AULA 00-Estatistica Concurseiro Fiscal

Estatística p/ AFRFB - 2015

Prof. Alexandre Azevedo,

AULA 00

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Estatística em Teoria e Exercícios p/AFRFB Prof.Alexandre Azevedo – Aula 00

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Concurseiro Fiscal www.concurseirofiscal.com.br

AULA 00 – Aula Demonstrativa

Salve, concurseiros fiscais de todo o país!

Sejam bem-vindos ao curso de Estatística para o concurso de AFRFB.

Saiba que você, só de já estar lendo esta aula deu um grande passo em relação à sua aprovação. Digo isso pois, para muitos candidatos, a

pior fase é aquele início dos estudos, onde tudo ainda é muito novo e as horas de estudo demoram a passar.

Neste curso, o nosso objetivo será o de treinarmos ao máximo

questões da Esaf e, quando for pertinente, questões de outras bancas que, por algum motivo, sejam adequadas ao nosso objetivo.

Possuo uma didática em que priorizo, na hora de abordar a teoria, que o aluno entenda o básico da matéria, sem sobrecarregá-lo,

colocando os aprofundamentos pertinentes ao longo das questões a serem resolvidas, até mesmo para que tais observações façam mais

sentido ao aluno.

Fiquem tranquilos, pois você se encontra em ótimas mãos e trilharemos juntos o caminho até a sua vitória e conquista!

Nesta nossa aula demonstrativa, procurei pegar o básico do início do

conteúdo(nem tão básico assim), para depois trabalharmos probabilidades, distribuições, inferências,ou seja, todo o programa do

edital. Os assuntos da aula “zero” foram escolhidos para que você

entre com o pé direito no estudo desta matéria, sem também ficar te iludindo com apenas questões fáceis, que não ajudariam em nada na

sua preparação. Por falar nisso, observe que, como todo mundo, irei utilizar ao máximo as questões da ESAF, mas também aparecerão

questões de outras bancas, à medida em que eu achar necessário para exemplificar alguma parte da teoria ou pelo motivo daquele tipo

de questão ser extremamente copiado de prova para prova, mesmo com as bancas não sendo as mesmas.

O meu objetivo é o de atender a todos, seja aqueles que agora estão

começando ,seja aqueles que estão em nível mais avançado (e é comum termos pessoas de nível altíssimo num concurso como da

Receita).

Para isso, ao longo de cada apresentarei questões de nível fácil,

médio e difícil, questões essas que vocês devem tentar resolver e depois conferir a resolução.

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É claro, caso você não consiga sair do lugar, olhe a resposta e veja muito bem como a questão foi resolvida, pois questões de concurso

são, em seu grande número, cópias carbono umas das outras, pelo menos nas matérias de exatas.

Justamente por isso, te dou muita força para nunca desanimar, pois se as questões são repetitivas, basta que você treine muito, muito e

muito mesmo!

Agora, veja bem o que eu disse: treinar significa pegar a questão, vencer o cansaço e realmente tentar fazer. No início, muitas pessoas

querem pegar a aula em pdf e ficar lendo as resoluções, numa zona-de-conforto.

Mas, logo te aviso: para pegar o jeito de resolvê-las, você deve

realmente tentar fazer e, com o tempo, você perceberá que você passou do status dos que “tentam” fazer ao daqueles que realmente

saem resolvendo questões uma após a outra.

Como todos sabem, temos um fórum onde estarei à sua disposição,

seja para dúvidas, seja para você me dizer que não precisa mais de mim, pois finalmente alcançou a sua almejada vaga!

Apresentação do professor

Olá, é com imenso prazer que venho me apresentar, já que seremos

companheiros na nossa tarefa de prepará-lo para os concursos que tenham a temida disciplina de estatística como parte de seu edital. Na

realidade você terá em mim um professor e aliado para te ajudar a destrinchar uma prova em cujo edital aparecem conteúdos de

matemática e estatística, sendo esta última a matéria que eu predominantemente irei ministrar no site.

Digo que seremos companheiros porque, muito mais do que aluno e professor, estarei sempre à disposição para ajudá-lo, seja em suas

dúvidas, seja para ensiná-lo a estudar de forma correta a minha

matéria, o que inclui aprender os “macetes” inerentes a cada tipo de assunto ou questão.

Bom, primeiramente, deixem que eu me apresente.

Meu nome é Alexandre de Azevedo Silva e trabalho desde os 19 anos

de idade preparando alunos para exames vestibulares e concursos públicos. Meu contato com a grande emoção que é fazer uma prova

começou cedo, quando prestei prova para o ensino técnico do Cefet-RJ, onde cursei o ensino médio e, posteriormente, fiz turma Ime-Ita,

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tendo sido aprovado no Ime, que acabei não cursando. Alguns podem

pensar que sou louco por ter usado a palavra “emoção” para descrever o meu sentimento ao fazer uma prova, mas explico: para

muitas pessoas, estar ali é um sacrifício, por tudo o quanto é motivo, mas é um sacrifício que elas sabem que lhes trará muitos benefícios,

pois é uma forma democrática e justa de galgar postos mais altos em

suas vidas. E era com esse sentimento que eu ia fazer uma prova, o de um desafio a ser vencido e que iria melhorar , e muito, a minha

vida. Sou formado em Matemática pela Uerj e em Informática, também pela Uerj, com uma especialização em segurança de redes de

computadores, pela Uff. Além disso, acabei de terminar o meu mestrado em matemática pelo Impa. Trabalho há vários anos num

curso e colégio especializado em vestibulares, onde dou aulas de matemática para as turmas normais e matemática e física para a

turma IME-ITA, além de , posteriormente, ter sido convidado para dar aula em vários cursos de concursos do RJ.

Adoro trabalhar com qualquer coisa que envolva competição, seja vestibular ou concurso, pois acho interessante a responsabilidade de

preparar pessoas com uma bagagem tão grande quanto é o concurseiro, cada vez mais especializado e “antenado” quanto ao

conteúdo cobrado nas provas.

Em Estatística, não será diferente. Antigamente o conteúdo cobrado numa prova da Receita, por exemplo, era bem menor, mas hoje

temos a estatística descritiva e a inferencial, o que significa que teremos de ver assuntos um pouco mais conhecidos como média,

moda e variância, e outros nem tão conhecidos, como os testes de hipóteses.

Mais uma vez, reforço que, neste curso, o nosso objetivo será o de treinarmos ao máximo questões da Esaf e, quando for pertinente,

questões de outras bancas que, por algum motivo, sejam adequadas ao nosso objetivo.

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Informações sobre o curso

Nosso curso será ministrado ao longo de 16 aulas, incluindo esta aula demonstrativa, de acordo com o cronograma abaixo:

AULA 00

Conceitos básicos.

23/01/2015

AULA 01

Conceitos básicos, medidas de posição e dispersão

23/02/2015

AULA 02

Medidas de posição. Média, moda e variância e suas propriedades. Desvio-padrão. Médias ponderada, geométrica e harmônica. Dados agrupados em rol ou em classes.

09/03/2015

AULA 03

Medidas de dispersão. Amplitude. Intervalo interquartílico Desvio em relação à média aritmética. Desvio médio Desvio padrão e variância. Propriedades das medidas de posição associadas a desvios Propriedades das medidas de dispersão Coeficiente de variação.

23/03/2015

AULA 04

Análise Combinatória

06/04/2015

AULA 05

Probabilidade

20/04/2015

AULA 06

Estatística Inferencial. Variáveis aleatórias: conceitos iniciais. Variável aleatória discreta. Propriedades da esperança e da variância. Coeficiente de variação

04/05/2015

AULA 07

Covariância. Variáveis contínuas. Função densidade de probabilidade (fdp) 18/05/2015

AULA 08

Uso da integral para cálculo de probabilidades. Função distribuição de probabilidade (FDP). Relação entre FDP e fdp Esperança para variáveis contínuas. Variância para variáveis contínuas. Teorema de Chebychev.

01/06/2015

AULA 09

Principais distribuições discretas. Distribuição uniforme discreta Distribuição de Bernoulli. Distribuição Binomial. Distribuição de Poisson. Distribuição Geométrica. Distribuição Hipergeométrica Distribuição binomial negativa

15/06/2015

AULA 10

Principais distribuições contínuas. Distribuição uniforme

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29/06/2015

contínua. Distribuição normal. Aproximação normal à binomial Distribuição exponencial. Distribuição de qui-quadrado

AULA 11

Amostragem. Estimadores pontuais e distribuições amostrais Características dos estimadores. Estimador não viciado Estimador de variância mínima. Estimador de mínimos quadrados. Estimador de máxima verossimilhança.

13/07/2015

AULA 12

Intervalos de confiança. Intervalo de confiança para média Intervalo de confiança para proporção. Amplitude do intervalo de confiança e tamanho da amostra 27/07/2015

AULA 13

Testes de hipóteses. Teste para a média e P-valor. Teste para proporções usando a distribuição binomial. Teste para proporções usando a distribuição normal. Teste de qui-quadrado. Análise de variância

10/08/2015

AULA 14

Testes de hipóteses. Teste para a média e P-valor. Teste para proporções usando a distribuição binomial. Teste para proporções usando a distribuição normal Teste de qui-quadrado. Análise de variância

24/08/2015

AULA 15

Correlação linear entre variáveis aleatórias. Regressão linear simples. Análise de variância da regressão 07/09/2015

Em cada aula, sempre teremos um grande número de questões, pois a chave para que você vá muito bem numa disciplina de exatas é o

treino incessante.

Na aula de hoje, coloquei tanto questões do nosso conteúdo inicial quanto outras pertencentes a tudo o que será visto ao longo do curso,

para que você que já é concurseiro de longa data tenha uma melhor

oportunidade de me avaliar e, tomara, ser mais um de meus discípulos rumo à conquista do mundo!(rss,rsss)

Comecemos, então, com os conceitos básicos...

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Conceitos Básicos de Estatística

A Estatística é a área da Matemática que estuda métodos de captação, armazenamento, representação, análise e interpretação de

dados, com o objetivo de permitir a melhor utilização possível destas informações.

Através de um exemplo simples, vamos abordar alguns dos tópicos

mais importantes desta ciência tão usada em diversas áreas do conhecimento.

Exemplo: Foi feita uma pesquisa para analisar o desempenho do 3º ano do Ensino Médio de um determinado colégio. Como o total de

alunos era muito grande (o colégio funcionava em 3 turnos, cada um com cerca de 6 turmas), decidiu-se a média final de um conjunto de

45 alunos (15 de cada turno). As notas coletadas foram:

{1, 3, 4, 6, 8, 10, 4, 3, 6, 7, 9, 2, 2, 4, 7, 8, 5, 1, 9, 10, 5, 4, 5, 6, 9, 2, 1, 3, 9, 10, 3, 5, 6, 8, 2, 4, 1, 6, 9, 8, 10, 0, 7, 8, 9}

Vamos agora determinar alguns processos de armazenamento e

representação, assim como medidas que serão utilizadas na interpretação destes dados.

População: População ou Universo Estatístico é o conjunto formado

por todos os elementos envolvidos no âmbito da pesquisa. No nosso

exemplo, a população seria o conjunto de todos os alunos do 3º ano do Ensino Médio deste colégio.

Amostra: Subconjunto da população que, ao ser analisado, permite

que se atinja um resultado bem próximo da realidade da população. No nosso exemplo, a amostra seria o conjunto dos 45 alunos cujas

notas foram coletadas.

Variável: A variável da pesquisa é, por convenção, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Em outras palavras, variável é

o item que está sendo usado na pesquisa, no nosso exemplo a nota final do aluno.

Uma variável pode ser qualitativa, quando seus valores são expressos

por atributos (sexo, cor da pele), ou quantitativa, quando seus

valores são expressos em números (como o do exemplo em questão).

Um “macete” para melhor classificar uma variável é pensar assim: vamos perguntar para a variável o valor da mesma.

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Se a resposta for um número, a variável é quantitativa, se for uma

palavra, variável qualitativa. Por exemplo, a variável “nacionalidade” em uma pesquisa é uma variável qualitativa, pois ao questionar qual

a nacionalidade do indivíduo, a resposta será uma palavra.

Freqüência:

Absoluta: número de vezes que um valor da variável aparece no

conjunto de dados coletados (a nota 2, por exemplo, tem freqüência absoluta igual a 4).

Relativa: razão entre a freqüência absoluta e o número total de valores da variável ( a nota 3, por exemplo, tem freqüência relativa

igual a 45

4

8,88%)

Tabelas: Quadro que é usado para armazenar e apresentar os dados coletados. Vamos apresentar dois exemplos de tabela que poderiam

ser utilizados na situação problema:

Onde FA é a frequência absoluta e FR é a frequência relativa.

O símbolo | − | significa intervalo fechado à esquerda e à direita,

enquanto o símbolo | − indica intervalo fechado à esquerda e aberto à

direita.

