Sumário

1.Introdução..............................................................................................................................2

2.Desenvolvimento................................................................................................................... 3

2.1 O que é Matriz................................................................................................................3

2.2 Montagem de uma Matriz..............................................................................................3

3.Operações com Matrizes........................................................................................................3

3.1 Igualdade........................................................................................................................3

3.2 Adição e Subtração........................................................................................................ 4

3.3 Multiplicação de Número Real por Matriz.....................................................................4

3.4 Multiplicação de Matriz por Matriz................................................................................5

3.5 Matriz Inversa................................................................................................................5

4.Conclusão.............................................................................................................................. 7

5.Referência Bibliográfica........................................................................................................8

1. Introdução

Ao desenvolver essa atividade o objetivo desejado será aplicar os ensinamentos vistos em sala

de aula e adquirir por meio de pesquisas mais conhecimento em relação às matrizes, conteúdo

estudado nesse bimestre, a fim de atingir as habilidades e competências propostas no

enunciado desse trabalho.

2

2. Desenvolvimento

2.1 O que é Matriz

É uma tabela de números que pode ser representada entre parênteses ou entre colchetes, ou

seja, é um conjunto ordenado representado sob a forma de um quadro disposto de m linhas e n

colunas.

Exemplos:

A= (1 2 34 0 1) ou A= [1 2 3

4 0 1] Como essa matriz apresenta 2 linhas (sentido horizontal) e 3 colunas (sentido vertical)

dizemos que essa é uma matriz de ordem 2x3. Cada elemento de uma matriz é localizado por

dois índices: aij. O primeiro (indicado pela letra i) indica a linha, e o segundo (indicado pela

letra j) indica a coluna.

2.2 Montagem de uma Matriz

Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em situações

variadas por uma sentença matemática.

Exemplos:

Construir a matriz A de ordem 3x3, seguindo a orientação: aij = 3i + 2j.

A= |a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33| |3.1+2.1 3.1+2.2 3.1+2.3

3.2+2.1 3.2+2.2 3.2+2.33.3+2.1 3.3+2.2 3.3+2.3| | 5 7 9

8 10 1211 13 15|3x3

Construir a matriz B de ordem 2x3, seguindo a orientação: bij = i.j

B= |a11 a12 a13a21 a22 a23| |1.1 1.2 1.3

2.1 2.2 2.3| |1 2 32 4 6|2x3

3. Operações com Matrizes

3.1 Igualdade

Quando possuem a mesma ordem de linhas e colunas, e os elementos de mesma posição

também são iguais.

Exemplo:

A= [−50 1163 −78 −10 ]3x2 B= [−50 11

63 −78 −10 ]3x2

3

Esta matriz é uma igualdade porque elas apresentam a mesma ordem3x2, e os elementos

correspondentes são iguais.

3.2 Adição e Subtração

Tanto a soma quanto a subtração de duas matrizes devem ser efetuadas com elementos da

mesma posição desde que as matrizes possuam a mesma ordem, ou seja:

Adição: [a11 a12 a13a21 a22 a23] + [b11 b12 b13

b21 b22 b23] = [ a11+b11 a12+b12 a13+b13a21+b21 a22+b22 a23+b23]

Subtração: [a11 a12a21 a22] – [b11 b12

b21 b22] = [ a11−b11 a12−b12a21−b21 a22−b22]

Exemplos:

Dadas as matrizes A= [5 40 21 −1] e B= [ 0 −2

5 −3−1 0 ], efetuar a soma A + B:

A + B = [5 40 21 −1] + [ 0 −2

5 −3−1 0 ] = [ 5+0 4+(−2)

0+5 2+(−3)1+(−1) (−1 )+0 ] = [5 2

5 −10 −1]

Com a soma das duas matrizes A e B, obtivemos outra matriz C = [5 25 −10 −1]3x2

Seguindo o exemplo, efetuar a subtração de A – B:

A – B = [5 40 21 −1] – [ 0 −2

5 −3−1 0 ] = [ 5−0 4−(−2)

0−5 2−(−3)1−(−1) −1−0 ] = [ 5 6

−5 52 −1]

Com a subtração de A – B, obtemos como resultado a matriz C = [ 5 6−5 52 −1]3x2

3.3 Multiplicação de Número Real por Matriz

Se considerarmos uma matriz A qualquer de ordem mxn e um número real qualquer y,

quando multiplicamos o número real y pela matriz A, encontraremos como produto outra

matriz y.A de ordem mxn, e seus elementos é o produto de y por cada elemento de A.

