12.42

Integrais Duplasna FormaPolar2

393

Y=2

=

fo [1

2

y2Z

dz J Y=O

=

fo

4z dz = 2Z2 = 8.

[ Jo

Com esses valores, a equao (4) dValor mdio de

-

xyz sobre o cubo

- volume

III xyz dV --"8( ) (8) = 1. cubo

1

Ao calcularmos a integral, escolhemos a ordem dx dy dz, mas qualquer uma das outras cinco ordens tambm funcionaria.

~~\\1' 'iG.:;;,

:>',>;:/

EXERCICIOS 12.4Calculando Integrais Triplas em Iteraes Diferentes1. Calcule a integral no Exemplo 2 fazendo F(x, y, z) = 1 para encontrar o volume do tetraedro. '15. Ia Ifo2-X f02-X-Y dz dy dx 16.

313.

~

f ofo

fo

V9=? dz dy dx

14.

fo f-v'4=? fo

2

v'4=?

2x+Y

dz dx dy

2. Volumede umslidoretangularEscreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume do slido retangular no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1,Y = 2 e z = 3. Calculeumadas integrais. 3. Volumede um tetraedro Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume do tetraedro cortado do primeiro octante pelo plano 6x + 3y + 2z = 6.. Calcule uma das integrais. 4. Volumede umslido Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume da regio no primeiro octante limitada pelo cilindro + i = 4 e pelo plano y = 3. Calcule uma das integrais.

ff fo o

I

I-'?

4-.?-Y X dz dy dx

3

17.

f7Tf'1l" f'1l" cos o o o

(u

+ v + w) du dv dw

(espao uvw)

18. 19..

fCJeJc lu r ln s ln t dt dr ds 1 I 17T/4 lnsec U

(espao rst)

Jo7

fo f2

2t

11' x dt dv d

-co

(espao tvx)

r

20.

fff

V4=q2 q r + 1 dp dq dr (espao pqr)

o o o

5. Volume limitado orparabolides p SejaD a regiolimitadapelosparabolides = 8 z- l e z = + l. Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume de D. Calcule uma das integrais.

r

r

Volumes Usando Integrais Triplas21. Temos aqui a regio de integrao da integral

6. Volumedentro de um parabolideabaixo de um plano Seja D a regio limitada pelo parabolide z = r + l e pelo planoz = 2y. Escreva integrais triplas iteradas nas ordens dz dx dy edz dy dx quedoo volumede D. No calculeas integrais.

f Jr f-I z Lado: y = x2

I

l

I-Y

o

dz dy dx.

Calculando Integrais Triplas IteradasCalcule as integrais nos exerccios 7-20.xC

~y (1, 1, O)

7. fOlfolfo1(X2+ y2 + Z2)dz dy dx

Y2 3Y 8-r-Y28.10.

f o f o fr+3y2

dz dx dydz dy dx

9.

fff

e

c

1

Reescreva a integral como uma integral iterada equivalente na ordem (a) dy dz dx (c) dx dy dz (e) dz dx dy. 22. Temos aqui a regio de integrao da integral (b) dy dx dz (d) dxdzdy

I I 1 xyz dx dy dz

fo fo fo

l

3-3X

3-3X-Y

11. flf7T o f'1l"Y sen z dx dy dz o o

12. f~If~lf~I

(x + y + z) dy dx dz

394

Captulo 12:Integrais MltiplasI Oy2

fo f-1fo dz dy dx.z (O,-1, 1)

z

y xy x

27. O tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + yl2 + z/3 = 1. z

Reescreva a integral como uma integral iterada equivalente na ordem (a) dy dz dx (c) dx dy dz (e) dz dx dy. Encontre o volume das regies nos exerccios 23-36.23. A regio entre o cilindro z x

(b) dy dx dz (d) dx dz dyy

=iz

e o plano xy que limitada

pelos planos x = O,x = l,y = -l,y

= 1.

