes. ndice Nacional de Custo da Construo (INCC) um dos trs itens que compem o ndice Geral de Preos (IGP), representando 10% do ndice. Sua divulgao teve incio em fevereiro de 1985, como resultado do encadeamento da srie do ndice de Custo da Construo - Rio de Janeiro (ICC-RJ), mais antiga, com a srie do ndice de Edificaes, mais abrangente geograficamente. Como nos demais componentes do IGP, tambm apresentada a verso do INCC para o mercado (INCC-M). ndice de Custo da Construo - Rio de Janeiro (ICC-RJ) o mais antigo ndice, referente construo residencial, calculado pela FGV. Divulgado desde 1950, com estimativas retroativas a 1944, foi uma das trs parcelas do IGP at janeiro de 1985. Continua a ser divulgado separadamente, mas tambm uma das parcelas do INCC. ndice de Edificaes Teve incio em 1974, com 8 capitais, dando maior abrangncia territorial evoluo dos custos da construo. O ndice de Edificaes, embora coincida com o INCC, continua a ser divulgado para atender aos usurios que, por razes contratuais, utilizam este ndice. Tambm conhecido como ndice da coluna 35 da Revista Conjuntura Econmica. Os custos da construo abrangem tambm as obras pblicas de engenharia ou infra-estrutura. Os principais ndices, calculados pela FGV, so: Obras Rodovirias e Obras Hidreltricas. Estes ndices, so calculados pela FGV mediante convnios com rgos pblicos. 4 ndices de Preos do Consumidor Os ndices de Preos ao Consumidor, calculados pela FGV, detectam a variao dos preos de bens e servios consumidos pelas famlias com renda mensal at 33 salrios mnimos. Esses itens so classificados em grupos: Alimentao, Habitao, Vesturio, Transportes, Sade, Educao e Despesas Diversas. Cada

grupo admite subdivises, at se chegar ao nvel do item individual. O peso atribudo a cada grupo ou subdiviso depende do gasto dessas famlias com cada bem ou servio. Estas informaes so obtidas atravs de Pesquisas de Oramentos Familiares (POF), elaboradas periodicamente pela FGV. O ndice de Preos ao Consumidor do Rio de Janeiro (IPC-RJ) o mais antigo ndice de preos ao consumidor calculado pela FGV, com estimativas a partir de 1944. At 1990, era um dos componentes do ndice Geral de Preos (IGP-DI), quando foi substitudo pelo ndice de Preos ao Consumidor - Brasil (IPC-BR). O ndice de Preos ao Consumidor - Brasil (IPC-BR ) foi criado em 1990, com a extenso para a cidade de So Paulo da coleta de preos, at ento restrita ao Rio de Janeiro. Atualmente este ndice denominado ndice de Preos ao Consumidor - Brasil, Disponibilidade Interna (IPCBR-DI). So divulgados tambm, separadamente, o ndice de Preos ao Consumidor - Rio de Janeiro, Disponibilidade Interna (IPC-RJ-DI) e o ndice de Preos ao Consumidor - So Paulo, Disponibilidade Interna (IPC-SP-DI), componentes do IPC-BR-DI. Conforme descrito na seo do catlogo referente ao IGP, a FGV tambm calcula uma verso dos IPCs para o mercado financeiro (IPC-M). A partir dos itens coletados para o IPC-BR, so elaborados outros ndices, utilizando novas agregaes. O ndice de bens comercializveis e no-comercializveis agrupa os itens coletados pelo IPC-BR transacionados com o exterior e os transacionados exclusivamente no mercado interno, basicamente servios. O ncleo da inflao ou "core inflation" outra maneira de agregar os itens do IPC-BR, procurando neutralizar, atravs de mtodos estatsticos, fatores transitrios que levaram a altas expressivas ou quedas exageradas de determinados produtos ou servios. 5 ndices de Taxas de Cmbio Efetivas A FGV calcula ndices de taxas de cmbio efetivas, que refletem o poder de compra da moeda nacional em relao a diferentes cestas de moedas estrangeiras. No clculo da taxa efetiva real utilizada a metodologia de agregao pela mdia geomtrica das taxas de cmbio bilaterais do pas e seus

