aula 6

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ESTATÍSTICA ECONÔMICA EINTRODUÇÃO AECONOMETRIA

Aula 6

Universidade Federal doMaranhão



Estatística Inferencial

Intervalo de confiança Intervalos de confiança para a média (amostras grandes)

Intervalos de confiança para a média (amostras pequenas)

Intervalos de confiança para as proporções populacionais

Intervalos de confiança para variância e desvio padrão

Testes de Hipótese com uma amostra

Testes de hipótese a média (amostras grandes)

Testes de hipótese para a média (amostras pequenas)

Testes de hipótese para proporções

Testes de hipótese para variância e desvio padrão

Testes de Hipótese com duas amostras

Testando a diferença entre as médias (amostras grandes e independentes) Testando a diferença entre as médias (amostras pequenas e independentes)

Testando a diferença entre as médias (amostras dependentes)

Testando a diferença entre as proporções



Testando a diferença entre as médias(amostras grandes e independentes)

Definição: Duas amostras são independentes sea amostra selecionada de uma das populações nãoé relacionada à amostra selecionada da segundapopulação.

Duas amostras são dependentes se cadamembro de uma amostra corresponde a ummembro da outra amostra. Amostras dependentestambém são chamadas de amostras

emparelhadas ou amostras relacionadas .



Exemplo

Classifique cada par de amostras como independenteou dependente e justifique sua resposta.

1. Amostra1: Ritmo cardíaco em descanso de 35indivíduos antes de tomar café.

Amostra 2: Ritmo cardíaco em descanso dos mesmosindivíduos depois de beber duas xícaras de café.

2. Amostra 1: Nota de teste para 35 estudantes de

Estatística.Amostra 2: Nota de teste para 42 estudantes deBiologia que não estudam Estatística.



Definição

Para um teste de hipótese de duas amostras comamostras independentes:

1. A hipótese nula Ho é uma hipótese estatística quegeralmente diz que não há diferença entre os

parâmetros de duas populações. A hipótese nulasempre contém o símbolo ≤, =, ou ≥.

2. A hipótese altenativa Ha é uma hipótese estatísticaque é verdadeira quando Ho é falso. A hipótese

alternativa contém o símbolo >, ≠, ou <.



Uma hipótese nula e uma hipótese alternativapara um teste de hipótese de duas amostrasindependentes Se a afirmação é sobre dois parâmetros populacionais μ1 e μ2,

então alguns pares de hipóteses nulas e alternativas são:

Hₒ: μ1 ≤ μ2 Hₒ: μ1 ≥ μ2 Hₒ: μ1 = μ2

Hₐ: μ1 > μ2 Hₐ: μ1 < μ2 Hₐ: μ1 ≠ μ2

Independentemente de cada hipótese que você usar, semprepresumirá que não existe diferença entre a média populacional, ouμ1 = μ2.



Teste z de duas amostras para a diferençaentre médias

Três condições são necessárias para desempenhar tal teste.1. As amostras devem ser selecionadas aleatoriamente.

2. As amostras devem ser independentes.

3. Cada tamanho de amostra deve ser pelo menos 30 ou, se não,

cada população deve ter uma distribuição normal com um desviopadrão conhecido.

Se esses requisitos são alcançados, então a distribuição amostralpara ̅x1- ̅x2 (a diferença média das amostras) é uma distribuiçãonormal com média e erro padrão como seguir.




A Distribuição amostral para é uma distribuição normal, sepode usar o teste z para testar a diferença entre duas médiaspopulacionais μ1 e μ2. Note que a estatística de teste padronizadotem a forma de:

Um teste z de duas amostras pode ser usado para testar adiferença entre duas médias populacionais μ1 e μ2 quando uma

grande amostra (ao menos 30) é selecionada aleatoriamente decada população e as amostras são independentes. A estatística deteste é , e teste estatístico normal é:

21 x x

padrão Erro

hipotética Diferençaobservada Diferença z

21 x x

2

2

2

1

2

12121

21

21

,nn

onde x x

z x x

x x




Quando as amostras são grandes, se pode usar nolugar de . Se as amostras não são grandes, se podeainda usar um teste z de duas amostras, contanto que aspopulações sejam distribuídas normalmente e os desvios

padrões populacionais sejam conhecidos.