Se fizermos um resumo de tais símbolos, teremos o seguinte:

Média Final Número de Alunos(FA) FR

0 1 2,22%

1 4 8,89%

2 4 8,89%

3 4 8,89%

4 5 11,11%

5 4 8,89%

6 5 11,11%

7 3 6,67%

8 5 11,11%

9 6 13,33%

10 4 8,89%

Média Final Número de Alunos(FA) FR

0 2 5 11,11%

2 5 13 28,89%

5 8 12 26,67%

8 10 15 33,33%

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Na primeira tabela, cada valor da variável aparece acompanhado de

suas frequências absoluta e relativa. Na segunda tabela, os valores

são distribuídos em intervalos (ou classes), cada um com suas frequências absoluta e relativa.

Representação Gráfica: Representaremos a seguir os dados obtidos

através de gráficos, que recebem nomes diferentes de acordo com sua apresentação:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

0 Média Final

Número de

Alunos

Gráfico de Segmento

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

3

4

5

6

0 Média Final

Número de

Alunos

Gráfico de Barras

4 4 4

5 5

4

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Estes são alguns exemplos de representação gráfica dos dados de

nosso exemplo. Os gráficos de Segmento e de Barras foram construídos a partir da primeira tabela, enquanto o Gráfico de Setores

e o Histograma foram construídos a partir da segunda tabela. Vale ressaltar que o HISTOGRAMA é utilizado quando os dados estão

organizados em classes, e a linha que aparece neste gráfico é denominada Polígono do Histograma ou Polígono de Frequência (os

pontos em destaque estão em verticais traçadas pelos valores médios de cada classe).

Na verdade, o histograma é um gráfico em barras, mas cuja base de

cada retângulo corresponde à amplitude de classes.

8 10

0 2

5 8

2 5

11,11%

28,89%

26,67%

33,33%

Média Final

Gráfico de Setores

(ou Gráfico ”Pizza”)

2 5 8 10 0 Média Final

Histograma

Número de

Alunos

12

5

13

15

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Na construção do histograma, o mais comum é que a altura de cada

retângulo seja dada pela frequência absoluta ou relativa do intervalo de dados em questão.

Uma outra possibilidade é quando queremos que a área de cada

retângulo corresponda à respectiva frequência de cada classe .Com

isso, a altura de cada um tem de ter correspondência com o conceito de densidade de frequência, que é a divisão da frequência de cada

classe pela sua correspondente amplitude.

𝑑𝑓 =𝑓

ℎ

Medidas de Posição

Média Aritmética x :

-Simples: Dado o conjunto de valores A = {x1 , x2 , x3 , ..., xn}, calcula-se a Média Aritmética Simples destes n valores dividindo-se a

soma destes valores por n.

x = n

x

n

1i

i

No exemplo:

45

9870108961428653109312965451091587422976341086431x

33,515

83

45

249x

-Ponderada: É utilizada no caso em que os valores são influenciados por pesos, que são números que indicam a intensidade de cada valor

(frequências absolutas ou relativas).

Sendo pi o peso associado ao valor xi , temos:

n

1i

i

n

1i

ii

p

p.x

x

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Em nosso exemplo, podemos calcular a média aritmética ponderada

usando os dados da primeira tabela:

33,515

83

45

4.106.95.83.75.64.55.44.34.24.11.0x

Moda (Mo): É o valor de maior freqüência. Em nosso exemplo, a

moda (Mo) é igual a 9 (FA = 6).

Mo = 9

Quando a freqüência máxima ocorre para dois valores distintos,

dizemos que o conjunto é bimodal; para três valores distintos, trimodal, e assim por diante. Caso todos os valores tenham a mesma

freqüência, o conjunto é dito amodal.

Obs.: Caso os valores sejam fornecidos apenas divididos em classes, a moda será determinada identificando-se a classe de maior

freqüência e calculando-se a média aritmética de seus limites. Neste caso, a moda é denominada moda bruta.

Obs2.: Aqui temos uma grande diferença entre a cobrança realizada

pelas bancas Esaf e FCC. Em concursos como o da Receita Federal, banca Esaf, é comum vermos a utilização da chamada

moda de Czuber ou da moda de King, que são dois métodos de

interpolação para que tenhamos o valor da moda de uma forma um pouco mais precisa do que aquela encontrada pelo

método acima. Confesso que, numa prova da FCC, não me recordo de nenhuma questão em que isso tenha caído.

Como o nosso curso tem foco na Receita Federal, com certeza

teremos este conteúdo, que será dado na próxima aula.

Mediana (Md): È o valor central de um conjunto ordenado (segundo ordem crescente ou decrescente) de valores. Caso a quantidade de

valores do conjunto seja par, a mediana será, por convenção, a média aritmética dos dois valores centrais.

Colocando em ordem crescente os valores de nosso exemplo,

formamos a seqüência:

(0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6,

6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10,10)

Nesta seqüência, o termo central é 6 (vigésimo terceiro termo). Desta forma temos:

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Md = 6

Obs.: Caso os valores sejam fornecidos apenas divididos em classes,

o cálculo da mediana é feito de forma diferente. Suponha que, em nosso exemplo, apenas a segunda tabela nos fosse fornecida, sem as

frequências individuais de cada valor. Calcula-se a soma de todas as

freqüências absolutas (soma = 45) e divide-se este valor por 2

5,22

2

45

. Define-se, então, em qual das classes se encontra mediana (primeira classe cuja frequência acumulada até ali seja maior que

22,5), que seria a terceira classe (5 8). Esta classe chama-se classe mediana. Como existem 12 elementos nesta classe e a

amplitude deste intervalo é igual a 3, dividimos esta amplitude em 12

partes iguais (0,25 cada parte). Como a frequência acumulada até a classe anterior é 18, devemos somar ao limite inferior da classe

mediana 4,5 (22,5 – 18) vezes 0,25, obtendo assim a mediana:

Md = 5 + (4,5) . (0,25) = 6,125

A escolha pela utilização de cada uma destas medidas será feito de acordo com o tipo de análise que se pretende fazer.

Medidas de Dispersão

-Variância:

V =

n

xx

n

1i

2

i

,

onde xi , i = 1, 2, ..., n, são os valores da variável analisada e x é a

média aritmética destes valores.

-Desvio Padrão:

DP = V

Obs1: A variância e o desvio padrão, ambos sempre não negativos,

determinam o grau de dispersão de um grupo, ou seja, o quão heterogêneo ele é. Quanto mais próximos de zero forem estes

valores, mais homogênea é a distribuição dos valores da variável.

Sejamos bem informais no exemplo a seguir. Vamos lá, caso

tenhamos a seguinte distribuição:

a){3,3,3}

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Qual a média da distribuição acima? Isso mesmo, é igual a 3.

Você acha que tal valor é uma boa representação da distribuição

como um todo? É claro que sim! Pois toda a distribuição é formada unicamente pelo valor 3.Intuitivamente, sem fazer nenhuma conta,

quanto você acha que vale a variância desta distribuição? Isso

mesmo, zero.

b){1,3,5}

Neste outro exemplo, vamos também calcular a média? Quanto vale a média da distribuição acima?

X =1+3+5

3=

9

3 = 3.

Ou seja, temos aqui a mesma média do exemplo anterior. No entanto,

você me diria que a variância ainda é igual a zero? Não, pois apenas o termo do meio vale zero, os outros, não. Com isso, temos que, neste

caso, a média não é um valor tão bom assim para ser um

representante do grupo como um todo.

Obs2: Se os dados fornecidos estiverem organizados em classes, utilizamos os valores médios de cada classe para o cálculo destas

medidas de dispersão. Fiquem tranquilos, pois esta utilização do valor médio quando temos uma organização em classes será melhor

abordada quando resolvermos os exercícios logo abaixo.

Outras médias:

- Média Geométrica: Chama-se Média Geométrica ou Proporcional dos números positivos x1 , x2 , x3 , ..., xn o seguinte valor :

MG = n

n321 .x.....x.xx

-Média Harmônica: Chama-se Média Harmônica dos números não nulos x1, x2, x3 , ..., xn o inverso da média aritmética de seus

inversos.

MH = n321 x

1...

x

1

x

1

x

1

n

Fique tranquilo: teremos vários exemplos destas médias ao longo das questões.

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Lista de Questões

1)(SABESP – 2012) A Secretaria de Saúde de um município monitora as reclamações formais que os pacientes fazem dos

60 postos de saúde da cidade. O gráfico a seguir mostra como as reclamações de um determinado mês se distribuíram pelos

diferentes postos.

O número médio de reclamações formais por posto de saúde da cidade, nesse mês, foi

(A) 1,7

(B) 2,1

(C) 1,8

(D) 2,2

(E) 1,6

2) (TCE - PR – 2011)

A distribuição dos salários dos 1000 funcionários da

companhia A, em número de salários mínimos, está apresentada na tabela abaixo:

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A média dos salários, calculada supondo-se que todos os

valores dentro de uma faixa salarial tenham seus valores iguais ao ponto médio desta faixa, em número de salários

mínimos, é igual a

(A) 4,2.

(B) 4,5.

(C) 4,6.

(D) 4,8.

(E) 5,0.

3) (TCE - PR – 2011) O valor de X-md, em número de salários mínimos, é:

Dados:

md = Mediana dos salários calculada pelo método da

interpolação

linear;

X = Valor que separa os 15% salários mais altos, calculado

pelo método da interpolação linear.

(A) 4,00.

(B) 3,25.

(C) 3,50.

(D) 3,75.

(E) 3,00.

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4)

(FCC - 2006 - BACEN) O histograma de frequências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações contidas na

revista “O Empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo da

construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004

maior ou igual a 15 milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais.

Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do

faturamento das empresas deste estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são

coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste histograma, o valor encontrado

para esta média pertence ao intervalo de classe que contém:

a) 24% das empresas

b) 16% das empresas

c) 9% das empresas

d) 7% das empresas

e) 5% das empresas

5) (BACEN – 2006) O valor da mediana dos salários dos

empregados da empresa XYZ , obtida pelo método da

interpolação linear, é igual a:

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a) R$ 3.500,00

b) R$ 3.625,00 c) R$ 3.650,00

d) R$ 3.800,00 e) R$ 4.000,00

6) AFRF-2001:

Frequências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia. Alfa.

Classes de salários Frequências

acumuladas

3 ; 6 12

6 ; 9 30

9 ; 12 50

12 ; 15 60

15 ; 18 65

18 ; 21 68

Suponha que a tabela de frequências acumuladas tenha sido

construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear

da ogiva, a frequência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que

corresponde a este número.

a)150 b)120 c)130 d) 160 e)180

7) AFRF-2002.2:

O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro,

numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:

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Classes Frequência (f)

29,4 --- 39,5 4

39,5 --- 49,5 8

49,5 --- 59,5 14

59,5 --- 69,5 20

69,5 --- 79,5 26

79,5 --- 89,5 18

89,5 --- 99,5 10

Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de

indivíduos com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5.

a) 700 b)638 c)826 d)995 e)900

8) Fiscal de Tributos Estaduais do PI – 2001

A tabela abaixo mostra a distribuição de frequências obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma

firma. As frequências são acumuladas.

Classes de Salários Frequências

(5.000 – 6.500) 12

(6.500 – 8.000) 28

(8.000 – 9.500) 52

(9.500 – 11.000) 74

(11.000 – 12.500) 89

(12.500 – 14.000) 97

(14.000 – 15.500) 100

Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial

populacional que não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa estimativa.

a)R$10.000,00 b)R$9.500,00 c)R$12.500,00 d)R$11.000,00

e)R$11.500,00 9) (TRT 5ª região FCC/2013) A distribuição das medidas em

metros (m) dos comprimentos dos cabos no estoque de uma fábrica está representada pelo histograma mostrado abaixo,

em que no eixo vertical constam as densidades de frequências, em (m)-1, e no eixo horizontal os intervalos de classe. Define-

se densidade de frequência de um intervalo de classe como sendo o resultado da divisão da respectiva frequência relativa

pela correspondente amplitude do intervalo.

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Sabendo-se que todos os intervalos de classe são fechados à esquerda e abertos à direita, então a porcentagem dos cabos

que apresentam uma medida de comprimento de pelo menos

igual a 4 m e inferior a 10 m é de:

a) 50%. b) 60%.

c) 70%. d) 80%.

e) 90%.

(Agente Fiscal de Rendas SP/2009/FCC/Adaptada) Para

resolver as próximas duas questões, considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos

valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise.

Sabe-se que:

I – As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e

terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente.

II – A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado

considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio desse

intervalo).