28. A regio no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelo plano y = 1 - x e pela superfcie z ==cos (TIX/2), O$x$1. z

y x 24. A regio no primeiro octante liritada pelos planos coordenados e pelos planos x + z = 1,y + 2z = 2.y

z

x

29. A regio comum aos interiores dos cilindros + Z2 = 1 (Figura 12.36).

r

r+l

:= 1 e

zy

x 25. A regio no primeiro octante liritada pelos planos coordenados, pelo plano y + z = 2 e pelo cilindro x = 4 - y2. z

yy

x 26. A cunha cortada do cilindro

r +l

FIGURA12.36 = 1 pelos planos z = -y e i2

Um oitavo da regio comum aos cilindrOs

z = O.

+ l = 1 e i2 + i = 1 no Exerccio 29.

12.4 Integrais Duplasna FormaPolar

395

30. A regio no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pela superfcie z = 4 - x? - y. z

40. F(x, y, z) = xyz sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 2,y = 2 e z =.2.

Mudando a Ordem de IntegraoCalcule as integrais nos exerccios 41-44 mudando a ordem de integrao de maneira apropriada.y x4 I

ff 41. f002yI

2

4

COS (X2)

-v:; 2z

dx dy dz

31. A regio no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelo plano x + y = 4 e pelo cilindro l + 4Z2= 16. z

42. fOifOI 12xzezi dy dx dz f;43.

f o I-vz f o2

I

In3 7Te2x sen 7Tl 2 dx dy dz y'l:

44. fo fo fo ~~y x

4-r

2Zz dy

dz dx

Teoria e Exemplos45. Encontrando um limite inferior de uma integral iterada Encontre a:

32. A regio cortada do cilindro pelo plano x + z = 3. z

r

+

l

= 4 pelo planoz ,;, Oe

fo fo f

I

4-a-r

4-r-y

-

4

a

dzdydx

-1 5

'

46. Elipside Para qual valor de c o volume do elipside X2 + (y12)2 (zlC)2 1 igual a 8'1T? + = ~ 47. Escrevendoparaaprender:minimizandouma integraltripla Que domnio D no espao minimiza o valor da integral

f ff (4X2 + 4y2 + Z2 - 4) dV?D

Justifique sua resposta. y x 48. Escrevendo para aprender: maximizando uma integral tripla Que domnio D no espao maximiza o valor da integral

33. A regio entre os planos x + y + 2zprimeiro octante.

= 2 e 2.x+ 2y + z = 4 no

fff D

- X2 - y2 - Z2) dV?

34..A regiotinita limitadapelosplanosz = x, x + z = 8, z = y, . y = 8 e z = O.35. A regio cortada do cilindro elptico slido plano xy e pelo plano z = x + 2.pelo cilindro parablico x

Justifique sua resposta.

r + 4l

~ 4 pelo

USANDO O COMPUTADOR

36. A regio limitada atrs pelo plano x = O,na frente e dos lados

z=r + l

=

1

- l,

no topo pelo parabolide

e no fundo pelo plano xy.

Clculos NumricosNos exerccios49-52, use um SAC para calculara integraltripla da funodada sobrea regioslidaespecificada. 49. F(x, y, z) = xYz sobre o cilindro slido limitado por e pelos planos z = Oe z = 1.

Valores MdiosNos exerccios 37-40, encontre o valor mdio de F(x, y, z) sobre a regio dada. . 37. F(x, y, z) = r + 9 sobre o c~bo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 2, y = 2 e z = 2. 38. F(x, y, z) = x + y - z sobre o slido retangular no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1, y = 1 e z = 2.

r

+

l =1

50. F(x, y, z) = Ixyz Isobre o slido limitado inferiormente pelo parabolidez = X2+ y2e superiormente peloplanoz = 1 51. F(x, y, z) = (2 sobreo slidolimitadoinferiorx+y+z2Z 2)3/2mente pelo cone z =

VX2

+ y2 e superiormente pelo plano z = 1

39. F(x, y, z) = r +

l + i- sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1,y = 1 ez=1.

52. F(x, y, z) = X4 + y2 + Z2 sobre a esfera slida X2 + y2 + Z2~ 1.