Se a hipótese nula diz , então presume-se que e a expressão é igual a 0 no testeanterior.

21 ses

21 e

212121 , ou

21 21



ResumoUsando um teste z de duas amostras para a diferença entre médias (amostras grandes e

independentes)Em palavras Em símbolos

Expresse a afirmação de forma matemática.1. Identifique as hipóteses nula e alternativa.2. Especifique o nível de significância.3. Faça um esboço da distribuição amostral.

4. Determine o(s) valor(es) crítico(s).5. Determine a(s) região(ões) de rejeição.

6. Encontre a estatística do teste padronizada.

7. Tome a decisão de rejeitar ou falhar em rejeitar ahipótese nula.

8. Interprete a decisão no contexto da afirmaçãooriginal.

Use Ho e Ha.Identifique α.

Use a Tabela 4

Se z está na área de rejeição, rejeiteHo. Do contrário, falhe em rejeitar Ho.

21

2121

x x

x x z



Continuando...

Um teste de hipótese para a diferença entre médias também podeser efetuado usando valores P. Use as mesmas instruções acima,pulando as etapas 4 e 5. Depois de encontrar a estatística de testepadronizado, use a Tabela Normal Padrão para calcular o valor de P.Então, tome a decisão de rejeitar ou falhar em rejeitar a hipótesenula. Se P é menor ou igual a α, rejeite Ho. Do contrário, falhe emrejeitar Ho.

Exemplo1.

Uma organização de educação de consumidores afirma que há uma

diferença entre a média da dívida do cartão de crédito de homens emulheres nos Estados Unidos. Os resultados de uma pesquisaaleatória de 200 indivíduos de cada grupo são mostradas a seguir.As duas amostras são independentes. Os resultados apóiam aafirmação da organização? Use α=0,05.



solução

1. Identifique as hipóteses nula e alternativa.

2. Especifique o nível de significância.

Como o teste é bicaudal e o nível de significância éde α=0,05.

)(2121 afirmação H e H ao

Estatística amostral para débitos em cartões de crédito.

Mulheres Homens

200200

800$750$

370.2$290.2$

21

21

21

nn

ss

x x



Continuando...

O teste é bicaudal e o nível de significância é de α=0,05,os valores críticos são –zo=-1,96 e zo=1,96. As regiõesde rejeição são z<-1,96 e z>1,96. Ambas as amostrassão grandes, s1 e s2 são usados em lugar de σ1 e σ2

para calcular o erro padrão.

A estatística de teste padronizado é:

5403,77200

800

200

750 22

2

2

2

1

2

1

21

n

s

n

s x x

.03,1

)0portanto,assuma(5403,77

0370.2290.2

)(

2121

2121

21

ztesteouse

x x z

x x



Continuando...

O gráfico mostra a localização das áreas de rejeição e aestatística de teste padronizada z, que neste caso nãoestá na área de rejeição, então se deve falhar emrejeitar a hipótese nula.

-3 -2 -1 0 1 2 3

1-α=0,95

Zo=1,96-zo=-1,96

1/2α=0,025

1/2α=0,025

-zo≈-1,03

Interpretação: No nível designificância de 5%, háevidência suficiente para apoiara afirmação da organização deque existe uma diferença namédia da dívida do cartão decrédito entre homens emulheres.



Testando a diferença entre as médias(amostras pequenas e independentes)

Condições necessárias para usar um teste t para amostras pequenase independentes:

1. As amostras devem ser selecionadas aleatoriamente.

2. As amostras devem ser independentes. Lembre-se de que duasamostras são independentes se a amostra coletada de umapopulação não está relacionada com a amostra selecionada dasegunda população.