principais parceiros comerciais, corrigidas pelo diferencial entre a inflao interna e externa. Para o Brasil utilizado como deflator o ndice de Preos por Atacado Produtos Industriais (IPA-PI), calculado pela FGV. Para os demais pases, so usados os ndices de preos ao produtor, por atacado ou o que melhor se aproxime de um ndice de preos de produtos transacionados com o exterior. O peso atribudo a cada pas depende da sua corrente de comrcio com o Brasil. Este peso revisto periodicamente. A FGV considera, neste clculo, 16 taxas bilaterais de cmbio, entre o Brasil e os seguintes pases: Alemanha, Argentina, Blgica, Coria do Sul, EUA, Frana, Filipinas, Holanda, Indonsia, Inglaterra, Itlia, Japo, Malsia, Paraguai, Tailndia, Uruguai. ndices de Preo do IBGE O Sistema Nacional de ndices de Preos ao Consumidor - SNIPC, consiste em uma combinao de processos destinados a produzir ndices de preos ao consumidor. O objetivo acompanhar a variao de preos de um conjunto de produtos e servios consumidos pelas famlias. O sistema abrange as regies metropolitanas do Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Recife, So Paulo, Belm, Fortaleza, Salvador e Curitiba, alm do Distrito Federal e do municpio de Goinia. a partir da agregao dos ndices regionais referentes a uma mesma faixa de renda que se obtm o ndice nacional. Os ndices mensais resultam, regra geral, da comparao dos preos vigentes nos 30 (trinta) dias do perodo de referncia com os 30 (trinta) do perodo base. A coleta integral de preos se d a cada perodo de 30 (trinta) dias que segmentado, sem interrupo, em 4 (quatro) subperodos. Cada um deles contm cerca de 7 (sete) dias com datas definidas atravs do Calendrio Anual de Coleta do SNIPC. Em um subperodo efetua-se a coleta de uma quarta parte fixa de estabelecimentos. Desta forma, possvel extrair do sistema ndices com perodos base e de referncia de 30 (trinta) dias ao final de cada conjunto de quatro sub-perodos. Os ndices podem ser obtidos para diversas populaes-objetivo desde que estejam disponveis as respectivas estruturas de ponderaes correspondentes a famlias de diferentes faixas de rendimento mensal.

Do ponto de vista temporal, alm dos ndices mensais, podem ser calculadas as variaes de preos ocorridas em 2 (dois) meses ou mais, a partir das sries histricas produzidas. Ressaltando que o sistema, na forma como montado, possibilita vrias alternativas de clculo de ndices, passamos a descrever, abaixo, os ndices Nacionais de Preos ao Consumidor.

1 ndice Nacional de Preos ao Consumidor INPC e ndice Nacional de Preos ao Consumidor Amplo - IPCA O INPC e o IPCA so calculados de forma contnua e sistemtica para as reas abrangidas pelo sistema. O ndice Nacional de Preos ao Consumidor Amplo - IPCA utilizado pelo Banco Central do Brasil para o acompanhamento dos objetivos estabelecidos no sistema de metas de inflao, adotado a partir de julho de 1999, para o balizamento da poltica monetria. A populao-objetivo do INPC se referente as famlias com rendimentos mensais compreendidos entre 1 (hum) e 8 (oito) salrios-mnimos, cujo chefe assalariado em sua ocupao principal e residente nas reas urbanas das regies; e a do IPCA referente a famlias com rendimentos mensais compreendidos entre 1 (hum) e 40 (quarenta) salrios-mnimos, qualquer que seja a fonte de rendimentos, e residentes nas reas urbanas das regies. Para cada regio so utilizadas as informaes das seguintes pesquisas bsicas: a). Pesquisas Bsicas Pesquisa de Oramentos Familiares - POF Realizada no perodo compreendido entre 01 de outubro de 1995 a 30 de setembro de 1996. Forneceu as estruturas de ponderao das populaes-objetivo. Pesquisa de Locais de Compra - PLC Realizada no perodo de maio a junho de 1988. Forneceu o cadastro de informantes da pesquisa, cuja manuteno contnua.