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10) A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é

A) 70% B) 65%

C) 55% D) 45%

E) 40% 11) Utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o

valor da respectiva mediana é:

A) R$ 3.120,00 B) R$ 3.200,00

C) R$ 3.400,00 D) R$ 3.600,00

E) R$ 3.800,00

12) (TCDF/95) Assinale a opção correta.

a.) Em Estatística, entende-se por população um conjunto de pessoas.

b.) A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor

dentro de determinado intervalo.

c.) Freqüência relativa de uma variável aleatória e o número de repetições dessa variável.

d.) A serie estatística é cronológica quando o elemento

variável é o tempo.

e.) Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer

do atributo.

13) Julgue os itens a seguir.

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I Uma cidade possui 1.000 habitantes. Um estatístico, necessitando fazer uma determinada pesquisa, entrevistou

200 pessoas. É correto dizer que, nesse exemplo específico, de uma amostra de 1.000 pessoas, o estatístico entrevistou uma

população de 200 indivíduos.

II Um estudante tinha 1 moeda, 1 folha de papel em branco e

1 caneta e, com esse material, resolveu fazer uma experiência. Arremessou uma moeda 20 vezes seguidas. Em cada uma das

vezes, ele verificava se a face sorteada era “cara” ou “coroa”. Caso fosse “cara”, ele escrevia o número 1 no papel. Caso

fosse “coroa”, ele escrevia o número 2 no mesmo papel.

No final da experiência, o estudante obteve 7 “coroas” e

somou todos os números existentes no papel. Esse resultado foi atribuído a uma variável X. Com isso, o resultado

encontrado para X foi 27.

III Uma fábrica produz 100.000 lâmpadas por mês. São sorteadas 100 lâmpadas, e essas são mantidas acesas até

queimarem, com o objetivo de calcular a vida média desse tipo

de lâmpada. A experiência, que utiliza um subconjunto de um grupo para calcular determinado parâmetro e admite que esse

parâmetro é válido para todo o grupo, é um problema estudado pela estatística inferencial.

Assinale a alternativa correta.

(A) Nenhum item está certo.

(B) Apenas os itens I e II estão certos.

(C) Apenas os itens I e III estão certos.

(D) Apenas os itens II e III estão certos. (E) Todos os itens estão certos.

14) (Gestor Fazendário MG - 2005/ESAF - modificada) Com

base no diagrama de ramos e folhas abaixo, encontre a observações que divide a série de dados em duas partes

iguais:

9 1 1 9 9

10 0 0 2 2 3 4 10 5 7 7 7 8

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11 0 1 3

11 6 6 12 0 0 0 1 2

12 5 5 8 13 0 0 4

13 5 5 5

14 0 14 5

a) 110

b) 120 c) 116

d) 113 e) 111

15) FCC - EPP (SEPLA DR SP)/SEPLADR (SP)/2009

A média aritmética dos salários dos 140 empregados de uma empresa X excede em R$ 250,00 a média aritmética dos

salários dos empregados de uma outra empresa Y.

Sabe-se que a soma dessas duas médias é igual a R$ 1.650,00 e o total dos salários pagos em cada uma das empresas são

iguais. O número de empregados de Y é:

a) 160

b) 170

c) 180

d) 190

e) 200

16) ESAF - AFPS/INSS/Administração Tributária

Previdenciária/2002

Numa pesquisa amostral, observa-se que o salário médio

mensal dos indivíduos entrevistados é de R$ 500,00.

Os salários médios de homens e mulheres são R$ 600,00 e R$

420,00, respectivamente.

Assinale a opção que dá a relação entre o número de homens e de mulheres da amostra.

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a) O número de homens é o dobro do número de mulheres.

b) O número de homens é 4/5 do número de mulheres.

c) O número de homens é igual ao número de mulheres.

d) O número de homens é 1/5 do número de mulheres.

e) O número de homens é 3/5 do número de mulheres.

17) FGV - ATE (SEFAZ MS)/SEFAZ MS/2006

As médias aritméticas das provas das turmas A e B foram, respectivamente, 5,6 e 6,4. Se há 40 alunos na turma A e 30

na turma B, quanto vale, aproximadamente, a média aritmética das notas dos estudantes das duas turmas?

a) 5,79

b) 5,88

c) 5,94

d) 6,03

e) 6,12

18)

ESAF - AFRFB/SRFB/Tributária e Aduaneira/2005

Assinale a opção que expresse a relação entre as médias

aritmética (��), geométrica (G) e harmônica (H), para um

conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn):

19)ESAF - ATRFB/SRFB/Tecnologia da Informação/2006

Um motorista de táxi faz 10 viagens ida-e-volta do aeroporto

Santos Dumont ao aeroporto do Galeão, no Rio de Janeiro. Ele calcula e anota a velocidade média, em quilômetros por hora,

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em cada uma dessas viagens. O motorista quer, agora, saber

qual a velocidade média do táxi para aquele percurso, em quilômetros por hora, considerando todas as 10 viagens ida-e-

volta. Para tanto, ele deve calcular a média:

a) aritmética dos inversos das velocidades médias observadas.

b) geométrica das velocidades médias observadas.

c) aritmética das velocidades médias observadas.

d) harmônica das velocidades médias observadas.

e) harmônica dos inversos das velocidades médias observadas.

20) ESAF - Ana Tec (SUSEP)/SUSEP/Controle e Fiscalização -

Atuária/2006

Para um conjunto determinado de números positivos temos:

como a média aritmética, G como a média geométrica e H como a média harmônica, podemos afirmar que:

21) (SEFAZ CE 2007 - ESAF)

Indicando por: - x : a média aritmética de uma amostra; - mg : a média geométrica da mesma amostra; e - mh : a média

harmônica também da mesma amostra. E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, é

verdadeiro afirmar que a relação entre estas médias é:

a) x < mg < mh

b) x > mg > mh

c) mg < x < mh

d) x < mg = mh

e) x = mg = mh

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22) FGV - AFRE RJ/SEFAZ RJ/2011

Em uma repartição, foi tomada uma amostra do número de filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A média

geométrica simples dessa amostra é:

a)2,2 5.

b) 1,7 5.

c) 2.

d) 2,4 .

e) 2,5 .

23)

ESAF - ATRFB/SRFB/Tecnologia da Informação/2006

Sobre a moda de uma variável, é correto afirmar que

a) para toda variável existe uma e apenas uma moda.

b) a moda é uma medida de dispersão relativa.

c) a moda é uma medida não afetada por valores extremos.

d) em distribuições assimétricas, o valor da moda encontra-se

entre o valor da média e o da mediana.

e) sendo o valor mais provável da distribuição, a moda, tal

como a probabilidade, pode assumir valores somente no intervalo entre zero e a unidade.

A partir da questão 24 temos algumas questões de assuntos variados do nosso cronograma, conforme já havia avisado no início da aula, em minha apresentação.

24) (ESAF – ATRFB – 2012)

A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 e 3 é

igual a

a) 3

b) 2.

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c) 1.

d) 4.

e) 5.

25) (ESAF – ATPS – 2012)

Do total de moradores de um condomínio, 5% dos homens e

2% das mulheres tem mais do que 40 anos. Por outro lado, 60% dos moradores são homens. Em uma festa de final de ano

realizada neste condomínio, um morador foi selecionado ao acaso e premiado com uma cesta de frutas. Sabendo-se que o

morador que ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40 anos, então a probabilidade de que este morador seja mulher é

igual a:

a) 3/7

b) 8/15

c) 3/15

d) 1/30

e) 4/19

26)(ESAF – ATPS – 2012)

A expectância de uma variável aleatória z é igual a 4, ou seja:

E(z) = 4. Sabendo-se que a E(z2) = 20, então o coeficiente de

variação de z é igual a:

a) 1/√𝟐𝟎

b) 1/5

c) 1/2

d) 1

e) 0

27)

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Uma variável aleatória bidimensional, (x, y), possui coeficiente

de correlação igual a ρ = -0,32. Desse modo, pode-se afirmar que à medida que:

a) x diminui, em média, y diminui.

b) x aumenta, em média, y diminui de 32%.

c) x aumenta em 32%, y diminui em 32%.

d) x diminui em 32%, y, em média, diminui em 32%.

e) x aumenta, em média, y diminui.

28)

Uma variável aleatória contínua x é uma variável

uniformemente distribuída no intervalo [a, b] se sua função densidade de probabilidade for dada por f(x) = 0 para todo x

que não pertencer ao intervalo [a , b] e f(x) = 𝟏

𝐛−𝐚 para a ≤ x ≤

b. Sabendo-se que x é uma variável aleatória contínua uniformemente distribuída no intervalo [0, 2], então a

probabilidade de (1 ≤ x ≤ 3/2) é igual a:

a) 0,5

b) 0,75

c) 0,35

d) 0,15

e) 0,25

29)

Uma variável aleatória x possui média igual a 4 e variância

igual a 2. Sabendo-se que a variável aleatória y é dada por y =

2x + 4 e que x e y são variáveis aleatórias independentes, então a média e a variância de y são, respectivamente, iguais

a:

a) 12; 12

b) 4; 8

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c) 12; 8

d) 8; 8

e) 4; 12

30)

Uma variável aleatória possui distribuição normal com média

igual a 10, μ = 10, e variância igual a 4, σ2 = 4.Retirando-se desta população uma amostra de tamanho n = 100, tem-se

que a distribuição amostral das médias, ou distribuição amostral de x é uma distribuição:

a) não normal com μ =10 e σ = 1/5

b) normal com μ =10 e σ = 1/5

c) normal com μ =100 e σ2 = 4

d) normal com μ =10 e σ2 = 2

e) não normal com μ =100 e σ2 = 4

31)

A tabela mostra a distribuição de freqüências relativas

populacionais

(f ’) de uma variável X.

Sabendo que “k” é um número real, a média e o desvio padrão

de X são, respectivamente,

a) 0,3; 0,9. b) 0,0; 0,3. c) 0,3; 0,3.

d) k; 3k. e) 0,3k; 0,9k.

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32)(IRB – 2004/ESAF – modificada)

Com base no diagrama de ramos e folhas abaixo, encontre a observações que divide a série de dados em duas partes

iguais:

3 4

3 8

4 2 2

4 5 7

5 1 2 4

5 7 8 8 9

6 0 1 3

6 5 5 6 7 8 9 9

7 0 1 1 2 3 3 4

7 5 5 6 6 7 9

8 1 1 2 3 3 4 4

8 5 7

9 0 1 3

9 7

a) 69

b) 71

c) 70

d) 72

e) 74

33)

Para estimar por intervalo a média μ de uma população normal

com variância igual a 9, retirou-se uma amostra de 16

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elementos, obtendo-se x = 5. Para um nível de confiança de

95%, o valor tabelado é igual a 1,96. Desse modo, a semi-amplitude do intervalo ou erro de estimação ─ como também é

chamado ─ é igual a:

a) 2,94

b) 1,47

c) 0,5625

d) 0,7350

e) 0,47

34) (CGU – Técnico de Finanças e Controle – ESAF –2008)

Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar

Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e

Fernando, é igual a 0,05.

Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou

Fernando é igual a:

0,04 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,45 e) 0,95

35) (CGU – Analista de Finanças e Controle – ESAF –2008)

Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de

transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber:

4 engenheiras e 6 engenheiros.

Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para

constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a:

a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24

36)(AFRF – ESAF – 2005)

Para uma amostra de dez casais residentes em um mesmo bairro, registram-se os seguintes salários mensais (em

salários mínimos):

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Assinale a opção cujo valor corresponda à correlação entre os

salários dos homens e os salários das mulheres.

a) 0,72

b) 0,75

c) 0,68

d) 0,81

e) 0,78

37) (AFPS 2002/ESAF)

Sejam X1, X2, X3, ... , Xn observações de um atributo X.

Sejam

n

i

i

n

i

i

xxn

s

xn

x

1

22

1

1

1

Assinale a opção correta.

a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de x em

valor absoluto por menos que 2S.

b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de x em


c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de x em


d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.

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e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de x em


38)(MPU – Analista – ESAF – 2004)

Uma variável aleatória X tem função de distribuição

Assinale a opção que corresponde ao valor da função massa de

probabilidades (ou função densidade de probabilidades, se for o caso) de X no ponto x = 1.

a) 0,250 b) 0,333 c) 0,083 d) 0,583 e) 0,417

39) (ESAF/Auditor Fiscal da Previdência Social/2002)

Uma empresa presta serviços de manutenção de eletrodomésticos em domicílio. Para cada um de 18

atendimentos coletou o tempo gasto em minutos (y) com a manutenção e o número de máquinas servidas (x). Postula-se

que o modelo linear

Yi = α + βXi + εi

seja adequado, onde α e β são parâmetros desconhecidos e os εi são componentes de erro não diretamente observáveis, não

correlacionados, com média nula e variância σ2 desconhecida. As estimativas de mínimos quadrados dos parâmetros do

modelo linear são dadas por �� = 𝟏𝟎, �� = 𝟐 𝐞 𝛔𝟐 = 𝟒.

