AULA 2 - Solução de Problemas Usando Modelos AULA 2 - Solução de Problemas Usando Modelos MatemáticosMatemáticos

• O Enfoque da Pesquisa Operacional• Exemplo de motivação - Modelo EOQ• Construindo Modelos Matemáticos• Resolvendo Modelos Matemáticos

– Solução factível e solução ótima– Solução analítica ou fechada

• Analisando os Resultados– Validação do Modelo

• Ainda sobre Métodos de Resolução - Busca Heurística

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O Enfoque da Pesquisa OperacionalO Enfoque da Pesquisa Operacional

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Exemplo de Motivação - Modelo EOQ

A empresa H. Intern comercializa diamantes. Ela viaja regularmente para Antuérpia (Bélgica) para se reabastecer e não pode comprar menos que 100 quilates/viagem a um custo de $700/quilate. O lucro no Brasil é de $200/quilate. Cada viagem demora 1 semana e custa $2000. Manter estoques no Brasil lhe custa $3,50/quilate.semana (capital empatado e seguros). Se falta produto para vender, ela perde o lucro esperado. Os custos do ano passado foram:

custos de viagens =$24.000manter estoques =$38.409lucros não-realizados =$31.600Total de custos =$94.009.

Este custo pode ser diminuído?

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H. Intern - Decisões do ano passado

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Construindo um modelo matemático

• Identificar quais decisões efetivamente resolvem o problema• Identificar quais as restrições que limitam as decisões a tomar• Definir objetivos capazes de indicar que uma decisão é preferível a outras

DECISÕES– Quando reabastecer o estoque (quando viajar)– Quanto comprar em cada viagem

RESTRIÇÕES– Comprar lotes não menores que 100 quilates

OBJETIVOS– Minimizar os custos de viagens + manter estoque + lucros não-realizados

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Construindo um modelo matemático

DECISÕES:q := quantidade a ser adquirida em cada reabastecimento(tamanho do lote)r := ponto de reabastecimento(nível de estoque que determina o reabastecimento)

RESTRIÇÕES: (até o momento)q >= 100r >= 0

OBJETIVOS: (apenas um, minimizar o custo total anual)c(q,r) := custo total em função de q e r

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Construindo um modelo matemático

Construindo modelos, sempre aparece a questão de compromisso entre:

A: Construir um modelo complexo (próximo do problema real), mas de difícil resoluçãoou

B: Construir um modelo simples (perda de realismo), mas fácil de resolver

Em geral, recorre-se a hipóteses simplificadoras:

No problema da H. Intern, a demanda será considerada constante

d := demanda semanal média = 55 quilates/semana

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Construindo um modelo matemático

ciclo = q/55 semanas

hipótese 1:–com estoque de segurança–déficit não permitido

hipótese 2:–sem estoque de segurança–déficit não permitido

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Construindo um modelo matemático

hipótese 3:- déficit permitido

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Construindo um modelo matemáticoAinda tentando simplificar o modelo:Será que podemos descartar o custo de lucro não-realizado (hipótese 3)?

Perceba que descartar este custo equivale a atribuir uma alta penalidade à falta de produto.

Ou seja, estaremos compensando a falta de produto por um aumento nos estoques. Será que esta simplificação é razoável?Será que o custo de estoque já é bastante alto comparado ao de perdas?

Custo de perda = $200/quilateCusto estoque = $3,5/quilate.semana 200/3,5 = 57,1 semanas

Ou seja: adquirindo um quilate a mais, os 200$ economizados dá para estocar 1 quilate por 57,1 semanas! Como em média um lote fica 4 ou 5 semanas em estoque (pg. 2-4), não parece necessário considerar o custo de perda explicitamente no modelo. 2-10

Construindo um modelo matemático

O nosso modelo segue então a figura b, já que o estoque de segurança fica desnecessário devido às hipóteses de demanda constante e perda nula.

RESTRIÇÕES:

Como cada viagem demora 1 semana, a demanda é de 55/semana e não se admite falta do produto,

r >= 55 (restrição que impede que falte produto; r >=0 torna-se redundante e é eliminada)q >= 100 (compra mínima em Antuérpia)

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Construindo um modelo matemático

OBJETIVO: minimizar o custo médio/semana = custo de manter estoque

/semana + custo de reabastecimento/semana

Custo de manter estoque por semana:

Im = estoque médio do ciclo = área do triângulo ciclo

Custo de manter estoque/ciclo = h . Im . T

pois: h ($/unid.semana) . Im (unid./ciclo) . T (semanas) = h.Im.T ($/ciclo)

Custo de manter estoque/semana = Custo de manter estoque/ciclo T = h . Im = 3,5 . q /2

Custo de reabastecimento por semana:2000 q/55 = 2000 . 55/q

2-11’

Construindo um modelo matemático

O modelo matemático (chamado de EOQ - Economic Order Quantity) fica:

minimizar c(q,r) = 3,5 q/2 + 2000 . 55/q

sujeito a q >= 100, r >= 55

Vamos agora resolver o modelo

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Resolvendo modelos matemáticos - solução factível e solução ótima

Resolver um modelo é achar uma solução (valores para as variáveis de decisão) que não viole as restrições e que otimize (max ou mim) a função objetivo.