Pesquisa de Especificao de Produtos e Servios - PEPS Realizada na poca de implantao de cada uma das regies para todos os produtos e servios constantes da estrutura de ponderaes. Forneceu o cadastro de produtos e servios pesquisado, que permanentemente atualizado com o objetivo de acompanhar a dinmica de mercado.

b) Principais Variveis Investigadas e Unidades de Investigao Os preos obtidos so os efetivamente cobrados ao consumidor, para pagamento vista. A Pesquisa realizada em estabelecimentos comerciais, prestadores de servios, domiclios e concessionrias de servios pblicos. c) Abrangncia Geogrfica Regies Metropolitanas do Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Recife, So Paulo, Belm, Fortaleza, Salvador e Curitiba, alm do Distrito Federal e do municpio de Goinia. d) Periodicidade Mensal. e) Metodologia Os ndices so calculados para cada regio. A partir dos preos coletados mensalmente, obtm-se, na primeira etapa de sntese, as estimativas dos movimentos de preos referentes a cada produto pesquisado. Tais estimativas so obtidas atravs do clculo da mdia aritmtica simples de preos dos locais da amostra do produto que, comparadas em dois meses consecutivos, resultam no relativo das mdias. Agregando-se os relativos dos produtos atravs da mdia geomtrica calculada a variao de preos de cada subitem, que se constitui na menor agregao do ndice que possui ponderao explcita.

A partir da aplicada a frmula Laspeyres, obtendo-se todos os demais nveis de agregao da estrutura item, subgrupo, grupo e, por fim, o ndice geral da regio. Os ndices nacionais - INPC e IPCA so calculados a partir dos resultados dos ndices regionais, utilizando-se a mdia aritmtica ponderada. A varivel de ponderao do INPC a "populao residente urbana" (Contagem Populacional 1996) e a do IPCA "rendimento total urbano" (Pesquisa Nacional por Amostra de Domiclios - PNAD/96).

f) poca de Coleta O perodo de coleta do INPC e do IPCA estende-se, em geral, do dia 01 a 30 do ms de referncia. g) Tempo Previsto entre Coleta e Divulgao Aproximadamente 8 (oito) dias teis. de 1981. Deflator Implcito do PIB Um ndice de preos, calculado a partir de dados da Renda Nacional e do Produto Nacional, comumente denominado Deflator Implcito de Preos. Especificamente, o Deflator Implcito do PIB a razo entre o PIB Nominal e o PIB Real, ou seja, o preo de uma unidade do produto brasileiro em um determinado ano relativamente ao preo desta no anobase. ndice de Preos ao Consumidor da FIPE O ndice de Preos ao Consumidor (IPC) calculado pela Fundao Instituto de Pesquisas Econmicas (FIPE) - uma instituio de pesquisa ligada Faculdade de Economia e Administrao da Universidade de So Paulo (USP) - e foi criado pela Prefeitura do Municpio de So Paulo com o objetivo de reajustar os salrios dos servidores municipais. Esse ndice indica a evoluo do custo de vida das famlias paulistanas desde 1939. Mas, somente, a partir de 1973, passou a ser elaborado pela FIPE. O perodo de coleta vai desde o primeiro dia de cada ms at o ltimo dia do mesmo e a divulgao ocorre prximo ao dia 10 do ms

subseqente ao da coleta. Semanalmente ocorrem divulgaes prvias, chamadas "quadrissemanais" que simplesmente comparam os preos das ltimas quatro semanas apuradas, em relao s quatro semanas imediatamente anteriores. O sistema de clculo da variao quadrissemanal do IPC-FIPE abrange um perodo de 08 semanas de coleta. As variaes so obtidas comparando-se os preos mdios das quatro ltimas semanas com os das quatro primeiras. A FIPE calcula a cada semana as variaes quadrissemanais do IPC para a faixa de renda familiar entre 1 e 20 salrios mnimos. Com o universo de pessoas que ganham de 2 a 6 salrios mnimos, a composio dos grupos de despesas para o clculo do ndice o seguinte: Alimentao (30,81%), Despesas Pessoais (12,52%), Habitao (26,52%), Transportes (12,97%), Vesturio (8,65%), Sade e Cuidados Pessoais (4,58%) e Educao (3,95%). ndice de Preos do DIEESE O Departamento Intersindical de Estatstica e Estudos Scio-Econmicos (DIEESE) calcula alguns dos principais indicadores conjunturais da economia do estado de So Paulo. Dentre esses indicadores podemos citar a Pesquisa de Emprego e Desemprego, realizada em conjunto com a Fundao Sistema Estadual de Anlise de Dados (SEADE) e o ndice de Custo de Vida (ICV), que apurado pelo DIEESE desde 1959. O ICV calculado com o objetivo de atender necessidade de diversos sindicatos de auferir o custo de vida no municpio de So Paulo. O perodo de coleta vai do primeiro ao ltimo dia do ms civil e a divulgao ocorre prximo ao dia 10 do ms posterior. Com o universo de pessoas que ganham de 1 a 30 salrios mnimos, a composio dos grupos de despesas para o clculo do ndice a seguinte segundo a POF de 1994/95: 1.Alimentao (27,44%), 2.Habitao (23,52%), 3.Equipamentos Domsticos (6,13%),4.Transportes (13,62%), 5. Vesturio (7,87%), 6. Educao e Leitura (6,91%), 7.Sade (8,18%), 8.Recreao (2,08%), 9.Despesas Pessoais (3,96%) e 10.Despesas Diversas (0,29%). O perodo de coleta vai do primeiro ao ltimo dia do ms civil e a divulgao ocorre prximo ao dia 10 do ms posterior.