A estimativa do aumento esperado de tempo por máquina adicional servida por chamada é de:

a) 2 minutos

b) 10 minutos

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c) 12 minutos

d) 5 minutos

e) 6 minutos

(ESAF – Agente Fiscal de Tributos Estaduais – SEFAZ PI) Um investigador toma uma amostra de 10 carregamentos levados

a efeito em caminhões de uma firma de transporte. Para cada

carregamento (i) anota a distância percorrida pelo caminhão em 1.000 Km (X(i)) e o tempo de entrega do carregamento

em dias (Y(i)). Neste contexto postula que o modelo de regressão linear

se ajusta a suas observações, onde 𝛂 e 𝛃 são parâmetros

desconhecidos e os 𝛆(i) são componentes estocásticas

(resíduos) não diretamente observáveis, não correlacionadas, com média zero e variância 𝛔² > 0.

Foram encontradas as estatísticas seguintes no ajuste do modelo de regressão linear:

Com base nessas informações responda:

40)

Assinale a opção que corresponde à estimativa do aumento esperado no tempo de entrega decorrente da adição de

1.000km na distância percorrida.

a) 0,5 dias

b) 1,0 dias

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c) 3,0 dias

d) 5,0 dias

e) 4,5 dias

41)

Assinale a opção que corresponde à estimativa de mínimos

quadrados do parâmetro 𝛔².

a) 1,77

b) 1,81

c) 0,40

d) 1,22

e) 1,13

42)(ESAF – ATPS – 2012)

Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então pode-se

afirmar que:

a)A e B são eventos independentes

b)P(A ∩ B) = P(A) + P(B)

c)P(B/A) ≠ 0

d)P(A/B) ≠ 0

e)P(A ∩ B) = 0

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Gabarito

1-A 2-D 3-E 4-B 5-B

6-E 7-C 8-E 9-B 10-D

11-B 12-D 13-D 14-C 15-D

16-B 17-C 18-D 19-C 20-D

21-B 22-C 23-C 24-B 25-E

27-C 28-E 29-E 30-C 31-B

32-A 33-B 34-B 35-D 36-D

37-B 38-C 39-B 40-A 41-A

42-B 43-E

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Resolução das Questões

1)(SABESP – 2012) A Secretaria de Saúde de um município

monitora as reclamações formais que os pacientes fazem dos 60 postos de saúde da cidade. O gráfico a seguir mostra como

as reclamações de um determinado mês se distribuíram pelos diferentes postos.

O número médio de reclamações formais por posto de saúde da cidade, nesse mês, foi:

(A) 1,7 (B) 2,1

(C) 1,8

(D) 2,2 (E) 1,6

Resolução:

Num gráfico como esse, em que temos a quantidade de postos de

saúde para cada número de reclamações, basta simplesmente fazermos a média ponderada dos valores encontrados no gráfico,

lembrando que, aqui, os pesos ou frequências absolutas são os valores encontrados no topo de cada barra.

Com isso, teremos:

x =0x18 + 1x16 + 2x7 + 3x10 + 4x5 + 5x2 + 6x2

18 + 16 + 7 + 10 + 5 + 2 + 2=

102

60= 1,7

Gabarito: A

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2) (TCE - PR – 2011)

A distribuição dos salários dos 1000 funcionários da

companhia A, em número de salários mínimos, está apresentada na tabela abaixo:

A média dos salários, calculada supondo-se que todos os

valores dentro de uma faixa salarial tenham seus valores

iguais ao ponto médio desta faixa, em número de salários mínimos, é igual a:

(A) 4,2.

(B) 4,5. (C) 4,6.

(D) 4,8. (E) 5,0.

Resolução:

Façamos uma nova tabela com os pontos médios de cada intervalo,

como o foi sugerido pela própria questão. Com isso, teremos:

Faixa salarial Ponto médio Frequência absoluta

1I- 3 2 200

3I- 5 4 400

5I- 7 6 200

7I- 9 8 200

A média será o resultado de uma média ponderada de cada ponto médio multiplicado pela sua respectiva frequência absoluta (que

funciona como o “peso” da ponderação) e, após isso, dividiremos o resultado encontrado pela soma das frequências.

X =200.2 + 400.4 + 200.6 + 200.8

200 + 400 + 200 + 200=

400 + 1600 + 1200 + 1600

1000=

4800

1000

= 4,8

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Gabarito: D

3) (TCE - PR – 2011) O valor de X-md, em número de salários mínimos, é:

Dados:

md = Mediana dos salários calculada pelo método da interpolação linear;

X = Valor que separa os 15% salários mais altos, calculado

pelo método da interpolação linear.

(A) 4,00. (B) 3,25.

(C) 3,50. (D) 3,75.

(E) 3,00.

Resolução:

Se queremos os 15% salários mais altos, devemos separar 15% de

1000 = 150 salários, contados ,na tabela, de baixo para cima.

A última linha da tabela já possui 200 elementos, o que faz com que os 150 salários procurados estejam nessa linha. Com isso, devemos

fazer uma regra de três para saber onde começam os 150 elementos finais desta linha.

Última linha: 7 – 9 --- intervalo = 9 – 7 = 2

2 ------------------------------ 200

x ------------------------------ 150

300 = 200.x

x = 300/200 = 1,5

Como queremos 150 elementos finais da linha, atenção: devemos, a

partir do “9”, voltarmos uma unidade e meia, ou seja, 1,5, obtendo 9 - 1,5 =7,5.

O cálculo da mediana será feito de forma parecida.

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Como temos um total de 1000 elementos, devemos encontrar o

elemento de posição 500.Reparem em como já temos 200 elementos na primeira linha. Ainda não alcançamos os 500. No entanto, ao

passarmos para a linha seguinte, teremos 200 + 400 = 600 termos, ou seja, já teremos passado pelo elemento de posição 500, o que

significa que a mediana se encontra na segunda linha da tabela.

Faltam, da primeira para a segunda linha, 500 – 200 = 300 termos, o que significa que iremos precisar encontrar quem é o termo de

posição 300 nesta segunda linha.

Por regra de três, teremos:

Segunda linha: temos uma amplitude, um tamanho de intervalo de 5 – 3 =2

Fica assim:

2 ------- 400

X ------- 300

600 = 400.X

X = 600/400 = 1,5

Com isso, temos de “caminhar” um espaço de 1,5 a partir do “3”, que é o início desta linha, para que alcancemos o valor da mediana.

Teremos, então:

Mediana = 3 + 1,5 = 4,5

Logo, X-md = 7,5 – 4,5 = 3,0.

Gabarito: E

4)(FCC - 2006 - BACEN) O histograma de frequências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações

contidas na revista “O Empreiteiro”, de junho de 2005, que

demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo da construção civil no Brasil que obtiveram faturamento

em 2004 maior ou igual a 15 milhões de reais e menor ou igual a 120 milhões de reais.

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Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do

faturamento das empresas deste estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são

coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste histograma, o valor encontrado

para esta média pertence ao intervalo de classe que contém:

a) 24% das empresas

b) 16% das empresas c) 9% das empresas

d) 7% das empresas e) 5% das empresas

Resolução:

Vamos montar a tabela referente a este histograma?

Intervalos Frequências absolutas

15—30 31

30—45 24

45—60 16

60—75 9

75—90 5

90—105 7

105—120 8

Para calcular a média, teremos de achar o ponto médio de cada intervalo.Com isso, teremos:

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Intervalos Ponto médio Frequências absolutas

15—30 22,5 31

30—45 37,5 24

45—60 52,5 16

60—75 67,5 9

75—90 82,5 5

90—105 97,5 7

105—120 112,5 8

Reparem que, de uma linha para outra o valor do ponto médio aumenta de exatamente o valor da amplitude de cada intervalo, que,

olhando para a primeira linha, é igual a 30 – 15 = 15.

Ou seja, podemos simplesmente a partir do momento em que encontramos o 22,5, sair somando 15 a cada novo ponto médio para

obter os valores dos demais pontos médios.

Agora, basta fazermos a média ponderada com as frequências e os pontos médios que chegaremos ao resultado desejado.

x =22,5x31 + 37,5x24 + 52,5x16 + 67,5x9 + 82,5x5 + 97,5x7 + 112,5x8

31 + 4 + 16 + 9 + 5 + 7 + 8

x =697,5 + 900 + 840 + 607,5 + 412,5 + 682,5 + 900

100=

5040

100= 50,4

O valor 50,4 pertence ao intervalo da terceira linha, cuja frequência

absoluta vale 16.Tal frequência representa um percentual de 16/100 = 16% das empresas.

Gabarito: B

5) (BACEN – 2006) O valor da mediana dos salários dos

empregados da empresa XYZ , obtida pelo método da interpolação linear, é igual a:

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a) R$ 3.500,00

b) R$ 3.625,00 c) R$ 3.650,00

d) R$ 3.800,00

e) R$ 4.000,00

Resolução:

Pela tabela, temos que o número total de salários é de 2+8+16+10+4=40 salários. Com isso, devemos fazer a interpolação

para localizarmos onde está o termo que divide a distribuição ao meio. Como temos 40 elementos, desejamos encontrar onde está o

termo que constitui o 20o termo da sequência.

Até a segunda linha, temos 2 + 8 = 10 termos. Somando isso aos 16 da terceira linha, teremos 10 + 16 = 26 elementos e aí teremos

ultrapassado o vigésimo termo. Temos que, nesta terceira linha, fazer uma regra de três pra localizar em qual valor serão alcançados os 10

termos restantes:

4000 – 3000 = 1000 --------------------------- 16

X ---------------------------------------------------- 10

1000. 10 = 16 . X

X = 10000 / 16 = 625

Logo, num intervalo começando por 3000, precisamos de mais 625

termos para atingirmos nosso objetivo.Com isso, teremos: 3000 + 625 = 3625.

Gabarito: B

6) AFRF-2001:

Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhares de reais, da Cia. Alfa.

Classes de salários Freqüências

acumuladas

3 ; 6 12

6 ; 9 30

9 ; 12 50

12 ; 15 60

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15 ; 18 65

18 ; 21 68

Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido

construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear

da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais

ou inferiores a R$7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número.

a)150 b)120 c)130 d) 160 e)180

Resolução:

Pessoal, muito cuidado pois esta questão é muito traiçoeira.

Em primeiro lugar, devemos perceber que o que temos aqui são as

frequências acumuladas e não as frequências simples. Com isso, temos de gerar tal coluna da tabela, a fim de localizar quantos

funcionários tem um salário menor ou igual a 7000. Para isso, cada linha da nova coluna será a diferença da frequência acumulada da

mesma com a da linha anterior.

Classes de salários Frequências

acumuladas

Frequência

simples

3 ; 6 12 12-0=12

6 ; 9 30 30-12=18

9 ; 12 50 50-18=32

12 ; 15 60 60-32=28

15 ; 18 65 65-28=37

18 ; 21 68 68-37=31

Agora, percebam que o salário de 7000 encontra-se na segunda linha, entre 6 e 9. Com isso, teremos que fazer uma interpolação, ou

melhor, uma regra de três, para que saibamos qual o número de funcionários que temos com salários entre 6000 e 7000, ou seja, um

intervalo de amplitude igual a 7 – 6 = 1, pois os “três zeros” serão desprezados, já que todos os valores na coluna estão em milhares.

Teremos o seguinte:

6|----|9 amplitude = 3,intervalo corresponde a 18 elementos

6|----|7 amplitude=1,intervalo correspondente a x elementos

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3 ------- 18 elementos 1 ------- x elementos

3.x = 18

X = 6

Logo, como já tínhamos 12 funcionários ganhando salários entre 3000 e 6000, temos um total de 12 + 6 = 18 funcionários ganhando até

7000.

Agora, temos uma armadilha bem no final da questão: todos os valores se referem a 10 % do total da população. Caso a pergunta

tivesse sido a frequência amostral de funcionários, a resposta seriam os 18 encontrados. No entanto, queremos saber a frequência

populacional. Sendo assim, teremos:

10% ------- 18

100 % ------- y

Y = 180 elementos

Gabarito: E

7) AFRF-2002.2:

O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de

1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:

Classes Freqüência (f)

29,4 --- 39,5 4

39,5 --- 49,5 8

49,5 --- 59,5 14

59,5 --- 69,5 20

69,5 --- 79,5 26

79,5 --- 89,5 18

89,5 --- 99,5 10

Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de

indivíduos com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5.

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a) 700 b)638 c)826 d)995 e)900

Resolução:

Em primeiro lugar, temos de localizar em qual linha se encontra o

50,5.

Tal valor pertence à classe que vai de 49,5 até 59,5, que possui 14 termos.

Localizemos também a classe que possui o 95,5. Tal valor pertence à

classe que vai de 89,5 até 99,5 , com 10 termos.

Com isso, destaquemos na tabela desde a classe que contém o 50,5 até a classe que contém o 95,5.