Exemplo:

Dada a matriz A= [3 12 −5 ], e o número real y = 3.

4

O produto y.A será:

3. [3 12 −5 ] = [3.3 3.1

3.2 3.(−5)] = [9 36 −15]

O produto y.A final será 3.A= [9 36 −15]2x2

3.4 Multiplicação de Matriz por Matriz

O produto entre duas matrizes A e B é definido somente se o número de colunas da matriz A

for igual ao numero de linhas da matriz B. Nesse caso, a matriz produto C será igual ao

número de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B, ou seja:

Amxn*Bnxp = Cmxp

Em outras palavras, cada elemento do produto matriz C é calculado multiplicando-se

ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da

coluna j da matriz B e, a seguir, somando-se os produtos obtidos.

Exemplos:

|a11 a12a21 a22a31 a32|*|b11 b12

b21 b22| |a11.b11+a12.b21 a11. b12+a12.b22a21.b11+a22.b21 a21.b12+a22.b22a31.b11+a32.b21 a31.b12+a32.b22|

|2 5 93 6 8|*|2 7

4 35 2| |(2.2 )+(5.4 )+(9.5) (2.7 )+ (5.3 )+(9.2)

(3.2)+(6.4)+(8.5) (3.7 )+ (6.3 )+(8.2)| |69 4770 55|

Realizamos uma multiplicação entre uma matriz A de ordem 2x3 por uma matriz B de ordem

3x2. A condição “o número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª

matriz”, foi válida, pois 3 = 3. O interessante é que a matriz, produto da multiplicação, é de

ordem 2x2, isto é, 2 linhas e 2 colunas, possuindo o mesmo número de linhas da 1ª e o mesmo

número de colunas da 2ª.

Vale ressaltar também que os produtos AB e BA são diferentes. Logo, a multiplicação de duas

matrizes não é comutativa. Existem matrizes A e B, tais que AB = BA, porém essa não é a

regra. O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade (In), onde os

elementos da diagonal são iguais a um, e os demais elementos iguais a zero.

In2= [1 00 1] In3= [1 0 0

0 1 00 0 1 ]

5

3.5 Matriz Inversa

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é chamada inversa de A se, e somente

se: A.B = B.A = In, em que: B é a matriz inversa de A: B = A–1 e In é a matriz identidade de

ordem n.

Assim, a matriz B= [ 3 −4−2 3 ] é inversa de A= [3 4

2 3], pois:

AB= [3 42 3] [ 3 −4

−2 3 ]= [1 00 1]= In2 e BA= [ 3 −4

−2 3 ] [3 42 3]= [1 0

0 1]= In2

ou seja: AB = BA = In

Exemplo:

Obter a matriz inversa da matriz A= [3 12 1], se existir.

Supondo que B= [a bc d ] é a matriz inversa da matriz A, temos:

AB = [3 12 1] [a b

c d ]= [1 00 1]

[3a+c 3b+d2a+c 2b+d ] = [1 0

0 1]

Assim: {3a+c=12a+c=0

e {3b+d=02b+d=1

Resolvendo os sistemas, obtemos: a= 1, b= –1, c= –2 e d= 3

Portanto: B= [ 1 −1−2 3 ]

Calculando: B.A= [ 1 −1−2 3 ] [3 1

2 1]= [1 00 1]

Portanto a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz: B= A-1= [ 1 −1−2 3 ]

Exemplo II:

Obter a matriz inversa da matriz A= [ 2 −3−4 6 ], se existir.

6

Temos: AB= [ 2 −3−4 6 ] [a b

c d ]= [1 00 1]

[ 2a−3c 2b−3d−4 a+6c 4b−6d ]= [1 0

0 1]

Assim: { 2a−6c=2−4 a+6c=0

0=2 Falso

Como essa operação não é verdadeira, concluímos que essa matriz não é inversível, ou seja,

ela não admite inversa.

4. Conclusão

Com o desenvolvimento das etapas, por meio de debates e correções, concluímos que com

esse trabalho adquirimos os conhecimentos técnicos necessários para a aplicação do conteúdo

aprendido em sala de aula, pesquisas e livro texto, alcançando os objetivos propostos no inicio

da atividade.

7

5. Referência Bibliográfica

BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear 3ª Ed. São Paulo: Editora Harbra, 1980.

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear e Geometria Analítica PLT.

São Paulo: Pearson Prentice Hall, 1987.

LAWSON, Terry; Álgebra Linear. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 1997.

www.vestibulandia.com.br

8