7.5.TAXAS UTILIZADAS NO SISTEMA FINANCEIRO DO BRASILTaxa SELIC A Taxa SELIC, apurada no Sistema Especial de Liquidao e Custdia, obtida mediante o clculo da taxa mdia ponderada e ajustada das operaes de financiamento por um dia, lastreadas em ttulos pblicos federais e cursadas no referido sistema ou em cmaras de compensao e liquidao de ativos, na forma de operaes compromissadas, ou seja, venda de ttulos com compromisso de recompra assumido pelo vendedor, concomitante com compromisso de revenda, assumido pelo comprador, para liquidao no dia til seguinte. So aptas a efetuar este tipo de operao as instituies financeiras habilitadas, tais como bancos, caixas econmicas, sociedades corretoras de ttulos e valores mobilirios, sociedades distribuidoras de ttulos e sociedades distribuidoras de ttulos e valores mobilirios. A anlise da natureza jurdica da Taxa SELIC de grande importncia, visto que a mesma utilizada para a correo dos dbitos e crditos tributrios federais e previdencirios.

Taxa de juros de Longo Prazo - TJLP A TJLP, que tem vigncia trimestral, divulgada em termos anuais pelo Banco Central do Brasil at o ltimo dia do trimestre imediatamente anterior ao de sua vigncia. preciso ter em mente o impacto da TJLP sobre a formao bruta de capital fixo no pas, uma vez que ela define o custo dos investimentos de longo prazo. Neste sentido, a taxa foi objeto, recentemente, das discusses que contrapunham desenvolvimento e estabilidade, e o prprio Presidente da Repblica mencionou a necessidade de reduzi-la, ainda que condicionasse esta reduo aprovao das reformas.

EXERCCIO DE TAXA REAL, NOMINAL e de INFLAO

1- Um pas apresenta uma taxa de inflao que atinge 20% ao ms . Um comerciante deve escolher entre aplicar taxa nominal de 30% ao ms ou taxa real de 8% ao ms . Que alternativa ele deve escolher ? 2- Suponha uma taxa de inflao de 3% , taxa real de 5% , e taxa nominal de 15% todas mensais . mais vantagem para o tomador escolher a real ou a nominal ? 3- Se a taxa de inflao for de 6% ao ms , qual a melhor alternativa para um aplicador 4% ao ms de taxa real ou 12% ao ms de taxa nominal ? 4- A taxa de juros anual cobrada por uma grande loja de departamento de 120% . Qual a taxa real de juros , se a taxa de inflao for de 80% ao ano . 5- Pedro aplicou R$ 2.000,00 e resgatou 3.949,00 aps 6 meses , com uma inflao de 97,38% neste perodo . Determine a taxa real neste perodo . 6- Uma empresa contrai um emprstimo por 6 meses taxa de 60% no perodo . Determine a taxa de inflao neste perodo para que tenhamos uma taxa real de 8% .

7- Uma geladeira colocada a venda por R$ 1.000,00 ou 1+5 prestaes de R$ 200,00. Sabendo que a inflao mensal de 0,5 % am , determine a taxa real cobrada na transao ?