29,4 --- 39,5 4

39,5 --- 49,5 8

49,5 --- 59,5 14

59,5 --- 69,5 20

69,5 --- 79,5 26

79,5 --- 89,5 18

89,5 --- 99,5 10

Temos que saber quantos valores temos de 50,5 até 59,5.

A amplitude de todos os intervalos é igual a 10,0. Além disso, 59,5 –

50,5 = 9,0.

Por uma regra de três, teremos:

10,0 ---------- 14 elementos 9,0 ----------- x elementos

10,0 . x = 14 . 9,0 X = 12,6

Temos, então, 12,6 elementos entre 50,5 e 59,5.

Vamos agora encontrar de quantos termos da última linha precisamos para que possamos alcançar o valor de 95,5.

De 89,5 até 99,5 temos amplitude igual a 10 e 10 elementos.

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De 89,5 até 95,5 temos um intervalo de 95,5 – 89,5 = 6,0 e

queremos saber quantos elementos teremos.

Por uma regra de três, fica:

10 ------------- 10 elementos

6,0 -------------- y elementos

10 . y = 10 . 6

Y = 6 elementos

Só para ficar mais claro, acabamos ficando com o seguinte:


29,4 --- 39,5 4

39,5 --- 49,5 8

50,5 --- 59,5 12,6

59,5 --- 69,5 20

69,5 --- 79,5 26

79,5 --- 89,5 18

89,5 --- 95,5 6,0

Logo, teremos um total de 12,6 + 20 + 26 + 18 + 6 = 82,6

elementos entre 50,5 e 95,5.

Como pretendemos chegar ao resultado relacionado à população, temos que multiplicar a resposta da amostra por 10, pois de 100

pessoas da amostra para 1000 da população, temos um fator multiplicativo de 1000/100 = 10.

82,6 x 10 = 826

Gabarito: C

8) Fiscal de Tributos Estaduais do PI – 2001

A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüências obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma

firma. As freqüências são acumuladas.

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Classes de Salários Freqüências

(5.000 – 6.500) 12

(6.500 – 8.000) 28

(8.000 – 9.500) 52

(9.500 – 11.000) 74

(11.000 – 12.500) 89

(12.500 – 14.000) 97

(14.000 – 15.500) 100

Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é ultrapassado por 79% da população.

Assinale a opção que corresponde a essa estimativa.

a)R$10.000,00 b)R$9.500,00 c)R$12.500,00 d)R$11.000,00 e)R$11.500,00

Resolução:

Para que o que estou fazendo fique mais claro, construiremos a

coluna de frequências absoluta simples, sempre por meio da subtração das frequências acumuladas consecutivas.

Classes de Salários fac fi

(5.000-6.500) 12 12

(6.500-8.000) 28 (28-12=) 16

(8.000-9.500) 52 (52-28=) 24

(9.500-11.000) 74 (74-52=) 22

(11.000-12.500) 89 (89-74=) 15

(12.500-14.000) 97 (97-89=) 8

(14.000-15.500) 100 (100-97=) 3

Sabemos que temos um total de 100 funcionários, ou melhor, 100 salários, já que este é o valor da última frequência acumulada.

Verifiquemos onde ficam 79 % da população.

79% de 100 = 79

Se observarmos a coluna de frequências acumulada, observaremos que temos um total de 74 termos até a quarta linha. Como na quinta

linha a frequência acumulada salta para 89, faltam mais 5 termos da próxima linha para que encontremos o que nos foi pedido.

A amplitude de tal intervalo é igual a 12500 – 11000 = 1500.

Fazendo uma regra de três, teremos:

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1500 ----------- 15 X ----------- 5

15 . X = 1500 . 5

X = 500

Este X = 500 representa o quanto precisamos “avançar” dentro da

quinta linha para chegarmos ao que queremos.

Logo, o valor procurado será de 11000 + 500 = 11500.

Gabarito : E

9) (TRT 5ª região FCC/2013) A distribuição das medidas em

metros (m) dos comprimentos dos cabos no estoque de uma

fábrica está representada pelo histograma mostrado abaixo, em que no eixo vertical constam as densidades de frequências,

em (m)-1, e no eixo horizontal os intervalos de classe. Define-se densidade de frequência de um intervalo de classe como

sendo o resultado da divisão da respectiva frequência relativa pela correspondente amplitude do intervalo.

Sabendo-se que todos os intervalos de classe são fechados à

esquerda e abertos à direita, então a porcentagem dos cabos que apresentam uma medida de comprimento de pelo menos

igual a 4 m e inferior a 10 m é de:

a) 50%. b) 60%.

c) 70%. d) 80%.

e) 90%.

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Resolução:

O gráfico acima equivale à seguinte tabela de frequências relativas:

Intervalo Densidade de frequência relativa

1 ⊢ 3 0,05

3 ⊢ 4 0,20

4 ⊢ 6 0,15

6 ⊢ 8 0,10

8 ⊢ 10 0,05

10⊢ 11 0,10

Mas, o que é esta tal de frequência relativa da qual fala o enunciado?

Conforme o próprio examinador explica, trata-se da divisão da

frequência relativa (f) pela amplitude do intervalo, ou seja:

d =f

h ⟹ f = d. h

Ou seja, em cada linha, vamos encontrar a frequência relativa ao

multiplicarmos a densidade pela amplitude.

Intervalo Densidade de

frequência relativa

Frequência relativa

1 ⊢ 3 ( h = 3-1 =2) 0,05 f = 0,05. 2 = 0,10

3 ⊢ 4 ( h = 4-3 =1) 0,20 f = 0,20. 1 = 0,20

4 ⊢ 6 ( h = 6-4 =2) 0,15 f = 0,15. 2 = 0,30

6 ⊢ 8 ( h =8 -6 =2) 0,10 f = 0,10. 2= 0,20

8 ⊢ 10 ( h = 10 -8 = 2) 0,05 f = 0,05 .2 = 0,10

10⊢ 11 ( h = 11–10 =1) 0,10 f= 0,10. 1 = 0,10

Com isso, saber a porcentagem dos cabos que apresentam uma medida de comprimento de pelo menos igual a 4 m e inferior a 10 m

é o mesmo que saber a quantos por cento correspondem as frequências encontradas nas linhas abaixo:

Intervalo Densidade de

frequência relativa

Frequência relativa

1 ⊢ 3 ( h = 3-1 =2) 0,05 f = 0,05. 2 = 0,10

3 ⊢ 4 ( h = 4-3 =1) 0,20 f = 0,20. 1 = 0,20

4 ⊢ 6 ( h = 6-4 =2) 0,15 f = 0,15. 2 = 0,30

6 ⊢ 8 ( h =8 -6 =2) 0,10 f = 0,10. 2= 0,20

8 ⊢ 10 ( h = 10 -8 = 2) 0,05 f = 0,05 .2 = 0,10

10⊢ 11 ( h = 11–10 =1) 0,10 f= 0,10. 1 = 0,10

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Como a tabela apresentada já é a de frequências relativas, basta que façamos a soma dos valores encontrados, ou seja:

Porcentagem = 0,30 + 0,20 + 0,10 = 0,60 = 60%

Gabarito: B

(Agente Fiscal de Rendas SP/2009/FCC/Adaptada) Para

resolver as próximas duas questões, considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos

valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise.

Sabe-se que:

I – As frequências absolutas correspondem às quantidades de

recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente.

II – A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por

recolhimento, é igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado

considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio desse

intervalo).

10) A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados

maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é A) 70%

B) 65%

C) 55% D) 45%

E) 40%

Resolução:

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Em primeiro lugar, para que possamos seguir em frente, deve-se

primeiro obter os valores de “x” e “y”. Primeiramente, devemos observar que das frequências relativas é

sempre igual a 1, ou seja:

0,10 + x + y + 0,20 + 0,10 = 1,00

x + y + 0,40 = 1,00

x + y = 0,6

Um outro dado importante é o valor da média de tais valores. Como

estamos num diagrama de classes, teremos de pegar o ponto médio de cada intervalo a fim ,multiplicando cada um desses meios pela

frequência da linha da qual sai tal valor e, além disso, somando o que foi encontrado, teremos o salário médio.

Ou seja:

Valor arrecadado Salário mediano Frequência relativa

1000 |----- 2000 1500 0,10

2000 |----- 3000 2500 x

3000 |----- 4000 3500 y

4000 |----- 5000 4500 0,20

5000 |----- 6000 5500 0,10

Com isso, a média será de 1500 . 0,10 + 2500 . x + 3500 . y + 4500 . 0,20 + 5500 . 0,10 = 3350

150 + 2500x + 3500y + 900 + 550 = 3350

2500x + 3500y = 1750

Como x + y = 0,6, isolando y, temos:

y = 0,6 – x

2500x + 3500(0,6 – x) = 1750

2500x + 2100 – 3500x = 1750

1000x = 350

x = 0,35

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y = 0,6 – 0,35 = 0,25

Logo, o percentual de valores menores ou iguais a 3000 será de 0,10

+ 0,35 = 0,45 = 45%.

Gabarito: D

11) Utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o

valor da respectiva mediana é:

A) R$ 3.120,00 B) R$ 3.200,00

C) R$ 3.400,00 D) R$ 3.600,00

E) R$ 3.800,00

Resolução:

Como a tabela que nos foi dada é a das frequências relativas, temos

de encontrar o valor onde iremos alcançar 50%.

Valor arrecadado Salário mediano Frequência relativa

1000 |----- 2000 1500 0,10

2000 |----- 3000 2500 0,35

3000 |----- 4000 3500 0,25

4000 |----- 5000 4500 0,20

5000 |----- 6000 5500 0,10

Até a segunda linha, temos que a soma das frequências é igual a

0,45. Com isso, precisamos alcançar 0,05 = 0,50 – 0,45 para encontrar o valor correspondente à mediana.

3000 ---- 4000

amplitude = 4000 – 3000 = 1000 -------------- 0,25

x -------------- 0,05

1000 . 0,05 = 0,25. x

50 = 0,25. x

x = 50 / 0,25 = 200

ALUNO - 999.999.999-99

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Este valor de “x” que encontramos é o quanto que temos de somar ao

início do intervalo, que é de 3000, para chegarmos ao valor da mediana.

Portanto, mediana = 3000 + 200 = 3200.

Gabarito: B

12) (TCDF/95) Assinale a opção correta.

a.) Em Estatística, entende-se por população um conjunto de

pessoas.

b.) A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor

dentro de determinado intervalo.

c.) Frequência relativa de uma variável aleatória e o número de repetições dessa variável.

d.) A serie estatística é cronológica quando o elemento

variável é o tempo.

e.) Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo.

Resolução:

a)A população não é simplesmente um conjunto qualquer de pessoas. Na verdade, em estatística, define-se população como o conjunto de

elementos que têm, em comum, determinada característica. As populações podem ser finitas ou infinitas. Além disso existem

populações que, embora finitas, são consideradas infinitas para qualquer finalidade prática.

Já a amostra é qualquer conjunto de elementos retirado da

população, desde que esse conjunto seja não vazio e tenha um menor número de elementos que a população

b)Errado,pois esta é a definição de variável contínua.

c)Errado, a frequência relativa é a divisão do número de ocorrências

de uma dada variável pelo total de valores existentes.

d)Correto,é exatamente a definição que vimos no resumo teórico logo

acima.

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e)Errado, amplitude total é a diferença entre os valores extremos de

uma distribuição.

Gabarito: D

13) Julgue os itens a seguir.

I Uma cidade possui 1.000 habitantes. Um estatístico,

necessitando fazer uma determinada pesquisa, entrevistou 200 pessoas. É correto dizer que, nesse exemplo específico, de

uma amostra de 1.000 pessoas, o estatístico entrevistou uma população de 200 indivíduos.

II Um estudante tinha 1 moeda, 1 folha de papel em branco e

1 caneta e, com esse material, resolveu fazer uma experiência. Arremessou uma moeda 20 vezes seguidas. Em cada uma das

vezes, ele verificava se a face sorteada era “cara” ou “coroa”.

Caso fosse “cara”, ele escrevia o número 1 no papel. Caso fosse “coroa”, ele escrevia o número 2 no mesmo papel.

No final da experiência, o estudante obteve 7 “coroas” e

somou todos os números existentes no papel. Esse resultado foi atribuído a uma variável X. Com isso, o resultado

encontrado para X foi 27.

III Uma fábrica produz 100.000 lâmpadas por mês. São sorteadas 100 lâmpadas, e essas são mantidas acesas até

queimarem, com o objetivo de calcular a vida média desse tipo de lâmpada. A experiência, que utiliza um subconjunto de um

grupo para calcular determinado parâmetro e admite que esse parâmetro é válido para todo o grupo, é um problema

estudado pela estatística inferencial.

Assinale a alternativa correta.

(A) Nenhum item está certo.