3. Cada população deve ter uma distribuição normal.

Quando essas condições são alcançadas, a distribuição amostral para

a diferença entre as médias da amostra é aproximada por umadistribuição t com média . Então, se pode usar um teste t paratestar a diferença entre duas médias populacionais . O erropadrão e os graus de liberdade da distribuição amostral dependem seas variâncias das populações são iguais.

21 x x

21 21 e

21 e



Teste t de duas amostras para adiferença entre médias

Um teste t de duas amostras é usado para testar adiferença entre duas médias populacionais quandouma amostra é selecionada aleatoriamente de cadapopulação. Desempenhar este teste requer que cada

população seja distribuída normalmente, e que asamostras sejam independentes. A estatística de testepadronizada é:

21 e

21

2121

x x

x xt



Continuação...

Variâncias são iguais: Se as variâncias da população são iguais,então a informação das duas amostras é combinada para calcularuma estimativa coligada do desvio padrão .

O erro padrão para a distribuição de amostragem de é:

Variâncias não iguais: se as variâncias da população não sãoiguais, então o erro padrão é:

̂

2

11ˆ

21

2

22

2

11

nn

snsn

21 x x

2..e

iguaisvariâncias11

ˆ

21

21

21

nnlg

nn x

x x

.11..e

iguaisnãoariâncias

21

2

22

1

21

21

nounquemenor lg

vn

s

n

s x x



ResumoUsando o teste t em duas amostras para as diferenças entre as médias (amostras pequenas e independentes).

Em palavras Em símbolosExpresse a afirmação. Identifique as hipótesesnula e afirmativa.

Afirme Ho e Ha.

Especifique o nível de significância. Identifique α.

Identifique os graus de liberdade e faça adistribuição de amostragem.

g.l.=n1+n2-2 ou g.l.=menor que n1-1 oun2-1

Determine os valores críticos. Use a tabela 5. Se n>29, use a últimacoluna(∞) na tabela de distribuição t.

Determine a(s) região(ões) de rejeição.

Encontre a estatística de teste padronizada.

Tome a decisão de rejeitar ou falhar em rejeitar ahipótese nula.

Se t estiver na região de rejeição, rejeiteHo. Caso contrário, falhe em rejeitar Ho.

Interprete a decisão no contexto da afirmaçãooriginal.

21

2121

x x

x xt



Exemplo3

As distâncias de frenagem de 8 Volkswagen GTIs e 10 FordFocus foram testados enquanto viajavam a 60 milhas por horaem pista seca. Os resultados são mostrados no quadro. Sepode concluir que existe uma diferença na média da distânciade frenagem dos dois tipos de carro? Use α=0,01. Assuma

que as populações são distribuídas normalmente e asvariâncias da população não são iguais.

Estatística amostral para distância de frenagem em pista seca.

GTI Focus

108

6,29,6

143134

21

21

21

nn

péss péss pés x pés x



Solução

Hipótese nula e alternativa são:

As variâncias não são iguais e a menor amostra é detamanho 8, use g.l =8-1=7. O teste é bicaudal comg.l.=7 e α=0,01, os valores críticos são –to=-3,499 eto=3,499. As regiões de rejeição são t<-3,499 e t>3,499.O Erro padrão é:


)(:: 2121 afirmação H e H ao

5743,210

6,2

8

9,6 22

2

22

1

21

21

n

s

n

s x x

496,3

).0(5743,2

01431342121

2121

21

entãoassuma

x xt

x x



Continuando...

O gráfico mostra a localização dasregiões de rejeição e a estatísticade teste padronizada t. Como t nãoestá na região de rejeição, se deve

falhar ao rejeitar a hipótese nula.