CAPTULO 8ANLISE DE INVESTIMENTOS VALOR PRESENTE LQUIDO E TAXA INTENA DE RETORNO

VALOR PRESENTE LQUIDO VPLO mtodo do valor presente lquido para anlise dos fluxos de caixa obtido pela diferena entre o valor presente dos benefcios (ou pagamentos) previstos de caixa, e o valor presente do fluxo de caixa inicial (valor do investimento, do emprstimo ou do financiamento). A identidade de clculo do VPL expressa da forma seguinte: Onde: FCj: representa o valor de entrada (ou sada) de caixa previsto para cada intervalo de tempo; FCo: fluxo de caixa verificado no momento zero (momento inicial), podendo ser um investimento, emprstimo ou financiamento. Comparativamente ao mtodo da IRR, o valor presente lquido exige a definio prvia da taxa de desconto a ser empregada na atualizao dos fluxos de caixa. Na verdade, o VPL no identifica diretamente a taxa de rentabilidade (ou custo) da operao financeira; ao descontar todos os fluxos de entradas e sadas de caixa por uma taxa de desconto mnima aceitvel, o VPL denota, em ltima anlise, o resultado econmico da alternativa financeira expressa em moeda atualizada. O VPL caracteristicamente referenciado ao momento inicial (data zero). Ilustrativamente, admita que uma empresa esteja avaliando um investimento no valor de $ 750.000,00 do qual se esperam benefcios

anuais de caixa de $ 250.000,00 no primeiro ano, $ 320.000,00 no segundo ano, $ 380.000,00 no terceiro ano e $ 280.000,00 no quarto ano. Admitindo-se que a empresa tenha definido em 20% ao ano a taxa de desconto a ser aplicada aos fluxos de caixa do investimento, tem-se a seguinte representao e clculo do NPV: Observe que, mesmo descontando os fluxos de caixa pela taxa de 20% ao ano, conforme definida previamente, o VPL superior zero, indicando que a alternativa de investimento oferece uma taxa de rentabilidade anual superior aos 20%. Nesta situao, evidentemente, o investimento apresenta-se atraente, indicando sua aceitao econmica. Ao se elevar a taxa de desconto para 30% ao ano, por exemplo, o valor presente lquido apresenta-se negativo, indicando que a rentabilidade implcita do investimento inferior taxa de desconto mnima exigida. Ou seja: A figura a seguir ilustra graficamente o comportamento do valor presente lquido (VPL) do investimento admitindo diferentes taxas de desconto. Observe na figura que o VPL decresce medida que se eleva a taxa de desconto dos fluxos de caixa do investimento. Admitindo uma taxa de desconto de 0%, o VPL determinado pela simples diferena entre os benefcios anuais totais de caixa e o montante do investimento inicial, isto : medida que a taxa de desconto vai se distanciando de 0%, o valor presente dos fluxos de caixa decresce, proporcionando, em conseqncia, um VPL cada vez menor. At a taxa de 22,4% ao ano verifica-se que o VPL positivo, indicando atratividade do investimento. A partir desta taxa o valor presente lquido passa a ser negativo, demonstrando que o projeto incapaz de produzir uma riqueza econmica positiva para uma taxa de desconto superior aos 22,4% ao ano. A taxa de desconto de 22,4%, que produz um VPL igual zero (o valor presente das entradas de caixa iguala-se ao das sadas no momento zero), representa a taxa interna de retorno do investimento, conforme demonstrado no item anterior. Dessa maneira, o interesse econmico pela alternativa existe desde que a taxa de desconto definida como mnima aceitvel seja inferior (ou igual) a 22,4% ao ano. Se a taxa exceder esse percentual, a alternativa considerada sem atratividade econmica; o resultado do VPL negativo, sugerindo que a taxa de rentabilidade (IRR) oferecida pela deciso inferior quela definida como mnima aceitvel. Dessa maneira, pode-se generalizar o critrio de deciso do mtodo do VPL atravs da seguinte regra: toda vez que o VPL for igual ou superior

a zero, o investimento pode ser aceito; em caso contrrio, existe indicao de rejeio. Deve ser ressaltado, ainda, que o mtodo do VLP, identicamente ao da IRR, pressupe implicitamente que os fluxos intermedirios de caixa da alternativa devem ser reinvestidos taxa de desconto utilizada. No entanto, por trabalhar com uma taxa de juros definida pelo prprio investidor, o mtodo, nesse aspecto, mais seguro que o anterior, onde a taxa de reinvesti mento a prpria IRR do projeto, e no a taxa de desconto mnima aceitvel estabelecida para o investimento.

COMPARAO ENTRE INVESTIMENTOS

OS

MTODOS

DE

ANLISE

DE

Uma alternativa de investimento de capital, quando tratada individualmente, considerada como economicamente atraente ao apresentar um VLP positivo, ou uma IRR superior (no mnimo, igual) taxa mnima de retorno requerida. Para um nico projeto de investimento, ou para projetos classificados como independentes (que podem ser implementados ao mesmo tempo), os mtodos de anlise que levam em conta os fluxo

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