(B) Apenas os itens I e II estão certos.

(C) Apenas os itens I e III estão certos.

(D) Apenas os itens II e III estão certos.

(E) Todos os itens estão certos.

Resolução:

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Item I:

Muito cuidado, pois a questão inverteu os conceitos de “população” e “amostra”. A população corresponde ao todo, enquanto a amostra é

um subconjunto da população.

Com isso, temos uma população de 1000 habitantes e uma amostra

de 200 habitantes.

Item II:

Como foram 7 coroas e 13 caras, temos que a soma dos pontos

obtidos é igual a

7 x 2 + 13 x 1 = 14 + 13 = 27.

Com isso, o item está correto.

Item III:

A generalização dos resultados de uma amostra, através da estatística inferencial, nos leva a resultados que podem ser aplicados à

população.

Tal item está correto.

Gabarito: D

14) (Gestor Fazendário MG - 2005/ESAF - modificada) Com

base no diagrama de ramos e folhas abaixo, encontre a

observações que divide a série de dados em duas partes iguais:

9 1 1

9 9 10 0 0 2 2 3 4

10 5 7 7 7 8 11 0 1 3

11 6 6 12 0 0 0 1 2

12 5 5 8

13 0 0 4 13 5 5 5

14 0 14 5

a) 110

b) 120 c) 116

d) 113 e) 111

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Resolução:

Bom, vamos colocar as observações num rol:

91,91,99,100,100,102,102,103,104,105,107,107,107,108,110,111,

113,116,116,120,120,120,121,122,125,125,128,130,130,134,135,13

5,135,140,145.

Como temos 35 observações e, estando as mesmas já em ordem crescente, a observação número 18 será aquela que dividirá a série

em duas partes iguais, ou seja, será o número 116.

Gabarito: C

15) FCC - EPP (SEPLA DR SP)/SEPLADR (SP)/2009

A média aritmética dos salários dos 140 empregados de uma

empresa X excede em R$ 250,00 a média aritmética dos salários dos empregados de uma outra empresa Y.

Sabe-se que a soma dessas duas médias é igual a R$ 1.650,00 e o total dos salários pagos em cada uma das empresas são

iguais. O número de empregados de Y é:

a) 160

b) 170

c) 180

d) 190

e) 200

Resolução:

Resolução:

Chamemos de 𝑆𝑥 a média dos salários na empresa X e de 𝑆𝑦

a média

dos salários na empresa Y.

De acordo com o enunciado, temos:

𝑆𝑥 = 𝑆𝑦

+ 250

𝑆𝑥 + 𝑆𝑦

= 1650

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Logo:

𝑆𝑦 + 250 + 𝑆𝑦

= 1650

2𝑆𝑦 = 1400

𝑆𝑦 = 700

𝑆𝑥 = 950

Com isso, chamando de T o total de salários pagos em cada uma das

duas empresas, teremos:

𝑆𝑥 =

𝑇

140= 950 ⟹ 𝑇 = 140 . 950 = 133000.

Substituindo o valor de “T” na expressão da médias dos salários da empresa Y:

𝑆𝑦 =

𝑇

𝑛= 700 ⟹ 𝑛 =

𝑇

700=

133000

700= 190.

Gabarito: D

16)

ESAF - AFPS/INSS/Administração Tributária Previdenciária/2002

Numa pesquisa amostral, observa-se que o salário médio mensal dos indivíduos entrevistados é de R$ 500,00.

Os salários médios de homens e mulheres são R$ 600,00 e R$ 420,00, respectivamente.

Assinale a opção que dá a relação entre o número de homens e

de mulheres da amostra.

a) O número de homens é o dobro do número de mulheres.

b) O número de homens é 4/5 do número de mulheres.

c) O número de homens é igual ao número de mulheres.

d) O número de homens é 1/5 do número de mulheres.

e) O número de homens é 3/5 do número de mulheres.

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Resolução:

A questão nos dá a média de salários dos homens e depois, só das mulheres. A média de todo o grupo, formado por homens e

mulheres, será a média ponderada entre as médias salariais de homens e mulheres, com a utilização do número de homens e

mulheres como sendo os pesos destas médias.

Fiquem muito atentos! Este tipo de questão costuma cair muito em prova.

Ele primeiro te dá a média de uma parte do grupo e a média da outra parte. Depois, pede a média global. Sempre que isso acontecer, a

média de todos os elementos irá sair por média ponderada.

Com isso, chamando de h o número de homens e de m o número de

mulheres, teremos:

500 =600. ℎ + 420. 𝑚

ℎ + 𝑚 ⇒ 500. (ℎ + 𝑚) = 600. ℎ + 420. 𝑚

500.h + 500.m = 600.h + 420.m

Isolando o “h” à direita da equação e passando o “m” para a esquerda, temos:

500m – 420m = 600h – 500h

80m = 100h

ℎ =80

100. 𝑚 =

4

5. 𝑚

Gabarito: B

17)FGV - ATE (SEFAZ MS)/SEFAZ MS/2006 As médias aritméticas das provas das turmas A e B foram,

respectivamente, 5,6 e 6,4. Se há 40 alunos na turma A e 30 na turma B, quanto vale, aproximadamente, a média aritmética

das notas dos estudantes das duas turmas?

a) 5,79

b) 5,88

c) 5,94

d) 6,03

e) 6,12

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Resolução:

Idem a questão anterior. Se temos a média das turmas A e B, a média das duas turmas será a média ponderada das médias dadas

pelo enunciado, com a utilização das quantidades de alunos como sendo os pesos das médias.

Logo, teremos:

�� =𝟓, 𝟔𝒙𝟒𝟎 + 𝟔, 𝟒𝒙𝟑𝟎

𝟒𝟎 + 𝟑𝟎=

𝟐𝟐𝟒 + 𝟏𝟗𝟐

𝟕𝟎=

𝟒𝟏𝟔

𝟕𝟎= 𝟓, 𝟗𝟒.

Gabarito: C

18) ESAF - AFRFB/SRFB/Tributária e Aduaneira/2005

Assinale a opção que expresse a relação entre as médias

aritmética (��), geométrica (G) e harmônica (H), para um

conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn):

Resolução:

Guardem isso:

- se tivermos “n” valores diferentes, a média harmônica será menor

do que a geométrica e esta, menor do que a aritmética.

- caso tenhamos “n” valores iguais, média harmônica(H) =média

geométrica(G) = média aritmética (��)

Por exemplo, para os valores 2,3:

�� =2 + 3

2=

5

2= 2,5

𝐺 = √2.3 = √6 = 2,45

𝐻 = 2

12 +

13

=2

56

=12

5= 2,4

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Como podemos ver, H < G < ��

Gabarito: D


Um motorista de táxi faz 10 viagens ida-e-volta do aeroporto Santos Dumont ao aeroporto do Galeão, no Rio de Janeiro. Ele

calcula e anota a velocidade média, em quilômetros por hora, em cada uma dessas viagens. O motorista quer, agora, saber

qual a velocidade média do táxi para aquele percurso, em quilômetros por hora, considerando todas as 10 viagens ida-e-

volta. Para tanto, ele deve calcular a média:

a) aritmética dos inversos das velocidades médias observadas.

b) geométrica das velocidades médias observadas.

c) aritmética das velocidades médias observadas.

d) harmônica das velocidades médias observadas.

e) harmônica dos inversos das velocidades médias observadas.

Resolução:

Chamemos a distância em cada viagem de “d”.

Com isso, o tempo para cada percurso será: t1,t2,t3,t4,t5,...,t10.

Sendo v1,v2,v3,v4,...,v10, fica, então:

𝑣1 =𝑑

𝑡1 , 𝑣2 =

𝑑

𝑡2 , 𝑣3 =

𝑑

𝑡3 , … , 𝑣10 =

𝑑

𝑡10 .

Como a velocidade média é a divisão da distância total pelo tempo

total, teremos:

𝑣 =10 . 𝑑

𝑡1 + 𝑡2 + ⋯ + 𝑡10=

10. 𝑑

𝑑𝑣1

+𝑑𝑣2

+ ⋯ +𝑑

𝑣10

=10

1𝑣1

+1

𝑣2+ ⋯

1𝑣10

Com isso, vemos que tal velocidade será o inverso da média

aritmética dos inversos das velocidades, ou seja, será a média harmônica.

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Gabarito: C

20) ESAF - Ana Tec (SUSEP)/SUSEP/Controle e Fiscalização -

Atuária/2006

Para um conjunto determinado de números positivos temos:

como a média aritmética, G como a média geométrica e H como a média harmônica, podemos afirmar que:

Resolução:

Como falamos anteriormente, se os valores forem iguais ,as médias serão todas iguais entre si.

Mas, se os valores forem diferentes, H < G < ��.

Gabarito: D

21) (SEFAZ CE 2007 - ESAF)

Indicando por: - x : a média aritmética de uma amostra; - mg :

a média geométrica da mesma amostra; e - mh : a média harmônica também da mesma amostra. E desde que todos os

valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, é

verdadeiro afirmar que a relação entre estas médias é:

a) x < mg < mh

b) x > mg > mh

c) mg < x < mh

d) x < mg = mh

e) x = mg = mh

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Resolução:

Mais uma vez, para valores diferentes, a média aritmética > geométrica > harmônica.

Gabarito: B

22) FGV - AFRE RJ/SEFAZ RJ/2011

Em uma repartição, foi tomada uma amostra do número de

filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A média geométrica simples dessa amostra é:

a)2,2 5.

b) 1,7 5.

c) 2.

d) 2,4 .

e) 2,5 .

Resolução:

Questão bem simples e direta.Temos que saber a definição de média geométrica simples(G).

Toda vez em que quisermos calcular tal média para “n” termos, tal valor será igual a:

G = √𝑥1. 𝑥2. 𝑥3 … . 𝑥𝑛𝑛 .

Ou seja, para quatro valores, temos:

G = √2.1.4.24

= √164

= 2 .

Gabarito: C


Sobre a moda de uma variável, é correto afirmar que

a) para toda variável existe uma e apenas uma moda.

b) a moda é uma medida de dispersão relativa.

c) a moda é uma medida não afetada por valores extremos.

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d) em distribuições assimétricas, o valor da moda encontra-se

entre o valor da média e o da mediana.

e) sendo o valor mais provável da distribuição, a moda, tal

como a probabilidade, pode assumir valores somente no intervalo entre zero e a unidade.

Resolução:

Alternativa a – incorreta, pois podem existir sequências com mais de uma moda ou, até mesmo, nenhuma.

Alternativa b – incorreta, a moda é uma medida de posição.

Alternativa c – correta, pois tanto a moda quanto a mediana não são

afetadas por valores extremos. Isso acontece apenas com a média.

Alternativa d – incorreta, pois é a mediana quem fica no meio.

Alternativa e –incorreta, pois a moda pode assumir qualquer valor.

Gabarito:C

24) (ESAF – ATRFB – 2012)

A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 e 3

é igual a

a) 3

b) 2.

c) 1.

d) 4.

e) 5.

Resolução:

Muito cuidado com esta questão! Existe uma diferença quanto ao cálculo da variância populacional e da variância amostral. Tais

fórmulas diferem quanto ao denominador.

Além disso, para a variância populacional, podemos utilizar:

V(X) = E(X2) –(E(X))2 .

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Mas, para a variância amostral, não podemos utilizar tal artifício, ou

seja, temos de calcular a mesma por meio da definição, que é:

σ2 =∑(Xi − X)2

n − 1

Xi :representa cada uma das observações

X : média da amostra

n: número de observações

Perceberam? A diferença é que, na variância amostral, o denominador é igual a “n-1”, ao contrário da variância populacional, em que o

denominador era igual a “n”.

Primeiramente, vamos calcular a média, que é igual a :

X =1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5

6=

18

6= 3,0

Com isso, temos que

σ2 =(1 − 3)2+(2 − 3)2+(3 − 3)2+(3 − 3)2+(4 − 3)2+(5 − 3)2

6 − 1=

=4 + 1 + 0 + 0 + 1 + 4

5=

10

5= 2

Gabarito: B

25)(ESAF – ATPS – 2012)

Do total de moradores de um condomínio, 5% dos homens e 2% das mulheres tem mais do que 40 anos. Por outro lado,

60% dos moradores são homens. Em uma festa de final de ano

realizada neste condomínio, um morador foi selecionado ao acaso e premiado com uma cesta de frutas. Sabendo-se que o

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morador que ganhou a cesta de frutas tem mais do que 40

anos, então a probabilidade de que este morador seja mulher é igual a:

a) 3/7

b) 8/15

c) 3/15

d) 1/30

e) 4/19

Resolução:

Vamos agora montar uma tabela com os dados que nos forma fornecidos?

Com mais de 40

anos

Com menos de

40 anos

número de

homens

número de

mulheres

Se 60% dos moradores são homens que 40% dos moradores são mulheres.