Interpretação: No nível designificância 1%, não há evidênciasuficiente para concluir que as

médias das distâncias de frenagemdos carros são diferentes.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

99,01

005,02

1 005,02

1

499,30 t 499,30 t 496,3t



Testes de hipóteses para a média(amostras grandes)

Um fabricante afirma que o alcance de chamada (em pés) do seutelefone sem fio 2,4 GHz é maior do que o do seu principalconcorrente. Se realiza um estudo usando 14 telefonesselecionados aleatoriamente deste fabricante e 16 telefonessimilares – do concorrente – selecionados aleatoriamente. Os

resultados são mostrados à direita. Em α=0,05, se pode apoiar aafirmação do fabricante? Assuma que as populações sãonormalmente distribuídas e as variâncias de população são iguais.Estatística amostral para alcance de chamada.

Fabricante Concorrente

1614

13045

250.1275.1

21

21

21

nn

péss péss pés x pés x



Solução

A afirmação é: “a média de alcance do telefone sem fiofabricante é maior que a média de alcance do principalconcorrente”. Então, as hipóteses nula e alternativa são:

As variâncias são iguais, g.l =n1+n2-2=14+16-2=28. O teste éum teste unicaudal à direita, g.l.=28 e α=0,05, o valor crítico éto=1,701. A região de rejeição são t>1,701. O Erro padrão é:


)(:: 2121 afirmação H e H ao

.8018,13

16

1

14

1.

21614

3015451311.

2

11 22

2121

222

211

21

nnnn

snsn x x

.811,1

).0(8018,13

0250.1275.12121

2121

21

entãoassuma

x xt

x x



Continuando...

O gráfico mostra a localização dasregiões de rejeição e a estatísticade teste padronizada t. Como t nãoestá na região de rejeição, se devedecidir se rejeitará a hipótese

nula.

Interpretação: No nível designificância 5%, há evidênciasuficiente para apoiar a afirmação

do fabricante de que o seu telefonetem um alcance de chamada maiordo que o do concorrente.

-3 -2 -1 0 1 2 3

95,01

05,0

701,10 t 811,1t



Testando a diferença entre as médias(amostras dependentes)

Primeiro encontrará a diferença d para cada dado emparelhado:

A estatística do teste é a média ̅d dessas diferenças:

As condições a seguir são requeridas para conduzir o teste:

1. As amostras devem ser selecionadas aleatoriamente.

2. As amostras devem ser dependentes (emparelhadas).

3. Ambas populações devem ser normalmente distribuídas.Se esses requisitos são alcançados, então a distribuição deamostras para ̅d, a média das diferenças das entradas de dadosemparelhadas nas amostras dependentes, é aproximada por umadistribuição t com n-1 graus de liberdade, onde n é o número de

dados emparelhados.

..21 osemparelhad dados paraentradasentrediferença x xd

.sdependenteamostrasnasosemparellad dados

deentradasentrediferençasdas Médian

d d



Continuação...

Os símbolos a seguir são usado para o teste t para μd.

00 t t d d

Se pode calcular o desvio padrão dadiferença entre entrada de dadosemparelhados usando a fórmula de atalho:

1

2

2

n

n

d d

Sd

Símbolos Descrição

n Números de dados emparelhados

d Diferença entre entradas para dados emparelhados, d=x1-x2

μ d Média hipotética das diferenças de dados emparelhados na população

̅d Média das diferenças entre entradas de dados emparelhados nas amostrasdependentes:

s d Desvio padrão das diferenças entre entradas de dados emparelhados nasamostras dependentes:

n

d d

1

2

n

d d

Sd



Continuação...

Quando se usa uma distribuição t para aproximar a distribuição deamostragem para ̅d, a média das diferenças de entradas de dadosemparelhados, se pode usar um teste t para testar a afirmação sobre amédia das diferenças para uma população de dados emparelhados.

Teste t para a diferença entre médias

Um teste t pode ser usado para testar a diferença de duas médias de

população quando uma amostra é selecionada aleatoriamente da cadapopulação. Os requisitos para efetuar este teste são que cada populaçãoseja normal e que cada membro da primeira amostra seja emparelhadocom um membro da segunda amostra. A Estatística de teste é:

E a estatística de teste padronizada é:

Os graus de liberdade são: g.l.=n-1.