Esta solução é chamada de solução ótima do modelo.

Uma solução que apenas não viola as restrições é dita solução factível.

Modelos são resolvidos através de:

Métodos (algoritmos) Matemáticos Programação Matemática ouFórmulas fechadas (solução analítica), quando possível

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Resolvendo modelos matemáticosO modelo EOQ tem uma solução analítica:

Reescrevendo o modelo em função dos parâmetros

q := tamanho do loted := demanda semanal (55)f := custo fixo de reabastecimento (2000)h := custo unitário semanal para manter estoque (3,5)l := tempo decorrido entre o ponto de reabastecimento e o recebimento do

novo lote (1 semana) - lead timem := lote mínimo (100)

OBJETIVO: MIN c(q,r) = h . q/2 + f . (d/q), que tem solução analítica

q* = r* = l . d = 55 , desde que q* >= m 2-14

250,72 hfd

Resolvendo modelos matemáticosO modelo EOQ também admite solução gráfica:

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Resolvendo modelos matemáticos

O custo da solução fica:

c(q*,r*) = $ 877,5 por semana ou $ 45.630,00 por ano

contra os $ 94.009,00 do ano passado!

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Analisando os resultados - Validação do modelo

Modelos e suas soluções precisam ser validados, ou seja

• As soluções obtidas aderem à realidade?• Tais soluções são confiáveis para que decisões baseadas nelas sejam

tomadas?• Como a solução ótima reage à análise de sensibilidade sobre os

parâmetros?

De particular importância é a análise de sensibilidade :

2-17

Analisando os resultados - Validação do modelo

Suponha que o custo de viagem varie de $1000 a $3000/viagem

Como varia a solução ótima no modelo EOQ?

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Analisando os resultados - Validação do modelo

Os resultados ótimos do modelo podem também ser analisados através da sua comparação com uma SIMULAÇÃO do que ocorreu no ano passado.

Vamos construir um programa de computador (simulador) que a cada semana determine a ação a tomar e calcule o custo real incorrido, considerando os dados de demanda do ano passado e os resultados ótimos q* e r* obtidos pelo modelo matemático.

No início de cada semana:• Cheque se o estoque chegou ao nível de reabastecimento r*;

se sim, mande alguém para Antuérpia.• Cheque se alguém chegou de viagem com um novo lote q*;

se sim, atualize o nível de estoque.• No início de cada semana atualize o estoque, subtraindo a demanda ocorrida na

semana.Calcule o custo total real anual = estoque + viagens + perda de lucro

2-19

Analisando os resultados - Validação do modelo

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Analisando os resultados - Validação do modelo

Os resultados da simulação depois de 52 semanas deu que a solução ótima do modelo EOQ (q* = 251; r* = 55) tem um custo total real de

$ 108.621 (sendo $ 67.000 o custo de perda)

contra

$ 94.009 do ano passado

Ou seja, se no ano passado H. Intern tivesse adotado a solução ótima EOQ teria tido um custo adicional de 108.621 - 94.009 = $14.621!

Conclusão: o modelo EOQ está muito simples e precisa ser refeito.

Note que o custo de perda foi o vilão da estória, indicando que a hipótese de estoque de segurança nulo e/ou perda nula são inadequadas na prática e que um modelo melhor (mais aderente) deve ser construído. 2-21

Ainda sobre métodos de solução - Busca Heurística

Para solucionar um problema de otimização nem sempre precisamos construir um modelo matemático.

Certos métodos de solução prescindem de modelos matemáticos.

É o caso dos métodos de busca heurística.

Ache uma solução factível inicial;Repita k vezes:

Perturbe esta solução, obtendo outra factível e calcule o seu custo;

Se melhorou, guarde essa solução e volte ao passo anterior.

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Ainda sobre métodos de solução - Busca Heurística

Vamos perturbar a solução “ótima” q = 251 r = 55 somando ou subtraindo 10 unidades em cada iteração.

Calcular o custo real das soluções usando o programa de simulação já descrito.

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Ainda sobre métodos de solução - Busca Heurística

Vamos reiniciar de uma outra solução:

Custo simulado da melhor solução da busca: $ 54.193 !

(ano passado $ 94.009)

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