Com mais de 40 anos

Com menos de 40 anos

número de homens

60%

número de

mulheres

40%

Além disso:

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5% dos homens = 5% de 60% = 3% tem mais de 40 anos.

2% das mulheres = 2% de 40% =0,8% tem mais de 40 anos.

Com mais de 40 anos

Com menos de 40 anos

número de homens

3% 60% - 3% = 57%

60%

número de

mulheres

0,8% 40% - 0,8% =

39,2%

40%

Somando os valores presentes em cada coluna, teremos:

Com mais de 40

anos

Com menos de

40 anos

número de homens

3% 60% - 3% = 57%

60%

número de mulheres

0,8% 40% - 0,8% = 39,2%

40%

3,8 % 96,2 % 100%(total

geral)

Devemos notar que a questão é de probabilidade condicional. Percebemos isso quando é pedido a probabilidade de um morador ser

mulher DADO QUE possui mais de 40.Quando ele faz a pergunta desta maneira, ele está restringindo o espaço amostral a todas aquelas

pessoas com mais do que 40.Ou seja, 3,8 % dos moradores. Dentre estes, ele está interessado que algum deles seja mulher, ou seja, 0,8

%.Logo:

P = 0,8%

3,8%=

8

38=

4

19

Gabarito: E

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26)(ESAF – ATPS – 2012)

A expectância de uma variável aleatória z é igual a 4, ou seja:

E(z) = 4. Sabendo-se que a E(z2) = 20, então o coeficiente de variação de z é igual a:

a) 1/√𝟐𝟎

b) 1/5

c) 1/2

d) 1

e) 0

Em primeiro lugar, expectância e esperança são a mesma coisa. A

maioria dos professores chama de esperança e alguns podem achar

estranho o termo expectância.

Esta questão é uma outra que, de forma direta ou indireta, vai aparecer muito na sua prova: Como calcular a variância e o desvio-

padrão por meio da esperança.

A esperança pode ser entendida como o valor médio a ser utilizado mais adiante no cálculo do coeficiente de variação. Ou seja, E(z) =

média = 4.

Guardem isso: o desvio–padrão é representado normalmente da seguinte maneira: σ.Como a variância é o quadrado do desvio-padrão,

teremos:

Variância =σ2.

Tal variância pode, alternativamente, ser calculada da seguinte maneira:

σ2 = E(z2) – [E(z)]2

Com isso, teremos:

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σ2 = E(z2) – [E(z)]2 = 20 – (4)2 = 4

Logo, o desvio-padrão será igual a σ = 2.

Estamos relembrando pois o cálculo do coeficiente de variação é feito

dividindo-se o desvio-padrão pela média. Com isso, teremos:

CV = σ

X =

2

4 =

1

2

Gabarito : C

27)

Uma variável aleatória bidimensional, (x, y), possui coeficiente de correlação igual a ρ = -0,32. Desse modo, pode-se afirmar

que à medida que:

a) x diminui, em média, y diminui.

b) x aumenta, em média, y diminui de 32%.

c) x aumenta em 32%, y diminui em 32%.

d) x diminui em 32%, y, em média, diminui em 32%.

e) x aumenta, em média, y diminui.

Resolução:

O sinal do coeficiente indica se as grandezas possuem uma relação direta ou inversa.

Se o sinal for positivo, as grandezas tem uma relação direta. Quando uma delas aumenta, a outra também. Quando uma delas diminui, a

outra faz o mesmo.

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Se o sinal for negativo, as grandezas tem uma relação inversa. Seria

o caso da relação entre o preço de um produto e a sua demanda. Quanto maior o preço, menor sua demanda. E quanto menor o preço,

maior a demanda.

Devemos observar que apenas o comportamento de uma em função

da outra pode ser observado. Não há como tratarmos de valores,

tipo: dado o quanto x diminuiu, saber o quanto y aumenta ou diminui. Apenas se aumenta ou diminui, o quanto, não dá.Tal cálculo só seria

possível por meio de uma técnica conhecida como regressão.

Como o coeficiente é negativo, quando x aumenta, y diminui, o que nos dá a letra E.

Gabarito: E

28)

Uma variável aleatória contínua x é uma variável uniformemente distribuída no intervalo [a, b] se sua função

densidade de probabilidade for dada por f(x) = 0 para todo x

que não pertencer ao intervalo [a , b] e f(x) = 𝟏

𝐛−𝐚 para

a ≤ x ≤ b. Sabendo-se que x é uma variável aleatória contínua

uniformemente distribuída no intervalo [0, 2], então a probabilidade de (1 ≤ x ≤ 3/2) é igual a:

a) 0,5

b) 0,75

c) 0,35

d) 0,15

e) 0,25

Resolução:

O gráfico de uma variável uniformemente distribuída é sempre um retângulo, de base igual a b – a , já que o “x” varia de “a” até “b”.

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Com isso, a altura do retângulo será sempre 1

b−a, pois sabemos que a

área abaixo de f(x) tem que ser sempre igual a 1.Lembre-se de que

tal área meio que representa a soma das probabilidades de todos os casos possíveis e quanto vale tal soma? Isso, vale 1.

Algumas pessoas vão querer resolver esta questão por integral, mas esta não é a melhor maneira. A melhor forma de fazer isso é

desenhando o gráfico mesmo.

Com isso, teremos:

Reparem que a altura do retângulo vale ½ devido a, neste caso, “a” e

“b” serem, respectivamente, iguais a “0” e “2”.

Com isso, a altura do retângulo será igual a 1

b−a=

1

2−0=

1

2.

Encontrar a probabilidade de x entre 1 e 3/2 é justamente calcular a

área do retângulo no intervalo de 1 a 3/2.Logo:

P (1 ≤ x ≤3

2) = base vezes altura = (

3

2− 1) vezes (

1

2) =

1

4= 0,25.

Gabarito: E

29)

Uma variável aleatória x possui média igual a 4 e variância igual a 2. Sabendo-se que a variável aleatória y é dada por y =

2x + 4 e que x e y são variáveis aleatórias independentes, então a média e a variância de y são, respectivamente, iguais

a:

a) 12; 12

0 2

1/2

1 3/2

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b) 4; 8

c) 12; 8

d) 8; 8

e) 4; 12

Resposta:

Esta questão trata de uma propriedade muito cobrada pela Esaf, que é a relação entre duas variáveis, bem como suas respectivas média,

variância e desvio-padrão.

Então, fiquem atentos:

A média de uma variável aleatória sempre será afetada por qualquer

uma das quatro operações: soma, subtração, multiplicação e divisão.

Como assim?

Na sequência 3,5,7 a média será x =3+5+7

3= 5.

Caso multipliquemos todos os valores por 2, teremos: 6,10,14, cuja

média é igual a x =6+10+14

3= 10.

Percebeu? A média também ficou multiplicada por dois. Mas, numa prova, não queremos que você recalcule a média, até pelo fato da

questão não fornecer dados para que isso aconteça. A ideia é que

você tenha em mente o que eu acabei de dizer: multipliquei todos os valores por dois, a média também o será. Somei 3 a todos os valores,

também somarei 3 à média anterior, e por aí vai...

E o desvio-padrão? Lá vai:

O desvio-padrão será afetado apenas pela multiplicação e pela

divisão.

Ok, mas a questão fala a respeito da variância... pois é, mas a variância é o quadrado do desvio-padrão.Com isso, o que acontecer

com o desvio-padrão(se acontecer) proporcionará o quadrado do efeito na variância.

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Caso multipliquemos todos os valores por dois, o desvio-padrão também o será. E a variância, será multiplicada por quatro. Ou seja, o

quadrado do efeito. Mais um exemplo: caso o desvio-padrão tivesse sido multiplicado por 3,a variância seria multiplicada por 9.

Mas atenção: e se somarmos 3 a todos os valores? Como disse logo acima, a soma e subtração não afetam o desvio-padrão e, portanto,

ele continuaria o mesmo e, consequentemente, a variância.

Feita a revisão, vejamos a nossa questão.

Temos y = 2 x + 4. Ele, ao mesmo tempo, dobra o valor de x e soma 4 ao resultado.

Para a média, ambas as operações serão de feito: vamos pegar a

média de x, que é 4, multiplicar por 2 e somar 4,o que nos dá: 2(4) + 4 =12.

Logo, a nova média será 12.

Já para o cálculo da variância de y, este “+4” em y = 2x + 4 não terá o menor efeito e, portanto, apenas a multiplicação por dois irá alterar

o resultado.

Logo, o novo desvio-padrão ficaria multiplicado por dois, mas queremos a nova variância e, portanto, ela ficará multiplicada por

4,que é dois ao quadrado.

Variância de y = 4 vezes a variância de x = 4 x 2 =8.

Gabarito: C

30)

Uma variável aleatória possui distribuição normal com média

igual a 10, μ = 10, e variância igual a 4, σ2 = 4. Retirando-se

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desta população uma amostra de tamanho n = 100, tem-se

que a distribuição amostral das médias, ou distribuição amostral de x é uma distribuição:

a) não normal com μ =10 e σ = 1/5

b) normal com μ =10 e σ = 1/5

c) normal com μ =100 e σ2 = 4

d) normal com μ =10 e σ2 = 2

e) não normal com μ =100 e σ2 = 4

Resposta:

Esta questão é bem tranquila. O nosso amigo concurseiro deve saber que a Esperança da média é igual à esperança da variável em si, ou

seja:

E(x) = E(x) = 10.

Já a variância da média é igual à divisão da variância de “x” pelo

tamanho da amostra, ou seja:

σx2 =

σx2

n

Ou, ainda:

σx = σx

√n

Com isso, o desvio-padrão da média será igual a 2

√100=

2

10=

1

5.

Além disso, não há mudança de distribuição: ela continua sendo

normal.

X ~ N(μ, σ) e X ~ N(μ,σ

√n)

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Gabarito: B

31)

A tabela mostra a distribuição de freqüências relativas populacionais

(f ’) de uma variável X.

Sabendo que “k” é um número real, a média e o desvio

padrão de X são, respectivamente,

a) 0,3; 0,9. b) 0,0; 0,3. c) 0,3; 0,3.

d) k; 3k. e) 0,3k; 0,9k.

Resolução:

A soma das frequências relativas é sempre igual a 1.Com isso, temos

que

3k + k + 6k = 1

10 k = 1 → k = 1/10

A média de X é multiplicarmos cada valor pela sua respectiva frequência relativa e, depois, somarmos os resultados obtidos.

Média = -1(3k) + 0(k) + 1(6k) = 3k = 3/10 = 0,3.

Podemos chegar ao desvio-padrão calculando, primeiramente, a

variância. Como trata-se da variância populacional, temos que:

Variância = E(X2) – [E(X)]2.

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E(X) é a mesma coisa que a média acima encontrada. Mas como chegamos ao valor de E(X2)?

Tal valor será pegarmos cada valor de X, ao quadrado, e

multiplicarmos o mesmo pela sua respectiva frequência relativa.

Com isso, teremos:

E(X2) = (-1)2 x 3k + (0)2 x K + (+1)2 x 6k = 9k = 9/10 = 0,9.

Logo, variância = 0,9 – (0,3)2 = 0,9 – 0,09 = 0,81

Desvio-padrão = √Variância = √0,81 = 0,9.

Gabarito: A

32)(IRB – 2004/ESAF – modificada) Com base no diagrama de

ramos e folhas abaixo, encontre a observações que divide a série de dados em duas partes iguais:

3 4

3 8

4 2 2

4 5 7

5 1 2 4

5 7 8 8 9

6 0 1 3

6 5 5 6 7 8 9 9

7 0 1 1 2 3 3 4

7 5 5 6 6 7 9

8 1 1 2 3 3 4 4

8 5 7

9 0 1 3

9 7

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a) 69

b) 71

c) 70

d) 72

e) 74

Resolução:

Pessoal, nesta questão a principal dificuldade é que o candidato

conheça esta maneira de representação dos dados.

Nesta representação, temos que, para cada linha, devemos combinar

cada número da esquerda com cada número da direita.

Se você ainda não entendeu, repare que na oitava linha temos:

6 5 5 6 7 8 9 9

Com isso, combinando o “6” da esquerda com cada valor da direita, temos: 65 ,65,66,67,68,69,69.

Com isso, teremos a seguinte sequência:

34,38,42,42,45,47,51,52,54,57,58,58,59,60,61,63,65,65,66,67,68,69

, 69,70,71,71,72,73,73,74,75,75,76,76,77,79,81,81,82,83,83,84,84,85

,87,90,91,93,97.

Contando, temos 49 valores e, portanto, temos 24 termos à esquerda, 24 à direita e 1 no meio, que é o termo de posição 24 + 1

= 25, ou seja, o vigésimo-quinto termo, que é igual a 71.