.ns

d t

d

d

n

d d



resumoUsando o teste t para a diferença entre médias (amostras dependentes)

Em palavras Em símbolos1. Expresse a afirmação de forma matemática.

Identifique as hipóteses nula e alternativa.2. Especifique o nível de significância.3. Identifique os graus de liberdade e faça a

distribuição de amostragem.

4. Determine o(s) valor(es) crítico(s).

5. Determine a(s) região(ões) de rejeição.6. Calcule ̅d e s d.

7. Encontre a estatística de teste padronizada.

8. Tome a decisão de rejeitar ou falhar emrejeitar a hipótese nula.

9. Interprete a decisão no contexto da afirmação

original.

Use Ho e Ha.

Identifique α.

g.l.=n-1

Use a tabela 5. Se n>29, usea fileira (∞) na tabela dedistribuição t.

e

Se t está na região derejeição, rejeite Ho. Docontrário, falhe em rejeitarHo.

n

d d

1

2

n

d d Sd

.ns

d t

d

d



Exemplo.

Um fabricante de tacos de golfe afirma que os golfistas podemdiminuir seus placares usando tacos de golfe recém projetados porele. Oito jogadores de golfe são escolhidos aleatoriamente e épedido a cada um que forneça seu mais recente placar. Após usaros novos tacos por um mês, é pedido novamente aos jogadores

que forneçam seus placares mais recentes. Os placares para cadaum são mostrados na tabela. Assumindo que os placares de golfesão distribuídos normalmente, existe evidência suficiente paraapoiar a afirmação do fabricante para α=0,10.

Jogador de golfe 1 2 3 4 5 6 7 8

Placar (projeto antigo) 89 84 96 82 74 92 85 91

Placar (projeto novo) 83 83 92 84 76 91 80 91



Solução

A afirmação é que “golfistas podem diminuir seus placares”. Emoutras palavras, o fabricante afirma que os placares, usando ostacos antigos, será maior do que os placares usando os novos.Cada diferença é dada por:

d= (placar antigo) – (placar novo).

As hipóteses nula e alternativa são: Ho:μd≤0 e Ha: μd >0. (afirmação)

Como o teste é um teste unicaudal à direita, α=0,10 e g.l.=8-1=7, ovalor crítico é to=1,415. A área de rejeição é t>1,415. Usando atabela 5 a seguir, se pode calcular ̅d e Sd como mostrado. Note quea fórmula de atalho é usada para calcular o desvio padrão.

625,18

13

n

d d

0677,318

8

1387

1

2

2

2

n

n

d d

Sd



Continuando...

A estatística de teste padronizada é:

O gráfico a seguir mostra a localização da região de rejeição e aestatística de teste padronizada t. Como t está na região derejeição, se deve decidir em rejeitar a hipótese nula. Háevidência suficiente para apoiar a firmação do fabricante de tacosde golfe.

.498,1

0

8 / 0677,3

0625,1

..

d

d

d

assuma

t testeousens

d t

Antigo Novo d d²

89 83 6 36

84 83 1 1

96 92 4 16

82 84 -2 4

74 76 -2 492 91 1 1

85 80 5 25

91 91 0 0

Ʃ=13 Ʃ=87



Testes de hipótese para a média (amostraspequenas)

Interpretação: No nível de significância de 10%, osresultados deste teste indicam que depoisde os jogadores de golfe usarem os novostacos, seus placares foramsignificativamente menores.

-3 -2 -1 0 1 2 3

90,01

10,0

415,10 t 498,1t



Exemplo

Um legislador estadual quer determinar se seu índice dedesempenho (0-100) mudou do ano passado para este. A tabela aseguir mostra o índice de desempenho do legislador para 16eleitores selecionados aleatoriamente para o ano passado e paraeste. Em α=0,01, há evidência suficiente para concluir que o

desempenho do legislador mudou? Assuma que os índices dedesempenho são normalmente distribuídos.Eleitor 1 2 3 4 5 6 7 8

Índice (ano passado) 60 54 78 84 91 25 50 65

Índice (esse ano) 56 48 70 60 85 40 40 55

Eleitor 9 10 11 12 13 14 15 16

Índice (ano passado) 68 81 75 45 62 79 58 63

Índice (esse ano) 80 75 78 50 50 85 53 60



Solução

Se a afirmação no índice de desempenho do legislador, haverá umdiferença entre os índices “deste ano” e do “ ano passado”. Emvirtude do legislador querer ver se há diferença, as hipóteses nula ealternativa são:

Ho:μd=0 e Ha: μd ≠0. (afirmação)

Em razão do teste ser bicaudal, α=0,01 e g.l.=16-1=15, os valorescríticos são to=-2,947 e to=2,947. As regiões de rejeição são t<-2,947 e t>2,947. Usando a tabela a seguir, se pode calcular ̅d e Sdcomo mostrado a seguir.

A estatística de teste padronizada é:

3125,316

53

n

d d

6797,9116

16

53581.1

1

2

2

2

n

n

d d

Sd

.369,1

016 / 6797,9

03125,3

..

d

d

d

assuma

t testeousens

d t



Continuando...

Ʃd=53 e Ʃd²=1.581

O gráfico mostra a localização da região de rejeição e a estatísticade teste padronizada t. Como t não está na região de rejeição, sedeve falhar ao rejeitar a hipótese nula.

Interpretação: No nível de significância de1%, não há evidência suficiente para concluirque a classificação de desempenho dolegislador mudou.

Eleitor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Antes 60 54 78 84 91 25 50 65 68 81 75 45 62 79 58 63

Depois 56 48 70 60 85 40 40 55 80 75 78 50 50 85 53 60

d 4 6 8 24 6 -15 10 10 -12 6 -3 -5 12 -6 5 3

d² 16 36 64 576 36 225 100 100 144 36 9 25 144 36 25 9

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

99,01

005,02

1 005,0

2

1

947,20 t 947,2

0

t 369,1t



Testando a diferença entre as proporções

Se a afirmação é sobre dois parâmetros populacionais p1 e p2, então algunspares de hipóteses nula e alternativa são:Hₒ: p1 ≤ p2 Hₒ: p1 ≥ p2 Hₒ: p1 = p2

Hₐ: p1 > p2 Hₐ: p1 < p2 Hₐ: p1 ≠ p2

Independentemente de cada hipótese que você usar, sempre assumirá que

não existe há diferença entre as proporções populacionais, ou p1 = p2.

As condições a seguir são necessárias para usar um teste z para testar taldiferença.1. As amostras devem ser selecionadas aleatoriamente.2. As amostras devem ser independentes.

3. As amostras devem ser grandes o suficiente para usar uma distribuiçãonormal de amostragem.Isto é n1,p1 ≥5, n1q1 ≥ 5, n2p2 ≥ 5 e n2q2 ≥ 5.



Teste de hipótese para proporções

Se essas condições são alcançados, então adistribuição de amostragem para , a diferençaentre as proporções de amostra, é uma distribuiçãonormal com média:

Se precisa saber as proporções de população paracalcular o erro padrão. Como um teste de hipóteseé baseado na suposição de que , se pode calcularuma estimativa ponderada de usando:

21ˆˆ p p

2

22

1

11ˆˆ

21ˆˆ

21

21

:

,

n

q p

n

q p

padrão Erro

p p

p p

p p

21p p

21p p

21pe p



Continuando...