Gabarito: B

33)Para estimar por intervalo a média μ de uma população

normal com variância igual a 9, retirou-se uma amostra de 16 elementos, obtendo-se x = 5. Para um nível de confiança de

95%, o valor tabelado é igual a 1,96. Desse modo, a semi-

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amplitude do intervalo ou erro de estimação ─ como também é

chamado ─ é igual a:

a) 2,94

b) 1,47

c) 0,5625

d) 0,7350

e) 0,47

Resolução:

Vamos fazer um pequeno resumo teórico a respeito de intervalos de confiança.

Num intervalo de confiança, o que é o zα/2 ?

Tal valor é o valor de “z” que determinará os limites do intervalo.

Ou seja:

Na verdade, a utilização da distribuição normal ou da “t” de student dependerá de alguns fatores, como o conhecimento ou não da

variância populacional.

A tabela abaixo resume como ficam os intervalos de confiança para várias possibilidades que temos, sendo dada, ou não, a variância

populacional e sendo n >30 ou menor ou igual do que 30.

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A partir da tabela acima, podemos também determinar o erro de estimação inerente a cada situação. Por exemplo:

A amplitude do intervalo será, para cada caso, sempre igual a A = 2E.

Com isso, temos que E = zα/2 x σ

√n = 1,96 x

3

√16 = 1,47.

Gabarito: B

34)(CGU – Técnico de Finanças e Controle – ESAF –2008)

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Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar

Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e

Fernando, é igual a 0,05.

Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou

Fernando é igual a:

0,04 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,45 e) 0,95

Resolução:

A questão acima trata da probabilidade da união de dois eventos.Isso

é identificado pelo “ou” na pergunta feita pelo examinador.

O que meu nobre amigo concurseiro deve saber é que toda vez em que isso aparecer,devemos lembrar da expressão abaixo:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

Reparem que, o que na fórmula está indicado como união, pode ser interpretado como o “ou” e o que está indicado por interseção, pode

ser indicado como “e”.

Seja A :Paulo encontrar Ricardo e B: Paulo encontrar Fernando.Temos assim:

P(A ou B) = 0,4 + 0,1 -0,05 =0,45

Gabarito: D

35)(CGU – Analista de Finanças e Controle – ESAF –2008)

Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber:

4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a

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probabilidade de os três profissionais sorteados serem do

mesmo sexo é igual a:

0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24

Resolução:

Temos aqui duas possibilidades:

Sortear 3 engenheiros

Sortear 3 engenheiras

A probabilidade de sortearmos o primeiro engenheiro do grupo é de 6

10

, pois temos 6 engenheiros num total de 10 pessoas.

Agora,cuidado: como já sorteamos 1 engenheiro, temos agora 9

pessoas e 5 engenheiros.

Com isso, a probabilidade de sortear o segundo engenheiro será de 5.

9

Para o terceiro, temos agora 8 pessoas e 4 engenheiros. Logo, a

probabilidade de sortear o mesmo será de 4

8.

Com isso, a probabilidade deste primeiro caso será de 6

10 .

5

9 .

4

8 =

5

30

Da mesma maneira que fizemos com os engenheiros, a probabilidade

de sortearmos 3 engenheiras será de 4

10 .

3

9 .

2

8 =

1

30

Logo, como temos um caso ou o outro, quando temos a idéia de “ou”

devemos fazer o que? Somar as probabilidades.

Portanto: P =5

30+

1

30=

6

30=

1

5= 0,2.

Gabarito:D

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36)(AFRF – ESAF – 2005)

Para uma amostra de dez casais residentes em um mesmo

bairro, registram-se os seguintes salários mensais (em salários mínimos):

Assinale a opção cujo valor corresponda à correlação entre os

salários dos homens e os salários das mulheres.

a) 0,72

b) 0,75

c) 0,68

d) 0,81

e) 0,78

Resolução:

Questão-padrão e que sempre aparece em prova,

A correlação entre “x” e “y” é dada por

Correlação(X,Y) = COV(X,Y)

DP(X) x DP(Y)

COV(XY) = E(XY) – E(X).E(Y) = ∑ XY

n−

∑ X

n.

∑ Y

n=

3940

10 -

171

10.

221

10=

39400 – 171x 221

100

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DP(X) = √(E(X2) − (E(X))2

= √∑ X2

n− (

∑ X

n)

2

= √3171

10− (

171

10)

2

=√31710−29241

10=

√2469

10

DP(Y) = √(E(Y2) − (E(Y))2

= √∑ Y2

n− (

∑ Y

n)

2

= √5069

10− (

221

10)

2

=√50690−48841

10=

√1849

10

Logo, Correlação(X,Y) = COV(X,Y)

DP(X) x DP(Y)=

39400 – 171x 221

100

(√2469

10) x(

√1849

10)

=39400−171x221

√2469 x √1849

O problema agora são as contas que teremos de fazer...

A raiz quadrada de 1849 é exatamente igual a 43.

Mas, e a raiz de 2469???

Existe um método muito bom, que não irei demonstrar, mas que

aprendi há muito tempo atrás em turmas pré-militar e de concurso -e algo que eu faço é sempre, sempre, ser humilde e atento quanto ao

que ainda posso aprender com os meus colegas.

Tal método é o seguinte: qual é o quadrado perfeito mais próximo de 2469, maior do que ele?

Isso mesmo 502 = 2500.

A forma de aproximarmos tal raiz é pegando o valor cuja raiz quadrada queremos e somando com o quadrado perfeito que vem

logo depois de tal número. Mas não é só isso, tal soma será o numerador de uma fração.

O denominador será o dobro do número cujo quadrado foi utilizado, no caso, o cinquenta. Fica assim:

√2469 ≅2469 + 2500

2.50= 49,69

Correlação(X,Y)=1609

49,69 X 43= 0,753

Gabarito: B

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37)(AFPS 2002/ESAF)

Sejam X1, X2, X3, ... , Xn observações de um atributo X.

Sejam

n

i

i

n

i

i

xxn

s

xn

x

1

22

1

1

1

Assinale a opção correta.

a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.

b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.

c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de x em


d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de x em


e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de x em


Resolução:

Esta é uma questão que, em sala-de-aula, dá origem a muitas dúvidas.

A questão trata da probabilidade de um dado valor diferir de sua

média por um certo número de desvios-padrão. No entanto, tome muito cuidado: é bem diferente o caso em que essa pergunta é feita

relativamente à distribuição normal do que aquela em que a distribuição é uma outra qualquer, muitas vezes uma distribuição que

o enunciado nem sequer diz qual é, como é o caso aqui.

Neste caso, teremos que utilizar o Teorema de Tchebychev, que é a

forma de saber a máxima proporção de valores que se encontra fora de um dado intervalo.

Podemos enunciar da seguinte maneira:

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P(|X – μ| ≥ tσ ) ≤ 1

t2 .

O problema é que 1

t2 é a proporção de observações que diferem da

média por mais do que um determinado desvio-padrão. O problema é que a maioria das questões que cobram isso vai pedir a diferença por

menos que um dado número de S, como é o caso da nossa questão , que pede 2S.

O que fazer? Pela forma, só importa saber o valor de “t”, que é o número de desvios-padrões, no caso, t = 2.

O que podemos fazer é calcular o número de observações que diferem

da média em mais do que 2 S, que é 1

t2 = ¼ = 0,25 = 25%.

Com isso, o caso contrário, que é diferir por menos que 2S, será

100% - 25% = 75%.

Gabarito : C

38)(MPU – Analista – ESAF – 2004)

Uma variável aleatória X tem função de distribuição

Assinale a opção que corresponde ao valor da função massa de

probabilidades (ou função densidade de probabilidades, se for o caso) de X no ponto x = 1.

a) 0,250 b) 0,333 c) 0,083 d) 0,583 e) 0,417

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Resolução:

Numa questão como essa, sempre que ele pedir f de um dado valor, bastar substituir tal valor e o seu anterior em F(x) e, após isso,

subtrairmos os dois.

Ou seja:

f(1) = F(1) – F(0) = 7/12 – 1/4 = 4/12 = 1/3 = 0,333...

Se tivessem pedido a f(2), tal valor seria igual a F(2) – F(1)

E por aí vai...

Gabarito: B

39)(ESAF/Auditor Fiscal da Previdência Social/2002)

Uma empresa presta serviços de manutenção de

eletrodomésticos em domicílio. Para cada um de 18 atendimentos coletou o tempo gasto em minutos (y) com a

manutenção e o número de máquinas servidas (x). Postula-se

que o modelo linear

Yi = α + βXi + εi

seja adequado, onde α e β são parâmetros desconhecidos e os i

ε são componentes de erro não diretamente observáveis, não correlacionados, com média nula e variância σ2 desconhecida.

As estimativas de mínimos quadrados dos parâmetros do modelo linear

são dadas por �� = 𝟏𝟎, �� = 𝟐 𝐞 𝛔𝟐 = 𝟒.

A estimativa do aumento esperado de tempo por máquina

adicional servida por chamada é de:

a) 2 minutos

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b) 10 minutos

c) 12 minutos

d) 5 minutos

e) 6 minutos

Resolução:

Para resolver esta questão, basta que saibamos que β é a variação de

Y quando X varia de uma unidade, se os demais fatores que podem

influenciar Y permanecerem constantes.

É justamente isso que queremos: como “X” representa o número de

máquinas, o aumento de tempo esperado por máquina adicional será justamente o valor de “Beta”.

Logo, tal valor é igual a 2 minutos.

Gabarito: A

ESAF – Agente Fiscal de Tributos Estaduais – SEFAZ PI) Um

investigador toma uma amostra de 10 carregamentos levados a efeito em caminhões de uma firma de transporte. Para cada

carregamento (i) anota a distância percorrida pelo caminhão em 1.000 Km (X(i)) e o tempo de entrega do carregamento

em dias (Y(i)). Neste contexto postula que o modelo de regressão linear

se ajusta a suas observações, onde 𝛂 e 𝛃 são parâmetros

desconhecidos e os 𝛆(i) são componentes estocásticas

(resíduos) não diretamente observáveis, não correlacionadas, com média zero e variância 𝛔² > 0.

Foram encontradas as estatísticas seguintes no ajuste do

modelo de regressão linear:

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Com base nessas informações responda:

40)

Assinale a opção que corresponde à estimativa do aumento esperado no tempo de entrega decorrente da adição de

1.000km na distância percorrida.

a) 0,5 dias

b) 1,0 dias

c) 3,0 dias

d) 5,0 dias

e) 4,5 dias

Resolução:

Em primeiro lugar, devemos notar que a questão menciona que cada

unidade de “x”, na verdade, está relacionada a 1000 km, ou seja, o “x” é medido de 1000 km em 1000 km. Com isso, aumentar 1000 km

na distância percorrida significa aumentar uma unidade de “x”, o que é justamente a definição de β.

Como o mesmo é calculado? Da seguinte maneira:

β = Cov(X, Y)

V(X)=

E(XY) − E(X). E(Y)

E(X2) − (E(X))2=

∑ XYn −

∑ Xn .

∑ Yn

∑ X2

n − (∑ X

n )2 =

2610 −

810 .

2910

1210 − (

810)

2

=

260 − 232100

120 − 64100

=28

56= 0,5

Onde Cov(X,Y) é a covariância entre X e Y e V(X) é a variância de X.

Gabarito: A

41)

Assinale a opção que corresponde à estimativa de mínimos quadrados do parâmetro 𝛔².

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a) 1,77

b) 1,81

c) 0,40

d) 1,22

e) 1,13

Resolução:

Aí é mais complicado, pois as pessoas não costumam lembrar de

como chegar à variância dos erros.

Tal valor pode ser calculado como sendo:

σ² = SQR

n−2

Onde SQR é a soma dos quadrados dos resíduos e “n” é o número de observações.

Mas como, a partir dos dados pela questão, podemos calcular o valor de SQR?

Devemos lembrar que SQR = SQT – SQE

Além disso:

SQT = ∑ Y2 −(∑ Y)2

n= 100 −

292

10= 15,9

SQE = β2. (∑ X2 −(∑ X)2

n) = 0,52. (12 −

82

10) = 1,4

Com isso, SQR = 15,9 – 1,4 = 14,5

σ² = SQR

n−2=

14,5

10−2=

14,5

8= 1,81

Gabarito: B

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42)(ESAF – ATPS – 2012) Se A e B são eventos mutuamente

excludentes, então pode-se afirmar que:

a)A e B são eventos independentes

b)P(A ∩ B) = P(A) + P(B)

c)P(B/A) ≠ 0

d)P(A/B) ≠ 0

e)P(A ∩ B) = 0

Resolução:

Esta é uma questão tranquila. Os eventos mutuamente excludentes são aqueles que não podem ocorrer ao mesmo tempo.Com isso, a

probabilidade de ocorrência simultânea dos mesmos é igual a zero.

Gabarito: E

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AULA 00-Estatistica Concurseiro Fiscal

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