Com a estimativa ponderada ̅p, o erro padrão da distribuição de

amostragem para é:

Observe também que se precisa conhecer as proporções depopulação ao verificar que as amostras são grandes o suficientepara serem aproximadas pela distribuição normal. Mas quandodetermina se o teste z pode ser usado para a diferença entreproporções para um experimento binomial, se deve ̅p no lugar de p1 e p2 e usar ̅q no lugar de q1 e q2.

.ˆˆ,222111

21

21 pn xe pn xondenn

x x p

21

ˆˆ

p p

.1,11

21

ˆˆ 21 pqonde

nnq p p p



Os símbolos a seguir são usados no teste z parap1 –p2.

Símbolo Descrição

Proporção de população.

Número de sucessos em cada amostra.

Tamanho de cada amostra.

Proporções de amostra de sucessos.

Estimativa ponderada para p

p p

nn

x x

p p

21

21

21

21

ˆ,

ˆ

,

,

,

.21 pe p

Se a distribuição de amostrapara é normal, sepode usar um teste z deduas amostras para testar adiferença entre duas

proporções p1 e p2.

21ˆˆ p p

Teste z de duas amostras para a diferença entre proporçõesUm teste z de duas amostras é usado para testar a diferença entre duasproporções de população p1 e p2 quando uma amostra é selecionada

aleatoriamente de cada população.

e a estatística de teste padronizada é:,ˆˆ

21 p p ,

11

ˆˆ

21

2121

nnq p

p p p p z



Continuando...

Onde:

.5,,,,,:

.1,

2211

21

21

menos peloser devemqne pnqn pnnota

pqenn

x x p

.0exp

,,

21

21212121

anterior testenoaigualé p pressãoaeassumidoé

p pentão p pou p p p pindicanulahipóteseaSe



ResumoUsando um teste z de duas amostras para a diferença entre proporções.

Em palavras Em símbolos

1. Indique a afirmação. Identifique ashipóteses nula e alternativa.

Use Ho e Ha.

2. Especifique o nível de significância. Identifique α.

3. Determine o(s) valor(es) crítico(s). Use a tabela 4

4. Determine a(s) região(ões) de rejeição.

5. Encontre a estimativa ponderada de p1 e p2.

6. Encontre a estatística de teste padronizada.

7. Tome a decisão de rejeitar ou falhar emrejeitar a hipótese nula.

Se z está na área de rejeição, rejeiteHo. Do contrário, falhe em rejeitar Ho.

8. Interprete a decisão no contexto da

afirmação original.

21

21

nn

x x p

21

2121

11

ˆˆ

nnq p

p p p p z



Continuando...

Para usar valores P em um teste para a diferença entre proporções,use as mesmas instruções como acima, pulando os passos 3 e 4.Depois de encontrar a estatística de teste padronizado, use a TabelaNormal Padrão para calcular o valor de P. Então, tome a decisão derejeitar ou falhar em rejeitar a hipótese nula. Se P é menor ou igual a

α, rejeite Ho. Do contrário, falhe em rejeitar Ho.Exemplo1.

Em estudo de 200 mulheres adultas selecionadas aleatoriamente e250 homens adultos, ambos usuários de internet, 30% dasmulheres e 38% dos homens disseram que planejam comprar on-

line ao menos uma vez durante o mês seguinte. Em α=0,10, teste aafirmação de que há uma diferença entre proporção de mulheres ea proporção de homens, usuários de internet, que planejamcomprar on-line.



Solução

Se quer determinar se há diferença entre proporções. Então, ashipóteses nula e alternativa são:

Ho:p1=p2(afirmação) e Ha: p1≠p2.

Como esse teste é bicaudal e o nível de significância é de α=0,10,os valores críticos são -zo=-1,645 e zo=1,645. As áreas de rejeição

são z<-1,645 e z>1,645. a estimativa ponderada da proporção dapopulação é:

.6556,03444,011

3444,0250200

9560

21

21

pq

e

nn

x x p

Estatística amostral para usuários de internet

Mulheres Homens

95ˆ60ˆ

38,0ˆ30,0ˆ

250200

2211

21

21

pn pn

p p

nn

222

111

21

ˆ

ˆ

:,

pn x

e pn x

use xe xencontrar Para



Continuando...

Como 200(0,3444), 200(0,6556), 250(0,3444) e 250(0,6556) sãopelo menos 5, se pode usar um teste z de duas amostras. Aestatística de teste padronizada é:

.77,1

250

1

200

16556,03444,0

038,030,0

11

ˆˆ

21

2121

nnq p

p p p p z

-3 -2 -1 0 1 2 3

90,01

05,02

1

05,02

1

645,10 z645,10 z77,1 z

O gráfico mostra a localização das áreasde rejeição e a estatística de testepadronizada. Como z está na área derejeição, se deve decidir em rejeitar ahipótese nula.

Interpretação: Se têm evidência suficienteno nível de significância 10% para concluirque existe uma diferença entre aproporção de mulheres e a proporção dehomens, usuários de internet, que

planejam comprar on-line.



Exemplo

Uma equipe de pesquisa médica conduziu um estudo para testar oefeito de um medicamento na redução de colesterol. Ao final doestudo, os pesquisadores descobriram que dos 4.700 sujeitosselecionados aleatoriamente que tomaram o medicamento 301morreram de doenças do coração. Dos 4.300 sujeitos selecionados

aleatoriamente que tomaram um placebo, 357 morreram dedoenças do coração. Em α=0,01, se pode concluir que a taxa demortalidade por doenças do coração é menor para aqueles quetomaram a medicação do que para aqueles que tomaram oplacebo?Estatística amostral para medicamento de redução de colesterol

Receberam medicação Receberam placebo

357ˆ301ˆ

083,0ˆ064,0ˆ

357301

300.4700.4

2211

21

21

21

pn pn

p p

x x

nn

2

22

1

11

21

ˆˆ

:,ˆˆ

n

x pe

n

x p

use pe pencontrar Para



Solução

Se quer determinar se há taxa de mortalidade por doenças docoração é menor para aqueles que tomaram a medicação do quepara aqueles que tomaram o placebo. Então, as hipóteses nula ealternativa são:

Ho:p1≥p2 e Ha: p1<p2. (afirmação)

Como esse teste é unicaudal à esquerda e o nível de significânciaé de α=0,01, o valor crítico é zo=-2,33. A área de rejeição é z<-2,33. a estimativa ponderada da proporção de p1 e p2 é:

Como 4.700(0,0731), 4.700(0,9269), 4.300(0,0731) e 4.300(0,9269)são pelo menos 5, se pode usar um teste z de duas amostras.

.9269,00731,011

0731,0000.9

658

300.4700.4

357301

21

21

pqe

nn

x x p

.46,3

300.4

1

700.4

19269,00731,0

0083,0064,0

11

ˆˆ

21

2121

nnq p

p p p p z

.5

,,,,,: 2211

menos peloser devem

qne pnqn pnnota



Continuando...

O gráfico à esquerda mostra a localização da área derejeição e a estatística de teste padronizada. Como zestá na área de rejeição, se deve decidir em rejeitar ahipótese nula.

Interpretação: No nível designificância de 1%, há evidênciasuficiente para concluir que ataxa de mortalidade por doençasdo coração é menor para

aqueles que tomaram amedicação do que para aquelesque tomaram o placebo.

-3 -2 -1 0 1 2 3

99,01

01,0

33,20 z46,3 z



Referências Bibliográficas

• STEVENSON, William, J. Estatística Aplicada à Administração .São Paulo: Hebra.

• KAZMIER, Leornard, J. Estatística Aplicada à Economia e Administração . São Paulo : McGraw - Hill.

• FONSECA, Jairo Simon & Martins, Gilberto de Andrade. Curso de

Estatística . São Paulo: Atlas.• TOLEDO, Geraldo Luciano & OVALLE, Ivo Izidoro. Estatística

Básica . São Paulo: Atlas.

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